Как сложить число с дробью: Смешанные числа — Агентство недвижимости Люберцы

Содержание

Смешанные числа

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же.

Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

Пример 3. Найти значение выражения

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа и перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

Умножение целого числа на дробь

Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого достаточно умножить это число на числитель дроби.

Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби

В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

Пример 4. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби

Умножение смешанного числа на дробь

Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на

Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Умножить эти куски на означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:

Теперь если мы возьмем (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:

Поэтому значение выражения было равно 1

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения равно

Пример 3. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 5 на

Дробь это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение определяет сколько раз содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

Поэтому значение выражения равно

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь на число 2

Чтобы разделить дробь на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно дробь умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим делитель в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ

Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.

Переведём смешанное число в неправильную дробь, получим .

Теперь умножаем на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:

Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:

Затем разделим поровну на две части и половину:

Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по пиццы в каждой группе:

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .

Дорешаем данный пример до конца:

Допустим, имеются две целые и половина пиццы:

Если зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби целую часть. В результате получили окончательный ответ .

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Тема сложение дробей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Сложение – это арифметическое действие, в результате которого получают новое число, содержащее столько единиц, сколько было во всех заданных числах вместе взятых.

Дробь обозначает тип деления, который рассматривается как часть целого и указывает на разделение целого на равные доли или части, где знаменатель показывает, на сколько частей мы разделили, а числитель — сколько взяли частей от этого целого.

Сложение или вычитание дробей могут быть двух видов:

знаменатели одинаковые;
знаменатели разные;

Правила сложения дробей:

Одинаковые знаменатели. Складываем числители этих дробей.
Разные знаменатели. Находим общий знаменатель с помощью наименьшего общего кратного чисел, и складываем их числители.

Чтобы вычислить НОК, необходимо разбить числа на простые множители и найти разложение большего числа, добавив к нему простые недостающие множители другого разложения. Полученные числа перемножить. Алгоритм решения для двух, трех и более чисел одинаков, если числа простые, то надо перемножить их.

Примеры решения задач: сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Задача 1. Сложить две дроби с одинаковыми знаменателями $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{8}$.

Решение:

$\frac{7}{8}+\frac{1}{8}=$$\frac{(7+1)}{8}$$=\frac{8}{8}=\frac{1}{1}$

Ответ:$1$.

Задача 2. Сложить две дроби с одинаковыми знаменателями $\frac{6}{5}$и $\frac{3}{5}$.

Решение:

$\frac{6}{5} +\frac{3}{5}$$=\frac{(6+3)}{5}$$=\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$

Ответ:$1\frac{4}{5}$.

3адача 3. Сложить две дроби $\frac{11}{3}$ и $\frac{5}{3}$.

Решение:

$\frac{11}{3}$ + $\frac{5}{3}$$=$$\frac{(11+5)}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$

16/3

Ответ:$5\frac{1}{3}$.

3адача 4. Сложить две дроби с разными знаменателями $\frac{11}{3}$ и $\frac{5}{8}$.

Решение:

НОК$(3;8)$ $=24$

$\frac{11*8}{3*8}+\frac{5*3}{8*3}$$=$$\frac{88}{24}+\frac{15}{24}=$$\frac{88+15}{24}$$=\frac{103}{24}=4\frac{7}{24}$

Ответ: $4\frac{7}{24}$

Задача 5. Сложить две дроби с разными знаменателями $\frac{27}{3}$ и $\frac{55}{13}$.

Решение.

$НОК(3;13) =39$

$\frac{(27*13)}{3*13} +\frac{(55*3)}{13*3}=$$\frac{351}{39}+\frac{165}{39}$$=\frac{351+165}{39}=$

$=\frac{516}{39}-$ сокращаем обе части дроби на 3

$\frac{175}{13}=13\frac{6}{13}$

Ответ: $13\frac{6}{13}$.

Выводы:

для того чтобы сложить или вычесть два и более дробных числа нам необходимо привести их к общему знаменателю;

основное свойство дробей: значение дробного числа не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Урок 72. сложение смешанных дробей — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 72

Сложение смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение смешанной дроби с целым числом;

– сложение смешанной дроби с правильной дробью;

– сложение смешанных дробей с общим знаменателем;

– сложение смешанных дробей с разными знаменателями;

– преобразование неправильных дробей в смешанное число.

Тезаурус

Смешанная дробь – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака плюс.

Целая часть смешанной дроби – натуральное число в смешанной дроби.

Дробная часть смешанной дроби – правильная дробь в смешанной дроби.

Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы говорили, что смешанная дробь – это сумма натурального числа и правильной дроби. При сложении смешанных дробей используют законы сложения. Рассмотрим это на примере:

Каждую смешанную дробь представим, как сумму целой и дробной части.

Вспомним переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется. Перегруппируем слагаемые. Запишем сначала сумму целых частей, а затем сумму дробных частей. Сложим отдельно целые и дробные части обеих дробей. Полученную сумму запишем смешанной дробью, то есть уберём знак плюс между натуральным числом и правильной дробью.

Для удобства будем считать, что у каждого натурального числа есть дробная часть, равная нулю, а у каждой правильной дроби есть целая часть, равная нулю. С учётом этого складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по тому же правилу.

Например:

Проведём те же преобразования, что и в предыдущем примере: отдельно сложим целые и дробные части обоих чисел. Запишем сумму целой и дробной части в виде смешанной дроби, т. е. без знака плюс.

Рассмотрим пример, в котором к смешанной дроби прибавляют простую дробь.

Отдельно складываем целые части и дробные части. Сумму натурального числа и дроби записываем смешанным числом, т. е. без знака плюс.

При сложении двух смешанных дробей сумма дробных частей может оказаться неправильной дробью. Посмотрим на примере, как действовать в таком случае.

Сумма дробных частей получилась равной семи пятым. Преобразуем неправильную дробь в смешанную. Семь пятых – это одна целая и две пятых. С учётом этого сумма данных смешанных чисел равна четырём целым и двум пятым.

Если необходимо сложить смешанные дроби, дробные части которых имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести дробные части к общему знаменателю, а потом выполнить сложение.

Общий знаменатель дробных частей равен пятнадцати. Сумма будет равна семи целым тринадцати пятнадцатым. Обратите внимание на запись решения данного примера. Здесь уже нет промежуточных вычислений сумм целых и дробных частей. Записывать эти вычисления не нужно, достаточно понимать последовательность своих действий.

Рассмотрим ещё одно выражение:

В этом выражении у обоих слагаемых есть и целая, и дробная части. Дробные части имеют различные знаменатели. Приводим дробные части к общему знаменателю. Отдельно складываем целые и дробные части, не записывая это подробно. Сумма дробных частей оказалась равной сорока трём тридцатым, это неправильная дробь. Преобразуем её в смешанную дробь. Сорок три тридцатых – это одна целая тринадцать тридцатых. Выполним сложение семи и одной целой тринадцати тридцатых. Получим восемь целых тринадцать тридцатых.

Вычислим:

При решении этого выражения можно выполнить действия по порядку: сначала найти суммы в скобках, затем сложить полученные суммы.

В этом случае нам придётся приводить дроби к общему знаменателю. Выполним это решение:

Можно решить это выражение другим способом, вспомнив сочетательный и переместительные свойства сложения:

Во втором случае решение получилось короче, нам не пришлось приводить дроби к общему знаменателю.

Сегодня мы рассмотрели сложение смешанных дробей с натуральными числами, правильными дробями и смешанными дробями. Во всех этих случаях мы действовали по одному правилу: отдельно складывали целые и дробные части слагаемых, а затем складывали полученные результаты.

Тренировочные задания

№ 1. Выберите выражения, в решении которых допущены ошибки или решение не доведено до верного ответа:

В первом выражении приведено полное, верное решение: отдельно сложены целые и дробные части смешанных дробей. Дробные части приведены к общему знаменателю. Сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, эта дробь правильно преобразована в смешанную дробь. Сложение натурального числа и смешанной дроби выполнено верно.

Во втором выражении при сложении дробных частей, правильно приведённых к общему знаменателю, также получилась неправильная дробь, верно произведено сокращение этой неправильной дроби, но она не преобразована в смешанную дробь. В ответе получилось число, дробная часть которого является неправильной дробью. Это неверная запись ответа, хотя вычисления произведены правильно.

В третьем выражении неправильно выполнено сложение дробных частей. Дроби не приводятся к общему знаменателю, складывается числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, что не является верным нахождением суммы двух дробей. В ответе получилась сократимая дробь, которая сокращена верно.

Ответ: ошибки допущены во 2 и 3 выражениях.

№ 2. Вычислите периметр прямоугольного участка земли, если его ширина м, а длина на м больше.

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны попарно равны, достаточно знать длину и ширину прямоугольника. Ширина известна, она равна м, а о длине сказано, что она на м больше. Найдём длину прямоугольника, для этого к ширине прибавим м.

(м) – длина прямоугольника.

При сложении мы привели дробные части к общему знаменателю, сложили их, преобразовали получившуюся неправильную дробь в смешанную дробь и сложили её с суммой целых частей.

Теперь найдём периметр прямоугольника. Сложим длины четырёх его сторон:

(м) – периметр прямоугольника

Заметим, что промежуточные вычисления – отдельное сложение целых и дробных частей – записывать не обязательно.

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями. Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1 : (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1 : (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Представим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь

1Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

Информация

В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

С ответом
С отметкой о просмотре

Тренажер 2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

Информация

Тест поможет проверить, как вы умеете складывать дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:

Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

С ответом
С отметкой о просмотре

Как складывать дроби с разными знаменателями

Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:

1) Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) данных дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый.

3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.

4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой.

В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:

Решение:

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.

2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.

3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.

2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби.

4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая.

1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби.

4) полученную дробь надо сократить на 5.

1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.

3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть.

3. Сложение и вычитание смешанных чисел (одинаковые знаменатели)

Рассмотрим на практических примерах, как складывать и вычитать смешанные числа.

Задача 1. На блюдце лежали 238 плитки шоколада. К ним положили ещё 128 плитки. Сколько теперь плиток шоколада на блюдце?

Решение. Чтобы решить задачу, надо сложить числа 238 и 128.
Так как 238=2+38;128=1+28, то

238+128=2+38+1+28=2+1+38+28=3+3+28=3+58=358.

Обычно записывают коротко: 238+128=358.

Ответ: 358 плитки шоколада.

Задача 2. На блюдце лежали 238 плитки шоколада. Съели 128 плитки. Сколько осталось плиток шоколада на блюдце?

Решение. Чтобы решить задачу, надо из 238 вычесть 128.

Тогда:

238−128=2+38−1+28=2+38−1−28=2−1+38−28==1+3−28=1+18=118.

Промежуточные вычисления обычно не записывают: 238−128=118.

Ответ: 118 плитки шоколада.

Обрати внимание!

Для сложении смешанных чисел надо сложить отдельно целые части и дробные части.

Для вычитания смешанных чисел надо вычесть отдельно целые части и дробные части.

В результате сложения смешанных дробей может в дробной части получиться неправильная дробь. Тогда из неё нужно выделить целую часть и прибавить к целой части.

Пример 1.
15711+3611=181311=18+1311=18+1211=19211.

Рассмотрим пример, в котором при вычитании смешанных дробей нужно увеличить дробную часть уменьшаемого.

Пример 2.

713−523=7+13−523=6+1+13−523=6+113−523==6+43−523=643−523=123.

Обычно пишут короче: 713−523=643−523=123.

Так же вычитают дробь или смешанное число из натурального числа.

25−713=241313−713=2413−713=24613.

Пример 4.

12−857=1177−857=37−57=327.

Сложение и вычитание смешанных дробей

	Быстрое определение: смешанная дробь — это целое число и дробная часть вместе, , например 1 3 4
1 ³/₄
(одна и три четверти)

Чтобы упростить их сложение и вычитание, просто сначала преобразуйте в неправильные дроби:

Быстрое определение: у неправильной дроби верхнее число
больше или равно
нижнее число,

, например 7 4 или же 4 3

(это « верхний тяжелый »)

⁷/₄

(семь четвертей или семь четвертей)

Вы видите, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?

Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что «семь четвертей».

Добавление смешанных фракций

Я считаю, что это лучший способ добавить смешанные фракции:

(Вы можете прочитать, как преобразовать из или в смешанные дроби)

Пример: что такое 2

3 4 + 3 1 2 ?

Преобразовать в неправильные дроби:

2 3 4 знак равно 11 4

3 1 2 знак равно 7 2

Общий знаменатель 4:

11 4 остается как 11 4

7 2 становится 14 4
(путем умножения верха и низа на 2)

Теперь добавить:

11 4 + 14 4 знак равно 25 4

Преобразовать обратно в смешанные дроби:

25 4 = 6 1 4

Когда вы набираетесь опыта, вы можете делать это быстрее, как в этом примере:

Пример: Что такое 3

5 8 +1 3 4

Преобразовать в неправильные дроби:

3 5 8 знак равно 29 8
1 3 4 знак равно 7 4

Сделайте тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (путем умножения верха и низа на 2)

И добавить:

29 8 + 14 8 знак равно 43 8 = 5 3 8

Вычитание смешанных дробей

Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычтите:

Пример: что такое 15

3 4 — 8 5 6 ?

