Арккосинус 1 3 в пи: Помогите решить плз или хотя бы чему равен cos 1\3 в пи? sin(п/2+arccos 1/3)

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(60)
4	Найти точное значение	sin(30 град. )
5	Найти точное значение	sin(60 град. )
6	Найти точное значение	tan(30 град. )
7	Найти точное значение	arcsin(-1)
8	Найти точное значение	sin(pi/6)
9	Найти точное значение	cos(pi/4)
10	Найти точное значение	sin(45 град. )
11	Найти точное значение	sin(pi/3)
12	Найти точное значение	arctan(-1)
13	Найти точное значение	cos(45 град. )
14	Найти точное значение	cos(30 град. )
15	Найти точное значение	tan(60)
16	Найти точное значение	csc(45 град. )
17	Найти точное значение	tan(60 град. )
18	Найти точное значение	sec(30 град. )
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
20	График	y=sin(x)
21	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
22	Найти точное значение	cos(60 град. )
23	Найти точное значение	cos(150)
24	Найти точное значение	tan(45)
25	Найти точное значение	sin(30)
26	Найти точное значение	sin(60)
27	Найти точное значение	cos(pi/2)
28	Найти точное значение	tan(45 град. )
29	График	y=sin(x)
30	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	csc(60 град. )
32	Найти точное значение	sec(45 град. )
33	Найти точное значение	csc(30 град. )
34	Найти точное значение	sin(0)
35	Найти точное значение	sin(120)
36	Найти точное значение	cos(90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
38	Найти точное значение	sin(45)
39	Найти точное значение	tan(30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	tan(60)
42	Упростить	квадратный корень x^2
43	Найти точное значение	cos(45)
44	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
45	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
46	Найти точное значение	cot(30 град. 4)
56	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
57	Найти точное значение	tan(pi/2)
58	Найти точное значение	sin(300)
59	Найти точное значение	cos(30)
60	Найти точное значение	cos(60)
61	Найти точное значение	cos(0)
62	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
63	Найти точное значение	cos(135)
64	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
65	Найти точное значение	cos(210)
66	Найти точное значение	sec(60 град. )
67	Найти точное значение	sin(300 град. )
68	Преобразовать из градусов в радианы	135
69	Преобразовать из градусов в радианы	150
70	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
72	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
73	Преобразовать из градусов в радианы	60
74	Найти точное значение	sin(135 град. 8)
80	Найти точное значение	sin(225)
81	Найти точное значение	sin(240)
82	Найти точное значение	cos(150 град. )
83	Найти точное значение	tan(45)
84	Вычислить	sin(30 град. )
85	Найти точное значение	sec(0)
86	Упростить	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
87	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
88	Найти точное значение	csc(30)
89	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
90	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
91	Найти точное значение	tan(0)
92	Вычислить	sin(60 град. )
93	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
94	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
95	Вычислить	arcsin(-1)
96	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
97	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
98	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
99	Найти точное значение	csc(45)
100	Найти точное значение	cos((4pi)/3)

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом

числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много.

Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Arccos 1 корень из 10. Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Что такое арккосинус

Плоскость пересекает сферу всегда по окружности, которая может проецироваться на плоскость в виде эллипса ,окружности илиотрезка прямой линии (рис. 70).

Сечение сферы проецирующей плоскостью Ω  П 2

Окружность сечения проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой линии С 2 D 2 , а на горизонтальную плоскость проекций в эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности сечения.

Для построения большой оси А 1 В 1 (горизонтальной проекции, определяем середину отрезкаС 2 D 2 , через точку (А 2 В 2) проводится параллель, находят горизонтальную проекцию этой параллели и по линиям связи определяют на ней точки осиА 1 иВ 1.

Точки 1 и 1, расположенные на экваторе, являются границей видимости на П 1 . Точки 2 и 2, расположенные на главном меридиане, являются границей видимости на П 3 .

Лекция № 6 аксонометрические проекции

1. Общие сведения. 2. Показатели искажения. 3. Виды аксонометрических проекций. 4. Построение окружности в аксонометрии.

1 Общие сведения

При выполнении технических чертежей часто бывает необходимым иметь более наглядные изображения предметов. Для построения таких изображений применяют аксонометрические проекции (аксонометрию).

Аксонометрия – греческое слово, состоящее из двух слов ахсо n – ось и metreo – измеряю .

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что предмет вместе с осями координат, к которым он отнесен в пространстве, проецируется на какую-либо плоскость параллельными лучами. Эта плоскость называется плоскостью аксонометрических проекций или картинной плоскостью (рис. 71).

Направление проецирования не должно совпадать ни с одной из осей координат, тогда и изображение получается наглядным.

Кроме наглядности аксонометрические проекции допускают и измерение предмета по трем координатным направлениям.

Построение изображения предмета выполняется по каркасу характерных для предмета точек с учетом свойств параллельного проецирования: параллельные прямые остаются на аксонометрических проекциях параллельными, точки, принадлежащие линиям, на проекциях принадлежат аксонометрическим проекциям этих линий. Все измерения делаются только по осям или параллельно осям.Характерные точки строятся по координатам.

К – аксонометрическая (картинная) плоскость;

S – направление проецирования.

2 Показатели искажения

Для возможности использования метода координат в аксонометрии вводятся показатели искажения по осям.

На рис. 72 изображена пространственная система координат, единичные отрезки е на осях координат и их проекция в направлении S на некоторую плоскость К , являющуюся аксонометрической плоскостью проекций. Проекции е х , е у , e z отрезка е на соответствующих аксонометрических осях в общем случае не равны отрезкуе и не равны между собой. Отрезкие х , е у , e z являютсяединицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами).

Отношение длинны отреза в аксонометрических проекциях к истинной длине отрезка называют показателем искажения (коэффициентом искажения):

Зная величину коэффициента искажения можно построить аксонометрическое изображение точки по ее натуральным координатам, пользуясь следующими формулами:

Х 1 = К х  Х; У 1 = К у  У;

Z 1 = К z  Z .

Показатели искажения связаны между собой соотношениями:

в прямоугольной аксонометрии:

К х 2  К у 2  К z 2 = 2,

в косоугольной аксонометрии:

К х 2  К у 2  К z 2 = 2  с tg 2 .

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да. ..) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок и презентация на темы: «Арккосинус. Таблица арккосинусов. arccos(0), arccos(1), arccos(2)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:
1. Что такое арккосинус?
2. Обозначение арккосинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арккосинуса.
6. Примеры.

Что такое арккосинус?

Ребята, мы с вами уже изучили функцию Y=cos(X), построили ее график и решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения этого уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и посмотреть, в каких точках она пересекает числовую окружность.

Видно что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и являются решением уравнения. Переобозначим F как x1, а G — как x2. Решение уравнения мы нашли довольно легко и определили, что x1 = π/3 + 2πk, а x2 = -π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение cos(x)=4/7. Очевидно, что решением уравнения будут две точки, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности?

Обозначение арккосинуса

Давайте внимательно посмотрим на уравнение cos(x)=4/7.

Как мы и говорили, решениями нашего уравнения будут две точки: F=x1+2πk и G=x2+2πk, но, что это за точки? Много лет назад столкнувшись с этой проблемой математики решили, что надо придумать некоторый способ описания решения на математическом языке. И был придуман новый символ – arccos(x). Будем читать как арккосинус.

Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arccos(4/7) и x2=-arccos(4/7). И решение в общем виде: x=arccos(4/7) + 2πk и x=-arccos(4/7) + 2πk. Арккосинус — это угол (длина дуги AF, AG), косинус которого равен 4/7.

Немного истории

Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x — это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Определение арккосинуса.

Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)=a имеет решение: x=±arccos(a) + 2πk

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

cos(x)=0, то x= π/2 + πk

cos(x)=1, то x= 2πk

cos(x)=-1, то x= π + 2πk

Также стоит записать важное равенство:

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arccos(a) + arccos(-a) = π ; при решение заданий удобнее использовать: arccos(-a) = π — arccos(a), где -1 ≤ а ≤ 1

Таблица значений арккосинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арккосинуса

Примеры

1. Найти значение функции arccos(-√3/2).
Решение: Пусть arccos(-√3/2)=x, тогда cos(x)=-√3/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=5π/6, т.к. cos(5π/6)= -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ответ: arccos(-√3/2)=5π/6

2. Найти значение функции arccos(√2/2).
Решение: Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=π/4, т.к. cos(π/4)= √2/2 и 0 ≤ π/4 ≤ π.
Ответ: arccos(√2/2)=π/4

3. Найти значение функции arccos(1).
Решение: Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1 и по определению 0≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: значит x=0, т.к. cos(0)= 1 и 0 ≤ 0 ≤ π.
Ответ: arccos(1)=0

4. Решить неравенство cos(x)> -0.3.
Решение: Косинус — это абсцисса точки числовой окружности. Значит необходимо найти такие точки, абсциссы которых больше -0.3. Нарисуем прямую x=-0.3. Она пересекает числовую окружность в двух точках: F и G. Неравенству x>-0.3 соответствуют точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы: ±arccos(-0.3)= ±(π — arccos(0.3)). Запишем аналитическую запись дуги GF: -π + arccos(0.3) Ответ: -π + arccos(0.3)

Задачи для самостоятельного решения

1)Вычислить:
а) $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$,
б) $arccos(-\frac{1}{2})$,
в) $arccos(0)$,
г) $arccos(-0,5)$.
2) Решить уравнения:
а) $cos(x)=-\frac{1}{2}$,
б) $cos(x)=1$,
в) $cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
г) $cos(x)=0,25$,
д) $cos(x)=-1,2$.
3) Решить неравенства:
а) $cos(x)>0,6$,
б) $cos(x)≤0,2$.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т. п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.

Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов

0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов
(цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)
0	0	0	1	0	-
15	π/12	0,2588	0,9659	0,2679	3,7321
30	π/6	0,5000	0,8660	0,5774	1,7321
45	π/4	0,7071	0,7071	1	1
50	5π/18	0,7660	0,6428	1. 1918	0,8391
60	π/3	0,8660	0,5000	1,7321	0,5774
65	13π/36	0,9063	0,4226	2,1445	0,4663
70	7π/18	0,9397	0,3420	2,7475	0,3640
75	5π/12	0,9659	0,2588	3,7321	0,2679
90	π/2	1	0	-	0
105	5π/12	0,9659	-0,2588	-3,7321	-0,2679
120	2π/3	0,8660	-0,5000	-1,7321	-0,5774
135	3π/4	0,7071	-0,7071	-1	-1
140	7π/9	0,6428	-0,7660	-0,8391	-1,1918
150	5π/6	0,5000	-0,8660	-0,5774	-1,7321
180	π	0	-1	0	-
270	3π/2	-1	0	-	0
360	2π	0	1	0	-

Иногда для быстрых расчетов нужно не точное, а вычисляемое значение (число десятичной дробью), которое раньше искали в таблицах Брадиса. Поэтому, в дополнение к таблице точных значений тригонометрических функций приведены эти же самые значения, но в виде десятичной дроби, округленной до четвертого знака. Дополнительно в таблицу включены «нестандартные» значения тангенса, косинуса, синуса 140 градусов, синуса 105, 70, косинуса 105 и 50 градусов.

Начать курс обучения

ACOS (функция ACOS) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

ACOS(число)

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=ACOS(-0,5)	Арккосинус числа -0,5 в радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)	2,094395102
=ACOS(-0,5)*180/ПИ()	Арккосинус -0,5 в градусах	120
=ГРАДУСЫ(ACOS(-0,5))	Арккосинус -0,5 в градусах	120

Arcsin arccos arctg arctg таблица значений

Содержание

1 Арксинус, arcsin
2 Арккосинус, arccos
3 Четность
4 Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
5 Таблица арксинусов и арккосинусов
6 Формулы
7 Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
8 Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
9 Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
10 Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т. п.
11 Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
12 Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
13 Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
14 Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	– 1 ≤ x ≤ 1	– 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x	arccos x
град.	рад.	град.	рад.
– 1	– 90°	–	180°	π
–	– 60°	–	150°
–	– 45°	–	135°
–	– 30°	–	120°
	0°		90°
30°	60°
45°	45°
60°	30°
1	90°	0°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,,y>0 ;»> и 1″>

при и 1″>

при или

при 0,,y и 1″>

при 0 ;»> и 1″>

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Для этого обратимся к определениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать угол, то значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a логично считать величину этого угла. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать число, то оно и является значением соответствующей аркфункции.

Чтобы окончательно все стало понятно, приведем пример.

Например, по определению арккосинуса угол (число) π/3 является арккосинусом одной второй, так как этот угол (число) лежит в рамках от нуля до пи, и косинус этого угла (числа) равен 1/2 . Таким образом, значение арккосинуса одной второй есть угол пи на три радианов (число пи на три). При этом говорят: «Арккосинус одной второй равен пи на три». На письме подобные выражения записывают в виде равенства, рассматриваемому примеру соответствует запись arccos(1/2)=π/3 . Заметим, что величина угла может быть указана и в градусах. Так как угол π/3 рад равен углу 60 градусов (смотрите перевод градусов в радианы и обратно), то для нашего примера значением арккосинуса 1/2 можно указать угол 60 градусов, то есть, .

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Нам известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса так называемых основных углов 0 , ±30 , ±45 , ±60 , ±90 , ±120 , ±135 , ±150 , ±180, … градусов, которые мы собрали в таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов. Из этой таблицы можно получить некоторые значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, которые будем называть основными значениями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Из таблицы синусов основных углов мы можем извлечь следующие результаты:

Учитывая эти значения, а также определение арксинуса числа, мы можем указать следующие значения арксинуса числа −1 , минус корень из трех на два, минус корень из двух на два, −1/2 , 0 , 1/2 , корень из двух на два, корень из трех на два и 1 , которые равны −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 радианов ( −90 , −60 , −45 , −30 , 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов) или числам −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 соответственно. Это есть основные значения арксинуса.

Для удобства запишем основные значения арксинуса в таблицу. Основные значения арксинуса (как и приведенные ниже значения арккосинуса, арктангенса и арккотангенса) желательно выучить наизусть, так как с ними придется часто встречаться при решении примеров и задач.

Чтобы получить основные значения арккосинуса, обратимся к таблице косинусов основных углов. Из нее находим, что

Отсюда получаем такие значения арккосинуса:

Вот соответствующая таблица арккосинусов.

Аналогично находятся основные значения арктангенса и арккотангенса. Также занесем их в таблицы арктангенсов и арккотангенсов.

Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Понятно, что мы можем указать точное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа a , когда знаем величину угла (или число), синус, косинус, тангенс или котангенс которого равен a . Это по большей части касается основных значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, о которых мы говорили в предыдущем пункте данной статьи. В общем же случае отыскать точное значение аркфункций не представляется возможным. Однако мы всегда можем найти приближенное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа, например, воспользовавшись таблицами синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут ( 16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Задача нахождения значения арксинуса числа через известный арккосинус этого числа, арккосинуса через известный арксинус, арктангенса через арккотангенс и арккотангенса через известный арктангенс решается очень просто – достаточно использовать формулы arcsin a+arccos a=π/2 и arctg a+arcctg a=π/2 (смотрите формулы суммы арксинуса и арккосинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg.

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2		1 2	2 2	3 2
a r c sin α к а к у г о л	— π 2	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3
a r c sin α к а к у г о л	в г р а д у с а х	— 90 °	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c sin α к а к ч и с л о		— π 2	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2		1 2	2 2	3 2	1
a r c cos α к а к у г о л	π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6
a r c cos α к а к у г о л	в г р а д у с а х	180 °	150 °	135 °	120 °	90 °	60 °	45 °	30 °	0 °
a r c cos α к а к ч и с л о		π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α		— 3	— 1	— 3 3		3 3	1	3
a r c t g a к а к у г о л	в р а д и а н а х	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3
a r c t g a к а к у г о л	в г р а д у с а х	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c t g a к а к ч и с л о		— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Расчет обратных тригонометрических функций

Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

Сначала вспомним определение:

Арксинусом числа , модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , синус которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , если , а также справедливо: .

Еще нам пригодится такая формула: .

Арккосинусом числа , модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , косинус которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , если , аналогично .

Еще нам пригодится такая формула: .

Арктангенсом числа называется такое число из промежутка , тангенс которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , , аналогично .

Будем пользоваться и такой формулой: .

Арккотангенсом числа называется такое число из промежутка , котангенс которого равен .

, если ,

Также мы можем записать это так: , , аналогично .

Будем пользоваться и такой формулой: .

Интересно, что .

Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.

Вычислить:

Задача 1. , так как

Задача 2.

Задача 3. , так как

Задача 4.

Так как , то выражение – это число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество:

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7. . Так как , то . Но , а 6,28 – это . Тогда . Число меньше 1, и к нему применим формулу :

Задача 8.

По формуле приведения

Задача 9. . Рассуждаем так: – это такое число, синус которого равен . Тогда по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: . Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

Задача 10.

Применим формулу косинуса суммы:

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :

– если синус угла равен , то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:

Аналогично : если синус числа равен 1/3, то косинус его равен .

Тогда получим:

Имеет ли смысл выражение:

Задача 11.

Так как , то выражение имеет смысл.

Задача 12. – выражение смысла не имеет.

Решить уравнение:

Задача 13.

Применим такой прием:

Тогда

Задача 14.

И снова тот же прием:

Доказать тождество:

Задача 15.

Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:

Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:

Раскрываем по формуле «косинус суммы»:

Теперь определим :

Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Определим :

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Вернемся к примеру:

Тождество доказано.

Задача 16.

Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:

Поменяем знаки:

Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:

Применяем формулу косинуса разности:

Определим :

Определим

Возвращаемся к примеру:

Тождество доказано.

Вычислить:

Задача 17.

По формулам приведения

Задача 18.

Применим формулу косинуса суммы:

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :

– если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:

Аналогично : если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).

Тогда получим:

математических слов: обратный косинус

обратный Косинус
cos ^-1
Cos ^-1
arccos
Arccos

функция, обратная косинусу.

Основная идея : Найти cos ^-1 (½), мы спрашиваем «что угол имеет косинус, равный ½? » ответ 60 °. В результате мы говорим cos ^-1 (½) = 60 °. В радианах это cos ^-1 (½). = π / 3.

Подробнее : На самом деле существует много углов, у которых косинус равен ½. Мы действительно спрашиваем, «какой самый простой, самый основной угол, косинус равен ½? »Как и прежде, ответ 60 °. Таким образом, cos ^-1 (½) = 60 ° или cos ^-1 (½) = π / 3.

Подробности : Что такое cos ^-1 (–½)? Мы выбираем 120 °, –120 °, 240 °, или под другим углом? Ответ — 120 °.Обратным косинусом выбираем угол в верхней половине блока. круг. Таким образом, cos ^-1 (–½) = 120 ° или cos ^-1 (–½) = 2π / 3.

В другими словами, диапазон cos ^-1 равен ограничивается [0, 180 °] или [0, π].

Примечание: arccos означает «арккосинус», или радианная мера дуги на окружности, соответствующая заданное значение косинуса.

Техническое примечание : Поскольку ни одна из шести триггерных функций не синусоида, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс взаимно однозначны, их инверсии не являются функциями.Каждая триггерная функция может иметь свой Однако домен ограничен, чтобы сделать его обратным функцией. Некоторые математики пишут эти ограниченные триггерные функции и их переворачивается с заглавной буквы (например, Cos или Cos ^-1). Однако большинство математиков не следуют этой практике. Этот веб-сайт не различает заглавные и не заглавные буквы триггерные функции.

См. также

обратный тригонометрия, обратная триггерные функции, интервальное обозначение

Обратные тригонометрические функции | Precalculus II

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной. {−1} (b) = a [/ латекс].

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в своем диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает в себя число 0. На рисунке 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [latex] \ left [\ frac {- \ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi } {2} \ right] [/ latex] и график функции косинуса, ограниченной отрезком [0, π].

Рисунок 2. (a) Синусоидальная функция в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right] [ /латекс]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Рисунок 3. Функция касания в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает обратимую функцию «один к одному». Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он простирается от одной вертикальной асимптоты к следующей вместо того, чтобы быть разделенным на две части асимптотой.{−1} x [/ latex] имеет область определения всех действительных чисел и диапазон [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/латекс]. Чтобы найти область и диапазон обратных тригонометрических функций, переключите область и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Рисунок 4. Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5.{−1} (0,96593) \ приблизительно \ frac {5 \ pi} {12} [/ латекс]

Попробуй 1

Дано [латекс] \ cos (0,5) \ приблизительно 0,8776 [/ латекс], запишите соотношение, включающее обратный косинус.

Решение

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать. Для большинства значений в их областях мы должны оценивать обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или других численных методов.\ circ) [/ latex], и их отражения в других квадрантах.

Практическое руководство. Учитывая «особое» входное значение, вычислите обратную тригонометрическую функцию.

Найдите угол x , для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
Если x не находится в заданном диапазоне обратного преобразования, найдите другой угол y , который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x , в зависимости от того, который соответствует данному обратному функция.{−1} (\ frac {1} {2}) [/ латекс]
Решение
Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций
Чтобы оценить обратных тригонометрических функций , которые не используют специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип технологии. Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN-1, ARCSIN или ASIN.
В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.
В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.{\ circ} \ hfill & \ text {Оценить.} \ end {array} [/ latex]
Попробуй 4
Решите треугольник на рисунке 9 для угла θ.
Рисунок 9
Решение
Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями
Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. {- 1} (\ cos \ theta) = \ frac {\ pi} {2} — \ theta \ text {if} 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \\ [/ latex].{−1} (\ cos (\ frac {13 \ pi} {6})) \\ [/ latex]
путем прямой оценки.
способом, описанным ранее.
Решение
Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции.
[латекс] \ begin {array} \ cos \ left (\ frac {13 \ pi} {6} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} +2 \ pi \ right) \ \ \ hfill = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \\ \ hfill = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {array} \\ [/ latex]
Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как и раньше.{−1} (\ frac {4} {5}) \\ [/ latex] находится в квадранте I, [latex] \ sin {\ theta} \\ [/ latex] должно быть положительным, поэтому решением будет [latex ] \ frac {3} {5} \\ [/ latex]. См. Рисунок 11.
Рис. 11. Прямой треугольник, иллюстрирующий, что если [latex] \ cos \ theta = \ frac {4} {5} [/ latex], то [latex] \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \ \ [/ латекс]
Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], поэтому мы знаем, что синус этого угла должен быть положительным; поэтому [латекс] \ sin \ left (\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ right) = \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \\ [ /латекс]. {−1} \ left (\ frac {7} {4} \ right) \ right) \\ [/ latex].
Решение
Хотя мы могли бы использовать ту же технику, что и в Примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику. Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что [latex] \ tan \ theta = \ frac {7} {4} \\ [/ latex]. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.
Рис. 12. Прямоугольный треугольник с известными двумя сторонами
Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.{−1} \ left (4x \ right) \ right) \\ [/ latex] для [латекса] — \ frac {1} {4} \ leq x \ leq \ frac {1} {4} \\ [/ латекс].
Решение
Ключевые понятия
Обратная функция — это функция, которая «отменяет» другую функцию. Область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, а диапазон обратной функции — это область определения исходной функции.
Поскольку тригонометрические функции не взаимно однозначны в своих естественных областях, обратные тригонометрические функции определены для ограниченных областей. {−1} \ left (\ sin x \ right) = \ frac {\ pi} {2} −x [/ latex], если [латекс] — \ frac {\ pi} {2} \ leq x \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ латекс].
При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией нарисуйте контрольный треугольник, чтобы помочь в определении отношения сторон, представляющего выходные данные тригонометрической функции.
При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией вы можете использовать тригонометрические тождества, чтобы помочь в определении отношения сторон.{−1} (2) [/ латекс]. Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.
5. Почему область синусоидальной функции [latex] \ sin x [/ latex] должна быть ограничена [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac { \ pi} {2} \ right] [/ latex] для существования функции обратного синуса?
6. Обсудите, почему это утверждение неверно: [latex] \ arccos (\ cos x) = x [/ latex] для всех x .
7. Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: [latex] \ arccos (−x) = \ pi− \ arccos x [/ latex].{−1} х [/ латекс]? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.
53. Предположим, что 13-футовая лестница прислонена к зданию, достигая нижней части окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?
54. Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что расстояние по вертикали изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?
55. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.
56. Без использования калькулятора приблизительно определите значение [латекс] \ арктан (10,000) [/ латекс]. Объясните, почему ваш ответ разумен.
57. Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.
58. Линия [latex] y = \ frac {3} {5} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y .Каков угол между линией и положительной осью x ?
59. Линия [latex] y = — \ frac {3} {7} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y . Каков угол между линией и отрицательной осью x ?
60. Какой процентный уклон должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)
61. 20-футовая лестница прислоняется к стене здания, так что основание лестницы находится на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?
62. Предположим, 15-футовая лестница прислонена к стене дома, так что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.Как далеко от дома находится подножие лестницы?
Обратные тригонометрические функции
Вы изучили, как тригонометрические функции грех ( Икс ) , потому что ( Икс ) , и загар ( Икс ) может использоваться, чтобы найти неизвестную длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длина одной стороны и величина угла.
В обратные тригонометрические функции грех — 1 ( Икс ) , потому что — 1 ( Икс ) , и загар — 1 ( Икс ) , используются для нахождения неизвестной меры угла прямоугольного треугольника, когда известны две длины сторон.
Пример 1:
Основание лестницы размещено 3 футов от 10 — стена высотой до стопы, так чтобы верх лестницы совпадал с верхом стены.Каков угол между лестницей и землей?
Здесь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором нам известны длины двух катетов, то есть сторон, противоположных и прилегающих к углу. Итак, мы используем функцию обратной касательной. Если вы введете это в калькулятор, установленный в режим «градус», вы получите
загар — 1 ( 10 3 ) ≈ 73.3 °
Если у вас установлен калькулятор в радианах, вы получите
загар — 1 ( 10 3 ) ≈ 1,28
Если вы запомнили отношения длин сторон, которые встречаются в 45 — 45 — 90 и 30 — 60 — 90 треугольников, вы, вероятно, сможете найти некоторые значения обратных тригонометрических функций без использования калькулятора.
Пример 2:
Находить потому что — 1 ( 3 2 ) .
Вы можете вспомнить, что в 30 — 60 — 90 треугольник, если гипотенуза имеет длину 1 , то длинная нога имеет длину 3 2 . Поскольку косинус представляет собой отношение смежной стороны к гипотенузе, значение обратного косинуса равно 30 ° , или около 0.52 радианы.
потому что — 1 ( 3 2 ) знак равно 30 °
Графики обратных тригонометрических функций
Все тригонометрические функции периодические функции . Таким образом, графики ни у одного из них не проходят Горизонтальная линия Тест и так нет 1 — к — 1 . Это означает, что ни у одного из них нет обратного, если только домен каждого ограничено, чтобы сделать каждый из них 1 — к — 1 .
Поскольку графики периодические, если мы выберем подходящую область, мы сможем использовать все значения классифицировать .
Если мы ограничим область ж ( Икс ) знак равно грех ( Икс ) к [ — π 2 , π 2 ] мы сделали функцию 1 — к — 1 .Диапазон [ — 1 , 1 ] .
(Хотя есть много способов ограничить домен для получения 1 — к — 1 функция это согласованный используемый интервал.)
Обозначим обратная функция в качестве у знак равно грех — 1 ( Икс ) . Читается у является обратным синусу Икс и означает у — угол действительного числа, значение синуса которого равно Икс .Будьте осторожны с используемыми обозначениями. Надстрочный индекс « — 1 ”НЕ является показателем. Чтобы избежать этого обозначения, в некоторых книгах используется обозначение у знак равно Arcsin ( Икс ) вместо.
Чтобы построить график, обратный синусоидальной функции, помните, что график является отражением линии. у знак равно Икс синусоидальной функции.
Обратите внимание, что домен теперь является диапазоном, а диапазон теперь является доменом.Поскольку домен ограничен, все положительные значения будут давать 1 ул угол квадранта и все отрицательные значения дадут 4 th угол квадранта.
Точно так же мы можем ограничить области определения функций косинуса и касательной, чтобы сделать их 1 — к — 1 .
Область определения функции обратного косинуса: [ — 1 , 1 ] и диапазон [ 0 , π ] .Это означает, что положительное значение даст 1 ул угол квадранта и отрицательное значение даст 2 nd угол квадранта.
Область определения функции обратной касательной: ( — ∞ , ∞ ) и диапазон ( — π 2 , π 2 ) .Обратная функция касательной даст значения в 1 ул и 4 th квадранты.
Тот же процесс используется для нахождения обратных функций для остальных тригонометрических функций — котангенса, секанса и косеканса.
Функция
Домен
Классифицировать
грех — 1 ( Икс )
[ — 1 , 1 ]
[ — π 2 , π 2 ]
потому что — 1 ( Икс )
[ — 1 , 1 ]
[ 0 , π ]
загар — 1 ( Икс )
( — ∞ , ∞ )
( — π 2 , π 2 )
детская кроватка — 1 ( Икс )
( — ∞ , ∞ )
( 0 , π )
сек — 1 ( Икс )
( — ∞ , — 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )
[ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ]
csc — 1 ( Икс )
( — ∞ , — 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )
[ — π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ]
тригонометрия — Как найти обратный косинус без калькулятора
Первый шаг — остановиться и подумать о самой проблеме. Что такое косинус? Если вы помните, формула для косинуса (помните SOHCAHTOA?) Смежна по гипотенузе. Итак, в вашем примере $ \ frac {1} {3} $ $ 1 $ представляет длину соседней стороны, а $ 3 $ представляет гипотенузу.
Другими словами, гипотенуза будет в 3 раза длиннее соседней стороны. Изобразите это на единичном круге. Гипотенуза, как всегда на единичной окружности, будет иметь длину 1, а измерение по оси $ x $ будет только $ 0. \ Overline {3} $.{-1} (x) $: $ \ sqrt {7 (1000-1000x)} — \ frac {1} {2} $
Выглядит плохо, но с практикой можно сделать мысленно. Используя ваш пример $ \ frac {1} {3} $, давайте пройдемся по этому шагу за раз.
Это лучше работает с десятичными знаками, поэтому мы переключимся с $ \ frac {1} {3} $ на $ 0. \ Overline {3} $.
Шаг 1: $ 1000 \ times0. \ Overline {3} = 333. \ Overline {3} $, которое мы округлим до 333 $.
Шаг 2: $ 1000-333 = 667 $. Вычесть из 1000 очень просто. Если вы еще не знакомы с мысленным методом для этого, это видео быстро освежит вас в памяти. {\ circ} $.
Благодаря опыту я нашел способ улучшить оценку Рональда Дёрфлера, приведенную выше.
Перед шагом 1 запишите десятую цифру исходного $ x $. При $ 0. \ Overline {3} $ десятая цифра, очевидно, равна $ 3 $.
Если эта цифра меньше 6 (для значений от 6 до 9 регулировка не требуется), вы собираетесь прибавить 6 долларов за вычетом этой цифры к числу градусов в качестве последнего шага.
Поскольку исходная цифра десятых долей в данном случае составляла 3 доллара, мы добавим 6–3 доллара = еще 3 доллара.{\ circ} $ совсем близко!
7. Обратные тригонометрические функции
М. Борна
В разделе «Тригонометрические функции любого угла» мы решили вопросы типа
«Найдите 2 угла, косинус которых равен 0,7.»
Этот вопрос связан с использованием кнопки cos ^-1 на наших калькуляторах. Мы нашли cos ^-1 0,7, а затем рассмотрели квадранты, в которых косинус был положительным. Помните, что число, которое мы получаем при нахождении функции обратного косинуса, cos ^-1, представляет собой угол .-1`, если говорить об обратной косинусной функции.]
Давайте сначала вспомним график `y = cos \ x` (который мы встретили в Graph of y = a cos x), чтобы мы могли видеть, откуда берется график` y = arccos \ x`.
0.5ππ-0.5π0.511.522.5-0.5-1xy
График y = cos x .
Теперь мы выбираем часть этого графика от x = 0 до x = π , показанную здесь заштрихованной частью:
0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xy
График y = cos x с заштрихованной частью `0
График , обратный косинуса x , находится путем отражения выбранной части графика «cos x» через линию «y = x».
0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xyy = x
График y = cos x и линия `y = x`.
Теперь отразим каждую точку на этой части кривой cos x через линию y = x (я показал только несколько отраженных типичных точек).
0,5ππ-0,5π123-1xy (π, −1) (- 1, π) 0,5π
Точки отражения на кривой проходят через линию `y = x`.
Результат — график `y = arccos x`:
См. Анимацию этого процесса здесь: Анимация графиков обратной тригонометрической функции.
Вот и все, что касается графика — он не выходит за рамки того, что вы видите здесь. (Если бы это было так, было бы несколько значений y для каждого значения x , и тогда у нас больше не было бы функции.) Я указал «начальную» и «конечную» точки, `(-1 , pi) `и` (1,0) `с точками.
ПРИМЕЧАНИЕ 1: Метки осей также были отражены. То есть теперь есть обычные числа по оси x и кратные 0,5pi по оси y .
ПРИМЕЧАНИЕ 2: Вы также увидите «arccos», записанное как «« acos »« », особенно в компьютерном программировании.
Область (возможные значения x ) для arccos x — это
-1 ≤ x ≤ 1
Диапазон (из значений y для графика) для arccos x составляет
0 ≤ arccos x ≤ π
Функция обратной синусоиды (arcsin)
Мы определяем функцию обратного синуса как
`y = arcsin \ x` для` -pi / 2 <= y <= pi / 2`
, где y — угол, синус которого равен x . Это означает, что
`x = sin y`
График
y = arcsin x
Давайте сначала посмотрим на график y = sin x , а затем построим кривую y = arcsin x .
График y = sin x , с выделенной частью от «-pi / 2» до «pi / 2».
Как и ранее, если мы отразим указанную часть y = sin x (часть между `x = -pi / 2` и` x = pi / 2`) через линию y = x , получаем график y = arcsin x :
Еще раз, вы получаете то, что видите.График не выходит за указанные границы x и y . Я обозначил точки «начало» и «конец».
Область (возможные значения x ) для arcsin x — это
-1 ≤ x ≤ 1
Диапазон (из значений y для графика) для arcsin x составляет
`-π / 2 ≤ arcsin \ x ≤ π / 2`
Посмотрите анимацию этого процесса здесь:
Графическая анимация обратной тригонометрической функции.
Функция обратной касательной (arctan)
Напоминаем, что вот график y = tan x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc.
Отражая заштрихованную часть графика (от `x = -pi / 2` до` pi / 2`) в строке y = x , мы получаем график y = arctan x :
График `y =» arctan «\ x`.
На этот раз график выходит за пределы того, что вы видите, как в отрицательном, так и в положительном направлении x , и он не пересекает пунктирные линии (асимптоты в `y = -pi / 2` и` y = pi / 2`).
Область (возможные значения x ) для arctan x составляет
Все значения x
Диапазон (из значений y для графика) для arctan x составляет
`-π / 2
Числовые примеры arcsin, arccos и arctan
Используя калькулятор в режиме радиан, получаем:
arcsin ^{0,6294 = sin ^-1 (0. 6294) = 0,6808}
arcsin ^{(-0,1568) = sin ^-1 (-0,1568) = -0,1574}
arccos ^{(-0,8026) = cos ^-1 (-0,8026) = 2,5024}
арктан ^{(-1,9268) = загар ^-1 (-1,9268) = -1,0921}
Обратите внимание, что калькулятор выдаст значения которые находятся в пределах определенного диапазона для каждой функции.
Ответы в каждом случае: углов (в радианах).
Функция обратной секущей (угловые секунды)
График y = sec x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc:
График y = arcsec x получен путем отражения заштрихованной части приведенной выше кривой в линии y = x :
:
График `y =» arcsec «\ x`.
Кривая определяется вне участка между -1 и 1. Я обозначил «начальные» точки `(-1, pi)` и `(1,0)` точками.
Домен для «arc» sec \ x` равен
Все значения x , кроме -1 < x <1
Диапазон угловых секунд x это
0 ≤ arcsec x ≤ π , `» arcsec «\ x ≠ π / 2`
Функция обратного косеканса (arccsc)
График y = csc x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит так:
Обратите внимание, что нет значений y между -1 и 1.
Теперь для графика y = arccsc x , который мы получаем, отражая заштрихованную часть кривой выше в линии y = x :
График `y =» arccsc «\ x`.
График не определен между -1 и 1, но простирается оттуда в отрицательном и положительном направлениях на x .
Область arccsc x — это
Все значения x , кроме -1 < x <1
Диапазон arccsc x составляет
`-π / 2 ≤» arc «csc \ x ≤ π / 2,` arccsc x ≠ 0
Функция обратного котангенса (arccot)
График y = cot x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит следующим образом:
Взяв выделенную часть, как указано выше, и отразив ее в линии y = x , мы получим график y = arccot x :
График `y =» arccot »\ x`.
График простирается в отрицательном и положительном направлениях x (он не останавливается на -8 и 8, как показано на графике).
Итак, домен для arccot x :
Все значения x
Диапазон arccot x это
0 x < π
Альтернативный вид
Некоторые учебники по математике (и некоторые уважаемые математические программы, например,грамм. Mathematica) рассматривают следующее как область y = cot x , которую следует использовать:
Это даст следующее при отражении в строке y = x :
График `y =» arccot »\ x`; альтернативный взгляд.
И снова график расширяется в отрицательном и положительном направлениях x .
Область arccot x также будет:
Все значения x
Используя эту версию, диапазон arccot x будет:
`-π / 2 дуга x ≠ 0)
См. Обсуждение этого вопроса:
Какой правильный график arccot x ?.(-1) (- 1) = — pi / 4`
`cos (-pi / 4) = 1 / 2sqrt (2)`
Тригонометрические функции — Справочное руководство Sage 9.2: Функции
Bases: sage.symbolic.function.GinacFunction
Модифицированная функция арктангенса.
Возвращает арктангенс (измеренный в радианах) для \ (y / x \), где в отличие от arctan (y / x) , знаки x и y являются считается. В частности, эта функция измеряет угол луча, проходящего через начало координат и \ ((x, y) \), с положительным \ (x \) — ось нулевой отметки, а с выходным углом \ (\ theta \) находится между \ (- \ pi <\ theta <= \ pi \).
Следовательно, arctan2 (y, x) = arctan (y / x) только для \ (x> 0 \). Один может рассмотреть обычный arctan для измерения углов линий через начало координат, а модифицированная функция измеряет лучи через начало координат.
Обратите внимание, что координата \ (y \) по соглашению является первым вводом.
ПРИМЕРЫ:
Обратите внимание на разницу между двумя функциями:
мудрец: arctan2 (1, -1) 3/4 * пи шалфей: арктан (1 / -1) -1 / 4 * пи
Это соответствует Python и Maxima:
шалфей: максима.atan2 (1, -1) (3 *% пи) / 4 шалфей: math.atan2 (1, -1) 2,3561944
345
Другие примеры:
шалфей: arctan2 (1,0) 1/2 * пи шалфей: arctan2 (2,3) арктан (2/3) шалфей: arctan2 (-1, -1) -3 / 4 * пи
Конечно, мы можем и приблизить:
мудрец: arctan2 (-1 / 2,1) .n (100) -0,46364760^{0611621425623146
шалфей: arctan2 (2,3) .n (100)
0,58800260354756755124561108063}
Мы можем отложить оценку с помощью параметра hold :
sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) арктан2 (-1/2, 1)
Для повторной оценки в настоящее время мы должны использовать Maxima через шалфей.symbolic. expression.Expression.simplify () :
sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) .simplify () -арктан (1/2)
Функция также работает с массивами numpy в качестве ввода:
sage: import numpy sage: a = numpy.linspace (1, 3, 3) шалфей: b = numpy.linspace (3, 6, 3) шалфей: atan2 (а, б) массив ([0.32175055, 0.41822433, 0.46364761]) шалфей: atan2 (1, а) массив ([0,78539816, 0,46364761, 0,32175055]) шалфей: atan2 (а, 1) массив ([0.78539816, 1.10714872, 1.247])
6.3 Обратные тригонометрические функции — предварительное вычисление
Цели обучения
В этом разделе вы:
Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса.
Найдите точное значение выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса.
Используйте калькулятор для вычисления обратных тригонометрических функций.
Найдите точные значения сложных функций с обратными тригонометрическими функциями.
Для любого прямоугольного треугольника, учитывая еще один угол и длину одной стороны, мы можем вычислить, каковы другие углы и стороны. Но что, если нам даны только две стороны прямоугольного треугольника? Нам нужна процедура, которая ведет нас от отношения сторон к углу.Здесь вступает в игру понятие обратной тригонометрической функции. В этом разделе мы исследуем обратные тригонометрические функции.
Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса
Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как в случае с любая другая функция и ее обратная. Другими словами, область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, и наоборот, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1
Например, если f (x) = sinx, f (x) = sinx, то мы бы записали f − 1 (x) = sin − 1x. f − 1 (x) = sin − 1x. Имейте в виду, что sin-1xsin-1x не означает 1sinx.1sinx. Следующие примеры иллюстрируют обратные тригонометрические функции:
Поскольку sin (π6) = 12, sin (π6) = 12, то π6 = sin − 1 (12) .π6 = sin − 1 (12).
Поскольку cos (π) = — 1, cos (π) = — 1, то π = cos − 1 (−1) .π = cos − 1 (−1).
Поскольку tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то π4 = tan − 1 (1) .π4 = tan − 1 (1).
В предыдущих разделах мы оценивали тригонометрические функции под разными углами, но иногда нам нужно знать, какой угол даст определенное значение синуса, косинуса или тангенса.Для этого нам потребуются обратные функции. Напомним, что для взаимно однозначной функции, если f (a) = b, f (a) = b, то обратная функция удовлетворяет условию f − 1 (b) = a.f − 1 (b) = a.
Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в своем диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область определения каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рис. 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [−π2, π2] [- π2, π2], и график косинусной функции, ограниченной [0, π] . [0, π].
Рис. 2 (а) Синусоидальная функция в ограниченной области [−π2, π2]; [- π2, π2]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π] [0, π]
На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной (−π2, π2). (- π2, π2).
Рис. 3 Функция касания в ограниченной области (−π2, π2) (- π2, π2)
Эти обычные варианты выбора для ограниченной области несколько произвольны, но они имеют важные полезные характеристики.Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает обратимую функцию «один к одному». Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что она простирается от одной вертикальной асимптоты к другой вместо того, чтобы быть разделенной на две части асимптотой.
В этих ограниченных областях мы можем определить обратные тригонометрические функции.
Обратная функция синуса y = sin − 1xy = sin − 1x означает x = siny.х = синяя. Функция обратного синуса иногда называется функцией арксинуса и обозначается как arcsinx.arcsinx. y = sin − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [−π2, π2] y = sin − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [−π2, π2]
Функция обратного косинуса y = cos − 1xy = cos − 1x означает x = cosy.x = cosy. Функция обратного косинуса иногда называется функцией арккосинуса и обозначается как arccosx.arccosx. y = cos − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [0, π] y = cos − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [0, π]
Функция обратной тангенса y = tan − 1xy = tan − 1x означает x = tany.х = тани. Функция арктангенса иногда называется функцией арктангенса и обозначается как arctanx.arctanx. y = tan − 1x имеет область (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2) y = tan − 1x имеет область (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2)
Графики обратных функций показаны на рисунках 4, 5 и 6. Обратите внимание, что на выходе каждой из этих обратных функций получается число , — угол в радианах. Мы видим, что sin − 1xsin − 1x имеет область определения [−1,1] [- 1,1] и диапазон [−π2, π2], [- π2, π2], cos − 1xcos − 1x имеет область определения [−1,1 ] [- 1,1] и диапазон [0, π], [0, π], а tan − 1xtan − 1x имеет область определения всех действительных чисел и диапазон (−π2, π2).(−π2, π2). Чтобы найти домен и диапазон обратных тригонометрических функций, переключите домен и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно прямой y = x.y = x.
Рисунок 4 Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)
Рисунок 5 Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса)
Рисунок 6. Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса)
Соотношения для функций обратного синуса, косинуса и тангенса
Для углов в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], если siny = x, siny = x, то sin − 1x = y.грех-1x = у.
Для углов в интервале [0, π], [0, π], если cosy = x, cosy = x, то cos − 1x = y.cos − 1x = y.
Для углов в интервале (−π2, π2), (- π2, π2), если tany = x, tany = x, то tan − 1x = y.tan − 1x = y.
Пример 1
Запись отношения для обратной функции
Для заданных sin (5π12) ≈0.96593, sin (5π12) ≈0.96593 запишите соотношение, включающее обратный синус.
Решение
Используйте соотношение для обратного синуса.Если siny = x, siny = x, то sin − 1x = ysin − 1x = y.
В этой задаче x = 0,96593, x = 0,96593 и y = 5π12.y = 5π12.
sin − 1 (0,96593) ≈5π12 sin − 1 (0,96593) ≈5π12
Попробуй # 1
Для заданного cos (0,5) ≈0,8776, cos (0,5) ≈0,8776 запишите соотношение, включающее обратный косинус.
Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и касания
Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать.Для большинства значений в их областях мы должны оценивать обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или других численных методов. Так же, как мы делали с исходными тригонометрическими функциями, мы можем дать точные значения для обратных функций, когда мы используем специальные углы, а именно π6π6 (30 °), π4π4 (45 °) и π3π3 (60 °), а также их отражения. в другие квадранты.
Как сделать
Учитывая «особое» входное значение, вычислить обратную тригонометрическую функцию.
Найдите угол xx, для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
Если xx не находится в заданном диапазоне обратной функции, найдите другой угол yy, который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x, x, в зависимости от того, что соответствует данной обратной функции.
Пример 2
Оценка обратных тригонометрических функций для специальных входных значений
Оцените каждое из следующих действий.
ⓐ sin − 1 (12) sin − 1 (12)
ⓑ sin − 1 (−22) sin − 1 (−22)
ⓒ cos − 1 (−32) cos − 1 (−32)
ⓓ tan − 1 (1) tan − 1 (1)
Решение
ⓐ Вычисление sin − 1 (12) sin − 1 (12) аналогично определению угла, который имел бы значение синуса 12,12. Другими словами, какой угол xx удовлетворяет условию sin (x) = 12? Sin (x) = 12? Есть несколько значений, которые удовлетворяют этому соотношению, например π6π6 и 5π6,5π6, но мы знаем, что нам нужен угол в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], поэтому ответ будет sin − 1. (12) = π6.sin − 1 (12) = π6. Помните, что обратное — это функция, поэтому для каждого ввода мы получим ровно один вывод.
ⓑ Чтобы оценить sin − 1 (−22), sin − 1 (−22), мы знаем, что 5π45π4 и 7π47π4 оба имеют значение синуса −22, −22, но ни один из них не находится в интервале [−π2, π2] . [- π2, π2]. Для этого нам понадобится отрицательный угол, котерминал с 7π4: 7π4: sin − 1 (−22) = — π4.sin − 1 (−22) = — π4.
ⓒ Чтобы вычислить cos − 1 (−32), cos − 1 (−32), мы ищем угол в интервале [0, π] [0, π] со значением косинуса −32. − 32.Угол, которому это удовлетворяет, равен cos − 1 (−32) = 5π6.cos − 1 (−32) = 5π6.
ⓓ Вычисляя tan − 1 (1), tan − 1 (1), мы ищем угол в интервале (−π2, π2) (- π2, π2) со значением тангенса 1. Правильный угол — tan. −1 (1) = π4.tan − 1 (1) = π4.
Попробуй # 2
Оцените каждое из следующих действий.
ⓐ sin − 1 (−1) sin − 1 (−1)
ⓑ tan − 1 (−1) tan − 1 (−1)
ⓒ cos − 1 (−1) cos − 1 (−1)
ⓓ cos − 1 (12) cos − 1 (12)
Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций
Чтобы оценить обратные тригонометрические функции, которые не используют специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип техники. Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN . −1−1, ARCSIN или ASIN .
В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.
В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θθ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.
Пример 3
Вычисление обратного синуса на калькуляторе
Вычислите sin − 1 (0,97) sin − 1 (0,97) с помощью калькулятора.
Решение
Поскольку выходом обратной функции является угол, калькулятор выдаст нам значение в градусах, если оно находится в режиме градусов, и значение в радианах, если в режиме радиан.Калькуляторы также используют те же доменные ограничения на углы, что и мы.
В режиме радиан sin − 1 (0,97) ≈1,3252. Sin − 1 (0,97) ≈1,3252. В градусном режиме sin − 1 (0,97) ≈75,93 °. Sin − 1 (0,97) ≈75,93 °. Обратите внимание, что в расчетах и за его пределами мы будем использовать радианы почти во всех случаях.
Попробуй # 3
Вычислите cos − 1 (−0,4) cos − 1 (−0,4) с помощью калькулятора.
Как к
Дайте две стороны прямоугольного треугольника, подобного изображенному на рисунке 7, найдите угол.
Рисунок 7
Если одна заданная сторона представляет собой гипотенузу длины hh, а задана сторона длиной aa, примыкающая к желаемому углу, используйте уравнение θ = cos − 1 (ah) . θ = cos − 1 (ah).
Если одна заданная сторона представляет собой гипотенузу длины hh, а задана сторона длиной pp, противоположная желаемому углу, используйте уравнение θ = sin − 1 (ph) .θ = sin − 1 (ph).
Если даны две ветви (стороны, смежные с прямым углом), то используйте уравнение θ = tan − 1 (pa).θ = tan − 1 (pa).
Пример 4
Применение обратного косинуса к прямоугольному треугольнику
Решите треугольник на рисунке 8 относительно угла θ.θ.
Рисунок 8
Решение
Поскольку мы знаем гипотенузу и сторону, прилегающую к углу, для нас имеет смысл использовать функцию косинуса.
cosθ = 912θ = cos − 1 (912) Примените определение инверсии. θ≈0,7227 или около 41,4096 ° Evaluate.cosθ = 912θ = cos − 1 (912) Примените определение инверсии.θ≈0,7227 или около 41,4096 ° Оценить.
Попробуй # 4
Решите треугольник на рисунке 9 относительно угла θ. θ.
Рисунок 9
Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями
Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. В этих случаях обычно можно найти точные значения для результирующих выражений, не прибегая к калькулятору. Даже если входом в составную функцию является переменная или выражение, мы часто можем найти выражение для выхода.Чтобы помочь разобраться в разных случаях, пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) — две разные тригонометрические функции, принадлежащие множеству {sin (x), cos (x), tan (x)} {sin (x), cos (x), tan (x)}, и пусть f − 1 (y) f − 1 (y) и g − 1 (y) g − 1 (y) — обратные им.
Оценка составов формы
f ( f ⁻¹ ( y )) и f ⁻¹ ( f ( x ))
Для любой тригонометрической функции f ( f − 1 (y)) = yf (f − 1 (y)) = y для всех yy в надлежащей области для данной функции. Это следует из определения обратного и из того факта, что диапазон ff был определен как идентичный области f − 1.f − 1. Однако мы должны быть немного осторожнее с выражениями вида f − 1 (f (x)). F − 1 (f (x)).
Составы тригонометрической функции и ее обратной
sin (sin − 1x) = xдля − 1≤x≤1 cos (cos − 1x) = xfor − 1≤x≤1tan (tan − 1x) = xfor − ∞ Вопросы и ответы
Верно ли, что sin − 1 (sinx) = x? Sin − 1 (sinx) = x?
№Это уравнение верно, если xx принадлежит ограниченной области [−π2, π2], [- π2, π2], но синус определен для всех реальных входных значений, а для xx за пределами ограниченного интервала уравнение неверно, потому что его inverse всегда возвращает значение в [−π2, π2]. [- π2, π2]. Аналогичная ситуация для косинуса, тангенса и их обратных значений. Например, sin − 1 (sin (3π4)) = π4.sin − 1 (sin (3π4)) = π4.
Как к
Для данного выражения вида f ⁻¹ (f (θ)), где f (θ) = sinθ, cosθ или tanθ, f (θ) = sinθ, cosθ или tanθ, вычислить.
Если θθ находится в ограниченной области f, то f − 1 (f (θ)) = θ.f, тогда f − 1 (f (θ)) = θ.
Если нет, то найдите угол ϕϕ в ограниченной области ff такой, что f (ϕ) = f (θ) .f (ϕ) = f (θ). Тогда f − 1 (f (θ)) = ϕ.f − 1 (f (θ)) = ϕ.
Пример 5
Использование обратных тригонометрических функций
Оцените следующее:
ⓐ sin − 1 (sin (π3)) sin − 1 (sin (π3))
ⓑ sin − 1 (sin (2π3)) sin − 1 (sin (2π3))
ⓒ cos − 1 (cos (2π3)) cos − 1 (cos (2π3))
ⓓ cos − 1 (cos (−π3)) cos − 1 (cos (−π3))
Решение
ⓐ π3 находится в [−π2, π2], π3 находится в [−π2, π2], поэтому sin − 1 (sin (π3)) = π3. грех − 1 (грех (π3)) = π3.
ⓑ 2π3 не входит в [−π2, π2], 2π3 не входит в [−π2, π2], но sin (2π3) = sin (π3), sin (2π3) = sin (π3), поэтому sin − 1 ( sin (2π3)) = π3.sin − 1 (sin (2π3)) = π3.
ⓒ 2π3 находится в [0, π], 2π3 находится в [0, π], поэтому cos − 1 (cos (2π3)) = 2π3.cos − 1 (cos (2π3)) = 2π3.
ⓓ −π3 не входит в [0, π], — π3 не входит в [0, π], но cos (−π3) = cos (π3) cos (−π3) = cos (π3), потому что косинус является четным функция. π3 находится в [0, π], π3 находится в [0, π], поэтому cos − 1 (cos (−π3)) = π3.cos − 1 (cos (−π3)) = π3.
Попробуй # 5
Вычислить tan − 1 (tan (π8)) и tan − 1 (tan (11π9)).tan − 1 (tan (π8)) и tan − 1 (tan (11π9)).
Вычисление составов формы
f ⁻¹ ( g ( x ))
Теперь, когда мы можем составить тригонометрическую функцию с ее обратной величиной, мы можем изучить, как оценить композицию тригонометрической функции и инверсия другой тригонометрической функции. Начнем с композиций вида f − 1 (g (x)). F − 1 (g (x)). Для специальных значений x, x мы можем точно оценить внутреннюю функцию, а затем внешнюю обратную функцию.Однако мы можем найти более общий подход, рассмотрев соотношение между двумя острыми углами прямоугольного треугольника, где один равен θ, θ, что делает другой π2 − θ.π2 − θ. Рассмотрим синус и косинус каждого угла прямоугольного треугольника на рисунке 10.
Рис. 10 Правый треугольник, иллюстрирующий взаимосвязь функций
Поскольку cosθ = bc = sin (π2 − θ), cosθ = bc = sin (π2 − θ), имеем sin − 1 (cosθ) = π2 − θsin − 1 (cosθ) = π2 − θ, если 0≤θ≤ π.0≤θ≤π. Если θθ не находится в этой области, то нам нужно найти другой угол, который имеет тот же косинус, что и θθ, и принадлежит ограниченной области; затем вычитаем этот угол из π2.π2. Аналогичным образом sinθ = ac = cos (π2 − θ), sinθ = ac = cos (π2 − θ), поэтому cos − 1 (sinθ) = π2 − θcos − 1 (sinθ) = π2 − θ, если −π2≤θ≤ π2. − π2≤θ≤π2. Это просто отношения функций и функций, представленные по-другому.
Как сделать
Даны функции вида sin − 1 (cosx) sin − 1 (cosx) и cos − 1 (sinx), cos − 1 (sinx), вычислите их.
Если x находится в [0, π], x находится в [0, π], то sin − 1 (cosx) = π2 − x.sin − 1 (cosx) = π2 − x.
Если x не находится в [0, π], x не находится в [0, π], тогда найдите другой угол y в [0, π] y в [0, π] такой, что cosy = cosx.уютный = cosx. sin − 1 (cosx) = π2 − ysin − 1 (cosx) = π2 − y
Если x находится в [−π2, π2], x находится в [−π2, π2], то cos − 1 (sinx) = π2 − x.cos − 1 (sinx) = π2 − x.
Если x не принадлежит [−π2, π2], x не принадлежит [−π2, π2], то найдите другой угол y в [−π2, π2] y в [−π2, π2] такой, что siny = sinx. siny = sinx. cos − 1 (sinx) = π2 − ycos − 1 (sinx) = π2 − y
Пример 6
Вычисление состава обратного синуса с косинусом
Вычислить sin − 1 (cos (13π6)) sin − 1 (cos (13π6))
ⓐпо прямой оценке.
ⓑ способом, описанным ранее.
Решение
ⓐ Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции. cos (13π6) = cos (π6 + 2π) = cos (π6) = 32cos (13π6) = cos (π6 + 2π) = cos (π6) = 32
Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как делали ранее.
sin − 1 (32) = π3 sin − 1 (32) = π3
ⓑ Имеем x = 13π6, y = π6, x = 13π6, y = π6 и sin − 1 (cos (13π6)) = π2 − π6 = π3 sin − 1 (cos (13π6)) = π2 − π6 = π3
Попробуй # 6
Вычислить cos − 1 (sin (−11π4)).cos − 1 (sin (−11π4)).
Оценка композиций формы
f ( g ⁻¹ ( x ))
Для оценки композиций формы f (g − 1 (x)), f (g − 1 (x)) , где ff и gg — любые две из функций синуса, косинуса или тангенса, а xx — любой вход в области определения g − 1, g − 1, у нас есть точные формулы, такие как sin (cos − 1x) = 1− x2. sin (cos − 1x) = 1 − x2. Когда нам нужно их использовать, мы можем вывести эти формулы, используя тригонометрические отношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника вместе с использованием отношения Пифагора между длинами сторон.Мы можем использовать тождество Пифагора, sin2x + cos2x = 1, sin2x + cos2x = 1, чтобы найти одно при задании другого. Мы также можем использовать обратные тригонометрические функции для поиска композиций, включающих алгебраические выражения.
Пример 7
Вычисление состава синуса с обратным косинусом
Найдите точное значение sin (cos − 1 (45)). Sin (cos − 1 (45)).
Решение
Начиная с внутренней части, мы можем сказать, что существует некоторый угол, такой что θ = cos − 1 (45), θ = cos − 1 (45), что означает cosθ = 45, cosθ = 45, и мы ищем sinθ.sinθ. Для этого мы можем использовать пифагорейскую идентичность.
sin2θ + cos2θ = 1 Используйте наше известное значение для косинуса. sin2θ + (45) 2 = 1 Решите для sine.sin2θ = 1−1625sinθ = ± 925 = ± 35sin2θ + cos2θ = 1 Используйте наше известное значение для косинуса. sin2θ + (45) 2 = 1 Решите для синуса. Sin2θ = 1−1625sinθ = ± 925 = ± 35
Поскольку θ = cos − 1 (45) θ = cos − 1 (45) находится в квадранте I, sinθsinθ должен быть положительным, поэтому решение равно 35,35. См. Рисунок 11.
Рис. 11 Правый треугольник, иллюстрирующий, что если cosθ = 45, cosθ = 45, то sinθ = 35 sinθ = 35
Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], [0, π], поэтому мы знаем что синус этого угла должен быть положительным; поэтому sin (cos − 1 (45)) = sinθ = 35.sin (cos − 1 (45)) = sinθ = 35.
Попробуй # 7
Вычислить cos (tan − 1 (512)). Cos (tan − 1 (512)).
Пример 8
Вычисление состава синуса с обратной касательной
Найдите точное значение для sin (tan − 1 (74)). Sin (tan − 1 (74)).
Решение
Хотя мы могли бы использовать ту же технику, что и в Примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику.Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что tanθ = 74.tanθ = 74. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.
Рис. 12 Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами
Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.
42 + 72 = гипотенуза2гипотенуза = 65 42 + 72 = гипотенуза2гипотенуза = 65
Теперь мы можем оценить синус угла как противоположную сторону, деленную на гипотенузу.
Это дает нам желаемую композицию.
sin (tan − 1 (74)) = sinθ = 765 = 76565 sin (tan − 1 (74)) = sinθ = 765 = 76565
Попробуй # 8
Вычислить cos (sin − 1 (79)). Cos (sin − 1 (79)).
Пример 9
Нахождение косинуса обратного синуса алгебраического выражения
Найдите упрощенное выражение для cos (sin − 1 (x3)) cos (sin − 1 (x3)) для −3≤x≤3.−3≤x≤3.
Решение
Мы знаем, что существует угол θθ такой, что sinθ = x3.sinθ = x3.
sin2θ + cos2θ = 1 Используйте теорему Пифагора. (x3) 2 + cos2θ = 1 Найдите косинус. cos2θ = 1 − x29cosθ = ± 9 − x29 = ± 9 − x23sin2θ + cos2θ = 1 Используйте теорему Пифагора. (x3) 2 + cos2θ = 1 Решите для косинуса. Cos2θ = 1 − x29cosθ = ± 9 − x29 = ± 9 − x23
Так как мы знаем, что обратный синус должен давать угол в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], мы можем сделать вывод, что косинус этого угла должен быть положительным.
cos (sin − 1 (x3)) = 9 − x23 cos (sin − 1 (x3)) = 9 − x23
Попробуй # 9
Найдите упрощенное выражение для sin (tan − 1 (4x)) sin (tan − 1 (4x)) для −14≤x≤14. − 14≤x≤14.
6.3 Упражнения по разделам
Устные
1.
Почему функции f (x) = sin − 1xf (x) = sin − 1x и g (x) = cos − 1xg (x) = cos − 1x имеют разные диапазоны?
2.
Поскольку функции y = cosxy = cosx и y = cos − 1xy = cos − 1x являются обратными функциями, почему cos − 1 (cos (−π6)) cos − 1 (cos (−π6)) не равен −π6? −π6?
3.
Объясните значение π6 = arcsin (0,5) .π6 = arcsin (0,5).
4.
Большинство калькуляторов не имеют ключа для вычисления sec − 1 (2) .sec − 1 (2). Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.
5.
Почему область определения синусоидальной функции sinx, sinx должна быть ограничена [−π2, π2] [- π2, π2], чтобы существовала обратная синусоидальная функция?
6.
Обсудите, почему это утверждение неверно: arccos (cosx) = xarccos (cosx) = x для всех x. Икс.
7.
Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: arccos (−x) = π − arccosx.arccos (−x) = π − arccosx.
Алгебраические
Для следующих упражнений оцените выражения.
9.
грех-1 (-12) грех-1 (-12)
11.
cos − 1 (−22) cos − 1 (−22)
13.
тангенс-1 (-3) тангенс-1 (-3)
14.
тангенс-1 (-1) тангенс-1 (-1)
16.
тангенс-1 (-13) тангенс-1 (-13)
Для следующих упражнений используйте калькулятор для вычисления каждого выражения. Экспресс ответы с точностью до сотых.
17.
cos − 1 (−0,4) cos − 1 (−0,4)
Для следующих упражнений найдите угол θθ в данном прямоугольном треугольнике. Округлите ответы до сотых.
22.
Для следующих упражнений найдите точное значение, если возможно, без калькулятора. Если это невозможно, объясните почему.
24.
sin − 1 (cos (π)) sin − 1 (cos (π))
25.
загар − 1 (грех (π)) загар − 1 (грех (π))
26.
cos − 1 (sin (π3)) cos − 1 (sin (π3))
27.
tan − 1 (sin (π3)) tan − 1 (sin (π3))
28.
sin − 1 (cos (−π2)) sin − 1 (cos (−π2))
29.
tan − 1 (sin (4π3)) tan − 1 (sin (4π3))
30.
sin − 1 (sin (5π6)) sin − 1 (sin (5π6))
31.
tan − 1 (sin (−5π2)) tan − 1 (sin (−5π2))
32.
cos (sin − 1 (45)) cos (sin − 1 (45))
33.
sin (cos − 1 (35)) sin (cos − 1 (35))
34.
sin (tan − 1 (43)) sin (tan − 1 (43))
35.
cos (tan − 1 (125)) cos (tan − 1 (125))
36.
cos (sin − 1 (12)) cos (sin − 1 (12))
Для следующих упражнений найдите точное значение выражения через xx с помощью справочного треугольника.
37.
tan (sin − 1 (x − 1)) tan (sin − 1 (x − 1))
38.
sin (cos − 1 (1 − x)) sin (cos − 1 (1 − x))
39.
cos (sin − 1 (1x)) cos (sin − 1 (1x))
40.
cos (tan − 1 (3x − 1)) cos (tan − 1 (3x − 1))
41.
tan (sin − 1 (x + 12)) tan (sin − 1 (x + 12))
Расширения
Для следующих упражнений оцените выражение без использования калькулятора.Укажите точное значение.
42.
sin − 1 (12) −cos − 1 (22) + sin − 1 (32) −cos − 1 (1) cos − 1 (32) −sin − 1 (22) + cos − 1 (12) −sin −1 (0) sin − 1 (12) −cos − 1 (22) + sin − 1 (32) −cos − 1 (1) cos − 1 (32) −sin − 1 (22) + cos − 1 ( 12) −sin − 1 (0)
Для следующих упражнений найдите функцию if sint = xx + 1.sint = xx + 1.
46.
cos (sin − 1 (xx + 1)) cos (sin − 1 (xx + 1))
47.
загар − 1 (x2x + 1) загар − 1 (x2x + 1)
Графический
48.
График y = sin − 1xy = sin − 1x и укажите область определения и диапазон функции.
49.
График y = arccosxy = arccosx и укажите область определения и диапазон функции.
50.
Изобразите один цикл y = tan − 1xy = tan − 1x и укажите область определения и диапазон функции.
51.
Для какого значения xx sinx = sin − 1x? Sinx = sin − 1x? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.
52.
Для какого значения xx cosx = cos − 1x? Cosx = cos − 1x? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.
Реальные приложения
53.
Предположим, что к зданию прислонена 13-футовая лестница, достигающая низа окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?
54.
Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?
55.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.
56.
Без использования калькулятора приблизительно определите значение arctan (10,000) .arctan (10,000). Объясните, почему ваш ответ разумен.
57.
Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.
58.
Прямая y = 35xy = 35x проходит через начало координат на плоскости x , y . Какова мера угла, который линия составляет с положительной осью x ?
59.
Прямая y = −37xy = −37x проходит через начало координат на плоскости x , y . Какова мера угла, который образует линия с отрицательной осью x ?
60.
Какой процент уклона должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)
61.
20-футовая лестница прислонена к стене здания так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?
62.
Предположим, 15-футовая лестница прислонена к стене дома так, что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.Как далеко от дома находится подножие лестницы?
.

Функция	Домен	Классифицировать
грех — 1 ( Икс )	[ — 1 , 1 ]	[ — π 2 , π 2 ]
потому что — 1 ( Икс )	[ — 1 , 1 ]	[ 0 , π ]
загар — 1 ( Икс )	( — ∞ , ∞ )	( — π 2 , π 2 )
детская кроватка — 1 ( Икс )	( — ∞ , ∞ )	( 0 , π )
сек — 1 ( Икс )	( — ∞ , — 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )	[ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ]
csc — 1 ( Икс )	( — ∞ , — 1 ] ∪ [ 1 , ∞ )	[ — π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ]

Mathway | Популярные задачи

Обратные тригонометрические функции и их графики

Arccos 1 корень из 10. Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Что такое арккосинус

Лекция № 6 аксонометрические проекции

1 Общие сведения

2 Показатели искажения

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Урок и презентация на темы: «Арккосинус. Таблица арккосинусов. arccos(0), arccos(1), arccos(2)»

Что такое арккосинус?

Обозначение арккосинуса

Немного истории

Определение арккосинуса.

Таблица значений арккосинуса

Примеры

Задачи для самостоятельного решения

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Таблица значений тригонометрических функций

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов

ACOS (функция ACOS) — Служба поддержки Office

Описание

Синтаксис

Замечания

Пример

Arcsin arccos arctg arctg таблица значений

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

График функции арксинус

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

График функции арккосинус

Четность

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Таблица арксинусов и арккосинусов

Формулы

Формулы суммы и разности

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Рекомендуем к прочтению

Расчет обратных тригонометрических функций

математических слов: обратный косинус

Обратные тригонометрические функции | Precalculus II

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Попробуй 1

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Практическое руководство. Учитывая «особое» входное значение, вычислите обратную тригонометрическую функцию.

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Попробуй 4

Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями

Решение

Решение

Ключевые понятия

Обратные тригонометрические функции

Графики обратных тригонометрических функций

тригонометрия — Как найти обратный косинус без калькулятора

7. Обратные тригонометрические функции

Функция обратной синусоиды (arcsin)

График

Функция обратной касательной (arctan)

Числовые примеры arcsin, arccos и arctan

Функция обратной секущей (угловые секунды)

Функция обратного косеканса (arccsc)

Функция обратного котангенса (arccot)

Альтернативный вид

Тригонометрические функции — Справочное руководство Sage 9.2: Функции

345

6.3 Обратные тригонометрические функции — предварительное вычисление

Цели обучения

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Соотношения для функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Пример 1