Опубликовано Смешанные числа
В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.
Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.
Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.
Сложение целого числа и правильной дробиВстречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби с разными знаменателями:
А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же.
Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.
Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.
Значит значение выражения равно
Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:
Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:
Пример 3. Найти значение выражения
Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.
Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:
Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число
Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:
Теперь свернём полученное смешанное число:
Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:
Сложение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.
Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 2 + 3 = 5.
В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:
Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:
Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь
Теперь свернем полученное смешанное число:
Таким образом, значение выражения равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:
Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:
Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.
Пример 2. Найти значение выражения
Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 5 + 3 = 8.
В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8
Теперь вычислим дробные части:
Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число
Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:
Сложим целые части. Получаем 9
Сворачиваем готовый ответ:
Таким образом, значение выражения равно .
Полное решение этого примера выглядит следующим образом:
Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:
Чтобы сложить смешанные числа, надо:
- привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
- отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.
Пример 3
. Найти значение выраженияВоспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:
Сложение целого и смешанного числа
Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:
Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены.
В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .
Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:
Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:
Вычитание дроби из целого числа
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:
Пример 2.
Найти значение выражения .
Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:
Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.
Представим, что число 3 это три пиццы:
Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:
Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть
Получилось (две целых и две трети пиццы).
Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:
Пример 3. Найти значение выражения
Представим число 3 в виде дроби .
Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Вычитание смешанного числа из целого числа
Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .
Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме.
Этот процесс легко поддаётся воображению.
К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)
Тогда от той пиццы, от которой отрезали останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:
Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.
Вычитание смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:
Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа и перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:
Пример 2.
Найти значение выражения
Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:
К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.
А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.
Умножение целого числа на дробь
Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого достаточно умножить это число на числитель дроби.
Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2.
Найти значение выражения
Умножим число 3 на числитель дроби
В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.
Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:
Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения
Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:
Пример 4. Найти значение выражения
Умножим число 3 на числитель дроби
Умножение смешанного числа на дробь
Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.
Пример 1. Найти значение выражения
Переведём смешанное число в неправильную дробь.
После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на
Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Умножить эти куски на означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:
Теперь если мы возьмем (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:
Поэтому значение выражения было равно 1
Умножение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:
Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Теперь разберемся со смешанным множителем .
Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.
С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:
Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:
Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:
А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:
Деление целого числа на дробь
Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.
Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь
Допустим, имеются три целые пиццы:
Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».
Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:
Поэтому значение выражения равно 6.
Пример 2. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим
Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам.
Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения равно
Пример 3. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 5 на
Дробь это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:
А выражение определяет сколько раз содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .
То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.
Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по
Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:
Поэтому значение выражения равно
Деление дроби на целое число
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю.
Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.
Пример 1. Разделим дробь на число 2
Чтобы разделить дробь на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Пусть имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно дробь умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь
Деление целого числа на смешанное число
Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .
Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь.
Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.
Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переводим делитель в неправильную дробь, получаем .
Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь
Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ
Деление смешанного числа на целое число
Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.
Например, разделим на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.
Переведём смешанное число в неправильную дробь, получим .
Теперь умножаем на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:
Разделим это количество пиццы поровну на две части.
Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:
Затем разделим поровну на две части и половину:
Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по пиццы в каждой группе:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .
Деление смешанных чисел
Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Пример 1. Найти значение выражения
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .
Дорешаем данный пример до конца:
Допустим, имеются две целые и половина пиццы:
Если зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:
Пример 2. Найти значение выражения
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь
Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби целую часть. В результате получили окончательный ответ .
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Урок 72. сложение смешанных дробей — Математика — 5 класс
Математика
5 класс
Урок № 72
Сложение смешанных дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
– сложение смешанной дроби с целым числом;
– сложение смешанной дроби с правильной дробью;
– сложение смешанных дробей с общим знаменателем;
– сложение смешанных дробей с разными знаменателями;
– преобразование неправильных дробей в смешанное число.
Тезаурус
Смешанная дробь – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака плюс.
Целая часть смешанной дроби – натуральное число в смешанной дроби.
Дробная часть смешанной дроби – правильная дробь в смешанной дроби.
Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется.
Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.
Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее мы говорили, что смешанная дробь – это сумма натурального числа и правильной дроби. При сложении смешанных дробей используют законы сложения. Рассмотрим это на примере:
Каждую смешанную дробь представим, как сумму целой и дробной части.
Вспомним переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется. Перегруппируем слагаемые. Запишем сначала сумму целых частей, а затем сумму дробных частей. Сложим отдельно целые и дробные части обеих дробей. Полученную сумму запишем смешанной дробью, то есть уберём знак плюс между натуральным числом и правильной дробью.
Для удобства будем считать, что у каждого натурального числа есть дробная часть, равная нулю, а у каждой правильной дроби есть целая часть, равная нулю. С учётом этого складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по тому же правилу.
Например:
Проведём те же преобразования, что и в предыдущем примере: отдельно сложим целые и дробные части обоих чисел. Запишем сумму целой и дробной части в виде смешанной дроби, т. е. без знака плюс.
Рассмотрим пример, в котором к смешанной дроби прибавляют простую дробь.
Отдельно складываем целые части и дробные части. Сумму натурального числа и дроби записываем смешанным числом, т. е. без знака плюс.
При сложении двух смешанных дробей сумма дробных частей может оказаться неправильной дробью. Посмотрим на примере, как действовать в таком случае.
Сумма дробных частей получилась равной семи пятым. Преобразуем неправильную дробь в смешанную. Семь пятых – это одна целая и две пятых. С учётом этого сумма данных смешанных чисел равна четырём целым и двум пятым.
Если необходимо сложить смешанные дроби, дробные части которых имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести дробные части к общему знаменателю, а потом выполнить сложение.
Общий знаменатель дробных частей равен пятнадцати. Сумма будет равна семи целым тринадцати пятнадцатым. Обратите внимание на запись решения данного примера. Здесь уже нет промежуточных вычислений сумм целых и дробных частей. Записывать эти вычисления не нужно, достаточно понимать последовательность своих действий.
Рассмотрим ещё одно выражение:
В этом выражении у обоих слагаемых есть и целая, и дробная части. Дробные части имеют различные знаменатели. Приводим дробные части к общему знаменателю. Отдельно складываем целые и дробные части, не записывая это подробно. Сумма дробных частей оказалась равной сорока трём тридцатым, это неправильная дробь. Преобразуем её в смешанную дробь. Сорок три тридцатых – это одна целая тринадцать тридцатых. Выполним сложение семи и одной целой тринадцати тридцатых. Получим восемь целых тринадцать тридцатых.
Вычислим:
При решении этого выражения можно выполнить действия по порядку: сначала найти суммы в скобках, затем сложить полученные суммы.
В этом случае нам придётся приводить дроби к общему знаменателю. Выполним это решение:
Можно решить это выражение другим способом, вспомнив сочетательный и переместительные свойства сложения:
Во втором случае решение получилось короче, нам не пришлось приводить дроби к общему знаменателю.
