Опубликовано Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
138.7K
Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: aх = b, где a > 0, a ≠ 1 и ax = ay.
Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.
Показательной функцией называют такую: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.
Важно знать
Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = ax при а ≤ 0 корней не имеет.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.
am · an | am+n |
am:an | am-n |
(a · b)n | an · bn |
(a : b)n | an : bn |
(an)m | an · m |
a−n | |
Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Методы решения показательных уравнений
Самые короткие и простые показательные уравнения решаются легко при помощи свойств степеней. Например:
4х = 64.
Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.
4 · 4 · 4 = 64
43 = 64
4x = 43
Х = 3
Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.
Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.
В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).Приведение к одинаковому основанию
Весомую часть уравнений вида ах = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общее основание.
Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.
Пример 1
Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.
Мы знаем, что 64 и 8 являются степенями 2.
Попробуем использовать это, и тогда 642 = 212
Ответ: .
Пример 2
В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.
(0,5)х2 · 4х+1 = 64-1
Найдем общее основание показательных функций:
0,5 = 1/2 = 2−1
4 = 22
64 = 26
В результате у нас получается:
(2−1)х2 · (22)х+1 = (26)−1
2−х2 · 22х+2 = 2−6
2−х2+2х+2 = 2−6
−х2 + 2х + 2 = −6
х2− 2х − 8 = 0
Ответ: x = −2; 4.
Приведение к одинаковой степени
Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.
При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): axbx = (ab)x.
Пример
52х−4 = 492−х
Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:
52х−4 = 492−х
52х−4 = 74−2х
52х−4 = (1/7)2х−4
352х−4 = 1
2х − 4 = 0
х = 2
Пример 2
2х−2 = 52−х
Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.
2х−2 = 1/5х−2
Теперь умножим обе части на 52−х и придем к уравнению:
2х−2 × 52−х = 1
10х−2 = 1
10х−2 = 100
х − 2 = 0
х = 2
Замена переменной
Суть этого способа решения показательных уравнений проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.
Пример
4x— 2x+1— 8 = 0
Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4х = 22х, а 2х+1 = 2 × 2х.
22х — 2 × 2х — 8 = 0
Что-то напоминает.
🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2х новой переменной — допустим, y.
Если 2х = y, y > 0, то получается: у2— 2у — 8 = 0.
Проведем обратную замену: 2х = 4 (подходит по ограничениям).
х = 2.
Ответ: х = 2.
Пример 2
25х — 6 × 5х + 5 = 0
Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5х = у, y > 0.
у2 — 6у + 5 = 0
Корни такого уравнения: 1 и 5.
Выполним обратную замену:
5х = 1, значит х = 0.
5х = 5, значит х = 1.
Ответ: x = 0; 1.
Вынесение общего множителя
В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить.
Общий множитель — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение.
Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.
Пример 1
3х+1 + 3х — 3х-2 = 35
Вынесем 33-x за скобки и получим:
3х-2(33 + 32 — 1) = 35
3х-2 × 35 = 35
3
Поскольку 1 равно любое число в нулевой степени, мы можем записать:
3х-2 = 30
х — 2 = 0
х = 2
Ответ: х = 2.
Пример 2
5 × 3-3х+1 + 3-3х+2 = 24
Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3-3х+2 = 3-3х+1+1 = 3 · 3-3х+1.
Теперь у нас есть общий множитель 3-3х+1, который можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:
3-3х+1(5+3) = 24
8 · 3-3х+1 = 24
3-3х+1 = 31
-3х + 1 = 1
х = 0
Ответ: х = 0.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Яна Кононенко
К предыдущей статье
Показательные неравенства
К следующей статье
Параллельность прямых
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
| 1 | Множитель | x^2-4 | |
| 2 | Множитель | 4x^2+20x+16 | |
| 3 | График | y=-x^2 | |
| 4 | Вычислить | 2+2 | |
| 5 | Множитель | x^2-25 | |
| 6 | Множитель | x^2+5x+6 | |
| 7 | Множитель | x^2-9 | |
| 8 | Множитель | x^3-8 | |
| 9 | Вычислить | квадратный корень из 12 | |
| 10 | Вычислить | квадратный корень из 20 | |
| 11 | Вычислить | квадратный корень из 50 | |
| 12 | Множитель | x^2-16 | |
| 13 | Вычислить | квадратный корень из 75 | |
