Корень 1 9 16: 1) Квадратный корень из 1 целой 9/16 = ?2) (Всё под одним общим квадратным корнем) 3 целых

Библия онлайн, Синодальный перевод == БИБЛИЯ-ЦЕНТР

Страх Божий, как видим, не исключает дерзновения, с которым Аввакум задаёт Творцу свои вопросы. Кому-то они могли бы показаться неблагочестивыми… 

Страх Божий, как видим, не исключает дерзновения, с которым Аввакум задаёт Творцу свои вопросы. Кому-то они могли бы показаться неблагочестивыми, ведь можно расценить и так, что Аввакум, требуя у Господа ответа, вроде бы бросает Ему вызов. А между тем Он не отвергает вопросы Аввакума и отвечает на них. И здесь мы неожиданно открываем для себя, что Господь не закрывается от нас, Он готов дать ответы на любые наши трудные вопросы, если мы готовы услышать и понять их. Мало того, Он не только хочет, чтобы мы постигали и принимали Его волю, но и не отвергает наше желание вести диалог с Ним. В конце концов, это Он наделил человека разумом, а Его дары даны нам не для того, чтобы мы гноили их в дальнем углу кладовки.

Другое дело, что одного лишь человеческого разума для постижения высшей мудрости недостаточно, необходимо доверие к Тому, Чей разум неизмеримо выше. Ведь то, что Господь нам открывает, нашему сознанию часто трудно усвоить.

Доверие Богу тем более необходимо, что закон, на который до сих пор опирались благочестивые, назван потерявшим силу. Закон, конечно же, не стал от этого несостоятельным, но его постоянное нарушение значительно ослабило возможность его полноценного действия. За это придётся расплачиваться: на смену прежнему злу, ставшему привычным, новое зло принесут халдеи. В их лице нарушители ослабленного закона столкнутся с поклоняющимися понятным земным вещам “стихийными материалистами”. Их богом названа сила, они поклоняются тому, что служит усилению их могущества. Язычники-халдеи сравниваются с рыболовами, сетью ловящими людей и отправляющими в рабство, и нам парадоксально вспоминается призыв Христа быть ловцами человеков, обращённый к галилейским рыбакам. Но те, кто согласился быть уловленным сетями апостолов, избавляются от сетей греховного рабства.

Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 24, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Евангелие от Луки, Глава 16, стихи 1-9. Комментирует

Евангелие от Луки, Глава 16, стихи 1-9

01 Сказал же и к ученикам Своим: один человек был богат и имел управителя, на которого донесено было ему, что расточает имение его;

02 и, призвав его, сказал ему: что это я слышу о тебе? дай отчет в управлении твоем, ибо ты не можешь более управлять.

03 Тогда управитель сказал сам в себе: что мне делать? господин мой отнимает у меня управление домом; копать не могу, просить стыжусь;

04 знаю, что сделать, чтобы приняли меня в домы свои, когда отставлен буду от управления домом.

05 И, призвав должников господина своего, каждого порознь, сказал первому: сколько ты должен господину моему?

06 Он сказал: сто мер масла. И сказал ему: возьми твою расписку и садись скорее, напиши: пятьдесят.

07 Потом другому сказал: а ты сколько должен? Он отвечал: сто мер пшеницы. И сказал ему: возьми твою расписку и напиши: восемьдесят.

08 И похвалил господин управителя неверного, что догадливо поступил; ибо сыны века сего догадливее сынов света в своем роде.

09 И Я говорю вам: приобретайте себе друзей богатством неправедным, чтобы они, когда обнищаете, приняли вас в вечные обители.

Притча о неверном или нечестном управителе довольно необычная. По сути дела, в качестве положительного примера выступает обманщик и жулик. Мало того, что он, скорее всего, проворовался и его, как бы мы сегодня сказали, сняли с должности, так он ещё и после этого продолжает свои махинации, а не приходит, как можно было бы ожидать, к покаянию. Ключом для понимания этой притчи служат два важных обстоятельства. Во-первых, гигантский размер тех долгов, с которыми работает неверный управитель. 100 мер масла это отнюдь не какое-то неопределённое число. В более привычных для нас единицах измерения это порядка трёх с половиной тысяч литров. И, конечно, при сельскохозяйственных технологиях двухтысячелетней давности это было гигантское, почти метафорическое, количество. Обычный человек не мог обладать такими богатствами и тем более раздавать кому-то в качестве беспроцентного кредита. Обладает всем и ни в чем не имеет недостатка Один лишь Бог. То есть под именем господина скрывается не обычный богач, а Сам Бог. На это же указывает и второе обстоятельство: в оригинальном тексте слово «господин» передаётся тем же самым словом, которое мы привыкли переводить как «Господь». Неверный управитель имеет дело с Богом. Именно поэтому господин не гневается на своего управителя. Ведь с одной стороны, все принадлежит Богу, а с другой — Бог ни чуть не страдает от того, что Он чего-то лишается.

Христос неоднократно говорил, что тому, кто богат спастись довольно непросто. Корень этой проблемы прекрасно описал святитель Кирилл Александрийский: «богатство делает [людей] презрительными и всевает в обладающих им семена всякого сладострастия». Проблема в том, что если человек многим обладает, то ему свойственно забывать о Том, Кто ему это все дал. Даже если такой человек и помнит о Боге, то чаще всего не как об абсолютном Собственнике всего сотворённого, но как о некоей силе, которую надо вовремя ублажить, чтобы и дальше ни в чем не нуждаться. Считая себя полноправным владельцем собственного богатства, человек забывает о том, что рано или поздно он его лишится, и тогда ему понадобятся друзья, которые будут ждать его в вечных обителях. Этих друзей он может приобрести только через милостыню. Раздавать своё имение, делиться деньгами с малоимущими и нуждающимися — это и означает не жить только для себя, а «в Бога богатеть» (Лк 12:21).

Калькулятор дробей

Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. Е. 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной запятой . , и они автоматически конвертируются в дроби — то есть 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей i.1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичное дробное: 0,625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, порядок или, деление, умножение, сложение, вычитание.
GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

Задачи на дроби в словах:

• Напишите 3
  Напишите реальную задачу, включающую умножение дроби и целого числа с произведением от 8 до 10, затем решите задачу яблоки, вишня 1/3. 5 деревьев грушевые. Сколько всего деревьев?
• Уравнение
  Найдите x: x + 1/2 = 1/3
• Продавец
  Продавец разрезает сырный круг на 10 равных клиньев.Клиент покупает пятую часть колеса. Сколько клиньев покупает покупатель? Используйте числовую строку, чтобы найти решение.
• Бабушка и дедушка
  Торты пекла бабушка. Дед съел половину, потом четверть остатка съели Петр и Павел, половину остатка съели. Для родителей осталось 6 тортов. Сколько лепешек лепила бабушка?
• Поездка
  В поездке ученики выпили 3/10 чая, 2/5 колы, 1/4 минеральной воды и оставшиеся 3 сока. Сколько студентов было в поездке?
• Покупка
  Брат купил 240 крон и мог купить за 1/8 того, что хотел.Мог ли он оплатить оставшуюся часть покупки за 200 крон?
• Класс 9.C
  Профессор собирает деньги в 9.C на школьную поездку. 2/3 собранной суммы было от девочек и 1/4 от мальчиков. Остальные 410 крон пошли из классного фонда. Сколько всего будет стоить школьная поездка?
• Заработок 2
  Рахул зарабатывает 5000 рупий, он экономит 500 рупий. Какой процент от своего заработка он откладывает? *
• Автомобильный бак
  Транспортный бак был заполнен бензином на 3/5. Когда был добавлен 21 литр топлива, он был заполнен на 5/6.Сколько литров бензина может вместить бак?
• Серии и последовательности
  Найти дробь, эквивалентную повторяющейся десятичной дроби? 0.435643564356
• Стержень
  Стержень окрашен в четыре цвета. 55% планки окрашены в синий цвет, 0,2 стержня — в зеленый, 1/8 — в коричневый, а остальные 45 см — в белый цвет. Какой длины стержень?
• Домашнее задание по математике
  Хосе потребовалось две трети часа, чтобы выполнить домашнее задание по математике в понедельник, три четверти часа во вторник и любые две пятых часа в среду.Сколько часов понадобилось Хосе, чтобы полностью выполнить домашнее задание?

следующие математические задачи »

Квадраты и квадратные корни — разница и примеры

Что такое квадрат числа?

Например, квадрат 4 записывается как 4 ² , что дает 16 в качестве ответа.В данном случае 16 — это квадрат числа 4.

Ниже приведен список квадратов первых двенадцати чисел:

1 x 1 = 1 7 x 7 = 49
2 x 2 = 4 8 x 8 = 64
3 x 3 = 9 9 x 9 = 81
4 x 4 = 16 10 x 10 = 100
5 x 5 = 25 11 x 11 = 121
6 x 6 = 36 12 x 12 = 144

Возведение отрицательных чисел в квадрат

Квадрат отрицательного числа — положительное число.Например, -3 x -3 станет 9, однако — 3 x 3 = -9, это потому, что -3 — это число, отличное от 3.

Что такое квадратный корень числа?

Квадратный корень — это операция, обратная возведению числа в квадрат. Другими словами, квадратный корень — это операция, которая отменяет показатель степени 2. Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y ² = x.

Например, 5 и — 5 являются квадратными корнями из 25, потому что:

5 x 5 = 25 и -5 x -5 = 25.

Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x ^1/2 . Например, квадратный корень из 16 представлен как √16 = 4. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √16 = 4, число 16 — подкоренное выражение.

Недвижимость

• Полное квадратное число имеет точный квадратный корень.
• Четное совершенное число имеет четный квадратный корень.
• Нечетное совершенное число имеет нечетный квадратный корень.
• Квадратный корень отрицательного числа не определен.
• Квадратные корни имеют только числа, оканчивающиеся четным числом нулей.

Нахождение квадратного корня чисел

• Повторное вычитание :
  Этот метод включает в себя успешное и многократное вычитание нечетных чисел, таких как 1, 3, 5 и 7, из числа до тех пор, пока не будет достигнут ноль. Квадрат числа равен числу или частоте вычитания числа.Предположим, нам нужно вычислить квадрат совершенного числа, такого как 16, количество выполненных вычитаний равно 4, поэтому квадратный корень из 16 равен 4.
• Факторизация на простые множители :
  В этом методе точное квадратное число разлагается на множители путем последовательных делений. Простые множители группируются в пары, и вычисляется произведение каждого числа. Следовательно, произведение представляет собой квадратный корень из числа. Чтобы найти квадрат совершенного числа, такого как: 144, выполняется как:

1. 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
2. Соедините простые множители.
3. Выбор одного числа из каждой пары.
4. 2 × 2 × 3 = 12.
5. Таким образом, √144 = 12.

• Метод деления:
  Метод деления — подходящий метод вычисления квадрата большого числа.
  
  Следующие шаги:

1. Полоса помещается над каждой парой цифр, начиная с правой стороны.
2. Разделите левое конечное число на число, квадрат которого меньше или эквивалентен числам под левым концом.
3. Возьмите это число в качестве делителя и частного. Аналогичным образом возьмите крайнее левое число в качестве делимого.
4. Разделите, чтобы получить результат.
5. Потяните вниз следующее число с полосой справа от остатка.
6. Умножить делитель на 2.
7. Справа от нового делителя найдите подходящий дивиденд. Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим в качестве остатка ноль. Следовательно, квадрат числа равен частному.

Практические вопросы

1.Запишите значение

(а) √81

(б) √1

(в) √121

(г) √0

2. Найдите квадратные числа из следующего списка чисел: 2 6 11 14 16 18 24 25.

3. Запишите значение (a) 3² (b) 6 в квадрате c) 8² (d) 9 в квадрате (e) 12²

4. Я думаю о двух числах. Оба числа представляют собой квадратные числа больше 1. Если сумма этих чисел равна 100. Какие два числа?

5. Перечислите все квадратные числа от 0 до 100.

Ответы на практические вопросы

1. (а) √81 = 9, (б) √1 = 1 (в) √121 = 11 (г) √0 = 0

2. Квадратные числа: 16 и 25

3. (a) 3² = 9 (b) 6 в квадрате = 36 c) 8 = 64² (d) 9 в квадрате = 81 (e) 12² = 144

4. 36 и 64 — квадратные числа

5. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и 81

Квадраты и квадратные корни в алгебре

Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.

Квадраты

Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …

Пример: Что такое 3 в квадрате?

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)

Квадратный корень

квадратный корень идет в другом направлении:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Определение

Вот определение:

Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

r ² = x
r квадратный корень из x

Символ квадратного корня

Мы можем использовать это так:

мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

Пример: Что такое √36?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Отрицательные числа

Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

Пример: Что такое

Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?

• квадрат 5, тогда минус?
• или квадрат (−5)?

Непонятно! И получаем разные ответы:

• возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
• квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25

Итак, давайте проясним это с помощью «()».

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

Теперь помните наше определение квадратного корня?

Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

r ² = x
r квадратный корень из x

И мы только что обнаружили, что:

(+5) ² = 25
(−5) ² = 25

Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25

Два квадратных корня

Может быть положительных и отрицательных квадратного корня!

Это важно помнить.

Пример: Решите w

Ответ:

w = √a и w = −√a

Главный квадратный корень

Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?

Потому что √ означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!

— это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .

Пример:

Квадратные корни из 36 равны 6 и −6

Но √36 = 6 (не −6)

Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).

Знак плюс-минус

В двух словах

Когда имеем: r ² = x

, тогда: r = ± √x

Почему это важно?

Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!

Пример: Решить x

Начать с: x ² — 9 = 0

Переместите 9 вправо: x ² = 9

Квадратный корень: x = ± √9

Ответ: x = ± 3

Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».

Пример: найти x в (x — 3)

Начать с: (x — 3) ² = 16

Квадратный корень: x — 3 = ± √16

Вычислить √16: x — 3 = ± 4

Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

Ответ: x = 7 или −1

Чек: (7−3) ² = 4 ² = 16
Чек: (−1−3) ² = (−4) ² = 16

Квадратный корень xy

Когда два числа умножаются на на квадратный корень, мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:

√xy = √x√y

, но только если x и y оба больше или равны 0

Пример: Что такое

√ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)

= 10 × 2

= 20

и √x√y = √xy :

Пример: Что такое

√8√2 = √ (8 × 2)

= √16

= 4

Пример: Что такое

√ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)

= ???

Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!

Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4

Да, верно…

Правило работает, только если x и y оба больше или равны 0

Итак, мы не можем использовать это правило здесь.

Вместо этого просто сделайте это так:

√ (−8 × −2) = √16 = +4

Почему √xy = √x√y?

Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат снова возвращает нам исходное значение:

(√a) ² = a

Предполагая, что , не является отрицательным!

Мы можем сделать это для xy: (√xy) ² = xy

А также к x и y по отдельности: (√xy) ² = (√x) ² (√y) ²

Используйте ² b ² = (ab) ² : (√xy) ² = (√x√y) ²

Убрать квадрат с обеих сторон ^{: √xy = √x√y}

Показатель половины

Квадратный корень можно также записать в виде дробной степени от половины:

, но только для x больше или равно 0

Как насчет квадратного корня негативов?

Результат — мнимое число… прочтите эту страницу, чтобы узнать больше.

Извлечение квадратного корня

Извлечение квадратного корня

Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение в форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0. если он равен 0:

, где a , b и c — действительные числа и a 0.Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:

Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.

Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:

Два решения — -2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, давая форму

Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.

Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:

Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,

Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.

Пример 1: Решить: x2−25 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем примените свойство квадратного корня.

Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.

Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.

Пример 2: Решить: x2−5 = 0.

Решение: Обратите внимание, что квадратное выражение слева не множится. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.

Примените свойство квадратного корня.

Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.

Ответ: Решения: −5 и 5.

Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.

Ответ: Решения — 352 и 352.

Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.

Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.

Ответ: Реального решения нет

Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .

Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:

Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.

Ответ: x2−12 = 0

Попробуй! Решите: 9×2−8 = 0.

Ответ: x = −223 или x = 223

Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:

Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, вычитая 25 из обеих частей.

, а затем примените свойство нулевого произведения.

Два решения: −7 и 3.

Когда уравнение имеет такую ​​форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.

Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.

Решение: Решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.

Ответ: Решения -7 и 3.

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, не учитывающие множители.

Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем извлеките корни и упростите.

Решите относительно x .

Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.

Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.

Решение: Начните с выделения квадратного множителя.

Примените свойство квадратного корня и решите.

Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.

Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.

Ответ: 15 ± 63

Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

Решение:

Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

Решить.

Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче требовалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.

Обратно подставьте, чтобы найти длину.

Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.

Основные выводы

• Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
• Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.

Тематические упражнения

Часть A: извлечение квадратного корня

Решите с помощью факторизации, а затем извлеките корни.Проверить ответы.

1. x2−36 = 0

2. x2−81 = 0

3. 4y2−9 = 0

4. 9y2−25 = 0

5. (x − 2) 2−1 = 0

6. (x + 1) 2−4 = 0

7. 4 (y − 2) 2−9 = 0

8. 9 (y + 1) 2−4 = 0

9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0

10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0

11. (x − 5) 2−25 = 0

12. (x + 2) 2−4 = 0

Решите, извлекая корни.

13. x2 = 16

14. x2 = 1

15. y2 = 9

16. y2 = 64

17. x2 = 14

18. x2 = 19

19. y2 = 0,25

20. y2 = 0,04

21. x2 = 12

22. x2 = 18

23. 16×2 = 9

24. 4×2 = 25

25. 2t2 = 1

26.3t2 = 2

27. x2−100 = 0

28. x2−121 = 0

29. y2 + 4 = 0

30. y2 + 1 = 0

31. x2−49 = 0

32. x2−925 = 0

33. y2−0.09 = 0

34. y2−0,81 = 0

35. x2−7 = 0

36. x2−2 = 0

37. x2−8 = 0

38. t2−18 = 0

39. x2 + 8 = 0

40.х2 + 125 = 0

41. 16×2−27 = 0

42. 9×2-8 = 0

43. 2y2−3 = 0

44. 5y2−2 = 0

45. 3×2−1 = 0

46. 6×2−3 = 0

47. (x + 7) 2−4 = 0

48. (x + 9) 2−36 = 0

49. (2y − 3) 2-81 = 0

50. (2у + 1) 2−25 = 0

51. (x − 5) 2−20 = 0

52. (x + 1) 2−28 = 0

53.(3t + 2) 2−6 = 0

54. (3т − 5) 2−10 = 0

55,4 (y + 2) 2−3 = 0

56. 9 (y − 7) 2−5 = 0

57,4 (3x + 1) 2−27 = 0

58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0

59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0

60,5 (2x − 1) 2−3 = 0

61,3 (y − 23) 2−32 = 0

62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0

Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.

63. ± 7

64. ± 13

65. ± 7

66. ± 3

67. ± 35

68. ± 52

69. 1 ± 2

70,2 ± 3

Решите и округлите решения до сотых.

71. 9x (x + 2) = 18x + 1

72. x2 = 10 (x2−2) −5

73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x

74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x

75. (x − 2) 2 = 67−4x

76. (x + 3) 2 = 6x + 59

77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2

78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)

Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.

79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.

80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.

81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.

82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, получится 12. Найдите число.

83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.

84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.

85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)

86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)

87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.

88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.

89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?

90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?

91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.

92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.

93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.

94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.

96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.

97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.

98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)

100. Высота в футах объекта, сброшенного с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?

101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?

г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлите до сотых долей секунды.

102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?

г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлить до сотых долей секунды .

Часть B: Обсуждение

103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.

104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.

105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.

106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.

ответов

1: −6, 6

3: −3/2, 3/2

5: 1, 3

7: 1/2, 7/2

9: -1, 3

11: 0, 10

13: ± 4

15: ± 3

17: ± 1/2

19: ± 0.5

21: ± 23

23: ± 3/4

25: ± 22

27: ± 10

29: Реального решения нет

31: ± 2/3

33: ± 0,3

35: ± 7

37: ± 22

39: Реального решения нет

41: ± 334

43: ± 62

45: ± 33

47: −9, −5

49: −3, 6

51: 5 ± 25

53: −2 ± 63

55: −4 ± 32

57: −2 ± 336

59: Реального решения нет

61: 4 ± 326

63: x2−49 = 0

65: x2−7 = 0

67: x2-45 = 0

69: x2−2x − 1 = 0

71: ± 0.33

73: ± 5,66

75: ± 7,94

77: ± 3.61

79: −3 или 3

81: −33 или 33

83:22 сантиметра

85:32 сантиметра

87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма

89: −6 + 62≈2,49 ед.

91: 2 шт.

93: 522 дюйма

95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов

97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра

99: 3/4 секунды

101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды

Основы квадратного корня (примеры и ответы)

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен освоить основы квадратного корня для решения эти вопросы. Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому.Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении на само себя дает результат после символа √. Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.

Вы можете множить квадратные корни на множители, как и обычные числа , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.

Что такое квадратный корень?

Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя. Например, три в квадрате равно девяти (3 ² = 9), поэтому квадратный корень из девяти равен трем. В символах это

\ sqrt {9} = 3

Символ «√» говорит вам извлекать квадратный корень из числа, и вы можете найти его на большинстве калькуляторов.

Помните, что каждое число имеет два квадратных корня .2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3

, где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях вы можете игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.

Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}

Упрощение квадратных корней

Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете множить квадратные корни на множители так же, как множители обычных чисел. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому

\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}

Упрощение больших корней означает выполнение факторизации шаг за шагом и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}

Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:

\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}

В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому

\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}

Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила

\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a

Что такое квадратный корень…

Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.

Квадратный корень из 8

Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:

\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}

Квадратный корень из 4

. простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задачу можно точно решить с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….

Квадратный корень из 12

Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:

\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}

Опять же, это упрощенное выражение может либо использоваться в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитываться с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что

\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….

Квадратный корень из 20

Квадратный корень из 20 можно найти таким же образом:

\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….

Квадратный корень из 32

Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:

\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}

Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:

\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….

Квадратный корень отрицательного числа

Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное на само по себе, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,

\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i

Эти задачи более сложные, но вы можете научиться их решать, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.

Примеры вопросов и ответов

Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:

\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}

Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:

\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt {10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27} = \ sqrt { 3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5,196

чисел — квадратные корни — глубина

Квадратный корень числа n написано

это число, которое дает n при умножении на себя. Например,

потому что 10 х 10 = 100

Примеры

Вот квадратные корни из всех полных квадратов от 1 до 100.

В поисках квадрата корни чисел, которые не являются точными квадратами без калькулятора

1. Оценка — во-первых, подойдите как можно ближе, найдя два идеальных квадратных корня из ваших число находится между.

2. Разделить — разделите ваше число на один из этих квадратных корней.

3. Среднее — возьмите среднее значение результата шага 2 и корень.

4. Используйте результат шага 3, чтобы повторять шаги 2 и 3, пока вы не получите точное число достаточно для вас.

Пример: Вычислите квадратный корень из 10 () до 2 знаков после запятой.

1. Найти между двумя точными квадратами.

Решение:
3 ² = 9 и 4 ² = 16, поэтому находится между 3 и 4.

2. Разделить 10 на 3. 10/3 = 3,33 (ответ можно округлить)

3. Среднее 3.33 и 3. (3,33 + 3) / 2 = 3,1667

Повторить шаг 2: 10 / 3,1667 = 3,1579
Повторите шаг 3: Среднее значение 3,1579 и 3,1667. (3,1579 + 3,1667) / 2 = 3,1623

Попробуй ответ -> 3,1623 в квадрате равно 10? 3,1623 x 3,1623 = 10,0001

Если это верно хватит тебе, можешь остановиться! В противном случае вы можете повторить шаги 2 и 3.

Примечание : Есть несколько способов вычислить квадратные корни без калькулятора.Это только один из них.

назад наверх

Упрощение квадратного корня

А квадратный корень числа — это один из двух равных делителей числа. Радикальный знак, , используется для обозначения положительного квадратного корня.

Каждое положительное число имеет положительный квадратный корень и отрицательный квадратный корень. Отрицательное число вроде — 4 не имеет действительного квадратного корня, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

Пример:

Найдите квадратный корень.

49

49 указывает положительный квадратный корень из 49 .

С 7 × 7 является 49 , 49 знак равно 7 .

Найдите квадратный корень.

— 25

— 25 указывает отрицательный квадратный корень из 25 .

С 5 × 5 является 25 , — 25 знак равно — 5 .

Оценить квадратный корень

Квадратный корень из полного квадрата — целое число. Вы можете оценить квадратный корень из числа, которое не является идеальный квадрат .

Пример:

Оценивать 69 к ближайшему целому числу.

Сначала перечислите несколько идеальных квадратов и найдите целые числа рядом с 69 .

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

Заметьте, что 69 лежит между идеальными квадратами 64 а также 81 год . Это, 64 < 69 < 81 год .

64 < 69 < 81 год 8 < 69 < 9

Так, 69 между 8 а также 9 .