Онлайн калькулятор рядов: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Содержание

Ряд Тейлора онлайн

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r_n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

Решение онлайн
Видеоинструкция

f(x)=

в точке x₀= Количество элементов ряда34567

Использовать разложение элементарных функций e^x, cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x)^m

Правила ввода функций:

Если для некоторого значения х r_n→0 при n→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

она имеет производные всех порядков;
построенный ряд сходится в этой точке.

При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:

Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции

Логарифмические функции
, -1<x<1, R = 1

Биномиальные ряды
.

Пример №1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2

x.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0
f(x) = 2^x, f(0) = 2⁰=1;
f'(x) = 2^xln2, f'(0) = 2⁰ ln2= ln2;
f»(x) = 2^x ln²2, f»(0) = 2⁰ ln²2= ln²2;
…
f⁽ⁿ⁾(x) = 2^x lnⁿ2, f⁽ⁿ⁾(0) = 2⁰ lnⁿ2= lnⁿ2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №2. Написать ряд Тейлора по степеням (

х+4) для функции f(x)=e^x.
Решение. Находим производные функции e^x и их значения в точке х=-4.
f(x) = е^x, f(-4) = е^-4;
f'(x) = е^x, f'(-4) = е^-4;
f»(x) = е^x, f»(-4) = е^-4;
…
f⁽ⁿ⁾(x) = е^x, f⁽ⁿ⁾( -4) = е^-4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x<+∞.

Пример №3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),
( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки

х=1).
Решение. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx, , , ,

f(1)=ln1=0, f'(1)=1, f»(1)=-1, f»'(1)=1*2,…, f⁽ⁿ⁾=(-1)^n-1(n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1. Действительно, Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение. В разложении (1) заменяем х на -х², получаем:

, -∞<x<∞

Пример №5.

Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = —
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо

х стоит k(х-а)^m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x²=(1-3x)(1+2x), далее разложим дробь с помощью сервиса.
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x)

можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.
Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример №7. Написать ряд Тейлора по степеням (

х-1) функции ln(x+2).
Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.
Решение. Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим ^π/₄t, получим: Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞<^π/₄t<+∞, т.

е. при (-∞<x<+∞).
Таким образом,

, (-∞<x<+∞)

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд: Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают: Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r_n(x). Для этого применяют следующие приемы:

если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: a<c<x (или x<c<a).

Пример №1. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2. Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5³ является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5³+5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.

Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3. Вычислить интеграл ∫014sin(x)x с точностью до 10^-5.
Решение. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.

Таким образом, находим

Пример №4. Вычислить интеграл ∫014ex2 с точностью до 0,001.
Решение.

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.

≈0.0001<0.001

Следовательно, .

Сходимость ряда онлайн

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно и члены ряда, а сходимость определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь — n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке	Текст на русском языке
By the harmonic series test, the series diverges.	При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive.	Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive.	Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges.	По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges.	По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges.	На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

Калькулятор сходимости ряда

Переменная суммирования: xyztupqnms

Верхний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Нижний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Проверить сходимость ряда:∞n039n23n2

Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Калькулятор несобственных интегралов
Калькулятор объёма тела вращения

Оставить свой комментарий:

Калькулятор расширения серии

: Wolfram|Alpha Калькулятор расширения серии

: Wolfram|Alpha

О, о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.

Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.

WolframAlpha

Расширения серии в Wolfram|Alpha

Тригонометрия

Больше, чем просто онлайн-калькулятор расширения серий

Wolfram|Alpha — отличный инструмент для вычисления серий. Исследуйте отношения между функциями и их разложениями в ряды и улучшите свои математические знания с помощью калькулятора разложения в ряды Wolfram|Alpha.

Подробнее о:

Серия »

Советы по вводу запросов 93 на заказ 10

Серия

sqrt(sin x) при x = 0

Мобильные приложения

Продукты

Бизнес

API и решения для разработчиков

Решения LLM

Ресурсы и инструменты
Контакты
012

Условия
Конфиденциальность

wolfram.com
Wolfram Language 0046
Демонстрация Wolfram
Wolfram for Education
MathWorld

Расчет сумма ряда онлайн

Выберите переменную: х у з н к м

Выберите меньшее значение Введите сами + Бесконечность — Бесконечность 0 и верхнее значение Введите самостоятельно + Infinity — Infinity

Введите ряд, чтобы вычислить его сумму:

x	y	π	e	9016	3	÷	Триггерная функция
а ²	а ^б	а _б	exp		4	5	6	×	удалить
(	)	\|а\|	пер.		7	8	9	—	↑	↓
√	³ √	C	журнал _a		0	.	↵	+	←	→

Этот калькулятор для расчета суммы ряда взят от ООО «Вольфрам Альфа». Все права принадлежат владельцу!

Сумма ряда

OnSolver.com позволяет найти сумму ряда онлайн. Помимо нахождения суммы числовой последовательности онлайн, сервер находит частичную сумму ряда онлайн. Это полезно для анализа, когда сумма ряда онлайн должна быть представлена и найдена как решение пределов частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами www.OnSolver.com имеет огромное преимущество, так как можно найти сумму не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, используя самые известные методы. Согласно теории необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела общего члена ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако этого условия недостаточно для определения сходимости числовых рядов в режиме онлайн. Если ряд не сходится, OnSolver.com укажет на это соответствующим сообщением. Для определения сходимости ряда найдено множество достаточных критериев сходимости или расходимости ряда. Наиболее популярными и часто используемыми из них являются критерии Даламбера, Коши, Раабе; сравнение числовых рядов, а также интегральный критерий сходимости числовых рядов. Особое место среди числового ряда занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные значения числового ряда монотонно спадают. Оказывается, для таких числовых рядов достаточен и необходимый признак сходимости, т. е. предел общего члена ряда равен нулю при стремлении переменной к бесконечности. Есть много разных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда , а также для выведения функций в ряд в какой-то точке области определения этой функции.