Опубликовано Функция синуса: онлайн калькулятор, формулы, график
Тригонометрия – это раздел математики, изначально изучающий соотношения углов и сторон в прямоугольном треугольнике. Со временем тригонометрические функции расширились на числовую ось и вышли за переделы геометрии.
Из истории вопроса
Ученые полагают, что основы тригонометрии заложили древние астрономы. Еще в Древних государствах Египта, Вавилона и Китая встречались задачи на поиск углов и сторон прямоугольного треугольника. Именно тогда были введены градусы, минуты и секунды для характеристик величины углов, а также выведено знаменитое выражение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Позднее выражение a2 + b2 = c2 получило название теоремы Пифагора в честь самосского математика, впервые доказавшего данное утверждение.
Систематизация разрозненных знаний и гипотез о свойствах прямоугольного треугольника произошла в Древней Греции, когда впервые были четко выделены основные тригонометрические определения.
В книге «Начала» Евклида приведены первые теоремы о соотношениях углов и сторон в прямоугольном треугольнике, а также выведен словесный аналог теоремы косинусов. Тригонометрия планомерно развивалась даже во времена Средневековья, а современный вид этой науке придал знаменитый ученый Леонард Эйлер, который расширил влияние тригонометрических функций на другие разделы математики.
Определение синуса
Две стороны, образующие прямой угол треугольника, называются катетами. Обозначим их буквами a и b. Самая длинная сторона треугольника носит название гипотенузы и обозначается литерой c. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3, b = 4, c = 5, при этом гипотенуза и катет образуют некий угол cb. Мы можем найти соотношение катетов к гипотенузе, которые будут равны a/c = 3/5 или b/c= 4/5. Или соотношение катетов a/b = 3/4 и b/a = 4/3. На первый взгляд эти рациональные числа не дают нам ровно никакой информации.
Но попробуем увеличить стороны так, чтобы угол cb остался неизменным.
Для этого нам потребуется подобный треугольник, но больше исходного. Пусть наш новый треугольник имеет стороны m = 9, n = 12 иk = 15. Это увеличенный в три раза треугольник, угол которого nk равен углу cb. Посмотрим на те же соотношения сторон, например, катета к гипотенузе m/k = 9/15 = 3/5 и n/k = 12/15 = 4/5. Удивительно, но при неизменном угле соотношения сторон прямоугольного треугольника совершенно не изменяются, а потому они заслужили собственные названия в пантеоне математических терминов.
Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащему чему? Углу, для которого он рассчитывается. В этом кроется весь смысл тригонометрии. Как только мы изменим угол, все наши соотношения также изменятся. Неважно, какого размера катеты и гипотенузы при угле cb и равном ему nk, так как отношение сторон для него всегда будет фиксированным и равным 3/5. Это утверждение легко проверить на практике, вычисляя отношение сторон угла, равного приблизительно 37 градусов.
Угол – всему голова.
Несмотря на то, что каждая тригонометрическая функция – это соотношение сторон, рассчитывает такое соотношение всегда и только для угла. Изменяется угол – изменяется и его синус. Для каждого целого градуса от 0 до 360 градусов известны значения соответствующих синусов, которые легко отыскать в известной четырехзначной таблице, созданной советским математиком Владимиром Брадисом. Можно не заморачиваться поиском значений в таблице и посчитать прямо на калькуляторе.
Применение функции
Прежде всего тригонометрические функции используются в геометрии для расчета углов или длин сторон. Например, мы знаем, что синус некоторого угла равен единице. Это важное значение, и его помнят школьники и студенты, которые сразу могут сказать, что синус, равный единице, имеет только прямой угол, равный 90 градусов. Однако синусы находят применение и в куда более интересных областях науки. Когда Леонард Эйлер расширил тригонометрию до алгебры, синусы появились в физике и механике. Волновые процессы – наиболее известная тема школьных уроков физики.
Любое волновое движение описывается при помощи тригонометрических функций.
