Опубликовано Формулы сокращенного умножения 💣
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
- Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
Доказательство формул сокращенного умножения
Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.
Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.
Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Поехали:
- Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.
+ a * b — a * b = 0
a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab
- Сгруппируем иначе: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
- Продолжим группировать: a2 — a * b — b2 +a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
- Вынесем общие множители за скобки:
(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a *(a — b) + b *(a — b)
- Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
- Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
- Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a2 — b
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2
+ 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … ++ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+
+ 2 * an-1 * an
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).
Для четных показателей можно записать так:
a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2
Для нечетных показателей:
a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).
Как решаем:
- Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y2 + 7 * y * x — 7 * y * x — x2 = 49 * y2 — x2.
- Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)2 — x2 = 49 * y2 — x2.
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Запишите вашего ребенка на увлекательные уроки математики в детскую школу Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Формулы сокращенного умножения
Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.
Предварительные навыкиКвадрат суммы двух выражений
Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)2.
Выражение (2x + 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4 x2 + 6xy + 6xy + 9y2 = 4x2 + 12xy + 9y2
То есть выражение (2x + 3y)2 равно 4x2 + 12xy + 9y2
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Решим аналогичный пример, который попроще:
(a + b)2
Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Выполним это умножение:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
То есть выражение (a + b)2 равно a2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y
a = 2x
b = 3y
И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Как и в прошлый раз получили многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Тождество (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Рассмотрим выражение (2 + 3)
Первый способ:
(2 + 3)2 = 52 = 25
Второй способ:
(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25
Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(5a + 3)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9
Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:
(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9
Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.
Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2
Рассмотрим следующий рисунок:
Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b
Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:
Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.
Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b
В результате получается следующая сумма площадей:
a2 + ab + ab + b2
Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a2 + 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности двух выражений
Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Эту формулу можно прочитать так:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)
(a − b)2 = (a − b)(a − b)
Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 + 52 = 49x2 − 70x + 25
Значит, (7x − 5)2 = 49x2 − 70x + 25.
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:
(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49x2 − 35x − 35x + 25 = 49x2 − 70x + 25.
Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2
Рассмотрим следующий рисунок:
Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b
Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:
Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b
a2 − ab − (a − b)b
Раскроем скобки в выражении (a − b)b
a2 − ab − ab + b2
Приведем подобные слагаемые:
a2 − 2ab + b2
В результате получается выражение a2 − 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.
Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.
Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.
Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.
(5x − 2y)2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y + (2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2
Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:
(5x − 2y)2 = (5x + (−2y))2
и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:
(5x + (−2y)2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))2 = (5x)2 + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2
Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 вместо b следует подставить (−y)
(x − (−y))2 = x2 − 2 × x × (−y) + (−y)2 = x2 + 2xy + y2
Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб суммы и куб разности
Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.
Выведем формулу куба суммы самостоятельно:
(a + b)3
Выражение (a + b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
Но выражение (a + b)3 также может быть записано как (a + b)(a + b)2
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
При этом сомножитель (a + b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a2 + 2ab + b2.
Тогда (a + b)3 можно записать как (a + b)(a2 + 2ab + b2).
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:
(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(x + 1)3 = x3 + 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(x + 1)3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Пример 2. Преобразовать выражение (6a2 + 3b3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(6a2 + 3b3)3= (6a2)3 + 3 × (6a2)2 × 3b3 + 3 × 6a2 × (3b3)2 + (3b3)3 = 216a6 + 3 × 36a4 × 3b3 + 3 × 6a2 × 9b6 + 27b9
Пример 3. Преобразовать выражение (n2 − 3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(a − b) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(n2 − 3)3 = (n2)3 − 3 × (n2)2 × 3 + 3 × n2 × 32 − 33 = n6 − 9n4 + 27n2 − 27
Пример 4. Преобразовать выражение (2x2 − x3)3 в многочлен.
Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:
(a − b) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(2x2 − x3)3 = (2x2)3 − 3 × (2x2)2 × x3 + 3 × 2x2 × (x3)2 − (x3)3 =
8x6 − 3 × 4x4 × x3 + 3 × 2x2 × x6 − x9 =
8x6 − 12x7 + 6x8 − x9
Умножение разности двух выражений на их сумму
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:
(a − b)(a + b)
В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:
(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2
То есть выражение (a − b)(a + b) равно a2 − b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)
В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 имеем:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52
Вычислим правую часть, получим 4x2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25
Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a2 − b2. У нас получится тот же результат 4x2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x2 − 10x + 10x − 25 = 4x2 − 25
Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)2 − (5y)2 = 16x2 − 25y2
Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)2 − (3b)2 = 4a2 − 9b2
В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 разность располагается раньше.
Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a2 − b2, поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.
Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a2 − 9b2.
Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)
Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)2 − 72 = 9x2 − 49
Пример 4. Выполнить умножение (x2 − y3)(x2 + y3)
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(x2 − y3)(x2 + y3) = (x2)2 − (y3)2 = x4 − y6
Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)
В выражении (−5x − 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:
(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:
(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2)
Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)2. А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.
Далее вычисляем выражение в скобках:
(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) = −1(25x2 − 9y2)
Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:
(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) =
−1(25x2 − 9y2) = −25x2 + 9y2
Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы
Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:
(a − b)(a2 + ab + b2)
Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a2 + ab + b2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.
Неполный квадрат суммы это многочлен вида a2 + ab + b2. Он похож на обычный квадрат суммы a2 + 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.
Например, выражение 4x2 + 6xy + 9y2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.
Действительно, первый член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 4x2 является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 9y2 является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)2 = 9y2. Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.
Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a2 + ab + b2
(a − b)(a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) − b(a2 + ab + b2) =
a3 + a2b + ab2 − a2b − ab2 − b3 = a3 − b3
То есть выражение (a − b)(a2 + ab + b2) равно a3 − b3
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x2 + 6xy + 9y2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) можно заменить на разность кубов 2x и 3y
(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (2x)3 − (3y)3 = 8x3 − 27y3
Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = 2x(4x2 + 6xy + 9y2) − 3y(4x2 + 6xy + 9y2) =
8x3 + 12x2y + 18xy2 − 12x2y − 18xy2 − 27y3 = 8x3 − 27y3
Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x2)
Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
(3 − x)(9 + 3x + x2) = 33 − x3 = 27 − x3
Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности
Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:
(a + b)(a2 − ab + b2)
Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab + b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.
Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab + b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.
Например, выражение 4x2 − 6xy + 9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y.
(2x)2 − 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 − 6xy + 9y2
Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a2 − ab + b2
(a + b)(a2 − ab + b2) = a(a2 − ab + b2) + b(a2 − ab + b2) =
a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3
То есть выражение (a + b)(a2 − ab + b2) равно a3 + b3
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:
Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2)
Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x2 − 6xy + 9y2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y
(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = (2x)3 + (3y)3 = 8x3 + 27y3
Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = 2x(4x2 − 6xy + 9y2) + 3y(4x2 − 6xy + 9y2) =
8x3 − 12x2y + 18xy2 + 12x2y − 18xy2 + 27y3 = 8x3 + 27y3
Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x2 − 2xy + y2)
Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x2 − 2xy + y2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
(2x + y)(4x2 − 2xy + y2) = (2x)3 + y3 = 8x3 + y3
Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:
(2x + y)(4x2 − 2xy + y2) = 2x(4x2 − 2xy + y2) + y(4x2 − 2xy + y2) =
8x3 − 4x2y + 2xy2 + 4x2y − 2xy2 + y3 = 8x3 + y3
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)2 в многочлен.
Решение:
(m + n)2 = m2 + 2mn + n2
Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)2 в многочлен.
Решение:
(x + 8)2 = x2 + 2 × x × 8 + 82 = x2 + 16x + 64
Задание 3. Преобразуйте выражение (2x2 + 3x3)2 в многочлен.
Решение:
(2x2 + 3x3)2 = (2x2)2 + 2 × 2x2 × 3x3 + (3x3)2 = 4x4 + 12x5 + 9x6
Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)2 в многочлен.
