Калькулятор извлечения корней онлайн: Калькулятор корней онлайн | umath.ru

Содержание

§ Извлечь корень из числа онлайн. Калькулятор

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Геометрия: начальная школа
Действия в столбик
Деление с остатком
Законы арифметики
Периметр
Порядок действий
Разряды и классы. Разрядные слагаемые
Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

Взаимно обратные числа и дроби
Десятичные дроби
Натуральные числа
Нахождение НОД и НОК
Обыкновенные дроби
Округление чисел
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Площадь

Проценты
Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
Среднее арифметическое
Упрощение выражений
Уравнения 5 класс
Числовые и буквенные выражения

Математика 6 класс

Масштаб
Модуль числа
Окружность. Площадь круга
Отношение чисел
Отрицательные и положительные числа
Периодическая дробь
Признаки делимости
Пропорции
Рациональные числа
Система координат
Целые числа

Алгебра 7 класс

Алгебраические дроби
Как применять формулы сокращённого умножения
Многочлены
Одночлены
Системы уравнений
Степени
Уравнения
Формулы сокращённого умножения
Функция в математике

Геометрия 7 класс

Точка, прямая и отрезок
Что такое аксиома и теорема

Алгебра 8 класс

Квадратичная функция. Парабола
Квадратные неравенства
Квадратные уравнения
Квадратный корень
Неравенства
Системы неравенств
Стандартный вид числа
Теорема Виета

Алгебра 9 класс

Возрастание и убывание функции
Нули функции
Область определения функции
Отрицательная степень
Среднее
геометрическое
Чётные и нечётные функции

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Всякий существующий порядок приходится непрерывно наводить.

Владислав Гжегорчик

на главную

Введите тему

Поддержать сайт

←Вернуться в «Калькуляторы онлайн»

Инструкции к калькулятору

Введите число и степень корня и нажмите «Извлечь корень».

Важно!

Калькулятор расчета корней онлайн может служить лишь для проверки ваших вычислений.

Научиться находить квадратный, кубический или корень любой другой степени можно самостоятельно в уроке квадратный корень.

Калькулятор корней с решением онлайн

Корень в математике

Операция извлечения корня из числа, является обратной операцией к операции возведения в степень.

Обозначение: корень обозначается при помощи символа, который называется

знаком корня.

Число a, которое находится под корнем называется подкоренным выражением, а число n, расположенное слева от символа корня, называется – степенью корня.

Степень корня – должна быть выражена натуральным числом (1, 2, 3, 4, 5…), т.е. не может быть отрицательной, нулем или дробным числом.

По сути, как уже было сказано выше извлечь корень из числа а означает возведение числа a в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня.

Следует заметить, что если степень корня равна 2, то число два как правило не пишут, а такой корень называется – квадратным.

Приведем примеры:

Приведем примеры извлечения корня:

Исходя из вышенаписанных примеров можно сделать вывод, что когда мы хотим извлечь корень, к примеру 2-й степени, то нам необходимо найти такое число, что при возведении во 2-ю степень мы получим подкоренное выражение. То есть под корнем всегда находится число, уже возведенное в степень равную степени корня!

Четная и нечетная степень корня

Корень нечетной степени

При извлечении корня нечетной степени из положительного числа будем всегда получать положительное число, например:

При извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа будем всегда получать отрицательное число, например

В данном примере можно легко увидеть почему при извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа всегда будет получаться отрицательно число. Как известно чтобы возвести число в степень необходимо его умножить само на себя в количестве показателя степени : если (-6) умножить на (-6) получится положительное число 36 (мы знаем, что при умножении двух отрицательных чисел будет получаться положительное число), затем если умножить число 36 на (-6) получим -216, так как при умножении отрицательного числа на положительное всегда будет получаться отрицательное число.

Корень четной степени

При извлечении корня четной степени из положительного числа всегда будет получать два значения с противоположенными знаками. Это связанно с тем, что если представить, к примеру функцию квадратного корня y= √x и посмотреть на ее график, то мы увидим, что каждому значению xсоответствует два значения корня, одно положительное, а другое отрицательное.

Для понимания данного факта, нет необходимости строить график, рассмотрим на примере извлечение квадратного корня из числа 4:

Квадратный корень из 4 равен 2. Проверим 2 ⋅ 2 = 4 и -2 ⋅(-2) = 4.

Приведем еще пример с четной степенью корня для положительного числа.

Корень степени 4 за числа 81 равен 3. Проверим 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 и -3 ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = 81

Теперь рассмотрим ситуацию, когда под корнем четной степени стоит отрицательное число.

Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например, √-4 теперь подумаем есть ли вообще такое число, которое при возведении в квадрат давало бы -4? Ответ – нет! Любое число при возведении в четную степень всегда будет положительным. Поэтому корня чётной степени из любого отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

Тем не менее извлечь корень четной степени всё-таки можно, но результатом будет всегда комплексное число, например:

Арифметический и алгебраический корни

Для упрощения записи корня четной степени из положительного числа, в калькуляторах, школьных учебниках и т.д. было введено понятие арифметического корня, значение которого, представляется всегда положительным числом. Алгебраический корень в свою очередь для корня четной степени из положительного числа является полным ответом и содержит как положительные, так и отрицательные значения.

Арифметический корень – упрощенная запись корня четной степени из положительного числа, всегда положительный. Например:

Алгебраический корень – полная запись корня четной степени из положительного числа. Например:

Как упростить корень

Для того, чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители (для разложения числа на простые множители можно воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз. Например:

Как мы уже разобрали извлечь корень из числа а означает возведение числа a в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня, поэтому следуя данному правилу мы легко выносим множители из под корня. Распишем предыдущие два примера еще раз:

Калькулятор корней — вычислите n-й радикал числа математика?

Как вычислить квадратный корень

Кубический корень, корень четвертой степени, корень n-й степени

Пример: использование калькулятора корня

Добро пожаловать в калькулятор корня , где мы рассмотрим теорию и практику как вычислить n-й корень числа , также называемый n-й радикал , вместе.

Мы начнем с краткого объяснения того, что такое корень в математике, и приведем несколько простых примеров, которые вы, возможно, уже видели, например, квадратный корень из 2, квадратный корень из 3 или кубический корень из 4. Но что если это четвертый корень , который вы хотели бы найти? Предыдущие были довольно простыми, но что такое, скажем, корень 4-й степени из 81? Не беспокойтесь,

мы покажем вам достаточно скоро! 9512×12×12×12×12=125
Где маленькое 555 называется показателем степени и означает, сколько копий большого числа (в данном случае 121212) мы берем. Мы также называем эту операцию , беря 555 -ю степень числа 121212. Вы можете изучить эту математическую операцию на калькуляторе экспоненты Omni.
Корень — это обратная операция. Чтобы связать это с биологическим смыслом, когда мы смотрим на взрослое дерево, мы видим его листья и ствол, но все это построено на его корнях 9n = abn=a
Например, давайте подробнее рассмотрим , что является квадратным корнем некоторого числа . Предположим, вы копаете бассейн на заднем дворе. Вы хотите, чтобы он был такой же длины, как и широкий, и в целом занимал площадь 256256256 квадратных футов. Как вычислить
, какой длины должны быть стороны ? Правильно – путем расчета радикала! В данном случае это должен быть квадратный корень из площади, т. е. квадратный корень из 256256256.
А 9{\mathrm{th}}4-й корень из 818181 равен 333. Но сначала мы должны это узнать.
Итак, что мы можем сделать, если мы забудем нашу удобную таблицу первых ста чисел и их первых степеней дома? Это безнадежное дело? К счастью, нет. Не совсем, но мы вернемся к этому через секунду.
В качестве примера мы покажем , как вычислить квадратный корень из 727272. Нашим основным инструментом здесь будет простая факторизация, т. е. разбиение 727272 на мельчайшие возможные части.
В процедуре простой факторизации мы берем число (в нашем случае 727272) и находим наименьшее простое число, которое делит его на
. Напомним, что простое число — это целое число, имеющее только два делителя: 111 и само себя. Довольно легко увидеть, что для нас это будет 222, так как
722=36\маленький \frac{72}{2} = 36272=36
Следующим шагом является нахождение наименьшего простого числа результата деления числа на простое число, т. е. числа 363636. Если мы продолжим это до тех пор, пока мы достигнем 111, мы получим следующие простые числа: 222, 222, 222, 333, 333. Это простая факторизация числа 727272, и это означает, что
72=2×2×2×3×3\small72 = 2 \times 2 \times2 \times3 \times372=2×2×2×3×3
Что-то непонятно в простой факторизации? Не беспокойтесь, это довольно интересная математическая задача, которую иногда трудно решить даже на компьютере! Вы можете узнать больше (почти все) об этом на калькуляторе первичной факторизации Omni.
Теперь, если мы найдем пары среди одинаковых чисел, мы увидим, что у нас есть пара 222-х, пара 333-х и осталось одно 222-е. Это позволяет нам записать квадратный радикал числа 727272 как: 92\times2} \\[.
3em] &= 2\times3 \times\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{split}72
=2×2×2×3×3
=22×32×2
=2×3×2
= 62
A зоркий глаз заметит, что единственные числа, которые остаются под корнем, это ровно одиночек, которые не нашли пару .
А как же 222? Чему равен квадратный корень из 222 ? Ну, вот что значит « не совсем «. Квадратный корень из 222, квадратный корень из 333 или любое другое простое число возвращает нас к игре в угадайку. К счастью, мы можем
используйте наш калькулятор корня , чтобы вычислить, что 2≈1,4142\sqrt{2} \приблизительно 1,41422≈1,4142, что дает нам
72=62≈6×1,4142=8,4852\small\begin{split} \sqrt{72}&=6\sqrt{2}\приблизительно6\times1.4142\\ &=8,4852 \end{split}72
=62
≈6×1,4142=8,4852
По сути, когда нас спрашивают «, из чего состоит квадратный корень из. .., «, мы должны сначала выполните простую факторизацию , чтобы решить проблему, и если (как указано выше) у нас останется какая-то маленькая цифра в конце, нам просто нужно использовать такой инструмент, как калькулятор корня , чтобы найти его.
» А как быть с высшими радикалами? А если мне нужен, например, корень четвертой степени из числа? » Ну как удобно с твоей стороны спросить! Это именно та проблема, с которой мы будем иметь дело в следующем разделе.
🙋 Для более подробного описания этой операции посетите калькулятор квадратного корня Omni!
Кубический корень, четвертый корень, n-й корень
Вспомните, как вы хотели вырыть бассейн в первой секции. Теперь предположим, что вы хотите, чтобы все это было кубом, вмещающим 1 7281 7281 728 кубических футов воды. (Не спрашивайте нас, почему. Возможно, все вышеперечисленное облагается налогом по-другому?)
Как найти сторону такого бассейна? Ага — путем вычисления кубического корня из числа (отсюда и название кубический корень ). Он скажет нам, что длина должна быть:
17283=12 ft\small \sqrt[3]{1728} = 12\ \mathrm{ft}31728
=12 ft
Но как мы туда попали? К счастью, основной инструмент здесь тот же: простая факторизация . Если мы применим процедуру до 172817281728, мы получим это:
1728 ⁣ = ⁣2 × × ⁣2 ⁣ × 2 ⁣ × ⁣2 ⁣ × 2 ⁣ × ⁣2 ⁣ × 3 × ⁣3 ⁣ × ⁣3\маленький 1728\!=\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!2\!\раз\!3\ !\раз\!3\!\раз\!3 1728=2×2×2×2×2×2×3×3×3
Теперь дело обстоит иначе – вместо пар мы группируем числа в тройки . На это намекает маленькое число 333 в корневом символе — нам нужно третьих степеней . Обратите внимание, что квадратные корни на самом деле являются радикалами 222-го порядка, но мы не пишем 222, потому что… Ну, , если нам не нужно делать это из одного типа корня, это вполне может быть самый простой . Это просто условность и традиция. Думайте об этом как о математическом эквиваленте запекания индейки на День Благодарения. 9{\mathrm{th}}4-й корень из 818181 равен 333. И если нам нужно n-й корень , мы берем группы из nnn элементов. И, если что-то останется после факторизации, мы просто найдем это с помощью какого-нибудь внешнего инструмента, такого как наш калькулятор корня .
Хорошо, после стольких раз прочтения теории пришло время взглянуть на пример из реальной жизни и увидеть калькулятор корня в действии , вам не кажется?
🙋 Что касается квадратного корня, у нас есть инструмент, полностью посвященный кубическому корню: калькулятор кубического корня!
Пример: использование калькулятора корня
Поздравляем, это мальчик! Теперь, когда вы стали родителем, , вы решили начать пораньше и отложить немного денег, когда он пойдет в колледж. Вы решаете взять хороший кусок своих сбережений и оставить его в банке на следующие восемнадцать лет , чтобы сумма росла вместе с вашим ребенком.
Предположим, вам удалось отложить солидных 8, ⁣000\text\textdollar8,\!000$8000 (назовем эту сумму start\mathrm{start}start). К сожалению, вы как-то забыли процентную ставку по вкладу, но что сделано, то сделано. Сумма в конце станет для вас таким же сюрпризом, как и для вашего сына .
Проходит время, идут годы, и, наконец, пришло время подарить вашему ребенку деньги, которые вы сэкономили . Вы звоните в банк, и выясняется, что на счету 12 ⁣477,27\text\textdollar12,\!477,27$12 477,27 (назовем эту переменную end\mathrm{end}end). Не так уж и плохо, не так ли? Кажется, ты сможешь воплотить мечты своего сына в жизнь.
Но, просто для себя, просто из чистого любопытства, Можем ли мы рассчитать процентную ставку по имеющимся у нас цифрам?
Конечно можем , и калькулятор корня нам поможет!
Предположим, что проценты начислялись на счет в конце каждого года и что деньги вообще не облагались налогом (да, мы понимаем, что здесь мы немного преувеличиваем). {18}конец=начало×(1+процентная ставка)18 9{18}1,5597=(1+процентная ставка)18
Итак, если у нас есть 18-я 28\mathrm{th}18-я степень справа, нам нужно найти 18-й28\mathrm{th}18-й радикал числа на осталось . Это нечто немного более сложное, чем квадратный корень из 333, не так ли?
Обратимся к нашему калькулятору корня . Там у нас есть два числа: aaa и nnn. Когда мы смотрим на символическое изображение там, мы видим, что nnn — это порядка корня , поэтому мы вводим n=18n = 18n=18. В свою очередь, ааа равно число под радикалом , поэтому мы принимаем a=1,5597a = 1,5597a=1,5597. Это заставляет калькулятор корня выдать ответ:
1+процентная ставка=1,025\small 1+\mathrm{процентная\ставка} =1,0251+процентная ставка=1,025
Если мы переведем десятичную дробь в проценты, мы получим :
процентная ставка=0,025=2,5%\small\mathrm{процентная\ставка} = 0,025=2,5\%процентная ставка=0,025=2,5%
Это кажется довольно маленьким, но о, как оно выросло за восемнадцать лет!
Хорошо, любопытство удовлетворено , пора вернуться к праздничному торту. Будем надеяться, что ваш сын с пользой воспользуется деньгами и продолжит учебу.
Maciej Kowalski, PhD кандидат
Результат
Ознакомьтесь с 63 похожими арифметическими калькуляторами ➗
Абсолютное изменениеАбсолютное значениеДобавление… Еще 60
Цифровой корень Давайте начнем с самого интересного приложения 9 цифрового корня
1:0003
Магический трюк !
Во-первых, вам нужен такой же занудный друг, как и вы. Попросите их мысленно выбрать число от 1 до 10. Теперь попросите их умножить его на 9 и найти сумму цифр кратного. Теперь притворитесь, что читаете их мысли, и скажите им, что они получили 9 в качестве ответа. Вы можете проделать этот трюк и с гораздо большими числами, однако вашему другу может потребоваться немного больше времени, чтобы вычислить цифровой корень из больших чисел, не зная этого трюка. Обратитесь к Свойству 1, упомянутому ниже, для получения дополнительных разъяснений по этому вопросу.
А теперь время откровения! Например, ваш друг выбрал 5. Умножив 5 на 9, он получит 45. «4+5=9», что не должно быть слишком сложно вычислить. Вы можете усложнять фокус, добавляя дополнительную драму, например, попросив друга перетасовать цифры.
Цифровые корни можно использовать как примитивный способ проверки точности арифметических операций, таких как вычитание, умножение и сложение.
Давайте посмотрим, как мы можем использовать цифровой корень для проверки правильность умножения . Чтобы проверить правильность умножения или нет, перед выполнением умножения вычислите цифровой корень чисел в обеих частях уравнения. Затем умножьте цифровые корни и вычислите цифровой корень произведения. Цифровой корень в обеих частях уравнения должен быть равен, чтобы умножение было правильным. Давайте рассмотрим пример:
456*376= 398765 .
Давайте сначала посмотрим на левую часть уравнения и найдем сумму цифр в этой части. Цифровой корень из 456 это 6 . Цифровой корень 376 равен 7 . Перемножив 6 и 7 , мы получим 42 . Цифровой корень 42 равен 6 . Теперь цифровой корень правой части выглядит как 2 . Поскольку цифровые корни, полученные по обе стороны от знака равенства, различны, это умножение неверно.
Аналогичным образом давайте посмотрим, как мы можем использовать цифровой корень для проверки правильности задачи на вычитание . Например, рассмотрим 340-172=168 . Цифровой корень 340 равен 7 . Цифровой корень 172 равен 1 . Вычитая эти два, мы получаем 6 . Теперь давайте проверим цифровой корень правой стороны. Цифровой корень 168 равен 6 , так что это вычитание верно.
Цифровые корни также могут помочь обнаружить ошибки округления в последовательности Фибоначчи .