Опубликовано Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения
| Справочник по математике | Алгебра | Формулы сокращенного умножения |
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
| Степень суммы | |
| Степень разности | |
| Квадрат многочлена | |
| Куб трехчлена | |
| Сумма нечетных степеней | |
| Разность нечетных степеней | |
| Разность четных степеней |
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.
д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = |
Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + |
Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + |
Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + |
| … |
Общая формула для вычисления суммы
(x + y)n
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
Куб (третья степень) разности (x – y)3 = |
Четвертая степень разности (x – y)4 = x4 – 4x3y + |
Пятая степень разности (x – y)5 = x5 – 5x4y + |
Шестая степень разности (x – y)6 = x6 – 6x5y + |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
3-8Основные плюсы и минусы экспонентов
NegativeSci.
Not’nEng. Not’nFractional
Purplemath
Что такое показатель степени (в математике)?
Экспоненты, также называемые степенями или порядками, являются сокращением для многократного умножения одного и того же самого на себя. Например, сокращение для умножения трех копий числа 5 показано справа от знака «равно» в (5)(5)(5) = 5 3 . «Показатель степени», равный 3 в этом примере, означает, сколько раз значение умножается. То, на что умножается число 5 в этом примере, называется «базой».
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Экспоненты: Основные правила: Правило произведения
Этот процесс использования экспонент называется «возведением в степень», где экспонента — это «степень». Выражение 5 3 произносится как «пять в третьей степени», «пять в третьей степени» или «пять в третьей степени».
Есть две специально названные степени: «во второй степени» обычно произносится как «квадрат», а «в третьей степени» обычно произносится как «куб».
Итак 5 3 обычно произносится как «пять в кубе».
Когда мы имеем дело с числами, мы обычно просто упрощаем; мы бы предпочли иметь дело с 27, чем с 3 3 . Но с переменными нам нужны показатели степени, потому что мы скорее будем иметь дело с x 6 , чем с xxxxxx .
Каковы правила (или законы) для экспонентов?
Правила упрощения с экспонентами следующие:
- Свойство продукта: ( x m ) ( х n ) = х м + n
- Мощность свойства мощности: ( x m ) n = x m × n
- Мощность свойства продукта: ( x y ) m = x m y m
- Степень частного свойства: ( x / y ) м = х м / у м
- Частное свойство: ( x m )/( x n ) = x m − n
- Свойство нулевой мощности: x 0 = 1
- Свойство отрицательной мощности: x −m = 1/ x m
Теперь, что означают эти правила? Далее я проиллюстрирую каждое правило, чтобы вы могли понять, как и почему они работают.
Как только вы поймете «почему», обычно довольно легко запомнить «как».
- Упростить ( x 3 )( x 4 )
Чтобы упростить это, я могу думать о том, что означают эти показатели степени. «К третьему» означает «умножение трех копий», а «к четвертому» означает «умножение четырех копий». Используя этот факт, я могу «расширить» два фактора, а затем вернуться к упрощенной форме.
Сначала расширяю:
( x 3 )( x 4 ) = ( xxx )( x xxx )
Теперь я могу убрать скобки и сложить все множители вместе 1 см., что это семь копий переменной. «Умножение семи копий» означает «в седьмой степени», поэтому это можно переформулировать как:
xxxxxxx = x 7
Собираем все вместе, шаги следующие:
( x 3 )( x 4 ) = ( ххх
)( хххх )= xxxxxxx
= x 7
Тогда упрощенная форма ( x 3 )( x 4 ) равно:
x 7
Обратите внимание, что x 7 также равно x (3+4) .
Это демонстрирует первое базовое правило экспоненты (то есть свойство произведения):
Правило свойства произведения: Всякий раз, когда вы умножаете два термина с одним и тем же основанием, вы можете упростить, добавляя показатели степени:
( x m ) ( x n ) = x ( m + n )
Обратите внимание, однако, что мы НЕ можем упростить ( x 4 )( 9093 3 года 3 ) путем сложения показателей степени, поскольку основания разные: (
- Упростить ( a 5 b 3 ) ( a b 7 )
Теперь, когда я знаю правило (а именно, что я могу добавлять способности к одной и той же базе), я могу начать с перемещения баз, чтобы получить все одинаковые базы рядом друг с другом:
( а 5 б 3 ) ( а б 7 ) = ( 909 33 а 5 ) ( а ) ( б 3 ) ( b 7 )
(Почему я мог это сделать? Потому что возведение в степень — использование показателей — указывает на умножение, а умножение коммутативно, то есть множители в умноженном произведении можно перемещать и переупорядочивать.
Теперь я хочу добавить мощности на a и b . Однако второй и , похоже, не обладают силой. Что мне делать с этим фактором?
Все, что не имеет явной силы, в техническом смысле «возводится в степень 1». Все, что в степени 1, является просто самим собой, поскольку оно «умножает одну копию» самого себя. Таким образом, приведенное выше выражение можно переписать как:
( a 5 ) ( a ) ( b 3 ) ( b 7 ) = ( a 5 ) ( a 1 ) ( b 3 ) ( b 7 )
Теперь я могу комбинировать:
( и 5 ) ( a 1 ) ( b 3 ) ( b 7 ) = a 5+1 б
Если сложить все вместе, моя работа будет выглядеть так:
( а 5 б 3 ) ( а б 7 ) = ( 909 33 а 5 а 1 ) ( б 3 b 7 ) =
a 6 b 10
одна сила находится, в некотором смысле, «внутри» другой.
- Упростить ( x 2 ) 4
Для упрощения я могу начать с размышлений о том, что означают показатели степени. «До четвертого» снаружи означает, что я умножаю четыре копии любого основания, которое находится внутри круглых скобок. В этом случае основание четвертой степени равно x 2 . Умножение четырех копий этой базы дает мне:
( x 2 ) 4 = ( x 2 )( x 2 )( x 2 )( x 2 )
Каждый коэффициент в приведенном выше расширении является «умножением двух копий» переменной. Это расширяется как:
( x 2 )( x 2 )( x 2 )( x 2 ) = ( хх )( хх )( xx )( xx )
Сняв скобки, я получаю:
( xx )( xx )( xx )( xx ) = xxxxxxxx
Это строка из восьми копий переменной .
«Умножение восьми копий» означает «в восьмой степени», поэтому это означает:
xxxxxxxx
Собираем все вместе: 9 0907
( х 2 ) 4 = ( x 2 )( x 2 )( x 2 )( x 2 )
= ( хх )( хх )( хх )( хх )
9 0906 = xxxxxxxx= x 8
Обратите внимание, что ( x 2 ) 4 = x 8 , и что 2 × 4 = 8. Это демонстрирует правило второй степени (то есть мощность свойства мощности):
Мощность свойства мощности : Всякий раз, когда у вас есть выражение степени, которое само возводится в степень, вы можете упростить, умножив внешнюю степень на внутреннюю степень:
( x m ) n = x m×n
мощность идет на каждый элемент внутри.
( xy 2 ) 3 = ( xy 2 )( xy 2 )( xy 2 )
= ( xxx )( г 2 г 2 г 2 )
= ( ххх )( гггггг )
= х 9 0934 3 у 6
= ( х ) 3 ( y 2 ) 3
Это иллюстрирует третье правило экспоненты (т. е. мощность свойства продукта):
Мощность свойства продукта. мощности, вы можете распределить внешний показатель степени на каждый из факторов в произведении:
( x y ) м = x м y м
Примечание. Это правило НЕ работает, если в скобках указана сумма или разница. Экспоненты, в отличие от умножения, НЕ «распределяют» над сложением.
Например, учитывая (3 + 4) 2 , НЕ поддавайтесь искушению сказать: « Эй, это равно 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 », потому что это неправильно.
На самом деле, (3 + 4) 2 = (7) 2 = 49, а не 25.
Если есть сомнения, запишите выражение в соответствии с определением степени. Например, учитывая ( x − 2) 2 , не пытайтесь сделать это в уме. Вместо этого напишите это; «В квадрате» означает «умножение двух копий», поэтому:
( x — 2) 2 = ( x — 2)( x — 2)
= x 90 934 ( х − 2) − 2( x − 2)
= xx — 2 х — 2 х + 4
= х 2 — 4 х + 4
Ошибка ошибочной попытки » распределить», показатель степени чаще всего делается, когда учащиеся пытаются делать все в голове, вместо того, чтобы показывать свою работу. Делайте все аккуратно, и вероятность того, что вы совершите эту ошибку, снизится.
- Упрощение ( a 2 b 3 c ) 4
Теперь, когда я знаю правило о силах на силах, я могу применить 4 к каждому из внутренних факторов.
(Мне нужно помнить, что c внутри круглых скобок, не имеющих явной силы над ним, следует рассматривать как возведение «в степень 1».)
( a 2 ) 4 ( b 3 ) 4 ( c 1 ) 4
= ( a 2×4 ) ( b 3 × 4 ) ( c 1 × 4 )
= a 8 b 12 c 4
распределять по умножению, они также могут распределять по делению.
- Упростить ( x / y 2 ) 3
Степень 3 дроби означает, что у меня есть три копии этой дроби:
( x / y 2 )( x / y 2 )( x / y 2 )
Чтобы умножить эти дроби, я умножаю числители по числителям и знаменателям по знаменателям:
( x x x )/( y 2 909 33 г 2 г 2 )
Сейчас Я могу упростить:
( x 3 )/(( y 2 ) 3 )
= ( x 3 )/( y 6 )
частного правила: всякий раз, когда у вас есть дробь, возведенная в степень, вы можете распределить степень на числитель и знаменатель:
( x м ) / ( x n ) = x m − n
Точно так же, как мы можем умножить два множителя на одно и то же основание, мы можем разделить два термина на одно и то же основание.
- Упрощение a 5 / a 2
Чтобы упростить это, я сначала расширю числитель и знаменатель.
( ааааа )/( аа )
Очевидно, два экземпляра множителя и дублируются (то есть имеют общие для каждого числитель и знаменатель). Я могу отменить эти дубликаты:
( aaa )/(1)
(Помните, что, когда «все» сокращается, остается понятный, но обычно игнорируемый множитель 1, который остается.)
Я могу проигнорировать цифру 1 внизу и применить определение степени, чтобы упростить мой окончательный ответ:
aaa = a 3
Обратите внимание, что ( a 5 )/( a 2 ) = a 9093 4 5−2 = a 3 , и что 5 − 2 = 3. Это иллюстрирует правило пятой степени (то есть, правило частного):
Правило частного: всякий раз, когда у вас есть одно и то же основание в числителе и знаменателе дроби, вы можете упростить, вычитая степени:
( x м ) / ( x n ) = x m − n
(Да, это правило может привести к отрицательным показателям степени.
На следующей странице вы узнаете, как с ними работать.)
90 906 Есть еще одно правило, которое может быть или не быть рассмотрено в вашем классе на данном этапе:
Свойство нулевой степени: все в нулевой степени равно 1 (до тех пор, пока «что угодно» не равно нулю).
Это правило объясняется на следующей странице. Однако на практике это правило означает, что некоторые упражнения могут быть намного проще, чем могут показаться на первый взгляд:
Кого волнует то, что заключено в квадратные скобки? Уж точно нет, потому что нулевая мощность снаружи означает, что значение всего этого всего равно 1. Ха!
[(3 x 4 y 7 z 12 ) 5 (−5 909 33 x 9 y 3 z 4 ) 2 ] 0 = 1
Кстати, как только ваш класс перейдет «в нулевую степень», вы должны ожидать упражнение, подобное приведенному выше, на следующем тесте.