Калькулятор е в степени х: Возведение экспоненты в степень | Онлайн калькулятор

Содержание

Калькулятор (как пользоваться калькулятором) iPhone руководство (Айфон)

Использование калькулятора

Цифры и функции программы «Калькулятор» используются так же, как и в обычном калькуляторе. При нажатии кнопки добавления, вычитания, умножения или деления вокруг кнопки отображается белая окружность, напоминающая о том, какая операция будет выполнена. Поверните iPhone, чтобы перейти к расширенному научному калькулятору.

Стандартные функции памяти

• С; Нажмите для очистки отображаемого числа.

• МС: Нажмите для очистки памяти.

• /14+; Нажмите для добавления отображаемого числа к числу, хранящемуся в памяти. Если в памяти не хранится число, нажатие этой кнопки вызовет запоминание отображаемого числа в памяти.

• М-: Нажмите для вычитания отображаемого числа из числа, хранящегося в памяти.

• MR: Нажмите для замены отображаемого числа на число, хранящееся в памяти. Если вокруг этой кнопки отображается белая окружность, в памяти хранится какое-либо число.

При переключении между обычным и научным калькулятором сохраненное число остается в памяти.

Клавиши научного калькулятора

Поверните iPhone в горизонтальную ориентацию для отображения научного калькулятора.

2nd
(	Открывает выражение в скобках. Допускается вложение выражений.
) Закрывает выражение в скобках.
%	Вычисляет проценты, добавляет наценки и вычитает скидки. Для вычисления процента эту функцию следует использовать с клавишей умножения (х). Например, для вычисления 8 процентов от 500 введите 500 X 8 % = (в результате получится 40). Для добавления наценки или вычитания скидки эту функцию следует использовать с клавишами плюс (+) или минус (-). Например, для вычисления общей стоимости позиции стоимостью 500 долларов. США с учетом налога с продаж, равного 8 %, введите 500 + 8 % = (в результате получится 540).
	Возвращает обратное значение числа в десятичном формате.
	Возводит число в квадрат.
	Возводит число в куб.

	Вычисляет факториал числа.
	Вычисляет квадратный корень числа.
	1/1спользуйте между значениями для вычисления корня степени х из у. Например,

log	Возвращает логарифм по основанию 10 введенного числа.
sin	Вычисляет синус числа.
	Вычисляет арксинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
cos	Вычисляет косинус числа.
	Вычисляет арккосинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd. )
tan	Вычисляет тангенс числа.
	Вычисляет арктангенс числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
In	Вычисляет натуральный логарифм числа.
log2	Вычисляет логарифм по основанию 2. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
sinh	Вычисляет гиперболический синус числа.
	Вычисляет обратный гиперболический синус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
cosh	Вычисляет гиперболический косинус числа.
	Вычисляет обратный гиперболический косинус числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd.)
tanh	Вычисляет гиперболический тангенс числа.
	Вычисляет обратный гиперболический тангенс числа. (Функция доступна после нажатия кнопки 2nd. )
	Нажмите после ввода значения для возведения константы е (2,718281828459045…) в степень, равную введенному значению.

Rad	1/1зменяется режим для задания тригонометрических функций в радианах.
Deg	1/1зменяется режим для задания тригонометрических функций в градусах.

EE	Оператор, который умножает текущее отображаемое число на 10 в степени следующего введенного числа.
Rand	Возвращает случайное число от 0 до 1.

Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

На данной странице описаны правила ввода функций, которых следует придерживаться в онлайн калькуляторах для решения производных и решения интегралов.

Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к неверному ответу и ситуациям, при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.

Тригонометрические функции
	Синус от x
	Косинус от x
	Тангенс от x . Можно вводить tg( x ) или tan( x )
	Котангенс от x . Можно вводить ctg( x ) или cot( x )
	Секанс от x , определяется как 1/cos( x )
	Косеканс от x , определяется как 1/sin( x )
	Арксинус от x . Можно вводить arcsin( x ) или asin( x )
	Арккосинус от x . Можно вводить arccos( x ) или acos( x )
	Арктангенс от x . Можно вводить arctg( x ) или atan( x )
	Арккотангенс от x . Можно вводить arcctg( x ) или acot( x )
	Арксеканс от x
	Арккосеканс от x
Некоторые константы
	Число Эйлера e = 2.718281828459045…
	Число π = 3.141592653589793…

Математический калькулятор с расширенными возможностями.

Математический калькулятор онлайн

Незаменимый помощник для студентов и инженеров, позволяющий производить вычисления начиная с элементарной линейной математики и заканчивая дифференциальными исчислениями и основами метафизики. Расчет тригонометрических функций, логарифмов, факториалов, решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел, вычисления биномиальных коэффициентов, расчет матриц, конвертация величин и построение графиков.

Стильный интерфейс бесплатного математического калькулятора прост и понятен, его не нужно устанавливать на компьютер, достаточно зайти на нашу страничку и можно комфортно им пользоваться.

Удобный и простой инженерный калькулятор с богатым арсеналом возможностей для математических расчетов и между тем с приятным и понятным интерфейсом, способен выполнять практически любые арифметические действия и сложные математические вычисления.

Инженерный калькулятор позволяет использовать много разных математических функций:
• решение гиперболических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций:
• возведение в степень и извлечение корней:
• решение матриц и уравнений:
• построение графиков и конвертертация величин:
• вычисление логарифмов и экспоненты:
• дифференцирование и интегрирование функций:

• нахождение факториала, абсолютной величины числа, значения аргумента функции, биноминального коэффициента, наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного:
• Использование мнимой единицы при расчётах комплексных чисел:
• Выделение целой действительной части и исключение действительной части:
• Разложение числа на простые множители.

Инженерный калькулятор позволяет конвертировать физические величины разных систем измерений (масса, расстояние, время, компьютерные информационные единицы измерения и др. С возможностями нашего калькулятора вы сможете моментально перевести фунты в килограммы, мили в километры, секунды в часы и т.д.

Для выполнения математических расчетов, просто введите последовательность математических выражений в соответствующее поле и для получения результата нажмите на кнопку со знаком равенства.

Для построения графиков достаточно в поле ввода с помощью панели инструментов записать функцию и нажать на кнопку с изображением графика. Кнопка с надписью Unit предназначена для перехода в конвертер величин, для вычисления матриц нажмите на кнопку Matrix. В таблице указаны все клавиши (со значком * вызывается через дополнительную клавишу II) калькулятора и выполняемые ими операции.

Клавиша	Символ	Операция
pi	pi	Постоянная pi
е	е	Число Эйлера
%	%	Процент
( )	( )	Открыть/Закрыть скобки
,	,	Запятая
sin	sin(α)	Синус угла
cos	cos(β)	Косинус
tan	tan(y)	Тангенс
sinh	sinh()	Гиперболический синус
cosh	cosh()	Гиперболический косинус
tanh	tanh()	Гиперболический тангенс
sin^-1	asin()	Обратный синус
cos^-1	acos()	Обратный косинус
tan^-1	atan()	Обратный тангенс
sinh^-1	asinh()	Обратный гиперболический синус
cosh^-1	acosh()	Обратный гиперболический косинус
tanh^-1	atanh()	Обратный гиперболический тангенс
x²	^2	Возведение в квадрат
х³	^3	Возведение в куб
x^y	^	Возведение в степень
10^x	10^()	Возведение в степень по основанию 10
e^x	exp()	Возведение в степень числа Эйлера
√x	sqrt(x)	Квадратный корень
³√x	sqrt3(x)	Корень 3-ей степени
^y√x	sqrt(x,y)	Извлечение корня
log₂x	log2(x)	Двоичный логарифм
log	log(x)	Десятичный логарифм
ln	ln(x)	Натуральный логарифм
log_yx	log(x,y)	Логарифм
I / II		Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit		Конвертер величин
Matrix		Матрицы
Solve		Уравнения и системы уравнений
изображение графика		Построение графиков
* mod	mod	Деление с остатком
* !	!	Факториал
* i / j	i / j	Мнимая единица
* Re	Re()	Выделение целой действительной части
* Im	Im()	Исключение действительной части
* \|x\|	abs()	Модуль числа
* Arg	arg()	Аргумент функции
* nCr	ncr()	Биноминальный коэффициент
* gcd	gcd()	НОД
* lcm	lcm()	НОК
* sum	sum()	Суммарное значение всех решений
* fac	factorize()	Разложение на простые множители
* diff	diff()	Дифференцирование
* Deg		Градусы
* Rad		Радианы

Теперь, когда вам понадобится калькулятор, приходите на сайт и используйте бесплатный научный калькулятор.

DashaMail украл калькулятор AB-тестов и код Mindbox. Пожалуйста, не надо так

Эта статья — последняя попытка решить дело миром с помощью давления общественности, без суда.

