Найдите значения выражения онлайн дроби со степенями: Онлайн Калькулятор. Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями.

Кажется, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-6: Рациональные выражения

Теперь нам нужно взглянуть на рациональные выражения. Рациональное выражение — это не что иное, как дробь, в которой числитель и / или знаменатель являются полиномами.2} + 6x — 10 \). Однако важно отметить, что полиномы можно рассматривать как рациональные выражения, если нам нужно, хотя это случается редко.

При работе с рациональными выражениями существует негласное правило, которое нам теперь нужно рассмотреть. Имея дело с числами, мы знаем, что деление на ноль недопустимо. То же самое и с рациональными выражениями. Итак, имея дело с рациональными выражениями, мы всегда будем предполагать, что каким бы ни было \ (x \), оно не дает деления на ноль.Мы редко записываем эти ограничения, но всегда должны помнить о них.

Для первого из перечисленных нам нужно избегать \ (x = 1 \). Второе рациональное выражение никогда не равно нулю в знаменателе, поэтому нам не нужно беспокоиться о каких-либо ограничениях. Также обратите внимание, что числитель второго рационального выражения будет равен нулю. Ничего страшного, нам просто нужно избегать деления на ноль. Для третьего рационального выражения нам нужно будет избегать \ (m = 3 \) и \ (m = — 2 \).Последнее рациональное выражение, указанное выше, никогда не будет равно нулю в знаменателе, поэтому нам опять же не нужно никаких ограничений.

Первая тема, которую мы должны здесь обсудить, — это сокращение рационального выражения до наименьших терминов. Рациональное выражение было сокращено до младших членов , если все общие множители числителя и знаменателя были исключены. Мы уже знаем, как это сделать с числовыми дробями, поэтому давайте быстро рассмотрим пример.

С рациональным выражением все работает точно так же.

Однако мы должны быть осторожны с отменой. Студенты часто совершают несколько типичных ошибок, решая эти задачи. Напомним, что для отмены множителя необходимо умножить весь числитель и весь знаменатель.Таким образом, приведенное выше значение x + 3 может быть отменено, поскольку оно умножает весь числитель и весь знаменатель. Однако \ (x \) в сокращенной форме не могут быть отменены, поскольку \ (x \) в числителе не умножается на весь числитель.

Чтобы понять, почему \ (x \) не отменяется в приведенной выше сокращенной форме, введите число и посмотрите, что произойдет. Подключим \ (x = 4 \).

Очевидно, это не одно и то же число!

Так что будьте осторожны с отменой. 8}}} \) Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

При сокращении рационального выражения до наименьших членов первое, что мы сделаем, — это как можно больше множим числитель и знаменатель. Это всегда должно быть первым шагом к решению этих проблем.

Кроме того, факторинг в этом разделе и во всех последующих разделах будет выполняться без объяснения причин. Предполагается, что вы способны самостоятельно проводить и / или проверять факторинг.2}}} = \ frac {{\ left ({x — 5} \ right) \ left ({x + 5} \ right)}} {{x \ left ({5 — x} \ right)}} \ ]

На первый взгляд кажется, что нет ничего, что могло бы отменить. Обратите внимание, однако, что в знаменателе есть член, который почти такой же, как член в числителе, за исключением того, что все знаки противоположны.

Мы можем использовать следующий факт относительно второго члена в знаменателе.

Обычно это называется с учетом знака минус , потому что это именно то, что мы сделали. Здесь есть две формы, охватывающие обе возможности, с которыми мы можем столкнуться. Однако в нашем случае нам нужна первая форма.

Из-за некоторых проблем с обозначениями давайте немного поработаем со знаменателем.

Обратите внимание на шаги, использованные здесь.На первом этапе мы исключили знак минус, но мы все еще умножаем члены, поэтому мы заключили дополнительный набор скобок, чтобы убедиться, что мы не забыли об этом. На втором этапе мы признали, что знак минус впереди — это то же самое, что умножение на «-1». Как только мы это сделали, нам больше не понадобился дополнительный набор скобок, поэтому мы отказались от них на третьем этапе. Затем мы вспомнили, что при необходимости меняем порядок умножения, поэтому мы перевернули \ (x \) и «-1».6}}} \]

Прежде чем продолжить, давайте кратко обсудим ответ во второй части этого примера. Обратите внимание, что мы переместили знак минус из знаменателя в начало рационального выражения в окончательной форме. Это всегда можно сделать, когда нам нужно. Напомним, что все следующие варианты эквивалентны.

Другими словами, знак минус перед рациональным выражением можно перенести на весь числитель или весь знаменатель, если это удобно.Однако мы должны быть осторожны с этим. Рассмотрим следующее рациональное выражение.

В этом случае знак «-» на \ (x \) нельзя переместить в начало рационального выражения, так как он находится только на \ (x \). Чтобы переместить знак минус в начало рационального выражения, его нужно умножить на весь числитель или знаменатель. Итак, если мы вычленим минус из числителя, мы могли бы затем переместить его в начало рационального выражения следующим образом:

Мораль здесь заключается в том, что мы должны быть осторожны с перемещением знаков минус в рациональных выражениях.

Теперь нам нужно перейти к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных выражений.

Начнем с умножения и деления рациональных выражений. Общие формулы следующие:

Обратите внимание на две разные формы обозначения деления.Мы будем использовать любой из них при необходимости, поэтому убедитесь, что вы знакомы с обоими. Также обратите внимание, что для деления рациональных выражений все, что нам нужно сделать, это умножить числитель на обратную величину знаменателя (, т.е. дробь с переключением числителя и знаменателя).

Прежде чем приступить к рассмотрению пары примеров, мы должны рассмотреть несколько особых случаев деления . В приведенном выше общем случае числитель и знаменатель рационального выражения являются дробями, однако, что, если одно из них не является дробью.Итак, давайте рассмотрим следующие случаи.

Студенты сначала часто делают ошибки с ними. Чтобы правильно с ними справиться, мы превратим числитель (первый случай) или знаменатель (второй случай) в дробь, а затем произведем общее деление на них.

Будьте осторожны с этими случаями. 2} + 5m + 6}} \ div \ frac {{3 — m}} {{m + 2}} = \ frac { {\ left ({m — 3} \ right)}} {1} \ cdot \ frac {1} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} = \ frac {{\ left ({m — 3} \ right)}} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} \]

Помните, что когда мы удаляем все члены из числителя или знаменателя, фактически остается «1»! Итак, мы не закончили отмену, чтобы подчеркнуть важность.Напомним, что в начале этого обсуждения мы говорили, что, как показывает практика, мы можем отменять термины только в том случае, если с обеих сторон нет «+» или «-», за одним исключением для «-». Сейчас мы находимся в этом исключении. Если перед целым числителем или знаменателем стоит «-», как здесь, то мы все равно можем отменить член. В этом случае «-» действует как «-1», который умножается на весь знаменатель и, таким образом, является множителем вместо сложения или вычитания. Вот окончательный ответ на эту часть.2} — 1}} \\ & = \ frac {{\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} { {\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y — 1} \ right)}} = \ frac {{\ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} {{y — 1}} \ end {align *} \]

Хорошо, пора перейти к сложению и вычитанию рациональных выражений. Вот общие формулы.

Как было показано, мы должны помнить, что для сложения или вычитания рационального выражения или дробей мы ДОЛЖНЫ иметь общие знаменатели.Если у нас нет общих знаменателей, нам нужно сначала получить общие знаменатели.

Давайте вспомним, как это сделать, на примере быстрого числа.

В этом случае нам нужен общий знаменатель и напомним, что обычно лучше использовать наименьший общий знаменатель , часто обозначаемый lcd . В этом случае наименьший общий знаменатель равен 12. Итак, нам нужно привести знаменатели этих двух дробей к 12.Это легко сделать. В первом случае нам нужно умножить знаменатель на 2, чтобы получить 12, поэтому мы умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Помните, что нам нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, поскольку мы не Фактически невозможно изменить проблему, и это эквивалентно умножению дроби на 1, поскольку \ (\ frac {a} {a} = 1 \). Для второго члена нам нужно будет умножить числитель и знаменатель на 3.

Теперь процесс создания рациональных выражений идентичен.Основная трудность — найти наименьший общий знаменатель. Однако существует действительно простой процесс поиска наименьшего общего знаменателя для рациональных выражений. Вот.