Преобразовать в неправильные дроби:

15 3 4 знак равно 63 4

8 5 6 знак равно 53 6

Общий знаменатель 12:

63 4 становится 189 12

53 6 становится 106 12

Теперь вычесть:

189 12 — 106 12 знак равно 83 12

Преобразовать обратно в смешанные дроби:

83 12 = 6 11 12

Как сложить целое число к дроби

Вы уже знаете, что такое целые числа, даже если не знали, что означает название: это числа, которые вы использовали, когда впервые начали считать, начиная с 0, а затем считая 1, 2, 3, 4 и так далее.Дроби представляют собой часть целого числа. Есть два способа сложить дроби и целые числа, но при этом нужно соблюдать несколько основных правил.

Использование торта в качестве примера

Это поможет, если вы подумаете о дробях и целых числах в терминах пиццы, пирогов или любой другой вкусной круглой вещи, которую можно разрезать на кусочки и съесть. Подумайте о пирожных: каждое знакомое целое число представляет собой целый торт. У вас может быть 1 торт, 2 торта, 3 торта и так далее.Если вы разрезаете торт на кусочки, вы создали дробь, где нижнее число дроби показывает, на сколько кусочков вы разрезаете каждый торт, а верхнее число указывает, сколько кусочков осталось.

Сложение целых чисел и дробей

Если вы подумаете о целых числах и дробях в терминах этих кусочков торта, легко представить себе, как вы складываете целые числа и дроби вместе. Допустим, у вас осталось 2 целых торта на столе плюс один торт, который был разрезан на 6 равных частей, но кто-то съел кусок, так что теперь на тарелке осталось только 5 штук.Вы можете выразить этот разрезанный торт в виде дроби, указав количество кусочков, оставшихся наверху, и количество кусочков, первоначально нарезанных снизу:

\ frac {5} {6}

Вы можете выразить общее количество торт — 2 торта плюс 5/6 торта — в виде смешанного числа, которое записывается как

2 \ frac {5} {6}

Если у вас есть целое число и дробь, вы можете просто сложить их вместе , в результате получается так называемое смешанное число. Например, смешанное число

8 \ frac {3} {4}

понимается как то же самое, что и

8 + \ frac {3} {4}

, поскольку все согласны с тем, что они означают одно и то же. , вам не нужно записывать символ сложения, когда вы пишете смешанное число.

Пироги как неправильные дроби

Иногда вам будет предложено сложить целые числа с дробями и оставить их в неправильной форме дроби вместо того, чтобы записывать их как смешанные числа. Неправильная дробь — это просто дробь, верхнее число (количество оставшихся ломтиков) больше, чем нижнее число (количество ломтиков, на которые был нарезан каждый торт). Хороший пример из реальной жизни — это если вы разрежете два торта на 6 частей каждый, а затем кто-то съест 5 кусков из одного торта.Это означает, что у вас остался один целый торт и 1/6 от другого съеденного торта. Чтобы дать свой ответ полностью в виде дроби, вы должны понять, как записать весь торт в виде дроби.

Целые числа можно записывать в виде дробей

Вот как думать о целых числах в дробной форме: если вы разрежете торт на 8 равных частей и оставите их все на тарелке, у вас будет 8/8 кусков торта. плита. Другими словами, торт был разрезан на части, но все это осталось на месте.Вот что представляет собой целое число в форме дроби. Таким образом, дробь, в которой верхнее число (количество оставшихся кусочков) совпадает с нижним числом (количество кусочков, которые вы нарезали в первую очередь), равна 1 целому пирогу, пирогу или чему-то еще, что вы считаете. .

\ frac {8} {8} = 1 \\ \, \\ \ frac {25} {25} = 1 \\ \, \\ \ frac {649} {649} = 1

и так далее. Неважно, какое число вверху, а какое внизу, если они одинаковы. Вы также можете выразить другие целые числа дробями; просто умножьте целое число на дробь, у которой такое же число вверху и такое же число внизу.Подобно магии, выполнение этого превращает целое число в дробную форму без изменения его значения, потому что все, что вы сделали, это умножили его на 1.

Итак, чтобы записать целое число в виде дроби, умножьте целое число на дробь, которая имеет одинаковое число в пятнах числителя и знаменателя. Например, если вы хотите записать целое число 5 в виде дроби с 8 в знаменателе, вы должны умножить

5 × \ frac {8} {8} = \ frac {40} {8}

Сложение Целые числа в неправильные дроби

Теперь, когда вы знаете, как записывать целые числа в виде дробей, легко добавить целые числа к существующей дроби и оставить их в неправильной форме дроби.Все, что вам нужно сделать, это убедиться, что знаменатели — числа в нижней части дробей — совпадают. (Если бы вы попытались говорить о лепешках, нарезанных на кусочки разного размера, это не имело бы особого смысла, не так ли? То же самое и для дробей.)

Итак, если вы пытаетесь сложить 3 и 5 / 9 сначала нужно преобразовать 3 в дробную форму:

3 × \ frac {9} {9} = \ frac {27} {9}

Затем вы можете сложить дроби 5/9 и 27/9 вместе . Когда две дроби имеют одинаковый знаменатель, вы просто складываете числители прямо поперек и записываете их над одним и тем же знаменателем.Таким образом, у вас будет

5 + 27 = 33

в месте числителя и 9 в месте знаменателя, или 33/9 в качестве окончательного ответа.

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Решите и сравните следующие две проблемы.

Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре.Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Пэт прошел треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Мы начнем с этих двух примеров, чтобы проиллюстрировать одну из причин, по которой у многих людей возникают проблемы со сложением и вычитанием дробей.

Пример сверху: Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре.Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Ким сделал две седьмых штрафных бросков, или Ким сделал два из семи штрафных бросков.

Важное примечание. Здесь мы произвели объединение двух непересекающихся множеств, как при сложении целых чисел. Но мы делаем , а не , считаем это сложением двух дробей, поскольку размер целого для каждой дроби разный. Каждая фракция относится к целому объекту разного размера.Мы использовали символ, чтобы указать, что это другой тип сложения, а , а не , — сложение дробей. Это также показывает распространенную ошибку при сложении дробей, которую делают многие люди, которая складывает как числители, так и знаменатели.

Пример сверху: Пэт прошла треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Пэт прошел семь двенадцатых мили.