{«id»:196626,»url»:»https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak»,»title»:»DashaMail \u0443\u043a\u0440\u0430\u043b \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 AB-\u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0434 Mindbox. \u041f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0442\u0430\u043a»,»services»:{«facebook»:{«url»:»https:\/\/www.facebook.com\/sharer\/sharer.php?u=https:\/\/vc. ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak»,»short_name»:»FB»,»title»:»Facebook»,»width»:600,»height»:450},»vkontakte»:{«url»:»https:\/\/vk.com\/share.php?url=https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak&title=DashaMail \u0443\u043a\u0440\u0430\u043b \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 AB-\u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0434 Mindbox. \u041f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0442\u0430\u043a»,»short_name»:»VK»,»title»:»\u0412\u041a\u043e\u043d\u0442\u0430\u043a\u0442\u0435″,»width»:600,»height»:450},»twitter»:{«url»:»https:\/\/twitter.com\/intent\/tweet?url=https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak&text=DashaMail \u0443\u043a\u0440\u0430\u043b \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 AB-\u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0434 Mindbox. \u041f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0442\u0430\u043a»,»short_name»:»TW»,»title»:»Twitter»,»width»:600,»height»:450},»telegram»:{«url»:»tg:\/\/msg_url?url=https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak&text=DashaMail \u0443\u043a\u0440\u0430\u043b \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 AB-\u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0434 Mindbox. \u041f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0442\u0430\u043a»,»short_name»:»TG»,»title»:»Telegram»,»width»:600,»height»:450},»odnoklassniki»:{«url»:»http:\/\/connect.ok.ru\/dk?st.cmd=WidgetSharePreview&service=odnoklassniki&st.shareUrl=https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak»,»short_name»:»OK»,»title»:»\u041e\u0434\u043d\u043e\u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438″,»width»:600,»height»:450},»email»:{«url»:»mailto:?subject=DashaMail \u0443\u043a\u0440\u0430\u043b \u043a\u0430\u043b\u044c\u043a\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 AB-\u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0434 Mindbox. \u041f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430, \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0442\u0430\u043a&body=https:\/\/vc.ru\/claim\/196626-dashamail-ukral-kalkulyator-ab-testov-i-kod-mindbox-pozhaluysta-ne-nado-tak»,»short_name»:»Email»,»title»:»\u041e\u0442\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0443″,»width»:600,»height»:450}},»isFavorited»:false}

19 816 просмотров

Не ищем негативного PR, не хотим судиться и обижать маленьких. Хотим писать про полезное клиентам, делиться опытом, но оставить историю без внимания не видим возможности.

Сервис email-рассылок DashaMail «позаимствовал» калькулятор AB-тестов и вдобавок использовал наш JS-клиент и API на сайте «Билайна». Сначала мы попробовали договориться с коллегами в переписке, потом отправили досудебную претензию — ответа не получили.

Mindbox — крупнейший Martech SaaS в России. Платформа автоматизации маркетинга (CDP). Объединяем в едином профиле клиента информацию с сайта, из мобильных приложений, касс розницы, рассылок.
С 2006 года помогаем «Ригле», Burger King, United Colors of Benetton и еще 400 компаниям создавать омниканальные программы лояльности; общаться с клиентами через email-рассылки, мобильные и вебпуши, чат-боты; рекомендовать релевантные товары и услуги — в письмах и на сайте. Опубликовали 157 историй успеха клиентов.

Что украл DashaMail и как обнаружили

Слева калькулятор Mindbox, справа — DashaMail: совпадают даже дефолтные цифры в ячейках

Калькулятор мы сделали три года назад. Предыстория вопроса, проверяемая через кэши Гугла, — в конце статьи. У нас на руках договоры с веб-студией, которая верстала калькулятор. Конечно, с передачей прав нам.

Мы начали изучать, а не позаимствовал ли DashaMail еще какие-нибудь наши разработки. Выяснилось: позаимствовал! На сайте «Билайна» Хром определяет в качестве источника JS-файла наш код. Этот код нужен для того, чтобы передавать данные с сайта в платформу. Сравните код Mindbox и код DashaMail.

Вероятно, копировать код понадобилось, чтобы быстрее провести интеграцию сайта с DashaMail — разработчики сервиса не стали писать код с нуля, а просто скопировали наш JS-клиент и, очевидно, серверное API.
Мы за конкуренцию, длинными контрактами не привязываем. Если клиенту лучше с конкурентом — экспортируем все данные и помогаем с переходом. Но не путем передачи нашей интеллектуальной собственности. Это перебор.

Немного технических деталей: код трекера не просто похож — оставлены даже комментарии нашего разработчика в Source Maps. Уточню на всякий случай: Source Maps (сорсмэп) — это инструмент, который позволяет посмотреть исходный код даже после того, как его сжали.

Попытка договориться

После обнаружения заимствования калькулятора, когда прошла первая обида, мы решили, что готовы для пользы рынку поделиться им бесплатно. Ведь мы его делали не для себя, а для клиентов. В конце концов, пусть будет зеркало, просто с указанием нашего авторства.Начали с общения в мессенджере: предложили поставить ссылку на наш сайт в калькуляторе. Так и наши права были бы соблюдены, и клиенты DashaMail продолжили бы пользоваться удобным инструментом.

Дальше мы наткнулись на копирование нашего кода, и расстройство выросло.

Ответа не дождались.

Чего хотим от DashaMail сейчас

Предлагаю DashaMail выполнить два условия:

В калькуляторе указать наше авторство и разместить кликабельный логотип Mindbox на видном месте. Например, как на картинке ниже.

Аналогично указывать наше авторство во всех вышедших публикациях с упоминанием калькулятора и рекламе, если таковая запущена или будет.

Удалить наш код на сайте «Билайна».

Было бы здорово принести извинения и, конечно, больше так не делать. В следующий раз мы сразу пойдем в суд.

Предыстория: зачем нужен калькулятор AB-тестов и как мы его разработали

AB-тесты — стандартный инструмент маркетологов для определения наиболее эффективного варианта из двух элементов, например темы письма. Чтобы результаты были статистически достоверными, используется калькулятор AB-тестов: подбирает размер выборки до теста и оценивает значимость полученных результатов после.

Чтобы сделать статистические формулы удобными и понятными, нужно как следует разобраться и подумать. Калькулятор может быть выполнен в виде Excel-файла с формулами или визуального инструмента. Мы пошли по второму пути — в феврале этого года нашему калькулятору исполнится уже 3 года.

Вдохновлялись блогом evanmiller.org: понравилась общая концепция, но взяли формулы попроще (плохо работаем с малыми выборками), визуальное решение не копировали. В результате получился удобный калькулятор с возможностью сравнивать несколько вариантов теста и пояснениями. Этого в исходной версии не было. Кажется, это единственный подобный русскоязычный инструмент.

Маркетологи оценили наш калькулятор: 73 тысячи просмотров страницы с калькулятором за 2020 год, по данным Google Analytics.

Автор

Александр Горник, CEO Mindbox

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. График функции

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
— ∞ Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.

Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.

Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.

Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.

Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.

Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.

Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.

Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.

После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству — непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.

Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.

И, наконец, рассматривается шестое свойство — периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Первое свойство, которое мы рассмотрим -монотонность.

Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое — подмножество области определения функции.

Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами — большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами — большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках

от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечностивозрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.

Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.

Если икс первое меньше икс второе, то используя свойства числовых неравенств, имеем

Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля, игрек равен икс в кубе.

Второе свойство — ограниченность.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.

Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

По графику функции легко можно определить ее ограниченность.

Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее. .

Игрик является наибольшим если:

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;

Во — вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.

Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее

Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;

Во — вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции

Полезно запомнить:

Если у функции существует наименьшее значение. , то она ограничена снизу.

Если у функции существует наибольшее значение, то она ограничена сверху.

Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции

Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.

Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка, то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.

Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка, то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.

четвертое свойство: непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

пятое свойство: четность, нечетность.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

шестое свойство: периодичность

примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем

Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое — период функции игрек равно эф от икс

все тригонометрические функции периодические.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Урок по теме «Область определения и область значений функции» проводится в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. На объяснение материала по данной теме автор отводит 8:47 минут. этого времени достаточно для того, чтобы обучающиеся прослушали необходимую информацию, зафиксировали ее в своих тетрадях и поняли содержание материала. Примерно столько же времени затрачивает учитель на уроке при объяснении нового материала.

Автор позаботился об учителях, нагрузка которых итак достаточно велика, поэтому разработал данный видеоурок с учетом всех требований. То есть, урок соответствует возрасту обучающихся, их уровню образования и особенностей восприятия материала. Учителю останется лишь подобрать материал для закрепления новой информации, полученной из данного урока.

Урок начинается с информации о том, что функция задается вместе с областью определения. Далее автор определяет переменные xи y? как аргумент и значение функции соответственно. После этого вводятся определения понятий область определения функции и область значений функции.

Затем рассматривается пример, где функция задана графически, и необходимо определить ее область определения. Решение данного примера подробно расписывается на экране. Автор поясняет каждый момент, где обучающиеся могут допустить ошибки. Все объяснение сопровождается наглядной иллюстрацией на рисунке.

Далее автор переходит к пункту «Область определения рациональной функции». Для обучающихся говорится о том, что в область определения рациональных функций не входят те значения аргумента, которые обращают знаменатель в нуль. Это поясняется на случае общего написания рациональной функции.

Затем на этот случай рассматривается пример. Здесь необходимо найти область определения рациональной функции. Решение пример основано на той информации, которую только что автор поведал обучающимся. То есть, он находит все те значения, которые обращают знаменатель в нуль и исключает их из множества действительных чисел, получая, таким образом, область определения функции.

после этого предлагается рассмотреть еще один пример, где требуется найти область определения рациональной функции. Но здесь наблюдается следующая особенность: знаменатель дроби никогда не обращается в нуль. Поясняя это, автор делает вывод, что областью определения данной функции является множество действительных чисел. После этого примера предлагается запомнить закономерность, которая только что была использована в примере.