1. Разложите все знаменатели на множители.
2. Запишите каждый множитель, который хотя бы один раз встречается в любом знаменателе. НЕ записывайте мощность каждого фактора, записывайте только коэффициент
. 5} \]

Итак, нам просто нужно умножить каждый член на соответствующую величину, чтобы получить его в знаменателе, а затем выполнить сложение и вычитание.5}}} \ end {выровнять *} \]
b \ (\ displaystyle \ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} \) Показать решение

В этом случае есть только два множителя, и оба они встречаются в первой степени, поэтому имеет наименьший общий знаменатель.

\ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right) \]

Теперь, чтобы определить, на что умножить каждую часть, просто сравните текущий знаменатель с наименьшим общим знаменателем и умножьте верхнюю и нижнюю части на все, что «отсутствует».В первом члене нам «не хватает» \ (z + 2 \), поэтому на него мы умножаем числитель и знаменатель. Во втором члене нам «не хватает» \ (z + 1 \), и это то, что мы умножаем в этом члене.

Вот работа для этой проблемы.

\ [\ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} — \ frac {{\ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 2} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right) — \ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} \ ]

Последний шаг — произвести любое умножение в числителе и максимально упростить его.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} \) Показать решение

Снова разложите знаменатели на множители и получите наименьший общий знаменатель.

\ [\ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ гидроразрыв {2} {{x — 3}} \]

Наименьший общий знаменатель:

. \ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right) \]

Обратите внимание, что первое рациональное выражение уже содержит это в знаменателе, но это нормально.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} & = \ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3 } \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {{1 \ left ({x — 3} \ right)}} {{\ left ({x + 3} \ right) \ left ({x — 3} \ right)}} — \ frac {{2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — \ left ({x — 3} \ right) — 2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — x + 3 — 2x — 6}} {{\ left ({x — 3} \ right ) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{- x — 3}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что здесь мы можем пойти еще дальше.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} = \ frac {{- \ left ({x + 3} \ right)} } {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} = \ frac {{- 1}} {{x — 3}} \]

Иногда такая отмена происходит после сложения / вычитания, так что будьте начеку.


e \ (\ displaystyle \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + 1 \) Показать решение

Суть этой проблемы в том, что за всем стоит «1». На самом деле проблема не в этом.Давайте сначала немного перепишем здесь.

\ [\ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} \]

Таким образом, мы видим, что здесь действительно три дроби. Знаменатель одного из них просто равен единице. Наименьший общий знаменатель для этой части:

. \ [{\ mbox {lcd:}} y \ left ({y + 2} \ right) \]

Вот сложение и вычитание для этой задачи.

\ [\ begin {align *} \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} & = \ frac {{4y}} {{\ left ({y + 2} \ right) \ left (y \ right)}} — \ frac {{y + 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} + \ frac {{ y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \\ & = \ frac {{4y — \ left ({y + 2} \ right) ) + y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \ end {align *} \]

Обратите внимание на скобки, которые мы добавили ко второму числителю при вычитании.2} + 5y — 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \]

Использование свойств экспонент для создания эквивалентных выражений — стенограмма видео и урока

Свойство отрицательных показателей

Свойство отрицательных показателей утверждает, что отрицательный показатель степени в числителе должен быть перемещен в знаменатель и должен стать положительным. Другими словами, это означает, что основание и показатель степени должны находиться по другую сторону дробной линии, а показатель степени должен быть положительным.Итак, x — a = 1/ x a .

Предположим, нам дано это выражение для оценки:

Чтобы создать эквивалентное выражение, вам просто нужно переместить основание и показатель степени на другую сторону дробной линии и изменить показатель степени на положительный:

Продукты, Коэффициенты, & Степень

Свойство произведения степеней говорит, что когда мы умножаем степени с одной и той же базой, нам просто нужно складывать экспоненты.Итак, x a x b = x ( a + b ). Как видите, мы сохраняем базу и складываем экспоненты вместе.

Давайте попробуем пример:

Поскольку база одинакова для каждого фактора, мы просто добавляем экспоненты:

x 5 — это наше эквивалентное выражение. Если бы мы записали это длинным путем, это было бы: x * x * x , умноженное на x * x .

Это свойство также работает с отрицательными показателями. Например, предположим, что у нас есть:

. Мы бы сохранили основание и добавили экспоненты:

• x (3 + -2) = x 1 или просто x

Частное свойства говорит о том, что, когда мы делим степени с одинаковым основанием, мы просто вычитаем показатели степени. Итак ( x a / x ) b = x ( a — b ).Обратите внимание, что мы оставляем основание без изменений и вычитаем экспоненты.

Скажем, что у нас есть:

Эквивалентное выражение было бы:

Если бы мы выписали это длинным путем, это было бы x * x * x , разделенное на x * x , это просто x .

Давайте посмотрим на другой пример:

Вычитаемая экспонента меньше, чем вычитаемая экспонента. Мы все еще можем применить свойство степеней:

• x (3-4), что равно x -1

Теперь примените свойство отрицательной степени для дальнейшей оценки:

Степень свойства мощности утверждает, что когда мы берем степень степени, мы сохраняем основание и умножаем показатели степени.Итак, ( x a ) b = x ( a * b ). Это показывает, что мы записываем нашу базу и просто умножаем заданные показатели.

Предположим, у нас есть эта проблема:

Ну, используя основание, представленное ранее, это то же самое, что:

Помните, когда мы умножаем степени, мы складываем экспоненты, так что:

Или мы могли бы умножить экспоненты данной базы. Это даст нам:

Умножение и деление степеней

Возможно ли умножение и деление степеней в одной и той же задаче? Да! Сначала мы упростим степени в скобках, а затем либо умножим, либо разделим оставшуюся задачу.Лучше всего это проиллюстрировано на примере:

Скажем, что у нас есть:

Чтобы решить, сначала оставьте x 4 в числителе, затем умножьте степени в знаменателе, добавив экспоненты (так как основания равны тоже самое). Итак:

Из оставшейся задачи разделите степени, вычитая экспоненты:

Мы можем оставить наш ответ таким образом или можем переписать ответ с отрицательными показателями, применив правило отрицательных показателей:

Что мы делаем, когда хотим умножить полномочия, чтобы получить эквивалентное выражение, но основания разные? Мы должны сделать базы такими же.

Допустим, у нас есть:

Мы могли бы изменить основание 9 так, чтобы оно имело основание 3:

Мы вводим это новое основание и показатель степени в наше уравнение:

Теперь мы можем использовать свойства экспоненты, которые мы обсудили чтобы найти эквивалентное выражение:

• Используйте свойство power power, чтобы получить: 35 * 3 (2 * 2), что равно 35 * 34.
• Примените свойство произведения степеней, сложив показатели вместе: 3 (5 + 4) = 39

Если бы мы оценили 39, это дало бы нам ответ 19 683.

Краткое содержание урока

Степень состоит из основания и экспоненты. Показатель степени говорит нам, сколько раз нужно умножить основание на себя. В этом уроке мы изучили свойства экспонент и способы их использования для создания эквивалентных выражений. Например:

• Свойство отрицательных показателей говорит нам переместить основание и показатель степени на другую сторону линии дроби и сделать отрицательный показатель положительным.
• Степень свойства мощности говорит нам, что, когда мы берем степень степени, умножаем экспоненты и оставляем основание неизменным.
• Свойство частных степеней говорит нам вычитать показатели при делении степеней.
• Свойство произведение степеней говорит нам, что нужно складывать показатели, когда основания совпадают.

Чтобы умножить и разделить степени, мы упрощаем степени, а затем умножаем или делим оставшуюся задачу. При умножении сил на разные базы нам нужно, чтобы базы совпадали. Убедитесь, что вы изучили свойства и попрактикуетесь в задачах экспоненты, используя различные свойства.Вы обнаружите, что у них есть настоящая сила!

Практика по математике: отрицательные и дробные показатели

Показатели могут быть сложными, но тем более, когда они отрицательные или дробные. Эта статья начинается с обзора основных законов экспонент (степеней). Затем мы займемся множеством практических задач, связанных с отрицательными показателями и дробными показателями.

Гравитация, сила, удерживающая нашу Солнечную систему, может быть выражена с помощью отрицательных показателей. Дробные экспоненты играют роль в вычислении орбитального периода планеты.

_{Изображение Comfreak}

Как работают экспоненты?

