Найти значение выражения с дробями онлайн: Онлайн Калькулятор. Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями.

Как по графику зависимости величин определять соответствующие значения этих величин? Как построить график зависимости величин по данным задачи?

Лэйдл предлагает пройти онлайн-уроки по математике за 6 класс. Все занятия проходят в режиме онлайн и позволяют значительно повысить знания ребенка по данной дисциплине, разобраться с нюансами школьной программы и улучшить оценки по предмету.

В 6 классе у многих школьников возникают сложности с дробями и операциями деления – именно эти темы являются основными. При помощи грамотно структурированных уроков ребенок научится выполнять простейшие подсчеты без многочасового изучения материала. Лэйдл делает упор на логику и интуитивное понимание математики.

3 причины изучать математику вместе с Лэйдл

• Структурированная программа.
  Над разработкой уроков работали профессиональные преподаватели, которые смогли выделить самую важную информацию о дробях и представить ее в четко структурированной форме. Это значительно облегчило процесс обучения и сделало его максимально простым и понятным.
• Мультимедиа.
  Чтобы упростить восприятие теории, мы снабдили каждый урок мультимедийными материалами.
• Практика.
  Кроме теоретической основы, Лэйдл дает множество практических примеров и заданий. Решая задачи и уравнения онлайн, ребенок учится применять полученные знания в реальной жизни.

Чтобы дроби больше не пугали вашего ребенка, зарегистрируйтесь на Лэйдл и пройдите пробный урок по математике бесплатно!

Общий знаменатель для алгебраических дробей

☰

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю. Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Например, дана такая сумма алгебраических дробей:

Требуется упростить выражение, т. е. сложить две алгебраические дроби. Для этого в первую очередь надо привести слагаемые-дроби к общему знаменателю. Первым делом следует найти одночлен, который делится и на 3x и на 2y. При этом желательно, чтобы он был наименьший, т. е. найти наименьшее общее кратное (НОК) для 3x и 2y.

Для числовых коэффициентов и переменных НОК ищется отдельно. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далее найденные значения перемножаются: 6xy.

Теперь надо определить, на какой множитель надо умножить 3x, чтобы получить 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Значит, при приведении первой алгебраической дроби к общему знаменателю ее числитель надо умножить на 2y (знаменатель уже был умножен при приведении к общему знаменателю). Аналогично ищется множитель для числителя второй дроби. Он будет равен 3x.

Таким образом, получаем:

Далее уже можно действовать как с дробями с одинаковыми знаменателями: складываются числители, а в знаменателе пишется один общий:

После преобразований получается упрощенное выражение, представляющее собой одну алгебраическую дробь, являющуюся суммой двух исходных:

Алгебраические дроби в исходном выражении могут содержать знаменатели, представляющие собой многочлены, а не одночлены (как в приведенном выше примере). В таком случае, перед поиском общего знаменателя следует разложить знаменатели на множители (если это возможно). Далее общий знаменатель собирается из разных множителей. Если множитель есть в нескольких исходных знаменателях, то его берут единожды. Если множитель имеет разные степени в исходных знаменателях, то его берут с большей. Например:

Здесь многочлен a² – b² можно представить как произведение (a – b)(a + b). Множитель 2a – 2b раскладывается как 2(a – b). Таким образом, общий знаменатель будет равен 2(a – b)(a + b).

Тест по теме «Сложение и вычитание десятичных дробей»

I

Часть 1

1. найти сумму чисел 231,6 и 67,24

1) 91,4 2) 298,28 3) 298,84 4) 164,36

2. вычислить разность чисел 407 и 34,82

1) 441,82 2) 372,18 3) 373,18 4) 373,82

3. решить уравнение х-27,5=37,72

1) 64,77 2) 10,22 3) 65,22 4) 40,47

4. найти скорость лодки по течению реки, если ее собственная ско-

рость равна 12,8 км/ч, а скорость течения-2,7 км/ч

1) 10,1 км/ч 2) 9,1 км/ч 3) 14,5 км/ч 4) 15,5 км/ч

Часть 2

5. найти значение выражения 56,248-(21,248+3,61)

6. намеченный маршрут туристы преодолели за три дня. В первый день

они прошли 15,2 км, что на 3,8 км меньше, чем во второй день, на

2,4 км больше, чем в третий день. Какова длина всего маршрута?

7. заменить звездочки цифрами: 5*4,*8

7*,4*

583,75

II

Часть 1

1. найти сумму чисел 715,5 и 48,62

1) 764,12 2) 666,88 3) 120,17 4) 763,67

2. вычислить разность чисел 518 и 29,34

1) 547,34 2) 488,66 3) 489,66 4) 488,76

3. решить уравнение 56,12-х=34,8

1) 90,92 2) 22,04 3) 21,32 4) 52,64

4. найти скорость лодки против течения реки, если ее собственная

скорость равна 15,1 км/ч, а скорость течения-2,8 км/ч

1) 12,3 км/ч 2) 13,3 км/ч 3) 17,9 км/ч 4) 17,7 км/ч

Часть 2

5. найти значение выражения (68,249+47,16)-45,249

6. намеченный маршрут туристы преодолели за три дня. В первый день

они прошли 12,6 км, что на 3,5 км больше, чем во второй день, и на

5,7 км меньше, чем в третий день. Какова длина всего маршрута?

7. заменить звездочки цифрами: 73*,*5

*5,2*

753,54

Дроби в Excel — Информационные технологии

Этот пример научит вас вводить дробные числа и изменять формат дроби в Excel.

1. Чтобы ввести дробь 1 4/7 в ячейку A1, выделите её и пропишите “1 4/7”. Чтобы ввести дробь 4/7, пропишите “0” перед “4/7” (ноль прописывать обязательно, иначе Excel решит, что вы хотите ввести дату).Когда вы ввели дробь правильно, Excel автоматически применяет формат Дробный (Fraction) к ячейке A1, и вы можете вводить дроби, набирая просто “5/7” (без нуля). В строке формул отображается десятичное значение дроби.
2. Давайте рассмотрим формат Дробный на примере. Выделите ячейку A1, кликните по ней правой кнопкой мыши и выберите Format Cells (Формат ячеек).Excel применил тип формата Up to one digit (Простыми дробями).

Примечание: Чтобы ввести такую дробь, как 4/11 в ячейку A1, измените тип формата на Up to two digits (Дробями до двух цифр). Чтобы вбить дробь такого рода, как 1/148, смените тип формата на Up to three digits (Дробями до трех цифр).

3. Если Excel не может отобразить дробь правильно, то он её округляет. Например, если вы введете “4/11” в ячейку А1 с типом формата Up to one digit (Простыми дробями), Excel отобразит 1/3. В строке формул всегда отображается верное десятичное значение. Измените тип формата на Up to two digits (Дробями до двух цифр).

Примечание: Если вы введете “0 4/11” в новой ячейке, Excel автоматически применит тип формата Up to two digits (Дробями до двух цифр) и корректно отобразит дробь 4/11.

4. Excel всегда сводит дробь к наименьшему знаменателю. Если вы введёте дробь “2/8”, Excel преобразует её в 1/4. Тем не менее, вы можете использовать тип формата As eights (Восьмыми долями), чтобы знаменатель был равен 8.
5. Случается так, что вы не можете найти нужный знаменатель для дроби. Например, необходимо отобразить 40/50, но Excel преобразует 40/50 в 4/5. Однако, дробного формата с пятидесятыми долями (25/50) не существует. Чтобы выйти из положения, создайте пользовательский числовой формат: #??/50.

Примечание: Замените 50 на 60, чтобы создать тип с шестидесятыми долями (30/60) и т. д.

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Свойства СЛОЖЕНИЯ и Примеры

Сложение — это действие, в результате которого из двух и более чисел получается новое, содержащее столько единиц, сколько было в складываемых числах вместе. Сложение обозначается знаком «+» (плюс).

Если к числу ПРИВАРИТЬ ноль, то оно не изменится.

Записать сложение в буквенном виде можно следующим образом:
а + b = С,
где а и b — слагаемые, а С — сумма.

Это интересно, читайте также:

Примеры на Сложение
Вычитание Целых Чисел
Умножение Целых Чисел

Теперь разберем в примерах:

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то  нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ

В математике, как и в любой другой науке, есть свои правила — свойства. Два таких свойства имеют непосредственное отношение к сложению.
Первое из них — переместительное. Уже по названию ты можешь догадаться, о чем идет речь. Правильно! О перемещении слагаемых. Давай рассмотрим такой пример:
10 + 8 = 18 и 8 + 10 = 18.

В обоих случаях сумма осталась прежней, т.е. она не изменилась от перестановки слагаемых.

Второе свойство — сочетательное. Работает
оно в том случае, если тебе нужно сложить три и более чисел. По лучить их сумму можно двумя способами:
1. Сложить два первых числа, а потом прибавить к ним третье, например:
7 + 3 + 6 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16.
2. Получить сумму второго и третьего чисел, а потом прибавить к ним первое:
7 + 3 + 6 = 7 + (3 + 6) = 7 + 9 = 16.

ЗАПОМНИ: от перестановки СЛАГАЕМЫХ СУММА НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ, Т.Е. А + В = В+А.

В буквенном выражении сочетательное свойство можно записать так:
(а + в) + с = а + {в + с).
Знание этих свойств может значительно облегчить любые вычисления. Давай рассмотрим это на конкретных примерах.

Математическое выражение: понимание дробей

Расшифровка стенограммы дробей

00: 00: 03.020
Этот урок покажет вам основные идеи, лежащие в основе понимания дробей.

00: 00: 07.230
Допустим, нам дано выражение, 2 делят 5.

00: 00: 12.190
Теперь мы должны знать, что 2 делят 5 можно преобразовать в форму дроби, которая , 2 более 5.

00: 00: 21.110
В этой форме верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя часть — знаменателем.

00: 00: 30.030
Теперь, поскольку числитель меньше знаменателя, эта дробь является правильной дробью.

00: 00: 36.220
А теперь давайте попробуем разобраться, что такое дробь.

00: 00: 42.070
Для этого рассмотрим этот длинный кусок стержня.

00: 00: 46.190
Когда дробь имеет знаменатель 5, это означает, что этот столбец разделен на одну, две, три, четыре, пять маленьких равных частей.

00: 00: 57.240
Когда числитель равен 2, это означает, что мы выбрали 2 из 5 частей полосы, показанных желтыми частями.

00: 01: 07.010
Теперь, когда мы увеличиваем числитель до трех, четырех, пяти, мы видим, что количество желтых частей также увеличивается.

00: 01: 15.240
Обратите внимание, что числитель и знаменатель теперь совпадают.

00: 01: 21.080
Эта дробь означает, что мы делим 5 на 5, что дает 1.

00: 01: 28.050
Мы можем визуализировать это, рассматривая весь столбец как 1 желтый кусок.

00: 01: 35.050
Давайте рассмотрим дальше, когда мы увеличиваем числитель с 5 до 6, числитель теперь больше, чем знаменатель.

00: 01: 43.160
Здесь мы можем визуализировать дробь 6 на 5, увидев эту желтую полосу как 1, а на следующей полосе 1 из 5 частей обозначена желтым цветом.

00: 01: 54.050
А теперь давайте подробнее рассмотрим эту дробь. К настоящему времени мы должны знать, что 6 на 5 — это то же самое, что 6 делит 5.

00: 02: 04.060
Кроме того, из того, что мы видели здесь, 6 на 5 тоже то же самое, что и один, один на пять.

00: 02: 12.150
Следующее, что мы должны знать, так как числитель больше знаменателя, эта дробь является неправильной дробью.

00: 02: 20.220
Также, когда 6 на 5 написано таким образом, эта дробь называется смешанной дробью.

00: 02: 29.110
Хорошо, продолжим увеличивать числитель. Посмотрите, как изменяется неправильная дробь и смешанная дробь.

00: 02: 37.210
Неправильная дробь, 7 на 5, будет иметь смешанную дробь как 1, 2 над 5.

