1 2 3 решение: Такой страницы нет на нашем сайте.

Показательные уравнения — как решать? Примеры, свойства и определение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

138.7K

Тех, кто умеет решать квадратные уравнения, не испугает, если одну из переменных нужно будет возвести в степень. Если же искомый x находится не в основании степени, а в ее показателе — значит, нам встретились показательные уравнения. Узнаем о них подробнее и рассмотрим примеры с решениями за 10 класс — они пригодятся на ЕГЭ.

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Простейшее уравнение такого вида: a^х = b, где a > 0, a ≠ 1 и a^x = a^y.

Для решения даже простейших показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс тему «Свойства степенной функции» — советуем повторить ее перед тем, как читать дальнейший материал.

Показательной функцией называют такую: y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a < 1 (но больше 0) — непрерывно убывает. Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать

Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е. выражение у = a^x при а ≤ 0 корней не имеет.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут решать сложные показательные уравнения.

am · an	am+n
am:an	am-n
(a · b)n	an · bn
(a : b)n	an : bn
(an)m	an · m
a−n

Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Методы решения показательных уравнений

Самые короткие и простые показательные уравнения решаются легко при помощи свойств степеней. Например:

4^х = 64.

Требуется найти, в какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64.

4 · 4 · 4 = 64

4³ = 64

4^x = 4³

Х = 3

Но как решать показательные уравнения вот такого вида: ? Нужно немного повозиться с преобразованием этого выражения. Например, сделать так, чтобы либо основания, либо степенные показатели стали одинаковы. Для этого мы можем разложить 128 и 4. Вы ведь заметили, что у них есть общий множитель? Правильно, это 2.

Теперь в нашем уравнении появились одинаковые основания, а значит, мы можем приравнять и степени.

В данном случае мы используем один из алгоритмов решения показательных уравнений — привели обе части равенства к одинаковым основаниям. Дальше рассмотрим и другие методы.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Приведение к одинаковому основанию

Весомую часть уравнений вида а^х = b (при а и b 0) можно решить, превратив b в определенную степень числа a. Именно это мы сделали в примере выше, получив одинаковые основания. Главная трудность в том, чтобы найти у этих чисел общее основание.

Если у нас есть одинаковые основания, но разные показатели степени, то при умножении чисел степени складываются, а при делении — вычитаются.

Пример 1

Рассмотрим еще одно показательное уравнение с корнем.

Мы знаем, что 64 и 8 являются степенями 2. Попробуем использовать это, и тогда 64² = 2¹²

, а 8 = 2³.

Ответ: .

Пример 2

В этом примере показательного уравнения нужно будет отдельно преобразовать каждую составляющую.

(0,5)^х2 · 4^х+1 = 64^-1

Найдем общее основание показательных функций:

0,5 = 1/2 = 2⁻¹

4 = 2²

64 = 2⁶

В результате у нас получается:

(2⁻¹)^х2 · (2²)^х+1 = (2⁶)⁻¹

2^−х2 · 2^2х+2 = 2⁻⁶

2^−х2+2х+2 = 2⁻⁶

−х² + 2х + 2 = −6

х²− 2х − 8 = 0

Ответ: x = −2; 4.

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): a^xb^x = (ab)^x.

Пример

5^2х−4 = 49^2−х

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

5^2х−4 = 49^2−х

5^2х−4 = 7^4−2х

5^2х−4 = (1/7)^2х−4

35^2х−4 = 1

2х − 4 = 0

х = 2

Пример 2

2^х−2 = 5^2−х

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2^х−2 = 1/5^х−2

Теперь умножим обе части на 5^2−х и придем к уравнению:

2^х−2 × 5^2−х = 1

10^х−2 = 1

10^х−2 = 10⁰

х − 2 = 0

х = 2

Замена переменной

Суть этого способа решения показательных уравнений проста: мы заменяем «трудную» переменную на более простую и решаем уравнение, а после производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную стоит заменить.

Пример

4^x— 2^x+1— 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4^х = 2^2х, а 2^х+1 = 2 × 2^х.

2^2х — 2 × 2^х — 8 = 0

Что-то напоминает. 🤔 Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2^х, получилось бы обычное квадратное уравнение. Поэтому мы обозначим 2^х новой переменной — допустим, y.

