Корень из 3 5x 30 1 5: Помогите пожалуйста решить — Школьные Знания.com

Содержание

Рациональные уравнения (ЕГЭ — 2021)

А вот еще одно уравнение $ \displaystyle \frac{5}{x+1}+\frac{4{x}-6}{(x+1)\cdot (x+3)}=3$. Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную $ \displaystyle x$, а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет $ \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)$.

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член $ \displaystyle 13$ приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель $ \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)$. {2}}+3x=0.\end{array}\)

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: $ \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0$

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$.

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$ в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим $ \displaystyle 0$, получается $ \displaystyle 3=3$ –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь $ \displaystyle -1$, и тут же видим в знаменателе первого члена $ \displaystyle -1+1$!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ»!) Области Допустимых Значений.

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные ($ \displaystyle x,y$ и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс, хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: $ \displaystyle x+1\ne 0$ и $ \displaystyle x+3\ne 0$ $ \displaystyle \Rightarrow x\ne -1$ и $ \displaystyle x\ne -3$.

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$ мы смело исключаем $ \displaystyle x=-1$, т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, $ \displaystyle x=0$.

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Схема Горнера.

2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

Теорема Виета — презентация онлайн

1. Теорема Виета

Подготовил учитель математики 34 школы Белгорода
Василисин С.В.

2. В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких

дискриминантов. Более того, при надлежащей
тренировке многие начинают решать квадратные
уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

3. Квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x2 равен 1. Никаких других

ограничений на коэффициенты не накладывается.
Примеры:
x2 + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
x2 − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;

4.

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное: 3×2 − 12x + 18 = 0; −4×2 + 32x + 16 = 0; 1,5×2 + 7,5x + 3 = 0; 2×2 + 7x − 11 = 0
Разделим каждое уравнение на
коэффициент при переменной x2. Получим:
3×2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x2 − 4x + 6 = 0 —
разделили все на 3;
−4×2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x2 − 8x − 4 = 0 —
разделили на −4;
1,5×2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x2 + 5x + 2 = 0 —
разделили на 1,5, все коэффициенты стали
целочисленными;
2×2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x2 + 3,5x − 5,5 = 0 —
разделили на 2. При этом возникли дробные

6. Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение

содержало
дроби.Теперь сформулируем основную теорему,
для которой, собственно, и вводилось понятие
приведенного квадратного уравнения:
Теорема
Виета. Рассмотрим приведенное
квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.
Предположим, что это уравнение имеет
действительные корни x1 и x2.

В этом случае
верны следующие утверждения:
x1
+ x2 = −b. Другими словами, сумма корней
приведенного квадратного уравнения равна
коэффициенту при переменной x, взятому с
противоположным знаком;
x1

· x2 = c. Произведение корней
квадратного уравнения равно свободному
Примеры.
Для простоты будем
рассматривать только приведенные
квадратные уравнения, не требующие
дополнительных преобразований:
x2
− 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1
· x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5;
x2
+ 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1 · x2 =
−15; корни: x1 = 3; x2 = −5;
x2
+ 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 =
4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

9. Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным,

но даже при
минимальной тренировке вы научитесь
«видеть» корни и буквально угадывать их
за считанные секунды.
Задача.

Решите квадратное уравнение:
x2 − 9x + 14 = 0;
x2 − 12x + 27 = 0;
3×2 + 33x + 30 = 0;
−7×2 + 77x − 210 = 0.
Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:
x2 − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x1 + x2 = −(−9) = 9; x1 · x2 = 14. Несложно заметить,
что корни — числа 2 и 7;
x2 − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: x1 + x2 = −(−12) = 12; x1 · x2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3×2 + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это
сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3.
Получим: x2 + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x1 + x2 = −11; x1 · x2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
−7×2 + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x2 не равен 1, т.е. уравнение
не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x2 − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x1 + x2 = −(−11) = 11; x1 · x2 = 30; из этих уравнений легко
угадать корни: 5 и 6.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных
предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в

