Дроби с целыми числами как решать: Сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели) — урок. Математика, 5 класс.

Электронный справочник по математике для школьников арифметика сложение вычитание умножение деление дробей действия со смешанными числами



Справочник по математике

Арифметика

Обыкновенные и десятичные дроби

Содержание

Сложение и вычитание дробей

Умножение и деление дробей

Действия со смешанными числами

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с тем же знаменателем, а её числитель равен сумме (разности) числителей рассматриваемых дробей.

Например,

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями предварительно нужно привести их к общему знаменателю. Для упрощения вычислений желательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, хотя это не является обязательным.

Например,

(в уголках сверху здесь обозначены дополнительные множители).

Умножение и деление дробей

При умножении дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

Например,

Деление дробей осуществляется в соответствии со следующим правилом:

Иногда это правило формулируют так: для того, чтобы разделить первую дробь на вторую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.

В частности,

Действия со смешанными числами

Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении арифметических действий со смешанными числами, рекомендуется сначала обратить смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить нужные арифметические действия, а потом, если это требуется, обратить результат в смешанное число.

ПРИМЕР. Найти сумму, разность, произведение и частное смешанных чисел

  и  

РЕШЕНИЕ. Преобразуем эти числа в неправильные дроби:

Далее получаем:

Наверх

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.

• Решение рациональных неравенств

• Задачи на проценты

• Решение показательных неравенств

• Квадратный трехчлен

• Метод координат на плоскости

• Решение иррациональных неравенств

• Фигуры на координатной плоскости

• Решение алгебраических уравнений

• Уравнения и неравенства с модулями

• Решение показательных уравнений

• Арифметическая и геометрическая прогрессии

• Решение логарифмических уравнений

• Решение логарифмических неравенств

• Системы уравнений

• Решение тригонометрических уравнений

• Тригонометрия в ЕГЭ по математике

• Степень с рациональным показателем

Сложение дробей — как складывать дроби 🤔

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

178. 8K

Тема дробей — одна из самых объемных в математике. Начиная с пятого класса и до самого выпуска из школы эти правила будут пригождаться вновь и вновь. В этой статье разберемся со сложением. Поехали!

Понятие дроби

Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.

2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.

 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

• 90 : 15 = 6,
• 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
  

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Как решать систему неравенств

К следующей статье

189.5K

Деление дробей: теория и практика

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Умножение дроби на целые числа

Для умножение дробей на целые числа, целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на данную дробь по правилам умножения дробей. При умножении дробей на целые числа следует также помнить, что данные дроби должны быть в виде правильной дроби или неправильной дроби. Давайте узнаем больше об умножении дробей на целые числа вместе с некоторыми примерами.

1.	Что такое умножение дробей на целые числа?
2.	Как умножать дроби на целые числа?
3.	Как умножать смешанные дроби на целые числа?
4.	Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на целые числа

Что такое умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа аналогично многократному сложению, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число. Для умножения дробей мы сначала умножаем числители, затем умножаем знаменатели и, наконец, приводим полученную дробь к наименьшему порядку. Однако, когда нам нужно умножить дроби на целые числа, мы записываем целое число в виде дроби, записывая 1 в качестве ее знаменателя. После этого шага мы можем умножить его, используя те же правила. Например, когда мы умножаем дробь a/b × c/d, мы получаем (a × c)/(b × d). Это правило применимо и при умножении дробей на целые числа.

Как умножать дроби на целые числа?

Умножение дробей на целые числа — простая идея. Нам просто нужно преобразовать целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя и написав целое число в качестве числителя. Затем оно умножается на заданную дробь. После их умножения окончательный результат должен быть в виде правильной дроби или смешанной дроби. Если в результате получается неправильная дробь, преобразуем ее в смешанную дробь. Давайте разберемся с шагами на примере.

Пример: Умножить 1/8 × 5

Решение: Здесь 1/8 — дробь, а 5 — целое число.

• Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя. Это означает, что 5 записывается как 5/1
.
• Шаг 2: Умножьте числители. Здесь 1 × 5 = 5
• Шаг 3: Умножьте знаменатели. Здесь 8 × 1 = 8
• Шаг 4: При необходимости упростите и сократите продукт. Если в результате получится неправильная дробь, мы преобразуем ее в смешанную дробь. Итак, произведение 5/8

Давайте посмотрим на другой пример, чтобы лучше понять это.

Пример 2: Умножьте 5 × 3/10.

Решение: Здесь 5 — целое число, а 3/10 — правильная дробь.

• Шаг 1: Преобразуем целое число 5 в дробь, написав 1 в знаменателе. Это означает, что 5 записывается как 5/1.
• Шаг 2: Умножьте числители обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 5 × 3 = 15,
• Шаг 3: Умножьте знаменатели обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 1 × 10 = 10,
• Шаг 4. Упростите дроби. 5/1 × 3/10 = 15/10. Мы можем еще упростить это, так как и 15, и 10 можно разделить на 5. Это означает, что (15 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 3/2. Следовательно, 5 × 3/10 = 3/2 = \(1\dfrac{1}{2}\)

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Чтобы умножить смешанные дроби на целые числа, мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножаем ее на целое число.

Пример: Умножьте \(1\dfrac{2}{5}\) на 10.

Решение: Давайте посмотрим, как умножить заданную смешанную дробь на целое число.

• Шаг 1: Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную. Это означает, что \(1\dfrac{2}{5}\) = 7/5.
• Шаг 2: Затем преобразуйте целое число 10 в дробь. Это означает, что 10 = 10/1. Это составляет 7/5 × 10/1
.
• Шаг 3: Умножьте числители обеих дробей. 7 × 10 = 70. Перемножьте знаменатели обеих дробей. Это означает, что 5 × 1 = 5,
.
• Шаг 4: Упростите и сократите дробь, то есть 70/5 = (70 ÷ 5) / (5 ÷ 5) = 14/1. Следовательно, \(1\dfrac{2}{5}\) × 10 = 14,

☛ Статьи по теме

• Умножение смешанных дробей
• Деление дробей
• Сокращение дробей
• Сложение и вычитание дробей
• Формула фракций

 

Примеры умножения дробей на целые числа

1. Пример 1: Умножьте дробь на целое число: 1/3 × 15

   Решение:

   Умножим дробь на целое число,

   1/3 × 15 = 1/3 × 15/1 = (1 × 15) / (3 × 1) = 15/3 = 5.

   Следовательно, 1/3 × 15 = 5

2. Пример 2: Найдите произведение после умножения дроби на целое число: 3/4 × 4

   Решение:

   Для умножения дробей на целые числа нам нужно преобразовать целое число в дробь, написав 1 в качестве ее знаменателя.

   3/4 × 4 = 3/4 × 4/1 = (3 × 4) / (4 × 1) = 12/4 = 3.

   Следовательно, 3/4 × 4 = 3

3. Пример 3: Найдите произведение целого числа 6 и смешанной дроби \(3\dfrac{4}{7}\)

   Решение:

   Сначала преобразуем смешанную дробь в правильную дробь .

   \(3\dfrac{4}{7}\) = [(7 × 3) + 4] / 7 = 25/7

   Преобразуем целое число в дробь,

   6 = 6/1

   Теперь давайте умножим дробь на целое число,

   6/1 × 25/7 = (6 × 25) / (1 × 7) = 150/7 смешанная фракция.

   150/7 = \(21\dfrac{3}{7}\).

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по умножению дробей на целые числа

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на целые числа

Что означает умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа считается повторным сложением, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число. Умножение дробей с целыми числами выполняется по тем же правилам умножения, где числители умножаются вместе, затем знаменатели умножаются вместе, а затем они уменьшаются, чтобы получить произведение.

Как умножать дроби на целые числа?

Чтобы умножать дроби на целые числа, мы используем следующие шаги.

• Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя.
• Шаг 2: После этого нам нужно умножить две дроби. Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить дроби.
• Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели.
• Шаг 4: Наконец, продукт упрощается или сокращается, если это необходимо.

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Следующие шаги показывают, как умножать смешанные дроби на целые числа:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь.
• Шаг 2. Преобразуйте целое число в дробь со знаменателем 1.
• Шаг 3: Умножьте числители.
• Шаг 4: Умножьте знаменатели.
• Шаг 5: Упростите окончательный результат до минимума.

Как умножать неправильные дроби на целые числа?

Для умножения неправильных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на неправильную дробь. Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются.

Как умножить 3 дроби на целые числа?

Чтобы умножить 3 дроби на целые числа, мы используем следующие шаги. Давайте умножим 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25.

• Шаг 1: Здесь 25 — это целое число, а остальные дроби, поэтому мы преобразуем целое число в дробь, написав его знаменатель равен 1. Это означает, что 25 записывается как 25/1
.
• Шаг 2: Теперь у нас есть 4 дроби для умножения. Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить все эти дроби. 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25/1
• Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели. Здесь произведение числителей будет 4 × 10 × 1 × 25 = 1000. Произведение знаменателей будет 5 × 6 × 4 × 1 = 120.
• Шаг 4: Дробь, которую мы получаем в результате произведения, равна 1000/120. Наконец, произведение упрощается или сокращается, это означает, что 1000/120 = 25/3 = \(8\dfrac{1}{3}\)

Как умножать отрицательные дроби на целые числа?

Для умножения отрицательных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на отрицательную дробь. Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются. Однако следует помнить, что произведение будет иметь знак, соответствующий знаку, данному в дроби. Это означает, что если отрицательную дробь умножить на целое положительное число, произведение будет иметь отрицательный знак. Например, -6/4 × 5 = -6/4 × 5/1. Теперь мы можем перемножить числители и знаменатели, чтобы получить -30/4, что в дальнейшем будет уменьшено до -15/2.

Что такое правило умножения дробей?