Если 2^х = y, y > 0, то получается: у²— 2у — 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у₁ = 4, у₂ = -2.

Проведем обратную замену: 2^х = 4 (подходит по ограничениям).

х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 2

25^х — 6 × 5^х + 5 = 0

Если присмотреться к этому выражению, становится понятно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную: 5^х = у, y > 0.

у² — 6у + 5 = 0

Корни такого уравнения: 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5^х = 1, значит х = 0.

5^х = 5, значит х = 1.

Ответ: x = 0; 1.

Вынесение общего множителя

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить.

Общий множитель — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение.

Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3^х+1 + 3^х — 3^х-2 = 35

Вынесем 3^3-x за скобки и получим:

3^х-2(3³ + 3² — 1) = 35

3^х-2 × 35 = 35

3

х-2 = 1

Поскольку 1 равно любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3^х-2 = 3⁰

х — 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2

5 × 3^-3х+1 + 3^-3х+2 = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3^-3х+2 = 3^-3х+1+1 = 3 · 3^-3х+1.

Теперь у нас есть общий множитель 3^-3х+1, который можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3^-3х+1(5+3) = 24

8 · 3^-3х+1 = 24

3^-3х+1 = 3¹

-3х + 1 = 1

х = 0

Ответ: х = 0.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Яна Кононенко

К предыдущей статье

Показательные неравенства

К следующей статье

Параллельность прямых

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Mathway | Популярные задачи

1	Множитель	x^2-4
2	Множитель	4x^2+20x+16
3	График	y=-x^2
4	Вычислить	2+2
5	Множитель	x^2-25
6	Множитель	x^2+5x+6
7	Множитель	x^2-9
8	Множитель	x^3-8
9	Вычислить	квадратный корень из 12
10	Вычислить	квадратный корень из 20
11	Вычислить	квадратный корень из 50
12	Множитель	x^2-16
13	Вычислить	квадратный корень из 75
14	Множитель	x^2-1
15	Множитель	x^3+8
16	Вычислить	-2^2
17	Вычислить	квадратный корень из (-3)^4
18	Вычислить	квадратный корень из 45
19	Вычислить	квадратный корень из 32
20	Вычислить	квадратный корень из 18
21	Множитель	x^4-16
22	Вычислить	квадратный корень из 48
23	Вычислить	квадратный корень из 72
24	Вычислить	квадратный корень из (-2)^4
25	Множитель	x^3-27
26	Вычислить	-3^2
27	Множитель	x^4-1
28	Множитель	x^2+x-6
29	Множитель	x^3+27
30	Множитель	x^2-5x+6
31	Вычислить	квадратный корень из 24
32	Множитель	x^2-36
33	Множитель	x^2-4x+4
34	Вычислить	-4^2
35	Множитель	x^2-x-6
36	Множитель	x^4-81
37	Множитель	x^3-64
38	Вычислить	4^3
39	Множитель	x^3-1
40	График	y=x^2
41	Вычислить	2^3
42	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -18)/60
43	Множитель	x^2-6x+9
44	Множитель	x^2-64
45	График	y=2x
46	Множитель	x^3+64
47	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -12)/40
48	Множитель	x^2-8x+16
49	Вычислить	3^4
50	Вычислить	-5^2
51	Множитель	x^2-49
52	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -75)/40
53	Множитель	x^2+6x+9
54	Множитель	4x^2-25
55	Вычислить	квадратный корень из 28
56	Множитель	x^2-81
57	Вычислить	2^5
58	Вычислить	-8^2
59	Вычислить	2^4
60	Множитель	4x^2-9
61	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -50)/60
62	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -20)/24
63	Множитель	x^2+4x+4
64	Множитель	x^2-10x+25
65	Вычислить	квадратный корень из -16
66	Множитель	x^2-2x+1
67	Вычислить	-7^2
68	График	f(x)=2^x
69	Вычислить	2^-2
70	Вычислить	квадратный корень из 27
71	Вычислить	квадратный корень из 80
72	Множитель	x^3+125
73	Вычислить	-9^2
74	Множитель	2x^2-5x-3
75	Вычислить	квадратный корень из 40
76	Множитель	x^2+2x+1
77	Множитель	x^2+8x+16
78	График	y=3x
79	Множитель	x^2+10x+25
80	Вычислить	3^3
81	Вычислить	5^-2
82	График	f(x)=x^2
83	Вычислить	квадратный корень из 54
84	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -45)/24
85	Множитель	x^2+x-2
86	Вычислить	(-3)^3
87	Множитель	x^2-12x+36
88	Множитель	x^2+4
89	Вычислить	квадратный корень из (-8)^2
90	Множитель	x^2+7x+12
91	Вычислить	квадратный корень из -25
92	Множитель	x^2-x-20
93	Вычислить	5^3
94	Множитель	x^2+8x+15
95	Множитель	x^2+7x+10
96	Множитель	2x^2+5x-3
97	Вычислить квадратный корень	квадратный корень из 116
98	Множитель	x^2-x-12
99	Множитель	x^2-x-2
100	Вычислить	2^2

Калькулятор дробей

Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила выражения с дробями:

Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 .

Математические символы

46 5 ×

Символ	Название символа	Символ Значение	Пример
+	плюс	0046	1/2 + 1/3
—	знак минус	вычитание	1 1/2 — 2/3
*	звездочка	умножение	2/3 * 3/4 ​​ 9
знак умножения	умножение	2 /3 × 5/6
:	знак деления	деление	1/2 : 3
4 деления 4 деления 6	деление	1/3 / 5 1/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​ • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. GEMDAS — Символы группировки — скобки (){}, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS. Будьте осторожны; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо. Дробями Муравей за первый час поднимается на 2/5 шеста, а за следующий час – на 1/4 шеста. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа? В столовой В классной комнате Джейкоба 18 учеников. Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой? Дети Двое взрослых, двое детей и четверо младенцев находятся в автобусе. Какую часть населения составляют младенцы? Кто-то Кто-то съел 1/10 торта, осталось только 9/10. Если вы съедите 2/3 оставшегося торта, сколько всего торта вы съедите? Знаменатель 2 Знаменатель дроби равен пяти, а числитель равен 7. Запишите дробь. Корзина с фруктами Если в корзине семь яблок и пять апельсинов, какая часть апельсинов в корзине с фруктами? Четверть Четверть числа 72: Вычислите выражение Вычислите значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2 была использована сумма 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована? Наименьшие члены 2 Мы можем записать выражение 4/12 в его наименьшем члене как 1/3. Чему равно 3/15 в наименьшем члене? Петрушка Бабушка Милки посадила 12 рядов овощей. 1/6 рядов — морковь. Остальное петрушка. Сколько рядов засажено петрушкой? больше задач по математике 8 LCM GCD LCD комбинаторика уравнения статистика … все математические калькуляторы Калькулятор дробей Этот калькулятор дробей выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении. Правила выражений с дробями: Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями. Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 . Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 . Математические символы 8 0046 Символ Название символа Символ Значение Пример + знак плюс сложение 1/2 + 1/3 — знак минус вычитание 2 0/939 1 * звездочка умножение 2/3 * 3/4 ​​ × знак умножения умножение 2/3 ×9 4 : знак деления деление 91/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​ • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. GEMDAS — Символы группировки — скобки (){}, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS. Будьте осторожны; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо. Дробями Муравей за первый час поднимается на 2/5 шеста, а за следующий час – на 1/4 шеста. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа? В столовой В классной комнате Джейкоба 18 учеников. Шесть учеников приносят обед в школу. Остальные обедают в столовой. Проще говоря, какая часть студентов обедает в столовой? Дети Двое взрослых, двое детей и четверо младенцев находятся в автобусе. Какую часть населения составляют младенцы? Кто-то Кто-то съел 1/10 торта, осталось только 9/10. Если вы съедите 2/3 оставшегося торта, сколько всего торта вы съедите? Знаменатель 2 Знаменатель дроби равен пяти, а числитель равен 7. Запишите дробь. Корзина с фруктами Если в корзине семь яблок и пять апельсинов, какая часть апельсинов в корзине с фруктами? Четверть Четверть числа 72: Вычислите выражение Вычислите значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2 была использована сумма 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована? Наименьшие члены 2 Мы можем записать выражение 4/12 в его наименьшем члене как 1/3. Чему равно 3/15 в наименьшем члене? Петрушка Бабушка Милки посадила 12 рядов овощей. Leave a Reply Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт