Опубликовано Умножение отрицательных чисел – примеры (6 класс, математика)
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 175.
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 175.
Умножение отрицательных чисел тема сложная скорее тем, что ученики в курсе математики 6 класса привыкли иметь дело только с положительными числами. На самом деле ничего сложного в умножении отрицательных чисел нет. Разберемся в этом вместе.
Что такое отрицательное число?
Отрицательное число это элемент множества отрицательных чисел. Никакого другого определения нет. Это просто вид чисел, так же как положительные числа, целые или рациональные. Никакой таинственности у этих чисел нет, поэтому не надо бояться работать с ними.
Для того, чтобы легче воспринимать отрицательные числа, стоит попробовать складывать и вычитать их с положительными с помощью числовой прямой.
Правило знаков
Правило знаков разграничивает положительные и отрицательные числа в умножении и делении чисел.
Поэтому стоит запомнить три простых правила:
- Если положительное число умножается или делиться на положительное, то в результате будет положительное число. Или говоря проще: плюс на плюс дает плюс.
- Если положительное число умножается или делится на отрицательное, то в результате получится отрицательно число и, наоборот, в случае с умножением и делением отрицательного числа на положительное. Или говоря проще: плюс на минус будет минус.
- Если отрицательное число умножается или делиться на отрицательное, то результатом будет положительно число. Или говоря проще: минус на минус будет плюс.
Умножение отрицательных чисел
Для умножения отрицательных чисел используется все то же правило знаков. Рассмотрим несколько возможных случаев использования правила знаков:
- Если отрицательное число умножается на отрицательное, то результатом будет положительное число;
- Если отрицательное число умножается на положительное, то результатом будет отрицательное число;
- Если положительное число умножается на отрицательное, то результатом будет отрицательное число.
Пример
Разберем пример умножения отрицательных чисел и приведем небольшой алгоритм такого умножения:
-13*-27
Знак минус можно представить как -1, умноженное на число.
- Знаки минус нужно вынести за скобку:
-1*13*(-1)*27=(-1)*(-1)*13*27
- Знаки минус стоит сократить согласно правилу знаков. В нашем случае два минуса дают плюс.:
-1*13*(-1)*27=(-1)*(-1)*13*27=13*27
- Выполняем обычное умножение положительных чисел:
-1*13*(-1)*27=(-1)*(-1)*13*27=13*27=351
Что мы узнали?
Мы поговорили об отрицательных числах. Привели правило знаков и рассмотрели его в отношении умножения отрицательных чисел. Рассмотрели пример умножения отрицательных чисел.
Тест по теме
Доска почёта
Алексей Макаренко
5/5
Никита Поцелуев
5/5
Шахтёрский Увк
5/5
Ярослав Гуринович
5/5
Оценка статьи
4
Средняя оценка: 4
Всего получено оценок: 175.
А какая ваша оценка?
§ Умножение отрицательных чисел. Умножение рациональных чисел
Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−3) · (−6) = +18 = 18
- 2 · 3 = 6
Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
- перемножить модули чисел;
- перед полученным произведением поставить знак «−».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
- (−0,3) · 0,5 = −0,15
- 1,2 · (−7) = −8,4
Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
Запомните!
Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.
| + · (+) = + | + · (−) = − |
| − · (−) = + | − · (+) = − |
В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.
Пример.
(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) =
В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 · 3 · 4 · 2 · 12 · 1 = 1728
Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(−6) · (−3) · (−4) · (−2) · 12 · (−1) = −1728
Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
- 0 · a = 0
- a · 0 = 0
- a · 1 = a
Примеры:
- 0 · (−3) = 0
- 0,4 · 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица «−1».
Запомните!
При умножении на «−1» число меняется на противоположное.
В буквенном выражении это свойство можно записать:
a · (−1) = (−1) · a = −a
При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется
порядок действий, установленный
для положительных чисел и нуля.
Пример умножения отрицательных и положительных
Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
Минус, умноженный на минус, будет плюсом
Я видел несколько недавних постов, в которых задавались вопросом об интуитивном объяснении того факта, что «минус, умноженный на минус, равен плюсу». Я понимаю, почему люди задаются этим вопросом — как часто учат, это кажется просто произвольным правилом без «почему»! Но на самом деле это вполне логично.
