Опубликовано Калькулятор определения рационального и иррационального числа онлайн
Найти {$ main.types[data.type] $}
Числитель
Знаменатель
Степень
Число
Результаты расчёта
- Значение: {$ result.value|number $}
- Число рациональное
- Число иррациональное
Используемые нами числа подразделяются на различные множества: натуральные, целые, рациональные, комплексные или действительные. Существует также особый пласт бесконечных непериодических чисел, которые составляют иррациональное множество. Определить категорию выбранного числа можно при помощи онлайн-калькулятора.
Рациональные числа
К множеству рациональных относятся числа, которые можно представить в замкнутом виде, то есть в виде обыкновенной дроби. Такие дроби в числителе содержат целые числа, а в знаменателе — натуральные.
К множеству натуральных относятся числа, которые мы используем при счете, к примеру, 1, 5 или 120. Целые числа — это расширенное множество натуральных, к которым добавляется нуль, а также отрицательные элементы, например, -5 или -120. Следовательно, рациональное множество содержит нуль, отрицательные и положительные числа.
Также любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. К примеру, 0,6666… является рациональным, так как представляется в замкнутом виде в форме дроби 2/3, а также является бесконечным и периодичным. Число 0,25 легко записать в виде 1/4, а бесконечность и периодичность легко выразить при помощи нулей — 0,2500000…
Таким образом, любая обыкновенная дробь — рациональное число. Любое число, представленное в замкнутом виде, также рациональное. Однако существует целый спектр чисел, которые невозможно представить в виде дробного соотношения или периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа
Иррациональное число — это элемент иррационального множества, которое невозможно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное.
Об иррациональности некоторых чисел знали с давних времен: античные геометры определили проблему несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, что соответствует иррациональности корня из 2. Кроме того, древние ученые впервые встретились с проблемой подсчета иррационального числа Пи, которое определяется как соотношение длины окружности к ее диаметру.
На протяжении веков предпринимались попытки представить Пи в замкнутом виде, например как 22/7 или 355/113, однако с течением времени математики определяли Пи все точнее и точнее. Сегодня при помощи мощных компьютеров найдено число Пи с точностью 10 триллионов цифр после запятой. Представить Пи в виде соотношения целых чисел или периодичной десятичной дроби невозможно.
К данному множеству относятся следующие элементы:
- корни неквадратных чисел, например, корни из 2, 3, 5 или 7;
- число Пи и выражение типа pix;
- экспоненциальные выражения типа ex;
- натуральные логарифмы для любых положительных чисел больше 1.
Также к иррациональному множеству относятся различные математические константы, такие как золотое и серебряное сечение, экспонента, постоянная Эйлера — Маскерони или постоянная Апери.
Свойства чисел
Арифметические операции с иррациональными числами могут приводить к разным результатам. Так, действия с рациональными и иррациональными числами всегда приводит к образованию новой иррациональности. Однако арифметические операции с двумя иррациональными элементами могут заканчиваться образованием рациональной дроби.
Например, числа 0,3003000300003 и 0,033033303333 иррациональны. Первое образуется по принципу, что после каждой тройки количество нулей постоянно увеличивается. Второе формируется по принципу увеличения количества троек после каждого нуля. Эти числа невозможно представить в виде обыкновенных дробей по отдельности, однако, если сложить их мы получим следующий результат:
0,3003000300003 + 0,033033303333 = 0,3333333333 = 1/3.
В сухом остатке бесконечная периодичная дробь, которую легко выразить в замкнутом виде.
Наш калькулятор позволяет определить тип числа, которое вы можете выразить в виде обыкновенной дроби или корня любой степени из произвольного числа. Программа мгновенно определит множество, к которому относится выбранный элемент. Давайте попробуем на практике.
Примеры использования калькулятора
Определим рациональность нескольких чисел. Калькулятор предлагает нам задать число в виде правильной дроби, которое по определению является рациональным числом. Поэтому определять иррациональность при помощи калькулятора целесообразно только для чисел, выраженных в виде корняn-ной степени. Определим рациональность для следующих выражений:
- квадратный корень из 2 — 1,414, иррациональное;
- кубический корень 27 — 3, рациональное;
- корень пятой степени из 147 — 2,713, иррациональное.
Очевидно, что в некоторых случаях корни могут быть рациональными, что верно для квадратных и кубических чисел.
Заключение
Математические объекты разделяются на разные классы.
В повседневной жизни мы оперируем натуральными числами, то есть целыми и положительными числами, которые используем при счете. Рациональные числа используются при измерениях, а иррациональные практически не находят распространения в быту — область их применения лежит в высокой науке. При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете проверить принадлежность любого числа к определенному множеству.
Рациональные числа, формулы и онлайн калькуляторы
Содержание:
- Определение
- Арифметические операции с рациональными числами
Определение
Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{m}{n}$, где целое число $m$ называется числителем дроби, а натуральное число $n$ — знаменателем дроби.
Рациональные числа — это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и нуль.
Множество рациональных чисел обозначается $Q$.
Две рациональные дроби $\frac{m}{n}$ и
$\frac{p}{q}$ называются эквивалентными, если
$mq = np$.
Пример
Дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ эквивалентные, так как $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$
Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой дробей.
Сравниваются рациональные числа следующим образом:
- Всякое положительное рациональное число больше нуля.
- Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
$6>0 ;-5-3 ;-7 |-2|=2$
Сложение рациональных чисел. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.
Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из числа с большей абсолютной величиной вычесть число
с меньшей абсолютной величиной и поставить знак числа, большего по модулю.
Пример
Задание. Вычислить $4+\frac{5}{2} ;-4+\left(-\frac{5}{2}\right) ;(-4)+\frac{5}{2}$
$$\begin{array}{l} 4+\frac{5}{2}=+\left(|4|+\left|\frac{5}{2}\right|\right)=+\left(4+\frac{5}{2}\right)=\frac{8}{2}+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} \\ -4+\left(-\frac{5}{2}\right)=-\left(|-4|+\left|-\frac{5}{2}\right|\right)=-\left(4+\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{8}{2}+\frac{5}{2}\right)=-\frac{13}{2} \\ -4+\frac{5}{2}=-\left(|-4|-\left|\frac{5}{2}\right|\right)=-\left(4-\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{8}{2}-\frac{5}{2}\right)=-\frac{3}{2} \end{array}$$Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Пример
Задание. Вычислить $5-\frac{3}{2} ;-5-\left(-\frac{3}{2}\right) ;(-5)-\frac{3}{2}$
$$5-\frac{3}{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)=+\left(|5|+-\left|-\frac{3}{2}\right|\right)=+\left(5-\frac{3}{2}\right)=\frac{10}{2}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$$
$$-5-\left(-\frac{3}{2}\right)=-5+\frac{3}{2}=-\left(|-5|-\left|\frac{3}{2}\right|\right)=-\left(5-\frac{3}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}-\frac{3}{2}\right)=-\frac{7}{2}$$
$$-5-\frac{3}{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)=-\left(|-5|+\left|-\frac{3}{2}\right|\right)=-\left(5+\frac{3}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}+\frac{3}{2}\right)=-\frac{13}{2}$$
Умножение рациональных чисел.
Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их
абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус,
если сомножители разных знаков.
Пример
Задание. Вычислить $\frac{3}{4} \cdot\left(-\frac{7}{2}\right):\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(-\frac{7}{2}\right) ;\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{7}{2}$
$$\frac{3}{4} \cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=-\left|\frac{3}{4}\right| \cdot\left|-\frac{7}{2}\right|=-\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=-\frac{21}{8}$$ $$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot\left(-\frac{7}{2}\right)=+\left|-\frac{3}{4}\right| \cdot\left|-\frac{7}{2}\right|=\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=\frac{21}{8}$$ $$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{7}{2}=-\left|-\frac{3}{4}\right| \cdot\left|\frac{7}{2}\right|=-\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2}=-\frac{21}{8}$$Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их
абсолютных величин, взятому со знаком плюс.
{4}=\frac{16}{81}$$
Читать следующую тему: смешанные числа (дроби).
Калькулятор рациональных чисел
- Выражение
- Уравнение
- Неравенство
- Связаться с нами
- Упростить
- Коэффициент
- Expand
- GCF
- LCM
- Решить
- График
- Система
- Решить
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Я купил ваше программное обеспечение, чтобы помочь моей дочери с ее домашним заданием по алгебре, программное обеспечение Algebrator было очень простым для понимания, и это действительно сняло большую нагрузку.Дайан Флемминг, Невада
Как мать, которая одновременно является научным сотрудником и президентом компании (мы делаем ранние анализы ADME Tox для лекарств — индустрия открытий), я очень беспокоюсь о математическом образовании моей дочери.
Ваша программа по алгебре очень помогла ей. Его терпеливые, полные объяснения были почти такими же, как у профессионального репетитора, но гораздо более удобными и, разумеется, менее дорогими.
Майкл, Огайо
Спасибо! Это новое программное обеспечение является реальной помощью. Мой сын может получить настоящие ответы, в то время как я просто выполнил шаг, не задумываясь. Возможно, вы только что сохранили его оценки.
Возможность увидеть, как решить проблему шаг за шагом, дважды проверить свою работу и получить правильный ответ, делает Algebrator лучшим программным обеспечением, которое я покупал за весь год.
Марша Стоунвич, Техас
Это было очень полезно. это был отличный инструмент для проверки моих ответов. Я бы порекомендовал это программное обеспечение всем, независимо от того, на каком уровне они находятся в математике.
Бад Пиппин, Юта
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь.
Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 08.03.2014:
- квадратичные формулы ti 86
- Основы MATLAB Экзаменационные вопросы
- решения rudin глава 6
- десятичное число
- стандартные интегралы sinxcosx
- «метод проектирования для обеспечения технологичности»
- задач по булевой алгебре
- уравнения в процентах
- парабола для начинающих математика 10
- презентации Power Point по линейным уравнениям
- уравнения по алгебре с ответами
- «онлайн-калькулятор факторинга»
- распечатки по математике для девяти лет
- онлайн корень калькулятора
- математика для начинающих — суммирование
- rudin принципы математического анализа решений
- математических рабочих листа с распространяемым свойством
- задачи по алгебре
- вопросов о способностях по перестановкам
- sats papers ks3 уравнения
- Как упростить дроби на калькуляторе техасских инструментов?
- алегбра учебник
- одновременные дифференциальные уравнения Matlab
- электронные книги Макдугала Литтела
- квадратные уравнения
- рациональный решатель нуля
- бесплатное программное обеспечение для наибольших общих делителей и одночленов
- Математические задачи на перестановку в пятом классе начальной школы
- TI 89 ошибка неалгебраической переменной в выражении
- скачать бесплатно документы CAT прошлых лет
- Планы уроков четвертого класса Преобразование линейных измерений
- Справочное ПО по алгебре
- практических вопросов по алгебре
- математический коэффициент PowerPoint
- листы по алгебре Хоутон Миффлин Склон перехватывает
- заполнение квадратного рабочего листа
- онлайн конвертер процентов в градусы
- РЕШЕНИЕ ЗАПОЛНЕНИЕМ КВАДРАТ
- шага для решения уравнения с помощью линейных комбинаций
- ++ «триномиальный факторер» ++java ++онлайн
- вероятности ks4 рабочие листы
- математика из алмазной фольги
- «Современная абстрактная алгебра» + глава 6 + решения
- Элементарный порядок воспроизводимых операций
- Освоение физики ответ
- Рабочий лист трансформации 6 класса
- координатная сетка интерактивная практика 7-й
- как решить многочлен второй степени
- бесплатная помощь в домашнем задании 8-го класса для Арканзаса Калькулятор линейных футов
- Численное интегрирование систем демпфера массовой скорости и пружины
- Алгебраические выражения для 8-классников
- процента + деление и умножение
- Математика 7 класс(простой процент)
- ti84 плюс загрузки
- Полиномиальные решатели TI-84
- рабочий лист алгебраических выражений
- бесплатных математических словесных задач для восьмиклассников
- запись дробей в процентах
- mathcad разложить на множители
- Бесплатные рабочие листы и ответы по простой факторизации для 6-го класса
- бесплатные электронные книги для тестов математических способностей
- бесплатные статьи по математике
- журнал программирования2 TI-89
- Java-код, который печатает сумму целых чисел от 1 до n.
- Добавление рабочих листов вычитания целых чисел
- планов уроков по решению уравнений с заданной переменной
- решение задач гидромеханики бесплатно
- suare кубический квадратный корень таблица
- решенных задач по теореме Силова
- решить систему уравнений с тремя переменными с помощью графического калькулятора
- интерполировать превосходить
- отрицательных показателя и переменная
- введение в алгебру тип файла ppt
- дистрибутив предварительной алгебры интерактивный Java Рабочие листы с рациональным показателем степени
- примеры Программное обеспечение для одновременных уравнений
- решение неоднородного раствора pde второго порядка
- структуры данных и «решение проблем с помощью java» скачать
- Абстрактная алгебра + экзаменационные задачи
- glencoe бизнес математика ответы
- уроки алгебры для 1 класса
- Ти-89 эконом чит
- Бумаги для 6-го класса
- помощь с ответами на задачи по алгебре
- АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК ДЛЯ 10 КЛАССА, бесплатно
| Предыдущая | Далее |
Рациональное число в виде дроби
Учеба Математика Алгебра
Этот онлайн-калькулятор записывает рациональное число в виде дроби (отношение двух целых чисел), используя формулу бесконечного геометрического последовательность.
Когда вы начинаете изучать геометрические последовательности, вы можете столкнуться с задачей, сформулированной так:
Запишите рациональное число 0,58333… как отношение двух целых чисел.
Конечно, в этом примере задачи нас фактически просят преобразовать повторяющееся десятичное число в дробь. Действительно, для решения этой задачи требуется формула бесконечного геометрического ряда. Этот калькулятор использует эту формулу, чтобы узнать числитель и знаменатель для данного повторяющегося десятичного числа. Решение и формулы описаны под калькулятором.
Обратите внимание, что в приведенной выше задаче повторяющаяся десятичная дробь неформально представлена многоточием (три точки…). На самом деле существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных дробей, но ни одно из них не принято повсеместно. Например, в США обозначение представляет собой горизонтальную линию (винкулум) над повторяющимися цифрами, а в некоторых частях Европы обозначение заключается в заключении повторяющихся цифр в круглые скобки.
Калькулятор поддерживает два способа ввода повторяющегося десятичного числа: 0,58333… и 0,58(3) 9.0052Рациональное число как отношение двух целых чисел
Рациональное числоОтношение двух целых чисел
Повторяющееся десятичное число
Цитата из Википедии, 1 a 9028 8 повторяющееся или повторяющееся десятичное число является десятичным представление числа, цифры которого являются периодическими (повторяют свои значения через равные промежутки времени), а бесконечно повторяющаяся часть не равна нулю. Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется 9.0288 повторяется или повторяется . Если повторение равно нулю, это десятичное представление называется конечным десятичным числом, а не повторяющимся десятичным числом. Можно показать, что число рационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление повторяется или заканчивается (т. е.
имеет конечное количество цифр или начинает повторять конечную последовательность цифр). А рациональное число, по определению, — это любое число, которое может быть выражено как частное или дробь p/q двух целых чисел, числителя p и ненулевого знаменателя q.
Если у нас есть завершающая десятичная дробь, мы можем использовать конвертер дробей в десятичную и десятичную дробь. В случае повторяющегося десятичного числа расчет становится немного сложнее. И здесь нам помогут геометрические последовательности. Давайте воспользуемся приведенным выше примером и преобразуем рациональное число (мы знаем, что оно рационально, потому что его десятичное представление повторяется) 0,58333… в дробь, используя наши знания о геометрических последовательностях.
Представим наше рациональное число так:
Числа и т. д. можно рассматривать как члены геометрической последовательности, где первый член равен 0,003, а обыкновенное отношение равно 0,1.
Действительно, согласно формуле для n-го члена геометрической прогрессии: , имеем
Обратите внимание, что это члены бесконечного геометрического ряда, который сходится, так как модуль знаменателя меньше единицы.