Есть два простых шага для умножения дробей. Сначала умножьте числители, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь. Затем нам нужно упростить полученную дробь, чтобы получить произведение. При необходимости его можно еще уменьшить. Это можно понять на простом примере. 2/6 × 4/7 = (2 × 4)/(6 × 7) = 8/42 = 4/21.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Умножение дробей на целые числа

Как умножить дробь на целое число

Как умножить дробь на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Умножить числитель дроби на целое число.
2. Оставьте знаменатель прежним.
3. Упростите дробь, если возможно.

Например, умножьте 5 × ² / ₇ .

Числитель дроби — число сверху, равное 2.

Мы умножаем 2 на 5, но сохраняем знаменатель 7 равным 7.

5 × ² / ₇ = ¹⁰ / ₇ .

Упрощаем, если это возможно. Поскольку дробь неправильная, мы можем преобразовать ее в смешанное число.

¹⁰ / ₇   означает 10 ÷ 7, что составляет 1 остаток 3. Следовательно, дробь может быть записана как 1   ³ / ₇ .

Альтернативный метод умножения дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Запишите целое число как дробь от 1.
2. Умножьте числители.
3. Умножить знаменатели..
4. Упростите, если возможно.

Например, умножьте 4 ×   ¹ / ₂ .

Первый шаг — записать 4 как   ⁴ / ₁ .

Второй шаг — умножить числители: 4 × 1 = 4. Числитель ответа равен 4.

Третий шаг — умножить знаменатели: 1 × 2 = 2. Знаменатель ответа равен 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = ⁴ / ₂ .

Наконец, упростите дробь, разделив и числитель, и знаменатель на одно и то же значение. Мы можем разделить 4 и 2 на 2, поэтому ⁴ / ₂ упрощается до ² / ₁ . ² / ₁  то же, что и 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂   = 2.

Мы также знаем, что половина 4 равна 2.

Как умножить дробь на целое число в простейшей форме

Чтобы умножить дробь на целое число, умножьте числитель на целое число. Чтобы записать этот ответ в простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на наибольшее число, которое точно делится на оба.

Например, вычислите 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме.

Первый шаг — умножить числитель дроби на целое число. 2 × 3 = 6 и, следовательно, 2 × ³ / ₁₀ = ⁶ / ₁₀ .

Второй шаг — упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на наибольшее число, которое делится на оба.

И 6, и 10 можно разделить на 2. ⁶ / ₁₀ упрощается до ³ / ₅ .

Следовательно, 2 × ³ / ₁₀  в простейшей форме   ³ / ₅ .

Умножение дроби на целое число можно также рассчитать, разделив знаменатель на целое число.

10 — знаменатель, а 10 ÷ 2 = 5 — новый знаменатель. Это работает только в том случае, если знаменатель дроби можно разделить на целое число.

Как умножить смешанное число на целое

Чтобы умножить смешанное число на целое число:

1. Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
2. Умножить числитель неправильной дроби на целое число.
3. Упростите, если возможно, и преобразуйте обратно в смешанное число.

Например, умножьте 2 × 1   ² / ₃ .

Шаг 1. Превратите смешанное число в неправильную дробь.

Оставьте знаменатель прежним.

Чтобы найти новый числитель, умножьте целое число смешанного числа на знаменатель, а затем добавьте числитель.

Знаменатель равен 3. Числитель находится путем умножения 1 и 3, чтобы получить 3, а затем прибавления 2, чтобы получить 5.

1   ² / ₃   =   ⁵ / ₃ .

Шаг 2. Умножьте числитель неправильной дроби на целое число.

Мы умножаем 2 × 5 = 10 и, таким образом, 2 × ⁵ / ₃ = ¹⁰ / ₃ .

Последний шаг — упростить и снова записать смешанное число.

¹⁰ / ₃ = 3 ¹ / ₃ .

Следовательно, 2 × 1   ² / ₃   = 3   ¹ / ₃

Умножение дроби на целое число с помощью числовой строки

Отметьте дробь на числовой прямой. Чтобы умножить его на целое число, прибавьте к той же дроби столько раз, сколько требуется для умножения.

Например, вот 5 ×  ^.1 / ₈   на числовой прямой.

Разбиваем каждое целое число на восьмые и считаем пять из них.

5 × ¹ / ₈ = ⁵ / ₈ .

Вот еще один пример с неправильной дробью или смешанным числом.

Вычислите 5 × ¹ / ₃ , используя числовую прямую.

Разобьем каждое целое число на трети. Затем мы отсчитываем пять таких прыжков на нашей числовой прямой.

5 × ¹ / ₃ = ⁵ / ₃ .

В качестве смешанного числа это 1   ² / ₃ .

Умножение дроби на целое число с использованием моделей

Модели можно использовать для обучения процессу умножения дробей на целые числа.

Вот модель дроби ¹ / ₃ . Чтобы умножить его на 2, мы имеем в два раза больше частей.

Мы видим, что теперь у нас есть   ² / ₃  заштрихованы.