Как найти квадрат дроби: Квадрат дроби | Математика

Возведение дроби в степень — правило и примеры

Понятие степени

Представления о степени сложились ещё во времена существования Древнего Египта. Впервые упоминание о её вычислении встречается в знаменитом учебнике по математике Диофанта Александрийского «Арифметика». В своих трудах он описывает понятие как некоторое количество единиц, из которых состоят любые числа, увеличивающиеся до бесконечности. Он выделяет:

• квадраты, образующиеся при произведении чисел или цифр самих на себя;
• кубы, получающиеся при умножении квадрата на сторону;
• биквадраты, произведение квадрата на квадрат;
• квадрато-кубы, возникающие при умножении квадратов на кубы;
• бикубы, произведение кубов на самих себя.

Французский учёный Никола Шюке дополнил этот степенной ряд, введя отрицательный параметр. Современное же обозначение степени предложил Рене Декарт. В «Геометрии» он использовал верхний надстрочный знак для указания величины степени. Что интересно, квадрат математик продолжал обозначать как произведение чисел, то есть в виде n * n. И только потом Лейбниц настоял на универсальной записи для любого возведения в степень.

Под операцией возведения понимается бинарное действие, определяемое в результате умножения числа на себя. То есть справедлива следующая запись: dⁱ = d * d* d *… * dk, где k — число, обозначающее количество перемножаемых чисел, равное n. Например, 11² = 11 * 11 = 121. Степень, присущая числу, может быть отрицательной, рациональной, десятичной, вещественной и даже комплексной. Фактически получается, что для того, чтобы посчитать степень числа, его нужно умножить на себя столько раз, сколько указано в степенном показателе.

Но при этом существует нюанс возведения в нулевую степень. Любое число, вне зависимости от вида, в нулевой степени даст единицу. Например, (2/32)⁰ = 1, -142⁰ = 1. Выражение же ноль в нулевой степени не имеет смысла, поэтому ответ считается неопределённым.

Правило возведения дроби

В основе правила возведения дроби в степень лежит её определение с дробным показателем. Согласно ему, для решения задачи нужно отдельно возвести сначала числитель выражения, а затем знаменатель, не меняя занимаемые ими позиции. Например, дробь три шестых во второй степени будет равна: (3/6)² = 9/36. Используя свойства сокращения дробей, числитель и знаменатель можно разделить на девять. В итоге получится равенство: (3/6)² = 1/4.

Доказать это правило можно выполнив элементарные алгебраические действия. Для рассмотренного примера, согласно правилу арифметики, сначала необходимо выполнить деление, а после возведение в степень. Так, три разделить на шесть будет равно: 3/6 = 1/2 = 0,5. Затем полученное число следует возвести в квадрат: 0,5² = 0,5 * 0,5 = 0,25. Найденный ответ можно переписать в виде дроби 1/4, которая при сравнении полностью совпадает с ранее вычисленной.

Утверждение справедливо для любого вида дроби с произвольной степенной функцией. Например, (11 / 14)³. Используя закон, можно записать следующее: (11 / 14)³ = 11³ / 14³ = (11 * 11 * 11) / (14 * 14 * 14) = 1331 / 2744. Эту дробь сократить, то есть упростить, нельзя. Если нужно получить численное значение, то следует просто разделить числитель на знаменатель: 1331 : 2744 = 0,485.

Чтобы убедиться в истинности правила, можно и тут выполнить проверку. Дробь три разделить на пять в степени три можно решить, выполнив сначала деление, а после полученное число возвести в кубическую степень: (11 / 14)³ = (0,78)³ = 0,78 * 0,78 * 0,78 = 0,485. Ответ идентичен предыдущему, что и следовало доказать.

Таким образом, алгоритм возведения будет следующим:

1. Выполнить арифметические действия в скобках, соблюдая первоочерёдность знаков.
2. Упростить полученное выражение, которое необходимо возвести в степень.
3. Числитель умножить на себя столько раз, сколько показывает определитель.
4. Значение, стоящее в знаменателе, умножить на такое количество раз само на себя, которое показывает степень.
5. Полученную дробь упростить или выполнить деление.

Если показатель степени небольшой, то возведение можно выполнить просто умножив дробь на саму себя необходимое число раз. Например, (2/32)³ = (2/32) * (2/32) *(2/32) = 1/4096. Алгоритм обыкновенного расчёта обычно не вызывает трудности, но часто приходиться иметь дело не только с обыкновенными дробями. При этом степень может быть даже отрицательной.

Но в любом случае нужно помнить, что если верхнюю и нижнюю часть дроби умножить или разделить на одно и то же число, то количественный показатель полученного выражения не изменится. Это важно, так как при возведении приходится часто выполнять преобразования.

Нулевая и отрицательная степень

При вычислении дроби, в показателе которой стоит ноль, исходят из свойств частного степеней с одинаковым основанием.

Так, согласно алгебраическим правилам, для простых чисел a и b, при условии, что a < b, справедливо выражение: c^a / c^b = c^{a — b}. Тут нужно отметить, что основание не должно быть равным нулю, иначе получится недопустимое деление на ноль. Если a = b, то равенство можно переписать в виде: c^a / c^b = c^{a — a} = c⁰. Так как c другой стороны частное c^a / с^a = 1, то можно утверждать, что с⁰ = 1.