Представьте себе маятник, который пока еще находится в состоянии покоя, то есть в нулевой точке. Толчок приводит маятник в движение. Теперь мы легко можем описать это движение при помощи синусоидальной функции вида y = sinx. Однако наш маятник не может колебаться по идеальной синусоиде, у него наверняка есть амплитуда или размах колебаний, а также частота или скорость. Как это выразить математически?
Наша функция стартовала с нуля, поэтому мы можем записать y = 0 + sinx, что излишне, поэтому оставим y= sinx. Пусть маятник при движении делает 10 см то в одну сторону, то в другую. Это амплитуда, а значит наша функция преобразится в y = 10 sinx. Кроме того, маятник делает 20 шагов в обе стороны в минуту, следовательно, это частота, которая запишется как y = 10sin20x. При помощи такой простой функции мы описали движение маятника, но синусоидой легко описать любые волновые процессы.
Наша программа позволяет вычислять синусы углов или определять величину угла по известному синусу.
Для этого достаточно ввести в соответствующие ячейки значение синуса или величину угла в радианах или градусах, после чего калькулятор выдаст результат. Рассмотрим пример работы программы на простой школьной задаче по тригонометрии.
Пример из жизни
Школьная задача
Существует несколько особенных значений углов, которые чаще всего встречаются не только в задачах, но и в инженерных расчетах. Прежде всего это прямой угол, равный 90 градусов, а также углы величиной 30, 45, 60, 180, 270 и 360. Давайте вычислим эти значения при помощи нашего онлайн-калькулятора:
- sin0 = 0
- sin30 = 0,5
- sin45 = 0,7071
- sin60 = 0,8660
- sin90 = 1
- sin180 = 0
- sin270 = -1
- sin360 = 0.
Естественно, данные значения рассчитаны для углов, измеренных в градусах. Для углов больше 360 градусов значения синусов циклически повторяются.
Заключение
Тригонометрия – важный раздел математической науки, который находит применение не только в геометрии или физике, но и в астрономии, экономике, механике и даже биологии.
Используйте наш калькулятор для вычисления синусов любых углов.
Калькулятор Греха — Mathcracker.Com
Инструкции: Используйте этот калькулятор греха для вычисления любой операции, включающей грех. Если это числовое выражение с синусом, калькулятор упростит его, а если это функция с синусом, то построит график. Пожалуйста, введите выражение греха, с которым вы хотите работать.
Об этом калькуляторе грехов
Этот
калькулятор грехов
для вас будет два следующих: вы можете указать числовое выражение, такое как sin(pi/4), и в этом случае калькулятор упростит его и при необходимости даст приблизительное числовое значение.
Затем процесс прост: как только вы предоставили выражение греха вы хотите рассчитать, вы просто нажимаете кнопку «Рассчитать», которая находится под формой, чтобы получить шаги решения.
Синус вместе с
косинус
два краеугольных камня тригонометрии. Вы увидите синус и косинус повсюду, когда
решение треугольников
, например, но и в таких областях, как физика.
Как посчитать грех?
Грех является одним из основных строительных блоков в геометрии и тригонометрии. Sin — это величина, которую можно вычислить для углов в контексте прямоугольного треугольника. Когда один из углов прямоугольного треугольника не равен 90 О
Тогда формула греха
\[\sin \theta = \frac{\text{Opposite Side} }{ \text{Hypothenuse} }\]
Чему равен грех?
Sin — это безразмерная величина, которая измеряет величину наклона угла относительно горизонтальной точки отсчета, где находится соседняя сторона.
Когда sin равен нулю, тогда и угол равен нулю, поэтому отверстия нет. Максимальное раскрытие угла происходит, когда sin = 1, что происходит при 90°.
О
.
Что такое грех 1?
Этот вопрос может показаться невинным, но он часто приводит к путанице. В формальной математике все тригонометрические функции по умолчанию измеряются в радианах. Но по какой-то причине радианы малоизвестны или слишком популярны среди студентов, которые предпочитают использовать в качестве меры градусы, потому что они просто более привычны.
Студенты хорошо знают заметные углы в градусах, такие как 90
О
прямой угол и 360
О
будучи полным кругом.
Вы можете использовать это
градус в радиан калькулятор
перемещаться между двумя системами.
Таким образом, правильный ответ на вопрос о том, что такое sin(1), состоит в том, что sin(1) приблизительно равен 0,841471, когда предполагается, что угол 1 выражается в радианах. Теперь sin(1) приблизительно равен 0,017452, когда предполагается, что 1 выражается в градусах. Поэтому при работе с углами следует проявлять крайнюю осторожность.
Чему равен синус минус 1?
Еще один вопрос, на который формально есть простой ответ, но иногда он зависит от используемого соглашения. Синус к отрицательной 1 необходимо уточнить, так как синус — это функция.
Могу ли я использовать научный калькулятор для расчета греха
На самом деле вы можете, но одно преимущество использования этого калькулятор грехов заключается в том, что вы получите шаги, показанные вместе с результатом. Большинство калькуляторов покажет только окончательный ответ.
Как пользоваться калькулятором грехов?
Основная идея калькулятора греха заключается в оценке выражений греха, которые вы предоставляете. Вот некоторые заметные углы, обычно кратные или дробные числа \(\pi\), которые являются простыми, целыми или дробными результатами при вычислении их греха, поэтому рекомендуется использовать калькулятор выражения греха, чтобы помочь вам в этом.
Нелегко запомнить все расчеты греха для ВСЕХ заметных углов, и в конечном итоге вы будете работать с треугольником, пытаясь получить ответ вручную, и калькулятор пригодится, чтобы перепроверить то, что вы получите вручную.
Кроме того, вместо этого вы можете ввести в калькулятор функцию sin, например sin(pi x), и вместо оценки нескольких точек этот калькулятор выдаст вам соответствующий график.
Каковы шаги для использования калькулятора грехов?
- Шаг 1: Определите выражение греха, которое вы хотите вычислить
-
Шаг 2: Введите выражение в соответствующее поле.
Вам не нужно предварительно упрощать, калькулятор сделает это за вас
- Шаг 3: Калькулятор проверит, можно ли вычислить выражение, и в этом случае оно уменьшится до простейших выражений.
- Шаг 4: Если sin все еще присутствует в выражении, потому что его нельзя было упростить дальше, например, sin(3/4), калькулятор выдаст вам приблизительное числовое значение.
- Шаг 5: Если вместо этого предоставляется функция sin, будет предоставлен график
Вам не нужно предварительно упрощать, калькулятор сделает это за вас
Мы не можем не подчеркнуть важность правильного вычисления операций с синусоидами, так как они будут встречаться буквально везде.
2(x) = 1 \]
Почему грех так важен?
Синусы важны, потому что наряду с косинусами находятся в центре и ядре построения круга. И затем круги содержат много других конструкций, таких как треугольники и так далее.
Следовательно, синус и косинус запутываются в каждой геометрической конструкции.
Пример: калькулятор греха
Вычислите следующее выражение sin: \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
Отвечать: Для расчета было предложено следующее тригонометрическое выражение:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\]
Изучив данное тригонометрическое выражение, мы можем найти один заметный угол, который равен \(\sin\left(\frac{\pi{}}{3}\right)\).
▹ Для угла \(\frac{\pi{}}{3}\) графически получаем:
Приведенное тригонометрическое выражение можно упростить следующим образом:
\( \displaystyle \sin\left(\frac{\pi{}}{3}\right)\)
Evaluating the trigonometric expression at the notable angle \(\displaystyle\frac{\pi{}}{3}\) we get that: \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi{}}{3}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
Заключение:
Делаем вывод, что \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \approx 0.
866\).
Пример: больше вычислений синуса
Рассчитайте следующее: \( \sin\left(\frac{5}{4}\right) \)
Отвечать: Для расчета было предложено следующее тригонометрическое выражение:
\[ \sin\left(\frac{5}{4}\right)\]
но это данное тригонометрическое выражение не может быть далее упрощено.
Заключение:
Переданная функция не может быть упрощена, и мы получаем примерно \(\displaystyle \sin\left(\frac{5}{4}\right) \approx 0.
949\).
Пример: функция sin
Вычислите \( \sin(3x + 1) \).
Отвечать: Нам нужно работать со следующей тригонометрической функцией
\[f(x) = \sin\left(3x+1\right)\]
На основе переданного аргумента тригонометрической функции частота и период вычисляются следующим образом:
\[ \begin{array}{ccl} \text{Period} & = & \displaystyle\frac{2\pi}{3} \\\\ \\\\ & \approx & 2.
0944 \end{array}\]
а также
\[ \begin{array}{ccl} \text{Frequency} & = & \displaystyle\frac{3}{2\pi} \\\\ \\\\ & \approx & 0.4775 \end{array}\]
На основе предоставленной тригонометрической функции \(f(x) = \sin\left(3x+1\right)\) мы получаем, что:
» Амплитуда в данном случае равна \(A = 1\).
» Фазовый сдвиг равен \(\displaystyle\frac{-1}{3} = -0.3333\).
» Вертикальный сдвиг равен \( 0\).
Подводя итог, для заданной тригонометрической функции было найдено следующее
-
Период = \(2. 0944\)
- Частота = \(0.4775\)
- Амплитуда = \(1\)
- Фазовый сдвиг = \(-0.3333\)
- Вертикальный сдвиг = \(\displaystyle 0\)
0944\)
Ниже приведен соответствующий график
Еще тригонометрические калькуляторы
Тригонометрия объединяет все эти понятия вместе, в том числе
круги
и
треугольники, и как грех, и
потому что
находятся в самой его основе.
Работа с тригонометрические выражения Это еще один важный навык, который вам очень важно приобрести.
Экспресс в терминах синуса и косинуса Калькулятор и Решатель
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Экспресс в терминах синуса и косинуса . Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
900 06 9а
б
в
d
f
g
m
n
u
v
w
x 90 007
y
z
.
(◻)
+
—
×
◻/◻
/
÷
◻ 90 069 2
◻ ◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
пер.
журнал
журнал ◻
lim
d/dx
D □ x
9 0006 ∫∫ ◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
кроватка
sec
csc
asin
acos
atan
acot
асек
акск
шп
щ
танх
кэт
сэч
сч
аш
аш
атанх
акот
асеч
ашч
Пример
Решенные проблемы
Сложные задачи
1
Решенный пример выражения через синус и косинус
$\frac{1-\tan\left(x\right)}{1+\tan\left(x\right)}$
2
Переписать $1-\tan\left(x\right)$ в терминах синуса и косинуса
$1-\tan\left(x\right)$
3
Применение тождества касательной: $\displaystyle\tan\left(\theta\right)=\frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)}$
$1+\frac{-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$
4
Объединить все члены в одну дробь с $\cos\left(x\right)$ в качестве общего знаменателя
$\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)} {\ cos \ влево (х \ вправо)} $
5
В исходном выражении замените $1-\tan\left(x\right)$ на $\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{\cos\ влево (х \ вправо)} $
$ \ гидроразрыва {\ соз \ влево (х \ вправо) — \ грех \ влево (х \ вправо)} {\ соз \ влево (х \ вправо)}} { 1+\загар\влево(х\вправо)}$
6
Разделить дроби $\frac{\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}}{1+\tan\left (x\right)}$ с сохранением, изменением, отражением: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a }{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$
$\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\ вправо)}{\cos\влево(х\вправо)\влево(1+\загар\влево(х\вправо)\вправо)}$
7
Умножить один член $\cos\left(x\right)$ на каждый член многочлена $\left(1+\tan\left(x\right)\right)$
$\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)+\tan\left(x\right)\cos\left (x\right)}$
Промежуточные шаги
Применение тождества касательной: $\displaystyle\tan\left(\theta\right)=\frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos \left(\theta\right)}$
$\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\cos\left(x\right)$
Умножение дробь на $\cos\left(x\right)$
$\frac{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} $
Упростите дробь $\frac{\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$ на $\cos\left(x\right) )$
$\sin\left(x\right)$
8
Применяя тригонометрическое тождество: $\tan\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\theta\right)=\sin\left(\theta\right)$
$\frac{\cos \left(x\right)-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}$
Окончательный ответ
$\frac{\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Калькулятор синуса
- Домашний
- Расчет
- Математика
- Калькулятор синуса
Калькулятор синуса
Результат:
| грех(Х): | 0 |
Что такое синус?
Синус — это тригонометрическая функция.
В прямоугольном треугольнике синус угла x определяется как отношение стороны, противоположной углу, к гипотенузе.
$$sin\, x = {противоположные \над гипотенузой}$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный ниже.
В этом треугольнике прямой угол лежит в точке B. Мы хотим найти синус x. Сторона, противолежащая углу x, равна АВ, а гипотенуза — АС. Следовательно,
$$sin\, x\, =\, {противоположно \над гипотенузой} \,=\,{AB\над AC}$$
Свойства синуса
Ниже приведены некоторые свойства синуса синусоидальная функция.
Угол – Обозначается переменной x или θ, это параметр, для которого вычисляется значение синуса.
Домен – значения угла x, для которых мы можем вычислить sin(x). Это значение изменяется от -инфинитива до +инфинитива.
Диапазон – значения, между которыми лежит sin(x) любого угла x. Это значение равно -1≤ sin(x) ≤1.
Период – Горизонтальная длина одного полного цикла функции синуса.
Период для sin(x) составляет 2π радиан или 360⁰.
Ниже приведен график функции синуса.
Функция синуса периодична по своей природе с периодом 2π радиан (или 360⁰). Это означает, что график повторяется каждые 2π радиан. На приведенном выше графике ось x обозначает угол, а ось y обозначает синус этого угла.
Из графика видно, что sin(x) изменяется от 0 до +1, а затем падает до -1. Оттуда снова идет вверх. Он достигает значения +1 при π/2 радианах и -1 при 3π/2 радианах.
Значения sin(x)
Ниже приведены некоторые часто используемые значения sin(x).
| Угол x в градусах | Угол x в радианах | Грех(х) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 30 | $$π\over6$$ | $$1\over2$$ |
| 45 | $$π\over4$$ | $$1\over√2$$ |
| 60 | $$π\over3$$ | $$√3\более2$$ |
| 90 | $$π\over2$$ | 1 |
| 120 | $$2π\over3$$ | $$√3\более2$$ |
| 135 | $$3π\over4$$ | $$1\over√2$$ |
| 150 | $$5π\over6$$ | $$1\over2$$ |
| 180 | № | 0 |
| 270 | $$3π\over2$$ | -1 |
| 360 | 2π | 0 |
Значение sin(x) может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, где угол x находится в четырех квадрантах.
Например, sin(150⁰) — положительное значение, а sin(270⁰) — отрицательное. Это было проиллюстрировано ниже.
| Квадрант | x в градусах | x в радианах | Знак синуса | Диапазон значений sin |
|---|---|---|---|---|
| 1 | от 0⁰ до 90⁰ | $$0\, до\, {π\over2}$$ | + | 0 |
| 2 | от 90⁰ до 180⁰ | $${π\over2}\, до\, π$$ | + | 0 |
| 3 | от 180⁰ до 270⁰ | $$π\, to\, {3π\over2}$$ | — | -1 |
| 4 | от 270⁰ до 360⁰ | $${3π\over2}\, до\, 2π$$ | — | -1 |
Если угол x не лежит в пределах от 0⁰ до 360⁰ (или от 0 до 2π радиан), его можно выразить как кратное, сумму или разность одного из указанных выше углов, а затем определить его синусоидальное значение.
99\over9!} — …$$ Чем больше членов, тем точнее аппроксимация.
Области применения
Тригонометрические функции, такие как функция синуса, могут использоваться для моделирования нескольких реальных сценариев, таких как электрические токи, приливы и радиоволны. Реальные задачи, связанные с гармоническим движением, можно решить, используя функцию синуса, например, распространение звуковых волн в среде. Формула греха также часто используется для решения тригонометрических задач или доказательства тригонометрических тождеств.
В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров задач, связанных с использованием формулы синуса.
Ответ: Эту проблему можно визуализировать следующим образом.
Лестница обозначается AC, длину которой нам нужно узнать. Стена обозначается AB.
Используя формулу синуса, мы можем вычислить длину лестницы.
