Калькулятор биномиальных коэффициентов: Математическое Бюро. Страница 404

(a + b)² = a² + 2ab + b² ,

(a - b)² = а² - 2аб + б² .

Многочлен, который мы получаем в правой части, называется биномиальным разложением того, что у нас было в скобках. Хотите верьте, хотите нет, но мы можем найти их формулы для любой положительной целой степени 9.0022 . В общем, биномиальная теорема говорит нам, как выглядит это разложение: ₂ A ^N-2 B ² + . .. + C _N B ^N ,

, где,

• Cₖ -это количество всех возможных комбинаций K . элементы из n — набор элементов .

Кроме того, для данного

Проблема в том, что есть только один парень, с которым ты хотел бы работать над проектом . Если в группе двадцать человек, и учитель делит вас на групп по четыре человека , насколько вероятно, что вы будете со своим другом?

Каждая возможная группа пример комбинации . В данном случае это комбинация из четырех элементов из набора из двадцати элементов или, если хотите, из четырех учеников из группы из двадцати человек . Если вы хотите получить немного технических знаний, выбор комбинации означает выбор подмножества большего набора. Здесь наиболее важно то, что порядок элементов, которые мы выбираем, не имеет значения . Ведь все члены проектной команды равны (кроме тех, кто не выполняет никакой работы).

Количество комбинаций k элементов из набора n элементов обозначается как

(как дробь n , деленная на k , но без разделительной черты), которую мы читаем как « n выберите k «. Это также символ, который появляется , когда мы нажимаем nCr на калькуляторе (не наш калькулятор биномиальных коэффициентов, а обычный, реальный). Например,

— это «4 выбрать 2», а

— это «6 выбрать 2». В некоторых учебниках биномиальный коэффициент также обозначается как C(n,k) , что делает его функцией n и k . » И как мне это вычислить? » Ну, достаточно легко. n выберите k формула

n! / (к! * (п - к)!) .

Восклицательный знак называется факториалом. Выражение н! это произведение первых n натуральные числа , то есть

n! = 1 * 2 * 3 * ... * п .

Это означает, что, например, 4 выберите 2 сверху — это

4! / (2! * (4 - 2)!) = (1 * 2 * 3 * 4) / (1 * 2 * 1 * 2) = 6 ,

и 6 выберите 2

6! / (2! * (6 - 2)!) = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6) / (1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4) = 15 .

Итак, мы можем выбрать два элемента из набора из четырех шестью различными способами, а из набора из шести — пятнадцатью способами.

Прежде чем двигаться дальше, давайте еще раз взглянем на n выберите k формулу . Мы можем получить из него довольно интересное симметричное свойство .

Если взять n и выбрать n - k , то получим

n! / ((n - k)! * (n - (n - k))!) = n! / ((n - k)! * k!)

что то же самое, что и n выбрать k (поскольку умножение коммутативно). Другими словами, у нас есть

или C(n,k) = C(n,n-k) в других обозначениях.

Перестановка и комбинация

В предыдущем разделе мы видели что такое факториал . В комбинаторике он обозначает количество перестановок. Перестановка длины n означает размещение n элементов в некотором порядке. Например, если у нас есть три милых выражения котенка, скажем 😹, 😻 и 🙀, то мы можем упорядочить их шестью различными способами:

(😹, 😻, 🙀)

(😹, 🙀, 😻)

(😻, 😹, 🙀)

(😻, 🙀, 😹)

(🙀, 😹, 😻)

(🙀, 😻, 😹).

Заметьте, что это согласуется с тем, что говорит нам факториал :

3! = 3 * 2 * 1 = 6 .

Обратите внимание, что мы также можем понять эту формулу так : мы выбираем первый элемент из трех (3 варианта), второй из двух оставшихся (потому что мы уже выбрали один — 2 варианта), и третий из оставшихся (потому что мы уже выбрали два — 1 вариант). Умножаем количество вариантов: 3 * 2 * 1 = 6 и получаем факториал.