Далее автор переходит к пункту «Область определения иррациональной функции». Здесь важно запомнить то, что подкоренное выражение никогда не может быть отрицательным. Это подкрепляется математической интерпретацией на математической языке. Здесь же поясняется, что если иррациональное выражение в записи функции находится в знаменателе, то подкоренное выражение будет не просто неотрицательным, а строго положительным.

К этому материалу прилагается пример, где требуется найти область определения иррациональной функции. Решая неравенство: подкоренное выражение неотрицательно, автор получает значения аргумент, которые образуют область определения заданной функции.

Затем рассматривается область определения функции с натуральным логарифмом. Сначала дается теоретический экскурс по данному материалу, а затем приводится пример с подробным описанием каждого шага решения.

После всего теоретического материала автор предлагает рассмотреть три примера, где требуется найти область определения и область значений функции, заданной графически. Это можно использовать как небольшой элемент закрепления выданного только что материала.

Урок будет полезен не только учителям, но и обучающимся, которые занимаются самообразованием или пропустили урок по данной теме по определенным причинам. Из этого урока обучающиеся смогут почерпнуть не только теоретический материал, но и подкрепить полученные знания практическими упражнениями.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Область определения и область значений функции.

Из определения функции следует, что функция игрек равен эф от икс задается вместе с ее областью определения икс большое.

Для изучения этой темы нам необходимо вспомнить: как называется переменная икс? число у?

Независимую переменную икс называют аргументом функции, а число игрек, соответствующее числу икс, называют значением функции эф в точке икс и обозначают эф от икс

Какое множество называется областью определения функции?

Если нам дана функция у=f(х),то ее область определения — это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игрек»и обозначают дэ большое от эф.

Область значений функции — множество, состоящее из всех чисел эф от х, таких, что икс принадлежит икс большому и обозначают е большое от эф.

Рассмотрим пример. Функция задана графически. Определить дэ большое от эф.

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
интервал от минус бесконечности до а, луч от вэ до цэ и интервал от цэ до плюс бесконечности. Действительно так, если взять любое значение «икс» из интервала от минус бесконечности до а, или из полуинтервала от вэ до цэ, или из интервала от цэ до плюс бесконечности, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Как ?

Рассмотрим примеры.

Первое.

Область определения рациональной функции, т.е. аргумент у которой есть в содержится в знаменателе.

Запомните:

значения аргумента, которые обращают знаменатель в ноль — не входят в область определения данной функции .

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь единица, деленная на альфа от ихс. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: поэтому альфа от икс не равно нулю

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой икс плюс два, а знаменатель — икс квадрат минус три. Данная функция задана аналитически.

Решение : обращаем внимание на знаменатель, он должен быть не нулевым. Приравняем его к нулю и найдем значение аргумента которые обращают знаменатель функции в ноль:

икс квадрат минус триравно нулю.

икс квадрат равно трем.

Полученное уравнение имеет два корня:

минус квадратный корень из трех, квадратный корень из трех.

Данные значения не входят в область определения функции , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в ноль.

Ответ : дэ большое от эф равен объединению промежутков:интервал от минус бесконечности до квадратного корня из трех,интервал от минус квадратного корня из трех до квадратного кореня из трех.

и интервал от квадратного кореня из трех

до плюс бесконечности.

Рассмотрим еще пример.

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби, числитель которой единица, а знаменатель — икс квадрат плюс один.

Рассмотрим выражение стоящее в знаменателе: к квадрату числа икс прибавляют единицу он всегда положительно т. е. какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен, значит область определения функции, дэ большое от эф равено множеству всех действительных чисел.

определена на всей числовой оси.

Запомните!

при любом значении «икс» и положительной константе ка :
икс квадрат плюс ка больше нуля.

Второе.

Область определения иррациональной функции (содержащий радикал или корень).

подкоренное выражение неотрицательно

Функция вида игрек равен квадратный корень из альфа от икс определена только при тех значениях икс из области определения дэ от альфа, когда альфа от икс не отрицательно, т.е. больше или равна нулю. Если функция содержащая радикал в знаменателе дроби, то альфа от х строго больше нуля.

Найти область определения функции
эф от икс равен квадратный корень из трех минус два икс.

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

три минус два икс больше или равно нулю

минус два икс больше или равно минус трем

два икс меньше или равно трем

икс меньше или равнотрем вторым

Ответ: дэ большое от эф равен полуинтервалу от минус бесконечности до трех вторых.

Третье .

Область определения функций с натуральным логарифмом.

Пусть функция содержит натуральный логарифм альфа от икс., то в её область определения входят только те значения икс, удовлетворяющие неравенству альфа от икс строго больше нуля.

Если логарифм находится в знаменателе: то дополнительно накладывается условие альфа от икс не равно единице, (так как натуральный логарифм единицы равен нулю).

Найти область определения функции

эф от икс равен дроби числитель равен единице, а знаменатель — натуральный логарифм из выражения икс плюс три.

Решение : в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

икс плюс три больше нуля

и икс плюс три не равно единице

икс больше минус трех и икс не равно минус двум.

Изобразим множество решений системы на прямой и сделаем вывод.

Ответ: дэ большое от эф равно объединению промежутков: интервалам от минус трех до минус двух и от минус двух до плюс бесконечности.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до двух;

Е большое от эф равно отрезку от минус одного до двух;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен интервалу от минус двух до пяти;

Е большое от эф равно отрезку от минус двух до трех;

Найтиобласть определения и область значений функции.

Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до трех;

Е большое от эф равно отрезку от минус пяти до нуля;

Определение. Пусть функция $y = f(x) $ определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку $x_0 $. Дадим аргументу приращение $\Delta x $ такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции $\Delta y $ (при переходе от точки $x_0 $ к точке $x_0 + \Delta x $) и составим отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $. Если существует предел этого отношения при $\Delta x \rightarrow 0 $, то указанный предел называют производной функции $y=f(x) $ в точке $x_0 $ и обозначают $f»(x_0) $.

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
$k = f»(a) $

Поскольку $k = tg(a) $, то верно равенство $f»(a) = tg(a) $ .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция $y = f(x) $ имеет производную в конкретной точке $x $:
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство $\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f»(x) $, т. 2 \) справедливо приближенное равенство $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение $x $, найти $f(x) $
2. Дать аргументу $x $ приращение $\Delta x $, перейти в новую точку $x+ \Delta x $, найти $f(x+ \Delta x) $
3. Найти приращение функции: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) $
4. Составить отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство $\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x $. Если в этом равенстве $\Delta x $ устремить к нулю, то и $\Delta y $ будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция $y=\sqrt{x} $ непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и $f»(0) $

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. 2} $$

Деление многочлена на двучлен калькулятор. Как решить уравнения многочлена по математике. Варианты лабораторной работы

Определение. Если каждый из двух многочленов делится без остатка на третий, то он называется общим делителем первых двух.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наивысшей степени.

НОД можно находить с помощью разложения на неприводимые множители или с помощью алгоритма Евклида.

Пример 40 Найти НОД многочленови
.

Решение. Разложим оба многочлена на множители:

Из разложения видно, что искомым НОДом будет многочлен (х – 1).

Пример 41 Найти НОД многочленов
и
.

Решение. Разложим оба многочлена на множители.

Для многочлена
х х – 1) по схеме Горнера.

Для многочлена
возможными рациональными корнями будут числа1,2,3 и6. С помощью подстановки убеждаемся, чтох = 1 является корнем. Разделим многочлен на (х – 1) по схеме Горнера.

Следовательно, , где разложение квадратного трехчлена
было произведено по теореме Виета.

Сравнив разложение многочленов на множители, находим, что искомым НОДом будет многочлен (х – 1)(х – 2).

Аналогично можно находить и НОД для нескольких многочленов.

Тем не менее, метод нахождения НОДа путем разложения на множители доступен не всегда. Способ, позволяющий находить НОД для всех случаев, называется алгоритмом Евклида.

Схема алгоритма Евклида такова. Один из двух многочленов делят на другой, степень которого не выше степени первого. Далее, за делимое всякий раз берут тот многочлен, который служил в предшествующей операции делителем, а за делитель берут остаток, полученный при той же операции. Этот процесс прекращается, как только остаток окажется равным нулю. Покажем этот алгоритм на примерах.

Рассмотрим многочлены, использовавшиеся в двух предыдущих примерах.

Пример 42 Найти НОД многочленов
и
.

Решение. Разделим
на
«уголком»:

Теперь разделим делитель
на остатокх – 1:

x + 1

Так как последнее деление произошло без остатка, то НОДом будет х – 1, т. е. многочлен, использовавшийся в качестве делителя при этом делении.

Пример 43 Найти НОД многочленов
и
.

Решение . Для нахождения НОД воспользуемся алгоритмом Евклида. Разделим
на
«уголком»:

Произведем второе деление. Для этого пришлось бы разделить предыдущий делитель
на остаток
, но так как
=
, для удобства будем делить многочлен
не на
, а на
. От такой замены решение задачи не изменится, так как НОД пары многочленов определяется с точностью до постоянного множителя. Имеем:

Остаток оказался равным нулю, значит, последний делитель, т. е. многочлен

и будет искомым НОДом.

Дробно-рациональные функции

Определения и утверждения к 2.5 можно найти в .

Дробно-рациональной функцией с действительными коэффициентами называется выражение вида , где
и
‑ многочлены.

Дробно-рациональная функция (в дальнейшем будем называть ее «дробь») называется правильной , если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае она называетсянеправильной .

Алгоритм приведения неправильной дроби к правильной называется «выделением целой части».