Решение:
(5a + 5)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 5 + 52 = 25a2 + 50a + 25
Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)2 в многочлен.
Решение:
(9 − x)2 = 92 − 2 × 9 × x + x2 = 81 − 18x + x2
Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)2 в многочлен.
Решение:
(x − 25)2 = x2 − 2 × x × 25 + 252 = x2 − 50x + 625
Задание 7. Преобразуйте выражение (3x2 − y3)2 в многочлен.
Решение:
(3x2 − y3)2 = (3x2)2 − 2 × 3x2 × y3 + ( y3)2 = 9x4 − 6x2y3 + y6
Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)
Решение:
(x − y)(x + y) = x2 − y2
Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)
Решение:
(2x − y)(2x + y) = (2x)2 − y2 = 4x2 − y2
Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)
Решение:
(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)2 − 72 = 9y2 − 49
Задание 11. Выполните умножение (x2 − 5)(x2 + 5)
Решение:
(x2 − 5)(x2 + 5) = (x2)2 − 52 = x4 − 25
Задание 12. Выполните умножение (a3 − b2)(a3 + b2)
Решение:
(a3 − b2)(a3 + b2) = (a3)2 − (b2)2 = a6 − b4
Задание 13. Выполните умножение (5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3)
Решение:
(5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3) = (5a2)2 − (2b3)2 = 25a4 − 4b6
Задание 14. Выполните умножение (9x − y2)(y2 + 9x)
Решение:
(9x − y2)(y2 + 9x) = (9x)2 − (y2)2 = 81x2 − y4
Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x2)
Решение:
(2 − x)(4 + 2x + x2) = 23 − x3 = 8 − x3
Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)
Решение:
(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 33 − 23 = 27 − 8 = 19
Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x2 − 4x + 1)
Решение:
(4x + 1)(16x2 − 4x + 1) = (4x)3 + 13 = 64x3 + 1
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Формулы сокращенного умножения / Блог / Справочник :: Бингоскул
Содержание:
- Таблица формул сокращенного умножения
- Примеры использования
- Формулы для квадратов
- Формулы для кубов
- Формулы для четвертой степени
Таблица формул сокращенного умножения
Примеры использования формул
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Пример: (x + 3y)2 = x2 + 2 ·x·3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a-b)2 = a2-2ab+b2
Пример: (4x –y)2 = (4x)2-2·4x·y + y2 = 16x2 — 8xy + y2
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
a2–b2 = (a–b)(a+b)
Пример: 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Пример: (x + 2y)3 = x3 + 3·x2·2y + 3·x·(2y)2 + (2n)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a-b)3 = a3— 3a2b+3ab2-b3
Пример: (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)
Пример: 125 + 8y3 = 53 + (2y)3 = (5 + 2y)(52 — 5·2y + (2y)2) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y2)
Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.2)
В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.
Решай с ответами задание 5 по математике база ЕГЭ
Смотри также: Основные формулы по математике
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = |
Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + |
Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + |
Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + |
| … |
Общая формула для вычисления суммы
(x + y)n
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
Куб (третья степень) разности (x – y)3 = |
Четвертая степень разности (x – y)4 = x4 – 4x3y + |
Пятая степень разности (x – y)5 = x5 – 5x4y + |
Шестая степень разности (x – y)6 = x6 – 6x5y + |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени
Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.
Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.
Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.
И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a
Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.
Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.
Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.
Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a4 = a.a.a.a
Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b3; но если m = 5, тогда bm=b5.
Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.
Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.
Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a5, a4, a3, a2, a1;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.
Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4
a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.
Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a5:a = a4 и a3:a = a2.
a4:a = a3 a2:a = a1
Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.
Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.
Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.
Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.
Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.
Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.
Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3.
1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.
А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a0.
Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Или a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корень степени может выражен более чем одной буквой.
Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.
Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.
Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:
Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.
Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.
Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
Четвертая степень a есть a4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.
Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.
Tак (ay)2 =a2y2; (ay)2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a2y2.
Так, (bmx)3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b3m3x3.
Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.
Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.
Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.
Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.
Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.
Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,
(a + b)1 = a + b, первая степень.(a + b)1 = a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b).
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень.
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.
Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.
3 + 3a2 + 3a + 1.Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2
Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3
Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.
Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.
Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.
Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.
Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2 также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.
Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.
Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.
Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.
Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.
Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.
Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.
Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.
Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.
Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.
Так, квадрат a + b, есть (a + b)2.
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n
В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.
Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.
Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.
Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.
Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.
Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.
Вторая степень (- a) есть +a2
Третья степень (-a) есть -a3
Четвёртая степень (-a) есть +a4
Пятая степень (-a) есть -a5
Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a2
И -a.-a = +a2
Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.
Третья степень a2 есть a2.3 = a6.Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.
Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8
Третья степень 4a2x есть 64a6x3.
Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.
N-ая степень a3 есть a3n
N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn
(a3.b3)2 = a6.b6
(a3b2h4)3 = a9b6h12
Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.
Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.
Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6
Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.
Квадрат b3x-1, есть b6x-2.
N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.
Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.
Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.
2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.
3. N-ая степень -a3 есть a3n.
Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.
Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.
Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2
Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.
Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.
1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4
(x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4
2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.
4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.
Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.
Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.
В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.
Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.
Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.
Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.
Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.
Формулы сокращенного умножения — Математика
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
2. (a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
3. a2 — b2 = (a + b)(a — b).
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
5. (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.
6. a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2).
7. a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).
Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.
Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.
Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.
________________________________
Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.
В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:
x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =
= x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).
Ответ: (x — 2)2(x + 1).
Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.
_________________________________________
Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:
x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2 — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =
= x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =
= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).
Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:
(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.
Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.
Big Blog PhDrDAK: Знак ° и знак ² — как набрать на клавиатуре. Градус и «в квадрате»
| Как набрать на клавиатуре ° и ² |
Знак ° и знак ²
как набрать на клавиатуре
Градус и «в квадрате»
— ascii.
Знак ° нужен при написании градусов Цельсия, например: +23°C
Знак ² нужен при написании метров квадратных, например: 8_м²
…
° очень просто набирается на клавиатуре —
инструкция:
1. Нажмите и удерживайте Alt2. С правой (!) стороны клавиатуры (боковая цифровая клавиатура) наберите четыре цифры — 0176
3. Отпустите Alt
4. Появится °
…
² очень просто набирается на клавиатуре —
инструкция:
0. Установите Eng раскладку клавиатуры1. Нажмите и удерживайте Alt
2. С правой (!) стороны клавиатуры (боковая цифровая клавиатура) наберите четыре цифры — 0178
3. Отпустите Alt
4. Появится ²
…
/ PhDrDAK
Бонус:
[советую набирать при Eng установки клавиатуры]
Нажимаете и удерживаете Alt
и сбоку на цифровой клавиатуре набирайте —
0128 — — евро €
0133 — — многоточие … (как один знак,а не как три точки)
0146 — — апостроф ’
0149 — — жирная точка •
0153 — — символ товарного знака ™
0163 — — фунт £
0165 — — йена ¥
0167 — — параграф §
0174 — — символ зарегистрированного товарного знака ®
0177 — — плюс\минус ±
— это обычный способ ввода ASCII символов с клавиатуры!
/ PhDrDAK, 2016
P.S.
Замечу, что лучше использовать левую клавишу Alt
но попробуйте и правую Alt, например, такое сочетание
:
жмите Alt правую и, удерживая её, жмите правее клавишу Стрелочка — отпускайте
…
🙂
С Приветом!
2 = у $. Таким образом, и $ + 7 $, и $ -7 $ являются квадратными корнями из 49 $.
Однако для положительных вещественных чисел $ x $ по определению функция квадратного корня, примененная к $ x $, дает положительный квадратный корень. Часто можно сокращать «функцию квадратного корня, примененную к $ x $» или, что эквивалентно, «положительный квадратный корень из $ x $», как просто «квадратный корень из $ x $», если не возникает путаницы. Следовательно, мы имеем $ \ sqrt {49} = + 7 $, несмотря на то, что $ -7 $ также является квадратным корнем.
Функция квадратного корня, как и все истинные функции, является однозначной, а не многозначной, поэтому, если бы нам было поручено создать нашу собственную функцию квадратного корня с нуля, нам пришлось бы делать выбор между двумя квадратными корнями каждого положительное число как значение, которое принимает функция; если мы хотим еще больше наложить непрерывность (и, следовательно, гладкость для $ x> 0 $), нам придется установить $ \ sqrt {x} $ либо всегда как положительный квадратный корень, либо всегда как отрицательный квадратный корень.На данный момент вполне понятный выбор — всегда делать положительный выбор.
Такая же ситуация с «необходимостью сделать выбор» возникает, если кто-то хочет определить функцию извлечения квадратного корня для комплексных чисел. Мы не можем долго навязывать такие же условия непрерывности и получать прямой ответ — вместо этого мы должны сформировать своего рода «баррикаду», в которой значение квадратного корня резко возрастает, когда мы пересекаем эту баррикаду. Это называется срезом ветки.
Стандартная ветвь в $ \ Bbb C $ — это место, где мы рассматриваем отрицательную действительную ось как часть квадранта над ней, но не как часть квадранта под ней.{1/2} $ принимает значения на отрицательной действительной оси.
Другое слово для $ \ ln $ и $ \ sqrt {} $ со стандартной ветвью — это главное значение .
Идея сечений ветвей ведет к более сложным темам анализа: монодромии (которая относится к «обходу» сингулярности, например, пересечению ветки, упомянутой ранее), а также к римановым поверхностям, которые можно рассматривать как то, что мы получаем, когда мы откажитесь разрезать плоскость на ветви и вместо этого рассмотрите функцию многозначной и посмотрите на ее график (хотя я, вероятно, разделываю это описание).
Степень отрицательного числа
Квадрат удаляет все негативы
«Возведение в квадрат» означает умножение числа на само себя.
- Возведение в квадрат положительного числа дает положительный результат : (+5) × (+5) = +25
- Возведение в квадрат отрицательного числа также дает положительный результат : (−5) × (−5) = +25
Потому что отрицательное умножение на отрицательное дает положительное. Итак:
«Ну и что?» скажете вы…
… посмотри на это:
О нет! Мы начали с минус 3 и закончили с плюс 3 .
Когда мы возводим в квадрат число , а затем извлекаем квадратный корень из , мы можем не получить число, с которого начали!
Фактически мы получаем абсолютное значение числа:
√ (x 2 ) = | x |
То же самое происходит со всеми четными (но не нечетными) экспонентами.
Попробуйте здесь:
Четные показатели отрицательных чисел
Четный показатель степени всегда дает положительный результат (или 0).
Этот простой факт может облегчить нашу жизнь:
1 (Нечетный): (- 1) 1 = −1
2 (Четный): (- 1) 2 = (−1) × (−1) = +1
3 (Нечетный): (- 1) 3 = (−1) × (−1) × (−1) = −1
4 (Четный): (- 1) 4 = (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = +1
Вы видите шаблон −1, +1, −1, +1?
(−1) нечетное = −1
(−1) даже = +1
Таким образом, мы можем сократить некоторые вычисления, например:
Пример: Что такое (-1)
97 ?97 нечетное, поэтому:
(-1) 97 = -1
Пример: Что такое (−2)
6 ?2 6 = 64, а 6 четное, поэтому:
(−2) 6 = +64
Корни отрицательных чисел
Пример: Какое здесь значение x: x
2 = −1Имеет ли x = 1?
1 × 1 = +1
Имеет ли x = −1?
(-1) × (-1) = +1
Мы не можем получить -1 для ответа!
Это кажется невозможным!
Ну, это — это невозможно с использованием вещественных чисел.
Но мы, , можем сделать это, , используя Мнимые числа.
Другими словами:
√ − 1 — это , а не вещественное число …
… это воображаемое число
Это верно для все четные корни :
Четный корень отрицательного числа не является действительным
Так что будьте осторожны при извлечении квадратных корней, корней четвертой, шестой и т. Д.
экспонентов и отрицательные числа | Purplemath
Purplemath
Теперь вы можете перейти к показателям степени, используя свойство умножения с отменой знаков минус.
Напомним, что силы создают повторяющееся умножение. Например, (3) 2 = (3) (3) = 9. Таким образом, мы можем использовать кое-что из того, что мы уже узнали об умножении с отрицательными числами (в частности, мы узнали о сокращении пар минус знаков), когда мы находим отрицательные числа внутри экспонент.
Например:
MathHelp.com
Квадрат означает «умноженное на себя с двумя копиями основания». Это означает, что у меня будет два знака «минус», которые я могу отменить:
(–3) 2 = (–3) (- 3) = (+3) (+ 3) = 9
Обратите особое внимание и обратите внимание на разницу между приведенным выше упражнением и следующим:
–3 2 = — (3) (3) = –1 (3) (3) = (–1) (9) = –9
Во втором упражнении квадрат («в степени 2») был только на 3; на минусе было , а не .Эти скобки в первом упражнении имеют большое значение! Будьте осторожны с ними, особенно когда вы вводите выражения в программное обеспечение. Разные программы могут трактовать одно и то же выражение по-разному, как очень подробно продемонстрировал один исследователь.
(–3) 3 = (–3) (- 3) (- 3)
= (+3) (+ 3) (- 3)
= (9) (- 3)
= –27
(–3) 4 = (–3) (- 3) (- 3) (- 3)
= (+3) (+ 3) (- 3) (- 3)
= (+3) (+ 3) (+ 3) (+ 3)
= (9) (9)
= 81
(–3) 5 = (–3) (- 3) (- 3) (- 3) (- 3)
= (+3) (+ 3) (- 3) (- 3) (- 3)
= (+3) (+ 3) (+ 3) (+ 3) (- 3)
= (9) (9) (- 3)
= –243
Обратите внимание на закономерность: отрицательное число, взятое в четной степени , дает положительный результат (потому что пары отрицаний отменяются), а отрицательное число, взятое в нечетной степени дает отрицательный результат (потому что после отмены останется один знак минус).Итак, если они дадут вам упражнение, содержащее что-то немного нелепое, например (–1) 1001 , вы знаете, что ответ будет либо +1, либо –1, а поскольку 1001 — это с нечетным , то ответ должен быть –1 .
Вы также можете делать негативы внутри корней и радикалов, но только если будете осторожны. Вы можете упростить
, потому что есть число, равное 16. То есть… потому что 4 2 = 16. А как насчет
? Сможете ли вы исправить что-нибудь и получить отрицательных? Нет! Таким образом, вы не можете извлечь квадратный корень (или корень четвертой степени, или корень шестой степени, или корень восьмой степени, или любой другой четный корень) отрицательного числа. С другой стороны, вы можете сделать кубическими корнями из отрицательных чисел. Например:… потому что (–2) 3 = –8. По той же причине вы можете взять любой нечетный корень (третий корень, пятый корень, седьмой корень и т. Д.) отрицательного числа.
URL: https://www.purplemath.com/modules/negative4.htm
Основы квадратного корня (примеры и ответы)
Обновлено 8 декабря 2020 г.
Ли Джонсон
Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен освоить основы квадратного корня для решения эти вопросы.Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому. Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении на само себя дает результат после символа √.Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ — это тот, который вас заинтересует.
Вы можете множить квадратные корни на множители, как и обычные числа , поэтому √ ab = √ a √ b , или √6 = √2√3.
Что такое квадратный корень?
Квадратные корни — это противоположность возведения числа в квадрат или его умножения на само себя. Например, три в квадрате равно девяти (3 2 = 9), поэтому квадратный корень из девяти равен трем.2 = 9 \ text {и} \ sqrt {9} = ± 3
, где ± вместо «плюс или минус». Во многих случаях вы можете игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.
Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень — это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени — это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу.{1/3}
Упрощение квадратных корней
Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, — это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете разложить на множители квадратные корни так же, как и обычные числа. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Упрощение больших корней означает выполнение факторизации шаг за шагом и запоминание определения квадратного корня.Например, √132 — большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число ( из-за определения квадратного корня), поэтому
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни используя следующие правила
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Что такое квадратный корень…
Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел.Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.
Квадратный корень из 8
Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Квадратный корень из 4
. простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задача может быть решена точно с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ….
Квадратный корень из 12
Используя тот же подход, попробуйте найдите квадратный корень из 12.Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Опять же, это упрощенное выражение может либо использоваться в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитываться с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Квадратный корень из 20
Квадратный корень из 20 можно найти таким же образом:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Квадратный корень из 32
Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Здесь, обратите внимание, что мы уже вычислил квадратный корень из 8 как 2√2, а √4 = 2, поэтому:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ….
Квадратный корень отрицательного числа
Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (поскольку любое число, умноженное само на себя, дает в результате положительное число), математики сталкивались с ними как с частью задач по алгебре и разработал решение.«Мнимое» число i используется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратные i . Итак,
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Эти задачи более сложные, но вы можете научиться решать их, основываясь на определении i и стандартных правилах для корнеплоды.
Примеры вопросов и ответов
Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив по мере необходимости, а затем вычислив следующие корни:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Попробуйте решить их, прежде чем смотреть ответы ниже:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt {10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27} = \ sqrt { 3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5,196
Квадратный корень — Калькулятор капитана
Калькулятор квадратного корня
Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.Определение — Что такое квадратный корень?
Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении на само себя дает исходное число.
Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 3 x 3 = 9.
Квадратный корень из 25 равен 5, так как 5 x 5 = 25.
Квадратный корень из 49 равен 7, так как 7 x 7 = 49.
Квадратный корень может быть положительным или отрицательным (-3 x -3 равно 9, -5 x -5 = 25 и -7 x -7 = 49). Когда люди говорят «квадратный корень», они обычно имеют в виду положительный квадратный корень.
Противоположность квадратному корню — это вычисление в квадрате (степень двойки).
Для чего используется квадратный корень?
С практической точки зрения, квадратный корень в геометрии можно использовать для определения длины стороны квадрата, когда площадь известна.
Формула— Как вычислить квадратный корень из числа
Не существует быстрой математической формулы для вычисления квадратного корня. Большинство калькуляторов используют метод очень быстрых проб и ошибок.
Метод 1 — Метод проб и ошибок
Метод проб и ошибок подходит для полных квадратов. Это может занять очень много времени для неидеальных квадратов, поскольку в них много десятичных знаков.
Чтобы найти квадратный корень методом проб и ошибок:
- Угадайте число, которое, по вашему мнению, может быть квадратным корнем.
- Умножьте это число на само
- Если результат слишком низкий, попробуйте другое большее число. Если результат слишком высокий, попробуйте другое меньшее число.
- Продолжайте, пока не найдете квадратный корень.
Пример. Методом проб и ошибок найти квадратный корень из 64:
- Попробуйте число — 5: 5 умножить на 5 = 25 (слишком мало)
- Попробуйте число, которое больше 6 — 10 — 10 умножить на 10 = 100 (слишком большое
- Попробуйте число от 6 до 10 — 8 — 8 умножить на 8 = 64 (ответ)
Метод 2 — Быстро найти корни из точных квадратных чисел
Этот метод позволяет быстрее найти корень из полного квадратного числа.Однако, если число не является точным корнем, этот метод не сработает.
Метод 3. Быстрый поиск квадратного корня из любого числа
Этот метод позволяет найти квадратный корень из любого числа (включая неполные квадраты). Это занимает немного больше времени, чем метод 2.
Как ввести квадратный корень?
- Вы можете скопировать символ квадратного корня -> √ <- с этой страницы и вставить его в свой документ.
- На компьютере с Windows откройте карту символов, найдите символ квадратного корня и скопируйте его.Вставьте его там, где хотите символ.
- На компьютере Mac нажмите option + v для символа √.
Таблица чисел квадратного корня — полные квадраты
- √1 = 1, как 1 x 1 = 1
- √4 = 2, как 2 x 2 = 4
- √9 = 3, как 3 x 3 = 9
- √16 = 4, как 4 x 4 = 16
- √25 = 5, поскольку 5 x 5 = 25
- √36 = 6, поскольку 6 x 6 = 36
- √49 = 7, поскольку 7 x 7 = 49
- √64 = 8, как 8 x 8 = 64
- √81 = 9, поскольку 9 x 9 = 81
- √100 = 10, поскольку 10 x 10 = 100
- √121 = 11, поскольку 11 x 11 = 121
- √144 = 12, как 12 x 12 = 144
- √225 = 15, как 15 x 15 = 225
- √289 = 17, как 17 x 17 = 289
- √400 = 20, как 20 x 20 = 400
- √625 = 25, как 25 x 25 = 625
- √900 = 30, как 30 x 30 = 900
- √1089 = 33, так как 33 x 33 = 1,089
- √2025 = 45, так как 45 x 45 = 2,025
- √ 2500 = 50, поскольку 50 x 50 = 2,500
- √3600 = 60, поскольку 60 x 60 = 3,600
- √5625 = 75, поскольку 75 x 75 = 5,625
- √10000 = 100, поскольку 100 x 100 = 10,000
Таблица чисел квадратного корня — несовершенные квадраты
Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.Источники и другие ресурсы
Ввод математических задач на этом сайте
Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Find allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика многочленов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Образцы, Упрощение, Пример Правые треугольники, Ветер, рисунок
карточек по математике | Quizlet
Если вам даны два набора x и y (1, -3), (2, 4), вы всегда можете построить линию.Все, что вам нужно, это два набора точек. Любая горизонтальная линия имеет твердую ось y (ось y никогда не меняется, а ось x изменяется), поэтому y = k всегда.
Любая вертикальная линия имеет твердую ось x, которая не меняется, поэтому X = K
Любые две точки, имеющие одну и ту же координату y, должны быть горизонтальной линией.
Любые две точки, имеющие одну и ту же координату x, должны быть вертикальной линией.
Наклон 2 (m = 2) может означать (-2, -1), потому что если вы разделите -2 / -1 = 2. Или это может означать (2,1)
Если даны два набора точек и вы хотите найти наклон, вычтите оба Y как ваш «подъем» и вычтите оба x как ваш «бег» для подъема / бега.
Если у вас наклон 2, это означает, что каждый раз, когда вы добавляете x (или -x) к координате x, вы добавляете 2 к координате y. Итак, если у вас есть точки (-3, -1), то (-2, 1) также должна быть координатой.
Наклон -2/3 может также означать 1 единицу влево и 2/3 единицы влево (-1 + 2/3)
Линии с наклоном 1 или -1 составляют углы в 45 градусов. Таким образом, они образуют угол 45, 45, 90.
Параллельные линии имеют одинаковый наклон. Перпендикулярные линии имеют противоположные наклоны со знаком (-1 и 1, и вы переворачиваете числа), поэтому наклон — (1/2) становится наклоном положительного 2 для обратной.Неважно, что такое b, только наклон.
Только линии, которые пересекаются в начале координат, имеют ось x и y равной 0.
x-точка пересечения — это точка пересечения линии с осью x, y — точка пересечения, когда y пересекает ось y. Когда дано уравнение, чтобы найти x, мы подставляем y = 0, когда мы хотим найти y, мы подставляем x = 0.
Перехваты могут быть классифицированы как точки: (s, 0) = x-точка пересечения, (0, S) может быть классифицирована как точка пересечения по оси y ;.
Координата x любого отрезка оси y всегда равна 0.
Чтобы найти значение y, всегда заменяйте x на 0!
Если нам дают точку (0, 2m) и просят заполнить y = mx + b.Мы знаем, что b равно 2m, поскольку 2m пересекает y-точку, когда x = 0.