Калькулятор арккосинуса: Онлайн калькулятор: Обратные тригонометрические функции

2

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы

Даны свойства арксинуса и арккосинуса, их графики, формулы, таблица арксинусов и арккосинусов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложение в степенной ряд.

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус ( y = arcsin x )

 – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  –π/2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x     ;
arcsin(sin x) = x     .

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус ( y = arccos x )

 – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x     ;
arccos(cos x) = x     .

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

	y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	– 1 ≤ x ≤ 1	– 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x		arccos x
	град.	рад.	град.	рад.
– 1	– 90°	–	180°	π
–	– 60°	–	150°
–	– 45°	–	135°
–	– 30°	–	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

     при или

     при и

     при и

     при или

     при и

     при и

     при

     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t. Интегрируем по частям, учитывая что  –π/2 ≤ t ≤ π/2,  cos t ≥ 0:
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x    
cos(arccos x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x     при
arccos(cos x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Калькулятор арккосинуса

Создано Davide Borchia

Отзыв от Luis Hoyos

Последнее обновление: 14 апреля 2023 г.

Содержание:

• Что такое арккосинус?
• Как вычислить функцию арккосинуса?
• Больше, чем калькулятор арккосинуса
• Часто задаваемые вопросы

Калькулятор арккосинуса быстро развеет ваши сомнения относительно этой полезной функции. Продолжайте читать эту короткую статью, чтобы узнать:

• Что такое арккосинус ;
• Область и диапазон арккосинуса;
• Как вычислить арккосинус ;

И многое другое!

Что такое арккосинус?

Арккосинус является обратной функцией косинуса . Давайте проанализируем эти два понятия по отдельности:

• обратная функция — это функция, которая 9{-1}(y)x=f−1(y). Как видите, обратная функция принимает в качестве аргумента вывод исходной функции и возвращает исходный ввод. Инвертирование функции соответствует, в графическом выражении, , отражает функцию относительно диагонали первого квадранта.
• Косинус является базовой тригонометрической функцией , которая соответствует горизонтальной проекции радиуса окружности под определенным углом α\alphaα.

Давайте посмотрим на функцию косинуса .

Косинус является периодической функцией, что означает, что значения, которые он принимает между 0°0\градусом 0° и 360°360\градусом 360°, циклически повторяются. Периодичность функции означает, что областью определения косинуса является вся ось x. Значения функции целиком находятся в диапазоне [−1,1][-1,1][−1,1].

Эти две части информации позволяют нам определить область определения и диапазон для функции арккосинуса:

• Домен представляет собой [−1,1][-1,1][−1,1]; и
• Диапазон равен [0°,360°][0\градус,360\градус][0°,360°].

На картинке ниже вы можете увидеть график арккосинуса:

Арккосинус принимает в качестве аргумента безразмерное число и в результате дает угол: эти величины и есть то, что вы собираетесь найти на горизонтальной и вертикальной оси при определении функции арккосинуса.

Как вычислить функцию арккосинуса?

Вычисление функции арккосинуса — непростая задача: помимо небольшого набора аккуратных значений, использование калькулятора для нахождения его значения из любого действительного числа в области часто является единственным способом проработать эту функцию: вот где Калькулятор арккосинуса Omni пригодится!

В любом случае, вот наиболее важные значения арккосинуса:

• arccos⁡(0)=90°\arccos(0) = 90\gradearccos(0)=90°;
• arccos⁡(1/2)=60°\arccos(1/2) = 60\градусarccos(1/2)=60°;
• arccos⁡(1/2)=45°\arccos(1/\sqrt{2}) = 45\степеньarccos(1/2​)=45°;
• arccos⁡(3/2)=30°\arccos(\sqrt{3}/2) = 30\степеньarccos(3​/2)=30°; и
• arccos⁡(1)=0°\arccos(1) = 0\степеньarccos(1)=0°;

Больше, чем калькулятор арккосинуса

Может быть, вы захотите познакомить своих учеников с функцией арккосинуса под другим названием: мы сделали для вас эти калькуляторы:

• Калькулятор арккос;
• Калькулятор обратного косинуса; и
• Калькулятор cos-1.

Часто задаваемые вопросы

Какова область определения арккосинуса?

Область определения арккосинуса [-1,1] . Этот интервал соответствует диапазону, принимаемому функцией косинуса, который имеет минимум в точке 180° и максимум в точке 0° .

Чему равен арккосинус 1/√2?

Арккосинус числа 1/√2 равен 45° . Чтобы найти этот результат, следуйте следующим рассуждениям:

1. У какого угла косинус равен 1/√2 ? Ответ: 45° .
2. Назовите угол x , и результат y: y = cos(x) . Помните, что по определению арккосинус — это функция x = arccos (y) .
3. Затем подставляем найденные ранее значения:
   cos(45°) = 1/√2
   И:
   arccos(1/√2) = 45° .

Как вычислить арккосинус 0?

Чтобы найти арккосинус числа 0 , используйте графический подход:

1. Помните, что арккосинус есть не что иное, как функция отраженного косинуса.
2. Проследите график функции косинуса между 0° и 180° и найдите точку пересечения функции с осью x: вы найдете cos(90°) = 0 .
3. Вы нашли результат арккосинуса 90° : просто напишите arccos(0) = 90° !

Davide Borchia

y = arccos(x) , −1 ≤ x ≤ 1

Ознакомьтесь с 21 похожим калькулятором тригонометрии 📐

ArccosArcsinArctan… Еще 18

Math: Calc арккосинус в радианах

Это действие используется для вычисления арккосинуса тригонометрического отношения. Арккосинус является обратной величиной косинуса. Например, если cos(.5) = 0,87758256 рад , то arccos(0,54630249) = 0,5 рад

Чтобы узнать больше, начните со статьи Википедии «Обратные тригонометрические функции».

В тригонометрии arccos(x) иногда обозначается как cos-1(x) , поскольку оно является обратной величиной косинуса.

примечание

• Примечание: Это действие выводит в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, используйте действие Радианы в градусы
.

Вариант использования

Используйте арккосинус для вычисления измерения угла, когда известен косинус отношения прилежащего катета к гипотенузе.

Как настроить это действие

При настройке этого действия укажите целое или десятичное поле в конфигурации поля Value . Как сослаться на поле?

Для более сложной математики используйте Javascript с действием Поле: Формулы поля.

Поля для этого действия

• Значение

  • Целое или десятичное число для выполнения операции.

• Префикс поля вывода

  • Чтобы упростить организацию полей вывода, выберите префикс поля вывода для добавления в начало имени каждого поля вывода, поскольку это действие может вывести более одного поля.

Что это выведет?

Это действие выводит в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, используйте действие Радианы в градусы

Это действие может создать несколько полей. Чтобы упростить организацию полей вывода, указанный выше префикс будет добавлен в начало каждого имени поля вывода, разделенного двумя дефисами. Каждое поле будет выглядеть следующим образом: {{префикс-выходного-поля--выходного-поля}} .

Поля вывода для этого действия

• Результат

  • Результат операции. Это действие выводит в радианах. Выход представляет собой поле десятичного типа.
  • Например, Например, arccos (0,87758256 рад) = 0,5` радиан.

Получите помощь по проблеме или вопросу

Если что-то работает не так, как ожидалось, или вы ищете предложения, проверьте варианты ниже.