Примечание. Каждая из вышеперечисленных проблем — это своего рода дополнение. Первая проблема — это , а не сложение дробей, потому что размер целого различается для каждой дроби. Но вторая проблема — это пример того, как мы будем определять сложение дробей, когда размер целого одинаков для каждой дроби.

Мы начинаем с сложения, используя прямоугольник для представления целого, разделенного на десять частей равного размера.

Сначала мы заштриховываем весь прямоугольник.

Далее, чтобы показать сложение, заштрихуем еще раз.

Теперь весь прямоугольник заштрихован. Итак, делаем вывод.

Обратите внимание, что мы добавили десятые к десятым, и наш ответ был в десятых. Похоже, что правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем является сложение числителей и сохранение общего знаменателя.

Мы все еще можем упростить ответ, как и на предыдущих занятиях, используя фундаментальный закон дробей или деление на наибольший общий множитель.Итак, у нас есть.

Точно так же мы вычитаем, используя прямоугольник для представления целого с 7 заштрихованными частями.

Это представляет собой целое, из которого мы удалим весь прямоугольник. Затем мы вычитаем весь прямоугольник, вычеркивая или оттенив 3 части.

Мы делаем вывод о том, что можно упростить до.

Вот еще два примера с моделями.

Пример: используйте дробные полоски для.

Пример: используйте модель площади для.

Теперь, как мы можем сложить? Как и в случае с задачами с общими знаменателями, мы можем нарисовать диаграмму. У нас проблема, так как все детали не одинакового размера. Однако после того, как мы разрежем каждый кусок на кусочки одинакового размера, мы сможем решить эту проблему. Другими словами, мы меняем задачу так, чтобы дроби были эквивалентными дробями с общими знаменателями, как показано ниже.

Обратите внимание, что мы разрезаем каждую треть на четверти и каждую четвертую на трети так, чтобы каждый маленький кусок представлял одну двенадцатую часть целого квадрата. Кроме того, отметим, что НОК (3, 4) = 12, поэтому мы выбрали 12 в качестве наименьшего общего знаменателя .

Таким образом, чтобы сложить или вычесть дроби, достаточно изменить дроби так, чтобы они имели общие знаменатели. Затем складываем или вычитаем числители и сохраняем общий знаменатель.Наконец, мы упрощаем этот ответ, если он еще не в простейшей форме.

Вот пример добавления более двух дробей за раз. Найдите сумму.

Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей. Это даст нам наименьший общий знаменатель. НОК (5, 10, 2, 25) находим методом факторизации на простые множители.

5 = 5, 10 = 2 ∙ 5, 2 = 2 и 25 = 5 ²

Таким образом, НОК (5, 10, 2, 25) = 2 ∙ 5 ² = 2 ∙ 25 = 50

Теперь заменим каждое слагаемое на дроби с общим знаменателем.

Обратите внимание, что мы упростили, а затем изменили его на смешанное число. Далее следует более подробная иллюстрация, где мы показываем каждый шаг: сначала упростите дробь, затем, поскольку дробь является неправильной дробью, разделите неправильную дробь на целую и дробную часть, а затем запишите как смешанное число.

Этот ответ представляет собой смешанное число . Любая неправильная дробь также может быть выражена как смешанное число, потому что неправильная дробь содержит более одного целого.

Рассмотрим следующую иллюстрацию, где каждый прямоугольник представляет одно целое, а каждый прямоугольник разрезан на восемь частей одинакового размера.

На иллюстрации видно, что неправильная дробь. Кроме того, на иллюстрации есть два целых прямоугольника и три восьмых другого прямоугольника, то есть показано смешанное число. Итак, мы это проиллюстрировали. Модель также мотивирует метод перехода от неправильной дроби к смешанному числу.Поскольку каждая группа из 8 частей представляет собой целую часть, мы можем перейти к смешанному числу, разделив 19 на 8, чтобы получить две целые части и три оставшихся.

Задача показывает, что мы можем думать о дроби как о другом способе представления деления или как о. Например, мы можем изменить неправильную дробь, например смешанное число, путем деления, где мы интерпретируем дробь как деление. Остаток запишем в виде дроби.

Берем остаток от 3 и записываем как другое целое, дающее нам.Так .

Предположим, нам нужно преобразовать дробь в неправильную. (Нам нужно будет сделать это, когда мы начнем умножать и делить дроби.) Мы проиллюстрируем, где каждый прямоугольник представляет собой одно целое.

Теперь разделите каждый прямоугольник на пять равных частей для иллюстрации.

Мы показали, что

Обратите внимание, что процесс определения количества пятых состоит в том, чтобы разрезать каждую из четырех целых на пять пятых и добавить три пятых, получив в сумме двадцать три пятых, т.е.е.,.

Сложение и вычитание смешанных чисел может выполняться таким же образом, как мы складывали и вычитали целые числа. Другими словами, мы складываем значения по соответствующему разряду со смешанными числами, что означает, что мы складываем или вычитаем части целого числа и дробные части отдельно, производя обмены, когда это необходимо. Мы продемонстрируем процесс с моделями на следующих примерах.

Пример: Найти.

Здесь нам нужно произвести обмен, чтобы вычесть дробные части. Итак, нам нужно разрезать один из четырех целых прямоугольников на пятые части, например,.

Пример: Найти.

Примечание. Часто намного проще складывать и вычитать смешанные числа без преобразования в неправильные дроби. Переход на неправильные дроби увеличивает количество вычислений и усложняет упрощение многих задач.

Пример. Вычислить двумя способами: как смешанные числа и как неправильные дроби

Как смешанные числа

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Как неправильные дроби

Заменить дробь на неправильную.

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Умножение и деление больших значений значительно увеличивает вероятность ошибки.Кроме того, если дроби необходимо упростить, упрощение с большими значениями будет намного сложнее при использовании метода неправильных дробей.

Шутка или цитата

Почему обратились к психиатру? Щелкните здесь, чтобы увидеть ответ.

Подсказка: одна пятая эквивалентна ____________, что звучит как ________________.

Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел — Полный курс арифметики

Мы выбрали общее кратное знаменателей, потому что мы меняем знаменатель, умножая его.Урок 22.

Пример 3.

2
3

1
4

Решение . Наименьшее общее кратное 3 и 4 — это их произведение 12. (Урок 22, Вопрос. 4.)

Мы переведем каждую дробь в эквивалентную дробь со знаминателем 12.

2 3	+	1 4	=	8 12	+	3 12

			=	11 12	.

С.

Мы переоборудовали

2
3

по

8
12

, сказав: «3 переходит в

(содержится в) 12 четыре раз. Четыре раза 2 равно 8. «

(Таким образом, мы умножили 2 и 3 на одно и то же число, а именно на 4.См. Урок 22, вопрос 3.)

Мы переоборудовали

1
4

по

3
12

, сказав: «4 переходит в 12 три

раз. Трижды 1 равно 3. «(Мы умножили 1 и 4 на 3.)

Тот факт, что мы говорим , что мы делаем, еще раз показывает, что арифметика — это разговорный навык.

На практике нужно записывать общий знаменатель только один раз:

2
3

1
4

8 + 3
12

11
12

Пример 4.

4
5

2
15

Решение . НОК 5 и 15 равно 15. Следовательно,

4
5

2
15

12 + 2
15

14
15

Мы поменяли

4
5

по

12
15

, сказав: «5 переходит в 15 три

раз. Трижды 4 равно 12. «

Мы не меняли

2
15

, потому что мы не меняем

Знаменатель

15.

Пример 5.

2
3

1
6

7
12

Решение . НОК 3, 6 и 12 равно 12.

2
3

1
6

7
12

8 + 2 + 7
12

2
3

1
6

7
12

17
12

2
3

1
6

7
12

= 1

5
12

Мы переоборудовали

2
3

по

8
12

, сказав: «3 переходит в 12 четыре

раз. Четыре раза 2 равно 8. «

Мы переоборудовали

1
6

по

2
12

, сказав: «6 переходит в 12 два

раз.Дважды 1 равно 2. «

Не меняли

7
12

, потому что мы не меняем

Знаменатель

12.

Наконец, мы изменили неправильную дробь

17
12

по 1

5
12

по

делим 17 на 12.(Урок 20.)

«12 переходит в 17 один (1) раз с остатком 5.»

Пример 6.

5
6

7
9

Решение . НОК 6 и 9 равно 18.

5
6

7
9

15 + 14
18

29
18

= 1

11
18

Мы поменяли

5
6

по

15
18

, умножив оба члена на 3.

Мы поменяли

7
9

по

14
18

, умножив оба члена на 2.

Пример 7. Добавляем мысленно

1
2

1
4

Ответ .

1
2

— это сколько

1
4

-е?

Точно так же, как 1 — это половина от 2, так и 2 — это половина от 4.Следовательно,

Студент не должен писать задачи, в которых один из

дробь

1
2

, а знаменатель другого четный.

Например,

1
2

2
10

7
10

— потому что

1
2

5
10

Пример 8. На недавнем экзамене одна восьмая учеников получила оценку «А», две пятых — «В», а остальные — С. Какая доля получила оценку «С»?

Решение . Пусть 1 представляет все количество студентов. Тогда вопрос:

1
8

2
5

+? = 1

Сейчас,

1
8

2
5

5 + 16
40

21
40

Остальное, дробь, получившая C, является дополнением к

21
40

Дроби: сложение и вычитание дробей

Урок 3: Сложение и вычитание дробей

/ ru / fractions / Comparing-and-Reduction-Fractions / content /

Сложение и вычитание дробей

Из предыдущих уроков вы узнали, что дробь является частью целого. Дроби показывают , сколько у вас чего-то, например, 1/2 баллона бензина или 1/3 стакана воды.

В реальной жизни вам может потребоваться сложить или вычесть дроби.Например, приходилось ли вам когда-нибудь идти на работу пешком полмили, а затем возвращаться на полмили? Или слили 1/4 литра бензина из бензобака, в котором было 3/4 литра? Вы, вероятно, не задумывались об этом в то время, но это примеры того, как складывает и вычитает дробей.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как настроить задачи сложения и вычитания с дробями.

Попробуй!

Попробуйте решить эти задачи сложения и вычитания с дробями.Пока не пытайтесь их решить!

Вы пробегаете утром 4/10 мили. Позже вы пробегаете 3/10 мили.

У вас было 7/8 кусочка сливочного масла, и вы использовали 2/8 кусочка при приготовлении обеда.

Ваш бензобак полон на 2/5, и вы вставляете еще 2/5 бака.

Решение сложения с дробями

Теперь, когда мы знаем, как писать задачи сложения с дробями, давайте попрактикуемся в решении нескольких. Если вы можете складывать целые числа, вы готовы складывать дроби.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби.

Давайте продолжим наш предыдущий пример и сложим следующие фракции: 3/5 стакана масла и 1/5 стакана масла.
Помните, когда мы складываем дроби, мы не складываем знаменатели.
Это потому, что мы находим, сколько всего нам нужно частей . Числители показывают нужные нам части, поэтому сложим 3 и 1.
3 плюс 1 равно 4.Обязательно совместите 4 с числами, которые вы только что добавили.
Знаменатели останутся прежними, поэтому мы напишем 5 внизу нашей новой дроби.
3/5 плюс 1/5 равно 4/5. Итак, вам понадобится 4/5 стакана масла итого , чтобы приготовить торт.
Давайте попробуем другой пример: 7/10 плюс 2/10.
Как и раньше, мы добавим только числители. В этом примере числители 7 и 2.
7 плюс 2 равно 9, поэтому запишем это справа от числителей.
Как и в нашем предыдущем примере, знаменатель остается прежним.
Итак, 7/10 плюс 2/10 равно 9/10.

Попробуй!

Попробуйте решить некоторые из перечисленных ниже проблем с добавлением.

Решение задач на вычитание с дробями

Вычитание дробей во многом похоже на обычное вычитание. Если вы можете вычитать целые числа, вы можете вычитать и дроби!

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби.

Попробуй!

Попробуйте решить некоторые из приведенных ниже задач на вычитание.

После сложения или вычитания дробей иногда может получиться дробь, которая может быть уменьшена до более простой дроби. Как вы узнали из раздела «Сравнение и сокращение дробей», всегда лучше сокращать дробь до ее простейшей формы , когда это возможно. Например, 1/4 плюс 1/4 равно 2/4. Поскольку 2 и 4 можно разделить на 2, мы можем уменьшить 2/4 до 1/2.

Сложение дробей с разными знаменателями

На последней странице мы узнали, как складывать дроби с одинаковым знаменателем, например 1/4 и 3/4.Но что, если вам нужно сложить дроби с разными знаменателями ? Например, в нашем рецепте торта можно сказать, что нужно медленно смешать 1/4 стакана молока, а затем добавить еще 1/3 стакана.

В разделе «Сравнение и сокращение дробей» мы сравнили дроби с другим нижним числом или знаменателем. Нам пришлось поменять дроби, чтобы их знаменатели были такими же. Для этого мы нашли наименьший общий знаменатель или LCD .

Мы можем складывать или вычитать дроби, только если у них одинаковые знаменатели.Поэтому нам нужно найти наименьший общий знаменатель, прежде чем мы будем складывать или вычитать эти дроби. Как только у дробей будет одинаковый знаменатель, мы можем прибавлять или вычитать как обычно.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби с разными знаменателями.

Складываем 1/4 и 1/3.
Прежде чем мы сможем сложить эти дроби, нам нужно изменить их, чтобы они имели тот же знаменатель .
Для этого нам нужно найти LCD или наименьший общий знаменатель 4 и 3.
Похоже, что 12 — это наименьшее число , которое можно разделить как на 3, так и на 4, поэтому 12 — это наш LCD .
Поскольку 12 — это ЖК-дисплей, это будет новый знаменатель для наших дробей.
Теперь изменим числители дробей, как мы меняли знаменатели.
Сначала давайте посмотрим на дробь слева: 1/4.
Чтобы заменить 4 на 12, мы умножили его на 3.
Поскольку знаменатель был умножен на 3, мы также умножим числитель на 3.
1 умножить на 3 равно 3.
1/4 равно 3/12.
Теперь посмотрим на дробь справа: 1/3. Мы также изменили его знаменатель на 12.
Наш старый знаменатель был 3. Мы умножили его на 4, чтобы получить 12.
Мы также умножим числитель на 4. 1 умножить на 4 равно 4.
Итак, 1/3 равно 4/12.
Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их, как обычно.
3 плюс 4 равно 7. Как обычно, знаменатель остается прежним. Таким образом, 3/12 плюс 4/12 равно 7/12.

Попробуй!

Попробуйте решить указанные ниже проблемы с добавлением.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Мы только что видели, что дроби можно складывать, только если у них одинаковый знаменатель.То же самое верно и при вычитании дробей. Прежде чем мы сможем выполнять вычитание, нам придется изменить наши дроби, чтобы они имели одинаковый знаменатель.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби с разными знаменателями.

Давайте попробуем вычесть 1/3 из 3/5.
Сначала изменим знаменатели обеих дробей на одинаковые, найдя наименьший общий знаменатель .
Похоже, 15 — наименьшее число, которое можно равномерно разделить на 3 и 5, поэтому 15 — это наш ЖК-дисплей.
Теперь изменим нашу первую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим знаменатель и числитель на 3.
5 умножить на 3 равно 15. Итак, наша дробь теперь равна 9/15.
Теперь изменим вторую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим оба числа на 5, чтобы получить 5/15.
Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнять вычитание, как обычно.
9 минус 5 равно 4.Как всегда, знаменатель остается прежним. Итак, 9/15 минус 5/15 равно 4/15.

Попробуй!

Попробуйте решить приведенные ниже задачи на вычитание.

Сложение и вычитание смешанных чисел

На последних нескольких страницах вы попрактиковались в сложении и вычитании различных видов дробей. Но для некоторых проблем потребуется один дополнительный шаг. Например, можете ли вы сложить дроби, указанные ниже?

В разделе «Введение в дроби» вы узнали о смешанных числах .Смешанное число состоит из дробной части и целого числа . Например, 2 1/2 или два с половиной . Другой способ записать это — 5/2, или , пять половин . Эти два числа выглядят по-разному, но на самом деле они одинаковы.

5/2 — это неправильная дробь . Это просто означает, что верхнее число на больше на , чем нижнее число. Несмотря на то, что неправильные дроби выглядят странно, их можно складывать и вычитать так же, как и обычные дроби.Смешанные числа сложить непросто, поэтому сначала вам придется преобразовать их в неправильные дроби.

Давайте сложим эти два смешанных числа: 2 3/5 и 1 3/5.
Нам нужно будет преобразовать эти смешанные числа в неправильные дроби. Начнем с 2 3/5.
Как вы узнали в Уроке 2, мы умножим целое число 2 на нижнее число 5.
2 умножить на 5 равно 10.
Теперь добавим 10 к числителю. , 3.
10 + 3 равно 13.
Так же, как если вы прибавляете дробей , знаменатель остается прежним. Наша неправильная дробь — 13/5.
Теперь нам нужно преобразовать второе смешанное число: 1 3/5.
Сначала умножим целое число на знаменатель. 1 x 5 = 5.
Затем мы добавим 5 к числителям. 5 + 3 = 8.
Как и в прошлый раз, знаменатель остался прежним.Итак, мы изменили 1 3/5 на 8/5.
Теперь, когда мы изменили наши смешанные числа на неправильные дроби, мы можем сложить, как обычно.
13 плюс 8 равно 21. Знаменатель, как обычно, останется прежним. Итак, 13/5 + 8/5 = 21/5.
Поскольку мы начали со смешанного числа, давайте конвертируем эту неправильную дробь обратно в смешанное число.
Как вы узнали на предыдущем уроке, разделите верхнее число на нижнее число.21, разделенное на 5, равно 4, а остаток равен 1.
Ответ, 4, станет нашим целым числом.
И остаток , 1 станет числителем дроби.
Итак, 2 3/5 + 1 3/5 = 4 1/5.

/ ru / фракции / умножение-и-деление-фракции / содержание /

Примеры сложения дробей

Транскрипт о том, как складывать дроби
00:00:02.210
В этом видео показано еще несколько примеров сложения дробей.

00:00: 06.180
Складываем 2 и 1/3 вместе.

00:00: 10.160
Во-первых, давайте перед добавлением заменим 2 на дробь. Мы знаем, что 2 равно 2 делит 1.

00: 00: 20.030
Итак, когда мы преобразовываем его в дробную форму, оно становится 2/1. Следовательно, мы можем изменить это на 2/1.

00:00: 31.070
Обратите внимание, что мы не можем сложить эти 2 дроби, потому что у них разные знаменатели.

00:00: 37.080
Следовательно, единственный способ сложить эти дроби — заставить их иметь одинаковые знаменатели.

00:00: 43.160
Итак, как складывать дроби? Мы можем сделать это, используя эквивалентные дроби.

00:00: 48.100
Используя эквивалентные дроби, мы можем изменить знаменатель на 3, умножив числитель и знаменатель этой дроби на 3.

00: 00: 57.230
Это дает дробь 6/3.

00:01:02.150
Теперь, имея одинаковые знаменатели, мы можем просто сложить эти 2 дроби. Это дает 6 плюс 1/3.

00: 01: 12.030
Теперь 6 плюс 1 дает 7. Наконец, у нас есть дробь 7/3.

00: 01: 20.190
Обратите внимание, что 7/3 — неправильная дробь. Поэтому вместо того, чтобы оставлять такой ответ, рекомендуется изменить его на смешанную дробь с помощью длинного деления. Вот как.

00: 01: 33.070
7/3 то же самое, что 7 делится на 3. Теперь это деление дает частное 2.Это частное на самом деле является целым числом для смешанной дроби.

00: 01: 48.120
Затем мы умножаем 2 на 3. Это дает 6. 7 минус 6 дает остаток как 1.

00: 01: 59.020
Этот остаток, 1, становится числителем смешанных дробей.

00: 02: 04.160
Итак, здесь у нас есть ответ в виде смешанной дроби, 2 1/3.

00: 02: 11.150
Теперь есть кое-что интересное, на что мы должны обратить внимание.

00: 02: 17.040
В следующий раз, если у нас возникнет подобный вопрос, как этот, мы сможем быстро получить ответ, просто объединив целое число с дробью.

00: 02: 29.170
В следующем примере добавим 1 2/3 с 1/3. Как складывать дроби? Обратите внимание, что эта фракция является смешанной.

00: 02: 40.080
Поэтому рекомендуется сначала преобразовать эту дробь в неправильную дробь, прежде чем добавлять эти дроби. Это сделано для минимизации ошибок.

00: 02: 50.020
Для этого мы просто умножаем 3 на 1. Это дает 3.

00: 02: 57.090
Теперь мы прибавляем 3 к 2. Это дает 5, которая становится числителем неправильной дроби.Теперь у нас есть неправильная дробь 5/3.

00: 03: 12.090
Теперь, когда у этих дробей одинаковые знаменатели, мы можем начать складывать их вместе.

00: 03: 18.150
Это дает 5 плюс 1/3. Складывая 5 с 1, получаем 6. Теперь у нас есть дробь как 6/3.

00: 03: 31.130
Обратите внимание, что мы можем упростить эту дробь, разделив 6 на 3. Это дает ответ 2.

00: 03: 41.240
Следующий пример того, как складывать дроби, 1 1/2 с 1/3.

00: 03: 48.030
Обратите внимание, что эта фракция является смешанной. Опять же, желательно преобразовать его в неправильную дробь.

00: 03: 56.060
Для этого мы просто умножаем 2 на 1. Это дает 2.

00: 04: 02.210
Теперь мы прибавляем 2 к 1. Это дает 3, которое становится числителем неправильной дроби. Теперь у нас есть неправильная дробь 3/2.

00: 04: 17.100
Обратите внимание, что мы не можем сложить эти 2 дроби, потому что у них разные знаменатели.Следовательно, как складывать дроби?

00: 04: 23.140
Следовательно, единственный способ сложить эти дроби — заставить их иметь одинаковые знаменатели. Мы можем сделать это, используя эквивалентные дроби.

00: 04: 34.180
Вот как складываются дроби. Мы можем сделать знаменатели одинаковыми, умножив 3/2 на знаменатель другой дроби 3 и умножив 1/3 на знаменатель другой дроби 2.

00: 04: 49.100
Так и сделаем. Умножение 3/2 на 3 и умножение 1/3 на 2.Это дает эквивалентные дроби, 9/6 и 2/6 соответственно.

00: 05: 04.220
Знаменатели остались прежними.

00: 05: 08.100
Следовательно, теперь мы можем сложить эти две дроби вместе. Это дает 9 плюс 2/6.

00: 05: 17.160
Складывая 9 с 2, получаем 11. Таким образом, мы получаем дробь 11/6.

00: 05: 26.090
Обратите внимание, что 11/6 — неправильная дробь. Теперь, вместо того, чтобы оставлять такой ответ, рекомендуется изменить его на смешанную дробь, используя длинное деление.

00: 05: 38.220
Вот как. 11/6 то же самое, что 11 делит 6. Теперь это деление дает частное как 1.

00: 05: 49.220
Это частное на самом деле является целым числом для смешанной дроби.

00: 05: 54.170
Затем мы умножаем 1 на 6. Это дает 6. 11 минус 6 дает остаток как 5.

00: 06: 05.120
Этот остаток, 5, на самом деле является числителем смешанной дроби.

00: 06: 11.170
Итак, окончательный ответ — 1 5/6.

00: 06: 18.240
Это все для этого урока. Попробуйте ответить на практический вопрос, чтобы проверить свое понимание.

Конец стенограммы о том, как складывать дроби

дробей и как их складывать, вычитать, умножать и делить

1.2 — Дроби и как их складывать, вычитать, умножать и делить
1.2 — Дроби и их сложение, вычитание, умножение и деление
Обозначение дробей
Дроби (или обыкновенные дроби ) используются для описания части целого объекта.Для дробей существует несколько обозначений:
a называется числителем , а b называется знаменателем . Обозначение означает, что мы разбиваем объект на b равных частей и у нас есть и таких штук. Часть или часть объекта, который у нас есть — это a / b . Например, если мы разбиваем пирог на 4 одинаковых кусочка и берем 1 кусок, получаем 1/4 части пирога:

Эквивалентные дроби
Обратите внимание, что мы получаем такое же количество пирога как в предыдущем примере, если мы разделим пирог на 8 равных частей и получим 2 из них:
Такие дроби, как 1/4 и 2/8, которые имеют одинаковое значение, называются эквивалентных дробей .В этом примере предлагается следующий метод для проверка эквивалентности двух дробей.

Две дроби эквивалентны , если умножить числитель и знаменатель одной дроби на одно и то же целое число дает другая фракция.

Например, 4/5 и 24/30 эквивалентны, потому что мы можем начать с 4/5. и умножим числитель и знаменатель на 6, чтобы получить 24/30:
Если двигаться в обратном направлении (с 24/30 до 4/5), предлагается следующий метод. для уменьшения дроби до наименьших членов или до его простейшей эквивалентной дроби :

Чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения или до его простейшего эквивалента дроби , полностью разложите на множители числитель и знаменатель (т.е. в простые числа). Затем отмените все множители, которые встречаются в числителе. и знаменатель. Остается простейшая эквивалентная дробь .
Например, вот как уменьшить дробь 24/42 — это самое простое эквивалентная дробь, а именно 4/7:

Неверные дроби, смешанные дроби и длинное деление
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью и дробь, числитель которой больше знаменателя, называется неправильной дробью .Пример неправильной дроби — 7/4. На примере пирога это означает, что вы сломали много пирожков на 4 равных части, и у вас есть 7 таких частей:
Неправильные дроби иногда выражаются в обозначении смешанных дробей , что является суммой целое число и правильная дробь, но без знака +. Например, 7/4 в обозначении смешанных дробей. выглядит так:
Обозначение смешанных дробей не используется в этой книге Algebra Help e или в программе Algebra Coach, потому что его слишком легко спутать с произведением целого числа на дробь.Вместо того, чтобы писать мы сохраним знак + и напишем.

Длинное деление — это метод, используемый для преобразования неправильной дроби в смешанную дробь. Проиллюстрируем метод на дроби. Выполните следующие действия:
Настроить формат длинного деления, а именно.
Так как 5 из 9 идет 1 раз, напишите «1» над 9, напишите 1 × 5 или «5» ниже 9 и вычтите 5 из 9, чтобы получить разницу в 4, например:
Затем сбейте 2 вот так:
Вот что мы на самом деле сделали: «1» и «5» находятся в десятки ставят так что они на самом деле представляют числа 10 и 50, как показано здесь:
Таким образом, мы фактически показали, что .
Теперь повторите весь процесс с остатком, 42. Поскольку 5 в 42 идет 8 раз, напишите «8» над 2, напишите 8 × 5 или «40» ниже 42 и вычтите 40 из 42, чтобы получить остаток от 2, например:
Это показывает, что это. Поскольку остаток 2 меньше делителя 5, это наш последний результат смешанной фракции.

Некоторые специальные фракции
Важно распознать несколько специальных дробей:

Сложение или вычитание дробей
На этом рисунке показано, что 2/8 пирога плюс 3/8 пирога равняются 5/8 пирога:
Дроби с одинаковым знаменателем называются , как и дроби .Если вы думаете об этом примере, то следующая процедура добавления или вычитание подобных дробей очевидно:

Чтобы сложить два или вычесть одинаковые дроби (дроби с общим знаменателем) , просто сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем, как это:
А что, если дроби не имеют общего знаменателя? Ответ в том, что они должны быть преобразованы к эквивалентным дробям, которые от до имеют общий знаменатель.Процедура проиллюстрирована в этом примере:
Шаги следующие:
Найдите наименьшее общее кратное двух знаменатели 24 и 30. Применительно к дробям это число называется наименьшим общим числом знаменатель (LCD). В этом примере ЖК-дисплей 120.
Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую ЖК-дисплей 120 в качестве знаменателя. Для этого в этом примере умножьте числитель и знаменатель первой дроби на 5, а числитель и знаменатель второй дроби на 4 (показано красным).
Сложите числители и поставьте над общим знаменателем.
Иногда остается еще один шаг. Результат всегда должен быть выражен как простейшая эквивалентная дробь, например:

Вот еще несколько примеров:

Умножение дробей

Умножение дробей дает новую дробь.Умножьте числители, чтобы получить новый числитель и умножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель, как это:
Затем упростите, уменьшив новую дробь до наименьшего числа.
Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте числитель дроби на целое число, чтобы получить новый числитель, например:
Затем упростите, уменьшив новую дробь до наименьшего числа.
Вот пример того, почему работает первая процедура. Предположим, что есть половина пирога ( фракция 1/2), как показано слева. Теперь предположим, что вы взяли 2/3 из этой половины пирога. (Слово «из» переводится как математическая операция «умножить».) Это означает, что вы разрезаете половину пирога на 3 равных части и берете 2 из них. В результате получается 2/6 пирога.

Вот пример того, почему работает вторая процедура.Предположим, вы съели 1/4 пирога. и что ваш друг съел в 3 раза больше пирога, чем вы. Это означает, что твой друг съела 3/4 пирога.

Вот еще несколько примеров умножения:

Обратные и делительные дроби
Взаимное значение играет важную роль при делении на фракции. Говорят, что два числа или дроби равны и , обратным друг другу. если их продукт 1.Например:
4/5 и 5/4 являются обратными, потому что
8 и 1/8 являются обратными, потому что

Деление дробей: Процедура заключается в замене деления дробью на умножение на величину, обратную этой дроби , например:

Обратите внимание, что вы берете обратная дробь внизу!

Вот почему эта процедура работает:
Ключ в том, что вместо того, чтобы видеть дробь, разделенную на дробь, ищите единственную дробь, числитель и знаменатель которой оказались дробями.На первом этапе мы умножили эту дробь на НЛО. числитель и знаменатель которой просто дроби. НЛО был выбраны так, чтобы дроби в знаменателе сокращались и давали 1. После другого упрощение, оставившее только окончательное умножение дробей.
Пример 1: Дробь, разделенная на дробь :

Пример 2: Дробь, разделенная на число. Обратите внимание, что мы нарисовали одну разделительную линию длиннее другого, поэтому вы можете сказать, какая дробь и какое это число. Первый шаг — это преобразовать целое число 4 в дробь 4/1. После нескольких шагов вы получите выражение, показанное синим цветом. Если сравнить это выражение с исходным вы заметите хороший ярлык. Число 4, на которое вы делите дробь, просто становится новый множитель в знаменателе дроби.

Пример 3: Число, разделенное на дробь. Проверьте шаги. Этот сильно отличается от предыдущего!

Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.

Смешанные числа

Умножение смешанного числа на дробь

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Тема сложение дробей.

Урок 72. сложение смешанных дробей — Математика — 5 класс

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК

1Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

2Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

3Наименьшее общее кратное (НОК)

4Приведение дробей к одному знаменателю

5Как сложить целое число и дробь

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Информация

Тренажер 2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Информация

Как складывать дроби с разными знаменателями

3. Сложение и вычитание смешанных чисел (одинаковые знаменатели)

Сложение и вычитание смешанных дробей

Добавление смешанных фракций

Пример: что такое 2

Пример: Что такое 3

Вычитание смешанных дробей

Пример: что такое 15

Как сложить целое число к дроби

Использование торта в качестве примера

Сложение целых чисел и дробей

Пироги как неправильные дроби

Целые числа можно записывать в виде дробей

Сложение Целые числа в неправильные дроби

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Шутка или цитата

Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел — Полный курс арифметики

Дроби: сложение и вычитание дробей

Урок 3: Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей

Попробуй!

Решение сложения с дробями

Попробуй!

Решение задач на вычитание с дробями

Попробуй!

Сложение дробей с разными знаменателями

Попробуй!

Вычитание дробей с разными знаменателями

Попробуй!

Сложение и вычитание смешанных чисел

Примеры сложения дробей

дробей и как их складывать, вычитать, умножать и делить

1.2 — Дроби и их сложение, вычитание, умножение и деление

Обозначение дробей

Эквивалентные дроби

Неверные дроби, смешанные дроби и длинное деление

Некоторые специальные фракции

Сложение или вычитание дробей

Умножение дробей

Обратные и делительные дроби

Leave a Reply Отменить ответ