Опубликовано Калькулятор Интегралов • По шагам!
Поддержка
Вам помог мой калькулятор? Расскажите своим друзьям об этом Калькуляторе и Вы тоже сможете мне помочь!
Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки«. Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.
Как работает Калькулятор Интегралов
Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.
Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета.
Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.
Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.
По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).
Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю.
Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.
Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты.
С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.
Еще один режим работы «Проверка решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.
Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.
Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.
| ||
| ||
• С шагами!
Поддержка
Пожертвование
Помог ли вам этот калькулятор? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку.
Вы можете сделать пожертвование через PayPal.
Выше введите функцию для интеграции. Переменная интегрирования , границы интегрирования и более могут быть изменены в « Options «. Щелкните « Go! «, чтобы начать вычисление интеграла/первообразной. Результат будет показан далее.
Как работает интегральный калькулятор
Для тех, кто имеет техническое образование, в следующем разделе объясняется, как работает интегральный калькулятор.
Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см. рисунок ниже). При этом интегральный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Интегральный калькулятор должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.
Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере.
Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX. MathJax позаботится об отображении его в браузере.
Когда «Вперед!» После нажатия кнопки Калькулятор интегралов отправляет математическую функцию и настройки (переменную интегрирования и границы интегрирования) на сервер, где она снова анализируется. На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.
Maxima фактически вычисляет интеграл математической функции. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю. Первообразная вычисляется с использованием алгоритма Риша, который трудно понять людям. Вот почему показать этапы вычисления интегралов очень сложно.
Чтобы показать шаги, калькулятор применяет те же методы интеграции, что и человек. Программа, которая это делает, разрабатывалась в течение нескольких лет и написана на собственном языке программирования Maxima. Он состоит из более чем 17000 строк кода.
Когда подынтегральное выражение соответствует известной форме, оно применяет фиксированные правила для решения интеграла (например, разложение на частичные дроби для рациональных функций, тригонометрическая замена подынтегральных выражений, включающих квадратные корни квадратного многочлена, или интегрирование по частям для произведений определенных функций). . В противном случае он пробует различные подстановки и преобразования до тех пор, пока либо интеграл не будет решен, либо не истечет время, либо не останется ничего, что можно было бы попробовать. Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень полезна для нахождения первообразной, но, с другой стороны, он может перепробовать большое количество возможностей за короткое время. Пошаговые первообразные часто намного короче и элегантнее, чем найденные Максимой.
Функция «Проверить ответ» должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima.
Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена. В противном случае применяется вероятностный алгоритм, который оценивает и сравнивает обе функции в случайно выбранных местах. В случае первообразных вся процедура повторяется для каждой производной функции, поскольку первообразные могут отличаться на константу.
Графики интерактивных функций рассчитываются в браузере и отображаются в элементе холста (HTML5). Для каждой отображаемой функции калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется небольшими шагами, чтобы построить график. При построении графика особенности (например, полюса) обнаруживаются и обрабатываются особым образом. Управление жестами реализовано с помощью Hammer.js.
Если у вас есть какие-либо вопросы или идеи по улучшению интегрального калькулятора, не стесняйтесь писать мне по электронной почте.
Уравнение прямой по двум точкам
Учеба Математика
Этот онлайн-калькулятор находит уравнение прямой по двум точкам на прямой в параметрической форме
Вы можете найти уравнение прямой через две точки, лежащие на этой прямой.
Однако существуют разные формы линейного уравнения. Здесь вы можете найти два калькулятора уравнения прямой:
Также текст и формулы под калькуляторами описывают, как найти уравнение прямой по двум точкам вручную.
Уравнение линии с наклоном из двух точек
Первая точка
Вторая точка
Уравнение линии
Наклон
. Уравнение параметрической линии из двух точек
Первая точка
Вторая точка
Уравнение для x
Уравнение для y
Вектор направления
Точность вычислений
Знаки после запятой: 2
Как найти уравнение прямой в форме наклон-пересечение
Найдем уравнение прямой из двух известных точки и .
Нам нужно найти наклон a и точку пересечения b .
Для двух известных точек имеем два уравнения относительно a и b
Вычтем первое из второго
И оттуда
Обратите внимание, что b можно выразить следующим образом:
Итак, когда у нас есть a , легко вычислить b , просто подставив или к приведенному выше выражению.
Наконец, мы используем рассчитанные a и b , чтобы записать результат как
Уравнение вертикальной линии проходит параллельно оси Y. Уравнение линии в этом случае становится
Уравнение горизонтальной линии
Обратите внимание, что в случае горизонтальной линии наклон равен нулю, а точка пересечения равна y-координате точек, поскольку линия проходит параллельно оси x. Уравнение прямой в этом случае принимает вид
Как найти уравнение прямой линии с наклоном, пример
Задача: найти уравнение линии в форме точки пересечения с заданными точками (-1, 1) и (2). , 4)
Решение:
- Вычислить наклон и :
- Вычислите точку пересечения b , используя координаты любой точки. Здесь мы используем координаты (-1, 1):
- Напишите окончательное уравнение прямой (мы опускаем наклон, потому что он равен единице):
А вот как вы должны ввести эту задачу в калькулятор выше: пример уравнения линии наклон-пересечение
Параметрические уравнения линии
Давайте узнаем параметрическую форму уравнения линии из двух известных точек и .
Нам нужно найти компоненты вектора направления , также известного как вектор смещения .
Этот вектор определяет расстояние и направление воображаемого движения по прямой линии от первой точки до второй точки.
Если у нас есть вектор направления из в , наши параметрические уравнения будут
Обратите внимание, что если , то и если , то
Уравнение вертикальной линии
Обратите внимание, что в случае вертикальной линии горизонтальное смещение равно нулю потому что линия проходит параллельно оси Y. Уравнения линии в этом случае становятся
Уравнение горизонтальной линии
Обратите внимание, что в случае горизонтальной линии вертикальное смещение равно нулю, поскольку линия проходит параллельно оси x. Уравнения линии в этом случае принимают вид
Как найти параметрическое уравнение линии пример
Задача: Найти уравнение линии в параметрической форме по заданным точкам (-1, 1) и (2, 4)
Решение:
- Вычислить вектор смещения:
URL, скопированный в буфер обмена
Аналогичные калькуляторы
- • Параллельные и перпендикулярные линии на плоскости
- • Кубическое уравнение
- • Линейные уравнения диофантина .