Для нулевой степени такой подход использовать будет некорректно. При основании, которое равно нулю, применяя предыдущее равенство, можно записать, что ноль в степени a умноженный на ноль в степени ноль, равняется нулю с показателем a. То есть выражение может быт переписано как 0 = 0. Оно будет правильным при любом натуральном показателе, при этом не будет зависеть от того, чему равно выражение 0

0.

Ответ на 0⁰ может быть любым. Поэтому для избежания путаницы считают, что решение записи 0⁰ не имеет смысла, так же как и деление на ноль. Например, (12 / 34)⁰ = 12⁰ / 34⁰ = 1 / 1 = 1 или (-3 / 4)⁰ = 1, а вот для (0 / 23)⁰ ответ будет не определён.

Чтобы знать, как возвести дробь в отрицательную степень, нужно вспомнить свойство произведения с равными основаниями: c^a * c^b = c^{a+ b}. Предположив, a = -b, при условии, что основание не равняется нулю, можно записать: c^−a * c^a = c^-a+a = a⁰ = 1. Несложно сделать вывод о том, что положительный и отрицательный показатель взаимно обратный. Отсюда выходит, что если число нужно возвести в отрицательную степень, то его можно представить в виде дроби: c

—^a = 1 / c^a.

Получается, что для минусового показателя ответ определяется дробью, при условии, что основание отлично от нуля и показатель — натуральное число. Фактически необходимо перевернуть дробь и возвести её по правилу, при этом знак показателя изменить на положительный. Например, (23 / 37)^-2 = 1 / (11 / 37)² = (37 / 22)² или (1 / 5)^-2 = (5 / 1)² = 5² = 25.

Рациональный показатель

В состав рациональных чисел входят все целые и дробные значения. По сути, ими называют значения, которые можно представить в виде обыкновенной или отрицательной дроби, как цифру ноль. При этом в числителе находится целое число, а в знаменателе – натуральное. Для того чтобы определить степень, нужно выяснить, что же представляет собой число с показателем в дробной форме.

Пусть имеется число n, которое необходимо возвести в степень a / b. Необходимо будет извлечь корень из n. Чтобы выражение соответствовало таблицам степени, должна выполняться формула: n^{(a / b) * b} = n^{a * b / b} = n^a.

Используя полученное выражение, логично предположить, что c^{a / b} = ^a√c^b, но это лишь справедливо, когда показатель степени целый. Можно сделать вывод о том, что если выражение ^a√c^b справедливо, что степенью числа c дробным показателем b / a является корень из c в степени b.

Если принять, что основание больше либо равно нулю, когда b является положительным числом, то буде справедливым равенство: с^{a / b} = ^a√c^b. При этом можно утверждать, что если основание будет равным нулю, то ответом будет тоже ноль: 0^{a /}

b = ^a√0^{b =} 0.

Тут нужно оговориться, что для некоторых одночленов приведённое правило не работает. Например, для ³√ (-12 /3)² или ⁴√ -12² оно верное, а для (-1 / 3)^{-2 / 3} или (-3 / 2)^{2 / 5} не имеет смысла, так как основание не может быть отрицательным. Поэтому вводится условие, по которому выражение ^a√ c^b имеет смысл, при любых значениях неотрицательного основания.

Что же касается минусовой величины в показателе корней, оно в основании должно отличаться от нуля. Иными словами, если в любом уравнении или равенстве выражение a / b нельзя упростить (сократить), то a * i / b * I = c^{a — i / b —}, причём степень можно заменить на c^{a / b}.

Примеры решения

Для того чтобы понять и усвоить теорию, нужно попрактиковаться. Начинать необходимо с простых заданий, постепенно переходя к более сложным примерам. Возвести дробь в степень можно и на онлайн-калькуляторах, но желательно уметь выполнять это действие самостоятельно.

Из наиболее типичных примеров, охватывающих все возможные ситуации, можно выделить следующие:

1. Возведение дроби с простым показателем. Пусть дан многочлен (11 / 21)² + (9 / 10)³ , необходимо вычислить ответ. Согласно правилу, сначала следует убрать скобки, а после выполнить сложение. Решение задания будет следующим: ( 11 * 11 ) / (21 * 21 ) + ( 9 * 9 * 9 ) / ( 10 * 10 * 10) = 121 / 441 + 729 / 100 = (121 * 1000) / (441 * 1000) + (729 * 441) / (1000 * 441) = 442489/441000.

2. Решение смешанной дроби с отрицательным показателем. Определить ответ в задании вида: (2 11/12)^-1 = ((2 * 12 + 11) / 12)^-1 = (35 / 12)^-1 = (12 / 35 ) ¹ = 12 ¹ / 35¹ =12 / 35.

3. Многоэтажные дроби . Решать их нужно после выполнения упрощения. Так, выражение вида 5 * (2 / 4) * (7 / 11 / 2))^-2, решается следующим образом: 5 * (2 / 4 * (7 / 11 / 2))^-2 = (((2 * 6 / 10 * 3)) / 3)^-2 = (2 / 15)^-2 = (15 / 2)² = 15² / 2² = 225 / 4 = 56 1/4.

