Признаки делимости чисел | umath.ru
Содержание
- Таблица признаков делимости чисел
- Доказательство признаков делимости чисел
- Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
- Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
- Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]
Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.
Таблица признаков делимости чисел
Число | Число делится на число тогда и только тогда, когда |
2 | Последняя цифра числа делится на 2 |
3 | Сумма цифр числа делится на 3 |
4 | Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4 |
5 | Число оканчивается цифрой 0 или 5 |
6 | Число делится на 2 и на 3 |
7 | Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа делится на 7 |
8 | Число, составленное из трёх последних цифр числа , делится на 8 |
9 | Сумма цифр числа делится на 9 |
10 | Число оканчивается цифрой 0 |
11 | Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 |
12 | Число делится на 3 и на 4 |
13 | Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* делится на 13 |
25 | Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 25 |
*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.
Признаки делимости чисел и их доказательство
Пусть натуральное число имеет десятичную запись
где — цифры этого числа,
Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.
Признаки делимости по последним цифрам
Если | то делится на |
(последняя цифра числа) делится на 2 или 5 | 2 или 5 соответственно |
(число, составленное из двух последних цифр числа ) делится на 4 или 25 | 4 или 25 соответственно |
(число, составленное из трёх последних цифр числа ) делится на 8 | 8 |
равно 0 | 10 |

Число 100 делится на 25, поэтому если число делится на 25, то и делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.
Признаки делимости по сумме цифр
то делится на | |
Сумма цифр числа делится на 3 или 9 | 3 или 9 соответственно |
Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11 | 11 |
Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число делится на 3 или 9 соответственно.
Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:
Число распишем следующим образом:
Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа .
Признаки делимости по сумме граней
Введём следующее определение.
Определение.Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Перейдём к признакам делимости.
Если | то делится на |
Сумма двузначных граней делится на 11 | 11 |
Сумма трёхзначных граней делится на 37 | 37 |
Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13 | 7, 11, 13 соответственно |
В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.
Остальные признаки доказываются аналогично.
Расчет вентиляции с помощью онлайн калькулятора
Материалы для скачивания
Рейтинг ↑ не забываем
Порядок действий при демонтаже кондиционеров (посмотреть)
Свод правил вентиляции и кондиционирования 2017 год (посмотреть)
Условные обозначения систем вентиляции и кондиционирования (посмотреть)
Требования к пожарной безопастности по вентиляции и кондиционированию (посмотреть).
Ответы на задачи по технической механике
Если Вы не нашли свой вариант ответа, обращайтесь перейдя по ссылке в группу ВК опубликовав Ваши задачи прям в ленту группы ,по возможности постараемся Вам помочь. На данной странице не все ответы, перейдя по ссылке попадаете на другую страницу с ответами
Задача № 29 Найти реакцию опор
Ответ к задачи №29
Задача № 20 Натяжка троса
Ответ к задачи № 20
Задача №7 Найти реакцию опор
Ответ к задаче №7
Задача № 9 Распределение нагрузки
Ответ к задачи № 9
Задача № 11 Определить координаты центра тяжести сечения
Ответ к задачи № 11 С решением
Задача № 12 Найти реакцию опор
Ответ к задачи №12
Задача № 13 Решить графически
Ответ к задаче №13
Задача № 33 Решить графически
Ответ к задачи № 33
Задача № 33 Силы давящие на шар
Ответ к задачи № 33 Силы давящие на шар
Задача № Задача №21 Определить координат центра тяжести
Ответ к задаче № 21 Определить координат центра тяжести
Ответ № 21 /2 Определить координат центра тяжести 30А Ответ на координат центр тяжести № 21 -27
Задача № 20 Определить опорные реакции балки. Проверить правильность их определения
Ответ к задачи № 20 Определить опорные реакции балки.Проверить правильность их определения
Задача № 22 Задача № 22 найти R(a) и R(b)
Ответ к задачи Задача № 22 найти R(a) и R(b)
Задача Определить координаты центра тяжести сечения.Показать положение центра тяжести на чертеже
Ответ к задачи Определить координаты центра тяжести сечения.Показать положение центра тяжести на чертеже
Задача № 10 Найти реакцию опор
Ответ к задачи №10 Найти реакцию опор
Задача № 16 Определить опорные реакции балки.Проверить правильность их определения
Ответ к задачи № 16
Задача № 22 Определить опорные реакции балки. Проверить правильность их определения
Ответ к задачи № 22 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения
Задача № 27 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения
Ответ к задачи № 27 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения
Задача № 26 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения
Ответ к задачи № 26 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения
Вариант 32 задача № 1Определить опорные реакции балки на двух опорах.
Ответ к варианту 32 задача №1Определить опорные реакции балки на двух опорах. Проверить правильность их определения
Вариант 32 задача №2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положение центра на чертеже
Ответ к варианту 32 №2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положение центра на чертеже
Решение к варианту 32 № 2
Вариант 24 задача № 2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положения центра тяжести на чертеже
Ответ к варианту 24 задача № 2 Определить координаты центра тяжести сечения
Задача Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба
Ответ к задачи Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба
Задача — Определить величину и направления реакцию связей
Ответ к задаче -Определить величину и направления реакций связей
Задача- Определить опорные реакции балки на 2-х опорах
Ответ к задачи Определить опорные реакции балки на 2-х опорах
Задача № 9 Найти центр тяжести
Ответ к задаче № 9 найти центр тяжести
Найти центр тяжести
Решение к задаче Найти центр тяжести
Задача № 7
Решение к задаче № 7
28 задача Определить положение координаты центра тяжести
Ответ к 28 задачи Определить положение координаты центра тяжести
Задача Найти центр тяжести
Ответ к задаче Найти центр тяжести
Задача № 16 Определить положение координаты центра тяжести
Ответ к задаче № 16 Определить положение координаты центра тяжести
Ответ к задаче № 16 Определить положение координаты центра тяжести
Задача №23 Определить кординаты центра тяжести сечения
Ответ к задаче № 23 Определить координаты центра тяжести сечения
Определить опорные реакции балки
Ответ к задаче Определить опорные реакции балки
Определить опорные реакции балки
Ответ к задаче Определить опорные реакции балки
Определить координат центр тяжести
Ответ к задаче определить координат центр тяжести
Задача №20 Найти центр тяжести
Ответ к Задаче №20 Найти центр тяжести
Задача: Определить опорные реакции балки на двух опорах. Проверить правильность их определения
Ответ к задаче: Определить опорные реакции балки на двух опорах. Проверить правильность их определения
Задача Определить центр тяжести
Ответ к задаче — Определить центр тяжести
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу по расчету прочности при расстяжении, сжатии
Ответ к задаче по расчету прочности при расстяжении, сжатии
Задача- Определить координат центра тяжести
Ответ к задаче Определить координат центра тяжести
Задача — Подобрать сечение стержня подвески поддерживающего брус
Ответ к задаче Подобрать сечение стержня подвески поддерживающего брус
Задача — Подобрать сечение стержня подвески поддерживающего брус
Ответ к задаче — Подобрать сечение стержня подвески поддерживающего брус
Задача: построить эпюры Qy и Mx для балки по данным в задании
Ответ построить эпюры Qy и Mx для балки по данным в задании
Задача: номер 1. Определить реакции в опорах для балки
Ответ к задаче номер 1. Определить реакции в опорах для балки
Задача: построить эпюр Qy и Mx для балки, по данным в задании
Ответ к Задачи: построить эпюр Qy и Mx для балки, по данным в задании
Вариант № 3
Задание № 1 Определить изгибающий момент в точке С (справа)
Вариант № 2 Задание 1
Определить изгибающий момент в точке С . Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента
Вариант № 2 Задание 2
Ответ к Заданию № 2 рассчитать осевой момент инерции швеллера относительно оси Х
Задача № 3 Определить координаты центра тяжести
Ответ к задаче № 3
Задача 7
Ответ к задаче 7
Задача Проверить несущую способность балки
Ответ к задаче Проверить несущую способность балки
Задача — Момент силы относительно точки
Ответ к задаче — Момент силы относительно точки
Задача — Понятие о внецентренном растяжении ( сжатии)
Ответ к задаче — Понятие о внецентренном растяжении ( сжатии)
Задание
Ответ к заданию для Натальи Добринской
Задача: Определить реакцию опор двухопорной балки
Ответ
Задача
Ответ
Задача — столбец под номером 1
Ответ к задаче
Рисунок Д вариант чисел 1 Задача
Ответ к задаче
ПЕРЕХОДИ НА ДРУГУЮ СТРАНИЦУ САЙТА
ПО ССЫЛКЕ НИЖЕ
ОТВЕТЫ ПО ТЕХ-МЕХУ НА СЛЕДУЮЩЕЙ СТРАНИЦЕ
3-8Алгебраическая и геометрическая кратность собственных значений
Марко Табога, доктор философии
Алгебраическая кратность собственного значения — это количество раз, которое оно встречается
как корень характеристического многочлена (т. е. многочлена, корни которого
собственные значения матрицы).
Геометрическая кратность собственного значения есть размерность линейной пространство связанных с ним собственных векторов (т. е. его собственное пространство).
В этой лекции мы даем строгие определения двух концепций алгебраическая и геометрическая кратность, и мы доказываем некоторые полезные факты о их.
Ищете калькулятор геометрической кратности или пошаговый учебник о том, как рассчитать геометрическую кратность? Перейдите по этой ссылке.
Содержание
Алгебраическая кратность
Геометрическая кратность
Связь между алгебраической и геометрической кратностями
Дефектные собственные значения
Решенные упражнения
- 5 Упражнение 1
8 6 Упражнение 2
- 5 Упражнение 1
Алгебраическая кратность
Начнем с определения.
Определение Позволять быть матрица. Обозначим через в возможно повторяется собственные значения , которые решают характеристику уравнениеМы сказать, что собственное значение имеет алгебраическую кратность тогда и только тогда, когда их не больше и не меньше решения характеристического уравнения, равные .
Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример Рассмотрим матрица характеристический полином это корни многочлена, то есть решения Таким образом, имеет два различных собственных значения. Их алгебраические кратности равны потому что они не повторяются.
Пример Определите матрица Его характеристический полином это корни многочлена, то есть решения Таким образом, имеет одно повторяющееся собственное значение, алгебраическая кратность которого равна
Геометрическая кратность
Напомним, что каждое собственное значение связано с
линейное пространство собственных векторов,
называется собственным пространством.
Определение Позволять быть матрица. Позволять быть одним из собственных значений и обозначим его ассоциированное собственное пространство через . Размер называется геометрической кратностью собственного значения .
Давайте теперь сделаем несколько примеров.
Определение
Рассмотрим
матрица
характеристический полином
это
корни многочлена
являются
собственные векторы, связанные с
являются векторами
что
решить
уравнениеили
последнее уравнение подразумевает
чтоПоэтому,
собственное пространство
это линейное пространство, которое содержит все векторы
принадлежащий
формагде
может быть любым скаляром. Таким образом, собственное пространство
генерируется
одинокий
векторСледовательно,
он имеет измерение
. Как следствие, геометрическая кратность
является
.
Пример Рассмотрим матрица характеристический полином остров его корни Таким образом, существует повторяющееся собственное значение () с алгебраической кратностью, равной 2. Его ассоциированные собственные векторы решать в уравнениеили уравнение выполняется для и любое значение . Как следствие, собственное пространство это линейное пространство, которое содержит все векторы принадлежащий формагде может быть любым скаляром. Поскольку собственное пространство генерируется одним векторэто имеет измерение . Как следствие, геометрическая кратность равно 1, что меньше его алгебраической кратности, равной 2.
Пример
Определите
матрица
характеристический полином
остров
его корни
Таким образом,
существует повторяющееся собственное значение
()
с алгебраической кратностью, равной 2. Его ассоциированные собственные векторы
решать
в
уравнениеили
уравнение выполняется для любого значения
и
.
Как следствие, собственное пространство
это линейное пространство, которое содержит все векторы
принадлежащий
формагде
и
являются скалярами, которые могут быть выбраны произвольно. Таким образом, собственное пространство
создается двумя
линейно независимый
векторыСледовательно,
он имеет измерение
.
Как следствие, геометрическая кратность
равно 2, что равно его алгебраической кратности.
Вывод из предыдущих примеров состоит в том, что алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения не обязательно совпадают.
Связь между алгебраической и геометрической кратностью
Следующее предложение устанавливает важное свойство кратностей.
Предложение
Позволять
быть
матрица. Позволять
быть одним из собственных значений
.
Тогда геометрическая кратность
меньше или равно его алгебраической кратности.
Доказательство
Предположим, что геометрическая кратность
равно
,
так что есть
линейно независимые собственные векторы
связано с
.
Произвольно выбрать
векторы
,
все имеющие измерение
и такой, что
столбцы векторов
линейно независимы. Определите
матрица
Для
любой
,
обозначать через
вектор, который
решает, какой
гарантированно существует, потому что
является полноранговым (его столбцы
линейно независимы). Определите
матрица и
обозначать через
его верхний
блокировать и по
ниже
блок:обозначить
к
в
единичная матрица. Для любого скаляра
,
у нас есть
что так как
является полноправным и, как следствие, его
определитель
ненулевое, мы можем
написатьгде
в ногу
мы использовали результат о
определитель
блочные матрицы. Собственные значения
решить характеристическое уравнение
или,
эквивалентно,
уравнениеЭто
уравнение имеет корень
это повторяется по крайней мере
раз. Следовательно, алгебраическая кратность
не меньше его геометрической кратности
.
Может быть больше, если
также является корнем
Дефектные собственные значения
Когда геометрическая кратность повторяющегося собственного значения строго меньше его алгебраической кратности, то это собственное значение называется дефектный .
Собственное значение, которое не повторяется, имеет связанный с ним собственный вектор, равный отличное от нуля. Следовательно, размерность его собственного пространства равна 1, его геометрическая кратность равна 1 и равна его алгебраической множественность. Таким образом, неповторяющееся собственное значение также является недефектным.
Решаемые упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Найдите, является ли матрица имеет любые дефектные собственные значения.
Решение
Характеристический многочлен остров его корни Таким образом, нет повторяющихся собственных значений и, как следствие, дефектных собственные значения.
Упражнение 2
Определить
Определить имеет дефектные собственные значения.
Решение
Характеристический многочлен
это здесь
в ногу
мы использовали
Лаплас
расширение по третьему ряду. Корни многочлена
Таким образом,
существует повторяющееся собственное значение
()
с алгебраической кратностью, равной 2. Его ассоциированные собственные векторы
решать
в
уравнениеили
уравнение выполняется для любого значения
и
.
Как следствие, собственное пространство
это линейное пространство, которое содержит все векторы
принадлежащий
формагде
скаляр
может быть выбран произвольно.