Пол с сайта crossedstreams.com дает объяснение, включающее две величины с реальными интерпретациями, связанными с отрицательными значениями: чистая стоимость (отрицательное значение означает уменьшение чистой стоимости) и время (прошлое отрицательное). Это довольно интуитивно понятно, но в некотором смысле показывает только почему хорошо что минус умножить на минус это плюс, так как это позволяет нам смоделировать эту реальную ситуацию; это на самом деле не показывает почему это правда в глубоком смысле. Майк из Walking Randomly приводит доказательство, в основном основанное на аксиомах поля, но (как он сам признает) оно не особенно интуитивно понятно.
Вот как бы я это объяснил. Это совсем не строго, и я даже не полностью удовлетворен этим, но я надеюсь, что это поможет развить некоторую интуицию.
Подумайте о знакомой «числовой прямой»: положительные числа отходят вправо, а отрицательные — влево. Добавление положительного числа соответствует перемещению вправо по числовой прямой.
Прибавление отрицательного числа (то есть вычитание положительного) соответствует перемещению влево по числовой прямой. Таким образом, с добавлением мы уже видим эту идею негатива, соответствующую действию «в противоположном направлении».
Итак, чему соответствует умножение на числовой прямой? Конечно, умножение соответствует масштабирование или растяжение: например, если мы начнем с точки на числовой прямой и умножим на 3, мы окажемся в точке, в три раза дальше от нуля, чем мы начали. А как насчет умножения на отрицательное число? Это соответствует шкале в другом направлении : например, если мы начнем с точки на числовой прямой и умножим на -3, мы закончим в точке по другую сторону от нуля, и в три раза больше, чем далеко. То есть умножение на отрицательное число означает, что мы переворачиваем с одной стороны нуля на другую. Итак, конечно, если мы начнем с слева нулей (отрицательное число) и умножаем на минус, мы получаем справа нулей (положительное число)!
[Впрочем, я думаю, что попытка объяснить это более глубоко, чем это, действительно требует некоторого введения распределительного свойства — это единственное, что формально связывает сложение (помните, что отрицательные числа определяются как аддитивное обратные) и умножение.
Мне очень нравится идея, опубликованная Эриком в качестве комментария к сообщению Майка относительно иллюстрации дистрибутивной собственности.
Кроме того, я хотел поместить в этот пост красивые картинки, но сейчас, если я подожду, чтобы сделать красивые картинки, этого никогда не произойдет. Так что я просто опубликую это сейчас, и, возможно, я вернусь и добавлю несколько фотографий позже.]
Нравится:
Нравится Загрузка…
Эта запись была размещена в арифметике с тегами интуиция, умножение, отрицательный. Добавьте постоянную ссылку в закладки.
Умножение отрицательных значений дает положительное значение
GCfiIBPG7Aw
Когда мы умножаем:
| Пример | |||
| × | два плюса дают плюс: | 3 × 2 = 6 | |
| × | два отрицательных числа дают положительный: | (−3) × (−2) = 6 | |
| × | отрицательное и положительное делают отрицательное: | (-3) × 2 = -6 | |
| × | положительный и отрицательный делают отрицательный: | 3 × (−2) = −6 |
Да действительно два минуса дают плюс, и мы объясним почему , на примерах!
Знаки
Давайте поговорим о знаках .
«+» — положительный знак, «-» — отрицательный знак.
Когда число имеет без знака , это обычно означает, что оно положительное .
Пример: 5 на самом деле +5
И мы можем поставить () вокруг цифр, чтобы избежать путаницы.
Пример: 3 × −2 можно записать как (+3) × (−2)
Два Знака: Правила
«Два одинаковых знака дают положительный знак,
два разных знака дают отрицательный знак»
Пример: (−2) × (+5)
Знаки — и + (знак минус и знак плюс), поэтому они не похожи на знаки (они отличаются друг от друга)
Таким образом, результат должен быть отрицательным :
(−2) × (+5) = −10
Пример: (−4) × (−3)
Знаки — и — (оба знака отрицательные), поэтому они похожи на знаки (подобны друг другу)
Таким образом, результат должен быть положительным :
(−4) × (−3) = +12
Почему при умножении двух отрицательных чисел получается положительное?
