Опубликовано Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg: расчет, свойства
Данный тип функций решают задачу вычисления и определения угловых значений по известному заданному значению тригонометрической функции.
Например, синус какого угла будет иметь значение \[\frac{1}{2}\]
Напрашивается ответ, что это угол 60° или \[\frac{\pi}{3}\] , однако вспоминая о периоде значений косинуса, делаем вывод: углы, при которых косинус равен \[\frac{1}{2}\], существует достаточно много.
Данные тригонометрические функции являются обратными по значению. Они имеют множество характерных свойств:
Проведем доказательство перечисленных свойств на примере значения арксинуса. Значение угла данной функции равняется числу a. И данное значение находится на промежутке чисел от -1 до +1.
sin(arcsin a)=a
Все остальные функции доказываются аналогично, согласно их определения.
Определение значений обратных функций, будет иметь смысл при условии, что неизвестное число a будет делать в пределах от -1 до +1.
Противоположные значения для обратных значений функций арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
Взаимосвязь функций противоположных чисел можно записать в следующем виде:
Перейдем к доказательству записанных выражений.
Доказательство арксинусов:
\[\text { Если }-1 \leq a \leq 1 \Rightarrow \arcsin (-a)=-\arcsin a .\]
Данная тригонометрическая функция имеет предел значений от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] и синус его равен -a.
Докажем, что — arcsin a находится в пределах \[-\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}\] и обоснуем, что sin (-arcsin a)=-a.
Для функции арксинус справедливо неравенство, следующего вида:\[-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin a \leq \frac{\pi}{2}\].
Для того чтобы получить эквивалентное неравенство, нужно обе части равенства умножить на значение-1. После вычислений получим:\[-\frac{\pi}{2} \leq-\arcsin \mathrm{a} \leq \frac{\pi}{2}\].
Докажем, что sin ( − arcsin a ) = − a sin(-arcsin a)=-a.
Применим свойство противоположных углов и составим уравнение:
sin ( − a r c sin a ) = − sin ( a r c sin a )=-sin arcsin a.
Арккосинус доказывается следующим образом:
Записываем выражение: \[\arccos (-a)=\pi-\arccos a \text { при } a \in(-1,1)\]
Для этой функции принимает равенство \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] обе части равенства нужно перемножить на значение равное -1 и изменить знаки на противоположные. Выполнив вычисления получим равенство: \[\pi \geq \pi-\arccos a \geq \pi\].
Чтобы доказать оставшиеся две функции, применяются аналогичные свойства и правила.
Правило противоположных чисел позволяет упростить процесс решения и исключает все операции при вычислении с отрицательными числами.
Например:
Принцип сложения обратных тригонометрических функций
Для тригонометрических функций, прямых или обратных, характерны простые математические свойства, а именно: сложение данных.
Составим доказательство функций для арксинуса и арккосинуса. Формулы arcsin и arccos в виде суммы, можно представить как \[\arcsin a=\frac{\pi}{2}-\arccos a\]. Затем применить определение, из которого следует, что арксинус — это число, которое относится пределу значений от \[-\frac{\pi}{2} \text { до } \frac{\pi}{2}\] , синус равняется a.
Обе части неравенства \[0 \leq \arccos a \leq \pi\] умножим на значение -1 и прибавим \[\frac{\pi}{2}\].
Выполнив все необходимые операции по вычислению заданного равенства, получим следующие выражения:
Для завершения доказательства запишем формулу: \[\sin \left(\frac{\pi}{2}-\arccos a\right)=\cos (\arccos a)=a\]
Сформулируем свойства рассматриваемых значений функций относительно синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Значение arcsin (sin a) имеет смысл в том случае, если a относится к пределам \[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\] и выполняется условие \[-\frac{\pi}{2} \leq a \leq \frac{\pi}{2}\].
Аналогичные условия характерны и для других функций.
Пример: \[\arcsin \left(\sin \frac{8 \pi}{3}\right)=\frac{8 \pi}{3}\], является неверной, потому что \[\frac{8 \pi}{3}\], не удовлетворяет условию.
Главные значения: arcsin, arccos, arctg и arctg
Применяя таблицы определения значений прямых функций, мы имеем точные числовые значения для следующих углов \[0, \pm 30,45,60,90,120 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm 180\] градусов.
Таблица является очень простой и понятной для применения при выполнении необходимых расчетов.
Вычисленные значения принято сводить в таблицу, показанную выше. Особенно рекомендуются, ее заучивать наизусть, для более хорошего восприятия.
Учитывая данные вышеприведенной таблицы, можно вычислить необходимые для нас значения функций.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Для более практичного применения сведем все данные арксинуса в таблицу. Их необходимо запомнить, а лучше всего выучить наизусть. Так ка к ним придется возвращаться на постоянной основе.
Далее определимся с основными значения арккосинуса. Для вспомнить функцию прямую по значению к данной.
Далее определяем нужные нам значения арккосинуса и сводим их в таблицу.
И напоследок остается вычислить значения арктангенса и арккотангенса.
Выведем значения основных прямых функций и получим следующие значения для каждого значения в градусах:
\[\operatorname{tg} 90^{\circ}, 270^{\circ}\] — данные угловые значения, не определяются, согласно основным законам геометрии и математики.
{\circ}\]- для перечисленных угловых значений по законам математики и всех технических наук в целом, значения не определяются
Далее все данные запишем в виде табличной формы.
Первая таблица для арктангенса
Вторая таблица для арккотангенса
Рассмотрим, также значения для нестандартных угловых значений и сведем их в таблицу.
В данной таблице приведены значения углов, которые считаются нестандартными. Также таблица необходима, чтобы облегчить жизнь, в первую очередь, школьной программе.
Например:
Основные способы, которые помогут заполнить таблицу функций тригонометрии.
Необходимо изобразить простую таблицу, где будет несколько столбцов и строк, необходимых для заполнения данных. Следующая задача, состоит в том, что нужно пустые графы заполнить. Записываем в первом столбике значение математических функций, ранее нами изученных.
В начальной строке, должны отображаться самые часто используемые значения углов: от нуля до девяноста градусов и так далее.
Оставшиеся ячейки нужно оставить незаполненными, для следующих действий. Чтобы понять тригонометрию, нужно изучать не только основные функции. Стоит уделить внимание и таким функциях как: косеканс (cosec) и секанс(sec).
На практике решений, обычно требуется точность в три-четыре знака, после запятой, но не более. Для расчета, с такой точностью, значение синуса, в формуле достаточно трех известных слагаемых, а иногда и двух. Произвести простых четыре перемножения.
Дважды разделить, умножить и отнять.
Если производить действия инженерным калькулятором, становится понятно, что все вышеперечисленные действия, уже запрограммированы в его микросхеме.
В таблице представлены следующие данные:
- число в квадратной и кубической степени;
- числа квадратных корней;
- логарифмические функции и значение;
- функции тригонометрии, представленный в градусах и радианах;
- обратные функции.
Мы показали, что представляет таблица, какие данные и значения отображает.
{\prime}=4,102 .\]
Тригонометрические функции являются периодическими. Функции, которые, являются обратными к ним будут иметь многозначное значение. Другим словами это множество угловых значений, для которых соответствующая функция является заданным числом.
Арксинус (y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).
| Свойства функции | Функции y=arcsin х |
| E(f) | \[-1 \leq x \leq-1\] |
| D(f) | \[-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\] |
| наличие четности | Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x |
| характер графика направление | возрастание |
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y).
| Свойства | Функции y=arccos х |
| E(f) | \[-1 \leq x \leq-1\] |
| D(f) | \[0 \leq y \leq \pi\] |
| Чётности | Данное свойство ей не характерно. Иными словами отсутствует. |
| Монотонность | Убывающая |
Арктангенс ( y = arctg x ) – характеризуется, как обратное значение функции относительно тангенса.
Следовательно арккотангенс имеет такие свойства по отношению к тангенсу.
| Свойства | y=arctg х | y=arcctg х |
| E(f) | R | R |
| D(f) | \[\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\] | \[(0 ; \pi)\] |
| Характер функции | Нечётная | Нечётная |
| Периоды | Возрастающая | Убывающая |
Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы
Даны все свойства арктангенса и арккотангенса, их графики, формулы, таблица арктангенсов и арккотангенсов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложения в степенные ряды.
Арктангенс, arctg
Определение и обозначения
- Арктангенс ( y = arctg x )
- – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).
Он имеет область определения и множество значений .
tg(arctg x) = x ;
arctg(tg x) = x .
Он имеет область определения и множество значений . Арктангенс обозначается так:
.
График функции арктангенс
График функции y = arctg x.
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Определение и обозначения
- Арккотангенс ( y = arcctg x )
- – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений .
ctg(arcctg x) = x ;
arcctg(ctg x) = x .
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg x.
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат.
Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.
Свойства – экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
| y = arctg x | y = arcctg x | |
| Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
| Множество значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы, минимумы | нет | нет |
| Нули, y = 0 | x = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
| – | π | |
| 0 |
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arctg x | arcctg x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| – ∞ | – 90° | – | 180° | π |
| – | – 60° | – | 150° | |
| – 1 | – 45° | – | 135° | |
| – | – 30° | – | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Формулы
См. Вывод формул обратных тригонометрических функций
Формулы суммы и разности
при
при
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
См.
Вывод формул
,
.
Выражения через гиперболические функции
Производные
См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >
Производные высших порядков:
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.
См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.
Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.
Интегралы
Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;
Выразим арккотангенс через арктангенс:
.
Разложение в степенной ряд
При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Arctan 1 — значение, в градусах, в радианах
Прежде чем оценивать значение arctan 1, давайте вспомним значение arctan.
Арктангенс — это сокращенная форма арктангенса, который является одной из шести основных обратных тригонометрических функций (обратной функции тангенса), также известной как обратная тангенс. Значение arctan 1 или tan inverse 1 равно π/4 радианам или 45 градусам. Тангенс, обратный 1, дает меру угла прямоугольного треугольника, когда отношение перпендикуляра к основанию равно 1. Мы можем оценить это значение, используя тот факт, что значение функции тангенса при угле 45 градусов равно до 1,
В этой статье мы поймем оценку значения arctan 1 в градусах и радианах, используя тригонометрические факты и формулы. Мы также решим несколько примеров и оценим значение различных обратных тригонометрических функций, используя значение arctan 1, чтобы лучше понять концепцию.
| 1. | Что такое Арктан 1? |
| 2. | Нахождение обратного значения Tan 1 |
3. | Арктан 1 в градусах |
| 4. | Арктан 1 в радианах |
| 5. | Значение Tan, обратное 1, в единицах числа Пи |
| 6. | Часто задаваемые вопросы по Arctan 1 |
Что такое Арктан 1?
Arctan 1 (или tan, обратный 1) дает значение обратной тригонометрической функции arctan, когда отношение перпендикуляра к основанию прямоугольного треугольника равно 1. Другими словами, мы можем сказать, что тангенс обратного Значение 1 является мерой угла прямоугольного треугольника, когда отношение противоположной стороны и прилежащей стороны к углу равно 1. Значение tan, обратное 1, равно 45° или π/4 радианам. Давайте докажем это значение arctan 1 в следующем разделе.
Нахождение обратного значения Tan 1
Как обсуждалось в предыдущем разделе, тангенс, обратный 1, дает меру угла прямоугольного треугольника, когда отношение противоположной стороны и прилежащей стороны угла равно 1.
Противоположная сторона / Смежная сторона = 1
⇒ Противоположная сторона = Смежная сторона
Это означает, что прямоугольный треугольник равнобедренный. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°, а в равнобедренном треугольнике углы, лежащие при равных сторонах, равны. Итак, рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке B, в котором длины перпендикуляра AB и основания BC равны. Тогда у нас есть
∠A + ∠B + ∠C = 180° — [Используя свойство суммы углов треугольника]
⇒ ∠A + 90° + ∠C = 180° — [Поскольку угол B прямой ]
⇒ ∠A + 90° + ∠A = 180° — [Поскольку AB = BC, отсюда следует, что угол A равен углу C, поскольку углы, противоположные равным сторонам, равны.]
⇒ 2∠A + 90° = 180°
⇒ 2∠A = 180° — 90°
⇒ ∠A = 90°/2
⇒ ∠A = 45°
Следовательно, угол A = угол C = 45°
Как обсуждалось выше, arctan 1 дает меру угла прямоугольного треугольника, когда отношение противолежащей стороны и прилежащей стороны угла равно 1, следовательно, мы определили меру рассматриваемого угла, которая равна до 45°.
Следовательно, значение tan, обратное 1, равно 45°.
Арктан 1 в градусах
Поскольку мы оценили значение тангенса, обратное 1, в предыдущем разделе, его можно записать как тангенс -1 (1) = 45°. Следовательно, значение arctan 1 в градусах равно 45 градусам. Мы также можем доказать это, используя тот факт, что главный интервал значений обратной функции тангенса равен (-90°, 90°), а тангенс-функция равна 1 только тогда, когда угол равен 45° в интервале значений (-90° , 90°). Таким образом, tan x = 1 подразумевает x = tan -1 (1) ⇒ х = 45°. Следовательно, значение tan, обратное 1, в градусах равно 45°.
Арктан 1 в радианах
Поскольку мы знаем, что диапазон главного значения тангенса равен (-π/2, π/2), а значение функции тангенса равно 1 при π/4 радианах, давайте оценим значение arctan 1 в радианы, используя эти тригонометрические факты.
Предположим, тангенс -1 (1) = θ
⇒ тангенс θ = 1 — [Принимая тангенс с обеих сторон]
⇒ тангенс θ = тангенс (π / 4) —- [Потому что тангенс ( π / 4) = 1]
⇒ θ = π / 4 — [Поскольку функция тангенса равна 1 только тогда, когда угол составляет π/4 радиана в пределах основного интервала диапазона (-π / 2, π / 2)]
Следовательно, значение arctan 1 в радианах равно π/4 радианам.
Значение Tan, обратное 1, в единицах числа Пи
Теперь, когда мы знаем, что значение tan, обратное 1, равно 45°, мы преобразуем это значение в радианы, используя формулу преобразования градусов в радианы. Мы можем сказать, что для преобразования градусов в радианы мы умножаем угол (в градусах) на π / 180. Следовательно, формула такова:
Угол в радианах = Угол в градусах × π / 180°
⇒ Арктангел 1 в пересчете на π = 45° × π / 180°
= π/4 радиан
число пи равно π/4 радианам.
Важные замечания по арктангенсу 1
- Значение арктангенса 1 в градусах равно 45°.
- Значение tan, обратное 1, в радианах равно π/4 рад.
- Мы можем найти это значение, используя тот факт, что tan 45° равен 1,
☛ Связанные темы:
- Производное арктана
- Арктан Интеграл
- Производная обратного загара x
Часто задаваемые вопросы по Arctan 1
В чем ценность Arctan 1?
Значение arctan 1 или tan inverse 1 равно π/4 радианам или 45 градусам.
Как найти точное значение Tan, обратное 1?
Поскольку мы знаем, что диапазон главного значения тангенса равен (-π / 2, π / 2), а значение функции тангенса равно 1 при π/4 радианах, поэтому значение тангенса, обратное 1, равно до π/4 радиан.
Является ли Arctan 1 таким же, как Tan Inverse 1?
Да, значение арктангенса 1 такое же, как и тангенса инверсия 1, который составляет 45 градусов. Arctan — это еще одна форма записи функции арктангенса, которая также записывается как tan inverse (tan -1 ).
Что такое Arctan 1 в градусах?
Значение арктангенса 1 равно 45° в градусах.
Что такое Tan Inverse 1 в радианах?
Значение тангенса, обратное 1, в радианах равно π/4 рад.
Что такое Arctan 1 с точки зрения числа Пи?
Значение тангенса, обратное 1, равно π/4 рад в единицах числа пи.
Какова стоимость Arctan 1 / √3?
Мы знаем, что тангенс (π/6) = 1/√3 и π/6 лежит в диапазоне главных значений обратного тангенса, который равен (-π/2, π/2).