Нет комментариев Разное

4 корня из 16: Mathway | Популярные задачи

Опубликовано

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69
Вычислить		 sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76
Вычислить		 sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

  • преобразование и вычисление арифметических корней,
  • свойства арифметического корня натуральной степени,
  • корень нечетной степени из отрицательного числа,
  • какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

  1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
  2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
  3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
  4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
  5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

  1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
  2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
  3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)5 = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Пример:

.

  1. .

Пример:

.

  1. Для любогоа справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4.

Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Таблица степеней по алгебре

На этой странице размещена таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 20. Пример использования: находим в таблице число 9 (слева), затем во втором столбике видим квадрат числа, который равен 81. В третьем столбце таблицы значения кубов. Смотрите также: таблица квадратов, таблица корней.

https://uchim.org/matematika/tablica-stepenej — uchim.org

Таблица степеней

Пример: 23=8
Степень:
Число2345678910
2481632641282565121 024
3927812437292 1876 56119 68359 049
416642561 0244 09616 38465 536262 1441 048 576
5251256253 12515 62578 125390 6251 953 1259 765 625
6362161 2967 77646 656279 9361 679 61610 077 69660 466 176
7493432 40116 807117 649823 5435 764 80140 353 607282 475 249
8645124 09632 768262 1442 097 15216 777 216134 217 7281 073 741 824
9817296 56159 049531 4414 782 96943 046 721387 420 4893 486 784 401
101001 00010 000100 0001 000 00010 000 000100 000 0001 000 000 00010 000 000 000
111211 33114 641161 0511 771 56119 487 171214 358 8812 357 947 69125 937 424 601
121441 72820 736248 8322 985 98435 831 808429 981 6965 159 780 35261 917 364 224
131692 19728 561371 2934 826 80962 748 517815 730 72110 604 499 373137 858 491 849
141962 74438 416537 8247 529 536105 413 5041 475 789 05620 661 046 784289 254 654 976
152253 37550 625759 37511 390 625170 859 3752 562 890 62538 443 359 375576 650 390 625
162564 09665 5361 048 57616 777 216268 435 4564 294 967 29668 719 476 7361 099 511 627 776
172894 91383 5211 419 85724 137 569410 338 6736 975 757 441118 587 876 4972 015 993 900 449
183245 832104 9761 889 56834 012 224612 220 03211 019 960 576198 359 290 3683 570 467 226 624
193616 859130 3212 476 09947 045 881893 871 73916 983 563 041322 687 697 7796 131 066 257 801
204008 000160 0003 200 00064 000 0001 280 000 00025 600 000 000512 000 000 00010 240 000 000 000
214419 261194 4814 084 10185 766 1211 801 088 54137 822 859 361794 280 046 58116 679 880 978 201
2248410 648234 2565 153 632113 379 9042 494 357 88854 875 873 5361 207 269 217 79226 559 922 791 424
2352912 167279 8416 436 343148 035 8893 404 825 44778 310 985 2811 801 152 661 46341 426 511 213 649
2457613 824331 7767 962 624191 102 9764 586 471 424110 075 314 1762 641 807 540 22463 403 380 965 376
2562515 625390 6259 765 625244 140 6256 103 515 625152 587 890 6253 814 697 265 62595 367 431 640 625

Свойства степени — 2 части

Таблица основных степеней по алгебре в компактном виде (картинка, удобно, чтобы распечатать), сверху числа, сбоку степени:


(можно открыть в новом окне, нажав на картинку)

Полную математическую таблицу можно бесплатно скачать, просто сохранив картинку выше с помощью правой кнопки мыши.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица степеней по алгебре

16 случаев незаконного перемещения корня ямса выявили бурятские таможенники за 4 месяца — Таможенные новости Дальнего Востока от 06.08.2019

Корни ямса общим весом более 200 кг, были обнаружены у граждан Китая, пассажиров поезда «Пекин-Москва» при въезде в Россию. 

В каждом случае вес корня превышал разрешенные нормы в два, а то и три раза. Сведения о товаре не были внесены в пассажирскую таможенную декларацию, а также у туристов из Китая не было необходимых разрешительных документов.

Таможенным постом возбуждено 32 дела об административных правонарушениях по статьям 16.2 (недекларирование товара)  и 16.3 (несоблюдение запретов и ограничений) КоАП РФ.

Как поясняет Ирина Жарникова, начальник отдела специальных таможенных процедур таможенного поста ЖДПП Наушки:

— Случаи ввоза корня ямса гражданами Китая начались с апреля 2019 года. Этот товар относятся к продукции с высоким фитосанитарным риском и  включен в Перечень продукции, подлежащей карантинному фитосанитарному контролю. Если такой товар ввозится без фитосанитарного сертификата, то он подлежит незамедлительному вывозу с таможенной территории ЕАЭС, а при невозможности вывоза – уничтожению. Для личного пользования граждане могут перемещать не более 5 кг продовольственной продукции растительного происхождения. В этом случае нет необходимости заполнять декларацию и предоставлять разрешительные документы.

Справка

Дикий ямс или диоскорея мохнатая, на латыни Dioscorea villosa – это многолетнее растение с корнем в виде клубней. Насчитывается около 600 видов, около двухсот их них используются в пищу, а некоторые виды ямса используют в качестве лекарственных растений. Для применения в медицинской практике наиболее распространенные и изученные такие виды: кавказская; японская; ниппонская; супротивная; мохнатая; мексиканские виды. 

В лечебных целях используют корни и корневища дикого ямса. В биохимическом составе которого можно выделить витамины А, В, С, и К, а из минералов – кальций, магний, натрий, калий, фосфор, медь, цинк. Но более всего полезные свойства дикого ямса определяют содержащиеся в нем вещества, которые являются растительными аналогами стероидных гормонов человека.

Сегодня дикий ямс часто становится компонентом для создания биологически активных добавок и некоторых официальных медицинских препаратов.

Но следует помнить, что не вся диоскорея является ямсом и не все виды корня ямса лекарственные. 

Квадратный корень в Python 3 — Извлечение кубических и n-ой степени

Под извлечением корня из какого-либо числа чаще всего подразумевают нахождение решение уравнения x в степени n = value, соответственно для квадратного корня, число n — это два, для кубического — 3. Чаще всего под результатом и числом подразумеваются вещественные числа.

В программировании нахождение корней используется очень часто. Разберемся, как и какими методами можно эффективно извлекать корни из числа. Вначале рассмотрим, какие способы есть в Python, и определим самый эффективный. Потом более подробно разберём, как можно найти не только квадратный корень из числа, но и кубический, и потом корень n степени.

Способы извлечения корня

В языке программирования Python 3 существует три способа извлечения корней:

  • Использование функции sqrt из стандартной математической библиотеки math.
  • Операция возведения в степень **
  • Применение функции pow(x, n)

Чтобы воспользоваться первым способом, необходимо вначале импортировать sqrt из модуля math. Это делается с помощью ключевого слова import: from math import sqrt. При помощи этой функции можно извлекать только квадратный корень из числа. Приведем пример:

from math import sqrt
x = sqrt(4)
print(x)

2.0

Если же нам нужно вычислить в Python корень квадратный из суммы квадратов, то можно воспользоваться функцией hypot из модуля math. Берется сумма квадратов аргументов функции, из нее получается корень. Аргументов у функции два.

from math import hypot
x = hypot(4,3)
print(x)

5.0

Еще одним, чуть более универсальным методом, будет использование возведения в степень. Известно, что для того, чтобы взять корень n из числа, необходимо возвести его в степень 1/n. Соответственно, извлечение квадратного корня из числа 4 будет выглядеть так:

n = 2
x = 4**(1./n)
print(x)

2.0

Обратите внимание, что в Python 2 необходимо ставить точку после единицы, иначе произойдет целочисленное деление, и 1/n == 0, а не нужной нам дроби. В Python 3 можно не ставить точку.

Последний метод использует функцию pow(value, n). Эта функция в качестве аргумента value возьмет число, которое необходимо возвести в степень, а второй аргумент будет отвечать за степень числа. Как и в предыдущем методе, необходимо использовать дробь, для того, чтобы получить корень числа.

x = pow(4, 0.5)
print(x)

2.0

Какой метод быстрее?

Для того, чтобы определить какой же метод предпочтительнее использовать, напишем программу. Замерять время выполнения будем с помощью метода monotonic библиотеки time.

from time import monotonic
from math import sqrt
iterations = 1000000
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = sqrt(4)
print("sqrt time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = 4 ** 0.5
print("** time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = pow(4, 0.5)
print("pow time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")

sqrt time: 0.266 seconds
** time: 0.109 seconds
pow time: 0.453 seconds

Как видно, самое быстрое решение — использовать **. На втором месте метод sqrt, а pow — самый медленный. Правда, метод sqrt наиболее нагляден при вычислении в Python квадратных корней.

Таким образом, если критична скорость, то используем **. Если скорость не критична, а важна читаемость кода, то следует использовать sqrt.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня самым наглядным способом, правда не самым быстрым, будет использование sqrt из модуля math.

from math import sqrt
x = sqrt (value)

Но можно использовать и трюки с возведением в степень 1/2, что тоже будет приводить к нужному результату.

x = value ** (0.5) или x = pow(value, 0.5).

Кубический корень

Для извлечения кубического корня в Python 3 метод sqrt не подойдет, поэтому воспользуйтесь возведением в степень 1/3:

x = value ** (1./3) или x=pow(value, 1/3).

Корень n-степени

Корень n-степени из числа в Python извлекается можно получить двумя способами с помощью возведения в степень 1.0/n:

  • С помощью оператора **.
  • Используя функцию pow.

Как было проверено выше, оператор ** быстрее. Поэтому его использовать более целесообразно. Приведем пример вычисления кубических корней в Python 3 с помощью этих двух методов:

n = 4.
x = 16.0 ** (1./n)
print(x)
x = pow(16.0, 1./n)
print(x)

2.0
2.0

Корень отрицательного числа

Рассмотрим, как поведут себя функции, если будем брать корень из отрицательного числа.

from math import sqrt
x = sqrt(-4)

File "main.py", line 2, in 
    x = sqrt(-4)
ValueError: math domain error

Как видим, функция sqrt выдаёт исключение.

Теперь посмотрим, что будет при использовании других методов.

x = -4 ** 0.5
print(x)
x = pow(-4, 0.5)
print(x)

-2.0
(1.2246467991473532e-16+2j)

Как видно из результата, оператор ** не выдает исключения и возвращает некорректный результат. Функция pow работает корректно. В результате получаем комплексное число 2j, что является верным.

Вывод

В Python существуют два универсальных способа для извлечения корня из числа. Это возведение в необходимую степень 1/n. Кроме того, можно воспользоваться функцией из математического модуля языка, если необходимо извлечь квадратный корень числа.

Все эти методы имеют свои преимущества и недостатки. Самый наглядный это sqrt, но подходит только для квадратный корней из числа. Остальные методы не такие элегантные, но легко могут извлечь корень нужной степени из числа. Кроме того оператор ** оказался наиболее быстрым при тестировании.

Необходимо также помнить про целочисленное деление, неправильное использование которого может приводить к ошибке в вычислении.

Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000

Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000.

1

1

1,00000

1

1,0000

3,1623

1,0000

2,1544

4,6416

8

4

0,50000

2

1,4142

4,4721

1,2599

2,7144

5,8480

27

9

0,33333

3

1,7321

5,4772

1,4422

3,1072

6,6943

64

16

0,25000

4

2,0000

6,3246

1,5874

3,4200

7,3681

125

25

0,20000

5

2,2361

7,0711

1,7100

3,6840

7,9370

216

36

0,16667

6

2,4495

7,7460

1,8171

3,9149

8,4343

343

49

0,14286

7

2,6458

8,3666

1,9129

4,1213

8,8790

512

64

0,12500

8

2,8284

8,9443

2,0000

4,3089

9,2832

729

81

0,11111

9

3,0000

9,4868

2,0801

4,4814

9,6549

1000

100

0,10000

10

3,1623

10,0000

2,1544

4,6416

10,0000

1331

121

0,09091

11

3,3166

10,4881

2,2240

4,7914

10,3228

1728

144

0,08333

12

3,4641

10,9545

2,2894

4,9324

10,6266

2197

169

0,07692

13

3,6056

11,4018

2,3513

5,0658

10,9139

2744

196

0,07143

14

3,7417

11,8322

2,4101

5,1925

11,1869

3375

225

0,06667

15

3,8730

12,2474

2,4662

5,3133

11,4471

4096

256

0,06250

16

4,0000

12,6491

2,5198

5,4288

11,6961

4913

289

0,05882

17

4,1231

13,0384

2,5713

5,5397

11,9348

5832

324

0,05556

18

4,2426

13,4164

2,6207

5,6462

12,1644

6859

361

0,05263

19

4,3589

13,7840

2,6684

5,7489

12,3856

8000

400

0,05000

20

4,4721

14,1421

2,7144

5,8480

12,5992

9261

441

0,04762

21

4,5826

14,4914

2,7589

5,9439

12,8058

10648

484

0,04545

22

4,6904

14,8324

2,8020

6,0368

13,0059

12167

529

0,04348

23

4,7958

15,1658

2,8439

6,1269

13,2001

13824

576

0,04167

24

4,8990

15,4919

2,8845

6,2145

13,3887

15625

625

0,04000

25

5,0000

15,8114

2,9240

6,2996

13,5721

17576

676

0,03846

26

5,0990

16,1245

2,9625

6,3825

13,7507

19683

729

0,03704

27

5,1962

16,4317

3,0000

6,4633

13,9248

21952

784

0,03571

28

5,2915

16,7332

3,0366

6,5421

14,0946

24389

841

0,03448

29

5,3852

17,0294

3,0723

6,6191

14,2604

27000

900

0,03333

30

5,4772

17,3205

3,1072

6,6943

14,4225

29791

961

0,03226

31

5,5678

17,6068

3,1414

6,7679

14,5810

32768

1024

0,03125

32

5,6569

17,8885

3,1748

6,8399

14,7361

35937

1089

0,03030

33

5,7446

18,1659

3,2075

6,9104

14,8881

39304

1156

0,02941

34

5,8310

18,4391

3,2396

6,9795

15,0369

42875

1225

0,02857

35

5,9161

18,7083

3,2711

7,0473

15,1829

46656

1296

0,02778

36

6,0000

18,9737

3,3019

7,1138

15,3262

50653

1369

0,02703

37

6,0828

19,2354

3,3322

7,1791

15,4668

54872

1444

0,02632

38

6,1644

19,4936

3,3620

7,2432

15,6049

59319

1521

0,02564

39

6,2450

19,7484

3,3912

7,3061

15,7406

64000

1600

0,02500

40

6,3246

20,0000

3,4200

7,3681

15,8740

68921

1681

0,02439

41

6,4031

20,2485

3,4482

7,4290

16,0052

74088

1764

0,02381

42

6,4807

20,4939

3,4760

7,4889

16,1343

79507

1849

0,02326

43

6,5574

20,7364

3,5034

7,5478

16,2613

85184

1936

0,02273

44

6,6332

20,9762

3,5303

7,6059

16,3864

91125

2025

0,02222

45

6,7082

21,2132

3,5569

7,6631

16,5096

97336

2116

0,02174

46

6,7823

21,4476

3,5830

7,7194

16,6310

103823

2209

0,02128

47

6,8557

21,6795

3,6088

7,7750

16,7507

110592

2304

0,02083

48

6,9282

21,9089

3,6342

7,8297

16,8687

117649

2401

0,02041

49

7,0000

22,1359

3,6593

7,8837

16,9850

125000

2500

0,02000

50

7,0711

22,3607

3,6840

7,9370

17,0998

132651

2601

0,01961

51

7,1414

22,5832

3,7084

7,9896

17,2130

140608

2704

0,01923

52

7,2111

22,8035

3,7325

8,0415

17,3248

148877

2809

0,01887

53

7,2801

23,0217

3,7563

8,0927

17,4351

157464

2916

0,01852

54

7,3485

23,2379

3,7798

8,1433

17,5441

166375

3025

0,01818

55

7,4162

23,4521

3,8030

8,1932

17,6517

175616

3136

0,01786

56

7,4833

23,6643

3,8259

8,2426

17,7581

185193

3249

0,01754

57

7,5498

23,8747

3,8485

8,2913

17,8632

195112

3364

0,01724

58

7,6158

24,0832

3,8709

8,3396

17,9670

205379

3481

0,01695

59

7,6811

24,2899

3,8930

8,3872

18,0697

216000

3600

0,01667

60

7,7460

24,4949

3,9149

8,4343

18,1712

226981

3721

0,01639

61

7,8102

24,6982

3,9365

8,4809

18,2716

238328

3844

0,01613

62

7,8740

24,8998

3,9579

8,5270

18,3709

250047

3969

0,01587

63

7,9373

25,0998

3,9791

8,5726

18,4691

262144

4096

0,01563

64

8,0000

25,2982

4,0000

8,6177

18,5664

274625

4225

0,01538

65

8,0623

25,4951

4,0207

8,6624

18,6626

287496

4356

0,01515

66

8,1240

25,6905

4,0412

8,7066

18,7578

300763

4489

0,01493

67

8,1854

25,8844

4,0615

8,7503

18,8520

314432

4624

0,01471

68

8,2462

26,0768

4,0817

8,7937

18,9454

328509

4761

0,01449

69

8,3066

26,2679

4,1016

8,8366

19,0378

343000

4900

0,01429

70

8,3666

26,4575

4,1213

8,8790

19,1293

357911

5041

0,01408

71

8,4261

26,6458

4,1408

8,9211

19,2200

373248

5184

0,01389

72

8,4853

26,8328

4,1602

8,9628

19,3098

389017

5329

0,01370

73

8,5440

27,0185

4,1793

9,0041

19,3988

405224

5476

0,01351

74

8,6023

27,2029

4,1983

9,0450

19,4870

421875

5625

0,01333

75

8,6603

27,3861

4,2172

9,0856

19,5743

438976

5776

0,01316

76

8,7178

27,5681

4,2358

9,1258

19,6610

456533

5929

0,01299

77

8,7750

27,7489

4,2543

9,1657

19,7468

474552

6084

0,01282

78

8,8318

27,9285

4,2727

9,2052

19,8319

493039

6241

0,01266

79

8,8882

28,1069

4,2908

9,2443

19,9163

512000

6400

0,01250

80

8,9443

28,2843

4,3089

9,2832

20,0000

531441

6561

0,01235

81

9,0000

28,4605

4,3267

9,3217

20,0830

551368

6724

0,01220

82

9,0554

28,6356

4,3445

9,3599

20,1653

571787

6889

0,01205

83

9,1104

28,8097

4,3621

9,3978

20,2469

592704

7056

0,01190

84

9,1652

28,9828

4,3795

9,4354

20,3279

614125

7225

0,01176

85

9,2195

29,1548

4,3968

9,4727

20,4083

636056

7396

0,01163

86

9,2736

29,3258

4,4140

9,5097

20,4880

658503

7569

0,01149

87

9,3274

29,4958

4,4310

9,5464

20,5671

681472

7744

0,01136

88

9,3808

29,6648

4,4480

9,5828

20,6456

704969

7921

0,01124

89

9,4340

29,8329

4,4647

9,6190

20,7235

729000

8100

0,01111

90

9,4868

30,0000

4,4814

9,6549

20,8008

753571

8281

0,01099

91

9,5394

30,1662

4,4979

9,6905

20,8776

778688

8464

0,01087

92

9,5917

30,3315

4,5144

9,7259

20,9538

804357

8649

0,01075

93

9,6437

30,4959

4,5307

9,7610

21,0294

830584

8836

0,01064

94

9,6954

30,6594

4,5468

9,7959

21,1045

857375

9025

0,01053

95

9,7468

30,8221

4,5629

9,8305

21,1791

884736

9216

0,01042

96

9,7980

30,9839

4,5789

9,8648

21,2532

912673

9409

0,01031

97

9,8489

31,1448

4,5947

9,8990

21,3267

941192

9604

0,01020

98

9,8995

31,3050

4,6104

9,9329

21,3997

970299

9801

0,01010

99

9,9499

31,4643

4,6261

9,9666

21,4723

1000000

10000

0,01000

100

10,0000

31,6228

4,6416

10,0000

21,5443

корней с более высоким индексом | Purplemath

Purplemath

Операции с кубическими корнями, корнями четвертой степени и другими корнями с более высоким индексом работают аналогично квадратным корням, хотя в некоторых случаях нам нужно немного расширить наше мышление. Я объясню по ходу дела.

Упрощение терминов с более высоким индексом

На предыдущих страницах мы упростили квадратные корни, исключив из радикала любой множитель, встречающийся в наборах по два.Для второго корня нам понадобилась вторая копия.

Для корней с более высоким индексом рассуждения те же. Если у нас есть кубический корень, мы можем исключить любой фактор, встречающийся в наборах по три; из корня четвертой степени мы вычитаем любой фактор, который встречается в наборах по четыре; из корня пятой степени мы исключаем любой фактор, встречающийся в наборах по пять штук; и так далее. Например:

MathHelp.com

  • Упростить

Раньше я мог извлечь из квадратного корня все, что у меня было две копии.Таким же образом теперь я могу извлечь из корня четвертой степени все, что у меня есть четыре копии. Поскольку 16 = 2 4 , то:

  • Упростить кубический корень:

Я беру кубический корень. Тогда я могу вывести из радикала любой фактор, который встречается трижды.Поскольку 8 = 2 3 , то этот радикал полностью упростится.

  • Упростить кубический корень:

Мой первый шаг — полностью учесть это:

54 = 2 · 27 = 2 · (3 · 3 · 3)

У меня есть три копии 3, поэтому я могу вытащить 3 из корня куба, оставив 2 внутри.

  • Упростить:

Снова начну с факторинга:

48 = 3 · 16 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2

У меня есть четыре копии фактора 2, но это кубический корень, поэтому я могу извлечь 2 только для трех из этих копий.3 и четвертая 2 останутся внутри радикала.

  • Упростить:

Я знаю, что 27 = 3 3 , поэтому кубический корень упростится до целого числа. Потом закончу умножением.

  • Упростить:

Мне дали переменные внутри этого радикала, но процесс работает так же, как всегда.Я беру пятый корень, поэтому могу вытащить из радикала все, для чего у меня есть пять копий.

32 — это 2 5 , так что это будет радикал. x 10 = ( x 2 ) 5 , поэтому выйдет x 2 . y 6 = ( y 5 ) ( y 1 ), поэтому я смогу вытащить y , оставив последние y внутри корня.И z 7 = ( z 5 ) ( z 2 ), поэтому я смогу вытащить z , оставив z 2 внутри.

Моя работа выглядит так:

Примечание. Когда вы упрощаете радикальные выражения с помощью переменных, если радикал является корнем с четным индексом (например, квадратный корень или корень четвертой степени), они, вероятно, укажут, что вы должны «предполагать, что все переменные неотрицательны. «(или» положительный «).Это сделано для того, чтобы не учитывать, нужны ли столбцы абсолютных значений для вашего ответа. Если вы не уверены, о чем я говорю, проверьте здесь.

Умножение корней с более высоким индексом
  • Упростить выражение кубического корня:

Это умножение работает так же, как умножение квадратных корней, в том смысле, что произведение двух одинаковых корней с более высоким индексом может быть преобразовано в корень с более высоким индексом произведения.Затем я упрощаю как обычно.

  • Упростите продукт:

В данном случае они дали мне продукт четвертого корня. Я могу превратить продукт радикалов в радикал продукта. Тогда я могу упростить.

Добавление корней с более высоким индексом
  • Упростить:

Термины в этом выражении являются кубическими корнями, но я могу объединить их, только если они кубические корни одного и того же значения.Прямо сейчас это не так. Поэтому я сначала упрощу радикалы, а затем посмотрю, смогу ли я пойти дальше.

Замечу, что 8 = 2 3 и 64 = 4 3 , так что я действительно смогу полностью упростить радикалы.

  • Упростить:

Я вообще не могу упростить второй радикал.Но я могу упростить первый радикал, потому что 81 = 3 4 = (3 3 ) (3). Итак, я получу сумму двух корней третьих из трех, которые я могу объединить.

Разделение корней с более высоким индексом
  • Упростить кубический корень:

Знаменатель — это куб, равный 27 = 3 3 , поэтому я легко могу упростить и прийти к «рационализированному» знаменателю:

  • Упростить кубический корень:

Это похоже на предыдущее упражнение, но здесь куб (то есть 27) находится в числителе.Я не могу упростить это выражение должным образом, потому что я не могу упростить радикал в знаменателе до целых чисел:

Чтобы рационализировать знаменатель, содержащий квадратный корень, мне потребовались две копии любых множителей внутри радикала. Для кубического корня мне понадобится три копии. Вот что я умножу на эту дробь.

У меня есть одна копия множителя 5 в знаменателе.Я умножу сверху и снизу на кубический корень из 25, что даст дополнительные две копии 5, которые мне нужны, чтобы рационализировать знаменатель.

Это последнее выражение, возможно, ненамного «проще», чем исходное выражение. В этом контексте «упростить» означало «рационализировать знаменатель». Часто «правильный» ответ будет не намного, если вообще, «проще», чем тот, с которого вы начали.

  • Упростить:

Поскольку 72 = 8 × 9 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3), у меня есть только три двойки и две тройки. Другими словами, при нынешней дроби мне не хватит каких-либо факторов знаменателя, чтобы избавиться от радикала.

Чтобы извлечь что-либо из корня четвертой степени, мне нужно по четыре копии каждого фактора.Для радикала этого знаменателя мне понадобятся еще две тройки и еще одна 2. Я умножу верхнюю и нижнюю часть на корень четвертой степени из 3 · 3 · 2 = 18.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в работе с выражениями с более высоким индексом. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals6.htm

Видео с вопросом: поиск-го корня числа

Стенограмма видео

Выполните следующее: Четвертый корень из 16 равен квадратному корню из пробела.

В этом вопросе справа стороне, у нас есть значение, которое вычисляется как квадратный корень, и мы знаем, что оно равно до корня четвертой из 16. Итак, давайте начнем с работы корень четвертой из 16. Но сначала заметим, что это не то же, что четыре, умноженные на квадратный корень из 16. Мы можем определить разницу на глядя на размер цифр. Например, когда мы тренируемся четыре, умноженные на квадратный корень из 16, четыре и 16 должны быть одинаковыми размер.Однако, когда мы принимаем root, например, четвертый корень здесь, четыре будут меньше и обычно устанавливаются внутри корневого знака.

Итак, чтобы фактически вычислить корень четвертой степени из 16, это значит думать, что существует значение 𝑥, записанное в четвертой степени, что дало бы нам ответ 16. 𝑥 в четвертой степени написано четыре раза и перемножено.Если бы мы попробовали, значение 𝑥 равно во-вторых, нам нужно будет тренироваться два раза, два раза, два раза, два раза, а два раза два — это четыре. Четыре, умноженные на третьи два даст нам восемь. И восемь умножить на финал два даст нам 16. Следовательно, два в четвертой степени 16 лет. И что немаловажно для нас, это означает, что что корень четвертой степени из 16 равен двум.

Однако, если мы оглянемся на исходный вопрос, мы не можем просто указать значение два в поле, потому что это все это выражение в правой части, которое должно быть равно двум.Следовательно, нам нужно подумать о какое значение даст нам ответ, равный двум, когда мы извлечем из него квадратный корень. Ну, два квадрата дадут нам четыре. Следовательно, квадратный корень из четыре дадут нам два. Поэтому мы можем дать наш ответ что пропущенное значение равно четырем, поскольку корень четвертой степени из 16 равен квадрату корень из четырех.

Замечания по вычислению корней

Примечания по вычислению корней

Мне не раз приходилось вычислять квадратный корень из числа без калькулятора.Есть изящный способ вычисления квадратного корня в вашей голове, но сначала я покажу вам способ, который даст вам настолько точный ответ, насколько вам нужно.

Примечание. Я не изобретал это и не утверждаю, что это сделал.

Квадратные корни в вашей голове

Чтобы приблизительно вычислить квадратный корень из N:

  1. Вычтите следующий более низкий точный квадрат.
  2. Разделить на квадратный корень из ближайшего меньшего полного квадрата.
  3. Разделить на 2.
  4. Складываем квадратный корень из следующего меньшего полного квадрата.

Например, вам нужен квадратный корень из 19.

  • Вычтите следующий нижний точный квадрат, 16, из 19. Вы получите 3.
  • Разделите на квадратный корень из 16, или 4. Вы получите ¾.
  • Делим на 2. Получаем 3/8.
  • Складываем квадратный корень из 16 или 4, получаем 4,375.

Правильный ответ: 4.3588989435406735522369819838596 … Конечно, это всего лишь приближение, но довольно близкое. Это очень хорошее начало для следующего метода.

Квадратные корни

Чтобы получить квадратный корень из X:

  1. Угадай.
  2. Разделите X на ваше предположение, чтобы получить R. Если R равно вашему предположению (до необходимого количества десятичных знаков), все готово.
  3. Усредните свое предположение и R, чтобы получить новое предположение.
  4. Вернитесь к шагу 2.

Вы ДОЛЖНЫ работать с точностью до одного десятичного знака больше, чем вы ищете. Если вы этого не сделаете, цифры могут колебаться вокруг правильного ответа, но никогда не дойдут до него.

Этот метод сходится на удивление быстро, даже если вы делаете действительно дерьмовое предположение.

ПРИМЕР. Допустим, вам нужен квадратный корень из 19 с точностью до трех знаков после запятой. Используя описанный выше метод, я знаю, что ответ составляет около 4,375, поэтому я начну с него.

  • Разделим 19 на 4,3750. Получаем 4.3429.
  • Среднее значение 4,3750 и 4,3429. Получаем 4.3589.
  • Разделим 19 на 4,3589. Получаем 4.3589. Видите, как вы получаете то, с чего начали? Это твой ответ.

N-й корень

Это моя собственная идея — было бы неплохо думать, что я был первым, кто ее придумал? Не могу себе представить, что есть, но я никогда больше нигде не видел этого метода.

Это расширение описанного выше метода с двумя изменениями.

  1. Вместо деления на ваше предположение, вы делите свое предположение в степени N-1.
  2. Вместо того, чтобы усреднять свое предположение и R, вы усредняете свои предположения N-1 и R.

Этот метод также на удивление быстро сходится. Хорошо, потому что это довольно интенсивно. Опять же, вам нужно вычислить с точностью до одного десятичного знака больше, чем вам нужно.

Чтобы получить корень N от X:

  1. Угадай.
  2. Разделите X на ваше предположение в степени N-1, чтобы получить R. Если R равно вашему предположению (с таким количеством десятичных знаков, сколько вам нужно), все готово.
  3. Среднее (N-1) предположение и R, чтобы получить новое предположение.
  4. Вернитесь к шагу 2.

ПРИМЕР. Допустим, вам нужен корень 4-й степени из 19 с точностью до четырех знаков после запятой. Я знаю, что 2 4 равно 16, так что мы начнем с этого.

  • Разделим 19 на 2 3 . Получаете 2.37500.
  • Среднее три двойки и двойка.37500. (2 + 2 + 2 + 2.375) / 4 = 2.09375.
  • Разделите 19 на 2,09375 3 . Получаем 2.07004.
  • Среднее три 2,09375 и 2,07004. Получаем 2,08782.
  • Разделите 19 на 2,08782 3 . Получаем 2,08772.
  • Среднее три 2,08782 и 2,08772. Получаете 08780.
  • Разделите 19 на 2,08780 3 . Получаем 2,08780. Выполнено.

Список литературы

Назад

© 2004 W.Э. Джонс

Квадратный корень — Калькулятор капитана

Калькулятор квадратного корня

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.

Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 3 x 3 = 9.

Квадратный корень из 25 равен 5, так как 5 x 5 = 25.

Квадратный корень из 49 равен 7, так как 7 x 7 = 49.

Квадратный корень может быть положительным или отрицательным (-3 x -3 равно 9, -5 x -5 = 25 и -7 x -7 = 49). Когда люди говорят «квадратный корень», они обычно имеют в виду положительный квадратный корень.

Противоположность квадратному корню — это вычисление в квадрате (степень двойки).

Для чего используется квадратный корень?

С практической точки зрения, квадратный корень в геометрии может использоваться для определения длины стороны квадрата, когда площадь известна.

Формула

— Как вычислить квадратный корень из числа

Не существует быстрой математической формулы для вычисления квадратного корня.Большинство калькуляторов используют метод очень быстрых проб и ошибок.

Метод 1 — Метод проб и ошибок

Метод проб и ошибок подходит для полных квадратов. Это может занять очень много времени для неидеальных квадратов, поскольку в них много десятичных знаков.

Чтобы найти квадратный корень методом проб и ошибок:

  1. Угадайте число, которое, по вашему мнению, может быть квадратным корнем.
  2. Умножьте это число само на себя
  3. Если результат слишком низкий, попробуйте другое большее число. Если результат слишком высокий, попробуйте другое меньшее число.
  4. Продолжайте, пока не найдете квадратный корень.

Пример. Методом проб и ошибок найти квадратный корень из 64:

  1. Попробуйте число — 5: 5 умножить на 5 = 25 (слишком мало)
  2. Попробуйте число, которое больше 6 — 10 — 10 умножить на 10 = 100 (слишком большое
  3. Попробуйте число от 6 до 10 — 8 — 8 умножить на 8 = 64 (ответ)

Метод 2 — Быстро найти корни из точных квадратных чисел

Этот метод позволяет быстрее найти корень из полного квадратного числа.Однако, если число не является точным корнем, этот метод не сработает.

Метод 3. Быстрый поиск квадратного корня из любого числа

Этот метод позволяет найти квадратный корень из любого числа (включая неполные квадраты). Это занимает немного больше времени, чем метод 2.

Как ввести квадратный корень?

  • Вы можете скопировать символ квадратного корня -> √ <- с этой страницы и вставить его в свой документ.
  • На компьютере с Windows откройте карту символов, найдите символ квадратного корня и скопируйте его.Вставьте его там, где хотите символ.
  • На компьютере Mac нажмите option + v для символа √.

Таблица чисел квадратного корня — полные квадраты

  • √1 = 1, как 1 x 1 = 1
  • √4 = 2, как 2 x 2 = 4
  • √9 = 3, как 3 x 3 = 9
  • √16 = 4, как 4 x 4 = 16
  • √25 = 5, поскольку 5 x 5 = 25
  • √36 = 6, поскольку 6 x 6 = 36
  • √49 = 7, поскольку 7 x 7 = 49
  • √64 = 8, как 8 x 8 = 64
  • √81 = 9, поскольку 9 x 9 = 81
  • √100 = 10, поскольку 10 x 10 = 100
  • √121 = 11, поскольку 11 x 11 = 121
  • √144 = 12, как 12 x 12 = 144
  • √225 = 15, как 15 x 15 = 225
  • √289 = 17, как 17 x 17 = 289
  • √400 = 20, как 20 x 20 = 400
  • √625 = 25, как 25 x 25 = 625
  • √900 = 30, как 30 x 30 = 900
  • √1089 = 33, как 33 x 33 = 1,089
  • √2025 = 45, так как 45 x 45 = 2,025
  • √ 2500 = 50, поскольку 50 x 50 = 2,500
  • √3600 = 60, поскольку 60 x 60 = 3,600
  • √5625 = 75, поскольку 75 x 75 = 5,625
  • √10000 = 100, поскольку 100 x 100 = 10,000

Таблица чисел квадратного корня — несовершенные квадраты

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Источники и другие ресурсы

5.2 = х \ cdot x. \ Nonumber \]

Квадрат числа

Число x 2 называется квадратом числа x .

Таким образом, например:

  • 9 2 = 9 · 9 = 81. Следовательно, число 81 является квадратом числа 9.
  • (−4) 2 = (−4) (- 4) = 16. Следовательно, число 16 является квадратом числа −4.

На полях мы разместили «Список квадратов» целых чисел от 0 до 25 включительно.2 \\ \ hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ 6 & 36 \\ 7 & 49 \\ 8 & 64 \\ 9 и 81 \ 10 и 100 \ 11 и 121 \ 12 и 144 \ 13 и 169 \ 14 и 196 \ 15 и 225 \ 16 и 256 \ 17 и 289 \ 18 и 324 \ 19 и 361 \\ 20 и 400 \\ 21 и 441 \\ 22 и 484 \\ 23 и 529 \\ 24 и 576 \\ 25 и 625 \\ \ hline \ end {array} \ nonumber \]

Квадратные корни

После того, как вы освоили процесс возведения в квадрат целого числа, вы готовы к обратному процессу возведения в квадрат, получению квадратного корня из целого числа.

  • Выше мы видели, что 9 2 = 81. Мы назвали число 81 квадратом числа 9. И наоборот, мы называем число 9 квадратным корнем из числа 81.
  • Выше мы видели, что (−4) 2 = 16. Мы назвали число 16 квадратом числа −4. И наоборот, мы называем число −4 квадратом , корнем числа 16.

\ [\ begin {array} {| c | c |} \ hline x & \ sqrt {x} \\ \ hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 4 & 2 \\ 9 & 3 \\ 16 & 4 \ 25 и 5 \ 36 и 6 \ 49 и 7 \ 64 и 8 \ 81 и 9 \ 100 и 10 \ 121 и 11 \ 144 и 12 \ 169 и 13 \ 196 & 14 \ 225 и 15 \ 256 и 16 \ 289 и 17 \ 324 и 18 \ 361 и 19 \ 400 и 20 \ 441 и 21 \ 484 и 22 \ 529 и 23 \ 576 & 24 \\ 625 & 25 \\ \ hline \ end {array} \ nonumber \]

Квадратный корень

Если a 2 = b , то a называется квадратным корнем из числа b .

Пример 1

Найдите квадратный корень из числа 49.

Решение

Чтобы найти квадратный корень из 49, мы должны придумать такое число a, что a 2 = 49. На ум приходят два числа.

  • (−7) 2 = 49. Следовательно, −7 является квадратным корнем из 49.
  • 7 2 = 49. Следовательно, 7 является квадратным корнем из 49.

Обратите внимание, что 49 имеет два квадратных корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

Упражнение

Найдите квадратные корни из 256.

Ответ

−16, 16

Пример 2

Найдите квадратные корни числа 196. Решение. Чтобы найти квадратный корень из 196, мы должны придумать такое число a, что a 2 = 196. С помощью «Списка квадратов» на ум приходят два числа.

  • (−14) 2 = 196. Следовательно, −14 является квадратным корнем из 196.
  • 14 2 = 196. Следовательно, 14 является квадратным корнем из 196.

Обратите внимание, что 196 имеет два квадратных корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

Упражнение

Найдите квадратные корни из 625.

Ответ

−25, 25

Пример 3

Найдите квадратные корни числа 0.

Решение

Чтобы найти квадратный корень из 0, мы должны представить себе число a такое, что a 2 = 0.Такое число только одно, а именно ноль. Следовательно, 0 — это квадратный корень из 0.

Упражнение

Найдите квадратные корни из 9.

Ответ

−3, 3

Пример 4

Найдите квадратные корни из числа −25.

Решение

Чтобы найти квадратный корень из −25, мы должны придумать такое число a, что a 2 = −25. Это невозможно, потому что никакой квадрат действительного числа (целого, целого, дробного или десятичного) не может быть отрицательным.Положительное, умноженное на положительное, является положительным, а отрицательное, умноженное на отрицательное, также положительным. Вы не можете решить и получить отрицательный ответ. Следовательно, −25 не имеет квадратных корней 2 .

Упражнение

Найдите квадратные корни из −81.

Ответ

Нет.

2 По крайней мере, не в предалгебре. На более поздних курсах вы познакомитесь с набором комплексных чисел, где -25 будет иметь два квадратных корня.

Радикальная нотация

Поскольку (−3) 2 = 9 и 3 2 = 9, и −3, и 3 являются квадратными корнями из 9. Для запроса этих квадратных корней используется специальная нотация, называемая радикальной нотацией .

  • Радикальное обозначение \ (\ sqrt {9} \), произносимое как «неотрицательный квадратный корень из 9», требует неотрицательного квадратного корня 3 из 9. Следовательно,

\ (\ sqrt {9} = 3. \)

  • Радикальное обозначение \ (- \ sqrt {9} \), произносимое как «отрицательный квадратный корень из 9», требует отрицательного квадратного корня из 9.2 \) — подкоренное выражение.

Радикальная запись и квадратный корень

Если b — положительное число, то

  1. \ (\ sqrt {b} \) вызывает неотрицательный квадратный корень из b .
  2. \ (- \ sqrt {b} \) вызывает отрицательный квадратный корень из b .

Примечание. «Неотрицательный» эквивалентно «неотрицательному»; т.е. положительный или нулевой.

Пример 5

Упростите: (a) \ (\ sqrt {121} \), (b) \ (- \ sqrt {625} \) и (c) \ (\ sqrt {0} \).

Решение

(a) Обращаясь к списку квадратов, отметим, что 11 2 = 121 и (−11) 2 = 121. Следовательно, и 11, и −11 являются квадратными корнями из 121. Однако \ (\ sqrt {121} \) требует неотрицательного квадратного корня из 121. Таким образом,

\ [\ sqrt {121} = 11. \ nonumber \]

(b) Обращаясь к списку квадратов, отметим, что 25 2 = 625 и (-25) 2 = 625. Следовательно, и 25, и -25 являются квадратными корнями из 625.Однако \ (- \ sqrt {625} \) требует отрицательного квадратного корня из 625. Таким образом,

\ [- \ sqrt {625} = −25. \ Nonumber \]

(c) Есть только один квадратный корень из нуля. Следовательно,

\ [\ sqrt {0} = 0. \ Nonumber \]

Упражнение

Упростить: a) \ (\ sqrt {144} \) b) \ (- \ sqrt {324} \)

Ответ

(а) 12 (б) −18

Пример 6

Упростить: (a) \ (- \ sqrt {25} \) и (b) \ (- \ sqrt {25} \)

Решение

(a) Поскольку 5 2 = 25 и (−5) 2 = 25, и 5, и −5 являются квадратными корнями из 25.Однако запись \ (- \ sqrt {25} \) требует отрицательного квадратного корня из 25. Таким образом, \ (- \ sqrt {25} = −5 \).

(b) Невозможно возвести в квадрат действительное число (целое, целое, дробное или десятичное) и получить −25. Следовательно, действительного квадратного корня из −25 не существует. То есть \ (\ sqrt {−25} \) не является действительным числом. Это не определено. 4

Упражнение

Упростить: a) \ (- \ sqrt {36} \) b) \ (\ sqrt {−36} \)

Ответ

(а) −6 (б) не определено

3 «Неотрицательный» эквивалентен «неотрицательному»; я.е., положительный или нулевой.

4 По крайней мере, в предалгебре. В последующих курсах вы познакомитесь с набором комплексных чисел, где \ (\ sqrt {−25} \) приобретет новое значение.

Порядок операций

С добавлением радикальных обозначений, Rules Guiding Order of Operations немного изменится.

Правила, определяющие порядок операций

При оценке выражений действуйте в следующем порядке.

  1. Сначала оцените выражения, содержащиеся в символах группировки.Если символы группировки вложены друг в друга, сначала оцените выражение в самой внутренней паре символов группировки.
  2. Оцените все степени и радикалы, которые встречаются в выражении.
  3. Выполните все операции умножения и деления в том порядке, в котором они указаны в выражении, двигаясь слева направо.
  4. Выполните все сложения и вычитания в том порядке, в котором они появляются в выражении, двигаясь слева направо.

Единственное изменение в правилах — это пункт 2, который гласит: «Оцените все показатели степени и радикалы, которые встречаются в выражении», приравнивая радикалы к показателям.

Пример 7

Упростить: \ (- 3 \ sqrt {9} + 12 \ sqrt {4} \).

Решение

В соответствии с правилами , определяющими порядок операций , мы должны сначала вычислить радикалы в этом выражении.

\ [\ begin {align} -3 \ sqrt {9} + 12 \ sqrt {4} = -3 (3) + 12 (2) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала оцените радикалы:} \ sqrt {9} = 3} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {and} \ sqrt {4} = 2.} \\ = -9 + 24 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножить :} -3 (3) = -9 \ text {и} 12 (2) = 24.} \\ = 15 ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Добавить:} -9 + 24 = 15.} \ End {align} \ nonumber \]

Упражнение

Упростить: \ (2 \ sqrt {4} — 3 \ sqrt {9} \)

Ответ

−5

Пример 8

Упростить: \ (- 2 — 3 \ sqrt {36} \).

Решение

Согласно Rules Guiding Order of Operations, мы должны сначала вычислить радикалы в этом выражении, двигаясь слева направо.

\ [\ begin {align} -2-3 \ sqrt {36} = -2-36 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала оцените радикалы:} \ sqrt {36} = 6} \\ = — 2-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножить:} 3 (6) = 18.} \\ = -20 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть:} -2-18 = — 2 + (- 18) = — 20.} \ End {выровнено} \ nonumber \]

Упражнение

Упростить: \ (5-8 \ sqrt {169} \)

Ответ

−99

Пример 9

Упростите: (a) \ (\ sqrt {9 + 16} \) и (b) \ (\ sqrt {9} + \ sqrt {16} \).

Решение

Применить правила , руководящий порядок операций .

а) В этом случае радикал действует как символы группировки, поэтому мы должны сначала оценить, что находится внутри радикала.

\ [\ begin {align} \ sqrt {9 + 16} = \ sqrt {25} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add:} 9 + 16 = 25.} \\ = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Извлеките неотрицательный квадратный корень:} \ sqrt {25} = 5.} \ end {align} \ nonumber \]

б) В этом примере мы должны сначала вычислить квадратные корни.

\ [\ begin {align} \ sqrt {9} + \ sqrt {16} = 3 + 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Квадратный корень:} \ sqrt {9} = 3 \ text {и} \ sqrt {16} = 4.} \\ = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавить:} 3 + 4 = 7.} \ end {align} \ nonumber \]

Упражнение

Упростить: a) \ (\ sqrt {25 + 144} \) b) \ (\ sqrt {25} + \ sqrt {144} \)

Ответ

(а) 13 (б) 17

Дроби и десятичные знаки

Мы также можем найти квадратные корни из дробей и десятичных знаков.2 = \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {9} \), затем

\ [\ sqrt {\ frac {4} {9}} = \ frac {2} {3}. \ Nonumber \]

(b) Поскольку (0,7) 2 = (0,7) (0,7) = 0,49 и (-0,7) 2 = (-0,7) (- 0,7) = 0,49, оба 0,7 и -0,7 являются квадратными корнями из 0,49. . Однако \ (- \ sqrt {0.49} \) требует отрицательного квадратного корня 0,49. Следовательно,

\ [- \ sqrt {0,49} = −0,7 \ nonumber \]

Упражнение

Упростите: a) \ (\ sqrt {\ frac {25} {49}} \) b) \ (\ sqrt {0.36} \)

Ответ

(а) 5/7 (б) 0,6

Оценка квадратного корня

Квадраты в «Списке квадратов» называются полными квадратами . Каждый квадрат целого числа. Не все числа являются точными квадратами. Например, в случае \ (\ sqrt {24} \) не существует целого числа, квадрат которого равен 24. Однако это не мешает \ (\ sqrt {24} \) быть идеальным числом. .

Мы можем использовать «Список квадратов» для нахождения десятичных приближений, когда подкоренное выражение не является полным квадратом.

Пример 11

Оценить \ (\ sqrt {24} \) угадыванием. Используйте калькулятор, чтобы найти более точный результат и сравнить его со своим предположением.

Решение

Из «Списка квадратов» обратите внимание, что 24 лежит между 16 и 25, поэтому 24 будет лежать между 4 и 5, а √24 намного ближе к 5, чем к 4.

Угадаем

\ [\ sqrt {24} \ примерно 4.8. \ Nonumber \]

В качестве проверки возьмем 4,8.

\ [(4.2 = (4.8) (4.8) = 23.04 \ nonumber \]

Не совсем 24! Ясно, что \ (\ sqrt {24} \) должен быть немного больше 4,8.

Давайте воспользуемся научным калькулятором, чтобы получить лучшее приближение. На нашем калькуляторе с помощью кнопки квадратного корня находим

\ [\ sqrt {24} \ около 4,89897948557. \ Nonumber \]

Несмотря на то, что это лучше, чем наша оценка (4,8), это всего лишь приближение. Наш калькулятор мог отображать только 11 знаков после запятой. Однако точное десятичное представление \ (\ sqrt {24} \) — это бесконечное десятичное число, которое никогда не заканчивается и никогда не устанавливает шаблон повторения.

Ради удовольствия, вот десятичное приближение \ (\ sqrt {24} \) с точностью до 1000 знаков, любезно предоставлено http://www.wolframalpha.com/.

4.898979485566356196394568149411782783931894961313340256865385134501920754

0053079718866209280469637189202453228378249717730919675514683251567
45571056578254950553531424952602105418235404469626213579733817072648867050

06761761787874917113569314944872260828854054043234840367660016317961567602617940145738798726167431618880160088747737509832
  • 0787820894528962666325870218894836270265709 93234345326285099529663624231320

    1801868717233586396733133253381826381307172753221051631235873247235822058934417670

    25767105979664820111738041001283093224823470679882086211598579693467

    055747208365931034366078207356007672463325946466056580995478209485272014102527539509377735401281985

    143465692

      76183028851492605205
    6474151050068455119830

    56259600612934415988485060457568524106813589572009319387995987119508123342717309306

    6416512553772738561882612744867017729603144969267446489475

    7628876958672740183948202955704655118212631969215662073401907 0649453

    Если бы вы умножили это число на само себя (возвести его в квадрат), вы бы получили число, очень близкое к 24, но это не было бы точно 24.Все равно будет небольшое несоответствие.

    Упражнение

    Оценка: \ (\ sqrt {83} \).

    Ответ

    9,1

    Важное замечание

    Калькулятор может отображать только конечное число десятичных знаков. Если десятичное представление вашего числа не заканчивается в пределах этого ограниченного количества разрядов, то число в окне вашего калькулятора является лишь приблизительным.

    • Десятичное представление 1/8 оканчивается тремя знаками, поэтому большинство калькуляторов выдаст точный ответ — 0.125.
    • Для сравнения, 2/3 не оканчиваются. Калькулятор, способный указать 11 знаков точности, дает число 0,666666666667. Однако точное десятичное представление 2/3 равно 0,6. Обратите внимание, что калькулятор округляет на последнем месте и дает только приблизительное значение 2/3. Если ваш преподаватель спрашивает точный ответ на экзамене или викторине, то 0,666666666667, являющееся приблизительным, неприемлемо. Вы должны дать точный ответ 2/3.

    Упражнения

    В упражнениях 1–16 составьте список всех квадратных корней данного числа.Если у числа нет квадратных корней, напишите «нет».

    1. 256

    2. 361

    3–289

    4. −400

    5. 441

    6. 36

    7. 324

    8. 0

    9. 144

    10. 100

    11. −144

    12. −100

    13. 121

    14. −196

    15 529

    16. 400

    В упражнениях 17–32 вычислите точный квадратный корень. Если квадратный корень не определен, напишите «undefined».

    17. \ (\ sqrt {−9} \)

    18. \ (- \ sqrt {−196} \)

    19. \ (\ sqrt {576} \)

    20. \ (\ sqrt {289} \)

    21. \ (\ sqrt {−529} \)

    22. \ (\ sqrt {−256} \)

    23. \ (- \ sqrt {25} \)

    24. \ (\ sqrt {225} \)

    25. \ (- \ sqrt {484} \)

    26. \ (- \ sqrt {36} \)

    27. \ (- \ sqrt {196} \)

    28. \ (- \ sqrt {289} \)

    29. \ (\ sqrt {441} \)

    30. \ (\ sqrt {324} \)

    31.\ (- \ sqrt {4} \)

    32. \ (\ sqrt {100} \)

    В упражнениях 33-52 вычислите точный квадратный корень.

    33. \ (\ sqrt {0.81} \)

    34. \ (\ sqrt {5.29} \)

    35. \ (\ sqrt {3.61} \)

    36. \ (\ sqrt {0.09} \)

    37. \ (\ sqrt {\ frac {225} {16}} \)

    38. \ (\ sqrt {\ frac {100} {81}} \)

    39. \ (\ sqrt {3.24} \)

    40. \ (\ sqrt {5.76} \)

    41. \ (\ sqrt {\ frac {121} {49}} \)

    42. \ (\ sqrt {\ frac {625} {324}} \)

    43.\ (\ sqrt {\ frac {529} {121}} \)

    44. \ (\ sqrt {\ frac {4} {121}} \)

    45. \ (\ sqrt {2.89} \)

    46. \ (\ sqrt {4.41} \)

    47. \ (\ sqrt {\ frac {144} {25}} \)

    48. \ (\ sqrt {\ frac {49} {36}} \)

    49. \ (\ sqrt {\ frac {256} {361}} \)

    50. \ (\ sqrt {\ frac {529} {16}} \)

    51. \ (\ sqrt {0.49} \)

    52. \ (\ sqrt {4.84} \)

    В упражнениях 53-70 вычислите точное значение данного выражения.

    53.2} \)

    63. \ (- 2 \ sqrt {324} — 6 \ sqrt {361} \)

    64. \ (- 6 \ sqrt {576} — 8 \ sqrt {121} \)

    65. \ (- 4 — 3 \ sqrt {529} \)

    66. \ (- 1 + \ sqrt {625} \)

    67. \ (- 9 \ sqrt {484} + 7 \ sqrt {81} \)

    68. \ (- \ sqrt {625} — 5 \ sqrt {576} \)

    69. \ (2 — \ sqrt {16} \)

    70. \ (8 — 6 \ sqrt {400} \)

    В упражнениях 71–76 выполните следующие задачи, чтобы вычислить данный квадратный корень.

    а) Определите два целых числа, между которыми лежит квадратный корень.

    b) Нарисуйте числовую линию и найдите приблизительное расположение квадратного корня между двумя целыми числами, найденными в части (а).

    c) Без использования калькулятора вычислите квадратный корень с точностью до десятых.

    71. \ (\ sqrt {58} \)

    72. \ (\ sqrt {27} \)

    73. \ (\ sqrt {79} \)

    74. \ (\ sqrt {12} \)

    75. \ (\ sqrt {44} \)

    76. \ (\ sqrt {88} \)

    В упражнениях 77–82 с помощью калькулятора округлите квадратный корень до ближайшей десятой.

    77. \ (\ sqrt {469} \)

    78. \ (\ sqrt {73} \)

    79. \ (\ sqrt {615} \)

    80. \ (\ sqrt {162} \)

    81. \ (\ sqrt {444} \)

    82. \ (\ sqrt {223} \)

    Ответы

    1. 16, −16

    3. нет

    5,21, −21

    7,18, −18

    9,12, −12

    11. нет

    13,11, −11

    15. 23, −23

    17. undefined

    19. 24

    21.undefined

    23–5

    25. −22

    27. −14

    29. 21

    31,2

    33. 0,9

    35,1,9

    37. \ (\ frac {15} {4} \)

    39. 1,8

    41,11 7

    43. \ (\ frac {23} {11} \)

    45,1,7

    47. \ (\ frac {12} {5} \)

    49. \ (\ frac {16} {19} \)

    51. 0,7

    53. −18

    55,17

    57. −39

    59,13

    61.2)

    Это касается упрощения квадратных корней.

    Пошаговое решение

    Упростить: sqrt (16c
    4 d 2 )

    Шаг 1:

    Упростите целочисленную часть SQRT

    Разложите 16 на простые множители
    16 = 2 4

    Чтобы упростить извлечение квадратного корня, мы извлекаем множители, которые являются квадратами, то есть множители, возведенные в четную степень.

    Факторы, которые будут извлечены:
    16 = 2 4

    Никаких факторов не остается внутри корня !!

    Чтобы завершить эту часть упрощения, мы извлекаем квадратный корень из факторов, которые должны быть извлечены.Мы делаем это, разделив их показатели на 2:
    4 = 2 2

    В конце этого шага частично упрощенный SQRT выглядит так:
    4 sqrt (c 4 d 2 )

    Шаг 2:

    Упростите переменную часть SQRT

    Правила для упрощения переменных, которые могут быть возведены в степень:

    (1) переменные без экспоненты остаются внутри радикальных
    (2) переменных, возведенных в степень 1 или (- 1) оставаться внутри радикала
    (3) переменных, возведенных в четный показатель степени: при удалении половины показателя степени внутри радикала ничего не остается.примеры:
    (3,1) sqrt (x 8 ) = x 4
    (3,2) sqrt (x -6 ) = x -3

    (4) переменные, возведенные в нечетную экспоненту, которая> 2 или <(- 2), примеры:
    (4,1) sqrt (x 5 ) = x 2 • sqrt (x)
    (4,2) sqrt (x -7 ) = x -3 • sqrt (x -1 )

    Применяя эти правила к нашему случаю, мы обнаруживаем, что

    SQRT (c 4 d 2 ) = c 2 d

    Объедините оба упрощения

    sqrt (16c 4 d 2 ) =
    4 c 2 d

    Упрощенный корень:

    4 c 2 d

    Зачем изучать

    Термины и темы

    Ссылки по теме

    Положительные и отрицательные квадратные корни на GRE

    Несколько вопросов для начала: Может ли квадратный корень быть отрицательным? Да, существует такая вещь, как отрицательный квадратный корень. Как бы вы справились с отрицательными корнями в GRE? Этот вопрос на самом деле довольно сложный, потому что он зависит от того, как GRE формулирует вопрос. Прежде чем я объясню, давайте начнем с некоторых практических задач по математике GRE.

    Практические задачи с отрицательным квадратным корнем

    Прежде всего, рассмотрите эти два похожих, но не идентичных вопроса количественного сравнения. Это немного проще, чем вы могли бы увидеть на GRE, но они иллюстрируют важное отличие возможных отрицательных квадратных корней.

    1)

    2)

    Все, что я скажу прямо сейчас: несмотря на очевидное сходство, эти два вопроса о том, являются ли корни положительными или отрицательными, имеют два совершенно разных ответа . Различия между ними — предмет данной статьи.

    Объяснения этих практических проблем появятся в конце этой статьи блога. Забегайте вперед, нажав здесь.

    Могу ли я включить отрицательные корни?

    Часто студенты не понимают этого вопроса.Например, в приведенных выше вопросах мы знаем, что +4 — это квадратный корень из 16, но не может ли -4 быть единицами? Или может? Может ли квадратный корень быть отрицательным? Включаем ли мы отрицательный квадратный корень в столбец B или нет? Имеет ли значение, как сформулирован вопрос? Все эти вопросы о возможных отрицательных квадратных корнях решаются в следующих двух случаях.

    Вариант I: появляется символ

    В первом случае создатель теста при написании вопроса использует этот символ. Этот символ напечатан на странице в самом вопросе.

    Что это за символ? Что ж, большинство людей называют это просто символом «квадратного корня», но правильное имя — это символ «основного квадратного корня». Здесь «главный» (в смысле «главный» или «самый важный») означает: вы берете один и только один корень, самый важный или главный, один — только положительный корень. В этом глубокий смысл этого символа.

    Таким образом, во всех случаях, когда этот символ появляется как часть самого вопроса, вы НИКОГДА не учитываете отрицательный квадратный корень, а извлекаете ТОЛЬКО положительный квадратный корень.

    Случай II: символ не появляется

    В этом случае этот специальный символ не , а не отображается как часть проблемы. То, что действительно появляется, — это, например, квадрат переменной или какая-то другая комбинация алгебры, которая приводит к квадрату переменной, и вы сами в своем процессе решения проблемы должны извлечь квадратный корень из чего-то, чтобы Найди решение. Акт «извлечения квадратного корня» не инициируется тестировщиком в процессе написания вопроса; скорее, это вы инициировали укоренение.

    В этом случае в 100% случаев вы ВСЕГДА должны рассматривать и как положительные и отрицательные квадратные корни.

    Резюме: Может ли квадратный корень быть отрицательным?

    Может ли квадратный корень быть отрицательным? Что ж, ответ: это зависит от того, что было напечатано в задаче. Главный символ квадратного корня никогда не имеет отрицательного результата, поэтому, если разработчик теста напечатал этот символ, необходимо соблюдать его ограничения: тогда все квадратные корни будут положительными. С другой стороны, если проблема содержит квадрат переменной или некоторую другую алгебру, которая приводит к квадрату переменной, и вы сами извлекаете квадратный корень как часть процесса решения, тогда вам всегда нужно рассматривать все возможные решения, оба положительные квадратные корни и отрицательные квадратные корни.

    Если вы овладеете этим различием, вы всегда поймете, когда рассматривать как положительные, так и отрицательные корни, а когда рассматривать только положительный корень. Возможно, вы захотите вернуться к этим двум QC в начале и подумать над ними еще раз, прежде чем читать решения ниже.

    Дополнительные ресурсы

    Если у вас возникли проблемы с вопросами количественного сравнения в GRE, я бы порекомендовал взглянуть на некоторые из этих дополнительных ресурсов. Они могут помочь прояснить некоторые концепции, с которыми вы боретесь, и могут дать дополнительную практику.

    Советы по количественному сравнению

    Стратегии количественного сравнения

    Практика количественного сравнения

    Справка по математике GRE

    Практика решения проблем

    1) Здесь главный квадратный корень появляется как часть самой проблемы. Мы находимся в случае I. Конечно, этот символ означает: извлеките только положительный квадратный корень. Таким образом, столбец B может равняться только +4. Конечно, это всегда больше 3. Ответ = (B) .

    2) Здесь нет символа квадратного корня, напечатанного как часть самой задачи.Мы во втором случае. Для любых квадратных корней, которые мы берем как часть нашего решения, мы обязаны учитывать как положительные, так и отрицательные корни.

    Конечно, первое, что мы встречаем в приглашении, — это возведенная в квадрат переменная, и когда мы решаем для x, мы должны учитывать оба корня: x = ± 4.

    • Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *