Опубликовано Калькулятор корней с решением онлайн
Корень в математике
Операция извлечения корня из числа, является обратной операцией к операции возведения в степень.
Обозначение: корень обозначается при помощи символа, который называется знаком корня. Число a, которое находится под корнем называется подкоренным выражением, а число n, расположенное слева от символа корня, называется – степенью корня.
Степень корня – должна быть выражена натуральным числом (1, 2, 3, 4, 5…), т.е. не может быть отрицательной, нулем или дробным числом.
По сути, как уже было сказано выше извлечь корень из числа а означает возведение числа a в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня.
Следует заметить, что если степень корня равна 2, то число два как правило не пишут, а такой корень называется – 
Приведем примеры:
Приведем примеры извлечения корня:
Исходя из вышенаписанных примеров можно сделать вывод, что когда мы хотим извлечь корень, к примеру 2-й степени, то нам необходимо найти такое число, что при возведении во 2-ю степень мы получим подкоренное выражение. То есть под корнем всегда находится число, уже возведенное в степень равную степени корня!
Четная и нечетная степень корня
Корень нечетной степени
При извлечении корня нечетной степени из положительного числа будем всегда получать положительное число, например:
При извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа будем всегда получать отрицательное число, например
В данном примере можно легко увидеть почему при извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа всегда будет получаться отрицательно число. Как известно чтобы возвести число в степень необходимо его умножить само на себя в количестве показателя степени : если (-6) умножить на (-6) получится положительное число 36 (мы знаем, что при умножении двух отрицательных чисел будет получаться положительное число), затем если умножить число 36 на (-6) получим -216, так как при умножении отрицательного числа на положительное всегда будет получаться отрицательное число.
Корень четной степени
При извлечении корня четной степени из положительного числа всегда будет получать два значения с противоположенными знаками. Это связанно с тем, что если представить, к примеру функцию квадратного корня y= √x и посмотреть на ее график, то мы увидим, что каждому значению xсоответствует два значения корня, одно положительное, а другое отрицательное.
Для понимания данного факта, нет необходимости строить график, рассмотрим на примере извлечение квадратного корня из числа 4:
Квадратный корень из 4 равен 2. Проверим 2 ⋅ 2 = 4 и -2 ⋅(-2) = 4.
Приведем еще пример с четной степенью корня для положительного числа.
Корень степени 4 за числа 81 равен 3. Проверим 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 и -3 ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = 81
Теперь рассмотрим ситуацию, когда под корнем четной степени стоит отрицательное число.
Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например, √-4 теперь подумаем есть ли вообще такое число, которое при возведении в квадрат давало бы -4? Ответ – нет! Любое число при возведении в четную степень всегда будет положительным.
Поэтому корня чётной степени из любого отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.
Тем не менее извлечь корень четной степени всё-таки можно, но результатом будет всегда комплексное число, например:
Арифметический и алгебраический корни
Для упрощения записи корня четной степени из положительного числа, в калькуляторах, школьных учебниках и т.д. было введено понятие арифметического корня, значение которого, представляется всегда положительным числом. Алгебраический корень в свою очередь для корня четной степени из положительного числа является полным ответом и содержит как положительные, так и отрицательные значения.
Арифметический корень – упрощенная запись корня четной степени из положительного числа, всегда положительный. Например:
Алгебраический корень – полная запись корня четной степени из положительного числа.
Например:
Как упростить корень
Для того, чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители (для разложения числа на простые множители можно воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз. Например:
Как мы уже разобрали извлечь корень из числа а означает возведение числа a в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня, поэтому следуя данному правилу мы легко выносим множители из под корня. Распишем предыдущие два примера еще раз:
Решение корней в онлайн калькуляторе ⋆ Компьютерные технологии
Решение корней — одна из многих функций, которой обладает бесплатный калькулятор, размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.
Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени калькулятор онлайн посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.
Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.
Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений.
И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.
Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.
Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице кнопки калькулятора онлайн.
Извлечение квадратного корня
Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.
Пример решения квадратных корней в калькуляторе:
Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.
Квадратный корень из отрицательного числа:
Корень третьей степени
Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).
Корень 3 степени:
Корень степени n
Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).
Корень 4 степени:
Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.
Корень 5 степени с приблизительным результатом:
Корень из дроби
Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.
Квадратный корень из дроби:
Корень из корня
В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.
Пример, как извлечь корень из корня:
Степень в корне
Выполняя извлечение корня степени, следует помнить, что по свойству корней степень самого корня и степень под корнем по возможности сокращаются на наибольший общий делитель (НОД).
Кстати, функционал калькулятора включает также нахождение НОД, подробнее на странице дополнительные функции.
Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.
Квадратный корень из степени:
Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе. Функции онлайн калькулятора >>
Калькулятор квадратного корня — извлечение квадратного корня из числа с шагом
Образец: Вычисление квадратного корня из 5 методом деления влево. Для цифр после запятой соедините их слева направо).
Таким образом, мы имеем, 05
Выполняем деление, как показано ниже:
1.
Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу в самой левой группе ( 2 2 < 5 < 3 3 ). Возьмите это число в качестве делителя и частное с числом в самой левой группе в качестве делимого (05). Разделите и получите остаток (1 в данном случае).
| 2 | ||||
| 2 | ||||
| − | 4 | |||
| 1 |
2. Поставьте десятичную точку.
3.
Помните: Десятичное число, например 3, можно записать как 3,0, 3,00 и так далее. Внесите следующую пару 00. Добавьте делитель с частным и введите его с пробелом справа. Угадайте максимально возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новым цифра в частном, такая, что при умножении нового делителя на новый частное произведения меньше или равно делимому. В данном случае 42 × 2 = 84, поэтому мы выбираем новую цифру 9.0003 2 . Получите остаток.
| 2.2 | ||||
| 2 | 05. 00 | |||
| + | 2 | − | 4 | |
| 4 2 | 100 | |||
| — | ||||
| 16 | ||||
| 16 | ||||
| 16 | ||||
| 16 | 16 | 16 | 16 | 0024 |
4.
Помните: Десятичный номер, скажем, 3 может быть записано как 3,0, 3,00 и так. Внесите следующую пару 00. Добавьте делитель с частным и введите его с пробелом справа. Угадайте максимально возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новым цифра в частном, такая, что при умножении нового делителя на новый частное произведения меньше или равно делимому. В этом случае 443 × 3 = 1329., поэтому мы выбираем новую цифру как
| 2.23 | ||||
| 2 | 05.00 00 | |||
| + | 2 | − | 4 | |
| 4 2 | 100 | |||
| + | 2 | − | 84 | |
| 44 3 | 1600 | |||
| − | 1329 | |||
| 271 | ||||
5
Помните: Десятичное число, скажем, 3 можно записать как 3,0, 3,00 и так далее.
Внесите следующую пару 00. Добавьте делитель с частным и введите его с пробелом справа.
Угадайте максимально возможную цифру, чтобы заполнить пробел, который также станет новым
цифра в частном, такая, что при умножении нового делителя на новый
частное произведения меньше или равно делимому.
В этом случае 4466 × 6 = 2679.6, поэтому мы выбираем новую цифру как 6 . Получите остаток.
| 2.236 | ||||
| 2 | 05.0000 00 | |||
| + | 2 | − | 4 | |
| 4 2 | 100 | |||
| + | 2 | − | 84 | |
| 44 3 | 1600 | |||
| + | 3 | − | 1329 | |
| 446 6 | 27100 | |||
| − | 26796 | |||
| 304 | ||||
024
Квадратный корень из 5 = √5 = 2,236
Калькулятор квадратного корня — MathCracker.com
Инструкции: Используйте этот калькулятор квадратного корня, чтобы уменьшить и вычислить любое выражение, включающее корни/радикалы, показывая все шаги. Пожалуйста, введите выражение квадратного корня, которое вы хотите упростить.
Подробнее об этом калькуляторе квадратного корня
Этот калькулятор позволяет упростить и вычислить любое допустимое выражение квадратного корня, показывая все шаги. Тебе следует
обеспечить действительное выражение, включающее радикалы. Например, это может быть что-то вроде «sqrt(1/2 + 1/3)» или что-то в этом роде.
более сложный, например ‘sqrt((1/3+1/4)/(1/3+1/5))’.
После того, как вы введете правильное выражение, включающее квадратные корни, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Рассчитать», и пошаговые вычисления будут выполнены. быть предоставлены вам.
Выражения с квадратным корнем обычно можно упростить, если в них используется умножение, но часто их невозможно упростить дальше. Например, что-то вроде \(\sqrt 2 + \sqrt{3}\) нельзя упростить дальше, но для чего-то вроде \(\sqrt 2 \cdot \sqrt{8}\) мы, безусловно, можем упростить:
\[\sqrt 2 \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8}= \sqrt{16} = 4\]
Формула квадратного корня
Есть несколько правил или основных формул, необходимых для упрощения подкоренных выражений. Эти правила — все, что необходимо для уменьшения любого выражение квадратного корня, следуя приоритетам PEMDAS для операций
Правила упрощения извлечения квадратного корня
- Правило 1: Это основное правило: \(\sqrt x \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x y}\)
- Правило 2: Следствие предыдущего правила, но полезно использовать его как отдельное правило: \(\sqrt{x \cdot y} = |x|\)
- Правило 3: Другое основное правило: \(\frac{\sqrt x}{\sqrt{y}] = \sqrt{\frac{x}{y}}\)
Мы могли бы добавить в список больше правил, но все остальные вытекают из этих.
Когда дело доходит до правил алгебры, лучше всего иметь
глубокое понимание нескольких правил, чем свободное владение многими правилами.
Как упростить квадратные корни и радикалы?
Не всегда возможно упростить квадратные корни, но часто можно сделать хоть какое-то упрощение. В общих чертах, вы будете использовать Правило 1, чтобы группировать (или дегруппировать) выражения под радикалом.
И вы будете использовать Правило 2, чтобы удалить радикалы из подходящих терминов. Вот и все, что вам нужно. Остальное практика.
Каковы шаги для упрощения квадратных корней?
- Шаг 1. Определите выражение корня и оцените, есть ли у вас один или несколько корней
- Шаг 2: Если у вас более одного радикала, вы можете сгруппировать их, которые перемножаются друг с другом, используя Правило 1. Вы можете сгруппировать их под одним радикалом
- Шаг 3: Если есть разделение радикалов, можно использовать Правило 3, чтобы сгруппировать их под одним радикалом
- Шаг 4.
После того, как вы воспользовались правилом 1 или 3, чтобы максимально сгруппировать радикалы, вы используете правило 2, поэтому посмотрите, какую часть выражения можно убрать из
радикал
После того, как вы воспользовались правилом 1 или 3, чтобы максимально сгруппировать радикалы, вы используете правило 2, поэтому посмотрите, какую часть выражения можно убрать из
радикалВ конечном счете, игра групповая и потенциальная «отменяет» подкоренное из части выражения (если не все) в числителе на знаменатель в дроби). 92} = |1| = 1 \), по правилу 2.
Калькулятор квадратного корня дробей
Вопрос, можно ли использовать те же правила для калькулятора квадратного корня дробей? Ответ: абсолютно. Идея точно такая же, групповые радикалы которые умножают друг друга, а потенциал удаляет радикал из части выражения.
При работе с дробями выражение, скорее всего, тоже будет дробью, и вам придется иметь дело с упрощениями в числителе и знаменателе все время. такой же. 92} = |5| = 5\]
, что завершает расчет.
Пример: упрощение квадратного корня
Можете ли вы упростить квадратный корень из 10? ,
мы можем написать \(\sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 2}\), но это не упрощение, а расширение.