Когда мы сравниваем перестановку и комбинацию, ключевым словом является порядок . Как мы уже говорили в предыдущем разделе, смысл комбинации заключается в выборе нескольких элементов из большей коллекции . По сути, мы говорим, какие из них мы выбираем, но не говорим, какие из них первые, вторые и т. д. Они образуют набор в целом.

Перестановка, однако, помещает элементы в фиксированный порядок один за другим, делая его последовательностью, а не набором. Более того, перестановка использует все элементы из набора, который у нас был, а комбинация выбирает только некоторые из них.

В качестве примера еще раз поставьте себя на место студента колледжа. Когда учитель выбрал для вас группу , он выбрал комбинацию . А когда приходит время представить свой проект, и они задают по одному вопросу каждому из вас, они выбирают перестановку (определяя порядок, в котором они задают вам вопросы). И все мы знаем, насколько важен заказ для вашей итоговой оценки.

Пример: использование калькулятора биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты являются одними из самых важных числовых последовательностей в дискретной математике и комбинаторике. Они очень часто появляются в статистике и расчетах вероятностей и, возможно, наиболее важны в биномиальном распределении (положительная и отрицательная версии). Означает ли это, что только чокнутые математики могут использовать его по-настоящему?

Вовсе нет! Каждая азартная игра основана на случайности, и биномиальные коэффициенты являются жизненно важными для игрока . Простое подбрасывание монеты — самый простой пример. Однако давайте сделаем еще один шаг и посмотрим на покер.

Задумывались ли вы когда-нибудь почему одни руки в покере более ценны, чем другие ? Это просто потому, что они реже, чем (если только кто-то не жульничает, но мы видели достаточно гангстерских сериалов, чтобы знать, что это обычно плохая идея).

В обычной колоде 52 карты , а в техасском холдеме игрок получает пять карт . Наш калькулятор биномиальных коэффициентов и n формула выбора k (в нашем случае с n = 52 и k = 5 ) говорит нам, что это означает 2 598 960 возможных рук в игре в покер. Довольно много , вам не кажется? А теперь рассмотрим наилучшую возможную комбинацию — флеш-рояль в трефовых (туз, король, дама, валет и 10). Эта рука может случиться только в одном случае — когда мы получим именно эти карты. Это означает, что это 1 в 2 598 960 шанс получить его. Мы бы не рекомендовали вкладывать все свои сбережения в эти коэффициенты.

Возьмем другой пример — фулл-хаус (тройка и пара). На этот раз значительно больше возможностей . Ведь любая из 13 карт в масти может быть тройкой, а пара в одной из других 12 карт (она не может быть того же достоинства, что и тройка). Более того, тройка есть только в трех из четырех карточных символов, и точно так же пара есть только в двух.

И это , где мы вспоминаем значение комбинации ! Нам нужно выбрать три из четырех символов для тройки, и комбинацию два из четырех для пары. Формула n выбирает k преобразует это в 4 выбирает 3 и 4 выбирает 2 , а калькулятор биномиальных коэффициентов считает их равными 2 4 и 6902 соответственно. В общем, если нам сейчас умножив числа, которые мы получили , мы обнаружим, что существует

13 * 12 * 4 * 6 = 3,744

возможных комбинаций, которые дают фулл-хаус. Что ж, не так уж и много по сравнению со всеми возможностями , но, по крайней мере, это 3,744 раза более вероятно, чем роял флеш на трефах.

Тем не менее, мы рекомендуем регулярно откладывать деньги как лучший метод инвестирования, чем азартные игры.

Часто задаваемые вопросы

Что такое формула выбора b?

Формула a select b аналогична формуле биномиального коэффициента — это факториал a , деленный на произведение факториала b и факториала a минус b . Она также известна как формула n-выберите k, и ее также можно решить с помощью треугольника Паскаля.

Как найти 4, выбрать 2?

Чтобы найти 4, выберите 2:

1. Найдите факториал 4 минус 2, что равно 2.
2. Умножьте это число на факториал 2, что также равно 2, и получите 4.
3. Разделить факториал 4, 24, на число из предыдущего шага, 4.
4. Результат 4 выбора 2 равен 6 .

Как найти 6 выбрать 2?

Чтобы найти 6, выберите 2:

1. Вычислите факториал 6 минус 2, что равно 24.
2. Умножьте 24 на 2 факториала, что даст 48.
3. Вычислите факториал 6, который равен 720.
4. Разделите 720 на 48, чтобы получить 15
   .

Как связаны биномиальный коэффициент и треугольник Паскаля?

Биномиальный коэффициент и треугольник Паскаля тесно связаны , так как вы можете найти любое решение с биномиальным коэффициентом в треугольнике Паскаля и можете построить треугольник Паскаля из формулы биномиального коэффициента. Для n выберите k, посетите n плюс 1-ю строку треугольника и найдите число в k-й позиции для вашего решения.

Мацей Ковальский, PhD кандидат

Результат

Посмотреть 36 похожих калькуляторов алгебры 🔡

Уравнение с абсолютной величинойНеравенства с абсолютной величинойСложение и вычитание многочленов… еще 33

Биномиальная теорема

9.4 Биномиальная теорема

Цели обучения

1. Вычислять выражения, содержащие факториалы.
2. Вычислить биномиальные коэффициенты.
3. Расширьте степени биномов, используя теорему о биномах.

Факториалы и биномиальный коэффициент

Начнем с определения факториала Произведение всех натуральных чисел, меньших или равных данному натуральному числу, обозначаемому н !. натурального числа n , обозначаемого n !, как произведение всех натуральных чисел, меньших или равных n .

n!=n(n−1)(n−2)⋯3⋅2⋅1

Например,

7!=7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5,040  Seven factorial5! =5⋅4⋅3⋅2⋅1=120  Пять факториал3!=3⋅2⋅1=6  Три факториал1!=1=1  Один факториал

Мы определяем нулевой факториалФакториал нуля определяется как равный 1; 0!=1. быть равным 1,

0!=1         Ноль факториал

Факториал отрицательного числа не определен.

Примечание : В большинстве современных калькуляторов вы найдете функцию факториала. Некоторые калькуляторы не имеют специальной кнопки. Однако обычно его можно найти в системе меню, если оно предусмотрено.

Факториал также можно выразить с помощью следующего рекуррентного соотношения:

n!=n(n−1)!

Например, факториал числа 8 можно представить как произведение 8 и 7!:

8!=8⋅7!=8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=40 320

При работе с соотношениями, включающими факториалы, часто бывает так, что многие из факторов сокращаются.

Пример 1

Оценка: 12!6!.

Решение:

12!6!=12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅16⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=12⋅11⋅10 ⋅9⋅8⋅7⋅6!6!=12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7=665,280

Ответ: 665,280

Биномиальный коэффициентЦелое число, вычисляемое по формуле: (nk)=n!k !(n−k)!., обозначаемый nCk=(nk), читается как « n выберите k ” и задается следующей формулой:

nCk=(nk)=n!k!(n−k)!

Эта формула очень важна в области математики, называемой комбинаторикой. Он дает количество способов, которыми k элементов могут быть выбраны из набора n элементов, где порядок не имеет значения. В этом разделе нас интересует возможность расчета этой величины.

Пример 2

Рассчитайте: (73).

Решение:

Используйте формулу для биномиального коэффициента,

(nk)=n!k!(n−k)!

, где n=7 и k=3. После замены ищите факторы для отмены.

(73)=7!3!(7−3)!=7!3! 4!=7⋅6⋅5⋅4!3! 4!=2106=35

Ответ: 35

Примечание : Проверьте в системе меню вашего калькулятора функцию, которая вычисляет это количество. Найдите обозначение nCk в подразделе вероятности.

Попробуйте! Рассчитать: (85).

Ответ: 56

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Рассмотрим следующий бином, возведенный в степень 3 rd мощность в развернутом виде:

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

Сравните это со следующими вычислениями,

(30)=3!0!(3−0)! =3!1⋅3!=1(31)=3!1!(3−1)!=3⋅2!1⋅2!=3(32)=3!2!(3−2)!=3 ⋅2!2! 1!=3(33)=3!3!(3−3)!=3!3! 0!=1

Обратите внимание на связь между этими вычислениями и коэффициентами расширенного бинома. Это наблюдение обобщается в следующем разделе.

Биномиальная теорема

Рассмотрим расширение (x+2)5:

(x+2)5=(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)

Быстро понимаешь, что это очень утомительное вычисление, включающее множество применений распределительное свойство. Биномиальная теорема Описывает алгебраическое разложение двучленов, возведенных в степень: (x+y)n= Σk=0n (nk) xn−kyk. предоставляет метод разложения биномов в степени без непосредственного умножения каждого множителя:

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+…+(nn−1)x1yn−1 +(nn)x0yn

Более компактно можно записать

(x+y)n= Σk=0n (nk) xn−kyk        Биномиальная теорема

Пример 3

Разложить по биномиальной теореме: (x+2)5.

Решение:

Используйте биномиальную теорему, где n=5 и y=2.

(x+2)5=(50)x520+(51)x421+(52)x322+(53)x223+(54)x124+(55)x025

Иногда бывает полезно определить закономерность, возникающую в результате применения биномиальной теоремы . Обратите внимание, что степени переменной x начинаются с 5 и уменьшаются до нуля. Степени постоянного члена начинаются с 0 и увеличиваются до 5. Биномиальные коэффициенты можно вычислить в стороне и оставить читателю в качестве упражнения.

(х+2)5=(50)х520+(51)х421+(52)х322+(53)х223+(54)х124+(55)х025=1х5х1+5х4х2+10х3х4+10х2х8+ 5x1×16+1×1×32=x5+10x4+40x3+80x2+80x+32

Ответ: x5+10x4+40x3+80x2+80x+32

Бином может иметь отрицательные члены, и в этом случае мы получить чередующийся ряд.

Пример 4

Расширьте, используя биномиальную теорему: (u−2v)4.

Решение:

Используйте биномиальную теорему, где n=4, x=u и y=−2v, а затем упростите каждый член.

(u−2v)4=(40)u4(−2v)0+(41)u3(−2v)1+(42)u2(−2v)2+(43)u1(−2v)3+( 44)u0(−2v)4=1×u4×1+4u3(−2v)+6u2(4v2)+4u(−8v3)+1×1(16v4)=u4−8u3v+24u2v2−32uv3+16v4

Ответ: u4−8u3v+24u2v2−32uv3+16v4

Попробуйте! Расширьте, используя биномиальную теорему: (a2−3)4.

Ответ: a8−12a6+54a4−108a2+81

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Далее изучаем коэффициенты разложений (x+y)n начиная с n=0:

(x+y )0=1(x+y)1=x+y(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)4=x4+4x3y +6x2y2+4xy3+y4

Запишите коэффициенты в виде треугольного массива и обратите внимание, что каждое число ниже является суммой двух чисел над ним, всегда оставляя 1 на каждом конце.

Это треугольник Паскаля. Треугольный массив чисел, соответствующих биномиальным коэффициентам.; он обеспечивает быстрый метод вычисления биномиальных коэффициентов. Используйте это в сочетании с биномиальной теоремой, чтобы упростить процесс расширения биномов, возведенных в степень. Например, чтобы расширить (x−1)6, нам потребуются еще две строки треугольника Паскаля,

. Биномиальные коэффициенты, которые нам нужны, выделены синим цветом. Используйте эти числа и биномиальную теорему, чтобы быстро разложить (x−1)6 следующим образом:

(х-1)6=1х6(-1)0+6х5(-1)1+15х4(-1)2+20х3(-1)3+15х2(-1)4+6х(-1)5 +1x0(−1)6=x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1

Пример 5

Расширить, используя биномиальную теорему и треугольник Паскаля: (2x−5)4.

Решение:

Из треугольника Паскаля видно, что при n=4 биномиальные коэффициенты равны 1, 4, 6, 4 и 1. Используйте эти числа и биномиальную теорему следующим образом:

(2x−5)4 =1(2x)4(-5)0+4(2x)3(-5)1+6(2x)2(-5)2+4(2x)1(-5)3+1(2x)0 (−5)4=16x4⋅1+4⋅8x3(−5)+6⋅4x2⋅25+4⋅2x(−125)+1⋅625=16x4−160x3+600x2−1000x+625

Ответ: 16x4−160x3+600x2−1000x+625

Ключевые выводы

• Чтобы вычислить факториал натурального числа, умножьте это число на все натуральные числа, меньшие его: 5!=5⋅4⋅3⋅ 2⋅1=120. Помните, что мы определили 0!=1.
• Биномиальные коэффициенты — это целые числа, вычисляемые по формуле: (nk)=n!k!(n−k)!.
• Биномиальная теорема предлагает метод разложения биномов, возведенных в степени, без непосредственного умножения каждого множителя: (x+y)n= Σk=0n (nk) xn−kyk.
• Используйте треугольник Паскаля для быстрого определения биномиальных коэффициентов.

Тематические упражнения

Часть A.

Факториалы и биномиальный коэффициент

Оценить.

1. 6!

2. 4!

3. 10!

4. 9!

5. 6!3!

6. 8!4!

7. 13!9!

8. 15!10!

9. 12!3! 7!

10. 10!2! 5!

11. n!(n−2)!

12. (n+1)!(n−1)!

13. 1. 4! +3!
    2. (4+3)!
14. 1. 4!−3!
    2. (4−3)!

Перепишите, используя факториал.

15. 1×2×3×4×5×6×7

16. 1×2×3×4×5

17. 15×14×13

18. 10×9×8×7

19. 13

20. 8×7

21. n(n−1)(n−2)

22. 1×2×3×⋯×n×(n+1)

Рассчитайте указанный биномиальный коэффициент.

23. (64)

24. (84)

25. (72)

26. (95)

27. (90)

28. (1312)

29. (n0)

30. (нн)

31. (n1)

32. (nn−1)

33. 10C8

34. 5С1

35. 12C12

36. 10C5

37. нСn-2

38. нСn-3

Часть B: биномиальная теорема

Расширить с помощью биномиальной теоремы.

39. (4x−3)3

40. (2x−5)3

41. (х2+у)3

42. (х+1у)3

43. (х+3)4

44. (х+5)4

45. (х-4)4

46. (х-2)4

47. (х+2у)4

48. (x3−y)4

49. (х+1)5

50. (х-3)5

51. (x−2)6

52. (х+1)6

53. (x−1)7

54. (х+1)7

55. (5x−1)4

56. (3x−2)4

57. (4у+в)4

58. (3у-в)4

59. (у-5в)5

60. (2u+3v)5

61. (а-б2)5

62. (а2+b2)4

63. (а2+b4)6

64. (а5+b2)5

65. (х+2)3

66. (х-2)4

67. (х-у)4, х, у≥0

68. (х+2у)5, х,у≥0

69. (х+у)7

70. (х+у)8

71. (х+у)9

72. (х-у)7

73. (х-у)8

74. (х-у)9

Часть C: Дискуссионная доска

75. Определите факториалы целых чисел 5, 10, 15, 20 и 25.