реальных задачах:
Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x2
равен 1;
Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом
случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что
это неравенство верно.
Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по
теореме Виета выглядит следующим образом:
Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не
сделано в условии задачи;
Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении
получились дробными, решаем через дискриминант. Можно
даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более
«удобными» числами;
В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение
по теореме Виета;
Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни,
забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5×2 − 35x + 50 = 0.
Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к.
коэффициент a = 5.
Разделим все на 5, получим: x2 − 7x + 10 = 0.
Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем
решить по теореме Виета.
Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10.
В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5.
Считать через дискриминант не надо.
Задача. Решите уравнение: −5×2 + 8x − 2,4 = 0.
Смотрим: −5×2 + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным,
разделим обе стороны на коэффициент a = −5.
Получим: x2 − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.
Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант:
−5×2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 82 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x1 = 1,2; x2 = 0,4.

Від Пацанки До Панянки Выпуск 9 Сезон 5 26 04 2021

Від Пацанки До Панянки Выпуск 9 Сезон 5 26 04 2021. Смотри онлайн реалити Від пацанки до панянки 5 сезон 9 выпуск от 26.

04.2021 на YouTube-канале Новый канал – не пропусти предфинальную неделю!

Для учениц начнется самая сложная неделя за всю историю сезона. Экспресс времени перенесет их в прошлое – на 11 лет назад, когда каждая из пацанок была еще совсем ребенком. Подобное возвращение поможет девушкам узнать корень проблем, обсудить обиды, простить близких и навсегда отпустить прошлое. Ведь только так участницы Від пацанки до панянки 5 сезон имеют шанс на счастливое будущее.

Самый эмоциональный момент нового эпизода – разговор с родителями! Пацанки впервые откровенно поговорят с родными об обидах и проблемах. Но всем ли хватит сил понять родителей и простить их?

Кто станет финалистками реалити Від пацанки до панянки 5 сезон? 9 выпуск от 26.04.2021 даст тебе ответ на этот вопрос!

00:00:00 – Начало Від пацанки до панянки 5 сезон 9 выпуск
00:02:02 – Смена президента: Елена Питын покидает пост правой руки дирекции

00:05:46 – Назад в детство: пацанки встретятся с маленькими копиями себя
00:16:26 – Финиш и Бакуля в детском саду
00:21:51 – Встреча Юли Кудилинской с мамой
00:29:30 – Увидит ли Ира Бакулина своих родных?
00:38:47 – Чича и Зая попали в младшую школу
00:39:51 – Истерика Лены Питын
00:43:80 – Долгожданная встреча Леры Ткаченко и ее мамы
00:49:37 – Разговор Заи с психологом и папой
00:56:13 – Вика Топчай в старшей школе
00:59:01 – Встреча Снежки с мамой
01:04:04 – Испытание, которое сделает пацанок и их родителей ближе
01:11:55 – Фотосессия с родителями
01:14:09 – Итоги недели: объявления финалисток Від пацанки до панянки 5 сезон

Новый Канал — Давай Жити Разом!
Заходи на наш сайт — www. novy.tv

Подписывайся на наш канал в YouTube —
Ставь лайк и комментируй нас в Facebook —
Добавляйся в Telegram —

Фотоблог! Делись с нами в Instagram —
Следи за нашим Viber —

Категория: Сериалы

Вместе с Від Пацанки До Панянки Выпуск 9 Сезон 5 26 04 2021 так же смотрят:

Решите линейные уравнения с одним неизвестным 3 / 5x = 30 Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства, из обеих частей уравнения:

3/5 * x- (30) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 3
 Упростить -
            5

Уравнение в конце шага 1:

 3
  (- • x) - 30 = 0
   5

Шаг 2:

Переписывание целого как эквивалентной дроби:

2.1 Вычитание целого из дроби

Перепишем целое как дробь, используя в знаменателе 5:

 30 30 • 5
    30 = —— = ——————
          1 5

Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

   Сложение дробей, имеющих общий знаменатель: 
    2. 2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
  Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьшего числа, если возможно: 
   3x - (30 • 5) 3х - 150
 знак равно
       5 5
 
 Шаг 3: 
  Вытягивание как термины: 
   3.1 Коэффициенты вытягивания: 
  3x — 150 = 3 • (x — 50) 
 
   Уравнение в конце шага 3: 
   3 • (х - 50)
  ———————————— = 0
       5
 
 Шаг 4: 
  Когда дробь равна нулю: 
   4.1 Когда дробь равна нулю ... 
 Если дробь равна нулю, ее числитель, часть, которая находится над чертой дроби, должен быть равен нулю.
 Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, Тигр умножает обе части уравнения на знаменатель.
 Вот как:
 3 • (x-50)
  ———————— • 5 = 0 • 5
     5
 
 Теперь, с левой стороны, 5 отменяет знаменатель, в то время как с правой стороны ноль, умноженный на что-либо, по-прежнему равно нулю.
 Уравнение теперь принимает форму: 
 3 • (x-50) = 0
   Уравнения, которые никогда не верны: 
   4.2-36 Tiger Algebra Solver  
 Шаг 1: 
   30
 Упростить ——
            x ² 
 Уравнение в конце шага 1: 
 30
  (5x - ——) - 36
         x ² 
 Шаг 2: 
 Переписывание целого как эквивалентной дроби: 
  2.1 Вычитание дроби из целого
 Перепишите целое как дробное, используя x ² в качестве знаменателя:
 5x 5x • х ²
     5x = —— = ———————
           1 x ² 
 Эквивалентная дробь: Полученная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое
 Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующие в вычислении, имеют один и тот же знаменатель
   Сложение дробей, которые имеют общий знаменатель: 
    2.2 Сложение двух эквивалентных дробей 
 Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель 
  Объедините числители вместе, сложите сумму или разность над общим знаменателем, затем уменьшите до наименьших членов, если возможно: 
  5x • x ² - (30) 5x ³ - 30
 знак равно
       x ² x ² 
 Уравнение в конце шага 2: 
 (5x ³ - 30)
  —————————— - 36
      x ² 
 Шаг 3: 
  Переписывание целого как эквивалентной дроби: 
    3.
  1 Вычитание целого из дроби 
  Перепишем целое как дробь, используя x ² в качестве знаменателя: 
  36 36 • x ²
    36 = —— = ———————
          1 x ² 
 Шаг 4: 
  Вытягивание как термины: 
   4.1 Факторы вытягивания: 
  5x ³ — 30 = 5 • (x ³ — 6) 
 
   Попытка учесть разницу кубов: 
   4.2 Факторинг: x ³ — 6 
  Теория: разница двух идеальных кубов, a ³ — b ³ может быть разложена на 
 (ab) • (a ² + ab + b ² ) 
  Доказательство: (ab) • (a ² + ab + b ²) = 
 a ³ + a ² b + ab ² -ba ² -b ² ab ³ = 
 a ³ + (a ² b-ba ²) + (ab ² -b ² a) -b ³ = 
 a ³ + 0 + 0 -b ³ = 
 a ³ -b ³ 
  Проверка: 6 не куб !! 
 Решение: Биномиальное не может быть учтено как разность двух идеальных кубов 
   Калькулятор полиномиальных корней: 
   4. 3 Найдите корни (нули): F (x) = x ³ — 6 
 Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0 
  Тест рациональных корней является одним из вышеупомянутые инструменты. Он может найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел 
  Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является множителем ведущего коэффициента 
  В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — -6.
  Фактор (ы): 
  опережающего коэффициента: 1 
 конечной константы: 1, 2, 3, 6 
  Давайте проверим …. 
  3,00       P     Q     P / Q     F (P / Q)     Делитель  
     -1     1  -1     00     
    -2     1     -2. 00    -14.00     
              -33,00     
    -6     1     -6.00     -222.00     
     1     1     1.00     -5.00                    2,00     2,00     
     3     1     3.00     21.00     
     6     1     6.00     210.00   
   рациональный  Сложение дробей с общим знаменателем: 
    4.4 Сложение двух эквивалентных дробей 
 
  5 • (x ³-6) - (36 • x ²) 5x ³ - 36x ² - 30
 знак равно
           x ² x ² 
 Калькулятор полиномиальных корней: 
  4. 5 Найдите корни (нули): F (x) = 5x ³ — 36x ² — 30 
  См. Теорию в шаге 4.3 
 В этом случае ведущий коэффициент равен 5, а конечная постоянная равна -30. 
  Фактор (ы): 
  ведущего коэффициента: 1,5 
 конечной константы: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 
  Давайте проверим …. 
  1  из 19 проверок, не обнаруживших корня, было подавлено 
 Калькулятор полиномиальных корней не обнаружил рациональных корней 
  Конечный результат: 
   5x ³ - 36x ² - 30
  ———————————————
        x ² 
 Решение рациональных уравнений — ChiliMath 
 Рациональное уравнение   — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название для дроби  .Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.
 В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!
 Примеры решения рациональных уравнений 
  Пример 1:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.
 ЖК-дисплей 6x.Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
 У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
 Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
 Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
 Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.
 Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.
  Пример 2:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.
 Ну вот.
 Попытайтесь выразить каждый знаменатель как  уникальных степеней  простых чисел, переменных и / или членов.
 Умножьте вместе единицы с  наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
 ЖК-дисплей 9x.Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
 Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
 Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
 Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.
  Пример 3:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).
 ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
 Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.
 Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).
 Объедините константы в левой части уравнения.
 Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
 Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.
 Это должно сработать, так что да, окончательный ответ — x = 2.
  Пример 4:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.
 Попытайтесь выразить каждый знаменатель как  уникальных степеней  простых чисел, переменных и / или членов.
 Умножьте вместе единицы с  наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
 ЖК-дисплей расположен 4 \ влево ({x + 2} \ вправо).Умножьте на него каждую часть уравнения.
 После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.
  Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.
 Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.
 Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
 На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
 Удерживая x слева, мы вычитаем обе стороны на 4.
 Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.
  Пример 5:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?
 Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.
 ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
 Как должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.
 Укажите константу в круглых скобках.
 Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
 Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
 Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?
 Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.
 Попытайтесь выразить каждый знаменатель как  уникальных степеней  простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.
 Умножьте вместе единицы с  наивысшими показателями для каждой уникальной копии  простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
 Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.
 Это помогает в отмене общих условий позже.
 Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
 Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
 Избавьтесь от круглых скобок по распределительному свойству.
 У вас должно получиться очень простое уравнение.
  Пример 7:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.
 ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
 В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.
 Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?
 Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
 Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
 Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
 Переместите все константы вправо.
 Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.
  Пример 8:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».
 Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений
 Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей
 Выносим за скобки знаменатели.
 Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.
 Будьте осторожны со своими отменами.
 У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
 На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.
 С каждым шагом это становится все проще!
 Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.
 Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
 Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
 Переместите все чистые числа вправо.
 Вычтите обе стороны на 15.
 Простое одношаговое уравнение.
 Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте проверить значение в исходном уравнении для проверки.
  Пример 9:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.
 Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.
 Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖК-дисплей.
 Полностью вынести за скобки знаменатели
 Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
 Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.
 Умножьте константы в скобки.
 Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
 Держите константы справа.
 Складываем обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!
  Пример 10:  Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
 Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с  наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
 Итак, у нас есть
 Полностью вынесите за скобки знаменатели.
 Разделите найденный выше ЖК-дисплей на рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
 Укажите константу в круглых скобках.
  Критический шаг : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL.
 Используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти x.
 Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.
 Опять же, всегда сверяйте решенные ответы с исходными уравнениями, чтобы убедиться, что они верны.
 Практика с рабочими листами 
  Возможно, вас заинтересует: 
 Сложение и вычитание рациональных выражений
 Умножение рациональных выражений
 Решение рациональных неравенств
 Краткий обзор алгебраических доказательств 
 
 Прежде чем погрузиться в геометрические доказательства, неплохо вернуться к алгебре.Мы уже научились решать уравнения для переменной. Теперь займемся алгеброй в формате двухколоночного доказательства.
 Пример задачи 
 Покажите, что если 3  x  — 7 = 5, то  x  = 4.
 Здесь наше данное утверждение 3  x  — 7 = 5, и нас просят доказать  x  = 4.
      P     Q     P / Q     F (P / Q)     Делитель  
   1         -1.00     -71.00     
    -1     5     -0.20     -31.48         
   -2,00    -214,00     
    -2     5     -0.40     -36.08     
    -3     1     -3. 00     -489.00  
                
 ⁄ ₃ = 4 в (7)  Заявления   Причины 
 1. 3  x  — 7 = 5  Дано
 2.3  x  — 7 + 7 = 5 + 7  Добавление 7 к уравнению (1)
 3. 3  x  + 0 = 5 + 7  Замена –7 + 7 = 0 в ( 2)
 4. 3  x  = 5 + 7  Замена 3  x  + 0 = 3  x  на (3)
 5. 3  x  = 12  Замена из 5 + 7 = 12 в (4)
 6. ^{3  x} ⁄ ₃ = ¹² ⁄ ₃  Деление уравнения (5) на 3
 7. x  = ¹² ⁄ ₃  Замена ^{3  x} ⁄ ₃ =  x  в (6)
 8.  x  = 4 12306  
 
 Есть такое понятие, как слишком наглядное представление? Да, вот и все, поскольку более половины доказательства было посвящено тому, чтобы рассказать читателю, как выполнять арифметику. Обычно мы принимаем численные вычисления как должное и пишем доказательства следующим образом:
  Утверждения   Причины 
 1.3  x  — 7 = 5  Дано
 2. 3  x  = 12  Добавьте 7 к обеим частям уравнения (1)
 3.  x  = 4  Уравнение деления (2) по 3
 
 Видите? Это доказательство очень похоже на то, как мы записали бы его в алгебре. Единственная разница в том, что вы приводите причины по ходу дела, убеждая читателей (например, вашего учителя математики), что вы знаете, что делаете. Ты получил это.
 Пример задачи 
 Покажите, что если 5 ( x  + 12) = 30 и  x  +  y  = 100, то  y  = 106.
 На этот раз наши два заданных утверждения: 5 ( x  + 12) = 30 и  x  +  y  = 100. Мы должны доказать, что  y  = 106. Итак, мы идем.
  Заявления   Причины 
 1. 5 ( x  + 12) = 30  При условии
 2.  x 107
 3. 5  x  + 60 = 30  Распределительное свойство (1)
 4.5  x  = -30  Вычтите 60 из обеих частей (3)
 5.  x  = -6  Разделите обе стороны (4) на 5
 6. -6 +  y  = 100  Заменить  x  = -6 на (2)
 7.  y  = 106  Добавить 6 к обеим сторонам (6)
 
 Как вы можете видеть , есть много способов сформулировать причины. Важная часть состоит в том, что вы обосновываете каждый шаг тем, почему ваше утверждение верно.Конечно, если ваш «читатель» предпочитает, чтобы это было написано определенным образом, вероятно, было бы неплохо последовать его предложениям. Просто говорю.
 Алгебраическое решение уравнений 
 Алгебраическое решение уравнений
  Содержание:  Эта страница соответствует  §   2.4
(с. 200)  текста.
 Предлагаемые задачи из текста:
 с. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87,
88, 95, 97
 Квадратные уравнения 
 Уравнения с участием радикалов 
 Полиномиальные уравнения высшей степени 
 Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
 Квадратные уравнения 
 Квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a —
не равно 0.
 Факторинг 
 Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то
хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое.
Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.
  Пример 1. 
 2x ² — 5x — 12 = 0.
 (2x + 3) (x — 4) = 0.
 2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.
 x = -3/2, или x = 4.
 Принцип квадратного корня 
 Если x ² = k, то x = ± sqrt (k).
  Пример 2. 
 x ² — 9 = 0.
 x ² = 9.
 x = 3 или x = -3.
  Пример 3. 
  Пример 4.
 x ² + 7 = 0.
 х ² = -7.
 х = ±.
 Обратите внимание, что = =,
так что решения
 x = ±, два комплексных числа.
 Завершение площади 
 Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат
корневой принцип.
  Пример 5.
 x ² + 6x — 1 = 0.
 x ² + 6x = 1.
 x ² + 6x + 9 = 1 + 9.
 9, добавленные к обеим сторонам, были возведены в квадрат половинного коэффициента при x, (6/2) ² = 9. Причина
выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами).
Поэтому эта процедура называется , завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это
истина, учитывая (x + a) ² = x ² + 2ax + a ². Чтобы получить «а» нужно всего лишь
разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x ² + 2ax, нужно добавить ².]
 (x + 3) ² = 10.
 Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.
 x = -3 ± sqrt (10).
  Пример 6. 
 2x ² + 6x — 5 = 0.
 2x ² + 6x = 5.
 Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент
(коэффициент x ²) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив
обе части уравнения на 2.
 x ² + 3x = 5/2.
 Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат,
(3/2) ² = 9/4. Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.
 x ² + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.
 Левая часть — квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]
 (х + 3/2) ² = 19/4.
 Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.
 x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.
 x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2
 До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от
проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня
могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.
  Пример 7. 
 x ² = 16.
 x ² — 16 = 0.
 (x + 4) (x — 4) = 0.
 x = -4 или x = 4.
 В некоторых случаях уравнение можно решить путем факторизации, но факторизация не очевидна.
 Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае
мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие:
всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению
 топор ² + bx + c = 0.
 Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения
называется квадратной формулой.
 Квадратичная формула 
 Решения уравнения ax ² + bx + c = 0 равны
 Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае,
где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его
в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.
 Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения.
Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как
сделай это!
   Примеры использования квадратичной формулы:  
  Пример 8.
 2x ² + 6x — 5 = 0.
 В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, получаем
 Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.
  Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика
функции f (x) = 2x ² + 6x — 5.
  Пример 9. 
 4x ² + 4x + 1 = 0
 В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.
 В этом примере следует обратить внимание на два момента.
 Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.
 Решение упрощено, так что квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть
решается факторингом. (Все квадратные уравнения  могут быть решены  разложением на множители! Я имею в виду, что это могло быть
решено  легко  факторингом.)
 4x ² + 4x + 1 = 0.
 (2x + 1) ² = 0.
 х = -1/2.
  Пример 10.
 х ² + х + 1 = 0
 а = 1, б = 1, с = 1
  Примечание:  Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов.
функции f (x) = x ² + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x ² + x + 1 не имеет пересечений по x.
 Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b ² — 4ac, называется дискриминантом
уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.
 1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.
 2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.
 3. Дискриминант <0. Два сложных решения.
  Примечания к проверке решений 
 Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример
3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения,
потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.
 Алгебраический метод, который состоит из обратной подстановки числа в уравнение и проверки того, что
полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда
решение предполагает радикальное.
 Например, в нашем предпоследнем примере 4x ² + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.
 Алгебраическая проверка выглядит как
 4 (-1/2) ² +4 (-1/2) + 1 = 0.
 4 (1/4) — 2 + 1 = 0.
 1-2 + 1 = 0.
 0 = 0. Решение проверяет.
 В предыдущем примере, 2x ² + 6x — 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2.
Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический
проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.
 Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.
 (-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.
 (-3 — sqrt (19)) / 2 = -3,679449.
 Теперь используйте графическую утилиту для построения графика y = 2x ² + 6x — 5 и проследите график, чтобы приблизительно найти где
х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения.
Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно
те же значения.Тем не менее, вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно
не точное решение.
 Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x ² + 6x — 5 = 0 и сразу перешли к графику
утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя
(алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень
близко к найденным вами числам, значит, вы, наверное, правы!
   Упражнение 1:  
 Решите следующие квадратные уравнения.
 (а) 3x ² -5x — 2 = 0. Ответ
 (б) (x + 1) ² = 3. Ответ
 (в) x ² = 3x + 2. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Уравнения с участием радикалов 
 Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал
является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения
необходимо проверить.
 Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вы должны договориться, чтобы
радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.
  Пример 11. 
 Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение
для x.
  Чек: 
 х = 0
 Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!
 Итак, x = 0  не является решением .
 х = 3
 Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3  равно
раствор .
  Решение : x = 3.
  Примечание:  Решением является координата x точки пересечения графиков y = x и
у = sqrt (х + 1) +1.
 Посмотрите, что бы произошло, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат  до , выделив радикал
срок.
 Это хуже того, с чего мы начали!
 Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью
возведение в степень один раз. Однако мы можем  уменьшить  число радикальных членов, возведя в степень.
 Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и
возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.
  Пример 12. 
 Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.
 В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат
снова обе стороны.
  Чек: 
 Подставляя x = 5/4 в исходное уравнение, получаем
 sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.
 3/2 + 1/2 = 2.
 Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.
  Примечание по проверке решений: 
 В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что
нет решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение
— координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).
   Упражнение 2:  
 Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Полиномиальные уравнения высшей степени 
 Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью
Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся
такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать
решения с графической утилитой.
 Нулевая постоянная 
 Один частый частный случай — отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий
x, чтобы начать задачу.
  Пример 13. 
 2x ³ + 3x ² -5x = 0.
 x (2x ² + 3x -5) = 0.
 Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.
 x = 0 или 2x ² + 3x -5 = 0.
 Первое уравнение решить несложно. x = 0 — единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом.  Примечание:  Если бы мы не смогли разложить квадратичный коэффициент во втором уравнении, мы могли бы прибегнуть к
к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]
 x = 0 или (2x + 5) (x — 1) = 0.
 Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.
  Примечание:  Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x ³ + 3x ² -5x.
 Коэффициент по группировке 
  Пример 14. 
 x ³ -2x ² -9x +18 = 0.
 Коэффициент при x ² в 2 раза больше, чем при x ³, и такое же соотношение существует между
коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа термины один и два, а также термины третий и четвертый.
 x ² (x — 2) — 9 (x — 2) = 0.
 Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.
 (x — 2) (x ² — 9) = 0.
 Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.
 x — 2 = 0 или x ² — 9 = 0.
 x = 2 или (x + 3) (x — 3) = 0.
 Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.
  Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x ³ -2x ² -9x +18.
 Квадратичная форма 
  Пример 15. 
 x ⁴ — x ² — 12 = 0.
 Этот многочлен неквадратичный, у него четвертая степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x ².
 (x ²) ² — (x ²) — 12 = 0.
 Это может помочь вам фактически заменить z на x ².
 z ² — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.
 (z — 4) (z + 3) = 0.
 z = 4 или z = -3.
 Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на
x ² и решите полученные уравнения.
 x ² = 4.
 х = 2, х = -2.
 х ² = -3.
 x =  i , или x = —  i. 
 Итак, есть четыре решения, два реальных и два комплексных.
  Примечание:  Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x ⁴ — х ² — 12.
  График f (x) = x ⁴ — x ²-12 и масштабирование, показывающее его локальное
экстремумы. 
   Упражнение 3:  
 Решите уравнение x ⁴ — 5x ² + 4 = 0. Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения 
  Пример 16.
 Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.
 Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения
 Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы
убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков.
из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).
  Пример 17. 
 5 | х — 1 | = х + 11.
 Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями — помнить, что количество внутри абсолютного значения
столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности,
и все решения должны быть проверены.
   Корпус 1 .  Предположим, что x — 1> = 0.Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение
 5 (х — 1) = х + 11.
 5x — 5 = x + 11.
 4x = 16.
 x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.
   Случай 2.   Предположим, что x — 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот
точка часто сбивает студентов с толку, потому что это выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения
отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.
 Теперь наше уравнение становится
-5 (x — 1) = x + 11.
 -5x + 5 = x + 11.
 -6x = 6.
 x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.
 Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график
 5 * abs (x — 1) — x — 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты
точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).
   Упражнение 4:  
 (а) Решите уравнение. Ответ
. (b) Решите уравнение | х — 2 | = 2 — x / 3 Ответ
  Вернуться к содержанию 
 Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath 
 Purplemath 
 Хотя добавление и вычитание рациональных выражений может быть настоящей головной болью, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если рациональные выражения добавляются в эти уравнения.(Обратите внимание, что я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я просто говорю, что это просто  или .) Это потому, что, как только вы перейдете от рационального выражения (то есть чего-то без «равно») в рациональное уравнение (то есть что-то со знаком «равно» посередине), вы получаете совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, если у вас есть знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.
 MathHelp.com 
 Решите следующее уравнение: 
  Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?
 У меня две дроби.У этих дробей один и тот же знаменатель. Эти дроби будут равны, если их числители также совпадают, и только тогда. Итак, я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:
 Решите следующее уравнение: 
 ( x  — 3) / 7 = (4  x  + 12) / 7
 В этом уравнении дроби по обе стороны от знака «равно».У двух дробей одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, когда их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:
  x  — 3 = 4  x  + 12
 –3 — 12 = 4  x  —  x 
 –15 = 3  x 
 –5 =  x 
 Решите следующее уравнение: 
 Это уравнение состоит из двух равных друг другу дробей (которые можно рассматривать как пропорцию).Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.
 Метод 1: преобразование к общему знаменателю:
 Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:
 Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:
 Метод 2: Умножение на общий знаменатель:
 Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:
  x  — 1 = 2 (3)
  x  — 1 = 6
  x  = 7
 Метод 3: Перекрестное умножение:
 Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят.Но это термин, который вы услышите, и он обозначает метод, который может оказаться полезным.
 Так как это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на  x  — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал это:
 Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.
 Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:
 5 ( x  — 1) = 15 (2)
 5  x  — 5 = 30
 5  x  = 35
  x  = 7
 Итак, по каждому из методов мой ответ:
 Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает  только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равное ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, мы должны  использовать  метод 1 или метод 2.
 Решите следующее уравнение: 
 В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно отслеживать значения  x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:
 Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5  x  ( x  + 2), а затем сравнить числители:
 Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями  x  быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:
 15  x  — (5  x  + 10) =  x  + 2
 10  x  — 10 =  x  + 2
 9  x  = 12
  x  = ¹²/₉ = ⁴/₃
 Поскольку  x  = ⁴/₃ не вызовет каких-либо проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, тогда это решение действительно.
 Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу обе части на общий знаменатель. Это избавит от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:
 В любом случае мой ответ один и тот же:
 Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты обычно довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.
 URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm
 Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра 
 Другие примеры
 Решение уравнения Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символически, так и численно.
 Решите полиномиальное уравнение:
 Решите систему линейных уравнений:
 Решите уравнение с параметрами:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Полиномы Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.
 Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Рациональные функции Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.
 Вычислить свойства рациональной функции:
 Вычислить частичное разложение дроби:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Упрощение Упростите алгебраические функции и выражения.
 Другие примеры
 Другие примеры
 Матрицы Находите свойства и выполняйте вычисления с матрицами.
 Выполните базовую арифметику с матрицами:
 Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Кватернионы Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.
 Получите информацию о кватернионе:
 Проведите расчеты с кватернионами:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Конечные группы Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.
 Получите информацию о конечной группе:
 Спросите о собственности группы:
 Сделайте алгебру с перестановками:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Конечные поля Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное количество элементов.
 Вычислить свойства конечного поля:
 Вычислить конкретное свойство:
 Другие примеры
 Другие примеры
 Домен и диапазон Найдите область и диапазон математических функций.
 Вычислить область определения функции:
 Вычислить диапазон функции:
 Другие примеры
 .Навигация по записям
Previous Post:Декор на день рождение: 60 идей декора на день рождения ребенка своими руками
Next Post:Мягкая стена в интерьере своими руками: Мягкая стена в спальне своими руками
Leave a Reply Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт 
  
  Search for:   
Рубрики
Дешев
Дизайн
Дом
Интер
Интерьер
Квартир
Квартира
Красив
Красивый ремонт
Проектир
Разное
Ремонт
Рукам
Своими руками
Советы
Стиль
  © Агентство недвижимости в Люберцах МОСОБЛЖИЛСЕРВИС - продажа комнат, квартир, участков, домов, коммерческой недвижимости в Люберецком районе.
Предоставляем услуги в Люберцах, Котельниках, пос. Малаховке, Дзержинский, Лыткарино, пос.Октябрьский, Быково, Томилино, Красково, Кратово, Жуковский, Раменское.