В своей простейшей форме показатель степени обозначает многократное умножение. Небольшое число (показатель степени или степень ), расположенное справа вверху от основного числа (основание ), указывает, сколько раз использовать основание в качестве множителя.

• 3 ² = 3 × 3 = 9
• 2 ⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
• Он также работает для переменных: x ³ = ( x ) ( x ) ( x )

Вы можете даже иметь степень 1.Это просто означает единичный коэффициент основания: x ¹ = x .

Но какой смысл мы можем извлечь из таких выражений, как 4 ^-3 , 25 ^3/2 или y ^-1/6 ? Что значит брать «-3» множителя числа? Или «3/2» или «-1/6» коэффициента?

Все начинается с Законов экспонент (Ознакомьтесь с: Быстрые советы по использованию правил экспонент.)

Законы экспонент

1. Закон умножения (те же основания): x ^a x ^b = x ^{a + b}
2. Закон деления (те же основы): x ^a / x ^b = x ^a-b
3. Степенной закон: ( x ^a ) ^b = x ^ab
4. Закон умножения (те же степени): x ^a y ^a = ( xy ) ^a
5. Закон разделения (те же полномочия): x ^a / y ^a = ( x / y ) ^a

Итак, если мы собираемся попытаться разобраться в отрицательных и дробных показателях степени, то мы должны, по крайней мере, убедиться, что наши определения будут соответствовать этим законам экспонент.

Например, вы, возможно, уже знаете, что нулевой показатель степени на любой основе приводит к числу 1 (за одним исключением: 0 ⁰ не определено).

Давайте посмотрим, соответствует ли правило x ⁰ = 1 законам экспонент.

• Если x ⁰ = 1, то x ⁰ x ^b = 1 x ^b = x ^b . Это соответствует Закону умножения: x ⁰ x ^b = x ^{0 + b} = x ^b
• Согласно Закону о делении, если два показателя степени совпадают, тогда x ^a / x ^a = x ^a-a = x ⁰ = 1.Это определенно согласуется с алгебраическим фактом, что деление величины на себя дает 1.

Фактически, все законы соответствуют правилу x ⁰ = 1.

Отрицательные экспоненты

Рассмотрим закон деления с a = 0.

x ⁰ / x ^b = x ^0-b = x ^-b

Но помните: x ⁰ = 1.Итак, прочитав приведенное выше уравнение задом наперед, мы обнаружили правило отрицательных показателей!

Правило отрицательных показателей

Отрицательные показатели переводятся в дроби.

Например, 4 ^-3 = 1 / (4 ³ ) = 1/64.

Чем больше отрицательный показатель степени, тем меньше значение. Это особенно важно в науке, когда речь идет о порядках величин (насколько велики или малы вещи). Фактически, положительная и отрицательная степени 10 важны в научной записи .

• (гига-) 10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• (мега-) 10 ⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
• (кило-) 10 ³ = 1000 = 1 тысяча
• (Единица — без префикса) 10 ⁰ = 1
• (милли-) 10 ^-3 = 0,001 = 1 тысячная
• (микро-) 10 ^-6 = 0,000 001 = 1 миллионная
• (нано) 10 ^-9 = 0,000 000 001 = 1 миллиардная

Дробные экспоненты

Как мы можем определить дробные показатели, чтобы законы экспонент оставались согласованными?

Рассмотрим любую дробь, скажем 1/2.Если вы умножите на знаменатель, вы вернетесь к значению 1.

(1/2) (2) = 1

Теперь рассмотрим 1/2 и 2 как экспоненты от основания. Например, с базой = 9 мы могли бы написать:

9 ^{(1/2) (2)} = 9 ¹

Правая часть просто равна 9. Но левая часть может быть переписана, используя степенной закон.

(9 ^1/2 ) ² = 9

Итак, каким бы ни было 9 ^1/2 , его квадрат должен быть равен 9. Другими словами, 9 ^1/2 — это квадратный корень из 9, то есть 9 ^1/2 = 3.

Как правило, x ^1/2 — это квадратный корень из x .

Более того, это работает точно так же с дробными показателями вида 1/ n для любого числа n .

Правило дробных показателей

Дробные экспоненты переводятся в корни.

Подробнее о дробных показателях

До сих пор у нас есть правила для показателей, таких как 1/2, 1/3, 1/10 и т. Д. Но как насчет 2/3, 9/4, -11/14 и т. Д.? И снова наши законы экспоненты приходят на помощь!

Например, если вам нужно знать значение 8 ^2/3 , то сначала запишите 2/3 как произведение.

8 ^2/3 = 8 ^{(1/3) (2)} = (8 ^1/3 ) ²

Затем вычислите 8 ^1/3 , который по определению является кубическим корнем из 8. Поскольку мы знаем, что 2 ³ = 8, мы имеем 8 ^1/3 = 2.

8 ^2/3 = (8 ^1/3 ) ² = (2) ² = 4

В общем, дробную экспоненту всегда можно выразить через корни и степени.

Общее правило для дробных показателей

Возможно, вам даже придется иметь дело с отрицательными дробными показателями. Только подумайте, что говорит вам каждое свойство: отрицательные показатели преобразуются в дроби, а дробные показатели преобразуются в корни (и степени).

Общее правило для отрицательных дробных показателей

Практические задачи

Теперь вы готовы к практике?

^{Автор: Агентурфографин}

Для каждой приведенной ниже проблемы максимально упростите.Если в выражении есть переменная, убедитесь, что ваш окончательный результат имеет только положительные целые показатели. Ответы даны в конце.

1. 125 ^4/3
2. 6 ^-2
3. 16 ^-1/4
4. а ^-1
5. (4 x ) ⁰
6. 4 x ⁰
7. ( x ² ) ^-8/3
8. ( z ² + 25) ^1/2
9. (1000p ⁶ ) ^-1/3
10. ( x ^1/2 + y ^1/2 ) ²

Решения

1. 625 .

2. 1/36 . 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.
3. 1/2 .
   
4. 1/ а . (Степень -1 дает , равное основанию.)
5. 1 . Все, что находится в нулевой степени, дает значение 1 (до тех пор, пока основание не равно нулю, что мы склонны предполагать в подобных задачах).
6. 4 .Будьте осторожны с порядком операций . Нулевой показатель степени применяется только к x , а не к коэффициенту 4 перед ним.
7. Используйте законы экспонент для упрощения.
   
8. .
   Да, это окончательный ответ! Будьте осторожны при работе с властителями и радикалами. Вы никогда не сможете разделить власть или радикал на плюс или минус! Итак, ответ НЕ эквивалентно z + 5.
9. Законы экспоненты снова на помощь!
   
10. Как и в задаче 8, вы не можете просто разбить выражение на два члена. Другими словами, не поддавайтесь желанию записать x + y в качестве окончательного ответа. Я гарантирую, что вы увидите большую красную отметку на этом результате, если сделаете это при следующем тесте.

    Вместо этого представьте алгебраически . Сначала возведите бином в квадрат, а затем перепишите экспоненты. (Помните, ( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ² .)

Информация о Шоне Олте

Шон получил докторскую степень по математике в Государственном университете Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). В 2002 году он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же, как математику! — и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу.Шон преподавал и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!

Расширение и уменьшение математического выражения

Поиск инструмента

Расширение и сокращение математических выражений

Инструмент для расширения и уменьшения математического выражения (Расширение и уменьшение многочлена, дроби, уравнения, тригонометрии и т. Д.)

Результаты

Расширение и сокращение математических выражений — dCode

Тег (и): символическое вычисление

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Разработка и сокращение

Тригонометрическое расширение и сокращение

Ответы на вопросы (FAQ)

Как развернуть и уменьшить выражение, подобное полиному?

Расширение позволяет выразить многочлен в виде сложения (суммы) или вычитания (разности) множителей.2 $

Операции развития и сокращения — это базовые математические вычисления в средней школе.

Как расширить и уменьшить тригонометрическое выражение?

dCode может расширять тригонометрические выражения для упрощения (уменьшения) их содержимого (цель состоит в том, чтобы уменьшить содержимое (между скобками) функций синуса и косинуса)

Пример: $ \ sin {2x} $ дает $ 2 \ sin {x} \ cos {x} $

Как расширить и уменьшить дробь?

dCode предлагает специальные инструменты для вычисления дробей.2 $ (возрастающие степени $ x $)

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Расширение и сокращение математических выражений». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Расширение и сокращение математического выражения» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие Функция «Расширение и сокращение математического выражения» (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Расширение и сокращение математических выражений» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

расширение, сокращение, многочлен, дробь, выражение, математика, расширение, уменьшение, сумма, развитие, распределение

Ссылки




Источник: https: // www.dcode.fr/expanding-recting-math

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

College Algebra Урок 45: Экспоненциальные уравнения Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Решите экспоненциальные уравнения. Введение В этом уроке я расскажу, как решать уравнения, которые имеют экспоненциальные выражения. В этих уравнениях вы заметите что переменная, которую мы решаем, находится в экспоненте. Мы используются для просмотра переменной в базе. Мы будем использовать обратный операции, как мы делаем в линейных уравнениях, обратную операцию мы будем здесь используются логарифмы.Если вам нужен обзор определения функций журнала, смело переходите к Tutorial 43: Логарифмические функции . Если вам нужен обзор свойств журнала, смело переходите к Урок 44: Логарифмические свойства . Думаю, вы готовы приступить к работе. Учебник Решение экспоненциальных уравнений, , где x — показатель степени, НО основания НЕ СООТВЕТСТВУЮТ. Шаг 1: Изолировать экспоненциальное выражение. Получите экспоненциальное выражение на одной стороне всего за пределами экспоненциальное выражение на другой стороне вашего уравнения. Шаг 2: Возьмите естественный бревно с двух сторон. Операция, обратная экспоненциальному выражению, — это лог. Убедитесь, что вы проделываете одно и то же с обеими сторонами уравнения, чтобы держите их равными друг другу. Шаг 3: Использование свойства журналов, чтобы вытащить x из экспоненты. Теперь, когда переменная вне экспоненты, решите переменную используя обратные операции, чтобы завершить задачу. Особое примечание: Единственный способ получить эту переменную из экспоненты, когда базы не совпадают, это использовать логи. Третий шаг позволяет нам делать это. При решении уравнения не имеет значения, что вы делаете с уравнение до тех пор, пока вы делаете одно и то же с обеими сторонами — это сохраняет обе стороны равны. Кроме того, причина, по которой мы берем натуральный логарифм обоих сторон, потому что у нас есть ключ натурального журнала на калькуляторе, поэтому мы в конце концов сможет найти в нем цену. Пример 1 : Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков. Это уже сделано для нас в этой задаче. * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон * Реверс от мульт.на 3ln e нужно разделить на 3ln e * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 50 * ln e is 1 Пример 2 : Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков. * Инверсная по отношению к мульт. на 5 — разделить на 5 * Изолированное экспоненциальное выражение * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон * Реверс от мульт.на ln 10 — разделить на пер 10 * Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1 * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 2,4 и ln 10 Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков. * Сумма, обратная сумме 4, является вспомогательной. 4 * Изолированное экспоненциальное выражение * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон * Реверс от мульт.на .2ln 2 — разделить на .2ln 2 * Используйте калькулятор, чтобы найти ln 21 и ln 2 Пример 4: Решите экспоненциальное уравнение. Округлите ответ до двух десятичных знаков. Обратите внимание на то, что у нас есть два экспоненциальных члена с разными показателями. Мы не сможем изолировать обоих. Придется придумать еще один способ переписать его, чтобы мы могли продолжить шаги. Обратите внимание на то, что у нас есть трехчлен и что e для 2 x равно e для x в квадрате. Это означает, что он квадратичный в от. Таким образом, мы можем разложить его на множители точно так же, как трехчлен формы. * Установите 1-й коэффициент = 0 * Выделите экспоненциальное выражение * Установите 2-й коэффициент = 0 * Выделите экспоненциальное выражение Обратите внимание, что, поскольку e является положительным основанием, независимо от того, какой показатель у x , это экспоненциальное выражение НЕ МОЖЕТ равняться -2. Итак, есть только одно уравнение, которое мы можем решить . * Возьмите натуральный логарифм ОБЕИХ сторон * Инверсия от мульт. на ln e нужно разделить на ln e * Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти ln 4 * ln e = 1 Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вам следует решить проблему на свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ. Практические задачи 1a — 1c: Решите данное экспоненциальное уравнение. Круглый ваш ответ с двумя десятичными знаками. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 24 марта 2011 г. Leave a Reply Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт