Арктангенс 0 7: Арктангенс — калькулятор онлайн

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение упомянем про аркфункции и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

Определения, обозначения, примеры

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс можно определить как угол и как число. Это связано с тем, что мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как угла, так и числа (смотрите синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии). Остановимся на обоих подходах к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как угол

Пусть про угол альфа α известно лишь то, что его синус равен числу 1/2 , то есть, sinα=1/2 . Последнее равенство определяет угол α неоднозначно, так как ему удовлетворяет бесконечное множество углов α=(−1) k ·30°+180°·k ( α=(−1) k ·π/6+π·k ), где k∈Z .

Вообще, равенство sinα=a (не путайте a и альфа: a и α ) при любом числе a∈[−1, 1] и условии −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) определяет единственный угол α . Этот угол называют арксинусом числа a .

Арксинус числа a∈[−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ), синус которого равен a .

Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арккосинус числа a∈[−1, 1] – это угол 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ), косинус которого равен a .

Арктангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол −90° ( −π/2 ), тангенс которого равен a .

Арккотангенс числа a∈(−∞, +∞) – это угол 0° ( 0 ), котангенс которого равен a .

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующие обозначения: arcsin , arccos , arctg и arcctg . То есть, арксинус числа a можно записать как arcsin a , арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a , arctg a и arcctg a .

Также можно встретить обозначения arctan и arccot , они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, которая принята в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg .

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа можно записать более формально:

arcsin a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что −90°≤α≤90° ( −π/2≤α≤π/2 ) и sinα=a ;

arccos a , a∈[−1, 1] , есть такой угол α , что 0°≤α≤180° ( 0≤α≤π ) и cosα=a ;

arctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что −90° ( −π/2 ) и tgα=a ;

arcctg a , a∈(−∞, +∞) , есть такой угол α , что 0° ( 0 ) и ctgα=a .

Подчеркнем, что арксинус и арккосинус числа определен для чисел, принадлежащих отрезку [−1, 1] , для остальных чисел арксинус и арккосинус не определен. Например, не имеет смысла запись arcsin2 . Аналогично не определен арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2 , 5 , , −π выходят за пределы числового отрезка от −1 до 1 . В свою очередь записи arctg a и arcctg a имеют смысл для любого действительного числа a , например, имеют смысл записи arctg0 , arctg(−500,2) , arcctg(6·π+1) и т.п.

Теперь можно привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Определение арксинуса позволяет утверждать, что угол π/3 является арксинусом числа , то есть, (здесь и α=π/3 ). Действительно, число принадлежит отрезку [−1, 1] , угол π/3 лежит в пределах от −π/2 до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа: arcsin(−1)=−90° , arcsin(0,5)=π/6 , .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2 , так как sin(π/10)≠1/2 . Еще пример: несмотря на то, что синус 270 градусов равен −1 , угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270 градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины приведем примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радианов является арккосинусом единицы, то есть, arccos1=0 (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 принадлежит отрезку от −1 до 1 , угол нуль радианов лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1 ). Аналогично, угол π/2 есть арккосинус нуля: arccos0=π/2 . По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 или arctg(−1)=−45° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам ( π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, что arcctg0=π/2 , так как угол π/2 лежит в рамках от 0 до пи и ctg(π/2)=0 .

Подобный подход к определению арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса описан в учебнике Кочеткова [1, с. 260-278] .

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число

Когда мы имеем дело с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять как угол. Если же мы начинаем говорить про синус, косинус, тангенс и котангенс числа, а не угла, то естественно арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс определять уже как число.

Арксинусом числа a∈[−1, 1] называется такое число t∈[−π/2, π/2] , синус которого равен a .

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов. Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс.

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8. Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы.

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос. )

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. Что такое арктангенс, арккотангенс. То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да. ) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого. Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё. Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8). Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Те, кто освоил темы «Тригонометрический круг», и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге» — люди грамотные. И, возможно, уже приготовили мне убойный вопрос.) По определению, скажем, arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Т.е 30°. Но.

Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:

И так до бесконечности. Неоднозначно получается! Получается, что arcsin0,5 это и 30°, и 150°, и 390°, и 510°, и .

Да. Именно так. Арксинус 0,5 — это действительно бесконечный набор углов. Но обозначается такой арксинус вот как: Arcsin0,5. С заглавной буквы. В школе такие арксинусы не изучают. В школе изучают арки с маленькой буквы: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Такие арки называются главными значениями арксинуса, арккосинуса и т.д. и имеют жёсткие ограничения по величине. Для однозначности.

С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:

arсsin (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсcos (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсtg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

arсctg (любой) — это угол, который располагается в интервале:

Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:

Зелёным нарисованы углы, которые пробегают значения от — Пи/2 до + Пи/2. Это и есть разрешённая зона для арксинусов. И никаких дополнительных оборотов! Строго от -90° до +90°! Никакой arcsin не может быть равным, например 120°, 180° или 330°. А вот 50°, -65°, 90° или 25° — пожалуйста!

Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.

А теперь наведите курсор мышки на рисунок, или коснитесь картинки на планшете. Вы увидите диапазон арктангенсов. Найдите 2 отличия.) Да! Конечные точки на оси ОУ стали белыми! Это означает, что они не включаются в диапазон арктангенсов. Арктангенс не может быть равным ±90°. По той простой причине, что тангенс 90° (и -90°) не существует.

Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):

Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что. )

А зачем все эти арки? — слышу ещё один осторожный вопрос.)

Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:

У какого угла синус равен 0,4?

Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу. )

А через арксинус мгновенно даётся абсолютно точный ответ: угол, у которого синус равен 0,4 — это arcsin 0,4 ! Просто по смыслу арксинуса: arcsin 0,4 — это и есть угол, синус которого равен 0,4. Разумеется, это не единственный угол, синус которого равен 0,4, но через арки и все остальные записываются в три секунды. Этим мы в тригонометрических уравнениях займёмся.

Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:

У какого угла синус равен -0,7 ?
У угла arcsin (-0,7).

У какого угла косинус равен 0,03 ?
У угла arccos 0,03.

У какого угла тангенс равен 3 ?
У угла arctg 3.

У какого угла котангенс равен 0,123 ?
У угла arcctg 0,123.

Вам кажутся странными эти вопросы? Привыкайте.) Это главные вопросы любого тригонометрического уравнения. Для решения таких уравнений арки подходят — лучше некуда.

Здесь важно понимать, что arcsin (-0,7), arctg 3 и т.п. — это просто какие-то числа, величины углов. И отличаются от привычных градусов или радианов только компактной формой записи. Например, можно записать (точно!) величину угла в виде:

А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет:

≈ 23,57817847820183110402. °

Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

• sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от — 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos — 3 2 = — 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка — 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

• a r c sin — a = — a r c sin a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c cos — a = π — a r c cos a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c t g — a = — a r c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ ;
• a r c c t g — a = π — a r c c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При — 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin — a = — a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( — a ) — это угол (число) в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен — a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что — a r c sin a лежит в тех же пределах от — π 2 до π 2 , что и a r c sin ( — a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( — a r c sin a ) = — a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство — π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на — 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ — a r c sin a ≥ — π 2 . Переписав его, получим — π 2 ≤ — a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( — a r c sin a ) = — a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin — a r c sin a = — sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin — a r c sin a = — sin a r c sin a = — a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos — a = π — a r c cos a при a ∈ — 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ — a r c cos a ≥ — π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π — a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π — a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π — arccos a = — a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) = — a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin — 1 2 = — a r c sin 1 2 a r c cos — 5 5 7 = π — arccos 5 5 7 arctg — 1 = — arctg 1 arcctg ( — 3 ) = π — arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ — 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ — ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 — a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на — 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 — a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 — 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 — 2 2 + a r c cos 6 — 2 2 = π 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — a r c sin 6 — 2 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

• a r c sin ( sin α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
• a r c t g ( t g α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a — число, лежащее в интервале от — 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от — π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Урок 44. тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №44. Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции и тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции
• Применение тождеств на несложных примерах и для вычисления выражений, включающих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс
• Применение тождеств с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом для преобразования выражений.

Глоссарий по теме

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и . Арккосинус числа m обозначают: .

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают: .

Основная литература:

Фёдорова Н.Е., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Шабунин М.И. под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 310-322.

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс. сс. 286-321, 327-354.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы познакомились с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и с самыми простыми тождествами, которые связывают их с тригонометрическими функциями:

для любого значения m:;

для любого значения m;

1. для любого α:
2. для любого α: .
3. для любого α: .
4. для любого α:

Однако, эти тождества не позволяют вычислять значения более сложных выражений, например, таких:

1)

2)

3)

На этом уроке мы рассмотрим несколько тождеств, которые позволят нам вычислять значения выражений и преобразовывать достаточно сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями.

Задание.

Попробуйте вычислить значение выражения:

Решение:

В этом случае мы не можем воспользоваться тождеством, так как . Но в этом случае мы имеем табличные значения:

Ответ:

Задание

Вычислим значение выражения

Решение:

В этом случае мы также имеем табличные значения:

Ответ:

1. Рассмотрим сначала задачи, связанные с вычислением табличных значений обратных тригонометрических функций.

Пример 1.

Найдите значение: .

Решение:

При решении данной задачи будем пользоваться табличными значениями аркфункций тождеством:

Ответ: .

Пример 2.

Вычислить:

Решение:

На первый взгляд, использование тождества приводит к получению ответа:. Но заметим, что аргумент синуса не удовлетворяет промежутку . Поэтому ответ является неверным. Таким образом, нужно найти такое значение a , что:. Таким значением является . Значит, ответом является число .

2 вариант. Найдем численное значение . Оно равно . Теперь найдем . Оно равно.

Заметим, что второй вариант решения возможен в том случае, когда мы имеем дело с табличными значениями тригонометрических функций.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить:

Решение:

В этом примере возможен только ход рассуждений по первому варианту, так как мы имеем дело не с табличными значениями косинуса. Очевидно, что число 10 не является правильным ответом, поскольку оно не принадлежит промежутку . Таким образом, нам нужно найти такое число a из промежутка , косинус которого равен косинусу 10. Таким значением a является число , так как значит, и, с учетом формул приведения: .

Ответ: 1

2. Рассмотрим некоторые тождества

С использованием тождеств, связывающих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, рассмотрим решение некоторых примеров:

Пример 4.

Вычислите: .

Решение:

При решении этой задачи используется только знание табличных значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций:

.

Ответ: 0.

Пример 5.

Вычислить:

Решение:

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тождеством (22):

Ответ: -3

Пример 6.

Вычислить:

Решение:

Сначала воспользуемся табличными значениями обратных тригонометрических функций и заменим . Теперь воспользуемся для преобразования формулой тангенса двух аргументов:

. Теперь, используя тождества для арктангенса и табличные значения тангенса, получим результат:

Ответ:

Решение задачи 2

Вычислить: .

Решение:

Данное выражение вообще не содержит табличных значений тригонометрических функций, поэтому при решении этой задачи будем использовать тождества второй группы. Но сначала воспользуемся формулой косинуса суммы аргументов. Таким образом, получим:

Ответ:.

Решение задачи 3

Вычислить

Решение:

Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим:

.

Теперь, используя тождества и преобразуя полученное выражение, получим окончательный результат:

Ответ:

3. Рассмотрим более сложные задачи.

Пример 7

Вычислить: .

Решение:

Найдем . Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы аргументов:

Поэтому сумма арктангенсов – это такое число, тангенс которого равен -1. Для того чтобы найти окончательно это число, определим, какому промежутку оно должно принадлежать. и принадлежат промежутку , поскольку в силу монотонности функции арктангенс (он монотонно возрастает) каждый из рассматриваемых арктангенсов больше чем , который равен . А в силу ее ограниченности каждый из них меньше чем . Поэтому сумма этих арктангенсов принадлежит промежутку . В этом промежутке содержится единственное число, тангенс которого равен -1. Это . Таким образом значение выражения равно: .

Ответ: 0,75

Пример 8

Найдите в виде целого числа, если .

Решение:

Сначала воспользуемся формулой, связывающей значения тангенса и котангенса одного аргумента:

. Это позволяет вычислить . Теперь, подставив найденное значение в выражение, значение которого нужно найти, получим искомый результат:

Ответ: 5.

Пример 9

Вычислить:

Решение:

При вычислении значения данного выражения прежде всего воспользуемся формулами синуса двойного аргумента, выражающего его через тангенс, и тангенса половинного аргумента:

.

Теперь воспользуемся тождеством (19) и получим окончательный результат:

Пример 10

Вычислить:

Решение:

Заметим, что при вычислении значения данного выражения можно использовать формулы котангенса суммы и разности аргументов, а затем формулы котангенса половинного аргумента. Но мы будем использовать другой путь. Один из аргументов и другой . Сумма и разность аргументов представляют собой очень привлекательные выражения: и . Попробуем это использовать. Преобразуем данное выражение, воспользовавшись формулой суммы котангенсов: . И далее используя в знаменателе формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:. Таким образом получим:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Упростить выражение: , где

Решение:

При выполнении преобразования данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного аргумента, а также тождествами, позволяющими выразить и. В результате получим:

.

Ответ: 2.

2. Упростите выражение: .

Решение:

Воспользуемся формулой преобразования косинуса суммы аргументов, а затем тождествами:

Ответ: .

3. Найдите значение выражения:

Решение:

С одной стороны, можно попытаться воспользоваться тождеством: . Но в этом случае мы получим в качестве значения выражения: , значение которого вычислять не очень удобно. Поэтому мы будем действовать другим способом: сначала вычислим значение , а затем – значение косинуса в найденной точке.

Для вычисления воспользуемся выражением косинуса через котангенс половинного аргумента: . Используя этот результат, получим:

Теперь найдем , Ответ:

Python. Модуль math. Тригонометрические функции. Примеры

Содержание

Поиск на других ресурсах:

1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот

Чтобы использовать тригонометрические функции в программе, нужно подключить модуль math

import math

Все тригонометрические функции оперируют радианами. Зависимость между радианами и градусами определяется по формуле:

1 радиан = 180°/π = 57.2958°

Если известен угол в градусах, то для корректной работы тригонометрических функций, этот угол нужно преобразовать в радианы.

Например. Задан угол, имеющий n градусов. Найти арккосинус этого угла. В этом случае формула вычисления результата будет следующей:

...
n_rad = n*3.1415/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
...

Чтобы получить более точное значение результата, в программе можно использовать константу math.pi, которая определяет число π. В этом случае текст программы будет иметь следующий вид

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

  ⇑

2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)

В языке Python существуют функции преобразования из градусов в радианы и, наоборот, из радиан в градусы.

Функция math.degrees(x) конвертирует значение параметра x из радиан в градусы.
Функция math.radians(x) конвертирует значение параметра x из градусов в радианы.

Пример.

# Функция math.degrees(x)
import math

x = 1 # x - угол в радианах
y = math.degrees(x) # y = 57.29577951308232 - угол в градусах

x = math.pi # x = 3.1415...
y = math.degrees(x) # y = 180.0

# Функция math.radians(x)
x = 180.0/math.pi
y = math.radians(x) # y = 1.0

x = 45 # x - угол в градусах
y = math.radians(x) # y = 0.7853981633974483

  ⇑

3. Ограничения на использование тригонометрических функций

При использовании тригонометрических функций следует учитывать соответствующие ограничения, которые следуют из самой сущности этих функций. Например, не существует арксинуса из числа, которое больше 1.
Если при вызове функции задать неправильный аргумент, то интерпретатор выдаст соответствующее сообщение об ошибке

ValueError: math domain error

  ⇑

4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла

Функция acos(x) возвращает арккосинус угла x. Аргумент x задается в радианах и может быть как целым числом, так и вещественным числом.

Пример.

# Функция math.acos(x)
import math

n = float(input('n = ')) # ввести n

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

print('n_rad = ', n_rad)
print('ac = ', ac)

Результат работы программы

n = 35
n_rad = 0.6108652381980153
ac = 0.913643357298706

  ⇑

5. Функция math.asin(x). Арксинус

Функция math.asin(x) вычисляет арксинус угла от аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.asin(x)
import math

n = 10 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 0.17453292519943295

# вычислить арксинус
asn = math.asin(n_rad) # asn = 0.17543139267904395

  ⇑

6. Функция math.atan(x). Арктангенс

Функция math.atan(x) возвращает арктангенс аргумента x, значение которого задается в радианах. При использовании функции важно помнить допустимые значения x, которые можно задавать при вычислении арктангенса.

Пример.

# Функция math.atan(x)
import math

n = 60 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 1.0471975511965976

# вычислить арктангенс
atn = math.atan(n_rad) # atn = 0.808448792630022

  ⇑

7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y

Функция math.atan2(x, y) вычисляет арктангенс угла от деления x на y. Функция возвращает результат от —π до π. Аргументы x, y определяют координаты точки, через которую проходит отрезок от начала координат. В отличие от функции atan(x), данная функция правильно вычисляет квадрант, влияющий на знак результата.

Пример.

# Функция math.atan2(x,y)
import math

x = -2
y = -1

res = math.atan2(x, y) # res = -2.0344439357957027

  ⇑

8. Функция math.cos(x). Косинус угла

Функция math.cos(x) вычисляет косинус угла для аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.cos(x)
import math

x = 0
y = math.cos(x) # y = 1.0

x = math.pi
y = math.cos(x) # y = -1.0

x = 2 # 2 радианы
y = math.cos(x) # y = -0.4161468365471424

  ⇑

9. Функция math.sin(x)

Функция math.sin(x) возвращает синус угла от аргумента x, заданного в радианах.

Пример.

# Функция math.sin(x)
import math

x = math.pi
y = math.sin(x) # y = 1.2246467991473532e-16

x = 0
y = math.sin(x) # y = 0.0

x = 2 # 2 радиана
y = math.sin(x)

  ⇑

10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)

Функция возвращает Евклидовую норму, которая равна длине вектора от начала координат до точки x, y и определяется по формуле

Пример.

# Функция math.hypot(x, y)
import math

x = 1.0
y = 1.0
z = math.hypot(x, y) # z = 1.4142135623730951

x = 3.0
y = 4.0
z = math.hypot(x, y) # z = 5.0

  ⇑

11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x

Функция math.tan(x) возвращает тангенс от аргумента x. Аргумент x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.tan(x, y)
import math

x = 1.0
y = math.tan(x) # y = 1. 5574077246549023

x = 0.0
y = math.tan(x) # y = 0.0

  ⇑

Связанные темы

  ⇑

Значение arctg 1 3. Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Свойства

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где — многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис. 1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Оценка Пи с помощью ArcTan

Оценка Пи с помощью ArcTan

Находясь в ловушке на необитаемом острове психопатом, вы задаетесь вопросом, есть ли более эффективный метод вычисления $ \ pi $. Ранее вы вычисляли $ \ pi $ с помощью метода дартс. Размышляя о своем курсе тригонометрии, пройденном в средней школе Тейлора, вы вспоминаете специальный прямоугольный треугольник 45-45-90.

SOHCAHTOA незабываемо, и вы решаете найти

\ [\ tan \ left (\ alpha \ right) = \ frac {{напротив}} {{смежный}} \] Вы вычисляете: \ [\ tan \ left (\ alpha \ right) = \ frac {1} {1} = 1 \] Это означает, что \ [\ arctan (1) = \ frac {\ pi} {4} \] С некоторыми базовыми алгебраическими манипуляциями вы можете увидеть, что \ [\ pi = 4 \ cdot \ arctan \ left (1 \ right) \] Вы решаете для проверки этого метода и сравнения с предыдущим методом доски для дартса. {11}}}} {{11}} + … \] Что дает \ [\ arctan (1) = 1 — \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} — \ frac {1} {7} + \ frac {1} {9} — \ гидроразрыв {1} {{11}} + … \]

Шаг 1. Посмотрите на компьютерный код, который использует первые 2 члена арктанового ряда для оценки $ \ pi $.

Щелкните ссылку ниже и щелкните символ. Это приблизит $ \ pi $, используя первые 2 члена в ряду arctan.

Щелкните здесь, чтобы открыть простой код в редакторе! Обратите внимание на 9-ю строку кода: arc_tan = t — pow (t, 3) / 3 Функция pow позволяет использовать экспоненты.Первая запись — это основание, а вторая — показатель степени (pow (base, exponent)). Ниже представлен отрывок с сайта p5js.org.

Шаг 2. Используйте первые 5 членов серии ArcTan для оценки Pi

Измените этот код, чтобы оценить $ \ pi $ с первыми 5 членами в ряду arctan.

Изменить это:

arc_tan = t - мощность (t, 3) / 3
       

к этому:

arc_tan = t - pow (t, 3) / 3 + pow (t, 5) / 5 - pow (t, 7) / 7 + pow (t, 9) / 9.
       

Скопировать код в буфер обмена

Обратите внимание, что как только вы нажмете, появится белый предварительный просмотр.Последняя строка в белом превью — «abs (Est. — True). Это нахождение абсолютного значения ошибки или нашего расчетного значения Пи минус истинное значение Пи. Является ли наша оценка с 5 членами ближе к истинному Пи, чем с 2-мя терминами?

Если вы все сделаете правильно, ваш код должен вести себя так

Шаг 3. Используйте первые 10 членов серии ArcTan для оценки Pi

Измените этот код, чтобы оценить Pi с первыми 10 членами в ряду arctan.

Изменить это:

arc_tan = t - pow (t, 3) / 3 + pow (t, 5) / 5 - pow (t, 7) / 7 + pow (t, 9) / 9.
       

к этому:

arc_tan = t - pow (t, 3) / 3 + pow (t, 5) / 5 - pow (t, 7) / 7 + pow (t, 9) / 9 - pow (t, 11) / 11 + pow (t, 13) / 13 - pow (t, 15) / 15 + pow (t, 17) / 17 - pow (t, 19) / 19
       

Скопировать код в буфер обмена

Наша оценка с 10 членами ближе к истинному Пи, чем с 2 или 5 членами?

Шаг 4. Посмотрите на повторяющийся код!

Щелкните здесь, чтобы открыть повторяющийся (не останавливающийся) код.Вы узнаете больше о цикле ниже.

Вы должны заметить, что мы приближаемся к Пи по мере увеличения количества членов. Другими словами, ошибка (abs (Est. — True) становится меньше. Теперь давайте посмотрим на код, который никогда не останавливается и продолжает добавлять все больше и больше терминов. Обратите внимание, что после того, как вы нажмете, в предварительном просмотре появится 4-я строка, сообщает нам, сколько терминов было выполнено в нашем коде.

Вы должны увидеть это в окне предварительного просмотра.

Обратите внимание, как ошибка становится меньше и расчетная оценка.Число Пи приближается к Истинному Пи по мере увеличения числа условий.

Шаг 5. Увеличьте частоту кадров

Глядя на 3-ю строку кода последнего шага, вы должны увидеть это:

      частота кадров = 10;
     

Теперь измените эту строку на это:

частота кадров = 60;
       

Скопировать код в буфер обмена

Если вы все сделаете правильно, ваш код должен вести себя так

Код из шага 4 имел скорость 10 кадров в секунду.Максимальная скорость и скорость по умолчанию — 60 кадров в секунду. Скорость была уменьшена, чтобы облегчить чтение вычисленных значений. Теперь, когда код работает со скоростью 60 кадров в секунду, он имеет ту же скорость, что и в предыдущем упражнении с доской для дротиков. Какой метод быстрее оценит Пи?

Готово!

Контрольные вопросы:

1. Как вы думаете, почему мы использовали arctan (1) для оценки $ \ pi $? Почему бы не использовать треугольник 30-60-90 или другой прямоугольный треугольник? Подумайте, как ведет себя функция f (x) = arctan (x), и посмотрите на некоторые специальные прямоугольные треугольники (45-45-90, 30-60-90 и т. Д.).{2n + 1}}} \ конец {массив} \]

Просмотрите код по ссылке, приведенной на шаге 4. Можете ли вы определить, где находится сигма-нотация из контрольного вопроса № 3 в окне кодирования? Посмотрите короткое видео ниже, чтобы понять, что такое петля.

3. Используйте расширение для arccos в вопросе 2, чтобы вычислить цифры $ \ pi $ (Подсказка: используйте треугольник 30-60-90). Лучше ли использовать arccos (точнее быстрее), чем использовать arctan? Или это примерно то же самое? Это хуже?

4.Подумайте о методе «дартс», который обсуждался в предыдущем упражнении по кодированию. Является ли использование arctan (1) «лучшим» методом (более точным и быстрым), чем метод дартс? Объясните свои рассуждения.

Заголовок

% PDF-1.6 % 1 0 объект > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 2 0 obj > транслировать Acrobat Distiller 3.01 для Windows Ключевые слова 2006-05-03T12: 10: 38-04: 002000-08-29T10: 57: 45-07: 002006-05-03T12: 10: 38-04: 00Creatorapplication / pdf

Title

Субъект

Автор

uuid: d78cfc51-d2f7-425d-82fc-f13b2d7f09f0uuid: 3d1dccb9-b754-4b95-9210-b5d853693b8e конечный поток эндобдж 3 0 obj > / Кодирование> >> >> эндобдж 4 0 объект > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > / XObject> / Шрифт> >> / MediaBox [0 0 612 792] / Аннотации [26 0 R 27 0 R 28 0 R 29 0 R 30 0 R 31 0 R 32 0 R 33 0 R 34 0 R 35 0 R 36 0 R 37 0 R 38 0 R 39 0 R 40 0 ​​R 41 0 R 42 0 R] / Содержание 43 0 руб. / StructParents 0 / Родитель 10 0 R >> эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > транслировать xyp} h if & i22S4dIҤMIv1M6N2iCMdhJƷ | `cc | bԧ $> uCƦHZmp: ˫ ߻ Z ~ Ϯ} ww? ~ _R ​​

Arctan tan 1

arctan tan 1 Таким образом, tan -1 (–1) = –45 ° или tan -1 (–1) = –π / 4.-1 (x) в учебниках по тригонометрии. 2. Касательная, являющаяся наклоном прямой, представляет собой наклон двух лучей. Если arctan (x) = y, это в основном спрашивает, какой угол y имеет значение tan y, равное x. Итак, их сумма равна -Pi / 2. Обозначения sin − 1 (x), cos − 1 (x), tan − 1 (x) и т. Д. Tan — 1 1 = π 4 b. Если $ \ theta $ находится за пределами этого интервала, вам нужно будет добавить или вычесть $ \ pi $ из $ \ theta $, пока вы не дойдете до угла в этом интервале, который имеет то же значение $ \ tan $. Техническое примечание: поскольку ни одна из шести триггерных функций синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс не взаимно однозначны, их обратные значения не являются. Функция арктангенса является обратной функцией y = tan (x).В этот интервал попадает только pi / 4. Сообщить о сохранении. 2. Обычно обозначается как arctan (θ) или tan -1 (θ). Когда 2019 년 7 월 8 일 아크 탄젠트 (arctan x) 는 역삼 각 함수 중 하나로 탄젠트 (tan x) 를 분모 로 내린 그리고 그래프 의 모양 은 y = tan x 의 역함수 이므로 y = tan x 의 그래프 를 y = x 의 직선 에 대칭 이두희 ‘가 들려 주는 # 코딩 의 과학 (a. arcus tangens) — одна из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций), обратная касательной. Загар — это грех, потому что. Преобразования и упрощения аргументов. Помните, что у вас не может быть числа больше 1 или меньше -1 Вопрос: 1-8 Найдите точное значение каждого выражения.2). Калькулятор найдет арктангенс заданного значения в радианах и градусах. (На некоторых калькуляторах кнопка arctan может быть обозначена как atan или иногда tan-1. Что такое арктангенс бесконечности и минус бесконечности? Arctan (∞) =? Арктангенс — это функция арктангенса. , Тогда f (x) = tanx взаимно однозначно, поэтому существует обратная величина, обозначаемая tan − 1 (x) или arctan x. Арктангенс x определяется как функция, обратная касательной к x, когда x является вещественным (x ∈ℝ). Спасибо. Образец Использование.загар 45 ° = 1 $. Определите побочный продукт относительно x tan — 1 (4x). 435º 수학 에서, 역삼 각 함수 (逆 三角函數, 영어: обратная тригонометрическая функция) 는 삼각 함수 의 역함수 아크 탄젠트, y = arctan (x), y = tan-1 (x), x = tan (y), 모든 실수, −π / 2 >> математ. Производная или дифференцирование обратной функции tan относительно x записывается в исчислении в следующих двух математических формах. Производная от Arctan (x2 + 1). Помните, что у вас не может быть числа больше 1 или меньше -1 Привет всем! В MathCAD Prime 2 я пытаюсь написать инверсию tan, чтобы получить значение тета.В символах y = tan — 1 x или y = arctan x, что означает, что tan y = x, где x ∈ R и — π 2

Обратный тангенс в Excel — Excelchat

Тригонометрия, как одна из сложных областей математики, боялись большинство студентов из-за сложных законов и различных тригонометрических функций. Одна из обратных тригонометрических функций — арктангенс или арктангенс.

Арктангенс числа — это угол в радианах, тангенс которого является указанным числом.Результирующий угол находится в диапазоне от -pi / 2 до pi / 2. К счастью, Excel предоставляет нам способ вычислить арктангенс числа с помощью функции ATAN.

Рисунок 1. Окончательный результат: Арктангенс

Синтаксис ATAN

= ATAN ( номер )

• где число — тангенс угла, который мы хотим получить

Вычислить арктанган в радианах

Арктангенс или арктангенс числа можно вычислить простым способом.Учитывая число в B3, мы вводим формулу в D3:

= ATAN ( B3 )

Рис. 2. Выход: вычислить арктангенс с помощью ATAN

В столбце D показаны результирующие углы в радианах, соответствующие арктангу чисел 0, 1 и 2.

Вычислить арктангенс в градусах

Чтобы отображать арктангенс в градусах, а не в радианах, мы можем использовать функцию ГРАДУСЫ или умножить угол на коэффициент преобразования 180 / PI ().

Используя функцию ГРАДУСЫ, введите следующие формулы в D3 и D4:

В D3: = ГРАДУСЫ (ATAN (B3))

В D4: = ГРАДУСЫ (ATAN (B4))

Рис. 3. Выход: Arctan с использованием ATAN и DEGREES

Результирующий угол составляет 0 градусов для D3 и 45 градусов для D4.

Используя коэффициент преобразования, мы вводим эти формулы в D5 и D6:

В D5: = ATAN (B5) * 180 / PI ()

В D6: = ATAN (B6) * 180 / PI ()

Рисунок 4.Выход: Arctan в градусах

Полученные углы в градусах в D5 и D6 такие же, как в D3 и D4.

Мгновенное подключение к Excel Expert

В большинстве случаев задача, которую вам нужно решить, будет более сложной, чем простое применение формулы или функции. Если вы хотите сэкономить часы на исследованиях и разочарованиях, попробуйте нашу живую службу Excelchat! Наши эксперты по Excel доступны круглосуточно и без выходных, чтобы ответить на любые ваши вопросы по Excel.{\ circ} \) (\ (\ pi \) / 2).

Однако оказывается, что существует два разных определения арктангенса, и какое из них вы используете, имеет значение, если x и y могут быть положительными или отрицательными. Это именно тот случай, когда используются декартовы компоненты местоположения на сфере для определения долготы и широты этой точки.

Версия тангенса, которую вы найдете на своем калькуляторе, представляет собой двухквадрантную арктангенс (атан), и она ожидает единственное входное значение (y / x). Это значение может быть положительным или отрицательным, и выходные данные будут иметь тот же знак и иметь значения от 0 до \ (\ pi \) / 2 (90 \ (^ {\ circ} \)). На графике ниже атан возвращает результаты только в правой половине круга.

Теперь давайте подумаем о точке (x, y, z) на экваторе Земли, где z = 0. Обратите внимание, что соотношение y / x = (- y) / (- x), так что atan вернет одно и то же значение для угла (долготы), но эти две точки не лежат в одном и том же месте на сфере. .

Вот почему существует также арктангенс с четырьмя квадрантами, atan2 (y, x). Обратите внимание, что эта версия арктангенса требует двух входных значений.{\ circ} \), что является правильным ответом с учетом знаков x и y.

 импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np  r2d = 180 / np.pi
fig = plt.figure (figsize = (7,7))
ax = fig.add_subplot (1,1,1)
х = np.arange (-1,1., 0,01)
y = np.arange (1, -1., - 0,01)  ycirc = np.sqrt (1 - x ** 2)
х1 = -1
y1 = -1
print ('atan2 для x = -1, y = -1', np.arctan2 (y1, x1) * r2d)
print ('atan, для x = -1, y = -1', np.arctan (y1 / x1) * r2d)  ax.plot (np.zeros (y.shape), y)
ax.plot (x, np.zeros (x.shape))
ax.plot (x, ycirc, 'черный')
топор.сюжет (x, -ycirc, 'черный')
ax.plot ([0, -1], [0, -1], цвет = 'синий')
ax.plot ([0, 1], [0,1], color = 'красный')
ax.plot (1,1, маркер = 'о', цвет = 'красный')
ax.plot (-1, -1, маркер = 'o', цвет = 'синий')  ax.set_aspect ('равно')
ax.set_ylim ([- 1.2, 1.2])
ax.set_xlim ([- 1.4, 1.2])
ax.text (1,0, '0')
ax.text (0,1.1, '$ \ pi / 2, (90) $')
ax.text (-1.19,0, '$ \ pm \ pi $')
ax.text (-1,39, -0,2, '($ \ pm180 $)')
ax.text (0, -1.1, '$ - \ pi / 2, (-90) $')
ax.text (0,5,0,5, 'Восток')
ax.text (-0,5; 0,5; 'Восток')
ax.text (0,5, -0,5, 'Запад')
ax.text (-0,5, -0,5, 'Запад')
ax.set_xlabel ('координата x')
топор.{\ circ} \), где z = y / x = напротив / рядом. Это связано с тем, что функция не может различать все четыре квадранта.
 Напомним, что \ (\ tan (\ theta) = \ sin (\ theta) / \ cos (\ theta) \), а в прямоугольных треугольниках \ (\ tan (\ theta) = y / x \)
 Если \ (\ tan (\ theta) \) положительно, это может означать, что либо угол находится в квадранте I (где и \ (\ sin (\ theta) \), и \ (\ cos (\ theta) \) положительны) или Квадранта III (где и \ (\ sin (x) \), и \ (\ cos (\ theta) \) отрицательны). {\ circ} \).
 В заключение, если вы вычисляете что-то в диапазоне от -90 до 90 градусов, например широту, используйте arctan. При вычислении угла, который может составлять от -180 до 180 градусов, используйте arctan2.
 Это объяснение arctan и arctan2 было адаптировано и расширено из stackexchange
 Атан2 | PICO-8 Wiki | Фэндом 
 atan2 (dx, dy)
 Вычисляет арктангенс dy / dx, угла, образованного вектором на единичной окружности.Результат откорректирован так, чтобы он отображал полный круг.
  dx 
 Горизонтальная составляющая.
  dy 
 Вертикальный компонент.
 Функция  atan2 ()  вычисляет арктангенс (арктангенс) отношения двух чисел dy / dx. Где dx - это изменение горизонтального положения, а dy - изменение вертикального положения, арктангенс - это угол, образованный линией от центра круга до этого положения.
 PICO-8 регулирует значение арктангенса на основе знаков dx и dy таким образом, чтобы был представлен каждый угол круга. Например,  atan2 (1, 1)  равно  0,875  (7/4 пи радиан, или 315 градусов), а  atan2 (-1, -1)  равно  0,375  (3/4 пи радиан, или 135 градусов). Точно так же  atan2 (0, 1)  равно  0,75 .
 Статьи Wikia о sin () и cos () устанавливают соглашение, согласно которому угол проходит по часовой стрелке, а значения синуса сохраняют традиционную ориентацию, например.грамм.  sin (0,125)  равно  -0,7071  (отрицательное значение уменьшается):
 Используя это соглашение, вы должны поменять знак dy, чтобы понять результат  atan2 () .
 Официальная документация PICO-8 использует альтернативное соглашение, где углы идут против часовой стрелки, а  sin ()  просто понимается как возвращающий отрицательный результат традиционного результата.