Сегодня мы рассмотрели сложение смешанных дробей с натуральными числами, правильными дробями и смешанными дробями. Во всех этих случаях мы действовали по одному правилу: отдельно складывали целые и дробные части слагаемых, а затем складывали полученные результаты.
Тренировочные задания
№ 1. Выберите выражения, в решении которых допущены ошибки или решение не доведено до верного ответа:
В первом выражении приведено полное, верное решение: отдельно сложены целые и дробные части смешанных дробей. Дробные части приведены к общему знаменателю. Сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, эта дробь правильно преобразована в смешанную дробь. Сложение натурального числа и смешанной дроби выполнено верно.
Во втором выражении при сложении дробных частей, правильно приведённых к общему знаменателю, также получилась неправильная дробь, верно произведено сокращение этой неправильной дроби, но она не преобразована в смешанную дробь. В ответе получилось число, дробная часть которого является неправильной дробью. Это неверная запись ответа, хотя вычисления произведены правильно.
В третьем выражении неправильно выполнено сложение дробных частей. Дроби не приводятся к общему знаменателю, складывается числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, что не является верным нахождением суммы двух дробей. В ответе получилась сократимая дробь, которая сокращена верно.
Ответ: ошибки допущены во 2 и 3 выражениях.
№ 2. Вычислите периметр прямоугольного участка земли, если его ширина м, а длина на м больше.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны попарно равны, достаточно знать длину и ширину прямоугольника. Ширина известна, она равна м, а о длине сказано, что она на м больше. Найдём длину прямоугольника, для этого к ширине прибавим м.
(м) – длина прямоугольника.
При сложении мы привели дробные части к общему знаменателю, сложили их, преобразовали получившуюся неправильную дробь в смешанную дробь и сложили её с суммой целых частей.
Теперь найдём периметр прямоугольника. Сложим длины четырёх его сторон:
(м) – периметр прямоугольника
Заметим, что промежуточные вычисления – отдельное сложение целых и дробных частей – записывать не обязательно.
Отрицательные дроби. Действия с отрицательными дробями
Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.
Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:
-2 : 7 и 2 : (-7),
каждое из них равно отрицательному числу
Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:
| -2 : 7 | = | -2 | и | 2 : (-7) | = | 2 | . |
| 7 | -7 |
Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус
можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
Пример.
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Таким образом:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
Пример.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Умножение и деление
Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.
Пример.
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | -2 | · | -4 | = | -2 · (-4) | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | 2 | · | 4 | = | 2 · 4 | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
Пример.
| — | 2 | · | 4 | = | — | 2 · 4 | = | — | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:
| 4 | · (- | 2 | ) = | — | 4 · 2 | = | — | 8 | . |
| 5 | 3 | 5 · 3 | 15 |
То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.
Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.
Пример.
| — | 2 | : (- | 4 | ) = | -2 | : | -4 | = |
| 3 | 5 | 3 | 5 |
| = | -2 · 5 | = | -10 | = | 10 | . |
| 3 · (-4) | -12 | 12 |
Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.
Виды дробей и основные понятия, формулы и примеры решений
Определение
Дробью или обыкновенной дробью называется число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
Подробнее об обыкновенных дробях по ссылке →
Обыкновенные дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной (называется винкулум) или наклонной (солидус) черты, которую называют чертой дроби.
Например. 1/3, $\frac{1}{3}$ (читается: одна третья).
Определение
Число, которое стоит над чертой дроби, называется числителем, а число, записанное под чертой дроби — знаменателем.
Например. 1/3, У дроби $\frac{15}{17}$ (пятнадцать семнадцатых) число 15 является числителем, 17 — знаменателем.
Определение
Если числитель дроби меньше, чем ее знаменатель, то дробь называется правильной.
Дробь, числитель которой либо равен, либо больше знаменателя, называется неправильной.
Подробнее о правильных и неправильных дробях по ссылке →
Например. Дробь $\frac{3}{4}$ (три четвертых) является правильной, так как числитель этой дроби — 3 — меньше, чем знаменатель, который равен 4: 3
Определение
Сумму натурального числа и правильной дроби обычно записывают без знака плюс. Такие дроби называются смешанными. Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а правильную дробь — дробной частью смешанного числа.
Подробнее о смешанных дробях по ссылке →
Например. $7 \frac{4}{5}=7+\frac{4}{5}$ (семь целых четыре пятых). 7 — целая часть, $\frac{4}{5}$ — дробная.
Определение
Если числитель и знаменатель дроби нельзя сократить на одно и тоже число, отличное от 1, то дробь называется несократимой; иначе — сократимой.
Например. Дробь $\frac{3}{5}$ (три пятых) является несократимой, так 3 и 5 являются взаимно простыми числами, то есть их нельзя поделить на одно и тоже число. Дробь $\frac{3}{9}$ (три девятых) сократимая, так как числитель и знаменатель делится на 3.
Определение
Если знаменателем дроби являются числа 10, 100, 1000 и т.п., то такая дробь называется десятичной.
Подробнее о десятичных дробях по ссылке →
Например. $\frac{3}{10}, \frac{17}{1000}, \frac{7}{100}$
Для удобства записи такие дроби записывают без знаменателя, целую часть от дробной отделяют запятой.
Например. $\frac{3}{10}=0,3, \frac{17}{1000}=0,017,7 \frac{7}{100}=7,07$
Определение
Составной дробью называется выражение, которое содержит несколько черт дроби.
Например. $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}, \frac{3 / 4}{6 / 7}$
Читать следующую тему: обыкновенные дроби.
Слишком сложно?
Понятие дроби. Виды дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Смешанная дробь. Действия со смешанными дробями
Смешанной называют дробь, имеющую целую и дробную части.
Записываются они как \(a\)\(\frac{m}{n}\), где – \(a\) целое число,\(\frac{m}{n}\) — правильная дробь.
Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\) здесь \(2\) – целая часть, \(\frac{3}{5}\) – дробная часть (правильная дробь).
\(17\)\(\frac{17}{18}\) здесь \(17\) – целая часть, \(\frac{17}{18}\) – дробная часть (правильная дробь).
Фактически такие дроби представляют собой сумму целого числа и дроби, то есть между целой и дробной частью стоит знак «плюс» (а не «умножить»).
Например: \(2\frac{3}{5}=2+\frac{3}{5}\)
Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось \(2\)\(\frac{3}{5}\) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на \(\frac{3}{5}\). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще \(\frac{3}{5}\) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см. ниже).
Превращение смешанной дроби в неправильную
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную нужно целую часть умножить на знаменатель дробной и прибавить к результату числитель — получиться числитель неправильной дроби. Знаменатель при этом не меняется. То есть,
\(a\)\(\frac{m}{n}\)\(=\)\(\frac{a·n + m}{n}\).