| 14 | Множитель | x^2-1 | |
| 15 | Множитель | x^3+8 | |
| 16 | Вычислить | -2^2 | |
| 17 | Вычислить | квадратный корень из (-3)^4 | |
| 18 | Вычислить | квадратный корень из 45 | |
| 19 | Вычислить | квадратный корень из 32 | |
| 20 | Вычислить | квадратный корень из 18 | |
| 21 | Множитель | x^4-16 | |
| 22 | Вычислить | квадратный корень из 48 | |
| 23 | Вычислить | квадратный корень из 72 | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из (-2)^4 | |
| 25 | Множитель | x^3-27 | |
| 26 | Вычислить | -3^2 | |
| 27 | Множитель | x^4-1 | |
| 28 | Множитель | x^2+x-6 | |
| 29 | Множитель | x^3+27 | |
| 30 | Множитель | x^2-5x+6 | |
| 31 | Вычислить | квадратный корень из 24 | |
| 32 | Множитель | x^2-36 | |
| 33 | Множитель | x^2-4x+4 | |
| 34 | Вычислить | -4^2 | |
| 35 | Множитель | x^2-x-6 | |
| 36 | Множитель | x^4-81 | |
| 37 | Множитель | x^3-64 | |
| 38 | Вычислить | 4^3 | |
| 39 | Множитель | x^3-1 | |
| 40 | График | y=x^2 | |
| 41 | Вычислить | 2^3 | |
| 42 | Вычислить | (-12+ квадратный корень из -18)/60 | |
| 43 | Множитель | x^2-6x+9 | |
| 44 | Множитель | x^2-64 | |
| 45 | График | y=2x | |
| 46 | Множитель | x^3+64 | |
| 47 | Вычислить | (-8+ квадратный корень из -12)/40 | |
| 48 | Множитель | x^2-8x+16 | |
| 49 | Вычислить | 3^4 | |
| 50 | Вычислить | -5^2 | |
| 51 | Множитель | x^2-49 | |
| 52 | Вычислить | (-20+ квадратный корень из -75)/40 | |
| 53 | Множитель | x^2+6x+9 | |
| 54 | Множитель | 4x^2-25 | |
| 55 | Вычислить | квадратный корень из 28 | |
| 56 | Множитель | x^2-81 | |
| 57 | Вычислить | 2^5 | |
| 58 | Вычислить | -8^2 | |
| 59 | Вычислить | 2^4 | |
| 60 | Множитель | 4x^2-9 | |
| 61 | Вычислить | (-20+ квадратный корень из -50)/60 | |
| 62 | Вычислить | (-8+ квадратный корень из -20)/24 | |
| 63 | Множитель | x^2+4x+4 | |
| 64 | Множитель | x^2-10x+25 | |
| 65 | Вычислить | квадратный корень из -16 | |
| 66 | Множитель | x^2-2x+1 | |
| 67 | Вычислить | -7^2 | |
| 68 | График | f(x)=2^x | |
| 69 | Вычислить | 2^-2 | |
| 70 | Вычислить | квадратный корень из 27 | |
| 71 | Вычислить | квадратный корень из 80 | |
| 72 | Множитель | x^3+125 | |
| 73 | Вычислить | -9^2 | |
| 74 | Множитель | 2x^2-5x-3 | |
| 75 | Вычислить | квадратный корень из 40 | |
| 76 | Множитель | x^2+2x+1 | |
| 77 | Множитель | x^2+8x+16 | |
| 78 | График | y=3x | |
| 79 | Множитель | x^2+10x+25 | |
| 80 | Вычислить | 3^3 | |
| 81 | Вычислить | 5^-2 | |
| 82 | График | f(x)=x^2 | |
| 83 | Вычислить | квадратный корень из 54 | |
| 84 | Вычислить | (-12+ квадратный корень из -45)/24 | |
| 85 | Множитель | x^2+x-2 | |
| 86 | Вычислить | (-3)^3 | |
| 87 | Множитель | x^2-12x+36 | |
| 88 | Множитель | x^2+4 | |
| 89 | Вычислить | квадратный корень из (-8)^2 | |
| 90 | Множитель | x^2+7x+12 | |
| 91 | Вычислить | квадратный корень из -25 | |
| 92 | Множитель | x^2-x-20 | |
| 93 | Вычислить | 5^3 | |
| 94 | Множитель | x^2+8x+15 | |
| 95 | Множитель | x^2+7x+10 | |
| 96 | Множитель | 2x^2+5x-3 | |
| 97 | Вычислить квадратный корень | квадратный корень из 116 | |
| 98 | Множитель | x^2-x-12 | |
| 99 | Множитель | x^2-x-2 | |
| 100 | Вычислить | 2^2 |
Калькулятор дробей
Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами.
Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражения с дробями:
Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.
е. 1,45 .
Математические символы
| Символ | Название символа | Символ Значение | Пример | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| + | плюс | 0046 | 1/2 + 1/3 | ||||||||||||||||||||||
| — | знак минус | вычитание | 1 1/2 — 2/3 | ||||||||||||||||||||||
| * | звездочка | умножение | 2/3 * 3/4 9 | знак умножения | умножение | 2 /3 × 5/6 | |||||||||||||||||||
| : | знак деления | деление | 1/2 : 3 | ||||||||||||||||||||||
| 4 деления 4 деления 6 | деление | 1/3 / 5 1/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
больше задач по математике 8 Калькулятор дробей Правила выражений с дробями:Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями. Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью Математические символы
|
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой?
1/6 рядов — морковь. Остальное петрушка. Сколько рядов засажено петрушкой?
Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . 
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой?