5 корней из 7 как решить: Сколько целых чисел расположено между 5 корней из 7 и 7 корней из 5 ? Как это

Содержание

1.2. Корень n-й степени

В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени).

Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа n≥2.

Определение. Пусть n≥2 и n∈N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна a .

Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из a» означает, что tn=a.

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.

Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается

Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.

Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство

Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому

при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 — квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например, 814=3,646=2.

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно равенство

Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то

Стр. 12

не существует корня четной степени из отрицательного числа.

Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из a .

При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении записи an слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень n-й степени из числа a — это значит найти значение выражения an.

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.

Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение an имеет смысл, верно равенство

Поэтому равенство (1) является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень). Так, выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Стр. 13

Пример 1. Верно ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению a.

Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.

б) По определению корень n-й степени из числа а (n — нечетное число) является числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а.

Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.

Пример 2. Решить уравнение:

а) x3=7;

б) x4=5.

Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.

Ответ: а) 73; б) ±54.

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение: x4=5 ⇔ x=±54.

Ответ: ±54.

Пример 3. Решить уравнение:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R — множество всех его корней.

Ответ: а) [0;+∞); б) R.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).

Ответ: ±2.

1Какое число называется корнем n-й степени из числа а?

2Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а?

3Корень какой степени существует из любого числа а?

4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?

5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:

а) n — нечетное число;

б) n — четное число?

Упражнения

1.24°

1.24°Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Верно ли, что:

1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;

2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Верно ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Найдите кубический корень из числа:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вычислите (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1.37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Решите уравнение (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1.53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

Стр. 19

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

Решите неравенство sqrt(x+5)>=7-x (квадратный корень из (х плюс 5) больше или равно 7 минус х)

Дано неравенство:
$$\sqrt{x + 5} \geq — x + 7$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x + 5} = — x + 7$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x + 5} = — x + 7$$
$$\sqrt{x + 5} = — x + 7$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x + 5 = \left(- x + 7\right)^{2}$$
$$x + 5 = x^{2} — 14 x + 49$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 15 x — 44 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.2 — 4 * (-1) * (-44) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 11$$

Т.к.
$$\sqrt{x + 5} = — x + 7$$
и
$$\sqrt{x + 5} \geq 0$$
то

7 - x >= 0

или
$$x \leq 7$$
$$-\infty $$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x + 5} \geq — x + 7$$

    ________          
   / 39             39
  /  -- + 5  >= 7 - --
\/   10             10

  _____      
\/ 890     31
------- >= --
   10      10

но

  _____     
\/ 890    31
------- 
Тогда
$$x \leq 4$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 4$$         _____  
        /
-------•-------
       x1

5 корень из 7 на корень из 7

Вы искали 5 корень из 7 на корень из 7? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 7 корень из 5, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «5 корень из 7 на корень из 7».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 5 корень из 7 на корень из 7,7 корень из 5,7 корней из 5,корень из 7 5. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 5 корень из 7 на корень из 7. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 7 корней из 5).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 5 корень из 7 на корень из 7 Онлайн?

Решить задачу 5 корень из 7 на корень из 7 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел.0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.(1/5)

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, используйте знак доллара ($). Для получения дополнительной информации см. статью Абсолютные и относительные ссылки в Excel.

Вот такими способами вы можете извлечь квадратный корень в Excel.

Теорема Виета

7 ноября 2011

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

x² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
x² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
2x² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
3x² − 12x + 18 = 0;
−4x² + 32x + 16 = 0;
1,5x² + 7,5x + 3 = 0;
2x² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x². Получим:

3x² − 12x + 18 = 0 ⇒ x² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
−4x² + 32x + 16 = 0 ⇒ x² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
1,5x² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
2x² + 7x − 11 = 0 ⇒ x² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂. В этом случае верны следующие утверждения:
x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = − (−9) = 9; x₁ · x₂ = 20; корни: x₁ = 4; x₂ = 5;
x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −2; x₁ · x₂ = −15; корни: x₁ = 3; x₂ = −5;
x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = 4; корни: x₁ = −1; x₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:
x² − 9x + 14 = 0;
x² − 12x + 27 = 0;
3x² + 33x + 30 = 0;
−7x² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −(−9) = 9; x₁ · x₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−12) = 12; x₁ · x₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x² + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x₁ + x₂ = −11; x₁ · x₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
−7x² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−11) = 11; x₁ · x₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x² равен 1;
Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x₁ + x₂ = −(−7) = 7; x₁ · x₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x² − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x₁ = 1,2; x₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35². Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x₁ = 15; x₂ = −20.

Смотрите также:

Следствия из теоремы Виета
Как решать квадратные уравнения
Стандартный вид числа
Задача B3 — работа с графиками

Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря.2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
$\bullet$ Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, $\sqrt{25}+\sqrt{49}$ , то первоначально вы должны найти значения $\sqrt{25}$ и $\sqrt{49}$ , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения $\sqrt a$ или $\sqrt b$ при сложении $\sqrt a+\sqrt b$ найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме $\sqrt 2+ \sqrt {49}$ мы можем найти $\sqrt{49}$ – это $7$ , а вот $\sqrt 2$ никак преобразовать нельзя, поэтому $\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7$ . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя $\bullet$ Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: $\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$ ; $\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16$ ; $\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40$ . $\bullet$ Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем $\sqrt{44100}$ . Так как $44100:100=441$ , то $44100=100\cdot 441$ . По признаку делимости число $441$ делится на $9$ (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, $441:9=49$ , то есть $441=9\cdot 49$ .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
$\bullet$ Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения $5\sqrt2$ (сокращенная запись от выражения $5\cdot \sqrt2$ ). Так как $5=\sqrt{25}$ , то \ Заметим также, что, например,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .2\) , поэтому $\sqrt{16}=4$ . А вот извлечь корень из числа $3$ , то есть найти $\sqrt3$ , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст $3$ .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}$ и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) и т.д.
$\bullet$ Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой $\mathbb{R}$ .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
$\bullet$ Модуль вещественного числа $a$ – это неотрицательное число $|a|$ , равное расстоянию от точки $a$ до $0$ на вещественной прямой.2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и $\sqrt 2-1Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3 \(\bullet$ Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! $\bullet$ Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа.2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, $\sqrt{28224}=168$ . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Часто на олимпиадах и экзаменах (например, на ЕГЭ по математике) нельзя пользоваться калькулятором. Да и в быту, иногда нужно прикинуть значение квадратного корня из целого числа, не имея калькулятора под рукой. Как поступить?

1. Прежде всего, посмотрите на последнюю цифру числа, если она равна 2, 3, 7, 8, то целого корня из этого числа не существует. А если число заканчивается цифрами 1, 4, 6, 9, то последняя цифра искомого корня может быть равна, соответственно, 1 или 9, 2 или 8, 4 или 6, 3 или 7.
Если число заканчивается цифрой 5, то нужно обратить внимание на предпоследнюю цифру. Для существования целого корня она должна быть 2-кой, т.е. только те числа, которые заканчиваются на 25, могут иметь корни с окончанием 5.
Особое место в этом строю занимает 0. Если число заканчивается одним или нечетным числом нулей, то целого корня нет, если двумя или четным, то есть корень кратный 10-ти.

Заметили ли Вы некоторую симметрию в этой таблице? Подумайте, чем она обусловлена. Если не догадались, то посмотрите в конце этого раздела.

2. Разбейте число на группы (на грани) по 2 цифры справа налево. Начинайте с последней цифры. При этом, если заданное число состоит из нечетного числа цифр, то в крайней слева группе будет одна цифра, если из четного, то две.

Например,

Если ваше число состоит только из двух граней, то на этом можно остановиться и проверить возможные результаты умножением в столбик. Например, корень из числа 1225 должен начинаться с 3 (мы это определили в п.3), а заканчиваться может только 5-кой (см. п.1), т.е. если из этого числа существует натуральный корень, то это может быть только 35. Корень из числа 841 должен начинаться с 2, а заканчиваться может 1-цей или 9-кой, т.е. это либо 21, либо 29. Но 21 ≈ 20 и 20 2 = 400, а 29 ≈ 30 и 30 2 = 900. Заданное число 841 ближе к 900, чем к 400, поэтому ответ предположительно 29.

Проверим.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

Итак, ответы существуют, они найдены и найдены верно.
Для двузначных ответов, а более длинные числа на ЕГЭ бывают редко, всё очень просто. Не так ли?

4. Если ваше число состоит более, чем из двух граней, или вы не хотите сразу переходить к проверке, алгоритм нахождения корня продолжается следующим шагом:
— найденную первую цифру ответа возведите в квадрат и вычтите из первой грани, к разности допишите вторую грань, получится трехзначное или четырехзначное число. Обозначим его символом A.

В наших примерах:

14″28 «84	14 − 3 2 = 14 − 9 = 5. A = 528 .
2″04 «49	2 − 1 2 = 2 − 1 = 1. A = 104 .
12″25	12 − 3 2 = 12 − 9 = 3. A = 325 .
8″41	8 − 2 2 = 8 − 4 = 4. A = 441 .

5. Следующая цифра должна быть наибольшей, подбираемой так:
— умножаем на 2 имеющуюся часть ответа, дописываем к ней предполагающуюся цифру и умножаем полученное число на эту же цифру. То, что получилось, вычитаем из числа А. Остаток должен быть минимально возможным положительным числом.

Например, для числа 142884 (14″28″84) найдена часть ответа — первая цифра 3 и снесена вторая грань, т.е. определено A = 528. Умножаем часть ответа на 2, получим 3×2 = 6. Теперь к 6-ке справа нужно дописать «угадываемую цифру». Определяем её примерное значение:
А = 528 ≈ 500. 500:60 ≈ 8. Поэтому подбирать начинаем с 8.
528 − 68×8 = 528 − 544 528 − 67×7 = 528 − 469 > 0. Следующая цифра корня 7.

Итак, в наших примерах:

14″28″84	3×2 = 6. A = 528	528 − 67×7 = 528 − 469 = 59.	Часть ответа 37
2″04″49	1×2 = 2. A = 104	104 − 24×4 = 104 − 96 = 8.	Часть ответа 14
12″25	3×2 = 6. A = 325	325 − 65×5 = 325 − 325 = 0.	Ответ 35
8″41	2×2 = 4. A = 441	441 − 49×9 = 441 − 441 = 0.	Ответ 29

Если у вас образовалось столько цифр, сколько граней, и при этом остаток на этом шаге равен 0, то ответ получен. В любом случае его имеет смысл проверить умножением.
Если, цифр столько, сколько граней, но остаток не равен 0, то или была ошибка в вычислениях выше, или натурального корня из этого числа не существует. В последнем случае, если нужно всё-таки найти его значение с заданной точностью, можно добавить необходимое количество нулевых граней (00) после запятой и продолжить.
Если граней больше, чем получено цифр, то продолжаем. В двух верхних примерах нам осталось определить только последнюю цифру, сделать это можно подбором по п.1: для числа 142884 нужно проверить умножением 372 и 378, для числа 20449 проверить 143 и 147. Но мы продолжим по общему алгоритму.

6. Образуем новое число A, добавив к остатку, полученному на предыдущем шаге следующую грань. Для получения очередной цифры ответа повторяем действия 5-го шага. Этот шаг повторяем до тех пор, пока не будет получен весь ответ.
В наших примерах:

14″28″84	A = 5984. 37×2 = 74.	5984 − 748×8 = 5984 − 5984 = 0.	Ответ 378
2″04″49	A = 849. 14×2 = 28.	849 − 283×3 = 849 − 849 = 0.	Ответ 143

Заметили, что сумма однозначных целых чисел, квадраты которых заканчиваются на одно и то же число, равна 10? Убедимся в том, что это не случайно. Пусть эти числа x и y , тогда

x + y = 10 и y = 10 − x .

Вспоминим формулу квадрата разности двух чисел

(a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ;

И воспользуемся ею, чтобы найти квадрат y .

y 2 = (10 − x ) 2 = 10 2 − 2·10·x + x 2 ;

В этой сумме первое слагаемое заканчивается двумя нулями, второе нулем, значит всё выражение после сложения будет заканчиваться той же цифрой, что и x 2 . Т.е. x 2 и y 2 заканчиваются одинаково.

Примеры вычисления корня.

Вычислить √6335289_______ .

Будем записывать промежуточные результаты в столбик по аналогии с делением. Черновик справа от столбика.

6″33″52″89 | 2517.
−4
____
233
−225 |45×5
______
852
−501 |501×1
________
35189
−35189 |5027×7
__________
0

1) Разбиваем число на грани: 6″33″52″89. Получилось 4 штуки, следовательно, ответ будет состоять из 4-ёх цифр. Первая цифра 2, так как 2 2 = 4 6.

2) Далее удваиваем имеющуюся часть ответа, определяем остаток, сносим очередную грань и подбираем следующую цифру ответа. Повторяем этот шаг до последней грани:
233:40 ≈ 5; 45×5 = 225 233; следовательно, 2-я цифра 5;
852:500 ≈ 1; 501×1 = 501 852; следовательно, 3-я цифра 1.

3) Если целый корень существует, то его последней цифрой может быть либо 3, либо 7. Можем проверить 2513 и 2517 умножением в столбик. Но для многозначных чисел быстрее продолжить по общему алгоритму:
35189:5000 ≈ 7; 5027×7 = 35189 (!) Последняя цифра 7.

Ответ: 2517.

Вычислить √2304____ .

48
×48
______
384
192
______
2304

Разбиваем на грани. 23″04. Следовательно, ответ из 2-ух цифр, первая цифра 4, т.к. 4 2 = 16 23. Последняя цифра либо 2, либо 8, т.к. результат умножения должен заканчиваться на 4.
Итак, 42 или 48? 42 ≈ 40; 40 2 = 1600. 48 ≈ 50; 50 2 = 2500. 2500 ближе к заданному числу, поэтому проверку умножением в столбик начинаем с 48.

Ответ: 48.

Это самый распространенный случай на ЕГЭ по математике, и я настоятельно рекомендую завершать его именно проверкой.

Вычислить √503___ .

Число заканчивается тройкой. Сразу видно, что целого значения корня не получится. Зададимся вопросом, с какой точностью надо определить корень. Допустим, в условии сказано округлить ответ до сотых. Это означает, что получить его надо до тысячных, т.е. до 3-го знака после запятой. Поэтому к заданному числу нужно добавить еще 3 нулевые грани. И не забыть саму запятую!

5″03,00″00″00 | 22,427.
−4
____
103
− 84 |42×2
______
1900
−1776 |444×4
________
12400
− 8964 |4482×2
__________
343600
−313929 |44847×7
____________
29671

1) Таким образом, разбиение на грани будет таким 5″03, 00″00″00. Ответ будет состоять из пяти цифр — 2 до запятой и 3 после. Первая цифра равна 2 (2 2 = 4 5), последнюю цифру в данном случае мы определить не можем.

2) Далее, выполняем шаги 4,5,6 общего алгоритма, как обычно:
103:40 ≈ 2; 42×2 = 84 103; следовательно, 2-я цифра 2.
1900:440 ≈ 4; 444×4 = 1776 1900; следовательно, 3-я цифра 4.
12400:4480 ≈ 3; 4483×3 = 13449 > 12400; 4482×2 = 8964 343600:44840 ≈ 8; 44848×8 = 358784 > 343600; 44847×7 = 313929 Мы еще не получили нулевого остатка и, может быть, не получим никогда, если искомый корень иррациональное число. Но нам это и не нужно, т.к. результат уже получен с нужной для округления точностью.

По отбрасываем 3-ю цифру после запятой, увеличив (т.к. 7 > 5) предыдущую на единицу 22,427 ≈ 22,43.

Ответ: 22,43.

Вычислить √1,5____ .

Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, нужно вспомнить, что 10 2 = 100 и 0,1 2 = 0,01. Т.е. при возведении в квадрат происходит удвоение разрядов. Соответственно, для извлечении квадратного корня из десятичной дроби нам нужно, чтобы она имела четное число цифр после запятой. В этом случае мы получим целое число граней после запятой при разбиении справа налево (с конца), а значит и целое число цифр в дробной части ответа.
Вспомним также, что к целой части числа можно дописывать сколько угодно нулей впереди, а к дробной — сколько угодно нулей в конце. Число от этого не меняется.

1 = 001; 23 = 000023; 1080 = 01080; но(!) 1080 ≠ 10800
0,1 = 0,10; 2,3 = 2,3000; 10,80 = 0010,8000; но(!) 10,80 ≠ 100,80 и 10,80 ≠ 10,080

I способ.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

Допустим, что нужно дать ответ с точностью до десятых, тогда вычислять значение этого корня нужно до второго знака после запятой. Сейчас у нас 2 цифры после запятой, т.е. одна грань, поэтому добавим еще одну нулевую грань.

1,50″00 | 1,22
−1
____
50
−44 |22×2
______
600
−484 |242×2
_______
116

1) Рабиение на грани: 1,50″00. Результат будет из 3-ёх цифр — одна до запятой и две после. Первая цифра, очевидно, 1.

3) Округляем 1,22 ≈ 1,2.

Ответ: 1,2.

II способ.

Умножаем и одновременно делим наше число на 10 в четной степени (обязательно в четной, чтобы потом легко и точно извлечь корень из знаменателя). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Следовательно, нужно вычислить корень из 150 и разделить его на корень из 100, т.е. на 10.

Для небольших трёхзначных целых чисел просто запомнить значения корней, потому что они очень часто встречаются (см., например, в таблицах «Квадраты чисел от 1 до 25» и «Квадратные корни» ). Наиболее близкое к числу 150 значение квадрата целого числа 144, следовательно √150____ ≈ 12 и, соответственно, √1,5____ ≈ 12:10 = 1,2.

Ответ: 1,2.

Внимание: очень распространена ошибка, когда для определения примерного значения корня из 1,5 берут корень из 15. Запомним — четное количество нулей.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода :

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²
Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20
Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27
Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода — это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как

400 2 =160000 и 500 2 =250000

Действительно:

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как 190 969

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.
Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.
Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.
Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.
Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень из 148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Действительно, 90000

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 — 90000=58996 и 160000 — 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Правописание чередующихся гласных в корне слова (упражнения и тест)

Упражнение 1.

Выпишите слова с пропущенными буквами. Обозначьте условия выбора орфограммы – гласной в корне.

1. Лестница ок_залась новой, прочно сбитой и не скр_пела. Он взялся за верхнюю ступень, осторожно подт_нулся и загл_нул в дверной проем. 2. Утро зан_малось над поселком, роса бл_стела, картошка цвела, и лес на склоне был тихий, чуть подсвеченный заревом из-за хребта. 3. П_тно света от лазерного луча лежало на самом верхнем г_ризонте туч и м_няло к_нф_гурацию. 4. На б_рдовой _тласной др_пировке стен в дорогих рамах в_сели картины. 5. День выд_лся солнечный, теплый, вокруг п_стрела листьями наб_рающая силу осень. П_йзаж в этом месте м_нялся в зависимости от осв_щения. 7. Но в_сящее перед ним полотно потр_сало вообр_жение размерами и каким-то ж_стким излучением тревоги. 8. Он вышел в полном см_тении.

(С.Алексеев)

Упражнение 2.

Распределите слова в два столбика в зависимости от выбора гласной в корне. Обозначьте условия выбора орфограммы.

а) е – и

Соб_раться, бл_стеть, соб_рать, заб_рать, зам_реть, зам_рать, расст_лать, расст_лить, выж_гать, бл_стящий, заж_гательный, ст_реть, бл_стать, прот_реть, выт_рать, выб_рать, заст_лить, зам_рло, зам_рало, ум_реть, ум_рать, раст_рать, забл_стать, выст_рали, выд_раю, заб_раю, прот_реть, соб_рающий, выч_сть, выч_тать, расст_лить, расст_латься, зап_реть, зап_рать, приб_рать, изб_ратели, соч_тать, соч_тание, бл_стательный, бл_снет, приб_рет, оп_реться.

б) о – а

К_сательная, прик_снуться, прик_сновение, предл_жить, предл_гать, предл_жение, изл_жение, изл_гать, прил_гательное, прил_жение, оз_рять, з_ренька, з_рница, з_ря, з_рька, подг_рать, подг_реть, заг_р, заг_релый, подг_реть, наг_реть, выг_реть, заг_реть, сл_гаемые, выр_сли, выр_стать, выр_щенный, возр_ст, ср_щение, р_стительность, г_рит, р_внина, р_вняйсь, м_кать в сметану, г_рели, р_вняется, р_сток, отр_сль, ур_вень, ср_внение, Р_стислав, выр_внять грядки, ср_внить с кем-то, распол_житься, составить ур_внение, р_стение, город Р_стов, непром_каемый плащ, водор_сли, з_ря разг_рается, к_сались, нар_щение, сл_жение, к_снуться, оз_рена, дог_рали, г_релки, возл_жить, возл_гать, пол_гаю, неприк_сновенный, разл_жить, оз_рять, г_релка, приг_рать, оз_ренный, выр_сти, выр_сший, отр_слевой, р_вносторонний, обувь пром_кает, р_вновесие, р_весники, обм_кнуть кисть в краску, вым_кнуть под дождем, зар_внять швы, соприк_сновение.

Упражнение 3.

Спишите, расставьте пропущенные буквы, обозначьте графически условия выбора орфограммы в корне.

Отл_жить, пол_жить, прил_жить, предпол_гать, изл_гать, распол_житься, вл_дение, сл_гаемые, пол_г, предпол_жить; выр_сли, зар_стать, зар_сло, р_сток, недор_сль, подр_сти, возр_ст, подр_стать, р_стения, р_стущий, выр_щенный, отр_сль, Р_стов, водор_сли; зап_рать, зам_реть, соб_рать, расст_латься, выт_реть, бл_снуть, прид_раться, выж_гать, бл_стательный, зан_мать, пон_мать, нач_нать, выж_чь, взб_раться, проб_раться, пост_лить, отб_рать, заж_гать, соч_тать, соч_тание, ч_та, выч_тать, выч_сть; к_саться, прик_снуться, прик_сание, к_снуться, прик_сновение, прик_саться, к_сательная, неприк_сновенный; г_реть, заг_релый, заг_р, г_релый, уг_реть, разг_раться, подг_рать, дог_реть, уг_рный газ, заг_реть, выг_реть, перег_реть, наг_р; м_кать в сметану, непром_каемый плащ, вым_кнуть под дождем, обм_кнуть кисть, обувь пром_кает; ср_внить числа, р_вносторонний, все р_вно, р_вняйтесь, р_внина, р_внять грядки, ур_вень, р_весник, пор_вну, подр_внять волосы, ур_внять условия, ср_внение; ск_кать, подск_чить, ск_чок, ск_чу, выск_чка; попл_вок, пл_вчиха, пл_вец, пл_вучесть, пл_вун, жук-пл_вунец; скл_нить, скл_нение, накл_нить, кл_няться, тв_рец, утв_рь, покл_ниться; з_ря, з_рька, з_рево, оз_рение, з_рянка, з_ревать.

Упражнение 4.

Выпишите слова с пропущенными буквами в следующем порядке: с безударной гласной в корне, проверяемой ударением; непроверяемой; чередующейся. Вставьте пропущенные буквы.

а) 1. Глупцы не разумом, не честностью бл_стали, но золотом одним. (К.Батюшков) 2. Цв_ты последние м_лей роскошных первенцев п_лей. (А.Пушкин) 3. Бл_еснет заутра луч денницы, и заиграет яркий день. (А.Пушкин) 4. Вой протяжный г_лодных волков разд_ется в тумане др_мучего леса. (Я.Полонский) 5. Сосны в барх_те зеленом, и душистая см_ла по ч_шуйчатым колоннам янт_рями пот_кла. (К.Фофанов) 6. Под золотом з_ри березовый лесок. (С.Надсон) 7. Березы ст_яли все белые, без блеску, белые, как только вып_вший снег, до которого еще не к_снулся холодно играющий луч зимнего солнца. (И.Тургенев) 8. Небо, полное гр_зою, все в з_рницах тр_петало. (Ф.Тютчев) 9. Тихо ночь л_жится на вершины гор. (И.Николаев) 10. Лишь п_утины тонкий волос бл_стит на праздной борозде. (Ф.Тютчев) 11. Над рекой накл_нясь, что-то шепчет камыш. (И.Суриков) 12. Слабый ветер чуть слышно переб_рает л_ству над головой. 13. От цв_тов в п_лисаднике шел дурманящий зап_х. 14. Здесь так внезапно обрывалась суша и расст_лалась вечная вода! (В.Ленцов) 15. Я предпол_гал, что льдина где-то уткнется в песок моего берега. (В.Ленцов) 16. И тогда из зар_слей орешника выск_чила большая белобокая собака. (В.Ленцов) 17. За широким окном св_ркала под лучами снежная р_внина. (В.Ленцов) 18. В к_ллекции сада насчитывается пятьдесят четыре вида р_стений, зан_сенных в Красную книгу. (Н.Замятин) 19. Рев нар_стал, зап_лняя весь мир, разд_рая уши. (Стругацкие) 20. Не так часто приходится встречать людей, успешно соч_тающих умение работать и головой, и руками. 21. Ск_пт_цизм никогда не повредит, а вот излишний опт_мизм меня пугает. (М.Маринина) 22. Пароход, бл_стающий г_рляндами, поплыл дальше. (Е.Яковлева) 23. Сердце т_скливо зам_рало от прибл_жающихся звуков боя. (Б.Акунин) 24. Донесся быстро нар_стающий вой с_рены. 25. И долго потом на обг_релых холмах не р_сла трава. (В.Шкловский) 26. События разв_вались самым непредск_зуемым образом. 27. Прислонившись к стене, он см_трел на б_рюзовую воду б_ссейна, покрытую м_льчайшей п_утиной дождя. (Е.Крестовский) 28. Все попытки про_снить с_туацию ни к чему не прив_ли. 29. Приятно было видеть, что в к_мпании он имеет немалый вес, что с ним говорят ув_жительно.

б) 1. Как всегда, вид вечернего города нав_вал п_чаль. 2. Мне запомнились только долгие в_лос_педные прогулки по одному из подмосковных шоссе. 3. Ф_нари за к_сым деревянным з_бором г_рели загадочным и неземным светом, а в пустом и чистом небе в_село несколько мелких звезд. 4. Лес уп_рался в высокий з_бор из некрашеных серых досок, по верху которого зм_илась ржавая к_лючая проволока. 5. Остальные ребята из нашего эк_пажа по_влялись в училище постепенно. 6. Склон перех_дил в л_биринт скал, между которыми пл_скалось море.

(В.Пелевин)

в) 1. Синие глаза его заг_рались веселым насмешливым огнем. 2. Чувствовалось удовольствие, с которым он подступает к изл_жению своих мыслей. 3. А над деревней синим огнем г_рело июльское небо. 4. Д_леко-д_леко м_лькали з_рницы. 5. Все как-то не наступало желанное р_вновесие в душе его. 6. Вожак (волк) пор_внялся с лошадью и выб_рал момент, чтобы прыгнуть на нее. 7. Сердце зам_рает от необъ_снимой, тайной радости. 8. Князев в хорошем, мирном распол_жении духа прошелся по деревне. 9. Пос_девший Байкал с_рдито шумел, хл_стал каменистый берег, точно на нем х_тел вым_стить теперь всю злость, какую нак_пил за тр_вожную ночь.

Упражнение 5.

Выпишите слова с пропущенными буквами, группируя их по видам орфограмм – гласных в корне. Вставьте буквы, объясните графически их выбор.

А. 1. Пл_вучий мост через своенравную реку был уже восстановлен. 2. Еще деды моих дедов соб_рали здесь камни. 3. Нас всегда учили см_рять чувства. 4. Люди зам_рли, пор_женные внезапной пугающей красотой, столь неожиданной среди зал_денелой пустыни. 5. В зар_слях травы прош_лестел ветер. 6. Со стороны станции полыхнула дальняя з_рница. 7. Т_мительный зной в _сел над г_рячим _сфальтом. 8. Г_рячий воздух над р_вниной др_жал и перел_вался, отчего дальше с_неватые кряжи к_робились и см_щались, словно отр_женные в подернутой рябью воде. 9. Все вокруг распол_гало к приятному отдыху. 10. В р_зетку через тройник был подключен осв_титель м_кроскопа, выч_слительная машинка и настольная лампа. 11. На меня ваше объ_снение произвело большое вп_ч_тление. 12. Он накл_нился над письменным столом и стал переб_рать бумаги. 13. Маленькие закругленные погончики выглядели на нем весьма эл_гантно и даже к_кетливо. 14. _птические алмазы совершенно незам_нимы для некоторых особо тонких отр_слей новой техники. 15. В к_бинет вошел пож_лой человек в черном к_стюме и выж_дательно остановился на п_роге. 16. Он с любопытством огл_дел выч_рченные тушью т_блицы и графики.

(Е.Парнов)

Б. 1. Автомобиль, скр_пя т_рмозами на спуске, остановился около к_литки. 2. Между ск_мейками проб_ралась девушка. 3. Его черный с_луэт выд_лялся на фоне д_лекой св_тящейся зелени. 4. Наконец между стволами сосен что-то бл_снуло. 5. Вверху, почти к_саясь снежного склона, плыло странное огненное обл_ко. 6. Позади на спокойной воде зам_рла яхта. 7. Остров был _бсолютно гол. 8. Шарф ее разв_вался по ветру, чуть накл_ненная вперед ф_гурка напр_глась. 9. Вместе со своим отр_жением замок словно в_сит в воздухе, оп_ясанный б_хр_мой густой зеленой тени. 10. Песок л_жился выт_нутыми ровными гр_дами по обочинам гладкого проспекта… 11. Он видел, как первые лучи солнца к_снулись ледяного поля. 12. Шаги гулко разд_вались под сводами. 13. В лодке ст_яла, упр_вляя веслом, женщина с разв_вающимися волосами.

(А.Казанцев)

Упражнение 6.

Спишите, группируя слова так, чтобы в каждой группе оказались слова с орфограммами, написание которых регламентируется одним правилом. Вставьте пропущенные буквы.

Проб_раться, нагром_ждение, подск_чить, вым_кший, зан_маться, отобр_жать, расст_латься, бл_стящий, заж_гательный, прор_стает, ср_внить (числа), насл_ждаться, отт_ржение, акк_мп_нировать, уд_литься от берега, к_снуться руки, неукр_тимое ж_лание, несг_раемый шкаф, зам_рать от уд_вления; покл_нение; пор_вняться с домом; оч_рование, выж_гать рисунок, обм_кнуть кисть, проск_чить в щель; ск_чу на лошади; устойчивое словосоч_тание; подг_реть на к_стре; обн_женный лес; неисс_каемый р_дник; пл_вучий дом отдыха; безотл_гательное решение; прил_жение к журналу; прик_сновение к прекрасному; сл_жение дробей; просв_тительская работа; совм_щать должности; отр_сль промышленности; см_ркаться; разр_внять дорогу, пот_рять р_вновесие; выч_тание, зар_жение; г_рит з_ря; получить нар_кание; изн_могать от жары; играть в г_релки; з_рница; отважный пл_вец; нар_щение; зап_ч_тлеть на фотографии; к_сательная линия; дост_жения науки; об_ятельный человек; аб_туриент, ад_птация, инв_стиции, асс_циация, в_кансия, подн_маться в гору, тв_рить чудеса; ут_пический, ан_логия, _бсурд, тр_ктовать; острое об_няние; нав_ждение.

Тест по теме «Правописание чередующихся гласных в корне слова»

1. В каком ряду во всех словах пропущена буква А?

1) отр..сль, сокр..щать, р..скошный

2) предв..рительно, ск..кать, избирательная к..мпания

3) благосл..вить, безотл..гательный, ди..гональ

4) предпол..жительно, прор..стать, п..норама

2. В каком ряду во всех словах пропущена буква И?

1) д..монстрация, зам..реть, ж..лтизна

2) выч..тать, д..сант, ч..рстветь

3) д..алог, зап..рать, выл..ли

4) бл..снуть, д..серт, нагр..вающий

3. В каком ряду во всех словах пропущена буква О?

1) инт..нация, м..ссажер, предл..жение

2) б..гаж, к..мбинат, накл..ниться

3) г..лодание, соприк..сновение, ох..рактеризовать

4) погл..тить, в..лейбол, прил..жение

4. В каком ряду во всех словах пропущена буква Е?

1) неприм..римый, кам..ра, ном..р

2) прим..рять туфли, отм..рать, комм..рсант

3) нам..реваться, изм..рять, м..рцание

4) зам..рли, зам..рающий, сум..рки

5. Какой ряд состоит из слов, в которых пропущены только чередующиеся безударные гласные корня?

1) к..лонна, водор..сли, б..калея

2) раздр.жать, нагр..дной, ав..нгард

3) сл..гаемое, оз..рять, дор..сти

4) усл..жнять, в..робьиный, прил..скать

6. Из предложений 15—19 выпишите однокоренные слова с чередующейся безударной гласной в корне.

(15) Разве не чудо, что бабочки, как в настоящей сказке, в течение жизни испытывают полное перевоплощение! (16) Они, конечно, не единственные, кто умеет превращаться, но в этом видоизменении особенно разительна разница между похожей на червяка прожорливой гусеницей и яркой, порхающей в небе бабочкой. (17) Из яичка, отложенного бабочкой, появляются крохотные гусенички, которые всю свою жизнь едят и растут, растут и едят, главным образом, листья растений. (18) Потом выросшие гусеницы превращаются в неподвижные, но живые куколки. (19) Некоторые гусеницы, перед тем как «окуклиться», прядут овальные крепкие коконы из прочной нити.

7. Из предложений 1—4 выпишите слова с ЧЕРЕДУЮЩЕЙСЯ безударной гласной в корне

(1)Загрязнение — это нежелательное изменение физических, химических или биологических характеристик нашего воздуха, земли и воды, которое может сейчас или в будущем оказывать неблагоприятное влияние на жизнь самого человека, растений и животных. (2) Загрязнители — это остатки всего того, что мы производим, используем и выбрасываем. (3) Загрязнение увеличивается не только оттого, что с ростом населения уменьшается доступное для каждого человека пространство, но и оттого, что потребности на душу населения непрерывно увеличиваются, так что из года в год каждый из нас выбрасывает всё больше неразлагающихся отходов. (4) На Земле становится всё больше и больше людей, на ней уже нет больше места для свалки мусора.

8. Из предложений 21—24 выпишите однокоренные слова с чередующейся безударной гласной в корне.

(21) Беспечность человека — вот главная причина беды. (22) А наш мир так же сложен и уязвим, как паутина: стоит коснуться одной паутинки, как непременно дрогнут все остальные. (23) Ведь мы не просто касаемся паутины — мы оставляем в ней зияющие дыры. (24) За растения и животных некому заступиться, кроме нас, людей, которые вместе с нами населяют нашу прекрасную планету…

9. Из предложений 4—9 выпишите слова с чередующейся безударной гласной в корне.

(4) Египтяне быстро поняли, насколько полезны эти создания, когда ливийские дикие кошки стали приходить охотиться к амбарам с зерном. (5) Так между людьми и кошачьими зародилась их дружба, а вскоре из союзника по борьбе с грызунами кошка превратилась в домашнюю любимицу. (6) Прошло ещё немного времени, и она стала божеством: египтяне поклонялись доброй богине Баст с кошачьей головой и её жестокой сестре с львиной головой — богине войны Сехмет. (7) Если кошка умирала, все члены семьи в знак траура выбривали себе брови, что являлось показателем уважительного отношения к этому животному. (8) Преднамеренное убийство кошки влекло за собой смерть, но даже случайное — наказывалось достаточно сурово. (9) Из Египта домашняя кошка проникла в другие страны, но для этого потребовались долгие годы.

10. Из предложений 6—7 слово с чередующейся безударной гласной в корне.

(6) Она была тоненькая, курносая, с короткими и растрёпанными, как у мальчишки, волосами. (7) Она покачивалась на загорелых ногах, как на стебельках, задумчиво смотрела мимо людей и водила смычком.

Ответы:

Основы квадратного корня (примеры и ответы)

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен освоить основы квадратного корня для решения эти вопросы. Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому. Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении само на себя дает результат после символа √. Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.

Вы можете множить квадратные корни на множители, как и обычные числа , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.

Что такое квадратный корень?

Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя.2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3

, где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях можно игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.

Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}

Упрощение квадратных корней

Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете множить квадратные корни на множители так же, как множители обычных чисел. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому

\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}

Упрощение больших корней означает поэтапную факторизацию и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}

Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:

\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}

В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}

Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила

\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a

Что такое квадратный корень…

Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.

Квадратный корень из 8

Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:

\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}

Квадратный корень из 4

. простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задачу можно точно решить с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….

Квадратный корень из 12

Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:

\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}

Опять же, это упрощенное выражение можно использовать в задачах по мере необходимости или точно рассчитать с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что

\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….

Квадратный корень из 20

Квадратный корень из 20 можно найти таким же образом:

\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….

Квадратный корень из 32

Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:

\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}

Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:

\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….

Квадратный корень отрицательного числа

Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное само на себя, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,

\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i

Эти проблемы более сложные, но вы можете научиться их решать, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.

Примеры вопросов и ответов

Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:

\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}

Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:

\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt {10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27} = \ sqrt { 3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5,196

Корни и радикалы

Квадратные и кубические корни

Напомним, что квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 52 = 25. Поскольку (−5) 2 = 25, мы можем сказать, что −5 также является квадратным корнем из 25. Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. По этой причине мы используем знак корня для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня Положительного квадратного корня из положительного действительного числа, обозначаемого символом. и отрицательный знак перед корнем — для обозначения отрицательного квадратного корня.

25 = 5 Положительный квадратный корень из 25-25 = −5 Отрицательный квадратный корень из 25

Ноль — единственное действительное число с одним квадратным корнем.

0 = 0, потому что 02 = 0

Пример 1

Оценить.

121
−81

Решение:

121 = 112 = 11
−81 = −92 = −9

Если подкоренное выражение Выражение A в знаке корня, An., Число внутри знака радикала, может быть разложено на квадрат другого числа, то квадратный корень из числа очевиден.В этом случае мы имеем следующее свойство:

a2 = a, если a≥0

Или, в более общем смысле,

a2 = | a | если a∈ℝ

Абсолютное значение важно, потому что a может быть отрицательным числом, а знак корня обозначает главный квадратный корень. Например,

(−8) 2 = | −8 | = 8

Используйте абсолютное значение, чтобы гарантировать положительный результат.

Пример 2

Упростить: (x − 2) 2.

Решение:

Здесь выражение переменной x − 2 может быть отрицательным, нулевым или положительным. Поскольку знак зависит от неизвестной величины x , мы должны обеспечить получение главного квадратного корня, используя абсолютное значение.

(x − 2) 2 = | x − 2 |

Ответ: | x − 2 |

Важность использования абсолютного значения в предыдущем примере становится очевидной, когда мы оцениваем с использованием значений, которые делают подкоренное значение отрицательным.Например, если x = 1,

(x − 2) 2 = | x − 2 | = | 1−2 | = | −1 | = 1

Затем рассмотрим квадратный корень отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из −25, вы должны найти число, возведение которого в квадрат дает −25:

−25 =? или (?) 2 = −25

Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда дает положительное число. Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен. А пока мы заявим, что -25 не является действительным числом.Следовательно, функция извлечения квадратного корня Функция определяется как f (x) = x. заданный как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны. Наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2. Напомним график функции извлечения квадратного корня.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю: [0, ∞). Чтобы определить область определения функции, содержащей квадратный корень, мы смотрим на подкоренное выражение и находим значения, которые дают неотрицательные результаты.

Пример 3

Определить область определения функции f (x) = 2x + 3.

Решение:

Здесь подкоренное выражение равно 2x + 3. Это выражение должно быть нулевым или положительным. Другими словами,

2x + 3≥0

Решите для x .

2x + 3≥02x≥ − 3x≥ − 32

Ответ: Домен: [−32, ∞)

Кубический корень Число, которое при трехкратном использовании в качестве множителя с самим собой дает исходное число, обозначенное символом 3.числа — это число, которое при трехкратном умножении на само себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем корень куба с помощью символа 3, где 3 называется индексом Положительное целое число n в обозначении n, которое используется для обозначения корня n -й степени. Например,

643 = 4, потому что 43 = 64

Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный. По этой причине у любого действительного числа будет только один действительный кубический корень.Следовательно, технические детали, связанные с основным корнем, не применяются. Например,

−643 = −4, потому что (−4) 3 = −64

В общем случае для любого действительного числа a мы имеем следующее свойство:

a33 = a, если a∈ℝ

При упрощении кубических корней ищите множители, которые являются идеальными кубами.

Пример 4

Оценить.

83
03
1273
−13
−1253

Решение:

83 = 233 = 2
03 = 033 = 0
1273 = (13) 33 = 13
−13 = (- 1) 33 = −1
−1253 = (- 5) 33 = −5

Может случиться так, что подкоренное выражение не является полным квадратом или кубом.3≈2

Поскольку кубические корни могут быть отрицательными, нулевыми или положительными, мы не используем никаких абсолютных значений.

Пример 5

Упростить: (y − 7) 33.

Решение:

Кубический корень из куба количества и есть это количество.

(у-7) 33 = у-7

Ответ: y − 7

Попробуй! Вычислите: -10003.

Ответ: −10

Затем рассмотрим функцию кубического корня Функция, определенная как f (x) = x3 .:

f (x) = x3 Функция кубического корня.

Поскольку кубический корень может быть как отрицательным, так и положительным, мы заключаем, что область состоит из всех действительных чисел. Нарисуйте график, нанеся точки. Выберите несколько положительных и отрицательных значений для x , а также ноль, а затем вычислите соответствующие значения y .

xf (x) = x3 Упорядоченные пары − 8−2f (−8) = — 83 = −2 (−8, −2) −1−1f (−1) = — 13 = −1 (−1, −1) 00f (0) = 03 = 0 (0,0) 11f (1) = 13 = 1 (1,1) 82f (8) = 83 = 2 (8,2)

Постройте точки и нарисуйте график функции кубического корня.

График проходит проверку вертикальной линии и действительно является функцией. Кроме того, диапазон состоит из всех действительных чисел.

Пример 6

Дано g (x) = x + 13 + 2, найти g (−9), g (−2), g (−1) и g (0).Нарисуйте график g.

Решение:

Заменить x заданными значениями.

xg (x) g (x) = x + 13 + 2 Упорядоченные пары − 90g (−9) = — 9 + 13 + 2 = −83 + 2 = −2 + 2 = 0 (−9,0) −21g ( −2) = — 2 + 13 + 2 = −13 + 2 = −1 + 2 = 1 (−2,1) −12g (−1) = — 1 + 13 + 2 = 03 + 2 = 0 + 2 = 2 (-1,2) 03g (0) = 0 + 13 + 2 = 13 + 2 = 1 + 2 = 3 (0,3)

Мы также можем зарисовать график, используя следующие переводы:

y = x3 Базовая функция корня куба y = x + 13 Горизонтальный сдвиг влево 1 единица = x + 13 + 2 Вертикальный сдвиг вверх на 2 единицы

Ответ:

энные корни

Для любого целого числа n≥2 мы определяем корень n -й степени Число, которое при возведении в степень n -й степени (n≥2) дает исходное число.положительного действительного числа как числа, которое при возведении в степень n в -й степени дает исходное число. Для любого неотрицательного действительного числа a мы имеем следующее свойство:

ann = a, если a≥0

Здесь n называется индексом, а an называется подкоренным выражением. Кроме того, мы можем ссылаться на все выражение An как на радикал. Используется при обращении к выражению формы An .. Когда индекс является целым числом, большим или равным 4, мы говорим «корень четвертой степени», «корень пятой степени» и скоро.Корень n -й степени любого числа очевиден, если мы можем записать подкоренное выражение с показателем, равным индексу.

Пример 7

Упростить.

814
325
17
1164

Решение:

814 = 344 = 3
325 = 255 = 2
17 = 177 = 1
1164 = (12) 44 = 12

Примечание : Если индекс равен n = 2, то радикал указывает на квадратный корень, и принято писать радикал без индекса; а2 = а.

Мы уже позаботились о том, чтобы определить главный квадратный корень действительного числа. На этом этапе мы расширяем эту идею до n корней -й степени, когда n четные. Например, 3 — это корень четвертой степени из 81, потому что 34 = 81. А поскольку (−3) 4 = 81, мы можем сказать, что −3 также является корнем четвертой степени из 81. Следовательно, мы используем знак корня n для обозначения главного (неотрицательного) корня n и положительного корня n -й степени, когда n четное. когда n четный.В этом случае для любого действительного числа a мы используем следующее свойство:

ann = | a | Когда n равно

Например,

814 = 344 = | 3 | = 3 814 = (- 3) 44 = | −3 | = 3

Отрицательный n корень -й степени, когда n четный, будет обозначаться отрицательным знаком перед корнем — n.

−814 = −344 = −3

Мы видели, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным, потому что любое действительное число, возведенное в квадрат, даст положительное число.Фактически, аналогичная проблема возникает для любого четного индекса:

−814 =? или (?) 4 = −81

Мы видим, что корень четвертой степени из −81 не является действительным числом, потому что четвертая степень любого действительного числа всегда положительна.

−4−814−646} Эти радикалы не являются действительными числами.

Предлагаем вам попробовать все это на калькуляторе. Что там написано?

Пример 8

Упростить.

(-10) 44
−1044
(2г + 1) 66

Решение:

Поскольку индексы четные, используйте абсолютные значения, чтобы гарантировать неотрицательные результаты.

(-10) 44 = | -10 | = 10
−1044 = −10,0004 не является действительным числом.
(2y + 1) 66 = | 2y + 1 |

Когда индекс n нечетный, таких проблем не возникает.Произведение нечетного числа положительных факторов положительно, а произведение нечетного количества отрицательных факторов отрицательно. Следовательно, когда индекс n является нечетным, существует только один действительный корень n -й степени для любого действительного числа a . И вот недвижимость у нас:

ann = a Если n нечетное

Пример 9

Упростить.

(-10) 55
−325
(2г + 1) 77

Решение:

Поскольку индексы нечетные, абсолютное значение не используется.

(-10) 55 = -10
−325 = (- 2) 55 = −2
(2y + 1) 77 = 2y + 1

Таким образом, для любого действительного числа a у нас есть

ann = | a | Когда n четноann = aКогда n нечетно

Когда n является нечетным , корень n -й степени равен положительным или отрицательным в зависимости от знака подкоренного выражения.

273 = 333 = 3−273 = (- 3) 33 = −3

Когда n равно , корень n -й степени равен положительным или ненастоящим в зависимости от знака подкоренного выражения.

164 = 244 = 2164 = (- 2) 44 = | −2 | = 2−164 Не действительное число

Попробуй! Упростить: −8−325.

Ответ: 16

Упрощающие радикалы

Не всегда подкоренное выражение является полной степенью данного индекса. Если это не так, мы используем правило произведения для радикалов, заданных действительными числами An и Bn, A⋅Bn = An⋅Bn. и правило частного для радикалов с заданными действительными числами An и Bn, ABn = AnBn, где B ≠ 0.чтобы упростить их. Учитывая действительные числа An и Bn,

Правило продукта для радикалов:	A⋅Bn = An⋅Bn
Правило частного для радикалов:	ABn = AnBn

Радикал упрощен: радикал, в котором подкоренное выражение не состоит из каких-либо множителей, которые могут быть записаны как полные степени индекса.если он не содержит каких-либо факторов, которые могут быть записаны как абсолютные степени индекса.

Пример 10

Упростить: 150.

Решение:

Здесь 150 можно записать как 2⋅3⋅52.

150 = 2⋅3⋅52 Примените правило произведения для радикалов. = 2⋅3⋅52 Упростите. = 6 ⋅ 5 = 56

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе:

150≈12,25 и 56≈12,25

Также стоит отметить, что

12.252≈150

Ответ: 56

Примечание : 56 — точный ответ, а 12,25 — приблизительный ответ. Мы даем точные ответы, если не указано иное.

Пример 11

Упростить: 1603.

Решение:

Используйте разложение на простые множители 160, чтобы найти наибольший коэффициент идеального куба:

160 = 25⋅5 = 23⋅22⋅5

Замените подкоренное выражение этой факторизацией, а затем примените правило произведения для радикалов.

1603 = 23⋅22⋅53 Примените правило произведения для радикалов. = 233⋅22⋅53 Упростите. = 2⋅203

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе.

1603≈5,43 и 2203≈5,43

Ответ: 2203

Пример 12

Упростить: −3205.

Решение:

Здесь отметим, что индекс нечетный, а подкоренное выражение отрицательное; следовательно, результат будет отрицательным.Мы можем разложить подкоренное выражение на множители следующим образом:

−320 = −1⋅32⋅10 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅10

Затем упростите:

−3205 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅105 Примените правило произведения для радикалов. = (- 1) 55⋅ (2) 55⋅105Simplify. = — 1⋅2⋅105 = −2⋅105

Ответ: −2105

Пример 13

Упростить: -8643.

Решение:

В этом случае рассмотрим эквивалентную дробь с −8 = (- 2) 3 в числителе и 64 = 43 в знаменателе, а затем упростим.

−8643 = −864 3 Примените правило частного для радикалов. = (- 2) 33433Simplify. = — 24 = −12

Ответ: −12

Попробуй! Упростить: 80814

Ответ: 2543

Основные выводы

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, найдите наибольший коэффициент полного квадрата подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
Чтобы упростить кубический корень, найдите наибольший коэффициент идеального куба подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
При работе с корнями n , n определяет применимое определение. Мы используем ann = a, когда n нечетно и ann = | a | когда n четный.
Чтобы упростить n корней -й степени, найдите множители, мощность которых равна индексу n , а затем примените правило произведения или частного для радикалов.Обычно процесс упрощается, если вы работаете с разложением на простые множители подкоренного выражения.

Тематические упражнения

Часть A: квадратные и кубические корни

Упростить.

49
164
183
8273

Определите область определения данной функции.

Оценить по определению функции.

Дано f (x) = x − 1, найти f (1), f (2) и f (5)
Дано f (x) = x + 5, найти f (−5), f (−1) и f (20)
Дано f (x) = x + 3, найти f (0), f (1) и f (16)
Дано f (x) = x − 5, найти f (0), f (1) и f (25)
Дано g (x) = x3, найти g (−1), g (0) и g (1)
Дано g (x) = x3−2, найти g (−1), g (0) и g (8)
Дано g (x) = x + 73, найти g (−15), g (−7) и g (20)
Дано g (x) = x − 13 + 2, найти g (0), g (2) и g (9)

Нарисуйте график данной функции и укажите ее область определения и диапазон.

Часть B:

Упростить.

1325
12435
32516
6169
5271253
732755
−58273
−8625164

Часть C: Упрощение радикалов

Упростить.

15049
2009 г.
675121
19281
541253
403433
2242435
5325
−1325
−1646

Упростить.Дайте точный ответ и примерный ответ с округлением до сотых.

9649
19225
2881253
62583

Перепишем следующее как радикальное выражение с коэффициентом 1.

Каждая сторона квадрата имеет длину, равную квадратному корню из площади квадрата.Если площадь квадрата составляет 72 квадратных единицы, найдите длину каждой из его сторон.
Каждое ребро куба имеет длину, равную кубическому корню из объема куба. Если объем куба составляет 375 кубических единиц, найдите длину каждого из его ребер.
Ток I , измеренный в амперах, определяется формулой I = PR, где P — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах.Если у 100-ваттной лампочки сопротивление 160 Ом, найдите необходимый ток. (Округлить до сотых долей ампера.)
Время в секундах, в течение которого объект находится в свободном падении, определяется формулой t = s4, где s представляет собой расстояние в футах, на которое объект упал. Сколько времени потребуется объекту, чтобы упасть на землю с вершины 8-футовой стремянки? (Округлите до ближайшей десятой доли секунды.)

Часть D: Обсуждение

Объясните, почему существует два действительных квадратных корня для любого положительного действительного числа и один действительный кубический корень для любого действительного числа.
Что такое квадратный корень из 1 и кубический корень из 1? Объяснить, почему.
Объясните, почему −1 не является действительным числом и почему −13 является действительным числом.
Изучите и обсудите методы, используемые для вычисления квадратных корней, до того, как электронные калькуляторы начнут широко использоваться.

ответы

[−15, ∞)
г (−1) = — 1; г (0) = 0; г (1) = 1
г (−15) = — 2; г (-7) = 0; г (20) = 3
Домен: [−9, ∞); диапазон: [0, ∞)
Домен: [1, ∞); диапазон: [2, ∞)
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ
Домен: ℝ; диапазон: ℝ

567
15311
3235
2753

Умножение радикальных выражений — ChiliMath

В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными корнями, которые представляют собой определенный тип радикального выражения с индексом \ color {red} 2.Если вы видите радикальный символ без явно написанного индекса, предполагается, что он имеет индекс \ color {red} 2.

Ниже приведены основные правила умножения радикальных выражений.

Основное правило умножения радикальных выражений

Подкоренное выражение — это термин внутри квадратного корня. Мы умножаем радикалы, умножая их подкоренные выражения вместе, сохраняя при этом их произведение под одним и тем же символом радикала. Что будет тогда, если в радикальных выражениях есть числа, расположенные снаружи?

Нам просто нужно настроить формулу выше.Но ключевая идея состоит в том, что произведение чисел, находящихся вне радикальных символов, также остается снаружи.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как применяются эти два основных правила.

Примеры умножения радикальных выражений

Пример 1 : Упростить умножением.

Умножьте подкоренные выражения, сохраняя произведение внутри квадратного корня.

Произведение представляет собой полный квадрат, поскольку 16 = 4 · 4 = 4 ², что означает, что квадратный корень из \ color {blue} 16 — это просто целое число.

Пример 2 : Упростить умножением.

Можно умножать числа, если они оба находятся под радикальным символом. После умножения подкоренных выражений посмотрите, возможно ли дальнейшее упрощение.

Пример 3 : Упростить умножением.

Возьмите число вне скобок и распределите его по числам внутри. Мы просто применяем дистрибутивное свойство умножения.

Далее приступаем к обычному умножению радикалов. Но будьте осторожны. Вы можете умножать только числа, находящиеся внутри радикальных символов. Таким же образом можно использовать только числа, не входящие в радикальные символы.

При умножении числа внутри символа корня и числа вне символа корня просто поместите их рядом.

Пример 4 : Упростить умножением.

Как и в примере 3, мы собираемся распределить числа вне скобок на числа внутри.Но обязательно умножайте числа только в том случае, если их «расположение» одинаково. То есть умножайте числа вне радикальных символов независимо от чисел внутри радикальных символов.

Отсюда мне просто нужно упростить продукты.

Пример 5 : Упростить умножением.

Решение :

Пример 6 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Эта задача требует, чтобы мы умножили два бинома, содержащие радикальные члены.Примените метод FOIL для упрощения.

F : Умножьте первые члены.

O : Умножьте внешних членов.

I : Умножьте внутренних членов.

L : умножить на последние члена.

После применения свойства распределения с помощью метода FOIL, я упросту их как обычно.

Пример 7 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Как и в предыдущем примере, давайте применим метод FOIL, чтобы упростить произведение двух биномов.

F : умножить на первые члена.

O : Умножьте внешних членов.

I : Умножьте внутренних членов.

L : умножить на последние члена.

С этого момента упрощайте как обычно.Обратите внимание, что два средних члена отменяют друг друга.

Пример 8 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

Умножьте вместе, используя метод FOIL.

Упростим квадратный корень из 25.

Сложите числа без радикальных символов

Пример 9 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим это пошагово:

Разверните произведение биномов с помощью FOIL.

Получите квадратные корни из совершенных квадратных чисел, которые равны \ color {red} 36 и \ color {red} 9.

Найдите точный квадратный множитель для 24.
Разбейте его как произведение квадратных корней.
Упростим квадратный корень из 4.

Вычтите аналогичные радикалы и вычтите также числа без радикальных символов.

Пример 10 : Упростить умножением.

Мы собираемся перемножить эти биномы «матричным методом». Напишите члены первого бинома (синим цветом) в крайнем левом столбце и напишите члены второго бинома (красным цветом) в верхней строке.

Умножьте числа соответствующих сеток. См. Анимацию ниже.

Затем упростите продукт внутри каждой сетки.

Наконец, сложите все продукты во всех четырех сетках и упростите, чтобы получить окончательный ответ.

Пример 11 : Упростить умножением.

Поместите члены первого бинома в крайний левый столбец, а члены второго бинома в верхнюю строку. Затем перемножьте соответствующие квадратные сетки.

Наконец, сложите значения в четырех сетках и максимально упростите, чтобы получить окончательный ответ.

Практика с рабочими листами

Вас также может заинтересовать:

Решение радикальных уравнений
Упрощение радикальных выражений
Сложение и вычитание радикальных выражений
Рационализация знаменателя

9.1 Решите квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня — промежуточная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Решите квадратные уравнения вида ax2 = kax2 = k, используя свойство квадратного корня
Решите квадратные уравнения вида a (x – h) 2 = ka (x – h) 2 = k, используя свойство квадратного корня

Будьте готовы 9,1

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: 128.128.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.13.

Будьте готовы 9.2

Упростить: 325325.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.50.

Будьте готовы 9,3

Фактор: 9×2−12x + 49×2−12x + 4.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.23.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0a ≠ 0. Квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений тем, что включают квадратный член с переменной, возведенной во вторую степень, вида ax ².Мы используем другие методы для решения квадратных уравнений, чем линейные, потому что простое сложение, вычитание, умножение и деление членов не приведет к выделению переменной.

Мы видели, что некоторые квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации. В этой главе мы узнаем три других метода, которые можно использовать в случае, если квадратное уравнение не может быть разложено на множители.

Решите квадратные уравнения вида ax2 = kax2 = k, используя свойство квадратного корня

Мы уже решили некоторые квадратные уравнения с помощью факторизации.Давайте рассмотрим, как мы использовали факторизацию для решения квадратного уравнения x ² = 9.

	x2 = 9×2 = 9
Приведите уравнение в стандартную форму.	x2−9 = 0x2−9 = 0
Фактор разницы квадратов.	(x − 3) (x + 3) = 0 (x − 3) (x + 3) = 0
Использовать свойство нулевого продукта.	х-3 = 0х-3 = 0х-3 = 0х-3 = 0
Решите каждое уравнение.	х = 3х = -3х = 3х = -3

Мы можем легко использовать факторизацию, чтобы найти решения подобных уравнений, например, x ² = 16 и x ² = 25, потому что 16 и 25 являются точными квадратами.В каждом случае мы получим два решения: x = 4, x = −4x = 4, x = −4 и x = 5, x = −5, x = 5, x = −5.

Но что произойдет, если у нас есть уравнение вроде x ² = 7? Поскольку 7 не является полным квадратом, мы не можем решить уравнение факторизацией.

Ранее мы узнали, что, поскольку 169 — это квадрат 13, мы также можем сказать, что 13 — это квадратный корень из 169. Кроме того, (−13) ² = 169, поэтому −13 также является квадратным корнем из 169. Следовательно, и 13, и −13 являются квадратными корнями из 169.Итак, каждое положительное число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный. Ранее мы определили квадратный корень из числа таким образом:

Если n2 = m, то есть квадратный корень из m. Еслиn2 = m, то есть квадратный корень из m.

Поскольку все эти уравнения имеют форму x ² = k , определение квадратного корня говорит нам, что решениями являются два квадратных корня из k . Это приводит к свойству квадратного корня.

Свойство квадратного корня

Если x ² = k , то

x = korx = −korx = ± k.x = korx = −korx = ± k.

Обратите внимание, что свойство квадратного корня дает два решения уравнения вида x ² = k , главного квадратного корня из kk и его противоположности. Мы также могли бы записать решение в виде x = ± k.x = ± k. Мы читаем это как x , равное положительному или отрицательному квадратному корню из k .

Теперь мы снова решим уравнение x ² = 9, на этот раз используя свойство квадратного корня.

	x2 = 9×2 = 9
Используйте свойство квадратного корня.	х = ± 9х = ± 9
	х = ± 3х = ± 3
	Sox = 3 или x = −3. Ox = 3 или x = −3.

Что происходит, если константа не является точным квадратом? Давайте воспользуемся свойством квадратного корня, чтобы решить уравнение x ² = 7.

	x2 = 7×2 = 7
Используйте свойство квадратного корня.	х = 7, х = −7x = 7, х = −7

Мы не можем упростить 77, поэтому оставим ответ радикальным.

Пример 9.1

Как решить квадратное уравнение вида

ax ² = k Использование свойства квадратного корня

Решить: x2−50 = 0. x2−50 = 0.

Попробуйте 9.1

Решите: x2−48 = 0.x2−48 = 0.

Попробуйте 9.2

Решите: y2−27 = 0. y2−27 = 0.

Шаги, которые необходимо предпринять, чтобы использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения, перечислены здесь.

How To

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.

Шаг 1. Выделите квадратичный член и сделайте его коэффициент равным единице.
Шаг 2. Используйте свойство квадратного корня.
Шаг 3. Упростим радикал.
Шаг 4. Проверьте решения.

Чтобы использовать свойство квадратного корня, коэффициент члена переменной должен быть равен единице. В следующем примере мы должны разделить обе части уравнения на коэффициент 3, прежде чем использовать свойство квадратного корня.

Пример 9.2

Решение

	3z2 = 1083z2 = 108
Квадратичный член изолирован. Разделите на 3, чтобы получить коэффициент 1.	3z23 = 10833z23 = 1083
Упростить.	z2 = 36z2 = 36
Используйте свойство квадратного корня.	г = ± 36 г = ± 36
Упростим радикал.	z = ± 6z = ± 6
Перепишите, чтобы показать два решения.	z = 6, z = −6z = 6, z = −6
Проверьте решения:

Свойство квадратного корня гласит: «Если x2 = kx2 = k,» что произойдет, если k <0? K <0? Так будет в следующем примере.

Пример 9.3

Решение

	x2 + 72 = 0x2 + 72 = 0
Выделите квадратичный член.	x2 = −72×2 = −72
Используйте свойство квадратного корня.	х = ± -72х = ± -72
Упростите, используя комплексные числа.	x = ± 72ix = ± 72i
Упростим радикал.	x = ± 62ix = ± 62i
Перепишите, чтобы показать два решения.	x = 62i, x = −62ix = 62i, x = −62i
Проверьте решения:

Наш метод также работает, когда в уравнении встречаются дроби, мы решаем как любое уравнение с дробями. В следующем примере мы сначала выделяем квадратичный член, а затем делаем коэффициент равным единице.

Пример 9,4

Решите: 23u2 + 5 = 17.23u2 + 5 = 17.

Попробуйте 9,7

Решить: 12×2 + 4 = 24,12×2 + 4 = 24.

Попробуйте 9,8

Решите: 34y2−3 = 18.34y2−3 = 18.

Решения некоторых уравнений могут иметь дроби внутри радикалов. Когда это происходит, мы должны рационализировать знаменатель.

Пример 9,5

Решите: 2×2−8 = 41,2×2−8 = 41.

Попробуйте 9.9

Решите: 5r2−2 = 34,5r2−2 = 34.

Попробуйте 9.10

Решите: 3t2 + 6 = 70,3t2 + 6 = 70.

Решите квадратные уравнения вида

a ( x — h ) ² = k Используя свойство квадратного корня

Мы можем использовать свойство квадратного корня для решения уравнения вида a ( x — h ) ² = k .Обратите внимание, что квадратный член x в исходной форме ax ² = k заменяется на ( x — h ).

Первый шаг, как и раньше, — выделить термин, в котором переменная возведена в квадрат. В этом случае возводится двучлен. После выделения бинома путем деления каждой стороны на коэффициент a свойство квадратного корня можно использовать для ( x — h ) ².

Пример 9,6

Решите: 4 (y − 7) 2 = 48,4 (y − 7) 2 = 48.

Решение

	4 (y − 7) 2 = 484 (y − 7) 2 = 48
Разделим обе части на коэффициент 4.	(y − 7) 2 = 12 (y − 7) 2 = 12
Используйте свойство квадратного корня для бинома	y − 7 = ± 12y − 7 = ± 12
Упростим радикал.	y − 7 = ± 23y − 7 = ± 23
Решить относительно y.у.	у = 7 ± 23у = 7 ± 23
Перепишите, чтобы показать два решения.	y = 7 + 23, y = 7 + 23, y = 7−23y = 7−23
Чек:

Попробуйте 9.11

Решите: 3 (a − 3) 2 = 54,3 (a − 3) 2 = 54.

Попробуйте 9.12

Решите: 2 (b + 2) 2 = 80,2 (b + 2) 2 = 80.

Помните, когда мы извлекаем квадратный корень из дроби, мы можем извлекать квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно.

Пример 9.7

Решите: (x − 13) 2 = 59. (X − 13) 2 = 59.

Решение

	(x − 13) 2 = 59 (x − 13) 2 = 59
Используйте свойство квадратного корня.	x − 13 = ± 59x − 13 = ± 59
Записываем радикал как долю квадратных корней.	x − 13 = ± 59x − 13 = ± 59
Упростим радикал.	x − 13 = ± 53x − 13 = ± 53
Решите для xx.	х = 13 ± 53х = 13 ± 53
Перепишите, чтобы показать два решения.	x = 13 + 53, x = 13−53x = 13 + 53, x = 13−53
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9,13

Решите: (x − 12) 2 = 54. (X − 12) 2 = 54.

Попробуйте 9.14

Решите: (y + 34) 2 = 716. (Y + 34) 2 = 716.

Мы начнем решение следующего примера с выделения биномиального члена.

Пример 9,8

Решите: 2 (x − 2) 2 + 3 = 57,2 (x − 2) 2 + 3 = 57.

Решение

2 (x − 2) 2 + 3 = 572 (x − 2) 2 + 3 = 57

Вычтите 3 с обеих сторон, чтобы выделить биномиальный член.	2 (x − 2) 2 = 542 (x − 2) 2 = 54
Разделите обе стороны на 2.	(x − 2) 2 = 27 (x − 2) 2 = 27
Используйте свойство квадратного корня.	x − 2 = ± 27x − 2 = ± 27
Упростим радикал.	x − 2 = ± 33x − 2 = ± 33
Решите для xx.	х = 2 ± 33х = 2 ± 33
Перепишите, чтобы показать два решения.	х = 2 + 33, х = 2-33 х = 2 + 33, х = 2-33
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9.15

Решите: 5 (a − 5) 2 + 4 = 104,5 (a − 5) 2 + 4 = 104.

Попробуйте 9,16

Решите: 3 (b + 3) 2−8 = 88,3 (b + 3) 2−8 = 88.

Иногда решениями являются комплексные числа.

Пример 9.9

Решите: (2x − 3) 2 = −12. (2x − 3) 2 = −12.

Решение

	(2x − 3) 2 = −12 (2x − 3) 2 = −12
Используйте свойство квадратного корня.	2x − 3 = ± −122x − 3 = ± −12
Упростим радикал.	2x − 3 = ± 23i2x − 3 = ± 23i
Добавьте 3 с обеих сторон.	2x = 3 ± 23i2x = 3 ± 23i
Разделите обе стороны на 2.	х = 3 ± 23i2x = 3 ± 23i2
Перепишите в стандартной форме.	х = 32 ± 23i2x = 32 ± 23i2
Упростить.	x = 32 ± 3ix = 32 ± 3i
Перепишите, чтобы показать два решения.	x = 32 + 3i, x = 32−3ix = 32 + 3i, x = 32−3i
Чек: Мы оставляем вам чек.

Попробуйте 9.17

Решите: (3r + 4) 2 = −8. (3r + 4) 2 = −8.

Попробуйте 9.18

Решите: (2t − 8) 2 = −10. (2t − 8) 2 = −10.

Левые части уравнений в следующих двух примерах не имеют вида a ( x — h ) ². Но они представляют собой идеальные квадратные трехчлены, поэтому мы будем множить их в нужную нам форму.

Пример 9.10

Решить: 4n2 + 4n + 1 = 16.4n2 + 4n + 1 = 16.

Решение

Мы замечаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен в виде полного квадрата. Мы учтем это в первую очередь.

	4n2 + 4n + 1 = 164n2 + 4n + 1 = 16
Разложите на множители полный квадрат трехчлена.	(2n + 1) 2 = 16 (2n + 1) 2 = 16
Используйте свойство квадратного корня.	2n + 1 = ± 162n + 1 = ± 16
Упростим радикал.	2n + 1 = ± 42n + 1 = ± 4
Решите для nn.	2n = -1 ± 42n = -1 ± 4
Разделите каждую сторону на 2.	2n2 = -1 ± 422n2 = -1 ± 42 п = -1 ± 42 п = -1 ± 42
Перепишите, чтобы показать два решения.	п = -1 + 42n = -1 + 42, п = -1-42n = -1-42
Упростите каждое уравнение.	п = 32 п = 32, п = -52 п = -52
Чек:

Попробуйте 9.19

Решите: 9m2−12m + 4 = 25.9m2−12m + 4 = 25.

Попробуй 9.20

Решите: 16n2 + 40n + 25 = 4,16n2 + 40n + 25 = 4.

Раздел 9.1 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решите квадратные уравнения вида ax ² = k Используя свойство квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

16.

23y2−8 = −223y2−8 = −2

Решите квадратные уравнения вида a ( x — h ) ² = k Используя свойство квадратного корня

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

30.

(t − 56) 2 = 1125 (t − 56) 2 = 1125

31.

(а-7) 2 + 5 = 55 (а-7) 2 + 5 = 55

32.

(b − 1) 2−9 = 39 (b − 1) 2−9 = 39

33.

4 (x + 3) 2−5 = 274 (x + 3) 2−5 = 27

34.

5 (x + 3) 2−7 = 685 (x + 3) 2−7 = 68

35.

(5c + 1) 2 = −27 (5c + 1) 2 = −27

36.

(8d − 6) 2 = −24 (8d − 6) 2 = −24

37.

(4x − 3) 2 + 11 = −17 (4x − 3) 2 + 11 = −17

38.

(2y + 1) 2−5 = −23 (2y + 1) 2−5 = −23

43.

25×2−30x + 9 = 3625×2−30x + 9 = 36

45.

36×2−24x + 4 = 8136×2−24x + 4 = 81

46.

64×2 + 144x + 81 = 2564×2 + 144x + 81 = 25

Смешанная практика

В следующих упражнениях решите, используя свойство квадратного корня.

51.

9w2−24w + 16 = 19w2−24w + 16 = 1

59.

u2−14u + 49 = 72u2−14u + 49 = 72

61.

(м − 4) 2 + 3 = 15 (м − 4) 2 + 3 = 15

62.

(n − 7) 2−8 = 64 (n − 7) 2−8 = 64

68.

(y − 4) 2 + 10 = 9 (y − 4) 2 + 10 = 9

Письменные упражнения

69.

Объясните своими словами свойство квадратного корня.

70.

Объясните своими словами, как использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения (x + 2) 2 = 16 (x + 2) 2 = 16.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

Выберите, как бы вы отреагировали на утверждение: «Я могу решить квадратные уравнения вида, умноженного на квадрат x минус h, равный k, используя свойство квадратного корня». «Уверенно», «с некоторой помощью» или «Нет, я не понимаю.”

ⓑ Если большая часть ваших чеков была:

… уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

… с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе.Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие помощники. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.{2} = 15 [/ латекс].

Решение

радикалов. Рациональные и иррациональные числа. Вещественные числа.

Квадратные числа

Знак корня и подкоренный знак

Рациональные и иррациональные числа

Какие квадратные корни являются рациональными?

Уравнение x ² = a и главный квадратный корень

2-й уровень :

Уравнения ( x + a ) ² = b

Определение корня квадратного корня

Рационализация знаменателя

Реальные числа

ЗДЕСЬ ПЕРВАЯ ДЕСЯТЬ квадратных чисел и их корни:

Квадратные числа	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Квадратный корень	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Пишем, например,

= 5.

«Корень квадратный из 25 равен 5.»

Этот знак называется знаком корня (после латинского radix = корень). Число под знаком корня называется подкоренным. В примере 25 — подкоренное выражение.

Проблема 1. Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Пример 1.Оценивать .

Решение . = 13,

For, 13 · 13 — квадратное число. И квадратный корень из 13 · 13 равен 13!

Если a — любое целое число, то a · a квадратное число и

Проблема 2. Оцените следующее.

а)

= 28.

б)

= 135.

в)

= 2 · 3 · 5 = 30.

Мы можем сформулировать следующую теорему:

Квадрат, умноженный на квадрат, сам по себе является квадратным числом.

Например,

36 · 81 = 6 · 6 · 9 · 9 = 6 · 9 · 6 · 9 = 54 · 54

Проблема 3.Без умножения заданных квадратных чисел каждое произведение квадратных чисел равно какому квадратному числу?

а) 25 · 64 = 5 · 8 · 5 · 8 = 40 · 40

б) 16 · 49 = 4 · 7 · 4 · 7 = 28 · 28

c) 4 · 9 · 25 = 2 · 3 · 5 · 2 · 3 · 5 = 30 · 30

Рациональные и иррациональные числа

Рациональное число — это просто арифметическое число: целое число, дробь, смешанное число или десятичное число; вместе с его негативными изображениями.Рациональное число имеет такое же отношение к 1, как и два натуральных числа.

Вот что такое рациональное число . Что касается того, как это выглядит, оно может принимать форму дроби, где a и b являются целыми числами ( b 0).

Задача 4. Какие из следующих чисел являются рациональными?

−6

3½

4
5

–

13
5

7.38609

Все они.

Здесь ученик может задаться вопросом: какое число не является рациональным?

Пример такого числа: («Корень квадратный из 2»). не является числом арифметических. близко, потому что

7
5

49
25

— это почти 2.

Чтобы увидеть, что не существует рационального числа с квадратом 2, предположим, что оно было. Очевидно, это не целое число. Он будет в виде дроби в наименьшем значении. Но квадрат дроби в наименьшем значении также является наименьшим.

Никаких новых множителей не вводится, и знаменатель никогда не разделится на числитель, чтобы получить 2 или любое целое число.

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2, или любого числа, не являющегося полным квадратом.Поэтому мы говорим, что это иррациональное число.

В десятичном приближении

1,414

(Волнистый знак равенства означает «приблизительно».)

Как мы могли это узнать? Умножив 1,414 на себя. Если мы это сделаем, мы получим 1,999396, что почти 2. Но должно быть ясно, что никакое десятичное число, умноженное само на себя, никогда не может быть точно 2,000000000000000000. Если десятичная дробь оканчивается на 1, то ее квадрат оканчивается на 1.Если десятичная дробь оканчивается на 2, ее квадрат оканчивается на 4. И так далее. Никакое десятичное число — никакое арифметическое число — умноженное само на себя не может дать 2.

иррационально.

Вопрос. Квадратные корни каких натуральных чисел являются рациональными?

Ответ. Только квадратные корни из квадратных чисел .

= 1 Рациональный

Иррациональное

Иррациональный

= 2 Рациональное

« Иррациональный

= 3 Рациональное

И так далее.

Задача 5. Назовите имя каждого числа.

а)

Корень квадратный из 3

б)

Корень квадратный из 8.

в)

г)

2
5

д)

Корень квадратный из 10

Проблема 6.Какие из следующих чисел рациональны, а какие иррациональны?

а) Иррациональное б) Рациональное

c) Рациональное d) Иррациональное

Мы можем знать и точно назвать только рациональное число. Иррациональное число мы можем узнать только как рациональное приближение.

Для десятичного представления иррациональных и рациональных чисел см. Тему 2 Precalculus.

Уравнение x ² = a и главный квадратный корень

Пример 2.Решите это уравнение:

	x ²	=	25.

Решение .	х	=	5 или −5, потому что (−5) ² = 25, тоже.

Другими словами,
	х	=	или -.

Однако мы говорим, что положительное значение 5 является главным квадратным корнем. То есть мы говорим, что «квадратный корень из 25» равен 5.

= 5.

Что касается −5, это «отрицательное значение квадратного корня из 25».

— = −5.

Таким образом, символ относится к одному неотрицательному числу.

Пример 3. Решите это уравнение:

	x ²	=	10.

Решение .	х	=	или -.

Всегда, если уравнение выглядит так,

	x ²	=	а ,

то решение будет выглядеть так:

	х	=	или -.

Мы часто используем двойной знак ± («плюс» или «минус») и пишем:

	х	=	±.

Проблема 7. Решите для x .

а)	x ² = 9 подразумевает x = ± 3	б)	x ² = 144 подразумевает x = ± 12

c)	x ² = 5 подразумевает x = ±	г)	x ² = 3 подразумевает x = ±

e)	x ² = a — b подразумевает x = ±

2-й уровень

Следующий урок: упрощение радикалов

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Умножение радикалов разных корней — концепция

Чтобы упростить два радикала с разными корнями, мы сначала перепишем корни как рациональные показатели. Прежде чем члены можно будет перемножить, мы меняем показатели, чтобы они имели общий знаменатель.Таким образом, основания теперь имеют одинаковые корни, и их члены можно умножать вместе. Затем мы пишем задачу, используя корневые символы, а затем упрощаем.

Итак, мы знаем, как умножить квадратные корни вместе, когда у нас один и тот же индекс, тот же корень, с которым мы имеем дело. Мы не знаем, как их умножить, если у нас другой корень. Вот о чем мы и поговорим прямо сейчас.
Итак, если у нас есть квадратный корень из 3, умноженный на квадратный корень из 5. Они оба являются квадратными корнями, мы можем просто объединить наши члены и получить квадратный корень 15. Хорошо? Это достаточно просто. На самом деле мы не знаем, что делать, когда наши корни другие. Итак, у меня есть кубический корень и квадратный корень, хорошо? Мы не можем их комбинировать, потому что имеем дело с разными корнями. Но есть способ манипулировать ими, чтобы их можно было комбинировать. И как я всегда это делаю, так это переписываю свои корни как экспоненты, хорошо? Так что превратите это в 2 к одной трети умножить на 3 к половине.Хорошо. И помните, что когда мы имеем дело с долей экспонент, это власть над корнем. Чтобы умножить наши радикалы вместе, наши корни должны быть одинаковыми. Итак, нам нужно каким-то образом манипулировать этими двумя корнями, 3 и квадратом, 3 и 2, чтобы они были одним и тем же корнем, хорошо? Так что подумайте, какое у нас наименьшее общее кратное 2 и 3, 6. Хорошо? Итак, мы хотим переписать обе эти степени с корнем со знаменателем 6. Итак, 6, 2 вы получите 6. Нам просто нужно умножить это на 2 на 2, так что мы получим 2 на 6, а затем 3, нужно чтобы сделать половину со знаменателем 6, чтобы получилось 3 на 6.Хорошо. Итак, то, что у нас действительно есть сейчас, — это корень шестой степени из 2, умноженный на корень шестой степени из 3 в третьем. Хорошо? Таким образом, мы вообще не изменили нашу задачу, а просто изменили нашу экспоненту на небольшую, но большую дробь. Это прекрасно. И теперь у нас те же корни, поэтому мы можем умножить, оставив нам корень шестой степени из 2 в квадрате, умноженного на 3 куба. Хорошо. Часто эти числа будут довольно уродливыми и довольно большими, поэтому иногда вы можете просто оставить их вот так. 2 в квадрате и 3 в кубе — не такие уж большие числа.2 в квадрате равно 4, 3 в квадрате равно 27, 4 умножить на 27, я считаю, 108. Таким образом, это становится корнем шестой степени из 108.
Просто небольшое примечание, вам не обязательно переходить от переписывания его с показателями дроби к ваши радикалы. Часто это помогает людям точно увидеть, что у них есть, так что видя, что у вас одни и те же корни, вы можете приумножить их, но если вам удобно, вы можете просто перейти от этого шага прямо к этому.

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

Упраж­не­ния

Решите неравенство sqrt(x+5)>=7-x (квадратный корень из (х плюс 5) больше или равно 7 минус х)

5 корень из 7 на корень из 7

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 5 корень из 7 на корень из 7 Онлайн?

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Теорема Виета

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Примеры вычисления корня.

Разложение на простые множители

Метод Герона

Вычисление корня делением в столбик

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Правописание чередующихся гласных в корне слова (упражнения и тест)

Основы квадратного корня (примеры и ответы)

TL; DR (слишком долго; не читал)

Что такое квадратный корень?

Упрощение квадратных корней

Что такое квадратный корень…

Квадратный корень из 8

Квадратный корень из 4

Квадратный корень из 12

Квадратный корень из 20

Квадратный корень из 32

Квадратный корень отрицательного числа

Примеры вопросов и ответов

Корни и радикалы

Квадратные и кубические корни

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

энные корни

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Упрощающие радикалы

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Основные выводы

Тематические упражнения

Часть A: квадратные и кубические корни

Часть B:

Часть C: Упрощение радикалов

Часть D: Обсуждение

ответы

Умножение радикальных выражений — ChiliMath

Основное правило умножения радикальных выражений

Примеры умножения радикальных выражений

Практика с рабочими листами

9.1 Решите квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня — промежуточная алгебра 2e

Цели обучения

Решите квадратные уравнения вида ax2 = kax2 = k, используя свойство квадратного корня

Свойство квадратного корня

Пример 9.1

Как решить квадратное уравнение вида

How To

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.

Пример 9.2

Решение

Пример 9.3

Решение

Пример 9,4

Пример 9,5

Решите квадратные уравнения вида

Пример 9,6

Решение

Пример 9.7

1.2. Корень n-й степени

1.2. Корень n-й степени

Упражнения