2 3 5 6 x 1 12: 2/3 — ( 5/6 — x) = 1/12 — Агентство недвижимости Люберцы

Содержание

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
если а равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

кубические
уравнение четвёртой степени
иррациональные и рациональные
системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
6x −5x = 10
Приведем подобные и завершим решение.
x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | :(−4)
x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

6х = 19 — 1
Выполнить вычитание.
6х = 18
Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
Приведем подобные члены.
0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

Найти неизвестную переменную.
х = 1/8 : 4
х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

4х + 8 = 6 — 7х
4х + 7х = 6 — 8
11х = −2
х = −2 : 11
х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
х — х = 4 — 7
Приведем подобные члены.
0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

2х + 6 = 5 — 7х
2х + 6х = 5 — 7
8х = −2
х = −2 : 8
х = — 0,25

Ответ: — 0,25.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.

Решить уравнения с пропорцией:

1) 25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

Ответ: 45.

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10.

В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10:

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

Ответ: 10,5.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: 1,12.

Задачи по Python 3 для начинающих от Tproger и GeekBrains

Вместе с факультетом Python-разработки GeekUniversity собрали для вас несколько простых задач по Python для обучения и тренировки. Их можно решать в любом порядке.

Обратите внимание, что у любой задачи по программированию может быть несколько способов решения. Чтобы посмотреть добавленный нами вариант решения, кликните по соответствующей кнопке. Все приведённые варианты написаны на Python 3.

***

Задача 1

Есть список a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89].

Выведите все элементы, которые меньше 5.

Самый простой вариант, который первым приходит на ум — использовать цикл for:

for elem in a:
    if elem < 5:
        print(elem)

Также можно воспользоваться функцией filter, которая фильтрует элементы согласно заданному условию:

print(list(filter(lambda elem: elem < 5, a)))

И, вероятно, наиболее предпочтительный вариант решения этой задачи — списковое включение:

print([elem for elem in a if elem < 5])

Задача 2

Даны списки:

a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89];

b = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].

Нужно вернуть список, который состоит из элементов, общих для этих двух списков.

Можем воспользоваться функцией filter:

result = list(filter(lambda elem: elem in b, a))

Или списковым включением:

result = [elem for elem in a if elem in b]

А можно привести оба списка к множествам и найти их пересечение:

result = list(set(a) & set(b))

Однако в таком случае каждый элемент встретится в результирующем списке лишь один раз, т.к. множество поддерживает уникальность входящих в него элементов. Первые два решения (с фильтрацией) оставят все дубли на своих местах.

Задача 3

Отсортируйте словарь по значению в порядке возрастания и убывания.

Импортируем нужный модуль и объявляем словарь:

import operator 
d = {1: 2, 3: 4, 4: 3, 2: 1, 0: 0}

Сортируем в порядке возрастания:

result = dict(sorted(d.items(), key=operator. itemgetter(1)))

И в порядке убывания:

result = dict(sorted(d.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True))

Задача 4

Напишите программу для слияния нескольких словарей в один.

Допустим, вот наши словари:

dict_a = {1:10, 2:20}
dict_b = {3:30, 4:40}
dict_c = {5:50, 6:60}

Объединить их можно вот так:

result = {}
for d in (dict_a, dict_b, dict_c):
    result.update(d)

А можно с помощью «звёздочного» синтаксиса:

result = {**dict_a, **dict_b, **dict_c}

О звёздочном синтаксисе можно прочитать в нашей статье.

Задача 5

Найдите три ключа с самыми высокими значениями в словаре my_dict = {'a':500, 'b':5874, 'c': 560,'d':400, 'e':5874, 'f': 20}.

Можно воспользоваться функцией sorted:

result = sorted(my_dict, key=my_dict.get, reverse=True)[:3]

Аналогичный результат можно получить с помощью функции nlargest из модуля heapq:

from heapq import nlargest
result = nlargest(3, my_dict, key=my_dict. get)

Читайте также: Всё о сортировке на Python

Задача 6

Напишите код, который переводит целое число в строку, при том что его можно применить в любой системе счисления.

Второй аргумент функции int отвечает за указание основания системы счисления:

print(int('ABC', 16))

Задача 7

Нужно вывести первые n строк треугольника Паскаля. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух расположенных над ним чисел.

def pascal_triangle(n):
   row = [1]
   y = [0]
   for x in range(max(n, 0)):
      print(row)
      row = [left + right for left, right in zip(row + y, y + row)]
   
pascal_triangle(6)

Задача 8

Напишите проверку на то, является ли строка палиндромом. Палиндром — это слово или фраза, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.

Тут всё просто, достаточно сравнить строку с её обратной версией, для чего можно использовать встроенную функцию reversed:

def is_palindrome(string):
    return string == ''.join(reversed(string))

print(is_palindrome('abba'))

Того же эффекта можно добиться с помощью срезов:

def is_palindrome(string):
    return string == string[::-1]

print(is_palindrome('abba'))

Задача 9

Сделайте так, чтобы число секунд отображалось в виде дни:часы:минуты:секунды.

def convert(seconds):
    days = seconds // (24 * 3600)
    seconds %= 24 * 3600
    hours = seconds // 3600
    seconds %= 3600
    minutes = seconds // 60
    seconds %= 60
    print(f'{days}:{hours}:{minutes}:{seconds}')

convert(1234565)

Задача 10

Вы принимаете от пользователя последовательность чисел, разделённых запятой. Составьте список и кортеж с этими числами.

values = input('Введите числа через запятую: ')
ints_as_strings = values.split(',')
ints = map(int, ints_as_strings)
lst = list(ints)
tup = tuple(lst)
print('Список:', lst)
print('Кортеж:', tup)

Задача 11

Выведите первый и последний элемент списка.

lst = [1, 2, 3, 4, 5]
print(f'Первый: {lst[0]}; последний: {lst[-1]}')

Задача 12

Напишите программу, которая принимает имя файла и выводит его расширение. Если расширение у файла определить невозможно, выбросите исключение.

def get_extension(filename):
    filename_parts = filename.split('.')
    if len(filename_parts) < 2:  # filename has no dots
        raise ValueError('the file has no extension')
    first, *middle, last = filename_parts
    if not last or not first and not middle:
        # example filenames: . filename, filename., file.name.
        raise ValueError('the file has no extension')
    return filename_parts[-1]

print(get_extension('abc.py'))
print(get_extension('abc'))  # raises ValueError
print(get_extension('.abc'))   # raises ValueError
print(get_extension('.abc.def.'))   # raises ValueError

Задача 13

При заданном целом числе n посчитайте n + nn + nnn.

def solve(n):
    n1 = n
    n2 = int(str(n) * 2)
    n3 = int(str(n) * 3)
    print(n1 + n2 + n3)

solve(5)

Задача 14

Напишите программу, которая выводит чётные числа из заданного списка и останавливается, если встречает число 237.

numbers = [    
    386, 462, 47, 418, 907, 344, 236, 375, 823, 566, 597, 978, 328, 615, 953, 345, 
    399, 162, 758, 219, 918, 237, 412, 566, 826, 248, 866, 950, 626, 949, 687, 217, 
]

for x in numbers:
    if x == 237:
        break
    elif x % 2 == 0:
        print(x)

Задача 15

Напишите программу, которая принимает два списка и выводит все элементы первого, которых нет во втором.

set_1 = set(['White', 'Black', 'Red'])
set_2 = set(['Red', 'Green'])

print(set_1 - set_2)

Задача 16

Выведите список файлов в указанной директории.

from os import listdir
from os.path import isfile, join
files = [f for f in listdir('/home') if isfile(join('/home', f))]
print(files)

Задача 17

Сложите цифры целого числа.

def sum_digits(num):
    digits = [int(d) for d in str(num)]
    return sum(digits)

print(sum_digits(5245))

Задача 18

Посчитайте, сколько раз символ встречается в строке.

string = 'Python Software Foundation'
string.count('o')

Задача 19

Поменяйте значения переменных местами.

Можно написать монструозную конструкцию в стиле языка C:

x = 5
y = 10
temp = x
x = y
y = temp

Но в Python есть более удобный способ для решения этой задачи:

x = 5
y = 10
x, y = y, x

Задача 20

С помощью анонимной функции извлеките из списка числа, делимые на 15.

nums = [45, 55, 60, 37, 100, 105, 220]
result = list(filter(lambda x: not x % 15, nums))

Задача 21

Нужно проверить, все ли числа в последовательности уникальны.

def all_unique(numbers):
    return len(numbers) == len(set(numbers))

Задача 22

Напишите программу, которая принимает текст и выводит два слова: наиболее часто встречающееся и самое длинное.

import collections

text = 'lorem ipsum dolor sit amet amet amet'
words = text.split()
counter = collections.Counter(words)
most_common, occurrences = counter.most_common()[0]

longest = max(words, key=len)

print(most_common, longest)

***

Хотите вырасти от новичка до профессионала? Факультет Python-разработки GeekUniversity даёт год опыта для вашего резюме. Обучайтесь на практических заданиях, по-настоящему освойте Python и станьте ближе к профессии мечты.
Узнать больше

Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath

Purplemath

Хотя добавление и вычитание рациональных выражений может быть настоящей головной болью, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если рациональные выражения добавляются в эти уравнения. (Обратите внимание, что я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я просто говорю, что это просто или .) Это потому, что, как только вы перейдете от рационального выражения (то есть чего-то без знака «равно» в нем) к рациональному уравнению (то есть чему-то со знаком «равно» посередине), вы получите совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, если у вас есть знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.

MathHelp.com

Решите следующее уравнение:

Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?
У меня две дроби.У этих дробей один и тот же знаменатель. Эти дроби будут равны, если их числители также совпадают, и только тогда. Итак, я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:
.
Решите следующее уравнение:
( x — 3) / 7 = (4 x + 12) / 7
В этом уравнении дроби по обе стороны от знака «равно».У двух дробей одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, когда их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:
x — 3 = 4 x + 12
–3 — 12 = 4 x — x
–15 = 3 x
–5 = x
Решите следующее уравнение:
В этом уравнении есть две равные друг другу дроби (которые можно рассматривать как пропорцию). Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.
Метод 1: преобразование к общему знаменателю:
Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:
Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:
Метод 2: Умножение на общий знаменатель:
Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:
x — 1 = 2 (3)
х — 1 = 6
х = 7
Метод 3: Перекрестное умножение:
Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят. Но это термин, который вы услышите, и он обозначает метод, который может оказаться полезным.
Так как это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал это:
Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.
Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:
5 ( x — 1) = 15 (2)
5 х — 5 = 30
5 х = 35
х = 7
Итак, по каждому из методов мой ответ:
Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равную ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, должны использовать Метод 1 или Метод 2.
Решите следующее уравнение:
В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:
Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5 x ( x + 2), а затем сравнить числители:
Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями x быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:
15 x — (5 x + 10) = x + 2
10 x — 10 = x + 2
9 х = 12
x = ¹²/₉ = ⁴/₃
Так как x = ⁴/₃ не вызовет каких-либо проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, то это решение действительно.
Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу обе части на общий знаменатель. Это избавит от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:
В любом случае мой ответ один и тот же:
Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты обычно довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm
Решение рациональных уравнений — ChiliMath
Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название для дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.
В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!
Примеры решения рациональных уравнений
Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.
ЖК-дисплей 6x.Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.
Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.
Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.
Ну вот.
Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.
Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
ЖК-дисплей 9x.Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас в том, что оно работает.
Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).
ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.
Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).
Объедините константы в левой части уравнения.
Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.
Это должно сработать, так что да, окончательный ответ — x = 2.
Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и в дальнейшем это будет иметь больше смысла.
Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.
Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
ЖК-дисплей — 4 \ left ({x + 2} \ right).Умножьте на него каждую часть уравнения.
После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.
Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.
Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.
Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
Сохранение x слева означает вычитание обеих сторон на 4.
Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.
Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?
Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.
ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
Так должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.
Укажите константу в круглых скобках.
Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?
Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.
Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.
Умножьте вместе единицы с высшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
Прежде чем я распределяю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.
Это помогает в отмене общих условий позже.
Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
Избавьтесь от скобок при распределении свойств.
У вас должно получиться очень простое уравнение.
Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.
ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.
Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?
Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
Переместите все константы вправо.
Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.
Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».
Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений
Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей
Выносим за скобки знаменатели.
Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.
Будьте осторожны со своими отменами.
У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.
С каждым шагом становится все проще!
Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.
Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
Переместите все чистые числа вправо.
Вычтем обе стороны на 15.
Простое одношаговое уравнение.
Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте проверить значение в исходном уравнении для проверки.
Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.
Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.
Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖК-дисплей.
Полностью вынести за скобки знаменатели
Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.
Умножьте константы в скобки.
Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
Держите константы справа.
Складываем обе стороны на 8, чтобы найти x. Сделанный!
Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем умножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
Итак, у нас есть
Выносим полностью знаменатели за скобки.
Разделите найденный выше ЖК-дисплей на рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
Укажите константу в круглых скобках.
Критический этап : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (и переменные, и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL.
Используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти x.
Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.
Опять же, всегда проверяйте решенные ответы обратно на исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.
Практика с рабочими листами
Возможно, вас заинтересует:
Сложение и вычитание рациональных выражений
Умножение рациональных выражений
Решение рациональных неравенств
вопросов по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса
Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам алгебры 9 класса.
Упростите следующие алгебраические выражения.
— 6x + 5 + 12x -6
2 (х — 9) + 6 (-x + 2) + 4x
3x ² + 12 + 9x — 20 + 6x ² — x
(х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)
1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)
(x ² y) (xy ²)
(-x ² y ²) (xy ²)
Решение
Сгруппируйте похожие термины и упростите.
— 6x + 5 + 12x -6 = (- 6x + 12x) + (5-6)
= 6x — 1
Раскройте скобки.
2 (x — 9) + 6 (-x + 2) + 4x = 2x — 18 — 6x + 12 + 4x
Группируйте термины и упрощайте.
= (2x — 6x + 4x) + (- 18 + 12) = — 6
Сгруппируйте похожие термины и упростите.
3x ² + 12 + 9x — 20 + 6x ² — x
= (3x ² + 6x ²) + (9x — x) + (12-20)
= 9x ² + 8x — 8
Раскройте скобки.
(х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)
= x ² + 4x + 2x + 8 — x ² — x — 5x — 5
Сгруппировать похожие термины.
= (x ² — x ²) + (4x + 2x — x — 5x) + (8-5)
= 3
Разверните и сгруппируйте.
1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)
= 1,2x — 10,8 — 2,3x — 9,2
= -1,1x — 20
Перепишем следующим образом.
(x ² y) (xy ²) = (x ² x) (y y ²)
Используйте правила экспоненты.
= x ³ y ³
Перепишите выражение следующим образом.
(-x ² y ²) (xy ²) = — (x ² x) (y ² y ²)
Используйте правила экспоненты.
= — x ³ y ⁴
Упростите выражения.
(a b ²) (a ³ b) / (a ² b ³)
(21 x ⁵) / (3 x ⁴)
(6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)]
(4x — 12) / 4
(-5x — 10) / (x + 2)
(x ² — 4x — 12) / (x ² — 2 x — 24)
Решение
Используйте экспоненциальные правила, чтобы сначала упростить числитель.
(a b ²) (a ³ b) / (a ² b ³) = (a ⁴ b ³) / (a ² b ³)
Перепишите следующим образом.
(a ⁴ / a ²) (b ³ / b ³)
Используйте правило частного экспонент для упрощения.
= ²
Перепишите следующим образом.
(21 x ⁵) / (3 x ⁴) = (21/3) (x ⁵ / x ⁴)
Упростить.
= 7 х
(6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)]
Умножьте члены в числителе и знаменателе и упростите.
(6 x ⁴) (4 y ²) / [(3 x ²) (16 y)] = (24 x ⁴ y ²) / (48 x ² y)
Перепишите следующим образом.
= (24/48) (x ⁴ / x ²) (y ² / y)
Упростить.
= (1/2) x ² y
Выносим множитель 4 в числитель.
(4х — 12) / 4 = 4 (х — 3) / 4
Упростить.
= х — 3
Выносим множитель -5 в числитель.
(-5x — 10) / (x + 2) = — 5 (x + 2) / (x + 2)
Упростить.
= — 5
Разложите на множители числитель и знаменатель следующим образом.
(x ² — 4x — 12) / (x ² — 2x — 24) = [(x — 6) (x + 2)] / [(x — 6) (x + 4)]
Упростить.
= (x + 2) / (x + 4), для всех x не равно 6
Решите относительно x следующие линейные уравнения.
2x = 6
6x — 8 = 4x + 4
4 (х — 2) = 2 (х + 3) + 7
0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
— х / 5 = 2
(х — 4) / (- 6) = 3
(-3x + 1) / (x — 2) = -3
х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5
Решение
Разделите обе части уравнения на 2 и упростите.
2x / 2 = 6/2
х = 3
Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины.
6х — 8 + 8 = 4х + 4 + 8
6х = 4х + 12
Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать термины.
6x — 4x = 4x + 12 — 4x
2x = 12
Разделите обе стороны на 2 и упростите.
х = 6
Раскройте скобки.
4х — 8 = 2х + 6 + 7
Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины.
4х — 8 + 8 = 2х + 6 + 7 + 8
4х = 2х + 21
Добавить — 2x в обе стороны и сгруппировать термины.
4х — 2х = 2х + 21 — 2х
2x = 21
Разделите обе стороны на 2.
х = 21/2
Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите.
0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2.3
0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6
0,1 х = 0,2 х + 3,9
Добавить — 0,2 x в обе стороны и упростить.
0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х
— 0,1 х = 3,9
Разделите обе части на — 0,1 и упростите.
х = — 39
Умножьте обе стороны на — 5 и упростите.
— 5 (- х / 5) = — 5 (2)
х = — 10
Умножьте обе стороны на — 6 и упростите.
(-6) (х — 4) / (- 6) = (-6) 3
х — 4 = — 18
Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
х = — 14
Умножьте обе стороны на (x — 2) и упростите.
(х — 2) (- 3x + 1) / (х — 2) = -3 (х — 2)
Развернуть правый термин.
-3x + 1 = -3x + 6
Добавьте 3x к обеим сторонам и упростите.
— 3x + 1 + 3x = — 3x + 6 + 3x
1 = 6
Последнее утверждение неверно, и уравнение не имеет решений.
Умножьте все члены на НОК 5 и 3, что равно 15.
15 (х / 5) + 15 (х — 1) / 3 = 15 (1/5)
Упрощайте и расширяйте.
3x + 15x — 15 = 3
Сгруппируйте понравившиеся термины и решите.
18 х = 3 + 15
18 х = 18
х = 1
Найдите реальные решения следующих квадратных уравнений.
2 х ² — 8 = 0
х ² = -5
2x ² + 5x — 7 = 0
(х — 2) (х + 3) = 0
(х + 7) (х — 1) = 9
х (х — 6) = -9
Решение
Разделите все термины на 2.
2 x ²/2 — 8/2 = 0/2
и упростить
х ² — 4 = 0
Фактор правой стороны.
(х — 2) (х + 2) = 0
Решите относительно x.
x — 2 = 0 или x = 2
x + 2 = 0 или x = -2
Набор решений {-2, 2}
Данное уравнение x ² = -5 не имеет реального решения, поскольку квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
Разложите левую сторону на множители следующим образом.
2x ² + 5x — 7 = 0
Фактор
(2x + 7) (x — 1) = 0
Решите относительно x.
2x + 7 = 0 или x — 1 = 0
x = — 7/2, x = 1, набор решений: {- 7/2, 1}
Решите для x.
(х — 2) (х + 3) = 0
x — 2 = 0 или x + 3 = 0 Набор решений
: {-3, 2}
Разверните левую часть.
x ² + 6x — 7 = 9
Перепишите приведенное выше уравнение с правой частью, равной 0.
x ² + 6x — 16 = 0
Фактор левой стороны.
(х + 8) (х — 2) = 0
Решите относительно x.
x + 8 = 0 или x — 2 = 0 Набор решений
: {-8, 2}
Разверните левую часть и перепишите так, чтобы правая сторона была равна нулю.
x ² — 6x + 9 = 0
Фактор левой стороны.
(х — 3) ² = 0
Решите относительно x.
х — 3 = 0 Набор растворов
: {3}
Найдите любые реальные решения для следующих уравнений.
х ³ — 1728 = 0
х ³ = — 64
√x = -1
√x = 5
√ (х / 100) = 4
√ (200 / х) = 2
Решение
Перепишем уравнение как.
х ³ = 1728
Возьмите кубический корень с каждой стороны.
(x ³) ^1/3 = (1728) ^1/3
Упростить.
х = (1728) ^1/3 = 12
Возьмите кубический корень с каждой стороны.
(x ³) ^1/3 = (- 64) ^1/3
Упростить.
х = — 4
Уравнение √x = — 1 не имеет реального решения, потому что квадрат действительного числа больше или равен нулю.
Выровняйте обе стороны.
(√x) ² = 5 ²
Упростить.
х = 25
Выровняйте обе стороны.
(√ (x / 100)) ² = 4 ²
Упростить.
х / 100 = 16
Умножьте обе стороны на 100 и упростите.
х = 1,600
Выровняйте обе стороны.
(√ (200 / x)) ² = 2 ²
Упростить.
200 / х = 4
Умножьте обе стороны на x и упростите.
х (200 / х) = 4 х
200 = 4 х
Решите относительно x.
х = 50
Оцените указанные значения a и b .
a ² + b ², для a = 2 и b = 2
| 2a — 3b | , для a = -3 и b = 5
3a ³ — 4b ⁴, для a = -1 и b = -2
Решение
Замените a и b их значениями и оцените.
для a = 2 и b = 2
a ² + b ² = 2 ² + 2 ² = 8
Установите a = — 3 и b = 5 в данном выражении и оцените.
| 2a — 3b | = | 2 (-3) — 3 (5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените.
3a ³ — 4b ⁴ = 3 (-1) ³-4 (-2) ⁴ = 3 (-1) — 4 (16) = — 3-64 = — 67
Решите следующие неравенства.
х + 3 <0
х + 1> -x + 5
2 (х — 2) <- (х + 7)
Решение
Добавьте -3 к обеим сторонам неравенства и упростите.
х + 3 — 3 <0 - 3
х <-3
Добавьте x к обеим сторонам неравенства и упростите.
х + 1 + х> — х + 5 + х
2x + 1> 5
Добавьте -1 к обеим сторонам неравенства и упростите.
2x + 1 — 1> 5 — 1
2x> 4
Разделите обе стороны на 2.
х> 2
Разверните скобки и сгруппируйте похожие термины.
2х — 4 <- х - 7
Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
2х — 4 + 4 <- х - 7 + 4
2х <- х - 3
Добавьте x к обеим сторонам и упростите.
2х + х <- х - 3 + х
3x <- 3
Разделите обе стороны на 3 и упростите.
х <- 1
При каком значении постоянной k квадратное уравнение x ² + 2x = — 2k имеет два различных действительных решения?
Решение
Сначала находим записанное уравнение с правой частью, равной нулю.
x ² + 2x + 2k = 0
Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения.
D = b ² — 4 a c = 2 ² — 4 (1) (2k) = 4-8 k
Чтобы решение имело два различных действительных решения, D должно быть положительным.Следовательно
4-8 k> 0
Решите неравенство, чтобы получить
к <1/2
При каком значении постоянной b линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2?
Решение
Решите относительно y и определите наклон
б у = — 2 х + 2
у = (- 2 / б) х + 2 / б
наклон = (- 2 / b) = 2
Решите уравнение (- 2 / b) = 2 для б
(- 2 / б) = 2
-2 = 2 б
b = — 1
Какова точка пересечения оси y линии — 4 x + 6 y = — 12 ?
Решение
Задайте x = 0 в уравнении и решите относительно y.
— 4 (0) + 6 y = — 12
6 лет = — 12
у = — 2
y точка пересечения: (0, — 2)
Каков отрезок оси x линии — 3 x + y = 3 ?
Решение
Задайте y = 0 в уравнении и решите относительно x.
— 3 х + 0 = 3
х = -1
x перехват: (-1, 0)
Какая точка пересечения линий x — y = 3 и — 5 x — 2 y = — 22 ?
Решение
Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых.Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 можно решить относительно x, чтобы получить
х = 3 + у
Заменим x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и решим относительно y
-5 (3 + у) — 2 у = — 22
-15-5 лет — 2 года = — 22
-7 лет = — 22 + 15
-7 г = — 7
у = 1
Заменим x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и решим относительно y
х = 3 + у = 3 + 1 = 4
Точка пересечения: (4, 1)
При каком значении константы k линия — 4 x + k y = 2 проходит через точку (2, -3) ?
Решение
Чтобы линия прошла через точку (2, -3) , упорядоченная пара (2, -3) должна быть решением уравнения прямой.Мы заменяем x на 2 и d y на — 3 в уравнении.
— 4 (2) + к (-3) = 2
Решите относительно k, чтобы получить
к = — 10/3
Каков наклон прямой с уравнением y — 4 = 10 ?
Решение
Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и укажите наклон m.
у = 14
Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.
Каков наклон прямой с уравнением 2 x = -8 ?
Решение
Вышеупомянутое уравнение можно записать как
х = — 4
Это вертикальная линия, поэтому ее наклон не определен.
Найдите точки пересечения оси x и y линии с помощью уравнения x = — 3 ?
Решение
Это вертикальная линия с точкой пересечения x, заданной только
(-3, 0)
Найдите точки пересечения x и y прямой с помощью уравнения 3 y — 6 = 3 ?
Решение
Данное уравнение можно записать как
у = 3
Это горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданной только
(0, 3)
Каков наклон прямой, параллельной оси x?
Решение
Прямая, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.
Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x?
Решение
Линия, перпендикулярная оси x, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.
Дополнительные ссылки и ссылки
Математика для средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика для средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница
пожаловаться на это объявление
Как считать дроби: пошаговое руководство
Что такое дроби?
Дроби — это числовые величины, представляющие значения меньше единицы.Также известные как дробные числа, они обычно используются для измерения частей целого, например:
Одна половина (1/2)
Одна пятая (1/5)
Две трети (2/3)
Дроби состоят из двух чисел, одного над и под разделительной линией.
Нижнее число известно как знаменатель и относится к отдельным частям целого.
Когда мы говорим о знаменателе, мы используем порядковые числа, то есть числа, определяющие положение, например, «третье» или «четвертое».
Верхнее число дроби называется числителем и указывает, со сколькими частями целого мы имеем дело.
Самый простой способ определить дробь — представить себе пирог, который поровну разделен на шесть частей.
Пирог — это целое, а отдельные кусочки — это части целого. Поскольку у нас шесть равных частей одного целого, наш знаменатель здесь 6.
Если мы возьмем один кусок пирога, у нас будет одна шестая (1/6). Два среза эквивалентны двум шестым (2/6) и так далее.
Само по себе это довольно просто понять. Однако существуют разные типы дробей и разные методы для выполнения каждого типа дробного уравнения.
Ключевые факты о фракциях
Чтобы понять, как вычислить дроби, важно усвоить основы. Во-первых, давайте посмотрим на три различных типа дробей:
Определения и примеры дробей
Правильная дробь — Правильная дробь — это дробь, в которой числитель имеет меньшее значение, чем знаменатель.1/2, 10/15 и 85/100 — все примеры правильных дробей. Общее значение правильной дроби всегда меньше единицы.
Неправильная дробь — В неправильной дроби значение числителя больше, чем знаменателя. 6/3, 25/18 и 50/20 — это примеры неправильных дробей. Общее значение неправильной дроби всегда больше единицы.
Смешанные фракции — Смешанные дроби представлены целым числом, за которым следует дробное число, например 2⅔, 6⅘ или 25⅝.Смешанные фракции также известны как смешанные числа.
Ключевые термины
Теперь, когда мы знаем различные типы дробей, давайте посмотрим на некоторые другие ключевые термины и фразы:
Эквивалентные дроби — Это дроби, которые выглядят разными, но имеют одинаковое значение. Например, 2/3 — это то же самое, что 4/6.
Упрощенные дроби — Это дроби, приведенные к наименьшей форме. По сути, это более низкий эквивалент более высокой фракции.Итак, используя приведенный выше пример, 2/3 — это упрощенная версия 4/6.
Обратные вычисления — Здесь дробь переворачивается путем размещения знаменателя над числителем. Например, величина, обратная 2/3, равна 3/2. Обратные используются при делении и умножении дробей (5 ÷ 1/5 то же самое, что 5 x 5/1 или 5 x 5).
Дроби также могут быть представлены в виде десятичных знаков и процентов . Мы посмотрим, как преобразовать дроби в приведенных ниже примерах уравнений.
10 простых задач дроби и способы их решения
Ниже приведены десять примеров дробных уравнений и инструкции по их решению. Если вы работаете с дробями на экзамене, обязательно покажите свой метод.
1. Как преобразовать смешанную фракцию в неправильную дробь
Как уже говорилось, смешанная дробь состоит из целого числа, за которым следует дробное число. В этом примере мы будем использовать смешанную дробь семи и четырех пятых, записанную в цифровом виде как 7⅘.
На запрос преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь:
Сначала умножьте целое число на знаменатель дробной части.
Возьмите полученную цифру и прибавьте ее к числителю дроби.
Возьмите эту последнюю цифру в качестве нового числителя и поместите ее над исходным знаменателем. Это дает вам неправильную дробь.
Пример:
Используя нашу смешанную дробь 7⅘:
Целое число, умноженное на дробный знаменатель: 7 x 5 = 35
Добавьте результат к дробному числителю: 35 + 4 = 39
Поставим над первоначальным знаменателем: 39/5
Следовательно, правильный ответ: 7⅘ = 39/5
2.Как преобразовать дробную часть в десятичную
Поскольку оба используются для определения значений меньше единицы, десятичная дробь — это просто другой способ представления дроби.
Метод, используемый для преобразования дроби в десятичную дробь, представляет собой простое деление: вы просто делите числитель на знаменатель.
Пример:
Возьмите дробь 3/10. Разделите числитель на знаменатель, чтобы получить десятичную цифру:
.
3 ÷ 10 = 0,3
Самый простой способ запомнить, как вычислять дроби как десятичные, — это думать о линии, разделяющей числитель и знаменатель, как о символе деления.
3. Как преобразовать дробь в процент
Есть три простых способа преобразовать дробь в проценты. Мы рассмотрим их все, используя одну и ту же долю 7/20.
Метод первый:
Разделите числитель на знаменатель, затем умножьте полученное число на 100, чтобы получить процентное преобразование:
7 ÷ 20 = 0,35
0,35 x 100 = 35%
Метод второй:
Умножьте числитель на 100, затем разделите полученное число на знаменатель:
7 x 100 = 700
700 ÷ 20 = 35%
Метод третий:
Разделите числитель на знаменатель и переместите десятичную запятую в вашем ответе на два разряда вправо:
7 ÷ 20 = 0.35
Перемещение десятичной точки дает конверсию 35%.
При преобразовании дроби в процент всегда не забывайте включать в свой ответ знак%.
4. Как складывать дроби
Процесс сложения дробей прост, если знаменатели совпадают.
В качестве основного примера возьмем 1/6 + 3/6. В этом случае у вас одинаковые знаменатели, поэтому просто сложите числители обеих дробей, придерживаясь нижней цифры 6:
.
1 + 3 = 4
Итак, 1/6 + 3/6 = 4/6
При сложении дробей, у которых нижние числа не совпадают, вам сначала нужно найти наименьший общий знаменатель .Это наименьшее число, целиком делимое на оба существующих знаменателя.
Пример:
1/4 + 2/3
Наименьшее число, которое делится как на 4, так и на 3, равно 12. Это ваш общий знаменатель.
Теперь вам нужно найти эквивалентные дроби, используя 12 в качестве нижнего числа.
Чтобы превратить 4 в 12, вы умножаете его на 3, поэтому вы также должны умножить числитель на 3, чтобы получить эквивалент дроби:
4 x 3 = 12 и 1 x 3 = 3
Таким образом, ваша доля, эквивалентная 1/4, равна 3/12
Используйте тот же метод для второй дроби :
3 x 4 = 12 и 2 x 4 = 8
Ваша эквивалентная дробь 2/3: 8/12
Теперь просто сложите числители и поместите ответ над 12:
.
3 + 8 = 11
Итак, 3/12 + 8/12 = 11/12
Правильный ответ на уравнение 1/4 + 2/3: 11/12
5.Как вычесть дроби
Как и при сложении, вычитание дробей выполняется легко, если знаменатели совпадают. Просто нужно вычесть второй числитель из первого, оставив нижнее число неизменным.
Пример:
Возьмите уравнение 4/7 — 3/7. У вас общий знаменатель, поэтому просто вычтите 3 из 4:
.
4–3 = 1
Итак, 4/7 — 3/7 = 1/7
Теперь давайте посмотрим на вычитание дробей с различными знаменателями .
Пример:
Возьмите уравнение 4/5 — 2/3
Сначала найдите наименьший общий знаменатель; в данном случае 15.
Теперь найдите эквивалентные дроби:
4/5 становится 12/15 (обе части умножаются на 3)
2/3 становится 10/15 (обе части умножаются на 5)
Теперь вы можете вычесть числители:
12–10 = 2
Итак, 12/15 — 10/15 = 2/15
Ответ на уравнение 4/5 — 2/5: 2/15
6.Как разделить дроби
Чтобы разделить одну дробь на другую, вам сначала нужно превратить делительную дробь в обратную, поменяв местами знаменатель и числитель.
Пример:
Если взять пример 1/2 ÷ 1/5, последняя дробь как обратная величина равна 5/1.
Теперь умножьте первую дробь на обратную:
.
1/2 х 5/1
Для этого умножьте числители и знаменатели:
1 x 5 = 5 (числители)
2 x 1 = 2 (знаменатели)
Итак, 1/2 x 5/1 = 5/2
Ответ на уравнение 1/2 ÷ 1/5: 5/2 или 2½
7.Как умножать дроби
Процесс вычисления дробей как умножения друг друга прост:
Умножьте числители
Умножьте знаменатели
Напишите новый числитель над новым знаменателем
Пример:
Используя пример уравнения 1/2 x 1/6:
1 x 1 = 1 (числители)
2 x 6 = 12 (знаменатели)
Ответ на 1/2 x 1/6: 1/12
8.Как упростить дробь
Упростить дробь — значит уменьшить ее до самой простой формы. По сути, найти наименьшую возможную эквивалентную дробь.
Сначала найдите наибольший общий делитель . Это наибольшее целое число, на которое делятся числитель и знаменатель.
Для этого запишите все множители для обеих частей вашей дроби, как показано ниже на примере 32/48:
.
Факторы 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Факторы 48: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 48
Наибольший общий делитель здесь: 16
Теперь разделите числитель и знаменатель на это число, чтобы найти упрощенную дробь:
32 ÷ 16 = 2 (числители)
48 ÷ 16 = 3 (знаменатели)
Следовательно, 32/48 упрощено: 2/3
При заполнении любой формы дробного уравнения всегда упрощайте свой ответ до наименьшей возможной формы.
9. Как вычислить доли величин
При представлении количества и просьбе определить дробную часть просто разделите полученное количество на знаменатель дроби, а затем умножьте это число на числитель.
Пример:
У вас 55 конфет, две пятых вы хотите отдать своему соседу, чтобы он забрал домой. Сколько конфет она возьмет?
Разделите полученную сумму на знаменатель дроби: 55 ÷ 5 = 11
Умножьте это число на числитель: 11 x 2 = 22
Следовательно, правильный ответ: 22 конфеты
10.Как определить эквивалентные дроби
Чтобы определить, эквивалентна ли одна дробь другой, умножьте или разделите обе части одной дроби на одно и то же целое число.
Если вы оба ответили целыми числами, тогда дробь сохраняет свое значение и эквивалентна.
Пример:
Чтобы определить, эквивалентно ли 15/12 4/5, разделите 12 и 15 на целое число:
12 ÷ 2 = 6
15 ÷ 2 = 7,5
Так как здесь у вас нет целого числа в качестве ответа, перейдите к следующему основному числу:
12 ÷ 3 = 4
15 ÷ 3 = 5
Это показывает, что 12/15 и 4/5 являются эквивалентными дробями .
Вы также можете сделать это в обратном порядке, умножив обе части младшей дроби:
4 х 3 = 12
5 х 3 = 15
По сути, если одна дробь является упрощенной версией другой, то они эквивалентны.
ЖК-калькулятор
Как найти ЖК-дисплей?
Чтобы найти ЖКИ, сначала переводим все целые числа и смешанные дроби в дроби. Затем находим НОК знаменателей. Результатом является ЖК-дисплей, и каждая дробь должна быть записана как эквивалентная дробь с тем же ЖК-дисплеем.2y $. В общем, наименьший общий знаменатель может быть числом, переменной или комбинацией чисел и переменных. Чтобы найти LCM с двумя или более числами, обратитесь к калькулятору LCM . Здесь мы покажем, как найти ЖК-дисплей $ \ frac {4} {5}, \ frac {6} {8}, \ frac {13} {11}, \ frac {2} {10} $ с помощью простые множители. Следовательно, необходимо найти НОК (5, 8, 11, 10).
Поскольку каждое целое число больше 1 может быть однозначно разложено на простые числа, мы получаем:
$$ \ begin {align} & 5 = 5 = {\ color {blue} 5 ^ 1} \\ & 8 = 2 \ times 2 \ times 2 = {\ color {синий} {2 ^ 3}} \\ & 11 = 11 = {\ color {синий} {11 ^ 1}} \\ & 10 = 2 \ times 5 = {2 ^ 1 \ times \ color {blue} {5 ^ 1}} \ end {align} $$ После умножения наибольшей степени 2, 11 и 5, образующих эти факторизации, НОК 5, 8, 11, 10 будет равно НОК $ \ frac {4} {5}, \ frac {6} {8}, \ frac {13} {11}, \ frac {2} {10}.$ Это означает, что
LCM (5, 8, 11, 10) = 5 ¹ x 2 ³ x 11 ¹ = 440 = LCD (4/5, 6/8, 13/11, 2 / 10)

Если мы перепишем исходные входные данные как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, мы получим дроби $$ \ frac {352} {440}, \ frac {330} {440}, \ frac {520} {440}, \ frac {88} {440} $$ Работа с общим знаменателем с шагами показывает полное пошаговое вычисление для поиска наименьшего общего знаменателя для данного набора чисел: $ \ frac {4} {5}, \ frac {6} {8}, \ frac { 13} {11}, \ frac {2} {10} $ с использованием факторизации на простые множители.2 + 12z} \\ & = \ frac {(z + 6) (z + 11)} {3 (z-11) (z + 11)} \ раз \ frac {24z (z-11)} {2z (z + 6)} \\ & = \ frac {1} {3} \ times \ frac {24} {2} \\ & = 4 \ end {align *}
\ (\ dfrac {3a + 9} {14} \ div \ dfrac {7a + 21} {a + 3} \)
\ begin {align *} \ frac {3a + 9} {14} \ div \ frac {7a + 21} {a + 3} & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div \ frac {7 (a + 3) } {а + 3} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ div 7 \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {14} \ times \ frac {1} {7} \\ & = \ frac {3 (a + 3)} {98} \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {a ^ {2} — 5a} {2a + 10} \ times \ dfrac {4a} {3a + 15} \)
\ begin {align *} \ frac {{a} ^ {2} — 5a} {2a + 10} \ times \ frac {4a} {3a + 15} & = \ frac {a (a — 5)} {2 (a + 5)} \ times \ frac {4a} {3 (a + 5)} \\ & = \ frac {[a (a — 5)] [4a]} {[2 (a + 5)] [3 (a + 5)]} \\ & = \ frac {4a ^ 2 (a — 5)} {6 (a + 5) ^ 2} \ end {выровнять *}
Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -5 \).2} \ end {выровнять *}
Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).
\ (\ dfrac {24a — 8} {12} \ div \ dfrac {9a — 3} {6} \)
\ begin {align *} \ frac {24a — 8} {12} \ div \ frac {9a — 3} {6} & = \ frac {8 (3a — 1)} {12} \ div \ frac {3 (a — 1)} { 6} \\ & = \ frac {2 (3a — 1)} {3} \ times \ frac {2} {a — 1} \\ & = \ frac {[2 (3x — 1)] [2]} {[3] [a — 1]} \\ & = \ frac {4 (3a — 1)} {3 (a — 1)} \ end {выровнять *}
Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne 1 \).{2} + 2a} {5} \ div \ frac {2a + 4} {20} & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ div \ frac {2 (a + 2)} {20 } \\ & = \ frac {a (a + 2)} {5} \ times \ frac {10} {a + 2} \\ & = \ frac {[a (a + 2)] [10]} {[5] [a + 2]} \\ & = \ frac {10a} {5} \\ & = 2a \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ dfrac {21q} {8p + 8q} \)
\ begin {align *} \ frac {p ^ {2} + pq} {7p} \ times \ frac {21q} {8p + 8q} & = \ frac {p (p + q)} {7p} \ times \ frac {21q} {8 (p + q)} \\ & = \ frac {[p (p + q)] [21q]} {[7p] [8 (p + q)]} \\ & = \ frac {21pq} {56p} \\ & = \ frac {3q} {8} \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ dfrac {6b ^ {2}} {a + b} \)
\ begin {align *} \ frac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} & = \ frac {5b (a — 3)} {4 (a — 3)} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} \\ & = \ frac {5b} {4} \ times \ frac {a + b} {6b ^ {2}} \\ & = \ frac {[5b] [a + b]} {[4] [6b ^ {2}]} \\ & = \ frac {30b ^ {3}} {4 (a + b)} \ end {выровнять *}
Обратите внимание на ограничение: \ (a \ ne -b \). 2} \ end {выровнять *}
Обратите внимание на ограничение: \ (p \ ne 0 \).
Умножение дробей на дроби — бесплатный урок с видео
На этом уроке 5-го класса ученики сначала замечают ярлык для умножения дробей типа 1 / n (например, 1/3 x 1/4). Отсюда мы приходим к общему ярлыку или правилу умножения дробей. Урок также содержит много словесных задач.
В видео ниже я сначала объясняю, как это (1/2) x (1/3) означает 1/2 от 1/3, и мы находим это визуально.Далее мы находим, что составляет 2/3 от 1/4. Во-первых, мы находим 1/3 от 1/4 как 1/12. Следовательно, 2/3 должно быть вдвое больше, или 2/12. После введения быстрого способа умножения дробей (умножение числителей, умножение знаменателей) я решаю несколько простых задач и задачу со словами. Наконец, в видео я обосновываю общее правило дробного деления.
Мы изучили, как найти дробную часть целого числа с помощью умножения.
Например,
3
5
из 80 записывается как умножение:
3
5
× 80 =
240
5
= 48.
Обратите внимание слово из переводит здесь в УМНОЖЕНИЕ .
Мы можем использовать ту же идею, чтобы найти дробную часть из дробную часть !
Половина это .
Как умножение,
1
2
×
1
3
=
1
6
.
Четвертая часть это .
Как умножение,
1
4
× 1
3
=
1
12
.
1.Найдите дробную часть данного доля. Вы можете представить себе оставшийся кусок пиццы, который вы должны
разделить поровну с одним, двумя или тремя другими людьми. Напишите предложение умножения.
а. Найдите
1
2
из
1
2
×
1
4
=
б. Найдите
1
2
из
г. Найдите
1
2
из
г. Найдите
1
3
из
e. Найдите
1
3
из
ф. Найдите
1
3
из
г. Найдите
1
4
из
ч. Найдите
1
4
из
i. Найдите
1
4
из
Вы заметили ярлык? Если да, рассчитайте
1
5
× 1
6
=
Ярлык: умножение дробей типа 1/ n
Чтобы умножить дроби вида 1/ n , где
n — целое число, просто умножьте знаменатели
, чтобы получить новый знаменатель →
1
4
× 1
5
=
1
20
или
1
2
× 1
6
=
1
12
2.Умножить.
а.
1
9
×
1
2
б.
1
13
×
1
3
с.
1
5
×
1
20
Теперь мы изучили, как найти 1/2, 1/3 или 1/5 некоторых фракций. А как насчет того, чтобы найти
дробную часть другого вида? Давайте снова сравним это с поиском дробных частей целых чисел.
Обзор: Найти
3
4
из 16, или другими словами
3
4
× 16, сначала можно найти
1
4
из 16, что составляет 4.
Тогда просто возьмите это три раза, то есть 12. Другими словами,
3
4
× 16 = 12.
Мы можем использовать ту же идею при нахождении дробной части из другой дроби.
Пример. Найдите
2
3
из
1
4
.Сначала находим
1
3
из
1
4
, что составляет
1
12
.
Тогда,
2
3
из
1
4
вдвое больше, или
2
12
.
Пример. Найдите
4
5
из
1
7
.
Сначала находим
1
5
из
1
7
, что составляет
1
35
.Затем
4
5
из
1
7
в четыре раза больше, или
4
35
.
Умножение дроби на дробь означает получение дроби часть из дроби.
Это все равно, что взять определенную часть остатки, когда то, что осталось, — это дробь.
3. На фотографиях видно, сколько пиццы осталось, и вы получаете определенная часть остатков. Сколько
вы получите? Раскрасьте картинку, чтобы показать ответ.
4. Решите произведение умножения, используя две подсказки. умножения. Наконец, по возможности упростите.
а.
2
3
×
1
8
=
Первая находка 1/3 от 1/8, затем умножьте результат на 2.
1
3
×
1
8
=
1
24
и
1
24
× 2 = =
б.
3
4
×
1
10
=
Первая находка 1/4 от 1/10, затем умножьте результат на 3.
1
4
×
1
10
= и × 3 =
г.
3
5
×
1
6
=
Первая находка 1/5 от 1/6, затем умножьте результат на 3.
1
5
×
1
6
= и × 3 = =
г.
5
6
×
1
9
=
Первая находка 1/6 из 1/9, затем умножьте результат на 5.
1
6
×
1
9
= и × 5 =
e.
2
3
×
1
7
=
ф.
3
8
×
1
4
=
Ярлык для умножения дробей
Умножьте числители, чтобы получить числитель для ответа.
Умножьте знаменатели, чтобы получить знаменатель ответа.
Изучите примеры справа.
Не забывайте всегда отдавать окончательный ответ
как смешанное число и
наименьшее число (упрощенное).
3
7
×
4
9
=
3 × 4
7 × 9
=
12
63
=
4
21
4
5
×
11
8
=
4 × 11
5 × 8
=
44
40
=
11
10
= 1
1
10
5.Умножить. Дайте свои ответы в кратчайшие сроки (упрощенно) и, если возможно, в виде смешанных чисел.
а.
3
9
×
2
9
б.
11
12
×
1
6
с.
1
3
×
3
13
г. 9 ×
2
3
e.
2
9
×
6
7
ф. 10 ×
5
7
СРАВНИТЬ
Объездной путь Ярлык
5
6
×
1
2
=?
Первая находка 1/6 от 1/2, затем умножьте результат на 5.
1
6
×
1
2
=
1
12
и
1
12
× 5 =
5
12
5
6
×
1
2
=
5 × 1
6 × 2
=
5
12
2
8
×
3
5
=?
Найти 1/8 из 3/5, затем умножьте этот результат на 2.И чтобы найти
1/8 из 3/5, сначала найдите 1/8 из 1/5, а затем умножьте это на 3.
1
8
×
1
5
=
1
40
. Это умноженное на 3 дает
1
40
× 3 =
3
40
.
Тогда, умноженное на 2, будет
3
40
× 2 =
6
40
=
3
20
.
2
8
×
3
5
=
2 × 3
8 × 5
=
6
40
=
3
20
«Окольными путями» мы производим каждое умножение отдельно.
В ярлык, мы можем просто сделай их все сразу.
6. Умножить. Дайте свои ответы в краткой форме (упрощенно) и как смешанные числа, если возможно.
а.
3
4
×
7
8
=
б.
7
10
×
8
5
=
с.
9
20
×
4
5
=
г.
2
5
×
1
3
=
e.
1
4
×
2
7
=
ф.
9
4
×
1
3
=
г.
2
3
×
11
8
=
ч.
2
9
×
3
10
=
7. Осталась 1/4 пиццы. Мари съела 2/3 из этого.
а. Какую часть пиццы оригинальной она ела?
г. Какая часть оригинальной пиццы осталась сейчас?
8. Тереза покрасила 5/8 комнаты.
а. Какая часть еще осталась покрасить?
г. Итак, Тереза нарисовала половину того, что все еще оставалось.
Нарисуйте столбиковую модель ситуации.
Какая часть комнаты еще осталась рисовать?
9. Тед выполнил 2/3 работы, порученной ему боссом.
а. Что еще осталось сделать?
г. Теперь Тед выполнил треть того, что еще оставалось делать.
Нарисуйте столбиковую модель ситуации.
Какая (дробная) часть исходная работа все еще не выполнена?
Какая часть завершена?
10. Салли хочет приготовить 1/3 рецепта справа.
Сколько она потребность каждого ингредиента?
Кэроб Брауни
3 стакана подслащенных чипсов из рожкового дерева
8 столовых ложек оливкового масла первого отжима
2 яйца
1/2 стакана меда
1 чайная ложка ванили
3/4 стакана цельнозерновой муки
3/4 чайной ложки разрыхлителя
1 стакан грецких орехов или других орехов
11.Для предстоящей тусовки Элисон нужно приумножить рецепт кофе
. Предположим, что половина гостей пьет одна порция, а другая половина
выпивают две порции. Находить сколько ей понадобится кофе , если есть:
a. 30 гостей
г. 50 гостей
г. 80 гости.
Кофе (5 порций)
3 1/2 чашки воды
1/4 чашки кофе
Найдите недостающие факторы.
а. ×
6
7
=
1
7
б. ×
1
4
=
5
16
г. ×
3
8
=
1
16
г. ×
2
5
=
3
10
Здесь вы можете найти бесплатные распечатанные рабочие листы для умножения дробей на дроби.
Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.