Ну, во-первых, объяснение «здравого смысла»:
Когда я говорю «Ешь!» Я призываю вас есть (положительно)
Но когда я говорю «Не ешьте!» Я говорю обратное (отрицательно).
Теперь, если я скажу « НЕ НЕ ЕШЬ!», я говорю, что не хочу, чтобы вы голодали, поэтому я снова говорю «Ешь!» (положительно).
Итак, два минуса дают плюс, и если вас это устраивает, то вам больше не нужно читать.
Направление
Все дело в направлении. Помните числовой ряд?
Итак, малыш Стивен делает свои первые шаги. Он делает 2 шага за раз и делает это три раза, поэтому он делает 2 шага x 3 = 6 шагов вперед:
.Малыш Стивен тоже может отступать назад (он умный малыш). Его папа возвращает его в исходное положение, а затем Стивен делает шаг назад на 2 шага и делает это три раза:
.Отец Стивена снова возвращает его в исходное положение, но лицом в другую сторону. Стивен делает 2 шага вперед (для себя!), но движется в отрицательном направлении. Он делает это 3 раза:
Вернувшись в исходное положение снова (спасибо, папа!), по-прежнему глядя в отрицательном направлении, он пытается идти задом наперёд, снова делая два шага за раз, и делает это три раза:
Итак, идя назад, глядя в отрицательном направлении, он движется в положительном направлении.
Попробуйте сами! Попробуйте пройтись вперед и назад, затем еще раз, но лицом в другую сторону.
Играй с этим
Но, может быть, вы хотели бы увидеть его в действии? Используйте ползунки ниже:
числа/изображения/номер-линия-mult.js
Дополнительные примеры
Пример: Деньги
| Сэм дает вам три купюры по 10 долларов: | +3 × +10 = вы получаете 30 долларов | |
| Сэм дает вам три долга по 10 долларов: | +3 × −10 = вы теряете 30 долларов | |
| Сэм берет у вас три купюры по 10 долларов: | −3 × +10 = вы теряете 30 долларов | |
| Сэм берет у вас три долга по 10 долларов: | -3 × -10 = вы получаете 30 долларов |
Пример: Видео бегущих людей
Люди бегут вперед, видео нормальное:
Все нормально, люди бегут вперед: +1 × +1 = +1
Люди бегут вперед, но видео назад :
Похоже на то, как люди бегут задом наперёд: +1 × −1 = −1
Люди бегут Назад , Видео Нормальное:
Вы видите, как люди бегут назад: −1 × +1 = −1
Люди бегут Назад , но Видео в Назад :
3 вперед: −1 × −1 = +1
Пример: Уровень в баке поднимается/падает
В баке 30 000 литров, и каждый день выливается 1000 литров.
Сколько воды было в баке 3 дня назад ?
Мы знаем, что количество воды в баке меняется на −1000 каждый день, и нам нужно вычесть это 3 раза (чтобы пройти назад на 3 дня ), поэтому изменение равно:
−3 × −1 000 = +3 000
дней назад в баке было 33 000 литров воды.
Таблица умножения
Вот другой взгляд на это.
Сначала поиграйте с этим (пояснения ниже):
числа/изображения/mult-grid.js?min=-5&max=5
Начните с таблицы умножения (достаточно до 4×4):
| × | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |
Теперь посмотрим, что произойдет, когда мы начнем с негативов !
Пойдем назад через ноль:
| × | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| -4 | -4 | -8 | -12 | -16 |
| -3 | -3 | -6 | -9 | -12 |
| -2 | -2 | -4 | -6 | -8 |
| -1 | -1 | -2 | -3 | -4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |
Посмотрите на столбец «4»: там -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 .
Получая 4 больше каждый раз.
Просмотрите эту таблицу еще раз, убедитесь, что вам удобно, как она работает, потому что…
… теперь идем дальше налево , через ноль:
| × | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -4 | 16 | 12 | 8 | 4 | 0 | -4 | -8 | -12 | -16 |
| -3 | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 | -3 | -6 | -9 | -12 |
| -2 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8 |
| -1 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | -12 | -9 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| 4 | -16 | -12 | -8 | -4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
Мы можем следовать по строке (или столбцу), и значения постоянно меняются:
- Следуйте по «4» ряду: это идет -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16 .