Например, при преобразовании \(2\)\(\frac{3}{5}\) получим \(\frac{2·5 + 3}{5}=\frac{13}{5}\).
Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:
Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.
Превращение неправильной дроби в смешанную
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, в ней нужно выделить целую часть.
Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?
Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь \(\frac{13}{5}\). Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть \(\frac{3}{5}\). Оформляем: \(\frac{13}{5}\)\(=\)\(\frac{10 + 3}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)\(+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\). Вот еще примеры с верным преобразованием:
\(\frac{37}{11}\)\(=\)\(\frac{33 + 4}{11}\)\(=\)\(\frac{33}{11}\)\(+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3\)\(\frac{4}{11}\)
\(\frac{26}{3}\)\(=\)\(\frac{24 + 2}{3}\)\(=\)\(\frac{24}{3}\)\(+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8\)\(\frac{2}{3}\)
А вот пример неправильного выделения целой части:
\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{4 + 3}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2\)\(\frac{3}{2}\)
В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так — значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:
\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{6 + 1}{2}\)\(=\)\(\frac{6}{2}\)\(+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3\)\(\frac{1}{2}\)
Превращение смешанной дроби в десятичную
Чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, нужно в дробной части поделить числитель на знаменатель, после чего сложить результат с целой частью.
Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+0,6=2,6\)
\(7\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+0,44=7,44\)
Отсюда вывод:
Смешанная дробь – обычное число, причем целая часть представляет собой то, что будет стоять до запятой, а дробная – после.
Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью
Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».
Пример: Вычислить \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)
Ошибочное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=2\)\(\frac{3 · 5}{5 · 1}\)\(=2·3=6\)
Правильное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=(2+\)\(\frac{3}{5}\)\():\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{2·5+3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{13}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=\)\(\frac{13 · 5}{5 · 1}\)\(=13\)
Пример: Вычислить \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)
Ошибочное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=3·\)\(\frac{1}{5}\)\(·1·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3 · 1}{5 · 4}\)\(=\)\(\frac{3}{20}\)
Правильное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=(3+\)\(\frac{1}{5}\)\()·(1+\)\(\frac{1}{4}\)\()=\)\(\frac{3·5 + 1}{5}\)\(·\)\(\frac{1·4 + 1}{4}\)\(=\)\(\frac{16}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{4}\)\(=\)\(\frac{16 · 5}{5 · 4}\)\(=4\)
Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:
Если перед смешанной дробью стоит знак минус, то он стоит и перед целой частью, и перед дробной.
Например: \(-7\) \(\frac{5}{9}\)\(=-(7+\) \(\frac{5}{9}\)\()=-7-\) \(\frac{5}{9}\).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.
Пример. Вычислить \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\).
Решение: \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\)\(=(4+\)\(\frac{3}{5}\)\()-(2+\)\(\frac{1}{5}\)\()=4+\)\(\frac{3}{5}\)\(-2-\)\(\frac{1}{5}\)\(=4-2+\)\(\frac{3}{5}\)\(-\)\(\frac{1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3-1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{2}{5}\)\(=2\)\(\frac{2}{5}\).
Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.
Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)
Скачать статью
Дроби и рациональные числа (ЕГЭ — 2021)
В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.
Это простая дробь.
Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: \(\displaystyle \frac{1}{4}\), \(\displaystyle {1}/{4}\;.\)
Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту \(\displaystyle 1/4?\) Было \(\displaystyle 4\) из \(\displaystyle 4\), или \(\displaystyle 4/4\), забрали \(\displaystyle 1/4\).
Верно, останется \(\displaystyle 3\) дольки, \(\displaystyle 3\) из \(\displaystyle 4\). Запишем, как полагается, \(\displaystyle 3/4\).
Можно даже вот так: \(\displaystyle 4/4-1/4=3/4\)
То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.
Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂
Примеры простых дробей: \(\displaystyle 1/5,\text{ }2/4,\text{ }3/10,\text{ }17/3.\)
В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: \(\displaystyle 17/3\).
Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.
Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.
Давай остановимся на неправильной дроби \(\displaystyle 17/3\). Что же это она неправильная?
Вспоминай пример с пирогом, там была \(\displaystyle 1/4\) – одна часть из четырех, а тут что получается? \(\displaystyle 17\) частей из \(\displaystyle 3\)?
Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем \(\displaystyle 4\) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.
А \(\displaystyle 17/3\)?
Что же, у нас есть \(\displaystyle 17\) частей, а для целого пирога в данном случае надо \(\displaystyle 3\) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.
Как узнать сколько пирогов мы можем получить из \(\displaystyle 17\) частей? Верно, надо на \(\displaystyle 3\) как раз и поделить.
Если попробовать составить \(\displaystyle 6\) пирогов, т.е. \(\displaystyle 3\cdot 6=18\), надо \(\displaystyle 18\) частей. Не хватает. А \(\displaystyle 3\cdot 5=15\), о, хватило! Получается \(\displaystyle 5\) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось \(\displaystyle 17-3\cdot 5=2,2\), \( \displaystyle 2\) куска.
А для целого пирога надо \( \displaystyle 3\) части. В итоге у нас \( \displaystyle 5\) целых и \( \displaystyle 2/3\) (две третьих) пирога.
Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только \( \displaystyle 5\frac{2}{3}\) (пять целых и две третьих).
То, что у нас получилось (\( \displaystyle 5\frac{2}{3}\)),называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
То, что между \( \displaystyle 5\) пирогами и \( \displaystyle 2/3\) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали \( \displaystyle 2x\)!!! Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: \( \displaystyle 5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}\).
Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь. Ты же знаешь, как это сделать? Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , \(\displaystyle5\frac{2}{3}\) знаменатель равен \( \displaystyle 3\)), умножить знаменатель…, верно, на \(\displaystyle5\) и прибавить нецелую часть, а именно – \( \displaystyle 2\) . В результате получим исходное \( \displaystyle 17/3\).
Преобразуй следующие неправильные дроби:
Умножение десятичных дробей — примеры, правила как умножать в 5 классе
Понятие десятичной дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Вернемся к обыкновенным дробям позже, а сейчас обсудим десятичные дроби. Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства десятичных дробей
Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:
- 0,600 = 0,6
- 21,10200000 = 21,102
| Основные свойства |
|---|
|
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
- Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
- Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
- Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
Как записать десятичную дробь
Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.
Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.
Как решаем:
- Знаменатель равен 10 — это один ноль.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
- В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.
Ответ: 16/10 = 1,6.
Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.
Как решаем:
- Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
- В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.
Ответ: 37/1000 = 0,037.
Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.
Как читать десятичную дробь
Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:
| Сколько цифр после запятой? | Читается, как |
|---|---|
| одна цифра — десятых; | 1,3 — одна целая, три десятых; |
| две цифры — сотых | 2,22 — две целых, двадцать две сотых; |
| три цифры — тысячных; | 23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных; |
| четыре цифры — десятитысячных; | 0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных; |
| и т.д. |
Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.
Принципы умножения десятичных дробей
С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами: складывать и вычитать, делить и умножать. В этом блоке узнаем, как умножать дроби.
| Свойства умножения десятичных дробей |
|---|
|
Умножение десятичных дробей друг на друга можно упростить и просто умножить натуральные числа. Главное — правильно поставить запятую в ответе.
Если в задаче даны десятичные дроби с разными знаками — используем правило умножения отрицательных чисел. Как быстро запомнить:
| «−−» | минус на минус дает плюс |
| «−+» | минус на плюс дает минус |
| «+−» | плюс на минус дает минус |
| «++» | плюс на плюс дает плюс |
Числа с единицей и нулями (10, 100, 1000 и т. д.) называются разрядными единицами, так как цифра 1 — единственная значимая цифра в числе и от ее местоположения зависит количественное значение числа. Важно запомнить правила для умножения и деления на разрядную единицу:
- Чтобы умножить число на разрядную единицу, достаточно к числу справа дописать столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
- Чтобы разделить число на разрядную единицу, достаточно от числа справа отбросить столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
Как умножать десятичные дроби в столбик
Чтобы перемножить десятичные дроби нужно сделать три шага:
- Записать десятичные дроби в столбик и умножить друг на друга, как обыкновенные числа.
- Посчитать количество знаков после запятой у каждой дроби. Сложить их количество.
- Полученную цифру отсчитать справа налево и поставить запятую.
Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.
Как решаем:
|
Ответ: 3,11 ∗ 0,01 = 0,0311.
| Примеры умножения десятичных дробей столбиком: |
|---|
Чтобы закрепить тему, смотрите видео «Умножение десятичных дробей».
Как умножать десятичные дроби на натуральные числа
Умножение десятичных дробей на обычные числа происходит так же, как и умножение между десятичными дробями. Чтобы считать быстрее, умножайте их в столбик по правилам выше. А вот и примерчики!
Пример 1. Умножить десятичную дробь 2,27 на целое число 15.
Как решаем:
умножить столбиком данные числа и отделить два знака запятой.
Ответ: 15 ∗ 2,27 = 34,05.
Пример 2. Умножить 11 на 0,005.
Как решаем:
умножить столбиком данные числа и отделить три знака запятой.
Ответ: 11 ∗ 0,005 = 0,055.
Пример 3. Умножить 0,1557.. на 3.
Как решаем:
- Округлить бесконечную дробь: 0,1557..≈ 0,156
- Полученное число умножить на 3: 0,156 ∗ 3 ≈ 0468.
Ответ: 0,1557.. ∗ 3 ≈ 0468..
Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, нужно просто перенести запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе. Лишние нули слева можно отбросить. А если цифр не хватает — дописываем нули.
Примеры:
- 1,15 ∗ 10 = 11,5;
- 22,345 ∗ 100 = 2 234,5;
- 8,99 ∗ 1 000 = 8 990;
- 0,54678 ∗ 10 000 = 5467,8;
- 0,07 ∗ 1 000 = 70;
- 0,00033 ∗ 100 = 0,033.
Как умножать десятичные дроби на 0,1, 0,01, 0,001
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, нужно перенести запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей. Ноль целых — тоже считаем. Если цифр не хватает — просто дописываем дополнительный ноль — один или несколько — после запятой.
Примеры:
- 34,9 ∗ 0,1 = 3,49;
- 1,8 ∗ 0,1 = 0,18;
- 145,7 ∗ 0,01 = 1,457;
- 9655,1 ∗ 0,001 = 9,6551;
- 11,9 ∗ 0,0001 = 0,00119.
Как умножить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.
Пример 1. Умножить 3/5 на 0,9.
Как решаем:
Записать 0,9 в виде обыкновенной дроби:
0,9 = 9/10.- Умножить числа по правилам
3/5 ∗ 9/10 = 27/50 = 0,54.
Ответ: 3/5 ∗ 0,9 = 0,54.
Пример 2. Умножить 0,18 на 3 1/4.
Как решаем:
Записать 3 1/4 в виде десятичной дроби:
3 1/4 = 3,25.Произвести умножение в столбик или при помощи калькулятора:
0,18 ∗ 3,25 = 0,585.
Ответ: 0,18 ∗ 3 1/4 = 0,585.
А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Как сложить целое число к дроби
Вы уже знаете, что такое целые числа, даже если не знали, что означает название: это числа, которые вы использовали, когда впервые начали считать, начиная с 0, а затем считая 1, 2, 3, 4 и так далее. Дроби представляют собой часть целого числа. Есть два способа сложить дроби и целые числа, но при этом нужно соблюдать несколько основных правил.
Использование торта в качестве примера
Это помогает, если вы думаете о дробях и целых числах в терминах пиццы, пирогов или любой другой вкусной круглой вещи, которую можно разрезать на кусочки и съесть.Подумайте о пирожных: каждое знакомое целое число представляет собой целый торт. У вас может быть 1 торт, 2 торта, 3 торта и так далее. Если вы разрезаете торт на кусочки, вы создали дробь, где нижнее число дроби показывает, на сколько кусочков вы разрезаете каждый торт, а верхнее число указывает, сколько кусочков осталось.
Сложение целых чисел и дробей
Если вы думаете о целых числах и дробях в терминах этих кусочков торта, легко представить себе, как вы складываете целые числа и дроби вместе.Допустим, у вас осталось 2 целых торта на столе плюс один торт, который был разрезан на 6 равных частей, но кто-то съел кусок, так что теперь на тарелке осталось только 5 штук. Вы можете выразить этот разрезанный торт в виде дроби, указав количество кусочков, оставшихся наверху, и количество кусочков, изначально нарезанных снизу:
\ frac {5} {6}
Вы можете выразить общее количество торт — 2 торта плюс 5/6 торта — в виде смешанного числа, которое записывается как
2 \ frac {5} {6}
Если у вас есть целое число и дробь, вы можете просто сложить их вместе , в результате получается так называемое смешанное число.Например, смешанное число
8 \ frac {3} {4}
понимается как то же самое, что и
8 + \ frac {3} {4}
Поскольку все согласны с тем, что они означают одно и то же , вам не нужно записывать символ сложения, когда вы пишете смешанное число.
Пирожные как неправильные дроби
Иногда вам будет предложено сложить целые числа с дробями и оставить их в неправильной форме дроби вместо того, чтобы записывать их как смешанные числа.Неправильная дробь — это просто дробь, верхнее число (количество оставшихся ломтиков) больше, чем нижнее число (количество ломтиков, на которые был нарезан каждый торт). Хороший пример из реальной жизни — это если вы разрежете два торта на 6 частей каждый, а затем кто-то съест 5 кусков из одного торта. Это означает, что у вас остался один целый торт и 1/6 от другого съеденного торта. Чтобы дать свой ответ полностью в виде дроби, вы должны понять, как записать весь торт в виде дроби.
Целые числа можно записывать дробными
Вот как думать о целых числах в дробной форме: если вы разрежете торт на 8 равных частей и оставите их все на тарелке, у вас будет 8/8 кусков торта плита.Другими словами, торт был разрезан на части, но все это осталось на месте. Вот что представляет собой целое число в форме дроби. Таким образом, дробь, в которой верхнее число (количество оставшихся кусочков) совпадает с нижним числом (количество кусочков, которые вы нарезали в первую очередь), равна 1 целому пирогу, пирогу или тому, что вы считаете. .
\ frac {8} {8} = 1 \\ \, \\ \ frac {25} {25} = 1 \\ \, \\ \ frac {649} {649} = 1
и так далее. Неважно, какое число вверху, а какое внизу, если они одинаковы.Вы также можете выразить другие целые числа дробями; просто умножьте целое число на дробь, у которой такое же число вверху и такое же число внизу. Подобно магии, выполнение этого превращает целое число в дробную форму без изменения его значения, потому что все, что вы сделали, это умножили его на 1.
Итак, чтобы записать целое число в виде дроби, умножьте целое число на дробь, имеющую одинаковое число в пятнах числителя и знаменателя. Например, если вы хотите записать целое число 5 в виде дроби с 8 в знаменателе, вы должны умножить
5 × \ frac {8} {8} = \ frac {40} {8}
Сложение Целые числа в неправильные дроби
Теперь, когда вы знаете, как записывать целые числа как дроби, легко добавить целые числа к существующей дроби и оставить их в неправильной форме дроби.Все, что вам нужно сделать, это убедиться, что знаменатели — числа в нижней части дробей — совпадают. (Если бы вы попытались говорить о пирогах, нарезанных на кусочки разного размера, это не имело бы особого смысла, не так ли? То же самое и для дробей.)
Итак, если вы пытаетесь сложить 3 и 5 / 9 сначала нужно преобразовать 3 в дробную форму:
3 × \ frac {9} {9} = \ frac {27} {9}
Затем вы можете сложить дроби 5/9 и 27/9 вместе . Когда две дроби имеют одинаковый знаменатель, вы просто складываете числители прямо поперек и записываете их над одним и тем же знаменателем.Итак, у вас будет
5 + 27 = 33
в месте числителя и 9 в месте знаменателя, или 33/9 в качестве окончательного ответа.
Сложение целых чисел и дробей — видео и стенограмма урока
Целые числа и правильные дроби
Иногда необходимо складывать числа в разных форматах. Давайте посмотрим, как это сделать. Ваш младший брат съел 2/3 куска пиццы, а вы съели 3 куска. Сколько кусочков вы съели вместе?
Вопрос просит вас сложить 2/3, дробь, и 3, целое число.Посмотрите на изображение, чтобы представить себе, сколько пиццы вы оба съели.
Если у вас есть целое число и правильная дробь, вы можете просто объединить два элемента. Правильная дробь — это дробь, которая меньше единицы, а числитель меньше знаменателя.
Для нашего примера с пиццей дробь 2/3 подходит, потому что она меньше единицы, а числитель (2) меньше знаменателя (3). Мы можем просто объединить 3 и 2/3, чтобы получить 3 2/3.Вы и ваш младший брат съели 3 2/3 куска пиццы.
Этот метод можно использовать только с правильными дробями. Для сложения целых чисел и неправильных дробей требуются разные шаги.
Целые числа и неправильные дроби
Неправильная дробь — это дробь, которая представляет собой более одного целого, а числитель больше знаменателя. Например, вы съели 3 куска пиццы, а ваша старшая сестра съела 4/3 куска пиццы.Сколько вы вместе ели?
Вы съели 3 куска, целое число, а ваша сестра съела 4/3 куска, неправильную долю. 4/3 представляет собой более 1 целого, а числитель (4) больше знаменателя (3).
Чтобы сложить целые числа и неправильные дроби, выполните следующие действия:
- Превратите целое число в дробь
- Дайте дробям общий знаменатель
- Сложите дроби
Давайте рассмотрим каждый из этих шагов:
Превращение целого числа в дробь
Вы можете превратить целое число в дробь, поместив его над знаменателем 1.В примере задачи вы съели 3 куска пиццы, поэтому целое число равно 3. Мы можем превратить это число в дробь, используя 3 в качестве числителя и 1 в качестве знаменателя. Все в одной части, а у вас их 3 штуки.
Создание общих знаменателей
Теперь у нас есть две дроби. Вы съели 3/1 куска пиццы, а ваша старшая сестра съела 4/3 куска пиццы. Следующим шагом является присвоение дробям общего знаменателя , кратного, общего для обоих знаменателей.
Наши знаменатели 3 и 1, поэтому наименьший общий знаменатель равен 3, что является кратным обоим числам. Нам нужно сделать оба знаменателя равными 3. 4/3 уже имеет 3 в качестве знаменателя, так что мы можем оставить его в покое.
Чтобы дать 3/1 знаменатель 3, умножьте числитель и знаменатель на 3.
Сложите дроби
Теперь, когда у нас есть две дроби, 4/3 и 9/3, мы можем сложить их вместе и получить ответ 13/3 как неправильная дробь и 4 1/3 как смешанное число.Вы и ваша старшая сестра съели 4 1/3 куска пиццы.
Сводка урока
Вы можете сложить целое число и правильную дробь , просто объединив два элемента. Чтобы сложить целое число и неправильную дробь , вы должны преобразовать целое число в неправильную дробь, найти общий знаменатель, а затем сложить дроби.
Как считать дроби
Что такое дроби?
Дробное число или дробь используется для представления сегмента целого числа.
Дробь состоит из двух чисел, расположенных одно над другим. Первое число, которое находится над линией, — это числитель . Второе число, расположенное под чертой, — это знаменатель .
Знаменатель указывает общее количество равных частей, на которые что-либо делится. Числитель показывает, сколько из этих равных частей необходимо учитывать.
Самый простой способ запомнить дроби — обозначить линию, разделяющую каждое число, «из».Таким образом, дробь, записанная как 3/5, просто относится к 3 частям из 5 равных частей.
Как можно представить дроби?
Дроби могут быть представлены тремя способами: как правильные дроби, неправильные дроби и смешанные дроби.
- Правильная дробь — это дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Например, ⅔ (две трети) или ⅞ (семь восьмых).
- У неправильной дроби числитель больше, чем знаменатель. Например, 8/5 (восемь пятых) или 13/4 (тринадцать четвертей).
- Смешанное число объединяет целое число и дробь. Например, 5¾ (пять и три четверти) или 12⅖ (двенадцать и две пятых).
Упрощение дробей
Процесс упрощения дробей сводит их к простейшей форме. Например, гораздо проще называть что-то ½, а не 4/8.
Есть два способа упростить дробь.
Первый метод — разделить верхнюю и нижнюю части дроби поровну на целые числа больше 1, пока вы не сможете продолжить.В качестве примера возьмем дробь 24/108:
- Разделите каждое число на 2, чтобы получить 12/54
- Разделите еще раз на 2, чтобы получить 6/27
- Разделите на 3, чтобы получить 2/9
Сложение дробей
Чтобы сложить дроби, вам нужно изменить их так, чтобы знаменатели (нижние числа) были одинаковыми. Затем вы суммируете числители.
Дополнение: Пример 1
Допустим, вы хотите добавить дробь ¼ к ¼.
Знаменатели уже те же, поэтому вы можете перейти ко второму шагу и прибавить 1 к 1.
Вторая половина дроби остается неизменной, поэтому сложение дробей ¼ и ¼ дает 2/4 (или ½).
Дополнение: Пример 2
Допустим, вы хотите сложить дроби ⅓ и ⅙.
Чтобы знаменатели совпали, измените ⅓ на 2/6.
Добавьте 1 к 2, чтобы получить 3, и поместите 6 ниже. Ответ — 3/6. Упростите это до ½.
Вычитание дробей
Вычитание дробей работает аналогично:
- Шаг 1. Убедитесь, что знаменатели совпадают.
- Шаг 2. Вычтите числители
- Шаг 3 — При необходимости упростите дробь
Вычитание: пример 1
Допустим, вас попросили потренироваться ¾ — ¼
Первый шаг относительно прост, потому что числа совпадают.
Второй шаг включает в себя вычитание первых чисел и затем перенос ответа над тем же знаменателем.
Таким образом, ¾ — be будет обработано как 3-1 = 2
Следовательно, ответ будет 2/4, что составляет ½.
Умножение дробей
Умножение дробей относительно легко; вы просто умножаете верхние числа и нижние числа.
Если, например, вы умножите дроби ½ и ⅓, вы получите. От вас не ждут, что вы найдете общий знаменатель путем умножения.
На дроби
Чтобы разделить дроби, вам нужно перевернуть дробь, которую вы делите, вверх дном. Например, если вы хотите разделить ½ на, вы переписываете уравнение так, чтобы вторая дробь была 3/1. Затем умножьте ½ на 3/1, и у вас останется 3/2.
Может потребоваться дальнейшее уменьшение фракции для получения сложной фракции.
Распространенные ошибки и на что следует обратить внимание
При сложении и вычитании дробей может быть легко запутаться.Студенты часто складывают или вычитают знаменатели или числители двух дробей и обычно не замечают связи между знаменателем. Чтобы еще больше усугубить путаницу, к числителям и знаменателям следует подходить в расчетах как к целым числам, например, когда вам необходимо умножить дробь.
Возьмем для примера сложение ¾ и ⅙.
Первое, что нужно сделать, это получить одинаковые знаменатели, поэтому мы умножаем их, чтобы получить 24.
Мы умножили знаменатель 4 на 6, чтобы получить 24, поэтому мы также умножаем числитель на 6, чтобы получить 18/24.
Мы умножили знаменатель 6 на 4, чтобы получить 24, поэтому мы также умножаем числитель на 4, чтобы получить 4/24.
Теперь мы можем просто добавить 18/24 к 4/24, чтобы получить 22/24, что упрощается до 11/12.
Другие распространенных ошибок включают:
- При сложении или вычитании дробей кандидаты могут забыть сначала преобразовать дроби, чтобы у них был общий знаменатель.
- Изменение знаменателя дроби без внесения необходимых изменений в числитель.
- Непонимание вопроса полностью; например, деление вместо вычитания или умножение вместо сложения.
- Не менять знаменатель при ответах на вопросы, относящиеся к умножению или сложению.
Понимание взаимосвязи между смешанными числами и неправильными дробями и того, как переводить одно в другое, имеет решающее значение для работы с дробями.
Дроби — сложение и вычитание смешанных чисел
Как Как вы помните, смешанное число состоит из целого числа и дробной части.Любое смешанное число также можно записать как неправильную дробь, в которой числитель больше знаменателя, как показано в следующем примере:
Пример 1
Добавить смешанный чисел, складываем сначала целые числа, а затем дроби.
Если сумма дробь — неправильная дробь, тогда мы меняем ее на смешанное число.Вот пример. Сумма целых чисел 3 и 1 равна 4. Дроби 2/5 и 3/5, сложите до 5/5, или 1. Добавьте 1 к 4, чтобы получить ответ, который равен 5.
Пример 2
Если знаменатели дробей различны, то сначала найдите эквивалентные дроби с общий знаменатель перед сложением. Например, добавим 4 1/3 к 3 2/5. Используя изученные нами методы, вы можете найти наименьший общий знаменатель из 15.Ответ 7 11/15.
Вычитание смешанные числа очень похожи на их добавление. Но что происходит, когда дробное часть вычитаемого числа больше дробной части числа, из которого вы вычитаете?
Вот пример: вычтем 3 3/5 из 4 1/3. Сначала вы найдете ЖК-дисплей; вот 15.
4 1/3 — 3 3/5 4 15/5 — 3 15/9 | Написать обе дроби как эквивалентные дроби со знаминателем 15. |
3 + 1 5/15 — 3 9/15 3 + 20/15 — 3 9/15 | С вы пытаетесь вычесть большую дробь из меньшей, вам нужно «позаимствовать» единицу из целого числа 4, изменить его на 15/15 и добавить его к дроби. |
3 20/15 — 3 9/15 15/11 | Сейчас задача становится 3 20/15 минус 3 9/15, и ответ — 11/15. |
назад наверх
Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел — Полный курс арифметики
Мы выбрали общее кратное знаменателей, потому что мы меняем знаменатель, умножая его. Урок 22.
.| Пример 3. | 2 3 | + | 1 4 | . |
Решение . Наименьшее общее кратное 3 и 4 — это их произведение 12. (Урок 22, Вопрос. 4.)
Мы переведем каждую дробь в эквивалентную дробь со знаминателем 12.
| 2 3 | + | 1 4 | = | 8 12 | + | 3 12 |
| = | 11 12 | . | ||||
| Переоборудовали | 2 3 | Отдо | 8 12 | , сказав: «3 переходит в |
(содержится в) 12 четыре раз. 4 умножить на 2 равно 8. «
(Таким образом, мы умножили 2 и 3 на одно и то же число, а именно на 4.См. Урок 22, вопрос 3.)
| Переоборудовали | 1 4 | Отдо | 3 12 | , говоря: «4 переходит в 12 три |
раза. Трижды 1 равно 3. «(Мы умножили 1 и 4 на 3.)
Тот факт, что мы говорим то, что мы делаем, снова показывает, что арифметика — это разговорный навык.
На практике нужно записывать общий знаменатель только один раз:
| 2 3 | + | 1 4 | = | 8 + 3 12 | = | 11 12 | . |
| Пример 4. | 4 5 | + | 2 15 |
Решение . НОК 5 и 15 равно 15. Следовательно,
| 4 5 | + | 2 15 | = | 12 + 2 15 | = | 14 15 | . |
| Поменяли | 4 5 | Отдо | 12 15 | , говоря: «5 переходит в 15 три |
раза. Трижды 4 равно 12. «
| Не меняли | 2 15 | , потому что мы не меняем |
15.
| Пример 5. | 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 |
Решение . НОК 3, 6 и 12 равно 12.
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = | 8 + 2 + 7 12 |
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = | 17 12 |
| 2 3 | + | 1 6 | + | 7 12 | = 1 | 5 12 | . |
| Переоборудовали | 2 3 | Отдо | 8 12 | , говоря: «3 переходит в 12 четыре |
раза. 4 умножить на 2 равно 8. «
| Переоборудовали | 1 6 | Отдо | 2 12 | , говоря: «6 переходит в 12 два |
раза.Дважды 1 равно 2. «
| Не меняли | 7 12 | , потому что мы не меняем |
12.
| Наконец, мы изменили неправильную дробь | 17 12 | Спо 1 | 5 12 | по |
делим 17 на 12.(Урок 20.)
«12 переходит в 17 один (1) раз с остатком 5.»
| Пример 6. | 5 6 | + | 7 9 |
Решение . НОК 6 и 9 равняется 18.
| 5 6 | + | 7 9 | = | 15 + 14 18 | = | 29 18 | = 1 | 11 18 | . |
| Поменяли | 5 6 | Отдо | 15 18 | , умножив оба члена на 3. |
| Поменяли | 7 9 | Отдо | 14 18 | , умножив оба члена на 2. |
| Пример 7. Добавляем мысленно | 1 2 | + | 1 4 | . |
| Ответ . | 1 2 | сколько | 1 4 | -е? |
Так же, как 1 — это половина от 2, так и 2 — это половина от 4.Следовательно,
Студент не должен писать задачи, в которых один из
| дробь | 1 2 | , а знаменатель второго четный. |
Например,
| 1 2 | + | 2 10 | = | 7 10 |
| — потому что | 1 2 | = | 5 10 | . |
Пример 8. На недавнем экзамене одна восьмая учеников получила оценку «А», две пятых — «В», а остальные — С. Какая доля получила оценку «С»?
Решение . Пусть 1 представляет все количество студентов. Тогда вопрос:
| 1 8 | + | 2 5 | +? = 1 | . |
Сейчас,
| 1 8 | + | 2 5 | = | 5 + 16 40 | = | 21 40 | . |
| Остальная часть, получившая C, является дополнением до | 21 40 | . |
Калькулятор смешанной дроби и неправильной дроби
Смешанное число или смешанная дробь — это целое число плюс дробь, например:
243Это эквивалентно:
243 = 2 + 43Но, видимо, кто-то пришел в стиле социальных сетей и решили отказаться от плюса, чтобы сделать вещи чище.
Помните, что скрытый знак плюса поможет вам понять смешанные дроби.
Неправильные дроби — это дроби больше единицы.Подумайте об этом так — неправильно поднимать ноги и занимать более одного места в метро. Несоответствующая дробь называется неправильной, потому что она также больше 1 😬.
Калькулятор неправильной дроби в смешанное число
Введите неправильную дробь и выполните пошаговый процесс преобразования ее в смешанное число.
Игнорируйте отрицательный знак. Во-первых, давайте разберемся с отрицательным знаком.
Несмешанное число:
Разделить дробь: Теперь нам нужно разделить дробь на две части.По сути, мы ищем наибольшее число, которое все еще меньше чем.
В этом случае наибольшее число, которое мы можем выбрать, — это NaN, а затем остается NaN.
Упростим целое число: Далее мы собираемся упростить первую дробь. Поскольку мы выбрали число, кратное, мы знаем, что его можно упростить до целого числа.
Упростить дробь: наконец, мы проверим, можем ли мы упростить вторую дробь.
Потеряйте +: Теперь просто отбросьте знак плюс и круглые скобки, если они есть, и готово!
Далее
Калькулятор смешанного числа в неправильную дробь
Введите смешанное число и выполните пошаговый процесс преобразования его в неправильную дробь.
Convert 👏🏿👏🏾👏🏼
Добавьте знак плюса: теперь смешанное число — это просто целое число, добавленное к дроби, поэтому давайте добавим знак сложения.
Упростить дробь: теперь мы собираемся посмотреть, сможем ли мы упростить дробную часть.
Так как нет целых чисел, которые нужно складывать, мы закончили!
Приготовьтесь сложить: мы можем сложить их только в том случае, если обе части имеют одинаковый знаменатель.
Добавить! Все, что осталось сделать, это добавить.
И поскольку у нас есть два целых числа, мы можем просто сложить их обычным образом:
И готово!
Далее
Дроби: сложение и вычитание дробей
Урок 3: Сложение и вычитание дробей
/ ru / fractions / Comparing-and-Reduction-Fractions / content /
Сложение и вычитание дробей
Из предыдущих уроков вы узнали, что дробь является частью целого.Дроби показывают , сколько у вас чего-то, например 1/2 баллона бензина или 1/3 стакана воды.
В реальной жизни вам может потребоваться сложить или вычесть дроби. Например, приходилось ли вам когда-нибудь идти на работу пешком полмили, а затем возвращаться на полмили? Или слили 1/4 литра бензина из бензобака, в котором было 3/4 литра? Вы, вероятно, не думали об этом в то время, но это примеры того, как складывается с и вычитает дробей.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как настроить задачи сложения и вычитания с дробями.
Попробуй!
Попробуйте решить эти задачи сложения и вычитания с дробями. Не пытайтесь их решить!
Вы пробегаете утром 4/10 мили. Позже вы пробегаете 3/10 мили.
У вас было 7/8 кусочка сливочного масла и вы использовали 2/8 кусочка при приготовлении обеда.
Ваш бензобак полон на 2/5, и вы вставляете еще 2/5 бака.
Решение сложения с дробями
Теперь, когда мы знаем, как писать задачи сложения с дробями, давайте попрактикуемся в решении нескольких.Если вы можете складывать целые числа, вы готовы складывать дроби.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби.
Давайте продолжим наш предыдущий пример и сложим следующие фракции: 3/5 стакана масла и 1/5 стакана масла.
Помните, когда мы складываем дроби, мы не складываем знаменатели.
Это потому, что мы находим, сколько частей нам нужно всего. В числителях показаны нужные нам части, поэтому мы сложим 3 и 1.
3 плюс 1 равно 4. Не забудьте совместить 4 с числами, которые вы только что добавили.
Знаменатели останутся прежними, поэтому мы напишем 5 внизу нашей новой дроби.
3/5 плюс 1/5 равно 4/5. Итак, вам понадобится 4/5 стакана масла , всего , чтобы приготовить торт.
Давайте попробуем другой пример: 7/10 плюс 2/10.
Как и раньше, мы добавим только числители.В этом примере числители 7 и 2.
7 плюс 2 равно 9, поэтому мы запишем это справа от числителей.
Как и в нашем предыдущем примере, знаменатель остается прежним.
Итак, 7/10 плюс 2/10 равно 9/10.
Попробуй!
Попробуйте решить некоторые из перечисленных ниже проблем с добавлением.
Решение задач на вычитание с дробями
Вычитание дробей во многом похоже на обычное вычитание.Если вы можете вычитать целые числа, вы можете вычитать и дроби!
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби.
Попробуй!
Попробуйте решить некоторые из приведенных ниже задач на вычитание.
После сложения или вычитания дробей иногда может получиться дробь, которая может быть уменьшена до более простой дроби. Как вы узнали в разделе Сравнение и сокращение дробей, всегда лучше сокращать дробь до ее простейшей формы , когда это возможно.Например, 1/4 плюс 1/4 равно 2/4. Поскольку 2 и 4 можно разделить на 2, мы можем уменьшить 2/4 до 1/2.
Сложение дробей с разными знаменателями
На последней странице мы узнали, как складывать дроби с одинаковым знаменателем, например 1/4 и 3/4. Но что, если вам нужно сложить дроби с разными знаменателями ? Например, в нашем рецепте торта можно сказать, что нужно медленно смешать 1/4 стакана молока, а затем добавить еще 1/3 стакана.
В разделе «Сравнение и сокращение дробей» мы сравнили дробей с другим нижним числом или знаменателем.Нам пришлось поменять дроби, чтобы их знаменатели были такими же. Для этого мы нашли наименьший общий знаменатель или LCD .
Мы можем складывать или вычитать дроби, только если у них одинаковые знаменатели. Поэтому нам нужно найти наименьший общий знаменатель, прежде чем мы будем складывать или вычитать эти дроби. Как только у дробей будет одинаковый знаменатель, мы можем прибавлять или вычитать как обычно.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби с разными знаменателями.
Складываем 1/4 и 1/3.
Прежде чем мы сможем сложить эти дроби, нам нужно изменить их, чтобы они имели тот же знаменатель .
Для этого нам нужно найти LCD , или наименьший общий знаменатель, 4 и 3.
Похоже, 12 — это наименьшее число , которое можно разделить на 3 и 4, так что 12 — это наш LCD .
Поскольку 12 — это ЖК-дисплей, это будет новый знаменатель для наших дробей.
Теперь изменим числители дробей, как мы меняли знаменатели.
Сначала давайте посмотрим на дробь слева: 1/4.
Чтобы заменить 4 на 12, мы умножили его на 3.
Так как знаменатель был умножен на 3, мы также умножим числитель на 3.
1 умножим на 3 равно 3.
1/4 равно 3/12.
Теперь посмотрим на дробь справа: 1/3.Мы также изменили его знаменатель на 12.
Наш старый знаменатель был 3. Мы умножили его на 4, чтобы получить 12.
Мы также умножим числитель на 4. 1 умножение на 4 равно 4.
Итак, 1/3 равно 4/12.
Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем складывать их, как обычно.
3 плюс 4 равно 7. Как обычно, знаменатель остается прежним. Итак, 3/12 плюс 4/12 равно 7/12.
Попробуй!
Попробуйте решить указанные ниже проблемы с добавлением.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Мы только что видели, что дроби можно складывать, только если у них одинаковый знаменатель. То же самое верно и при вычитании дробей. Прежде чем мы сможем выполнять вычитание, нам придется изменить наши дроби, чтобы они имели одинаковый знаменатель.
Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби с разными знаменателями.
Попробуем вычесть 1/3 из 3/5.
Сначала изменим знаменатели обеих дробей на одинаковые, найдя наименьший общий знаменатель .
Похоже, 15 — это наименьшее число, которое можно равномерно разделить на 3 и 5, поэтому 15 — это наш ЖК-дисплей.
Теперь изменим нашу первую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим знаменатель и числитель на 3.
5 умножить на 3 равно 15.Итак, наша фракция теперь 9/15.
Теперь изменим вторую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим оба числа на 5, чтобы получить 5/15.
Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнять вычитание, как обычно.
9 минус 5 равно 4. Как всегда, знаменатель остается прежним. Итак, 9/15 минус 5/15 равно 4/15.
Попробуй!
Попробуйте решить приведенные ниже задачи на вычитание.
Сложение и вычитание смешанных чисел
На последних нескольких страницах вы попрактиковались в сложении и вычитании различных видов дробей. Но для некоторых проблем потребуется один дополнительный шаг. Например, можете ли вы сложить дроби ниже?
В разделе «Введение в дроби» вы узнали о смешанных числах . Смешанное число состоит из дроби и целого числа . Например, 2 1/2 или два с половиной . Другой способ записать это — 5/2, или , состоящие из пяти половин .Эти два числа выглядят по-разному, но на самом деле они одинаковы.
5/2 — это неправильная дробь . Это просто означает, что верхнее число на больше, чем на нижнее число. Несмотря на то, что неправильные дроби выглядят странно, их можно складывать и вычитать так же, как и обычные дроби. Смешанные числа сложить непросто, поэтому сначала вам придется преобразовать их в неправильные дроби.
Давайте сложим эти два смешанных числа: 2 3/5 и 1 3/5.
Нам нужно преобразовать этих смешанных чисел в неправильные дроби.Начнем с 2 3/5.
Как вы узнали в Уроке 2, мы умножим целое число 2 на нижнее число 5.
2 умножить на 5 равно 10.
Теперь добавим 10 в числитель. , 3.
10 + 3 равно 13.
Точно так же, как если вы добавляете дробей , знаменатель остается прежним. Наша неправильная дробь — 13/5.
Теперь нам нужно преобразовать второе смешанное число: 1 3/5.
Сначала умножим целое число на знаменатель. 1 x 5 = 5.
Затем мы добавим 5 к числителям. 5 + 3 = 8.
Как и в прошлый раз, знаменатель остается прежним. Итак, мы изменили 1 3/5 на 8/5.
Теперь, когда мы изменили наши смешанные числа на неправильные дроби, мы можем сложить, как обычно.
13 плюс 8 равно 21. Знаменатель, как обычно, останется прежним.Итак, 13/5 + 8/5 = 21/5.
Так как мы начали со смешанного числа, давайте конвертируем эту неправильную дробь обратно в смешанное число.
Как вы узнали на предыдущем уроке, разделите верхнее число на нижнее число. 21, разделенное на 5, равно 4, а остаток равен 1.
Ответ, 4, станет нашим целым числом.
И остаток , 1 станет числителем дроби.
Итак, 2 3/5 + 1 3/5 = 4 1/5.
/ ru / фракции / умножение-и-деление-фракции / содержание /
.