Кубатуры: КУБАТУРА | это… Что такое КУБАТУРА?

Нашли ошибку? Выделите фрагмент с текстом и нажмите 

 + 

11:0026 мая 2022

Тэги:

Новость

На правах рекламы

Загрузка….

Введите email и телефон:

Или зарегистрируйтесь через аккаунт в социальных сетях — это быстрее всего!

Уже зарегистрированы?

Загрузка….

Адрес страницы:

Текст ошибки:

Комментарий:

Этот сайт защищен reCAPTCHA и Google, применяются политика кофиденциальности и условия предоставления услуг.

$$ \тег{2} C _ {j} знак равно я ( {\ mathcal L} _ {j}), \ \ j = 1 \точки \mu . $$

Существование интегралов (2) равносильно существованию моментов весовой функции, $ p _ {i} = I ( \phi _ {i} ) $, $ i = 1 \точки \mu $. Здесь и далее предполагается, что искомые моменты $ p ( x) $ существовать. Кубатурная формула (1), имеющая $ N = \mu $ узлов, не содержащихся ни в одной алгебраической гиперповерхности степени $ m $ и с коэффициентами, определяемыми формулой (2), называется интерполяционной кубатурной формулой. Формула (1) обладает $ m $-свойством, если она является точным равенством, когда $ f ( x) $ является полиномом степени не выше $m$; интерполяционная кубатурная формула обладает $m$-свойством. Кубатурная формула (1) с $ N \leq \mu $ узлов, обладающих свойством $m$, является интерполяционной формулой тогда и только тогда, когда матрица 9{( j)} ) = p _ {i} ,\ \ я = 1 \ точек \ мю . $$

Естественно требовать, чтобы количество неизвестных совпадало с количеством уравнений: $N ( n + 1) = \mu $. Это уравнение дает предварительную оценку количества узлов. Если $ N = \mu /( n + 1) $ не является целым числом, полагается $ N = [ \mu /( n + 1)] + 1 $, где $ [ \mu / ( n + 1)] $ обозначает целую часть $ \mu /( n + 1) $. Кубатурная формула с таким количеством узлов не всегда должна существовать. Если он существует, то количество его узлов равно $ 1/( n + 1) $ умноженное на количество узлов интерполяционной кубатурной формулы. Однако в этом случае сами узлы и коэффициенты определяются нелинейной системой уравнений (3). В методе неопределенных параметров кубатурную формулу строят, пытаясь придать ей вид, упрощающий систему (3). Это можно сделать, когда $ \Omega $ и $ р ( х) $ иметь симметрии.

Пример. Пусть $ \Omega = K _ {2} = \{ — 1 \leq x _ {1} , x _ {2} \leq 1 \} $, $ р ( х _ {1} , х _ {2} ) = 1 $. Одного просят построить кубатурную формулу со свойством $7$; $n = 2$, $ \mu = M ( 2, 7) = 36 $, и 12 узлов. Узлы расположены следующим образом. Первая группа узлов состоит из точек пересечения окружности радиуса $a$, с центром в начале координат, с осями координат. Вторая группа состоит из точек пересечения окружности радиуса $b$, также с центром в начале координат с прямыми линиями $ x _ {1} = \pm x _ {2} $. Аналогично строится и третья группа, радиус которой обозначается $c$. Коэффициенты, приписываемые узлам одной группы, одинаковы и обозначаются $A, B, C$ для узлов первой, второй и третьей группы соответственно.

Теорема 1) Кубатурная формула, инвариантная относительно $ G $ обладает $m$-свойством тогда и только тогда, когда оно точно для всех многочленов степени не выше $m$ которые инвариантны относительно $G$ (см. [5]). Метод неопределенных коэффициентов можно определить как метод построения инвариантных кубатурных формул, обладающих $m$-свойством. В приведенном примере роль группы $G$ может играть группа симметрии квадрата. Теорема 1 имеет существенное значение при построении инвариантных кубатурных формул.

Для простых областей интегрирования, таких как куб, симплекс, шар или сфера, и для веса $ p (x) = 1 $, можно построить кубатурные формулы, многократно используя квадратурные формулы. Например, когда $ \Omega = K _ {n} = \{ {- 1 \leq x _ {i} \leq 1 } : {i = 1 \dots n } \} $ является кубом, можно использовать квадратурную формулу Гаусса с $ k $ узлы $ t _ {i} $ и коэффициенты $A_{i}$ чтобы получить кубатурную формулу

$$ \int\limits _ {K _ {n} } f ( x) dx \ cong \ \ сумма _ {я _ {1} \ точки я _ {п} = 1 } ^ {к} А _ {я _ {1} } \ точки А _ {я _ {п} } е ( т _ {я _ {1} } \ точки т _ {я _ {п} } ) $$ 9\альфа $ такое, что $ 0 \leq \alpha _ {i} \leq 2k — 1 $, $ i = 1 \ точек n $, и, в частности, для всех многочленов степени не выше $2k — 1$. Количество узлов таких кубатурных формул быстро увеличивается, что ограничивает их применимость.

В дальнейшем предполагается, что весовая функция имеет фиксированный знак, скажем

$$ \тег{4} р ( х) \geq 0 \ \ \mathop{\rm in} \Omega \ \ \textrm{ и } \ \ р _ {1} > 0. $$

Тот факт, что коэффициенты кубатурной формулы с такой весовой функцией положительны, является ценным свойством формулы.

Теорема 2) Если область интегрирования $ \Omega $ замкнут и $ p ( x) $ удовлетворяет (4), существует интерполяционная кубатурная формула (1), обладающая $ m $-свойством, $ N \leq \mu $, с положительными коэффициентами и с узлами в $\Omega$. Вопрос о реальном построении такой формулы пока открыт.

Теорема 3) Если кубатурная формула с весом, удовлетворяющим (4), имеет действительные узлы и коэффициенты и обладает $m$-свойством, то не менее $\lambda = M(n,l)$ ее коэффициентов положительны, где $ l = [ m/2] $ — целая часть $ m/2 $. В условиях теоремы 3 число $ \lambda $ является нижней границей количества узлов: 9{(к)} $ и $C_{j}$ реальны.

Что касается кубатурных формул со свойством $ m $, то особенно интересны те, которые имеют минимальное количество узлов. При $ м = 1, 2 $ такие формулы легко найти для любых $n$, произвольный $\Omega$ и $ p ( x) \geq 0 $; минимальное количество узлов — это как раз нижняя граница $\lambda$: В первом случае он равен 1, а в $n+1$ В секунду. Когда $ m \geq 3 $, минимальное количество узлов зависит от домена и веса. Например, если $m = 3$, область центрально-симметрична, и если $p(x)=1$, количество узлов $2n$; для симплекса и $p(x)=1$, это $n+2$.

В силу (4),

$$ \тег{5} ( \ фи , \ фунтов на квадратный дюйм ) = \ I ( \phi \overline \psi \; ) $$

— скалярное произведение в пространстве многочленов. Пусть $ {\ mathcal P} _ {k} $ – векторное пространство многочленов степени $k$ которые ортогональны в смысле (5) всем полиномам степени не выше $k — 1$. Это пространство имеет размерность $ M (n — 1, k) $— количество мономов степени $k$. Многочлены от $ {\ mathcal P} _ {k} $ называются ортогональными многочленами для $ \Omega $ и $p(x)$. {n} ) $, где $m > n/2$, и в этом случае искомая кубатурная формула считается точной для всех многочленов степени не выше $m — 1$.

Литература

Комментарии

Многочлен влияния j-го узла» (т. {(j)}$).

«m-свойство» также известно в западной литературе как степень точности; кубатурная формула обладает $m$-свойством, если она имеет степень точности $m$.

Справочник [a1] является одновременно прекрасным введением и углубленным изучением кубатурных формул.

Литература

Как процитировать эту запись:
Кубатурная формула. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cubature_formula&oldid=51796

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи И.П. Мысовских (создатель), который появился в Энциклопедии математики — ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью

CRAN — Package Cubature

R обертки вокруг кубатурной библиотеки C Стивена Г. Джонсон за адаптивную многомерную интеграцию по гиперкубам и библиотеку Cuba C Томаса Хана для детерминированных и Интеграция Монте-Карло. Скалярные и векторные интерфейсы для предусмотрены кубатурные и кубинские программы; векторные интерфейсы настоятельно рекомендуется, как показано в упаковке виньетка.

Версия:	2.0.4.6
Импорт:	Rcpp
Связь с:	Rcpp
Предлагает:	testthat, вязание, mvtnorm, benchr, rmarkdown
Опубликовано:	23.01.2023
Автор:	Баласубраманиан Нарасимхан [аут, кре], Мануэль Коллер [ctb], Стивен Г. Джонсон [авт.], Томас Хан [авт.], Анни Бувье [авт.], Kiên Kiêu [авт], Симен Гауре [ctb]
Сопровождающий:	Баласубраманиан Нарасимхан <нарас на stat.stanford.edu>
Отчеты об ошибках:	https://github. com/bnaras/cubature/issues
Лицензия:	GPL-3
URL-адрес:	https://bnaras.github.io/cubature/
ПотребностиКомпиляция:	да
Системные требования:	GNU make и USE_C17
Материалы:	README НОВОСТИ
просмотров:	Численная математика
CRAN чеки:	результаты кубатуры

Документация:

Загрузки:

Источник пакета:	cubature_2.0.4.6.tar.gz
Двоичные файлы Windows:	r-devel: cubature_2.0.4.6.zip, r-релиз: cubature_2.0.4.6.zip, r-oldrel: cubature_2.0.4.6.zip
Двоичные файлы macOS:	r-релиз (arm64): cubature_2. Leave a Reply Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт