Как составить пропорции – Составить пропорцию

Опубликовано

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях "Задачи на проценты. Часть 1!" и "Задачи на проценты. Часть 2!".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

    > теорема синусов

    > отношение элементов в треугольнике

    > теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

  —  часы в минуты (и наоборот).

  —  единицы объёма, площади.

  —  длины, например мили в километры (и наоборот).

  —  градусы в радианы  (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700    –    100%

х       –     35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1    –    60

х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1    –    1,6

х    –    3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Пропорции | Формулы с примерами

Что такое пропорция?

Определение
Пропорция - это верное равенство двух отношений.

Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.

a и d - называют крайними членами пропорции;
b и c - называют средними членами пропорции.

Пример
3  =  18   или 3 : 5 = 18 : 30;
5 30
7  =  21   или 7 : 3 = 21 : 9;
3 9
12  =  48   или 12 : 15 = 48 : 60.
15 60

Основное свойство пропорции

Свойство

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример
12  =  24 , значит 12 • 8 = 4 • 24;
4 8
11  =  33 , значит 11 • 21 = 7 • 33;
7 21
23  =  69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14
42

Обратное свойство

Свойство Пример
11 • 4 = 2 • 22 значит,  11  =  22 ;
2 4
21 • 6 = 42 • 3 значит,  21  =  42 ;
3 6
33 • 21 = 7 • 99 значит,  33  =  99 .
7 21

Производные пропорции

Правило
Пример
4  =  8  или  7  =  14  или  8  =  17
 или 
4  =  7 ;
7 14 4 8 4 7 8 14
5  =  10  или  6  =  12  или  10  =  12  или  5  =  6 ;
6 12 5 10 5 6 10 12
9  =  18  или  3  =  6  или  6  = 
18
 или  9  =  3 .
3 6 9 18 3 9 18 6

Правило
! По трем известным членам пропорции всегда можно найти
ее неизвестный член.

Пример
15  =  x , значит x = 15 • 14  = 15 • 2 = 30;
7 14 7
21  =  x , значит x = 21 • 9  = 21 • 3 = 63;
3 9 3
33  =  99 , значит x = 4 • 99  = 4 • 3 = 12.
4 x 33

Отношения

Определение
Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.

Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1

Примеры отношений

Пример 1
Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,
чем 4.

Пример 2
Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет треть
от числа 12.

Пример 3
Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть
всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с
жидкостью больше массы жидкости?

Решение:

Масса стакана составляет 40 : 440 =  1 11 часть полной массы.
Масса жидкости равна 440 - 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.

formula-xyz.ru

Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор пропорций

Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

средние
члены
1:10=7:70
крайние члены
0,1=0,1
1 10 = 7 70

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c

1
10 ✕ 7
70

1  70 = 10  7

Обращение пропорции: если a:b=c:d

, то b:a=d:c

1
10 7
70

10
1 = 70
7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d

1
10 7
70

1
7 = 10
70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a

1
10 7
70

70
10 = 7
1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 : 10 = x : 70



1
10 = x
70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x = 1  70
10 = 7

Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию:
1 таблетка — 10 кг
x таблеток — 70 кг

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение:
1 таблетка
x таблеток ✕ 10 кг
70 кг

x = 1  70 : 10 = 7

Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию:
2 статьи — 5 часов 
x статей — 20 часов

x = 2  20 : 5 = 8

Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

shpargalkablog.ru

Пропорция как решать примеры. Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:


Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> теорема синусов

> отношение элементов в треугольнике

> теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700 – 100%

х – 35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1 – 60

х – 50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1 – 1,6

х – 3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радиан

www.freebob.ru

А с и е пропорции. Как составить пропорцию? Поймет любой школьник и взрослый

  • Главная
  • Выберите раздел
    • Гипотония
    • Дистония
    • Варикоз
    • Ишемия
    • Операции
    • Кровь
    • Аритмия
    • Сосуды
    • Инфаркт
    • Диагностика
    • Тахикардия
    • Атеросклероз
    • Стенокардия
    • Гипертония
    • Сердце
    • Препараты
    • Вены
Главная Тахикардия А с и е пропорции. Как составить пропорцию? Поймет любой школь

medatlanta.ru

Как составлять пропорции. Как вычислить пропорцию

Задача 1 . Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3: 300 или х: 500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений ):

х=(3,3· 500): 300;

х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см .

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5: 100 или х: 98. Получаем пропорцию:

5: 100 = х: 98.

х=(5· 98): 100;

х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды .

Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8: 21 или х: 35. Получаем пропорцию:

16,8: 21=х: 35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35 ) и делим на известный средний член (21 ). Сократим дробь на 7 .

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10 , чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение.

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х: 100 или 9: 18. Составляем пропорцию:

х: 100 = 9: 18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9 ) и делим на известный крайний член (18 ). Сокращаем дробь.

Ответ : площадь всего поля 50 га.

Страница 1 из 1 1

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну

gvozdec.ru

Пропорция (математика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Пропорция.

Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел a,b{\displaystyle a,b} и c,d{\displaystyle c,d}, т. е. равенство вида a:b=c:d{\displaystyle a:b=c:d}, или, в других обозначениях, равенство  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} (часто читается как: «a{\displaystyle a} относится к b{\displaystyle b} так же, как c{\displaystyle c} относится к d{\displaystyle d}»). В этом случае a{\displaystyle a} и d{\displaystyle d} называют крайними, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c} — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

 ac=bd{\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}    (перестановка средних членов пропорции),
 db=ca{\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}    (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}, то
 a+bb=c+dd{\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}}    (увеличение пропорции),
 a−bb=c−dd{\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}}    (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если  ab=cd{\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}, то
 a+cb+d=ab=cd{\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}    (составление пропорции сложением),
 a−cb−d=ab=cd{\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}    (составление пропорции вычитанием).

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций a:b=c:d{\displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

для любой пары натуральных чисел m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n}. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.

Арифметическая пропорция[править | править код]

Равенство двух разностей a−b=c−d{\displaystyle a-b=c-d} иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция[править | править код]

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: a:b=b:(a−b){\displaystyle a:b=b:(a-b)}. В этом случае, разложение a{\displaystyle a} на сумму двух слагаемых b{\displaystyle b} и a−b{\displaystyle a-b} называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].

  • Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

ru.wikipedia.org

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о