4. Вычисление сложных уравнений. Определить верность выражения: (16 / 11)⁰ – (2 / 8)^-1 + 4 *(-3 / 2)^1/2 > e^-3. Сначала следует раскрыть все скобки, а уже после выполнить алгебраические операции: (16 / 11 )⁰ – (2 / 8)^-1 + 4 *(-3 / 2)² = 1 – 8 / 2 + 4 * (9 / 4) = 1 – 4 + (-3 * (-3 ) ) / (4 * 4) = -3 + 9/16 = 9/16 – 3/1 = (9 * 1) / (16 * 1)) – (3 * 16) / (1 * 16) = 9 /16 – 48 /16 = (9 -48) / 16 = — 39 / 16 = — 2,43. Так как буквой e обозначают экспоненту, то e^—3 = 2,718^-3 = 0,049. Отсюда можно сделать вывод, что знак в неравенстве неверный: -2,43 < 0,049

Таким образом, чтобы возвести в степень дробь необходимо знать: правило, свойства степеней, порядок выполнения арифметических операций. А также учитывать знак показателя и вид основания.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

В сети существуют сервисы, автоматически выполняющие арифметические операции. Воспользоваться этими сайтами может каждый, имеющий доступ к интернету. Порталы предлагают свои услуги бесплатно. С их помощью можно находить функции, рассчитывать градусы и углы, решать уравнения и неравенства, вычислять дроби и степени.

Для решения дробей со степенями на онлайн-калькуляторах не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — вести в предложенную форму задание и нажать кнопку «Рассчитать». Весь процесс вычисления занимает несколько секунд.

Полезной особенностью таких сайтов является и возможность обучиться правилам расчёта, узнать, как должны обозначаться те или иные операции и действия. Из различных калькуляторов можно выделить три наиболее популярных:

1. Webmath.
2. Onlinemschool.
3. Сalc.by.

Сайты отличаются удобным и понятным интерфейсом. На их страницах содержится кратко изложенная теория, использующаяся для расчётов и типовые примеры.

Как сделать дробь в Ворде?

Обычному школьнику, студенту или офисному работнику приходится сталкиваться как с правильными дробями в Ворде, так и c неправильными. Правильно написанные дроби в Ворде такие как 1/3, 2/3, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/8, 3/8, 5/8 и 7/8 автоматически заменяются на миниатюрный вид (например, ¾, ¼ и так далее). А как сделать дробь в Ворде в привычном виде знает не каждый. Поэтому давайте начнём изучать данную проблему.

Знак деления в Ворде 2007, 2010

Есть 4 разных способа того, как можно написать дробь. Поставить дробную черту поможет вкладка «Вставка» — «Формула». Далее надо нажать на «Дробь» во вкладке «Конструктор» и выбрать соответствующий вариант.

 

1. Вертикальная простая
2. Диагональная
3. Горизонтальная простая
4. Маленькая простая

Чтобы напечатать внутри квадрата число, можно указать курсором по нужному квадрату или стрелками вверх/вниз рядом с цифровой клавиатурой. После внесения данных в формулу или уравнение, надо кликнуть по пустой области листа, чтобы выйти из режима «Формулы».

Знак деления в Ворд 2016, 2013

Чтобы вставить дробное значение необходимо повторить шаги:

1. Вкладка «Вставка» раздел «Символы» и кнопка «Уравнение»;
2. В выпадающем окне выбрать пункт «Вставить новое уравнение»;
3. В меню «Конструктор» нажать на «Дробь». Далее выбрать соответствующий вариант: либо дробь через слеш, либо с помощью горизонтальной линии.

Деление посредством знака «Слеш/»

Помимо привычного горизонтального вида дробей, встречается и вертикальное деление в виде слеша, например: 1/2. Данный способ работает во всех версиях Ворда с 2003 по 2016. Найти и вставить символ можно следующим образом.

Вариант 1: С помощью кнопки «?/»

1. Переключить с русского метода ввода слов на английский: сочетание клавиш «Shift+Alt» либо «Windows+пробел»;
2. Установить курсор мыши на место, где нужно поставить дробную черту;
3. Нажать кнопку правее от буквы «Ю».
4. Напечатать необходимое значение делителя.

Вот готовый результат, как можно еще заменить знак деления. 

Вариант 2: посредством функции «Символ»

Чтобы написать дробь простую и по диагонали, используйте:

1. Вкладка «Вставка» — «Символ» — «Другие символы».
   Внимание! В секции «Шрифт» должен быть «Обычный текст», а в секции «Набор» — «Числовые формы». В ином случае вставить диагональную дробь не получится.
2. После правильной настройки, выбрать соответствующее дробное число и нажать вставить.

Вариант 3. Код знака

На картинке ниже видно, что вставить обыкновенную дробь можно и с помощью сочетания клавиш, зная код знака. В нашем случае пишем код знака 215B и удерживая Alt нажимаем на X (английская).

Вот мы и рассмотрели все варианты написания дроби и самой дробной черты.

Как отключить автозамену знака «Деления»

Чтобы текстовый редактор Ворд не делал автозамену при вводе дробного числа, нужно отключить данную функцию в настройках. Выполните следующие действия:

1. Зайти в «Файл» — далее в «Параметры»;
2. Выбрать вкладку «Правописание» — далее в разделе «Параметры автозамены» нажать на кнопку «Параметры автозамены»;
3. В новом окне перейти в раздел «Автоформат при вводе» и снять галочку в подразделе «Заменять при вводе» перед строкой «дроби (1/2) соответствующими знаками».
4. Сохранить все изменения кнопкой «ОК».

Внеклассный урок — Таблица квадратов целых и дробных чисел

Таблица квадратов целых и дробных чисел   Таблица квадратов целых чисел от 1 до 100 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481 602 = 3600 612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4096 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761 702 = 4900 712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241 802 = 6400 812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921 902 = 8100 912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9604 992 = 9801 1002 = 10000 Таблица квадратов целых чисел от 1 до 999 и дробных чисел от 1,1 до 9,99. Порядок поиска дробных чисел: К примеру, вы хотите найти квадрат числа 1,26. Находите в левом вертикальном столбце число 1,2, а в верхнем горизонтальном ряду находите 6. Пересечение чисел 1,2 и 6 является искомым результатом: 1,262 = 1,5876 Порядок поиска целых чисел: Просто убираете запятую и получаете квадрат искомого целого числа. Пример 1 (для двузначных чисел): Надо найти квадрат числа 36. Находим квадрат числа 3,6. Это число 12,96. Значит, 362 = 1296 (убрали все запятые). Пример 2 (для трехзначных чисел): Надо найти квадрат числа 592. Находим пересечение чисел 5,9 и 2. Это число 35,0464. Значит, 5922 = 350464. Обратите внимание:  1) результаты умножения однозначных и двузначных чисел находятся в первом столбике (под 0). 2) чтобы найти квадрат трехзначного числа с нулем в конце, надо к квадрату двузначного числа просто добавить два нуля. Например, 5602 = 313600 (к 3136 добавили 00 и убрали запятые). Результаты этих действий тоже в первом столбике (под 0).     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,0 1,00 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,1 1,21 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,3456 1,3689 1,3924 1,4161 1,2 1,44 1,4641 1,4884 1,5129 1,5376 1,5625 1,5876 1,6129 1,6384 1,6641 1,3 1,69 1,7161 1,7424 1,7689 1,7956 1,8225 1,8496 1,8769 1,9044 1,9321 1,4 1,96 1,9881 2,0164 2,0449 2,0736 2,1025 2,1316 2,1609 2,1904 2,2201 1,5 2,25 2,2801 2,3104 2,3409 2,3716 2,4025 2,4336 2,4649 2,4964 2,5281 1,6 2,56 2,5921 2,6244 2,6569 2,6896 2,7225 2,7556 2,7889 2,8224 2,8561 1,7 2,89 2,9241 2,9584 2,9929 3,0276 3,0625 3,0976 3,1329 3,1684 3,2041 1,8 3,24 3,2761 3,3124 3,3489 3,3856 3,4225 3,4596 3,4969 3,5344 3,5721 1,9 3,61 3,6481 3,6864 3,7249 3,7636 3,8025 3,8416 3,8809 3,9204 3,9601   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0 4 4,0401 4,0804 4,1209 4,1616 4,2025 4,2436 4,2849 4,3264 4,3681 2,1 4,41 4,4521 4,4944 4,5369 4,5796 4,6225 4,6656 4,7089 4,7524 4,7961 2,2 4,84 4,8841 4,9284 4,9729 5,0176 5,0625 5,1076 5,1529 5,1984 5,2441 2,3 5,29 5,3361 5,3824 5,4289 5,4756 5,5225 5,5696 5,6169 5,6644 5,7121 2,4 5,76 5,8081 5,8564 5,9049 5,9536 6,0025 6,0516 6,1009 6,1504 6,2001 2,5 6,25 6,3001 6,3504 6,4009 6,4516 6,5025 6,5536 6,6049 6,6564 6,7081 2,6 6,76 6,8121 6,8644 6,9169 6,9696 7,0225 7,0756 7,1289 7,1824 7,2361 2,7 7,29 7,3441 7,3984 7,4529 7,5076 7,5625 7,6176 7,6729 7,7284 7,7841 2,8 7,84 7,8961 7,9524 8,0089 8,0656 8,1225 8,1796 8,2369 8,2944 8,3521 2,9 8,41 8,4681 8,5264 8,5849 8,6436 8,7025 8,7616 8,8209 8,8804 8,9401   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,0 9 9,0601 9,1204 9,1809 9,2416 9,3025 9,3636 9,4249 9,4864 9,5481 3,1 9,61 9,6721 9,7344 9,7969 9,8596 9,9225 9,9856 10,0489 10,1124 10,1761 3,2 10,24 10,3041 10,3684 10,4329 10,4976 10,5625 10,6276 10,6929 10,7584 10,8241 3,3 10,89 10,9561 11,0224 11,0889 11,1556 11,2225 11,2896 11,3569 11,4244 11,4921 3,4 11,56 11,6281 11,6964 11,7649 11,8336 11,9025 11,9716 12,0409 12,1104 12,1801 3,5 12,25 12,3201 12,3904 12,4609 12,5316 12,6025 12,6736 12,7449 12,8164 12,8881 3,6 12,96 13,0321 13,1044 13,1769 13,2496 13,3225 13,3956 13,4689 13,5424 13,6161 3,7 13,69 13,7641 13,8384 13,9129 13,9876 14,0625 14,1376 14,2129 14,2884 14,3641 3,8 14,44 14,5161 14,5924 14,6689 14,7456 14,8225 14,8996 14,9769 15,0544 15,1321 3,9 15,21 15,2881 15,3664 15,4449 15,5236 15,6025 15,6816 15,7609 15,8404 15,9201   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4,0 16 16,0801 16,1604 16,2409 16,3216 16,4025 16,4836 16,5649 16,6464 16,7281 4,1 16,81 16,8921 16,9744 17,0569 17,1396 17,2225 17,3056 17,3889 17,4724 17,5561 4,2 17,64 17,7241 17,8084 17,8929 17,9776 18,0625 18,1476 18,2329 18,3184 18,4041 4,3 18,49 18,5761 18,6624 18,7489 18,8356 18,9225 19,0096 19,0969 19,1844 19,2721 4,4 19,36 19,4481 19,5364 19,6249 19,7136 19,8025 19,8916 19,9809 20,0704 20,1601 4,5 20,25 20,3401 20,4304 20,5209 20,6116 20,7025 20,7936 20,8849 20,9764 21,0681 4,6 21,16 21,2521 21,3444 21,4369 21,5296 21,6225 21,7156 21,8089 21,9024 21,9961 4,7 22,09 22,1841 22,2784 22,3729 22,4676 22,5625 22,6576 22,7529 22,8484 22,9441 4,8 23,04 23,1361 23,2324 23,3289 23,4256 23,5225 23,6196 23,7169 23,8144 23,9121 4,9 24,01 24,1081 24,2064 24,3049 24,4036 24,5025 24,6016 24,7009 24,8004 24,9001   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5,0 25 25,1001 25,2004 25,3009 25,4016 25,5025 25,6036 25,7049 25,8064 25,9081 5,1 26,01 26,1121 26,2144 26,3169 26,4196 26,5225 26,6256 26,7289 26,8324 26,9361 5,2 27,04 27,1441 27,2484 27,3529 27,4576 27,5625 27,6676 27,7729 27,8784 27,9841 5,3 28,09 28,1961 28,3024 28,4089 28,5156 28,6225 28,7296 28,8369 28,9444 29,0521 5,4 29,16 29,2681 29,3764 29,4849 29,5936 29,7025 29,8116 29,9209 30,0304 30,1401 5,5 30,25 30,3601 30,4704 30,5809 30,6916 30,8025 30,9136 31,0249 31,1364 31,2481 5,6 31,36 31,4721 31,5844 31,6969 31,8096 31,9225 32,0356 32,1489 32,2624 32,3761 5,7 32,49 32,6041 32,7184 32,8329 32,9476 33,0625 33,1776 33,2929 33,4084 33,5241 5,8 33,64 33,7561 33,8724 33,9889 34,1056 34,2225 34,3396 34,4569 34,5744 34,6921 5,9 34,81 34,9281 35,0464 35,1649 35,2836 35,4025 35,5216 35,6409 35,7604 35,8801   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6,0 36 36,1201 36,2404 36,3609 36,4816 36,6025 36,7236 36,8449 36,9664 37,0881 6,1 37,21 37,3321 37,4544 37,5769 37,6996 37,8225 37,9456 38,0689 38,1924 38,3161 6,2 38,44 38,5641 38,6884 38,8129 38,9376 39,0625 39,1876 39,3129 39,4384 39,5641 6,3 39,69 39,8161 39,9424 40,0689 40,1956 40,3225 40,4496 40,5769 40,7044 40,8321 6,4 40,96 41,0881 41,2164 41,3449 41,4736 41,6025 41,7316 41,8609 41,9904 42,1201 6,5 42,25 42,3801 42,5104 42,6409 42,7716 42,9025 43,0336 43,1649 43,2964 43,4281 6,6 43,56 43,6921 43,8244 43,9569 44,0896 44,2225 44,3556 44,4889 44,6224 44,7561 6,7 44,89 45,0241 45,1584 45,2929 45,4276 45,5625 45,6976 45,8329 45,9684 46,1041 6,8 46,24 46,3761 46,5124 46,6489 46,7856 46,9225 47,0596 47,1969 47,3344 47,4721 6,9 47,61 47,7481 47,8864 48,0249 48,1636 48,3025 48,4416 48,5809 48,7204 48,8601   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7,0 49 49,1401 49,2804 49,4209 49,5616 49,7025 49,8436 49,9849 50,1264 50,2681 7,1 50,41 50,5521 50,6944 50,8369 50,9796 51,1225 51,2656 51,4089 51,5524 51,6961 7,2 51,84 51,9841 52,1284 52,2729 52,4176 52,5625 52,7076 52,8529 52,9984 53,1441 7,3 Продолжение »

Как привести дроби к общему знаменателю

Как привести алгебраические (рациональные) дроби к общему знаменателю?

1) Если в знаменателях дробей стоят многочлены, нужно попытаться разложить эти многочлены на множители одним из известных способов.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени.

Наименьший общий знаменатель для чисел устно ищем как наименьшее число, которое делится на остальные числа.

3) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.

4) Числитель и знаменатель первоначальной дроби умножаем на дополнительный множитель.

Рассмотрим примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

   

Чтобы найти общий знаменатель для чисел, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

   

   

Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.

Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:

   

   

Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно разложить на множители. В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):

   

   

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен (x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:

   

   

   

   

   

Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, из второй — 4:

   

   

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, а значит, равен 4x(x-5).

Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель:

   

   

Необходимость в приведении рациональных дробей к общему знаменателю в алгебре возникает при сложении и вычитании дробей. Как складывать и как вычитать дроби с разными знаменателями, рассмотрим в следующий раз.

Как найти квадрат дроби

Как найти квадрат дроби:

В этом разделе мы узнаем, как найти квадрат дроби.

Чтобы получить квадрат дроби, мы должны возвести в квадрат числитель и знаменатель дроби.

Например, рассмотрим дробь a / b, где b 0.

Тогда квадрат дроби a / b равен

= (a / b) ²

= a ² / b ²

Примечание:

Если две дроби складываются или вычитаются, сначала мы должны сложить или вычесть дроби и возвести в квадрат числитель и знаменатель полученной дроби.

Пример:

(1/2 + 1/4) ² = (2/4 + 1/4) ²

(1/2 + 1/4) ² = [(2 + 1) / 4] ²

(1/2 + 1/4) ² = [3/4] ²

(1/2 + 1/4) ² = 3 ² /4 ²

(1/2 + 1/4) ² = 9/16

Как найти квадрат дроби — практические задачи с решениями

Пример 1:

Найдите квадрат 7/10.

Решение:

Квадрат 7/10 равен

= (7/10) ²

= 7 ² /10 ²

= 49/10

Пример 2:

Найдите квадрат [1/12 + 1/3].

Решение:

Квадрат [1/12 + 1/3] равен

= [1/12 + 1/3] ²

= [1/12 + 4/12] ²

= [(1 + 4) / 12] ²

= [5/12] ²

= 25/144

Пример 3:

Найдите квадрат [4/15 ⋅ 3/20].

Решение:

Квадрат [4/15 3/20] равен

= [4/15 3/20] ²

= [4/15 3/20] ²

Упростить.

= [12/300] ²

= (1/25) ²

= 1 ² /25 ²

= 1/625

Пример 4:

Найдите квадрат (-3/4).

Решение:

Квадрат (-3/4) равен

= (-3/4) ²

= (-3) ² /4 ²

= 9/16

Пройдя все, что было изложено выше, мы надеемся, что студенты поняли, как найти квадрат дроби.

Помимо материалов, приведенных на этой веб-странице, если вам нужны другие сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Задачи со словами

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямому и обратному изменению

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости за единицу

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами

Задачи со словами

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи со словами с уравнениями

Проблемы со словами с линейным неравенством

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск корня из длинного квадрата видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Перевод задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении в степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Соотношения и пропорции

— Коэффициенты

We используйте соотношения для сравнения двух вещей.Когда мы выражаем отношения в слова, мы используем слово «к» — мы говорим «отношение чего-либо к что-то еще «. Соотношения можно записать по-разному: как дробь, используя слово «до» или двоеточие.

Давайте использовать это иллюстрации фигур, чтобы узнать больше о соотношениях. Как мы можем написать соотношение квадратов в круги, или от 3 до 6? Самый распространенный способ записать соотношение — в виде дроби, 3/6. Мы также могли бы написать это, используя слово «to», как «от 3 до 6.»Наконец, мы могли записать это соотношение, используя двоеточие между два числа, 3: 6. Убедитесь, что вы понимаете, что это все способы написать столько же.

Куда ты выбор будет зависеть от проблемы или ситуации.

• соотношение квадраты в круги — 3/6
• соотношение квадраты в круги от 3 до 6
• соотношение квадраты в круги равно 3: 6

Есть еще другие способы провести такое же сравнение с использованием равных соотношений.Чтобы найти равное соотношение, вы можете либо умножить, либо разделить каждый член в соотношении на такое же число (но не ноль). Например, если мы разделим оба члена в соотношении 3: 6 по числу три, тогда мы получаем равное соотношение 1: 2. Ты видишь это эти соотношения представляют собой одно и то же сравнение? Некоторые другие равные соотношения перечислено ниже. Чтобы узнать, равны ли два соотношения, вы можете разделить первое число по секундам для каждого соотношения. Если частные равны, то соотношения равны.Равно ли соотношение 3:12 и 36:72? Разделите оба, и вы обнаруживаете, что частные не равны. Следовательно, эти два соотношения не равны.

Некоторые прочие равные передаточные числа:
3: 6 = 12:24 = 6:12 = 15:30

Площадь 3:12 и 36:72 равны?

Найти 3 ÷ 12 = 0,25 и 36 ÷ 72 = 0,5

частные не равны -> отношения не равны.

Вы также можете используйте десятичные дроби и проценты для сравнения двух величин. В нашем примере квадратов кругам, можно сказать, что количество квадратов составляет «пять десятых» от количества кругов, или 50%.

Вот диаграмма показывает количество голов, забитых пятью баскетболистами со штрафного броска линия, из 100 сделанных кадров. Каждое сравнение забитых голов и сделанных бросков выражается в виде отношения, десятичной дроби и процента.Все они эквивалентны, что означает, что все они по-разному говорят одно и то же. Что делать ты предпочитаешь использовать?

11 загадочных оптических иллюзий и как они работают

Оптические иллюзии забавляли и разочаровывали людей на протяжении десятилетий. Хотя оптические иллюзии часто рассматриваются как источник удовольствия, они могут многое рассказать нам о нашем зрении и нервных системах.

Ниже представлены некоторые из самых загадочных оптических иллюзий всех времен и объяснения того, как они обманывают ваш разум.

1. Иллюзия Эббингауза: все дело в контексте

Эта иллюзия, также известная как круги Титченера, проверяет ваше восприятие размера. Хотя эта иллюзия была открыта и названа в честь Германа Эббингауза, наиболее распространенное изображение этой иллюзии было создано Эдвардом Б. Титченером.

На изображении Титченера два круга равного размера. Один круг окружен кольцом из больших кругов, а другой круг окружен кольцом из меньших кругов.Хотя оба центральных круга имеют одинаковый размер, один кажется меньше другого с добавлением дополнительных кругов.

Считается, что причина этого несоответствия кроется в том, как мы воспринимаем размер. Исследования показали, что наше восприятие размера зависит от контекста. Изменяя контекст, в котором показаны оба круга, меняется наше восприятие их относительных размеров.

Источник: AlexWorth91 / Wikimedia Commons

2. Сиреневый преследователь: остаточное изображение и исчезновение Трокслера

Этот цикл изображений, широко известный как иллюзия Пак-Мэна, заставлял людей ломать голову с 2005 года.Созданная Джереми Хинтоном, иллюзия состоит из двенадцати точек, обычно сиреневых или пурпурных. Точки размещены на сером фоне с черным крестом в центре. Одна точка исчезает на долю секунды, а затем снова появляется, действие, которое повторяется по часовой стрелке для всех точек.

Зрителям предлагается смотреть на крест в центре кольца, и в этот момент они наблюдают за двумя происходящими событиями: во-первых, зеленая точка появляется в отсутствие исчезнувшей точки.Во-вторых, зеленая точка постепенно стирает оставшиеся сиреневые точки, пока все, что остается, не превращается в зеленую точку, движущуюся по цепи.

Объяснение этой иллюзии действительно захватывающее. Зеленая точка появляется благодаря эффекту, известному как остаточное изображение. Палочки и колбочки в наших глазах приспосабливаются к исчезновению сиреневых точек через несколько секунд и устают. В отсутствие лиловой точки наши глаза сталкиваются с конусами, которые обрабатывают цвета на противоположном конце спектра; в данном случае зеленый.

Окончательное исчезновение всех лиловых точек произошло благодаря феномену, известному как увядание Трокслера. Поскольку сиреневые точки появляются только в нашем периферийном зрении, их движения недостаточно значительны, чтобы задействовать новые нейроны нашей зрительной системы, и, таким образом, кажется, полностью исчезают.

Источник: TotoBaggins / Wikimedia Commons

3. Иллюзия движения: видеть движение там, где его нет

Оптические иллюзии, создающие иллюзию движения, являются одними из самых распространенных и популярных.Вы можете быть удивлены простотой объяснения этих иллюзий.

Иллюзии движения обычно работают, представляя узор, состоящий из высококонтрастных цветов или тонов. Эти контрастирующие аспекты одновременно запускают разные нейронные сигналы, что приводит к эффекту обнаружения движения, когда фактически движения нет.

Источник: Fiestoforo / Wikimedia Commons

4. Вращающийся танцор: управляйте танцором своим разумом

Одна иллюзия, которая постоянно распространяется в Интернете, — это вращающаяся танцовщица.Вращающийся танцор изображает силуэт танцора, вращающегося на одном месте. Однако, движение танцора по часовой стрелке или против часовой стрелки, очевидно, может быть изменено зрителем по желанию.

Эта иллюзия была создана в 2003 году Нобуюки Каяхара и с тех пор вызывает недоумение людей в сети. Ключ к иллюзии в отсутствии визуальных подсказок относительно глубины, а также в неоднозначности анатомии танцора. Эта визуальная неоднозначность известна как мультистабильное восприятие. Тело танцора и окружающая его среда слишком неоднозначны для восприятия нашей зрительной системой, поэтому мы в конечном итоге воспринимаем изображение в чередующихся, конфликтующих состояниях.

Источник: Нобуюки Кайахара / Wikimedia Commons

5. Вертикально-горизонтальная иллюзия: удивительно простая головоломка

Вертикально-горизонтальная иллюзия — одна из самых визуально простых оптических иллюзий, с которыми вы, вероятно, столкнетесь. Он имеет горизонтальную линию, разделенную пополам вертикальной линией. Хотя большинство зрителей воспринимают вертикальную линию как более длинную, на самом деле они одинаковой длины.

Хотя точная причина этого явления неизвестна, было высказано предположение, что расположение вертикальной линии запускает наше восприятие глубины, заставляя нас воспринимать вертикальную линию как находящуюся дальше от нас, чем горизонтальную линию, и, следовательно, более длинную. .

Источник: S-kay / Wikimedia Commons

6. Треугольник Каниджи: иллюзорные контуры и восприятие глубины

Треугольник Каницзы — известный пример иллюзорных контуров. Иллюзорные контуры относятся к воспринимаемому присутствию края или контура, когда их нет. Такое восприятие создается наличием отдельных форм и краев, расположенных таким образом, чтобы предполагать наличие определенного контура.

В случае с Треугольником Канижи три так называемых «конфигурации Пакмана» и три открытых угла создают иллюзию белого треугольника.В этих иллюзиях иллюзорная форма обычно выглядит ярче и ближе к зрителю.

Это потому, что конфигурации Pac-Man запускают наше восприятие глубины, заставляя наши визуальные системы воспринимать конфигурации и дальше и, таким образом, темнее, чем треугольник. С помощью этих воспринимаемых сигналов глубины создается иллюзия близкого и яркого треугольника.

Источник: Fibonacci / Wikimedia Commons

7. Ваза Рубина: организация фигурного фона и назначение граней

Разработанная Эдгаром Рубиным в 1915 году иллюзия вазы Рубина является одной из самых известных оптических иллюзий в мире.На изображении изображено то, что можно воспринимать как декоративную вазу, или как две грани в профиль, обращенные друг к другу.

Ключ к этой иллюзии объясняется принципом организации фигуры и фона. Это то, что позволяет нам воспринимать объекты как фигуры и как фон. Однако в иллюзии «Вазы Рубина» фигура меняется со сдвигом перспективы.

При просмотре черной области в качестве фона ваза становится фигурой. В свою очередь, если рассматривать белую область в качестве фона, лица становятся фигурами.

Источник: Brocken Inaglory / Wikimedia Commons

8. Иллюзия утки и кролика: неоднозначные изображения и видение среднего уровня

Это изображение впервые появилось в 1892 году и с тех пор вызывает недоумение и забавляет людей. Головоломка с уткой или кроликом работает на принципах нашего восприятия неоднозначных изображений и на процессах зрения среднего уровня.

Зрение среднего уровня — это точка, в которой наш мозг группирует визуальную информацию на основе его способности находить края изображения.Однако в случае неоднозначных изображений эти края нечеткие, и мы можем воспринимать два противоположных изображения в одном изображении. По этой причине мы можем видеть либо кролика, либо утку, в зависимости от того, на каком изображении мы хотим сосредоточиться.

Источник: Public Domain / Wikimedia Commons

9. Иллюзия Мюллера-Лайера : какая линия длиннее?

Вы почти наверняка сталкивались с этой оптической иллюзией в прошлом. Эта серия линий, разработанная Францем Карлом Мюллер-Лайером в 1889 году, является одной из самых узнаваемых иллюзий, когда-либо созданных.

Обычно зрителю представлены три горизонтальные линии, каждая из которых имеет различную конфигурацию наконечников стрелок. Хотя линии кажутся разной длины, все они равны.

Исследования показали, что эта иллюзия наиболее эффективна среди западного населения, которое привыкло к «плотным» окружениям, где прямые линии и прямые углы обычны. Это могло бы объяснить, как работает иллюзия.

Тот, кто знаком с пересекающимися линиями в своей повседневной жизни, автоматически зарегистрирует стрелки, идущие под углом внутрь, как представляющие объект, который находится ближе, в то время как стрелки, указывающие наружу, предполагают, что объект находится дальше.Имея это в виду, объект, появляющийся дальше, также будет казаться длиннее.

Источник: Fibonacci / Wikimedia Commons

10. Иллюзия шашечной тени: ваши глаза обманывают вас

Разработанная в 1995 году Эдвардом Х. Адельсоном, иллюзия шашечной тени заставит вас усомниться в собственном видении. На изображении изображена шахматная доска и объект, лежащий на ней, отбрасывающий тень. Два квадрата на доске обозначены как A и B. Хотя A и B кажутся разными тонами, на самом деле они идентичны.

Иллюзия действует, используя наше восприятие постоянного света. Постоянство света — это то, что позволяет нам различать темные объекты при ярком освещении и светлые объекты при слабом освещении. В Checker Shadow Illusion мы узнаем, что A — темный объект, а B — светлый объект в тени. Однако, поскольку мы различаем квадраты посредством нашего восприятия постоянства света, мы не можем воспринимать их такими, какие они есть на самом деле — как имеющие один и тот же цвет.

Источник: Эдвард Х. Адельсон / Wikimedia Commons

11. Невозможный трезубец: рисунки, которые обманывают ваш мозг

Невозможный трезубец восходит к 1964 году и является одним из самых известных примеров иллюзии невозможного объекта. Изображение изображает то, что на первый взгляд кажется трехзубым предметом, зубцы которого происходят только из двух источников.

Это загадочное изображение заставляет ваш мозг воспринимать двухмерный рисунок как трехмерный объект.