Опубликовано Интегрирование рациональных дробей
Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов рациональных дробей вида .- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Инструкция. Введите числитель и знаменатель дроби. Нажмите кнопку Решить.
Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь , где и — полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x), где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда
, (1.1)
а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.
P(x)=x7+3x6+3x5–3x3+4x2+x-2, Q(x)=x3+3x2+x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). Имеем Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q)
R(x) = x4+2x2–4x+7 и остаток S(x) = 9x2–14x+12 от этого деления.
По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где xl – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.
Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1, x2,…, xn. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где A 1, A2,.
..,An — числа подлежащие определению. Если xi — корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если xj — комплексный корень кратности α полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число xj — тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если xj, xj – корни кратности один. Если xj, xj – корни кратности α, то им соответствует α слагаемых и соответствующее разложение имеет вид
Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант D=p2-4q<0), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .
Одним из способов нахождения коэффициентов Aj, Mj, Nj в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj, Mj, Nj приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.
Примеры
1. Найти .
Корни знаменателя – x1 = -2 кратности 1 и x2=1 кратности 2. Поэтому x3 – 3x + 2 = (x+2)(x-1)2 и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
Решая эту систему, находим A1=7/9, A2=2/9, A3=1/3.
Таким образом,
2. Найти .
Корни знаменателя – x1=2 кратности 1 и два комплексных корня x2,3, = -1±i. Поэтому x
Приводя к общему знаменателю, получаем Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
Решая эту систему, находим A=1, M=1, N=2.
Таким образом,
=ln|x-2|+1/2ln(x2+2x+2)+arctg(x+1)+C
Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.
Пример. Найти .
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень —1 имеет кратность два. Разложим подынтегральную функцию на простейшие слагаемые
2x+1 = A(x-1)2+Bx(x-1) + Dx = (A+B)x2+(-2A-B+D)x+A
→ A=1, B=-1, D=3
Следовательно
Алгебра
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Часть вторая
Частное решение.
Угол между ними.
Матрица смежности онлайнСвойства экспоненты Калькулятор и решатель
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Свойства экспоненты .
Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
F
C
D
F
B
C
D
F
D
.0007
g
m
n
u
v
w
x
y
z
7.
(◻)
+
—
×
◻/◻
/
÷
◻ 2
◻ ◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
ln
журнал
журнал ◻
LIM
D/DX
D □ x
∫
∫ ◻
| ◻ |
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc
asin
acos
atan
acot
asec
acsc
sinh
cosh 9{16}}{1024}$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Калькулятор дробей
Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами.
Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражений с дробями:
Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.
е. 1,45 .
Математические символы
| Символ | Название символа | Символ Значение | Пример |
|---|---|---|---|
| + | плюс знак | Дополнение | 1/2 + 1/3 |
| — | Минус. | multiplication | 2/3 * 3/4 |
| × | times sign | multiplication | 2/3 × 5/6 |
| : | division sign | division 91/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
|
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
Какую часть населения составляют младенцы?