Пример 44 Выделить целую часть дроби:
.

Решение. Для того, чтобы выделить целую часть дроби необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Разделим числитель данной дроби на ее знаменатель «уголком»:

Так как степень получившегося многочлена меньше степени делителя, то процесс деления закончен. В итоге:

=
. Получившаяся в результате дробь
является правильной.

Дробь вида
называется простейшей, если φ(x ) – неприводимый многочлен, а степень
меньше степени φ(x ).

Замечание. Обратите внимание, что сравниваются степени числителя и неприводимого многочлена в знаменателе (без учета степени α).

Для дробей с действительными коэффициентами существует 4 вида простейших дробей:

Любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, знаменатели которых есть всевозможные делители
.

Алгоритм разложения дроби на простейшие:

Если дробь – неправильная, то выделяем целую часть, а на простейшие раскладываем получившуюся правильную дробь.

Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители.

Записываем правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Приводим к общему знаменателю сумму дробей в правой части.

Находим неопределенные коэффициенты:

Либо приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у левого и правого приведенных числителей;

Либо подставляя конкретные (как правило корни общего их знаменателя) значения x .

Записываем ответ с учетом целой части дроби.

Пример 45 Разложить на простейшие
.

Решение. Так как данная дробно-рациональная функция является неправильной, выделим целую часть:

= 1 +
.

Разложим получившуюся дробь
на простейшие. Вначале разложим на множители знаменатель. Для этого найдем его корни по стандартной формуле:

Запишем разложение дробно-рациональной функции на простейшие, используя неопределенные коэффициенты:

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Составляем систему, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой дробей:

Ответ:
.

Пример 46 Разложить на простейшие
.

Решение. Так как данная дробь является правильной (т. е. степень числителя меньше степени знаменателя), выделять целую часть не надо. Разложим знаменатель дроби на множители:.

Запишем разложение данной дроби на простейшие, используя неопределенные коэффициенты:

По утверждению, знаменатели простейших дробей должны бытьвсевозможными делителями знаменателя дроби:

. (2.2) Можно было бы составить систему уравнений, приравняв числители левой и правой дробей, но в данном примере вычисления будут слишком громоздки. Упростить их поможет следующий прием: подставим в числители по очереди корни знаменателя.

При х = 1:

Прих = ‑1:

Теперь для определения оставшихся коэффициентов А иС достаточно будет приравнять коэффициенты при старшей степени и свободные члены. Их можно найти, не раскрывая скобок:

В левой части первого уравнения стоит 0, так как в числителе левой дроби в (2.2) нет слагаемого с, а в правой дроби у слагаемого скоэффициентA + C . В левой части второго уравнения стоит 0, так как в числителе левой дроби в (2.2) свободный член равен нулю, а у числителя правой дроби в (2.2) свободный член равен (‑A + B + C + D ). Имеем:

Ответ:
.

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

§1. Деление многочленов

При делении многочлены представляются в канонической форме и располагаются по убывающим степеням какой-либо буквы, относительно которой определяется степень делимого и делителя. Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.

Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству:

= ´ + .

Если многочлен степени n Pn (x ) является делимым,

Многочлен степени m Rk (x )является делителем (n ³ m ),

Многочлен Qn – m (x ) – частное. Степень этого многочлена равна раз-ности степеней делимого и делителя,

А многочлен степени k Rk (x ) является остатком (k

То равенство

Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1. 1)

должно выполняться тождественно, то есть, оставаться справедливым при любых действительных значениях х.

Ещё раз отметим, что степень остатка k должна быть меньше степени делителя m . Назначение остатка – дополнить произведение многочленов Fm (x ) и Qn – m (x ) до многочлена, равного делимому.

Если произведение многочленов Fm (x ) × Qn – m (x ) дает многочлен, равный делимому, то остаток R = 0. В этом случае говорят, что деление производится без остатка.

Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.

Пусть требуется разделить многочлен (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2).

1. Разделим старший член делимого 5х5 на старший член делителя х3:

Ниже будет показано, что так находится первый член частного.

2. На очередное (поначалу первое) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из делимого:

5х5 + х3 + 1 – 5х2(х3 + 2) = х3 – 10х2 + 1.

3. Делимое можно представить в виде

5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + (х3 – 10х2 +

Если в действии (2) степень разности окажется больше или равна степени делителя (как в рассматриваемом примере), то с этой разностью действия, указанные выше, повторяются. При этом

1. Старший член разности х3 делится на старший член делителя х3:

Ниже будет показано, что таким образом находится второе слагаемое в частном.

2. На очередное (теперь уже, второе) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из последней разности

Х3 – 10х2 + 1 – 1 × (х3 + 2) = – 10х2 – 1.

3. Тогда, последнюю разность можно представить в виде

Х3 – 10х2 + 1 = 1 × (х3 + 2) + (–10х2 +

Если степень очередной разности окажется меньше степени делителя (как при повторе в действии (2)), то деление завершено с остатком, равным последней разности.

Для подтверждения того, что частное является суммой (5х2 + 1), подставим в равенство (1.2) результат преобразования многочлена х3 – 10х2 + 1 (см.(1.3)): 5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + 1 × (х3 + 2) + (– 10х2 – 1). Тогда, после вынесения общего множителя (х3 + 2) за скобки, получим окончательно

5х5 + х3 + 1 = (х3 + 2)(5х2 + 1) + (– 10х2 – 1).

Что, в соответствии с равенством (1. 1), следует рассматривать как результат деления многочлена (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2) с частным (5х2 + 1) и остатком (– 10х2 – 1).

Указанные действия принято оформлять в виде схемы, которая называется «деление уголком». При этом, в записи делимого и последующих разностей желательно производить члены суммы по всем убывающим степеням аргумента без пропуска.

font-size:14.0pt;line-height: 150%»> 5х5 + 0х4 + х3 + 0х2 + 0х + 1 х3 + 2

5х5 +10х2 5х2 + 1

х3 –10х2 + 0х + 1

Х3 + 2

–10х2 + 0х – 1

position:relative; z-index:1″> Мы видим, что деление многочленов сводится к последовательному повторению действий:

1) в начале алгоритма старший член делимого, в последующем, старший член очередной разности делится на старший член делителя;

2) результат деления дает очередное слагаемое в частном, на которое умножается делитель. Полученное произведение записывается под делимым или очередной разностью;

3) из верхнего многочлена вычитается нижний многочлен и, если степень полученной разности больше или равна степени делителя, то с нею повторяются действия 1, 2, 3.

Если же степень полученной разности меньше степени делителя, то деление завершено. При этом последняя разность является остатком.

Пример №1

position:absolute;z-index: 9;left:0px;margin-left:190px;margin-top:0px;width:2px;height:27px»>

4х2 + 0х – 2

4х2 ± 2х ± 2

Таким образом, 6х3 + х2 – 3х – 2 = (2х2 – х – 1)(3х + 2) + 2х.

Пример №2

A3b2 + b5

A3b2 a2b3

– a2b3 + b5

± a2b3 ± ab4

Ab4 + b5

– ab4 b5

Таким образом , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4).

Пример №3

position:absolute;z-index: 26;left:0px;margin-left:132px;margin-top:24px;width:194px;height:2px»> х5 – у5 х – у

Х5 х4у х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4

Х3у2 – у5

Х3у2 ± х2у3

Ху 4 – у 5

Таким образом, х5 – у5 = (х – у)(х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4).

Обобщением результатов, полученных в примерах 2 и 3, являются две формулы сокращенного умножения:

(х + а)(х2 n – х2 n –1 a + х2 n –2 a 2 – … + a2n) = х 2n+1 + a2n + 1;

(х – a)(х 2n + х 2n–1 a + х 2n–2 a2 + … + a2n) = х 2n+1 – a2n + 1, где n Î N .

Упражнения

Выполнить действия

1. (– 2х5 + х4 + 2х3 – 4х2 + 2х + 4) : (х3 + 2).

Ответ: – 2х2 + х +2 – частное, 0 – остаток.

2. (х4 – 3х2 + 3х + 2) : (х – 1).

Ответ: х3 + х2 – 2х + 1– частное, 3 – остаток.

3. (х2 + х5 + х3 + 1) : (1 + х + х2).

Ответ: х3 – х2 + х + 1– частное, 2х – остаток.

4. (х4 + х2у2 + у4) : (х2 + ху + у2).

Ответ: х2 – ху + у2– частное, 0 – остаток.

5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc ) : (a + b + c ).

Ответ: a 2 – (b + c ) a + (b 2 – bc + c 2 ) – частное, 0 – остаток.

§2. Нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов

1. Алгоритм Евклида

Если каждый из двух многочленов делится без остатка на третий, то этот третий многочлен называется общим делителем первых двух.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наибольшей степени.

Заметим, что любое число неравное нулю является общим делителем двух любых многочленов. Поэтому, всякое неравное нулю число называется тривиальным общим делителем данных многочленов.

Алгоритм Евклида предлагает последовательность действий, которая или приводит к нахождению НОД двух данных многочленов, или показывает, что такой делитель в виде многочлена первой или большей степени не существует.

Алгоритм Евклида реализуется в виде последовательности делений. В первом делении многочлен большей степени рассматривается как делимое, а меньшей – как делитель. Если многочлены, для которых находится НОД, имеют одинаковые степени, то делимое и делитель выбираются произвольно.

Если при очередном делении многочлен в остатке имеет степень больше или равную 1, то делитель становится делимым, а остаток – делителем.

Если при очередном делении многочленов получен остаток, равный нулю, то НОД данных многочленов найден. Им является делитель при последнем делении.

Если же при очередном делении многочленов остаток оказывается числом неравным нулю, то для данных многочленов не существует НОД помимо тривиальных.

Пример №1

Сократить дробь .

Решение

Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида

1) х3 + 6х2 + 11х + 6 х3 + 7х2 + 14х + 8

Х3 + 7х2 + 14х + 8 1

– х2 – 3х – 2

position:absolute;z-index: 37;left:0px;margin-left:182px;margin-top:28px;width:121px;height:2px»> 2) х3 + 7х2 + 14х + 8 – х2 – 3х – 2

Х3 + 3х2 + 2х – х – 4

3х2 + 9х + 6

Таким образом,

position:absolute;z-index: 49;left:0px;margin-left:209px;margin-top:6px;width:112px;height:20px»>font-size:14.0pt;line-height:150%»>Ответ: font-size:14.0pt;line-height:150%»> 2. Возможности упрощения вычислений НОД в алгоритме Евклида

Теорема

При умножении делимого на число не равное нулю частное и остаток умножаются на такое же число.

Доказательство

Пусть P – делимое, F – делитель, Q – частное, R – остаток. Тогда,

P = F × Q + R.

Умножая данное тождество на число a ¹ 0, получим

a P = F × (a Q) + a R,

где многочлен a P можно рассматривать как делимое, а многочлены a Q и a R – как частное и остаток, полученные при делении многочлена a P на многочлен F . Таким образом, при умножении делимого на число a ¹ 0, частное и остаток так же умножаются на a , ч. т.д

Следствие

Умножение делителя на число a ¹ 0 можно рассматривать как умножение делимого на число .

Следовательно, при умножении делителя на число a ¹ 0 частное и остаток умножается на .

Пример №2

Найти частное Q и остаток R при делении многочленов

Font-size:14.0pt;line-height:150%»> Решение

Для перехода в делимом и делителе к целым коэффициентам умножим делимое на 6, что приведет к умножению на 6 искомого частного Q и остатка R . После чего, умножим делитель на 5, что приведет к умножению частного 6 Q и остатка 6 R на . В итоге, частное и остаток, полученные при делении многочленов с целыми коэффициентами, в раз будут отличаться от искомых значений частного Q и остатка R , полученных при делении данных многочленов.

12у4 – 22ху3 + 18х2у2 – 11х3у + 3х4 2у2 – 3ху + 5х2

12у4 ± 18ху3 30х2у2 6у2 – 2ху – 9х2 =

– 4ху3 – 12х2у2 – 11х3у + 3х4

± 4ху3 6х2у2 ± 10х3у

– 18х2у2 – х3у + 3х4

± 18х2у2 27х3у ± 45х4

– 28х3у + 48х4 = font-size:14.0pt;line-height:150%»>Следовательно, ;

Ответ: , .

Заметим, что если наибольший общий делитель данных многочленов найден, то, умножая его на любое число, не равное нулю, мы также получим наибольший делитель этих многочленов. Это обстоятельство дает возможность упрощать вычисления в алгоритме Евклида. А именно, перед очередным делением делимое или делитель можно умножать на числа, подобранные специальным образом так, чтобы коэффициент первого слагаемого в частном был числом целым. Как показано выше, умножение делимого и делителя приведет к соответствующему изменению частного остатка, но такому, что в итоге НОД данных многочленов умножится на некоторое равное нулю число, что допустимо.

Пример №3

Сократить дробь .

Решение

Применяя алгоритм Евклида, получим

position:absolute;z-index: 59;left:0px;margin-left:220px;margin-top:27px;width:147px;height:2px»> 1) х4 + 3х3 + 3х2 + 3х + 2 х4 + х3 – 3х2 + 4

Х4 х3 ± 3х2 font-size:14.0pt; line-height:150%»> 4 1

2х3 + 6х2 + 3х – 2

font-size:14.0pt; line-height:150%»>2) 2(х4 + х3 – 3х2 + 4) = 2х4 + 2х3 – 6х2 + 8 2х3 + 6х2 + 3х – 2

2х4 6х3 3х2 ± 2х х – 2

– 4х3 – 9х2 + 2х + 8

± 4х3 ± 12х2 ± 6х font-size:14.0pt; line-height:150%»>4

3х2 + 8х + 4

3) 3(2х3 + 6х2 + 3х – 2) = 6х3 + 18х2 + 9х – 6 3х2 + 8х + 4

6х3 font-size:14.0pt»>16х2 font-size:14.0pt»>8х 2х +

1. Алгоритм Евклида

Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наибольшей степени.

Алгоритм Евклида реализуется в виде последовательности делений. В первом делении многочлен большей степени рассматривается как делимое, а меньшей — как делитель. Если многочлены, для которых находится НОД, имеют одинаковые степени, то делимое и делитель выбираются произвольно.

Если при очередном делении многочлен в остатке имеет степень больше или равную 1, то делитель становится делимым, а остаток — делителем.

Пример №1

Сократить дробь.

2. Возможности упрощения вычислений НОД в алгоритме Евклида

При умножении делимого на число не равное нулю частное и остаток умножаются на такое же число.

Доказательство

Пусть P — делимое, F — делитель, Q — частное, R — остаток. Тогда,

Умножая данное тождество на число 0, получим

где многочлен P можно рассматривать как делимое, а многочлены Q и R — как частное и остаток, полученные при делении многочлена P на многочлен F. Таким образом, при умножении делимого на число 0, частное и остаток так же умножаются на, ч.т.д

Следствие

Умножение делителя на число 0 можно рассматривать как умножение делимого на число.

Следовательно, при умножении делителя на число 0 частное и остаток умножается на.

Пример №2

Найти частное Q и остаток R при делении многочленов

деление многочлен алгоритм евклид

Для перехода в делимом и делителе к целым коэффициентам умножим делимое на 6, что приведет к умножению на 6 искомого частного Q и остатка R. После чего, умножим делитель на 5, что приведет к умножению частного 6Q и остатка 6R на. В итоге, частное и остаток, полученные при делении многочленов с целыми коэффициентами, в раз будут отличаться от искомых значений частного Q и остатка R, полученных при делении данных многочленов.

Следовательно, ;

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.

Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \ Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \ Вы упростили многочлен.

В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Пример. Разложите на множители многочлен \ Вынесите за скобки \ т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \ Отсюда: \

Где можно решить уравнение многочлена онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Алгоритм Евклида для многочленов. Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель двух многочленов, т.е. многочлен наибольшей степени, на который делятся без остатка оба данных многочлена.
Алгоритм основан на том факте, что для любых двух многочленов от одного переменного, f (x ) и g (x ), существуют такие многочлены q (x ) и r (x ) , называемые соответственно частное и остаток, что

f (x ) = g (x )∙q (x ) + r (x ), (*)

при этом степень остатка меньше степени делителя, многочлена g (x ), и, кроме того, по данным многочленам f (x ) и g (x ) частное и остаток находятся однозначно. Если в равенстве (*) остаток r (x ) равен нулевому многочлену (нулю), то говорят, что многочлен f (x ) делится на g (x ) без остатка.
Алгоритм состоит из последовательного деления с остатком сначала первого данного многочлена, f (x ), на второй, g (x ):

f (x ) = g (x )∙q 1 (x ) + r 1 (x ), (1)

затем, если r 1 (x ) ≠ 0, – второго данного многочлена, g (x ), на первый остаток – на многочлен r 1 (x ):

g (x ) = r 1 (x )∙q 2 (x ) + r 2 (x ), (2)

r 1 (x ) = r 2 (x )∙q 3 (x ) + r 3 (x ), (3)

затем, если r 3 (x ) ≠ 0, – второго остатка на третий:

r 2 (x ) = r 3 (x )∙q 4 (x ) + r 4 (x ), (4)

и т.д. Поскольку на каждом этапе степень очередного остатка уменьшается, процесс не может продолжаться бесконечно, так что на некотором этапе мы обязательно придем к ситуации, когда очередной, n + 1-й остаток r n + 1 равен нулю:

r n –2 (x ) = r n –1 (x )∙ q n (x ) + r n (x ),	(n )
r n –1 (x ) = r n (x )∙ q n +1 (x ) + r n +1 (x ),	(n +1)
r n +1 (x ) = 0.	(n +2)

Тогда последний не равный нулю остаток r n и будет наибольшим общим делителем исходной пары многочленов f (x ) и g (x ).
Действительно, если в силу равенства (n + 2) подставить 0 вместо r n + 1 (x ) в равенство (n + 1), затем – полученное равенство r n – 1 (x ) = r n (x )∙q n + 1 (x ) вместо r n – 1 (x ) – в равенство (n ), получится, что r n – 2 (x ) = r n (x )∙q n + 1 (x ) q n (x ) + r n (x ), т.е. r n – 2 (x ) = r n (x )(q n + 1 (x ) q n (x ) + 1), и т.д. В равенстве (2) после подстановки получим, что g (x ) = r n (x )∙Q (x ), и, наконец, из равенства (1) – что f (x ) = r n (x )∙S (x ), где Q и S – некоторые многочлены. Таким образом, r n (x ) – общий делитель двух исходных многочленов, а то, что он наибольший (т.е. наибольшей возможной степени), следует из процедуры алгоритма.
Если наибольший общий делитель двух многочленов не содержит переменную (т.е. является числом), исходные многочлены f (x ) и g (x ) называются взаимно-простыми .

Расчет расхода — калькулятор значений среды Bürkert

При правильном выборе типа и размеров клапана решающим фактором могут стать различные расчетные значения. Так с помощью значений коэффициента пропускной способности, расхода и параметров потери давления можно определить правильный клапан, отвечающий нужным требованиям и исполнениям. Рассчитайте эти значения с помощью нашего онлайн-калькулятора значений среды.

Bürkert Fluidik Rechner — бесплатное онлайн-приложение для расчета коэффициента пропускной способности

Хотите рассчитать коэффициент пропускной способности, расход или потерю давления на клапане? Наше бесплатное онлайн-приложение Fluidik Rechner поможет вам в этом! Выбирайте нужный вариант рабочей среды из множества других или указывайте свой собственный.

Что означает коэффициент пропускной способности Kv

С 50-х годов XX века коэффициент пропускной способности (Kv) означает существующий нормированный показатель достижимого расхода среды, проходящей через клапан. Расчет коэффициента пропускной способности выполняется в соответствии с DIN EN 60 534, при этом коэффициент определяется в соответствии с директивами VDE/VDI 2173 в результате измерения воды при потере давления ок. 1 бар и температуре 5–30 °C. Результат показывается в м3/ч.

Кроме того, этот коэффициент клапана соответствует только определенному ходу клапана, т. е. определенной степени открытия. Таким образом, количество коэффициентов пропускной способности клапана соответствует количеству установочных ступеней. Следовательно, открывающий/закрывающий клапан имеет только один коэффициент пропускной способности, а регулирующие клапаны имеют коэффициенты пропускной способности для каждого положения. Коэффициент для максимального хода 100 % является коэффициентом пропускной способности.

Разница значений Cv и Kv

Часто американская единица измерения значения пропускной способности (Cv) указывается в галлонах/мин (американский галлон в минуту), поэтому она не равна коэффициенту пропускной способности. Существуют следующие формулы пересчета.

Kv = 0.857 * Cv

Cv = 1.165 * Kv

Формулы для расчета коэффициентов пропускной способности для различных агрегатных состояний

Расчет Kv для жидкостей

Чтобы рассчитать коэффициент пропускной способности для жидкостей, требуется знать расход в л/мин или м3/ч, плотность рабочей среды перед клапаном и потерю давления при прохождении через клапан, т. е. разность давления на входе и обратного давления.

Q = объемный расход, в м3³/ч
Δp = потеря давления, в бар
ρ = плотность жидкости, в кг/м³

Расчет Kv для газов

При расчете для газов следует различать докритический и надкритический режим потока. Докритический режим означает, что давление на входе и обратное давление клапана определяют расход. Чем выше обратное давление, т. е. давление за клапаном (p2), тем меньше объемный расход.

Надкритический режим означает, что расход зависит только от давления на входе, причем в данном случае возникает эффект расхода Chokings (запирания). При этом при большом перепаде давлений (Δp > p1/2) в самом узком поперечном сечении клапана теоретически возникает скорость звука. Ускоряющаяся при потере давления рабочая среда не может при этом протекать быстрее скорости звука (1 Мах) даже в случае дальнейшего понижения обратного давления. Для газов стандартный расчет выполняется при 1013 гПа и 0 °C с QN как номинальный расход и ρN как номинальная плотность. При этом следует учитывать температурное влияние.

Расчет при докритическом потоке (дозвуковая скорость)

Расчет при надкритическом потоке (звуковая скорость)

p₁ = давление на входе, в бар
p₂ = обратное давление, в бар
Δ_p = потеря давления, в бар
Q_N = объемный расход, станд., B M³/ч
ρ_N = плотность, станд., в кг/M ³
T = абсолютная температура перед клапаном, в К

Структура измерения для расчета коэффициента пропускной способности клапанов

Приведенное ниже изображение показывает структуру измерения для определения коэффициента пропускной способности при данной потере давления. При этом 1 — это образец для испытаний, т. е. проверяемый клапан, а 2 — расходомер. В опытной установке есть, кроме того, точки измерения для давления на входе (3) и обратного давления (4), а также клапан регулировки расхода (5). Наконец, для измерения газообразных сред подключен прибор для измерения температуры (6).

1 Образец для испытаний
2 Расходомер< br />3 Манометр: давление перед клапаном (давление на входе)
4 Манометр: давление за клапаном (обратное давление)
5 Клапан регулировки расхода
6 Прибор для измерения температуры

Интенсивность расхода

Что значит интенсивность расхода Q?

Другим коэффициентом технологии сред является расход, называемый также объемным расходом или объемным потоком. Он показывает объем среды, проходящей через клапан за определенную единицу времени.

Чтобы рассчитать расход жидкости, требуется знать коэффициент пропускной способности, плотность рабочей среды и перепад давлений между давлением на входе и обратным давлением. Указанные компанией Bürkert рабочие среды — это, например, кислород, углекислый газ или этан. Здесь уже заложена соответствующая плотность, а перепад давлений рассчитывается автоматически, поэтому требуется заполнить только поля коэффициента пропускной способности, а также давления на входе и обратного давления.

Формулы для расчета объемного потока для различных агрегатных состояний

Расчет расхода для жидкостей

Расход рассчитывается по следующей формуле.

Q = расход
Kv = коэффициент пропускной способности, в м ³/ч
Δp = потеря давления, в бар
ρ = плотность, в кг/м³

Расчет расхода для газов

Для стандартного расхода газа тоже требуется коэффициент пропускной способности, а также номинальная плотность, давление на входе, обратное давление и температура рабочей среды. Кроме того, здесь также следует различать докритический и надкритический режим потока.

Расчет при докритическом потоке

Расчет при надкритическом потоке

p₁ = давление на входе, в бар
p₂ = обратное давление, в бар
Δp = потеря давления, в бар
Kv = коэффициент пропускной способности, станд., в м ³/ч
ρ_N = плотность, станд., в кг /M³
T = температура перед клапаном, в К

Потеря давления при проходе через клапан

Как рассчитывается потеря давления при проходе через клапан

Потеря давления означает разность давления рабочей среды на входе перед клапаном и обратного давления за клапаном. Этот показатель измерения касается потери энергии среды при прохождении через клапан, результат показан в барах. Для расчета потери давления для жидкости требуется коэффициент пропускной способности, плотность жидкости и расход. Ниже приводится формула для расчета.

Формулы для расчета падения давления для различных агрегатных состояний

Расчет потери давления для жидкостей

ρ = плотность, в кг/м ³
Q = объемный расход, в м ³/ч
Kv = коэффициент пропускной способности, в м³/ч

Расчет потери давления для газов

При расчете газообразной рабочей среды следует различать докритический и надкритический режим потока. При этом требуются следующие значения: коэффициент пропускной способности, номинальный расход при 1013 гПа и 0 °C, а также номинальная плотность, обратное давление и температура рабочей среды.

Расчет при докритическом потоке

Расчет при надкритическом потоке

p₁ = давление на входе, в бар
p₂ обратное давление, в бар
ρ_N = плотность, в кг/м³
T = температура, в К
Q_N = объемный расход, станд., в м³/ч
Kv = коэффициент пропускной способности, в м³/ч

Выберите из множества существующих рабочих сред (бром или неон), которые уже заложены вместе с плотностью, или создайте другую рабочую среду. При этом требуется указать только плотность и агрегатное состояние среды. При введении необходимых данных для нужного значения в фоновом режиме уже работает онлайн-калькулятор значений среды, который наряду с результатом в верхнем правом окне автоматически показывает промежуточные результаты.

Начните расчет!

Хотите рассчитать другие материалы, например водяной пар или специальные условия расхода с очень ограниченным расходом или повышенной вязкостью? Или вы ищете клапан управления процессом, который идеально подходит для ваших требований? В этом случае воспользуйтесь нашим инструментом для конфигурации клапанов, разработанным специально для выбора клапанов управления процессом. Сконфигурируйте клапан сейчас!

Как использовать экспоненты в научном калькуляторе

Научные калькуляторы обладают большей функциональностью, чем бизнес-калькуляторы, и одна вещь, которую они могут делать, что особенно полезно для ученых, — это вычислять экспоненты. На большинстве калькуляторов вы получаете доступ к этой функции, набирая основание, ключ экспоненты и, наконец, показатель степени. Хотя это соглашение, всегда полезно провести тест, потому что некоторые калькуляторы могут требовать, чтобы вы вводили числа в обратном порядке.

Scientific Vs.Бизнес-калькуляторы

Научные калькуляторы легко отличить от бизнес-калькуляторов благодаря множеству дополнительных функциональных клавиш. Если вы не уверены, что у вас есть научный калькулятор, попробуйте следующий расчет:

Введите (3 + 2 * 5 =) в указанном порядке. Научный калькулятор автоматически произведет умножение и выдаст 13 в качестве ответа. Бизнес-калькулятор будет выполнять операции в том порядке, в котором вы их вводите и даете 25.

Вот лишь несколько функций научного калькулятора, которых вы не найдете в бизнес-калькуляторе:

Отрицание : Это клавиша, обозначаемая NEG или (-), превращает положительное число в отрицательное. или заглавной E, увеличивает число y до любого показателя степени.5 =) Калькулятор должен отображать число 100000, потому что это равно 10 ⁵. Однако перед тем, как вы начнете составлять список вычислений, вам следует провести простой тест, чтобы убедиться, что ваш калькулятор не из тех, которые требуют, чтобы вы сначала вводили показатель степени.

Введите число 2, нажмите кнопку экспоненты, затем введите 3. Дисплей должен показать 8. Если он показывает 9, это потому, что калькулятор интерпретировал ввод как 3 ² вместо 2 ³. Это означает, что вам нужно ввести показатель степени перед основанием.ключ. Чтобы найти 10 ⁵, введите 10, затем клавишу y ^x, затем 5 и нажмите клавишу Enter или =.

Показатели чтения

Некоторые числа, например 265 миллиардов, содержат слишком много цифр для отображения на калькуляторе. Когда это происходит, калькулятор отображает число в экспоненциальной нотации, используя букву E для обозначения 10 в степени любого числа, следующего за ним. x и решения вычислений, связанных с функцией или константой e = 2.71818 …

Ответы на вопросы

Что такое экспоненциальная функция? (Определение)

Определение экспоненты является решением уравнения $ f ‘= f $ с $ f (0) = 1 $, то есть функцией, которая является собственной производной и которая имеет значение 1 при 0.

Показательная функция обозначается выражением exp, которое по умолчанию основано на числе $ e \ приблизительно 2.71828 \ ldots $ (проверьте также десятичные знаки числа e).{n} \ over n!} $$

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Exponential. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.)) никакие данные, скрипт, копипаст или доступ к API не будут бесплатными, то же самое для экспоненциальной загрузки для использования в автономном режиме на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, заходите в наше сообщество Discord, чтобы получить помощь!

Вопросы / Комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

экспонента, функция, exp, производная

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/exponential

— Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется javascript.

Определение — Что такое показатель степени?

Показатель степени — это количество раз, которое нужно умножить на само число.

Запишите показатель степени в виде увеличенного числа. В числе 2 ⁴ (2 в степени 4 или 2 в степени 4) «4» является показателем степени.«2» — это число, которое нужно умножить на себя в 4 раза. В этом случае 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Формула

— как найти экспоненту

Найдите показатель степени числа, умножив это число на само число раз.

число ² = число x число

число ³ = число x число x число

число ⁴ = число x число x число x число

Пример

3 ² = 3 x 3 = 9

9 ⁵ = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 59 049

5 ¹⁰ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9,765,625

Правила экспонент (законы экспонент)

Продукт с такой же базой

Чтобы умножить одинаковые основания, оставьте основание одинаковым и сложите экспоненты.

x ^a • x ^b = x ^{(a + b)}

Пример: 7 ³ • 7 ⁵ = 7 ^{(3 + 5)} = 7 ⁸ = 5,764,801

Показатель степени (или степени в степени)

Чтобы вычислить показатель степени, умножьте показатели вместе.

(x ^a) ^b = x ^{(a • b)} = x ^ab

Пример: (4 ³) ² = 4 ^{(3 • 2)} = 4 ⁶ = 4 096

Разделение чисел на экспоненты (частные с одинаковым основанием)

Чтобы разделить два основания с одинаковым показателем степени, вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

x ^a ÷ x ^b = x ^{(a — b)}

Пример: 5 ⁷ ÷ 5 ³ = 5 ^{(7 — 3)} = 5 ⁴ = 625

Умножение чисел на экспоненту

Оба числа, умноженные в степень, могут быть возведены в эту степень.

(xy) ^z = x ^z • y ^z

Пример: (9x) ⁵ = 9 ⁵ x ⁵ = 59,049x ⁵

Деление на показатель

Чтобы разделить дробь, возведенную в степень, введите показатель степени в числитель и знаменатель.

(x ÷ y) ^z = x ^z ÷ y ^z

Пример: (7 ÷ 5) ⁴ = 7 ⁴ ÷ 5 ⁴ = 2,401 ÷ 625 = 3,8416

Показатель 0

Любое число в степени 0 равно 1.

х ⁰ = 1

Пример: 450 ⁰ = 1

Отрицательные экспоненты

Отрицательные показатели могут быть преобразованы в 1, деленную на основание ^{экспонент}

x ^-a = 1 ÷ 1 ^a

Пример: 6 ^-4 = 1 ÷ 6 ⁴ = 1 ÷ 1,296 = 0.0007716

Деление на отрицательную экспоненту

Числа с отрицательной степенью в качестве знаменателя можно заменить на числитель, а показатель степени сделать положительным.

1 ÷ x ^-a = x ^a

Пример: 1 ÷ 3 ^-4 = 3 ⁴ = 81

Как набирать экспоненты

В Microsoft Word и других продуктах Office щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Шрифт», чтобы открыть меню шрифтов. Выберите «Надстрочный индекс».
В Документах Google и других продуктах выделите текст, который вы хотите использовать в качестве показателя степени.символ перед экспонентой. Если в экспоненте более одного символа, заключите их в (скобки).

Таблица экспонент

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Часто задаваемые вопросы

Что такое показатель степени (в математике)?

Показатель — это количество раз, которое нужно умножить на само число. Например, от 3 до 4 (написано 3) означает 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Это не то же самое, что 3 x 4 (12).

В чем разница между «Power Of» и «Exponent»?

Это одно и то же.Большинство людей используют термины «в степени» и «в степени» как синонимы.
Мы находим, что при описании объекта «показатель степени» более естественный термин. («Какой показатель у числа в этом уравнении?» Звучит лучше, чем «Какова степень у числа в этом уравнении?»).
При описании действия более естественным термином является «степень из» («вычислить пять в степени трех» звучит лучше, чем «вычислить пять в степени три»).

Что такое отрицательная экспонента?

Отрицательная экспонента означает, сколько раз нужно разделить число.3 ⁴ (положительный показатель степени) означает умножение на себя 3 раза 4 раза (3 x 3 x 3 x 3 = 81). 3 ^-4 (отрицательный показатель степени) означает разделить 3 на себя 4 раза (3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 0,012346).

Источники и другие ресурсы

Другие калькуляторы экспонент

Экспоненциальные функции и их графики

4.1 — Экспоненциальные функции и их графики

Экспоненциальные функции

До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями.Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.

Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную. Трансцендентные функции часто могут можно решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение.тем не мение когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a ^x, a> 0, а ≠ 1

Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер. Пример: если a = -2, то (-2) ^0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1.Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.

Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. У них есть инверсии, которые также являются функциями. Их можно применить к обеим сторонам уравнения.

Графики экспоненциальных функций

График y = 2 ^x показан справа. Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

График проходит через точку (0,1)
В домене все реальные номера
Диапазон: y> 0.
График увеличивается
График асимптотичен относительно оси x при приближении x отрицательная бесконечность
График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
График непрерывный
График плавный

Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси Y. Мы также знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число.Так, если бы мы построили график y = 2 ^-x, график был бы отражение вокруг оси y y = 2 ^x, и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) ^x.

График y = 2 ^-x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.

График проходит через точку (0,1)
В домене все реальные номера
Диапазон: y> 0.
График убывает
График асимптотичен по оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
График непрерывный
График плавный

Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, и поведение на левом и правом концах.

Переводы экспоненциальных графиков

Вы можете применить все, что вы знаете о переводах (из раздела 1.5), чтобы нарисовать график. экспоненциальных функций.

Горизонтальный перенос может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

Вертикальный сдвиг может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты.Икс приблизится к трансцендентному числу е .

Указанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела — это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в математике не из-за математического анализа, а из-за того, что они плохие по алгебре.

Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезно, приближение.

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133

Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e ^x.Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 ^nd] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.

Сложные проценты

Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

Непонятно, знаю. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) ⁿ.

A — это сумма на счете.P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n — количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если вы пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целая глава о финансах и соответствующих формулах.

Непрерывное смешивание и рост / распад

Раньше было непрерывное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

Модель для непрерывного компаундирование: A = P e ^rt.

A — сумма, P — основная сумма, r — годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание натурального логарифма.

Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а постоянно меняется.

Экспоненциальная модель: y = A e ^kt,

, где y — количество, присутствующее в момент времени t. А — начальное количество, и k — скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный).

Mathscene — Экспоненты и логарифмы

Mathscene — Экспоненты и логарифмы — Урок 3

2007 Rasmus ehf и Джанн Сак Птурссон

Экспоненты и логарифмы

печать

Урок 3

Естественный логарифмы

Поскольку калькуляторы и компьютеры стали инструменты для большинства числовых операций, логарифмы с основанием 10 стали менее полезно.С другой стороны, логарифм с другим основанием чем 10, становится все более полезным во многих науках.

Эта функция называется функцией натурального логарифма и имеет символ пер.

f (x) = ln x

Основание натурального логарифма — число e что вы можете увидеть на своем калькуляторе.

e — иррациональное число e2.718

Пример 1

Вот как вы найдете натуральный логарифм 2 на калькуляторе CASIO:

Ответ примерно 0.693 — это степень, до которой нам нужно возвести е, чтобы получить 2.

и ⁰ ^. ⁶⁹³ ≈ 2

Проверь это на себе калькулятор:

Ответ 1.9997 ≈ 2.

Функции f (x) = ln x и g (x) = e ^x отменить каждый other out, когда одна функция используется для результата другой. Это то же, что и с f (x) = log x и g (x) = 10 ^x или возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня из результата.Другими словами функция f (x) = ln x является обратной функцией g (x) = e ^x.

Верно следующее: ln e ^x = x og e ^ln
х = х

Число е иррационально и поэтому мы не можем найти для него точное значение.
Мы можем вычислить его значение до любого количества десятичных знаков, выбрав большее и большие значения x и поместив их в следующую формулу.

Пример 2

Вычислите e, положив x = 1000 в формулу и с помощью калькулятора.

Используя EXCEL получаем значение 2.7182818284591 для e. Таким образом, выбор x = 1000 дает нам только два правильных цифры. Теперь попробуйте вычислить e, используя x = 1000000.

Теперь у нас есть пять правильных цифр. Чем выше значение x тем больше точность в нашем вычислении e.

Пример 3

Нарисуйте графики функции f (x) = ln x и g (x) = e ^x.

Первая составить таблицу значений:

х	f (x) = e ^x	х	г (х) = ln x
-3	0,05		-1.39
-2	0,14		-0,69
-1	0,37	1	0
0	1	2	0,69
1	2,72	4	1.39
2	7,39	8	2,08

Обратите внимание, что нет отрицательного значения в столбце для g (x) = e ^x и нет отрицательных значений в столбце x для обратной функции g (x) = ln x.

Область для f (x) = ln x есть множество {xR | x> 0}.

Обратите внимание, что когда мы рисуем оба графика в одном

системы координат они зеркальное отображение каждого

прочее (симметричное) в строке проведенный через точки, где y = x.

Это верно для графиков любых двух функций, обратных друг другу.

Те же правила действуют для натуральная логарифмическая функция

Следующие примеры показывают как эти правила используются.

Пример 4

Решите следующие уравнения:

а)

Двигаться 2 и напишите как степень.Введите число e с обеих сторон уравнения.

e и ln отменяют друг друга оставляя нас с квадратным уравнением.

Перемещение x над знаком равенства. Разложите на множители и решите относительно x

x = 0 невозможно, так как там невозможно записать 0 как степень.

б)

Написать левая часть как один логарифм.

Положить в базовом числе e. ln и e отменяют друг друга.

в)

	*Упростить слева, записав как один логарифм.*

	*Вставить основание е с двух сторон.*

Пример 5

Решите следующие уравнения:

а)

Взять логарифм обеих сторон .

б)

Использование правила:

a ^x a ^y = a ^{x + y} , ^x/^y = a ^{x − y} a n d

(^{ⁿ) ^м = ^нм}

к запишите каждую сторону как степень e .

в)

Использование правила:

a ^x a ^y = a ^{x + y} и ^x / a ^y = a ^{x − y} для записи каждой стороны как мощность эл.

Пример 6

Решите уравнения:

а)

Взять логарифм обеих сторон уравнения, затем используйте правило

а ^x = x ln a для перемещения неизвестное значение вниз перед пер.

б)

Взять члены в x к одной стороне уравнения и другие члены к другой сторона. Упростите использование правил для индексов.

Наконец возьмите бревно с обеих сторон, переместите x вниз и решите относительно x.

в)

Отдельно силы 5.разделите обе стороны на 25, затем решите относительно x, как раньше .

Попробуйте тест 3 по показателям экспонент и логарифмы.

Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Калькулятор экспоненциальной функции — eMathHelp

Этот калькулятор вычислит экспоненциальную функцию с заданными основанием и показателем.3 (х).

Из приведенной ниже таблицы вы можете заметить, что sech не поддерживается, но вы все равно можете ввести его, используя идентификатор `sech (x) = 1 / cosh (x)`. -1 (x) acoth (x) acosh (1 / x) asech (x) asinh (1 / x) acsch (x) Обозначение индекса
— степень 10
Показатель степени (или индекс, или степень) числа говорит
, сколько раз использовать число в умножении на .
10 ² означает 10 × 10 = 100
(в нем указано, что 10 используется 2 раза при умножении)
Пример: 10
³ = 10 × 10 × 10 = 1000
- Словами: 10 ³ можно было бы назвать «10 в третьей степени», «10 в третьей степени» или просто «10 кубов»
Пример: 10
⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
- Прописью: 10 ⁴ можно было бы назвать «10 в четвертой степени», «10 в степени 4» или «10 к 4»
Вы можете умножить любое число на само столько раз, сколько хотите, используя эту запись (см. Показатели), но степень 10 имеет особое применение…
Степень 10
«Степень 10» — очень полезный способ записывать большие или маленькие числа.
Вместо того, чтобы иметь много нулей, вы показываете, сколько степеней из 10 даст столько нулей
Пример: 5000 = 5 × 1000 = 5 × 10
³
5 тысяч — это 5 раз по тысяче. А тысяча — это 10 ³. Итак, 5 умножить на 10 ³ = 5,000
Вы видите, что 10 ³ — удобный способ сделать 3 нуля?
Ученые и инженеры (которые часто используют очень большие или очень маленькие числа) любят писать числа Сюда.
Пример: масса Солнца
Солнце имеет массу 1,988 × 10 ³⁰ кг.
Слишком сложно написать 1,988,000,000,000,000,000,000,000,000,000 кг
(И очень легко ошибиться при подсчете нулей!)
Пример: световой год (расстояние, которое свет проходит за один год)
Легче использовать 9,461 × 10 ¹⁵ метра, а не 9,461,000,000,000,000 метра
Обычно его называют Научная нотация или Стандартная форма.4 = 3 × 10 × 10 × 10 × 10 = 30 000

Калькуляторы часто используют «E» или «e», например:

Пример:

6E + 5 совпадает с 6 × 10 ⁵
6E + 5 = 6 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 600000
Пример:
3.12E4 то же самое, что 3.12 × 10 ⁴
3.12E4 = 3,12 × 10 × 10 × 10 × 10 = 31 200
Уловка
На первый взгляд это может показаться сложным, но есть простой «трюк»:
Индекс 10 говорит…
… на сколько разрядов переместить десятичную точку Направо.
Пример: Что такое 1,35 × 10
⁴?
Вы можете рассчитать это как: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10 000 = 13 500
Но проще думать, что «переместите десятичную запятую на 4 позиции вправо» так:
1 . 35 13 . 5 135 . 1350 . 13500 .
Отрицательные силы 10
Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!
Отрицательная мощность означает , сколько раз разделите на число.
Пример: 5 × 10
^-3 = 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005
Просто помните для отрицательных степеней 10:
Для отрицательных степеней 10 переместите десятичную точку влево.
Так что отрицательные слова просто противоположны.
Пример: что такое 7,1 × 10
^-3?
Ну, это действительно 7.1 x (¹/₁₀ × ¹/₁₀ × ¹/₁₀) = 7.1 × 0.001 = 0.0071
Но проще думать, что «переместите десятичную запятую на 3 разряда в влево » вот так:
Попробуйте сами
Введите число и просмотрите его в научной записи:
Теперь попробуйте сами использовать научную нотацию:
Сводка
Индекс 10 говорит о том, на сколько мест нужно переместить десятичную запятую.

Калькулятор (как пользоваться калькулятором) iPhone руководство (Айфон)

Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

Математический калькулятор с расширенными возможностями.

Математический калькулятор онлайн

DashaMail украл калькулятор AB-тестов и код Mindbox. Пожалуйста, не надо так

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. График функции

Определение

Частные значения

Область определения, множество значений

Экстремумы, возрастание, убывание

Обратная функция

Производная экспоненты

Интеграл

Комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Разложение в степенной ряд

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Пошаговые примеры — как найти производную

Как найти производную функции у = f(x) ?

Правила дифференцирования

Деление многочлена на двучлен калькулятор. Как решить уравнения многочлена по математике. Варианты лабораторной работы

Дробно-рациональные функции

Где можно решить уравнение многочлена онлайн?

Расчет расхода — калькулятор значений среды Bürkert

Bürkert Fluidik Rechner — бесплатное онлайн-приложение для расчета коэффициента пропускной способности

Коэффициент пропускной способности

Что означает коэффициент пропускной способности Kv

Разница значений Cv и Kv

Формулы для расчета коэффициентов пропускной способности для различных агрегатных состояний

Расчет Kv для жидкостей

Расчет Kv для газов

Расчет при докритическом потоке (дозвуковая скорость)

Расчет при надкритическом потоке (звуковая скорость)

Структура измерения для расчета коэффициента пропускной способности клапанов

Интенсивность расхода

Что значит интенсивность расхода Q?

Формулы для расчета объемного потока для различных агрегатных состояний

Расчет расхода для жидкостей

Расчет расхода для газов

Расчет при докритическом потоке

Расчет при надкритическом потоке

Потеря давления при проходе через клапан

Как рассчитывается потеря давления при проходе через клапан

Формулы для расчета падения давления для различных агрегатных состояний

Расчет потери давления для жидкостей

Расчет потери давления для газов

Расчет при докритическом потоке

Расчет при надкритическом потоке

Начните расчет!

Как использовать экспоненты в научном калькуляторе

Scientific Vs.Бизнес-калькуляторы

Показатели чтения

Ответы на вопросы

Что такое экспоненциальная функция? (Определение)

Исходный код

Нужна помощь?

Вопросы / Комментарии

— Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Определение — Что такое показатель степени?

— как найти экспоненту

Пример

Правила экспонент (законы экспонент)

Продукт с такой же базой

Показатель степени (или степени в степени)

Разделение чисел на экспоненты (частные с одинаковым основанием)

Умножение чисел на экспоненту

Деление на показатель

Показатель 0

Отрицательные экспоненты

Деление на отрицательную экспоненту

Как набирать экспоненты

Таблица экспонент

Часто задаваемые вопросы

Что такое показатель степени (в математике)?

В чем разница между «Power Of» и «Exponent»?

Что такое отрицательная экспонента?

Источники и другие ресурсы