00: 02: 45.080
Неправильная дробь, 8 на 5, будет иметь смешанную дробь как 1, 3 более 5.

00:02:52.110
Неправильная дробь, 9 из 5, будет иметь смешанную дробь как 1, 4 из 5.

00: 03: 00.000
Неправильная дробь, 10 из 5, то же самое, что 10, разделенная на 5, что дает 2.

00: 03: 07.050
Неправильная дробь, 11 на 5, будет иметь смешанную дробь 2, 1 на 5.

00: 03: 15.060
Хорошо, это все для этого урока. Попробуйте ответить на практический вопрос, чтобы глубже понять.

Сложение и вычитание дробей с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

С самого начала изучения математики вы много раз сталкивались с дробями.Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах. Однако дроби в арифметике состоят исключительно из чисел. Теперь мы изучим операции над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ЗАПИСАННЫХ ЧИСЛАХ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Разделите на множители числитель и знаменатель дроби.
2. Упростите алгебраические дроби.

Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.

При изучении арифметики вас проинструктировали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме. Для дроби, которую вы «уменьшили» до деления числителя и знаменателя на 4. Дробь не может быть уменьшена, потому что никакое число (кроме 1) не делит и числитель, и знаменатель. Таким образом, упрощая дроби, вы использовали следующее определение.

Дробь составляет упрощенной (или сокращенной) формы , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).

Для получения дроби в упрощенном виде применяется следующее правило.

Для упрощения дроби полностью разложите числитель и знаменатель на множители, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.

Дробь, однако, представлена ​​не в упрощенной форме, поскольку числитель и знаменатель имеют общий множитель 2.

Далее разделим на общие множители, получим

Теперь разделите на общий множитель (x + 2) в числителе и знаменателе, чтобы получить

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что мы смогли разложить числитель и знаменатель на множители, мы по-прежнему не можем разделить, поскольку нет общих множителей для обоих. Данная дробь уже находится в упрощенном виде.

Тот факт, что для данной дроби может потребоваться любой из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность владения факторингом.

Решение Здесь вы можете использовать «метод проб и ошибок» для числителя и «группировку» для знаменателя.

Решение Проблемы этого типа требуют особого внимания, поскольку они являются частой причиной ошибок. На первый взгляд, факторы могут быть ошибочно приняты за общие, а дробь — как уже упрощенная.Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, поскольку знаки не позволяют им быть идентичными. Если, однако, отрицательное значение 1 вычтено из одного из факторов, то есть подобные факторы, и разделение может быть выполнено.

УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Факторы-числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
2. Определите и разделите по всем общим факторам.
3. Напишите продукт в простейшей форме.

Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.

— это определение произведения двух дробей. На словах это говорит: «Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы много раз использовали это правило в арифметике при умножении дробей.

Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе.Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упрощать при умножении, поэтому ответ будет в упрощенной форме.

При умножении алгебраических дробей полностью разложите на множители все числители и знаменатели, затем разделите на все множители, общие для числителя и знаменателя, перед умножением.

Произведение оставшихся множителей числителя будет числителем ответа, а произведение оставшихся множителей знаменателя будет знаменателем ответа.

РАЗДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Измените задачу деления на связанную задачу умножения.
2. Делим алгебраические дроби.

Деление дроби определяется умножением.

Чтобы разделить умножить на обратную величину делителя.

Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое, инвертируйте делитель и измените операцию на умножение.

После того, как задача изменилась с задачи деления на задачу умножения, она будет завершена, как и в предыдущем разделе.

ПОИСК НАИМЕНЕЕ ОБЩЕГО ЗНАЧИТЕЛЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Полностью множите знаменатель дроби.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.

Правило сложения и вычитания дробей требует, чтобы объединяемые дроби имели один и тот же знаменатель.В качестве подготовки к выполнению этих операций мы теперь исследуем метод нахождения наименьшего общего знаменателя для любой группы дробей.

Общий знаменатель Лот из двух или более дробей — это выражение, которое содержит все множители знаменателя каждой дроби. Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество факторов, которые должны быть общим знаменателем.

Мысленная арифметика позволит вам найти наименьший общий знаменатель для малых чисел. Если попросить сложить, легко прийти к наименьшему общему знаменателю 12. Если спросить, как мы пришли к 12, мы просто знаем, что 12 — это наименьшее число, которое делится как на 4, так и на 6. Однако необходим более сложный метод. если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель для

Решение Эта проблема потребовала бы значительного количества догадок или возможностей тестирования, если бы у нас не было общего метода.

Рассмотрим определение. Из него мы знаем, что общий знаменатель этих чисел должен содержать все множители каждого из них. Другими словами, мы ищем наименьшее число, которое делится на 12, 14, 15 и 18.
Сначала полностью разложите на множители каждое число.

Число, которое мы ищем, должно содержать (2) (2) (3), чтобы делиться на 12. Оно должно содержать (2) (7), чтобы делиться на 14, и так далее. Выполните следующие действия:
Запишите множители первого числа, 12.
(2) (2) (3)
Теперь посмотрите на множители следующего числа, 14, и увидите, что нам нужно (2) (7). Но поскольку у нас уже есть 2, нам нужен только множитель (7). Это дает
(2) (2) (3) (7).
Это число теперь делится на 12 и на 14. Делителями следующего числа 15 являются (3) и (5).Поскольку у нас уже есть 3, нам нужен только множитель 5, что дает
(2) (2) (3) (7) (5).
Теперь это число делится на 12, 14 и 15. Множители следующего числа, 18, равны (2) (3) (3). У нас уже есть 2 и один 3. Значит, нам понадобится еще 3.
(2) (2) (3) (7) (5) (3) = 1,260
Это число, 1,260, является общим знаменателем 12, 14. , 15 и 18, потому что он содержит все множители каждого и поэтому делится на каждый. Это наименьший общий знаменатель, поскольку он содержит только те множители, которые необходимы для деления его на 12, 14, 15 и 18.

Обратите внимание, что 1,260 значительно меньше, чем число, полученное простым нахождением произведения всех знаменателей.

Предыдущее обсуждение дает начало правилу получения наименьшего общего знаменателя для любого количества дробей, будь то числа или алгебраические выражения.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель для двух или более дробей:
1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители.
2. Запишите знаменатель первой дроби в факторизованной форме в качестве предлагаемого общего знаменателя.
3. Путем проверки определите, какие множители второго знаменателя еще не входят в предложенный общий знаменатель, и включите их.
4. Повторите шаг три для каждой фракции.

Обратите внимание, что при нахождении наименьшего общего знаменателя мы не обращаем внимания на числитель. Это знаменатель первой дроби.

При проверке второго знаменателя нам понадобится дополнительный множитель (x — 2).Наименьший общий знаменатель равен (3x — 4) (2x + l) (x — 2).

Решение
Первый знаменатель: 3 (x + 2)
Второй знаменатель: 2 (2) (3)
Третий знаменатель: 2 (x + 3) (x + 2)
Предлагаемый общий знаменатель: 3 ( x + 2)
Изучив второй знаменатель, мы видим, что нам нужно включить множители (2) и (2). Теперь у нас есть 2 (2) (3) (x + 2). Посмотрев на третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2 (2) (3) (x + 2) (x + 3) или 12 (x + 2) (x + 3).

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФРАКЦИИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Поймите основной принцип дробей.
2. Заменить дробь на эквивалентную дробь.

При дальнейшей подготовке к сложению и вычитанию дробей мы должны иметь возможность изменить данную дробь на единицу с новым знаменателем без изменения значения исходной дроби.

называется фундаментальным принципом дробей .

Когда мы анализируем это утверждение, мы видим две эквивалентные дроби и замечаем, что числитель и знаменатель были умножены на одно и то же ненулевое число a.

Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь , умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.

Вы можете думать об этом процессе как об обратном уменьшению дробей.

Решение Поскольку новый знаменатель представляет собой факторизованную форму, при осмотре мы видим, что исходный знаменатель (2x + 3) был умножен на множитель (x — 4).Следовательно, исходный числитель (x + 1) также нужно умножить на коэффициент (x — 4), получив

Решение Поскольку исходный знаменатель (x — 3) был умножен на (2) и (x + 1), исходный числитель (2x + 1) также должен быть умножен на (2) и (x + 1).

ДОБАВЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ Дробей

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Сложить дроби с одинаковым знаменателем.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
3. Применить правило сложения дробей.

Теперь мы готовы сложить алгебраические дроби, используя методы, описанные в предыдущих двух разделах.Вы должны вспомнить следующее правило из арифметики.

Сумма двух или более дробей с одинаковым знаменателем — это сумма числителей над их общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило допускает только сумму дробей с одинаковым знаменателем. Другими словами, две или более дроби могут быть добавлены только в том случае, если у них есть общий знаменатель. Правило сложения любых двух или более дробей потребует навыков, полученных в последних двух разделах, в дополнение к знаниям комбинирования одинаковых терминов.

Чтобы сложить две или более дробей, выполните следующие действия:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель (ЖКД) для всех участвующих дробей, используя метод, разработанный в разделе 9-4.
Шаг 2 Замените каждую дробь на эквивалентную дробь с наименьшим общим знаменателем (раздел 9-5).
Шаг 3 Найдите сумму числителей и поместите эту сумму над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Этот ответ дан в сокращенной форме.

Если знаменатели не имеют общих множителей, ЖК-дисплей является произведением знаменателей.

Сумма

Мы можем использовать меньше письменных шагов, если заметим, что «общий знаменатель» означает, что все дроби имеют один и тот же знаменатель, а если все имеют одинаковый знаменатель, то знаменатель необходимо записать только один раз.Чтобы проиллюстрировать это, мы переработаем предыдущий пример.

Опять же, знаменатели не имеют общих множителей, поэтому ЖК-дисплей является произведением всех трех знаменателей.

ВЫЧИТАНИЕ алгебраических дробей

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Вычтите дроби с одинаковым знаменателем.
2. Примените правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Вычитание определяется в терминах сложения, поэтому метод вычитания алгебраических дробей будет таким же, как и сложение алгебраических дробей, описанных в предыдущем разделе. Скоро вы поймете, почему мы представили их отдельно.

Разница любых двух дробей с одинаковым знаменателем — это разница их числителей над общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило аналогично правилу сложения двух дробей с одинаковым знаменателем.

Таким образом, шаги вычитания дробей такие же, как и при сложении дробей.

Чтобы вычесть дроби:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель двух дробей.
Шаг 2 Замените каждую дробь на эквивалентную дробь с наименьшим общим знаменателем.
Шаг 3 Найдите разность числителей и поместите результат над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Возникает очевидный вопрос: «Если эти две операции одинаковы, зачем изучать их по отдельности?» Ответ заключается в том, что вычитание приводит к очень распространенной ошибке, которой ученик должен быть готов избежать.

Упомянутая ошибка часто возникает из-за непонимания того, что знак минус влияет на весь числитель второй дроби, а НЕ только на первый член.

Стрелка указывает на ошибку, наиболее часто допускаемую при вычитании дробей. Лучший способ избежать этого — всегда использовать круглые скобки

, и вы вряд ли не сможете правильно поменять знак.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Распознать сложную дробь.
2. Упростите сложную дробь.

Дроби определяются как указанное частное двух выражений. В этом разделе мы представим метод упрощения дробей, в котором числитель или знаменатель или и то, и другое сами состоят из дробей.Такие фракции называются комплексными дробями .

Таким образом, если числитель и знаменатель сложной дроби состоят из отдельных дробей, это можно упростить, разделив числитель на знаменатель.

Как правило, более эффективный метод упрощения сложной дроби включает использование фундаментального принципа дробей. Мы умножаем числитель и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей комплексной дроби.

Мы будем использовать основной принцип, чтобы снова упростить

ЖК-дисплей 3 и 4 равен 12. Таким образом

Нам нужен ЖКИ отдельных дробей, y не дробь.

УРАВНЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ДОЛЯМИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Примените метод решения дробных уравнений.
2. Определите, когда дробное уравнение не имеет решения.

В главе 2 мы встретили уравнения с дробями.Однако у всех этих дробей были числовые знаменатели. Теперь мы обсудим уравнения, в которых дроби содержат переменные в знаменателях.

Метод решения этих уравнений будет следовать той же схеме, что и в главе 2, но есть некоторые дополнительные предостережения, к которым вы должны быть готовы.

Чтобы освежить память, шаги для решения таких уравнений повторяются здесь.
Первое: исключите дроби, умножив каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Секунда: упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Третий: сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и арифметические числа с другой.
Четвертое: разделить на коэффициент неизвестной величины.
Пятое: Проверьте свой ответ.

Основное различие в решении уравнений с арифметическими дробями и уравнениями с алгебраическими дробями заключается в проверке.Процесс проверки будет заключаться не только в поиске возможной ошибки, но и в определении того, имеет ли уравнение ответ.

Эта последняя возможность возникает из-за того, что с алгебраическими дробями мы умножаем на неизвестную величину. Эта неизвестная величина на самом деле может быть равна нулю, что сделает всю работу недействительной.

Это означает, что ни (x — 1), ни (x + 1) не могут быть нулевыми. Если x = 1, то множитель (x — 1) равен нулю, и мы в беде!

Поскольку деление на ноль невозможно, мы должны заключить, что x = 1 не является решением. И поскольку мы не допустили ошибок в вычислениях, мы должны сделать вывод, что это уравнение не имеет решения.
Правильный ответ — «нет решения».

Обратите внимание, что в этих примерах, когда у нас есть x 2 членов, они сокращаются, и у нас остается линейное уравнение. Если бы они не сокращались, в уравнении был бы член x 2 .Этот тип уравнения (квадратного) будет рассмотрен в главе 11.

Таким образом, x = -5 — решение.

Следовательно, 11 — это сумма, на которую был увеличен числитель.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.
• Дробь находится в упрощенной форме , если числитель и знаменатель не имеют общего множителя, кроме 1.
• Общий знаменатель для двух или более дробей — это выражение, которое содержит все множители знаменателей каждой дроби.
• Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество факторов, которые должны быть общим знаменателем.
• Основной принцип дробей —
  
• Сложные дроби — это дроби, у которых числитель или знаменатель (или оба) содержат дробь.

Процедуры

• Чтобы упростить или сократить дроби до наименьшего числа, множите числитель и знаменатель и разделите на все одинаковые множители.
• Для умножения дробей множите все числители и знаменатели и делите на все одинаковые множители перед умножением.
• Чтобы разделить на дробь, инвертируйте делитель, а затем умножьте.
• Чтобы найти наименьший общий знаменатель (LCD), сначала разложите на множители все знаменатели, затем найдите знаменатель, который содержит все множители каждого знаменателя, но не содержит никаких ненужных множителей.
• Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь, умножьте числитель и знаменатель на то же ненулевое выражение.
• Чтобы сложить дроби, выполните следующие действия:
  1. Найдите наименьший общий знаменатель.
  2. Измените каждую дробь на эквивалентную дробь, указав в качестве знаменателя ЖК-дисплей.
  3. Сложите числители и поместите над ЖК-дисплеем.
  4. Упростите или сократите ответ.
• Чтобы вычесть дроби, действуйте как сложение, но сложите числители путем вычитания.
• Сложные дроби можно упростить, умножив числитель и знаменатель комплексной дроби на ЖК-дисплей всех дробей в выражении.
• Чтобы решить уравнения, содержащие дроби, сначала удалите все дроби, умножив все уравнение на ЖК-дисплей соответствующих дробей. Полученное уравнение затем решается, и решение необходимо проверить в исходном уравнении.

Сократите простые или сложные дроби с помощью пошагового решения математических задач

ИЗДЕЛИЯ ФРАКЦИЙ

Произведение двух дробей определяется следующим образом.

Произведение двух дробей — это дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель — произведением знаменателей данных дробей.

в символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

Пример 1 Найдите произведение

Решение

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите произведение

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

Если к какому-либо из факторов добавлен отрицательный знак, рекомендуется действовать, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к результату.Положительный знак прилагается, если на факторах нет отрицательных знаков или четного количества отрицательных знаков; отрицательный знак ставится, если у факторов нечетное количество отрицательных знаков.

Пример 3

Когда дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение.

Решение Во-первых, мы должны разложить числители и знаменатели на множители, чтобы получить

Теперь, разделив общие множители, получим

Теперь умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при написании дробных ответов мы умножаем числитель и оставляем знаменатель в факторизованном виде. Очень часто в таком виде более полезны дроби.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте ту форму, которая наиболее удобна для конкретной задачи.

Пример 5

Распространенные ошибки: помните, что мы можем разделять только общие факторы, а не общие термины! Например,

, потому что x — это термин, который нельзя разделить. Аналогично

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

КОЛИЧЕСТВО ФРАКЦИЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, умножение которого на делитель дает делимое. Это в точности то же самое понятие, что и деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти, ищем такое число q, что. Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на. Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем номер обратной величиной числа. В общем, дробь является обратной величиной. То есть, мы получаем обратную дробь, «инвертируя» дробь. В целом

Частное двух дробей равно произведению дивиденда на обратную величину делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, мы инвертируем делитель и умножаем. В символах,

Пример 1

Как и при умножении, когда дроби в частном имеют знаки, рекомендуется продолжить решение проблемы, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к решению.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно распознать эквивалентные формы напрямую. Один футляр

В целом

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С ПОДОБНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями — это дробь с одинаковым знаменателем и числителем, равная сумме числителей исходных дробей.

В целом

Пример 1

Когда используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММЫ ДОЛЖНОСТЕЙ С НЕПОДХОДЯЩИМИ ЗНАМЕНИТОРАМИ

В разделе 6.3 мы добавили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы добавим дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

В общем, наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители, по возможности выровняв общие множители.
2. Включите в ЖК-дисплей каждый из этих множителей, сколько раз он встречается в одном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель для содержит среди своих факторов множители 12, 10 и 6.

Таким образом, на ЖК-дисплее отображается 60. (Это наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК-дисплей набора алгебраических дробей — это простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому знаменателю в наборе.Таким образом, ЖКД дробей

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому знаменателю.

Пример 2 Найдите на ЖК-дисплее дроби

Решение Следуя методике из Примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x ² (x + l) (x — 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала преобразовывая дроби в эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, а затем складывая.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

1. Найдите ЖК-дисплей набора дробей.
2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
3. Сложите дроби, используя свойство
   

Пример 3 Запишите суммы и как отдельные члены.

Решение В каждом случае ЖК-дисплей равен 10. Мы строим каждую дробь до дроби со знаменателем 10. Таким образом,

эквивалентно

, откуда получаем

Иногда знаменатели дробей являются двучленами.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение На ЖК-дисплее (x + 2) (x — 1). Мы строим каждую дробь до дроби со знаминателем (x + 2) (x — 1), вставляя круглые скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение Сначала мы разложим знаменатели на множители, чтобы получить ЖК-дисплей.

Теперь построим каждую дробь до дробей с этим знаменателем и получим

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Распространенные ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы добавляем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С НЕДОСТАТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями аналогично сложению дробей. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартном виде. Таким образом, любая дробь в виде

сначала записывается как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу одним членом.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей 12x. Мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь, сложив числители, получаем

Опять же, с биномиальными числителями следует проявлять особую осторожность.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение сначала следует записать как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем ЖК-дисплей 6 и строим каждую дробь до дробей со знаминателем 6, складываем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей равен (x — l) (x + 2), и мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем результаты

Пример 4 Запишите разницу

как единый термин

Решение Мы сначала разложим знаменатели на множители и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

Находим ЖКД (x + 7) (x — 3) (x + 3) и строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем yield

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью. Например,

— сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель комплексной дроби не содержат сумм или разностей, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель комплексной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей приведенной выше формы (1).

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае на ЖК-дисплее отображается 4. Результат — простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255.

Пример 2 Упростить

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае LCD 6. Получаем

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный при решении уравнения, когда решение неочевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

1. Очистите дроби, «если есть», умножив каждый член уравнения на ЖК-дисплей.
2. Запишите любое выражение, содержащее круглые скобки, как выражение без скобок.
3. Объедините любые одинаковые термины в любом элементе.
4. Получить все термины, содержащие переменную в одном члене, и все термины, не содержащие переменную в другом члене.
5. Разделите каждый член на коэффициент переменной, если он отличается от 1.
6. Проверьте ответ, был ли каждый член уравнения умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дроби.

Свойство умножения равенства (раздел 3.4) позволяет нам умножить каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

, мы умножим каждый член на ЖКД 4 (x — 5). Заметим, что x не может быть равно 5, поскольку 4 (x — 5) равно 0, если x = 5. Полное решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖКД 4 (x — 5), чтобы получить

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение относительно x дает

-21x = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4 (x — 5) не равно нулю для a = 9. Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить одну переменную в терминах другой переменной (переменных).

Пример 3 Решите относительно a через a, b и c.

Решение Мы умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

Теперь, разделив каждый член на 2x, получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Проблемы со словами в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения задач со словами, и шаги, предлагаемые на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если к числу прибавить определенное число, то получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в виде переменной.
Число: х

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «of» означает умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Число 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости движения r и времени путешествия t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу относительно r или t, чтобы получить:

Таблица, подобная показанной в следующем примере, полезна при решении проблем движения.

Пример 2 Экспресс проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд — 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее, чем груз, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2. Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в виде одной переменной.

Скорость грузового поезда: r

Скорость экспресса: r + 20

Шаг 3 Затем мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

Шаг 4 Поскольку времена обоих поездов одинаковы, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем решить для r, сначала умножив каждый член на ЖК-дисплей r (r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

СООТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел a ÷ b или иногда называют отношением и читают как «отношение a к b.»Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде отношения.

а. От 3 дюймов до 5 дюймов
b. От 8 до 12 метров
c. С 6 по 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например

называется пропорцией и читается как «2 равно 3, как 4 равно 6» и «a относится к b, как c соответствует d». Числа a, b, c и d называются первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции соответственно. Первый и четвертый члены называются крайними точками пропорции, а второй и третий члены называются средними значениями пропорции.

Пример 2 Выразите как пропорцию.

Если каждое соотношение в пропорции

умножаем на bd, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Доля — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию.

Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

КОНВЕРСИИ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие ниже базовые отношения помогут установить соответствующие пропорции конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунта)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм. ) = 2,54 см (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Измените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2. Представьте, что нужно найти (сантиметры), в словосочетании и в терминах переменной.
Сантиметров: x

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основные отношения между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, запишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Решите относительно x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

8 (2,54) = 1 · x
20,32 = x

Шаг 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей.Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

3. Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе.

4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, в котором решение очевидно при осмотре.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей, умножив каждый член уравнения на ЖКД дробей.

5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение, что два соотношения равны, называется соотношением . В пропорции

   a и d называются крайностями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

   ad = bc

Решение уравнений с очисткой дробей

Результаты обучения

• Используйте наименьший общий знаменатель, чтобы исключить дроби из линейного уравнения перед его решением
• Решите уравнения с дробями, которые требуют нескольких шагов

Вы можете чувствовать себя ошеломленным, когда видите дроби в уравнении, поэтому мы собираемся показать метод решения уравнений с дробями, в котором вы используете общий знаменатель для исключения дробей из уравнения. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.

Обратите внимание на то, что каждый член в уравнении умножается на наименьший общий знаменатель. Вот что отличает его от оригинала!

ПРИМЕР

Решение: [латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex].

Решение:

	[латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} \ quad {LCD = 8} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей, [латекс] 8 [/ латекс].Это очищает фракции.	[латекс] \ color {красный} {8 (} \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} \ color {red} {)} = \ color {red} {8 (} \ frac {1} {4} \ color {red} {)} [/ latex]
Используйте свойство распределения.	[латекс] 8 \ cdot \ frac {1} {8} x + 8 \ cdot \ frac {1} {2} = 8 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] x + 4 = 2 [/ латекс]
Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.	[латекс] x + 4 \ color {red} {- 4} = 2 \ color {red} {- 4} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -2 [/ латекс]
Проверить: Пусть [латекс] x = -2 [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {8} (\ color {red} {- 2}) + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} { 4} [/ латекс] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {1} {2} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {-2} {8} + \ frac {4} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {2} {8} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} \ quad \ checkmark [/ latex]

В последнем примере наименьший общий знаменатель был [латекс] 8 [/ латекс].Теперь ваша очередь найти ЖК-дисплей и очистить дроби, прежде чем решать эти линейные уравнения.

Обратите внимание, что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить!

Решите уравнения, очистив знаменатели

1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Это очищает фракции.
3. Выделите переменные члены с одной стороны и постоянные члены с другой стороны.
4. Упростите обе стороны.
5. Используйте свойство умножения или деления, чтобы коэффициент переменной был равен [latex] 1 [/ latex].

Вот пример с тремя переменными членами. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы упростите три члена переменной, а затем выделите переменную.

Пример

Решить: [латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex].

Решение:
Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.	[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x \ quad {LCD = 12} [/ latex]
Умножьте обе части уравнения на [латекс] 12 [/ латекс].	[латекс] \ color {red} {12} (7) = \ color {red} {12} \ cdot (\ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2 } {3} x) [/ латекс]
Распространение.	[латекс] 12 (7) = 12 \ cdot \ frac {1} {2} x + 12 \ cdot \ frac {3} {4} x-12 \ cdot \ frac {2} {3} x [/ латекс ]
Упростите — и заметьте, никаких дробей!	[латекс] 84 = 6x + 9x-8x [/ латекс]
Объедините похожие термины.	[латекс] 84 = 7x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 7 [/ латекс].	[латекс] \ frac {84} {\ color {red} {7}} = \ frac {7x} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 12 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [латекс] x = 12 [/ латекс].
[латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (\ color {red} {12}) + \ frac {3} {4} (\ color {red} {12}) — \ frac {2} {3} (\ color {red} {12}) [/ latex] [латекс] 7 \ stackrel {\ text {?}} {=} 6 + 9-8 [/ латекс] [латекс] 7 = 7 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

А теперь попробуйте аналогичную задачу. Очистите дроби, упростите и решите.

Внимание!

Одна из наиболее распространенных ошибок при очистке дробей — это забвение умножения ОБЕИХ частей уравнения на ЖК-дисплей. Если ваш ответ не проходит, убедитесь, что вы умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей.

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы увидите, что это уравнение похоже на уравнения с переменными с обеих сторон, которые мы решили ранее.Не забудьте выбрать переменную сторону и постоянную сторону, чтобы помочь вам организовать свою работу.

Пример

Решение: [латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex].

Решение:

Найдите на ЖК-дисплее все дроби в уравнении.	[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2}, \ quad {LCD = 6} [/ latex]
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей.	[латекс] \ color {red} {6} (x + \ frac {1} {3}) = \ color {red} {6} (\ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2 }) [/ латекс]
Распространение.	[латекс] 6 \ cdot {x} +6 \ cdot \ frac {1} {3} = 6 \ cdot \ frac {1} {6} x-6 \ cdot \ frac {1} {2} [/ латекс ]
Упростите — больше никаких дробей!	[латекс] 6x + 2 = x-3 [/ латекс]
Вычтите [латекс] x [/ латекс] с обеих сторон.	[латекс] 6x- \ color {красный} {x} + 2 = x- \ color {красный} {x} -3 [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x + 2 = -3 [/ латекс]
Вычтите 2 с обеих сторон.	[латекс] 5x + 2 \ color {red} {- 2} = — 3 \ color {red} {- 2} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 5x = -5 [/ латекс]
Разделить на [латекс] 5 [/ латекс].	[латекс] \ frac {5x} {\ color {red} {5}} = \ frac {-5} {\ color {red} {5}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -1 [/ латекс]
Проверить: Заменить [латекс] x = -1 [/ латекс].
[латекс] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (\ color {red} {- 1}) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {6} (\ color {red} {-1}) — \ frac {1} {2} [/ latex] [латекс] (- 1) + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {1} {2} [/ латекс ] [латекс] — \ frac {3} {3} + \ frac {1} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {1} {6} — \ frac {3} { 6} [/ латекс] [латекс] — \ frac {2} {3} \ stackrel {\ text {?}} {=} — \ frac {4} {6} [/ latex] [латекс] — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} \ quad \ checkmark [/ latex]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с дробями, у которых переменные находятся по обе стороны от знака равенства. Ответ может быть дробным.

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как решить уравнение, которое содержит дроби и переменные по обе стороны от знака равенства.

В следующем примере мы начнем с уравнения, в котором переменный член заключен в скобки и умножен на дробь. Вы можете очистить дробь, или, если вы используете свойство распределения, оно удалит дробь. Вы понимаете почему?

ПРИМЕР

Решение: [латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ left (4x + 2 \ right) [/ latex].

Решение:

	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс]
Распространение.	[латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ cdot4x + \ frac {1} {2} \ cdot2 [/ latex]
Упростить. Теперь дробей нет!	[латекс] 1 = 2x + 1 [/ латекс]
Вычтите 1 с обеих сторон.	[латекс] 1 \ color {red} {- 1} = 2x + 1 \ color {red} {- 1} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = 2x [/ латекс]
Разделить на [латекс] 2 [/ латекс].	[латекс] \ frac {0} {\ color {red} {2}} = \ frac {2x} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 0 = x [/ латекс]
Проверить: Пусть [latex] x = 0 [/ latex].
[латекс] 1 = \ frac {1} {2} (4x + 2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (4 (\ color {red} {0}) + 2) [/ latex] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {1} {2} (2) [/ латекс] [латекс] 1 \ stackrel {\ text {?}} {=} \ Frac {2} {2} [/ latex] [латекс] 1 = 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, в котором переменный член в скобках умножен на дробь.

Что такое дробь? — Определение, факты и пример

Что такое дробь?

Фракции представляют собой равных части целого или совокупности.

Часть целого : Когда мы делим целое на равные части, каждая часть является частью целого.

Например ,

Фрагмент коллекции : Фракции также представляют собой части набора или коллекции.

Например ,

Всего 5 детей.

3 из 5 — девушки. Итак, доля девушек составляет три пятых ( ³ ⁄ ₅ ).

2 из 5 — мальчики. Итак, доля мальчиков составляет две пятых ( ² ⁄ ₅ ).

Обозначение дроби

Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем. Он сообщает, сколько равных частей взяты из целого или коллекции.Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее делимое количество равных частей целого или общее количество равных частей, которые есть в коллекции.

Дроби на числовой строке : Дроби могут быть представлены на числовой строке, как показано ниже.

Например,

Примеры из жизни

Самыми распространенными примерами дробей из реальной жизни являются равные кусочки пиццы, фруктов, торта, плитки шоколада и т. Д.

Без примеров

Когда части целого разделены неравномерно, они не образуют дробей.

Виды фракций

Дроби в алгебре

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить дроби в алгебре так же, как и в простой арифметике.

Сложение дробей

Для сложения дробей существует простое правило:

(Узнайте, почему это работает, на странице общего знаменателя).

Пример:

х 2 + y 5 знак равно (х) (5) + (2) (у) (2) (5)

= 5x + 2 года 10

Пример:

х + 4 3 + х — 3 4 знак равно (х + 4) (4) + (3) (x − 3) (3) (4)

= 4x + 16 + 3x − 9 12

= 7x + 7 12

Вычитание дробей

Вычитание дробей очень похоже, за исключением того, что + теперь —

Пример:

х + 2 х — х х — 2 знак равно (х + 2) (x − 2) — (x) (x) х (х − 2)

= (x ² -2 ² ) — x ² x ² — 2x

= −4 x ² — 2x

Умножение дробей

Умножение дробей — самый простой из всех, просто перемножьте вершины вместе, а минимумы вместе:

Пример:

3x х − 2 × х 3 знак равно (3x) (x) 3 (х − 2)

= 3x ² 3 (х − 2)

= x ² х − 2

Разделение на дроби

Чтобы разделить дроби, сначала «переверните» дробь, на которую мы хотим разделить, затем используйте тот же метод, что и для умножения:

Пример:

3 года ² х + 1 ÷ y 2 знак равно 3 года ² х + 1 × 2 год

= (3 года ² ) (2) (х + 1) (у)

= 6лет ² (х + 1) (у)

= 6лет х + 1

Жесткий:

Дроби

Дробь , или дробное число используются для представления части целого. Дроби состоят из двух чисел: числитель (над линией) и знаменатель (под чертой).

Знаменатель указывает количество равных частей, на которые что-либо делится. Числитель показывает, сколько из этих равных частей рассматривается. Таким образом, если дробь представляет собой пирог, знаменатель 5 говорит вам, что пирог был разделен на пять равных частей, из которых 3 (числитель) находятся в дроби.Иногда полезно думать о разделительной линии (середина дроби) как о значении «вне». Другими словами, это также означает 3 из 5 равных частей от всего пирога.

Отрицательные дроби

Дроби могут быть отрицательными, и положительными. (См. Рисунок ниже.)

Однако отрицательные дроби обычно записываются следующим образом:

Сложение положительной и отрицательной дробей

Правила для чисел со знаком применяются и к дробям.

Пример 1

Добавьте следующее.

Вычитание положительной и отрицательной дробей

Правило вычитания чисел со знаком применимо и к дробям.

Пример 2

Вычтите следующее.

Умножение дробей

Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители, а затем умножьте знаменатели.При необходимости снизьте до минимальных условий.

Пример 3

Умножить.

Этот ответ пришлось сократить, потому что он был не самым низким. Поскольку целые числа также могут быть записаны в виде дробей и т. Д., Проблему можно решить, заменив 3 на.

Раннее сокращение

Раннее уменьшение при умножении дробей избавило бы от необходимости сокращать ваши ответы после завершения умножения. Чтобы уменьшить, найдите число, которое делится на один числитель и один знаменатель.В этом случае 2 равномерно разделится на числитель 2 (идет за один раз) и на знаменатель 12 (идет за шесть раз). Таким образом,

Помните, вы можете выполнить раннее сокращение только тогда, когда умножает дробей. Здесь также действуют правила умножения чисел со знаком.

Пример 4

По возможности сокращайте как можно раньше, а затем умножайте.

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа, сначала замените любое смешанное число на неправильную дробь.Потом размножайтесь.

Пример 5

Умножить.

Измените ответ, если в неправильной форме дроби, обратно на смешанное число и при необходимости уменьшите. Помните, что здесь также применяются правила умножения чисел со знаком.

Разделение на дроби

Чтобы разделить дроби, переверните (переверните вверх дном) вторую дробь (ту, которая «делится на») и умножьте. Затем уменьшите, если возможно.

Пример 6

Разделить.

Здесь также применяются правила деления чисел со знаком.

Деление сложных дробей

Иногда задача деления на дроби может появиться в следующем виде (они называются комплексными дробями ).

Пример 7

Упростить.

Считайте, что линия, разделяющая две дроби, означает «разделить на». Следовательно, эту задачу можно переписать так:

Теперь выполните ту же процедуру, что и в примере. .

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, сначала замените их на неправильные дроби. Затем следуйте правилу деления дробей.

Пример 8

Разделить.

Обратите внимание, что после того, как вы инвертируете и у вас возникнет проблема умножения дробей, вы можете выполнить раннее сокращение, когда это необходимо.