Опубликовано Действия с дробями
Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе, всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
- Сложение дробей с разными знаменателями.
Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.
Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3. Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4. Найти значение выражения
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Сложим дроби и
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.
Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2. Найти значение выражения .
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2. Найти значение выражения
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Умножить дробь на число 1.
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.
Например, выражение можно вычислить двумя способами.
Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:
Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:
Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:
Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:
А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:
Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.
Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:
Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Примеры:
- обратным числа 2 является дробь
- обратным числа 3 является дробь
- обратным числа 4 является дробь
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Примеры:
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.
Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:
Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:
Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:
Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь
В обоих случаях получился один и тот же результат.
Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим первую дробь на число, обратное делителю:
Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:
Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:
Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5
10 : 2 = 5
Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.
Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.
Пример 3. Найти значение выражения
Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь
Допустим, имелось пиццы:
Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков
Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении на 6 получается
Деление числа на дробь
Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 1 на .
Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь
Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза
Пример 2. Найти значение выражение
Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь
Допустим, у нас имеются две целые пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Например, разделим на
Чтобы разделить на , нужно умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь
Допустим, имеется половина пиццы:
Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:
Пример 1. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:
Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.
Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.
Задания для самостоятельного решения:
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 6. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 7. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 8. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 9. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 10. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 11. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 12. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 13. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 14. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Умножение десятичных дробей — примеры, правила как умножать в 5 классе
Понятие десятичной дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Вернемся к обыкновенным дробям позже, а сейчас обсудим десятичные дроби. Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства десятичных дробей
Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:
- 0,600 = 0,6
- 21,10200000 = 21,102
| Основные свойства |
|---|
|
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
- Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
- Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
- Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
Как записать десятичную дробь
Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь. Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.
Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.
Как решаем:
- Знаменатель равен 10 — это один ноль.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
- В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.
Ответ: 16/10 = 1,6.
Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.
Как решаем:
- Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
- В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.
Ответ: 37/1000 = 0,037.
Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.
Как читать десятичную дробь
Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:
| Сколько цифр после запятой? | Читается, как |
|---|---|
| одна цифра — десятых; | 1,3 — одна целая, три десятых; |
| две цифры — сотых | 2,22 — две целых, двадцать две сотых; |
| три цифры — тысячных; | 23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных; |
| четыре цифры — десятитысячных; | 0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных; |
| и т.д. |
Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.
Принципы умножения десятичных дробей
С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами: складывать и вычитать, делить и умножать. В этом блоке узнаем, как умножать дроби.
| Свойства умножения десятичных дробей |
|---|
|
Умножение десятичных дробей друг на друга можно упростить и просто умножить натуральные числа. Главное — правильно поставить запятую в ответе.
Если в задаче даны десятичные дроби с разными знаками — используем правило умножения отрицательных чисел. Как быстро запомнить:
| «−−» | минус на минус дает плюс |
| «−+» | минус на плюс дает минус |
| «+−» | плюс на минус дает минус |
| «++» | плюс на плюс дает плюс |
Числа с единицей и нулями (10, 100, 1000 и т. д.) называются разрядными единицами, так как цифра 1 — единственная значимая цифра в числе и от ее местоположения зависит количественное значение числа. Важно запомнить правила для умножения и деления на разрядную единицу:
- Чтобы умножить число на разрядную единицу, достаточно к числу справа дописать столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
- Чтобы разделить число на разрядную единицу, достаточно от числа справа отбросить столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
Как умножать десятичные дроби в столбик
Чтобы перемножить десятичные дроби нужно сделать три шага:
- Записать десятичные дроби в столбик и умножить друг на друга, как обыкновенные числа.
- Посчитать количество знаков после запятой у каждой дроби. Сложить их количество.
- Полученную цифру отсчитать справа налево и поставить запятую.
Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.
Как решаем:
|
Ответ: 3,11 ∗ 0,01 = 0,0311.
| Примеры умножения десятичных дробей столбиком: |
|---|
Чтобы закрепить тему, смотрите видео «Умножение десятичных дробей».
Как умножать десятичные дроби на натуральные числа
Умножение десятичных дробей на обычные числа происходит так же, как и умножение между десятичными дробями. Чтобы считать быстрее, умножайте их в столбик по правилам выше. А вот и примерчики!
Пример 1. Умножить десятичную дробь 2,27 на целое число 15.
Как решаем:
умножить столбиком данные числа и отделить два знака запятой.
Ответ: 15 ∗ 2,27 = 34,05.
Пример 2. Умножить 11 на 0,005.
Как решаем:
умножить столбиком данные числа и отделить три знака запятой.
Ответ: 11 ∗ 0,005 = 0,055.
Пример 3. Умножить 0,1557.. на 3.
Как решаем:
- Округлить бесконечную дробь: 0,1557..≈ 0,156
- Полученное число умножить на 3: 0,156 ∗ 3 ≈ 0468.
Ответ: 0,1557.. ∗ 3 ≈ 0468..
Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, нужно просто перенести запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе. Лишние нули слева можно отбросить. А если цифр не хватает — дописываем нули.
Примеры:
- 1,15 ∗ 10 = 11,5;
- 22,345 ∗ 100 = 2 234,5;
- 8,99 ∗ 1 000 = 8 990;
- 0,54678 ∗ 10 000 = 5467,8;
- 0,07 ∗ 1 000 = 70;
- 0,00033 ∗ 100 = 0,033.
Как умножать десятичные дроби на 0,1, 0,01, 0,001
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, нужно перенести запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей. Ноль целых — тоже считаем. Если цифр не хватает — просто дописываем дополнительный ноль — один или несколько — после запятой.
Примеры:
- 34,9 ∗ 0,1 = 3,49;
- 1,8 ∗ 0,1 = 0,18;
- 145,7 ∗ 0,01 = 1,457;
- 9655,1 ∗ 0,001 = 9,6551;
- 11,9 ∗ 0,0001 = 0,00119.
Как умножить десятичную дробь на обыкновенную
Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.
Пример 1. Умножить 3/5 на 0,9.
Как решаем:
Записать 0,9 в виде обыкновенной дроби:
0,9 = 9/10.- Умножить числа по правилам
3/5 ∗ 9/10 = 27/50 = 0,54.
Ответ: 3/5 ∗ 0,9 = 0,54.
Пример 2. Умножить 0,18 на 3 1/4.
Как решаем:
Записать 3 1/4 в виде десятичной дроби:
3 1/4 = 3,25.Произвести умножение в столбик или при помощи калькулятора:
0,18 ∗ 3,25 = 0,585.
Ответ: 0,18 ∗ 3 1/4 = 0,585.
А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:
Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Деление десятичных дробей: правила, примеры
Основы деления десятичных дробей
Десятичные дроби — это дроби, у которых в знаменателе стоят числа, кратные 10. То есть 10, 100, 1000 и так далее.
Как делить десятичные дроби друг на друга — процесс представляет собой деление обыкновенных дробей. То есть для выполнения действий деления мы переписываем десятичную дробь в стандартный вид.
Рассмотрим пример: разделите 1,2 на 0,6
Как решаем Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных. У нас получится: Таким образом, нам надо разделить |
Ответ: 1,2÷0,6 = 2
Если для деления нам попадается периодические и непериодические дроби, то действуем следующим образом.
Периодические переводим в обыкновенную:
Если же встречается непериодическая десятичная дробь, то мы ее округляем до сотых и дальше делим, как обычно:
Как разделить целое число на десятичную дробь и наоборот
Здесь всё просто: приводим десятичную дробь к стандартному виду и натуральное число тоже представляем в виде дроби — само число нужно поделить на единицу.
Пример: 3,5 поделить на 55
Как решаем |
Ответ: 3,5÷55 = 0,063 (63)
Как разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком
Делить столбиком можно не только натуральные числа, но и дроби. Алгоритм мы подробно опишем здесь. Итак, как делить десятичные дроби на натуральные числа в столбик:
1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).
2. Выполнить деление по стандартной схеме. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.
Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться — получится периодическая дробь.
Пример: Разделить столбиком 49,14÷3
Как решаем 1. Делим столбиком, предварительно дописав два нуля к десятичной дроби. 2. После того, как мы поделили целую часть дроби и получили 16, отделяем ответ запятой (16) и продолжаем деление уже для дробной части В конце у нас нулевой остаток, значит деление завершено. |
Ответ: 49,14÷3 = 16,38
Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую
Все просто: умножаем делимое и делитель на 10, 100 и так далее — так, чтобы делитель превратился в натуральное число. А потом решаем также, как в примере выше:
1. Переносим запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, дописываем в него нули с правой стороны.
2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.
Пример: поделить столбиком 63,42 на 2,1
Как решаем Переносим запятую на один знак вправо, чтобы делитель (2,1) стало натуральным числом. Запятую переносим в обоих числах — у нас получается 634,2÷21. Затем производим деление |
Ответ: 63,42÷2,1 = 30,2
Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и другие
Как вы уже заметили, есть основное правило деления десятичных дробей: по нему деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1/1000, 1/100, 1/10 и другие.
Чтобы выполнить действие, нужно просто перенести запятую влево на нужное количество цифр (равное нулям). Если значений в числе не хватит для переноса — дописываем нужное количество нулей:
Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и другие
Правило из предыдущего пункта поможет нам без труда разделить дроби на указанные значения. Переводим эти числа в стандартные дроби и затем при делении действие будет аналогично умножению на 1000, 100, 10 (так как дробь, на которую делим переворачивается).
Чтобы найти ответ в подобных задачах, мы переносим запятую на одну, две, три цифры вправо (в зависимости от числа, на которое делим) и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.
Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот
Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями. Вот как поступим со смешанным числом: записываем его в виде неправильной дроби, десятичную — в виде обычной дроби и делим по уже стандартной схеме.
В детской онлайн-школе Skysmart ученики решают такие задачки на интерактивной платформе. Внутри: автоматическая проверка, тысячи интересных задач и головоломок, онлайн-доска, на которой можно чертить и рисовать и поддержка чутких учителей. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок — мы покажем, как все проходит и вдохновим ребенка на дружбу с математикой.{n}}\), с учетом, что \( n\) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – \( n\to +\infty \)
Таким образом:
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр. |
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как \( \displaystyle \frac{1}{17}\).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число \( \pi \) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что \( \pi =3,14\), но это далеко не так. Число \( \pi \) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа \( \pi \). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа \( \pi \) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
\( \pi =3,1415926535\text{ }8979323846\text{ }2643383279\text{ }5028841971\) |
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь \( \displaystyle \frac{1}{3}\). Что у тебя получилось?
\( \displaystyle \frac{1}{3}=0,333333333….\)
Чтобы не повторять число \( 3\) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. |
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
\( \displaystyle \frac{1}{3}=0,\underbrace{3}_{период}33333333….=0,\left( 3 \right)\)
\( \displaystyle \frac{1}{7}=0,\underbrace{142857}_{{период}}\underbrace{142857}_{период}142…=0,\left( 142857 \right)\)
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
\( \displaystyle \frac{100}{7}=\underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,\left( 285714 \right)\).
Десятичные дроби и действия с ними
Факт 1.
\(\bullet\) Если \(\dfrac ab\) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) среди простых делителей имеет только делители \(2\) и \(5\).5\cdot 5\), то есть \(\dfrac3{160}=0,01875\). Для того, чтобы перевести рациональную (обыкновенную) дробь в десятичную, нужно разделить в столбик ее числитель на знаменатель. Если предварительно не убедиться, что данную дробь действительно можно перевести в конечную десятичную, то делить в столбик можно до бесконечности 🙂 \(\bullet\) Любую конечную десятичную дробь можно легко привести в рациональный вид. Например, \(0,63\) равно \(\dfrac{63}{100}\); \(1,102\) равно \(\dfrac{1102}{1000}\); \(0,0003\) равно \(\dfrac3{10000}\). Таким образом, действует следующее правило: в числителе дроби мы записываем то число, которое у нас получается при отбрасывании запятой и “лишних” нулей, находящихся слева; в знаменателе мы записываем \(10\), если в дроби был 1 знак после запятой, \(100\), если в дроби было 2 знака после запятой, \(1000\), если в дроби было 3 знака после запятой и т.д.
Факт 2.
\(\bullet\) Сложение или вычитание десятичных дробей удобно осуществлять столбиком. Для этого необходимо записать одну дробь под другой так, чтобы запятая находилась под запятой (то есть цифры, находящиеся в одних и тех же разрядах, должны находиться друг под другом). Затем, не обращая внимания на запятую, сложить два числа привычным для нас алгоритмом сложения в столбик. После этого нужно перенести запятую в результат, руководствуясь тем же правилом “запятая под запятой”.
Пример: сумма дробей \(1,42\) и \(7,103\) равна \(8,523\)
\(\bullet\) Для того, чтобы умножить две десятичные дроби, нужно отбросить их запятые, полученные целые числа умножить привычным способом и в найденном результате запятой отделить столько знаков, сколько их суммарно было в обеих дробях.
Пример: чтобы умножить \(1,2\) на \(0,03\), умножим \(12\) на \(3\) (получим \(36\)), а затем в числе \(36\) отделим запятой 3 знака (так как в первой дроби один знак после запятой, во второй – два). Получим \(0,036\).
\(\bullet\) Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, нужно в обеих дробях перенести запятую вправо на одно и то же количество знаков так, чтобы получить два целых числа. Затем выполнить деление одного числа на другое привычным способом.
Пример: чтобы разделить \(30,5\) на \(1,02\), нужно разделить \(3050\) на \(102\) (запятая была перенесена вправо на 2 знака).
\(\bullet\) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно передвинуть запятую на 1 знак вправо; при умножении на 100 нужно передвинуть запятую на 2 знака вправо; при умножении на 1000 – на 3 знака и т.д.
Если в задаче нужно сложить, умножить или разделить дроби разного вида: десятичные и рациональные, то часто бывает удобно привести все дроби к одному и тому же виду, то есть работать либо только с рациональными дробями, либо только с десятичными.
Пример: найти значение выражения \[\dfrac{0,4\cdot (1-0,91)}{2-\frac14\cdot 0,8}\] Вспомним, что в первую очередь мы выполняем действие в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Вычислим числитель. Так как в первую очередь выполняется действие в скобках, то вычислим \(1-0,91=1,00-0,91=0,09\). Второе действие – это умножение \(0,4\cdot 0,09\). Для этого умножим \(4\) на \(9\), получим \(36\), и запятой в числе \(36\) отделим 3 знака: получим \(0,036=\frac{36}{1000}\).
Вычислим знаменатель. Так как в первую очередь выполняется умножение, то найдем \(\frac14\cdot 0,8\). Для этого переведем \(0,8\) в рациональную дробь: \(0,8=\frac8{10}\) и сократим: \(\frac8{10}=\frac45\). Следовательно, \(\frac14\cdot
\frac45=\frac{1\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac15\). Второе действие – вычитание \(2-\frac15\). Для этого запишем \(2\) как \(\frac21=\frac{10}5\). Следовательно, \(\frac{10}5-\frac15=\frac{10-1}5=\frac95\).
Найдем значение дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель, то есть найти \(\frac{36}{1000}:\frac95\). Получим: \[\dfrac{36}{1000}:\dfrac95=\dfrac{36}{1000}\cdot \dfrac59=
\dfrac{36\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 9\cdot 5}{1000\cdot
9}=\dfrac{4\cdot 1}{200}=\dfrac1{50}=0,02\] Таким образом, ответ: \(0,02\).
Факт 3.
Округление десятичных дробей.
При округлении десятичных дробей до какого-то разряда важно помнить:
\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\leqslant 4\), то округляем в меньшую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, оставляем неизменной).
Пример: число \(0,8\underline94\) при округлении до сотых дает \(0,8\underline{9}\).
\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\geqslant 5\), то округляем в большую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, увеличиваем на \(1\)).
Пример: число \(1,45\underline{7}9\) при округлении до тысячных дает \(1,45\underline{8}\).
Действия с десятичными дробями.
Фарафонова Наталия Игоревна
После прохождения темы «Действия с десятичными дробями» для отработки навыка счета и проверки усвоения материала можно провести индивидуальную работу с учащимися по карточкам. Каждый учащийся должен без ошибок выполнить задания по всем действиям. По каждому действию представлено много вариантов, это дает возможность каждому учащемуся несколько раз решить задание по каждому действию с десятичными дробями и добиться безошибочного результата или выполнить задание с минимальным количеством ошибок. Так как каждый учащийся выполняет индивидуальное задание, учитель имеет возможность, по мере представления ему выполненных заданий, с каждым учеником обсудить их персонально. Если ученик допустил ошибки, то учитель исправляет их, и предлагает сделать задание из другого варианта. Так, до тех пор, пока учащийся не выполнит все задание или его большую часть без ошибок. Карточки лучше делать на цветной бумаге.
На последнем этапе работы, можно предложить решить пример, содержащий несколько действий.
За каждый безошибочно выполненный вариант, независимо от того, с какой попытки было верно выполнено задание, учащимся можно поставить отличную отметку, можно выставить среднюю оценку, после выполнения всей работы, на усмотрение учителя.
Сложение десятичных дробей.
1 вариант
7,468 + 2,85
9,6 + 0,837
38,64 + 8,4
3,9 + 26,117
2 вариант
19,45 + 34,8
4,9 + 0,716
75,86 + 4,2
5,6 + 44,408
3 вариант
24,38 + 7,9
6,5 + 0,952
48,59 + 1,8
35,906 + 2,8
4 вариант
7,6 + 319,75
888,99 + 4,5
64,15 + 18,9
4,5 + 0,738
5 вариант
7,62 + 8,9
25,38 + 0,09
12,842 + 8,6
412 + 78,83
6 вариант
70,7 + 3,8645
3,65 + 0,89
61,22 + 31.719
12,842 + 8,6
Ответы: 1 вариант: 10,318; 10,437; 47,04; 30,017;
2 вариант: 54,25; 5,616; 80,06; 50,008;
3 вариант: 32,28; 7,452; 50,19; 38,706;
4 вариант: 327,35; 893,49; 83,05; 5,238;
5 вариант: 16,52; 25,47; 21,442; 490,83;
6 вариант: 74,5645; 4,54; 92,939; 21,442;
Вычитание десятичных дробей.
1 вариант
26,38 – 9,69
41,12 – 8,6
5,2 – 3,445
7 – 0,346
2 вариант
47,62 – 8,78
54,06 – 9,1
7,1 – 6,346
3 — 1,551
3 вариант
50,41 – 9,62
72,03 – 6,3
9,2 – 5,453
4 – 2,662
4 вариант
60,01 – 8,364
123,61 – 69,8
8,7 – 4,915
10 – 3,817
5 вариант
6,52 – 3,8
7,41 – 0,758
67,351 – 9,7
22 – 0,618
6 вариант
4,5 – 0,496
61,3 – 20,3268
24,7 – 15,276
50 – 2,38
Ответы: 1 вариант: 16,69; 32,52; 1,755; 6,654;
2 вариант: 38,84; 44,96; 0,754; 1,449;
3 вариант: 40,79; 65,73; 3,747; 1,338;
4 вариант: 51,646; 53,81; 3,785; 6,183;
5 вариант: 2,72; 6,652; 57,651; 21,382;
6 вариант: 4,004; 40,9732; 9,424; 47,62;
Умножение десятичных дробей.
1 вариант
7,4 · 3,5
20,2 · 3,04
0,68 · 0,65
2,5 · 840
2 вариант
2,8 · 9,7
6,05 · 7,08
0,024 · 0,35
560 · 3,4
3 вариант
6,8 · 5,9
6,06 · 8,05
0,65 · 0,014
720 · 4,6
4 вариант
34,7 · 8,4
9,06 · 7,08
0,038 · 0,29
3,6 · 540
5 вариант
62,4 · 2,5
0,038 · 9
1,8 · 0,009
4,125 · 0,16
6 вариант
0,28 · 45
20,6 · 30,5
2,3 · 0,0024
0,0012 · 0,73
7 вариант
68 · 0,15
0,08 · 0,012
1,4 · 1,04
0,32 · 2,125
8 вариант
4,125 · 0,16
0,0012 · 0,73
1,4 · 1,04
720 · 4,6
Ответы: 1 вариант: 25,9; 61,408; 0,442; 2100;
2 вариант: 27,16; 42,834; 0,0084; 1904;
3 вариант: 40,12; 48,783; 0,0091; 3312;
4 вариант: 291,48; 64,1448; 0,01102; 1944;
5 вариант: 156; 0,342; 0,0162; 0,66;
6 вариант: 12,6; 628,3; 0,00552; 0,000876;
7 вариант: 10,2; 0,00096; 1,456; 0,68;
8 вариант: 0,66; 0,000876; 1,456; 3312;
Деление десятичной дроби на натуральное число.
1 вариант
62,5 : 25
0,5 : 25
9,6 : 12
1,08 : 8
2 вариант
0,28 : 7
0,2 : 4
16,9 : 13
22,5 : 15
3 вариант
0,75 : 15
0,7 : 35
1,6 : 8
0,72 : 6
4 вариант
2,4 : 6
1,5 : 75
0,12 : 4
1,69 : 13
5 вариант
3,5 : 175
1,8 : 24
10,125 : 9
0,48 : 16
6 вариант
0,35 : 7
1,2 : 3
0,2 : 5
7,2 : 144
7 вариант
151,2 : 63
4,8 : 32
0,7 : 25
2,3 : 40
8 вариант
397,8 : 78
5,2 : 65
0,9 : 750
3,4 : 80
9 вариант
478,8 : 84
7,3 : 4
0,6 : 750
5,7 : 80
10 вариант
699,2 : 92
1,8 : 144
0,7 : 875
6,3 : 24
Ответы: 1 вариант: 2,5; 0,02; 0,8; 0,135;
2 вариант: 0,04; 0,05; 1,3; 1,5;
3 вариант: 0,05; 0,02; 0,2; 0,12;
4 вариант: 0,4; 0,02; 0,03; 0,13;
5 вариант: 0,02; 0,075; 1,125; 0,03;
6 вариант: 0,05; 0,4; 0,04; 0,05;
7 вариант: 2,4; 0,15; 0,28; 0,0575;
8 вариант: 5,1; 0,08; 0,0012; 0,0425;
9 вариант: 5,7; 1,825; 0,0008; 0,07125;
10 вариант: 7,6; 0,0125; 0,0008; 0,2625;
Деление на десятичную дробь.
1 вариант
32 : 1,25
54 : 12,5
6 : 125
2 вариант
50,02 : 6,1
34,2 : 9,5
67,6 : 6,5
3 вариант
2,8036 : 0,4
3,1 : 0,025
0,0008 : 0,16
4 вариант
4 : 32
303 : 75
687,4 : 10
1,59 : 100
5 вариант
5 : 16
336 : 35
412,5 : 10
24,3 : 100
6 вариант
41,82 : 6,8
73,44 : 3,6
7,2 : 0,045
32,89 : 4,6
Ответы: 1 вариант: 25,6; 4,32; 0,048;
2 вариант: 8,2; 3,6; 10,4;
3 вариант: 7,009; 124; 0,005;
4 вариант: 0,125; 4,04; 68,74; 0,0159;
5 вариант: 0,3125; 9,6; 41,25; 0,243;
6 вариант: 6,15; 20,4; 160; 7,15;
Совместные действия с десятичными дробями.
-
824,72 – 475 : (0,071 + 0,929) + 13,8
-
(7,351 + 12,649) ·105 – 95,48 – 4,52
-
(3,82 – 1,084 + 12,264)·(4,27 + 1,083 – 3,353) + 83
-
278 – 16,7 – (15,75 + 24,328 + 39,2)
-
57,18 ·42 – 74,1 : 13 + 21,35 : 7
-
(18,8 : 16 + 9,86 ·3) ·40 – 12,73
-
(2 – 0,25 ·0,8) : (0,16 : 0,5 – 0,02)
-
(3,625 + 0,25 + 2,75) : (28,75 + 92,25 – 15) : 0,0625
Ответы: 1) 363,52; 2) 2000; 3) 113; 4) 182,022; 5) 2398,91; 6) 1217,47; 7) 6; 8) 1.
десятичных знаков
Десятичное число ( на основе числа 10 ) содержит десятичную точку .
Во-первых, давайте рассмотрим пример:
Вот число «сорок пять и шесть десятых» , записанное в виде десятичного числа:
Десятичная точка находится между единицами и десятыми долями.
45,6 имеет 4 десятки, 5 единиц и 6 десятых, например:
А теперь давайте узнаем, как все это работает…
Значение места
Все дело в размещаемой стоимости!
Когда мы пишем числа, важна позиция (или « позиция ») каждой цифры
.
В номере 327:
- «7» находится в позиции единиц , что означает 7 единиц (что составляет 7),
- «2» находится в позиции Десятки , что означает 2 десятки (что составляет двадцать),
- , а цифра «3» находится в позиции сотен , что означает 3 сотни.
| «Триста двадцать семь» |
| При движении влево каждая позиция становится в 10 раз больше! | |
| Десятки в 10 раз больше, чем Единицы Сотни в 10 раз больше, чем Десятки |
… и …
| При движении вправо каждая позиция в 10 раз на меньше . | |
| От сот , до десятков , до единиц |
Но что, если мы продолжим прошлое? Что в 10 раз меньше Единиц? 1 10 тыс (Десятых) сто! |
| Но сначала мы должны поставить десятичную точку , , чтобы мы точно знали, где находится позиция Единиц: | ||
«триста двадцать семь и четыре десятых » , но мы обычно просто говорим «триста двадцать семь целых четыре десятых» | ||
И , что — десятичное число!
Мы можем продолжить с все меньшими и меньшими значениями, от десятых до сотых и так далее, как в этом примере:
Поиграйте сами с десятичными числами:
Большой и маленький
Итак, наша десятичная система позволяет нам записывать такие большие или маленькие числа, как мы хотим, используя десятичную точку.Цифры можно ставить слева или справа от десятичной точки, чтобы отображать значения больше единицы или меньше одного.
Десятичная точка — самая важная часть десятичного числа. Без него мы потеряны и не знаем, что означает каждая позиция.
Увеличить десятичные дроби …
См. Десятичные дроби в строке масштабируемых чисел
Общие сведения о типе данных SQL Decimal
Цель этой статьи — познакомить вас с типом данных SQL Decimal и его использованием на различных примерах.Мы также увидим, как использовать этот тип данных в SQL Server, чтобы упростить работу разработчика SQL.
Введение
Организации ежедневно имеют дело с десятичными числами, и эти десятичные значения можно увидеть повсюду в различных секторах, будь то банки, медицинская промышленность, биометрия, заправочные станции, финансовые отчеты, спорт и многое другое. Использование целых чисел (округлением десятичных чисел) определенно упрощает работу, но часто приводит к неточным выводам, особенно когда мы имеем дело с большим количеством значений и важных данных.В таких сценариях идеально использовать тип данных Sql Decimal в SQL Server для получения правильных результатов с идеальной точностью.
Для разработчиков SQL становится очень важным выбрать правильные типы данных в структуре таблицы при проектировании и моделировании баз данных SQL. Давайте продвинемся вперед и исследуем тип данных Decimal в SQL Server.
Обязательное
Тип данных SQL Decimal всегда используется в SQL Server. Вы можете использовать любую установленную версию SQL Server (начиная с 2000 года или выше), чтобы понять этот тип данных.В этой статье мы будем использовать SQL Server 2017 в демонстрационных целях. Если в вашей системе не установлена какая-либо версия и вы хотите попрактиковаться в версии 2017 года, загрузите ее отсюда.
Базовый синтаксис типа данных Decimal в SQL Server
Давайте сначала рассмотрим базовый синтаксис типа данных SQL Decimal. Обозначается это ниже:
Где,
- p обозначает точность, общее количество цифр в значении, т.е.е. по обе стороны от десятичной точки
- с обозначает Масштаб, количество цифр после десятичной точки.
По умолчанию значение p равно 18, а s равно 0, и для обоих этих значений минимальное значение равно 1, а максимальное — 38.
Короче говоря, определяя параметры в типе данных SQL Decimal, мы оцениваем, сколько цифр будет иметь столбец или переменная, а также количество цифр справа от десятичной точки.
Например, decimal (4,2) указывает, что число будет иметь 2 цифры перед десятичной точкой и 2 цифры после десятичной точки, что-то вроде этого должно быть числовым значением — ##.##.
Здесь следует отметить одну важную вещь: параметр s (Масштаб) может быть указан, только если указан p (Точность). Масштаб всегда должен быть меньше или равен точности.
Определение типа данных SQL Decimal
Давайте поработаем с очень популярной математической константой — π, иначе Пи, которая имеет значение 3,14159 (22/7 в долях). Скопируйте и вставьте приведенный ниже запрос в новое окно запроса и выполните его.
DECLARE @PiWithNoDecimal DECIMAL (6,0) = 3.14159 DECLARE @ Piupto5Decimal DECIMAL (6,5) = 3,14159 DECLARE @ Piupto1Decimal DECIMAL (3,1) = 3,14159 SELECT @PiWithNoDecimal AS PiWithNoDup9 900, @PiWithNoDecimal AS PiWithNoDup9 |
Приведенный выше набор результатов показывает, как SQL Server обрабатывает каждую комбинацию точности и масштаба как отдельный тип данных. Как и здесь, decimal (6, 0) ведет себя иначе, чем типы данных decimal (6,5) и decimal (3,1), и считаются тремя разными типами.Таким образом, мы можем настроить параметры в типе SQL Decimal для достижения желаемых результатов.
Теперь, когда мы знаем, как создать этот тип данных Decimal в SQL Server, давайте рассмотрим его на многочисленных примерах.
Использование десятичных чисел SQL в таблицах
Давайте быстро создадим новую таблицу с именем «Пациенты», в которой используется десятичный тип данных для высоты и веса столбцов. Мы вставим несколько строк, используя предложение INSERT, как показано ниже, для демонстрационных целей.
СОЗДАТЬ ТАБЛИЦУ dbo.Patients (Имя varchar (10), Пол varchar (2), Десятичное число высоты (3,2), Десятичное число веса (5,2) ) INSERT INTO ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ (‘John’, ‘M’, 6.1,80.4) ВСТАВИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ (‘Bred’, ‘M’, 5.8,73.7) ВСТАВИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ (‘Leslie’, ‘F’, 5.3 , 66.9) ВСТАВИТЬ ЦЕННОСТИ ПАЦИЕНТОВ (‘Rebecca’, ‘F’, 5.7,50.2) ВСТАВИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ (‘Shermas’, ‘M’, 6.5,190.6) |
После того, как данные будут заполнены в таблице, мы можем запросить эти данные с помощью оператора SELECT, как показано ниже. Десятичные значения можно увидеть в атрибутах роста и веса.
ВЫБРАТЬ * ИЗ dbo.PATIENTS |
Давайте разберемся, что произойдет, если мы попытаемся вставить значения, превышающие указанную точность или значения шкалы при определении столбцов Высота и Вес.Для этой демонстрации мы вставим еще 2 строки в эту таблицу (как показано ниже).
ВСТАВИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ («Наибольшие», «M», «10,9», 88,5)
ВСТАВИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ПАЦИЕНТОВ («Халк», «М», «9,9», 1000,45)
Он обнаруживает ошибку ниже, сообщающую об ошибке арифметического переполнения, и SQL Server завершил выполнение операторов.
Давайте рассмотрим корень проблемы:
- Высота в десятичной системе счисления (3, 2) означает, что значение может состоять из 3-х цифр и 2-х цифр справа от десятичной точки. В первой строке кода выше значение 10.9 (рассматриваемое как 10.90 = 4 цифры в целом) превышает указанный диапазон (3, 2) и вызывает переполнение.
- Десятичный вес (5,2) означает, что общее количество цифр не может превышать 5, и 2 цифры могут быть помещены справа от десятичной дроби.Однако значение 1000,45 во второй строке кода выше превышает указанный диапазон (5, 2), так как это означает всего 6 цифр и вызывает ошибку переполнения.
- Краткое примечание — Если вы заметили, что в приведенном выше сообщении об ошибке вместо десятичного типа данных указывается «числовой тип данных», причина в том, что десятичный и числовой типы данных одинаковы, оба являются типы данных с фиксированной точностью и могут использоваться взаимозаменяемо
Устранение ошибки
Один из самых простых способов — повысить уровень точности столбцов для хранения больших чисел.Мы можем изменить тип данных столбцов, не удаляя таблицу или столбец с помощью приведенного ниже кода.
ALTER TABLE dbo.Patients ALTER COLUMN Высота десятичной дроби (4,2) ALTER TABLE dbo.Patients ALTER COLUMN Вес десятичной дроби (6,2) |
После изменения выполните запросы Insert, чтобы вставить эти строки в таблицу.
Мы видим, что строки добавляются в таблицу.
Рекомендации по хранению с типом данных Decimal в SQL Server
Тип данных SQL Decimal требует следующих байтов хранения для указанной точности, как указано ниже Microsoft:
Прецизионный | Память (байты) |
1–9 | 5 |
10 — 19 | 9 |
20–28 | 13 |
29 — 38 | 17 |
Использование пространства для типа данных SQL Decimal основано на определении столбца, а не на размере присвоенного ему значения.Например, Десятичное (12, 4) со значением 888.888 занимает 9 байтов на диске, а десятичное (22, 2) значение 9999,99 занимает 13 байтов на диске. Вот почему этот тип данных относится к столбцам фиксированной длины.
Как разработчик SQL, я всегда стараюсь использовать тип данных SQL Decimal как десятичный (9, 2), который потребляет меньше всего памяти, 5 байт на диске и обеспечивает лучшую производительность.
Заключение
Я надеюсь, что эта статья предлагает понятный подход к использованию типа данных SQL Decimal.Всегда проверяйте, чтобы точность указанной десятичной или числовой переменной была достаточной для соответствия присвоенным ей значениям. Кроме того, мы наблюдали, как выбор правильного типа данных помогает разработчикам SQL экономить дисковое пространство.
В случае каких-либо вопросов, пожалуйста, задавайте их в разделе комментариев ниже.
Чтобы продолжить знакомство с SQL Server и используемыми в нем типами данных, я бы рекомендовал перейти по ссылкам ниже.
Гаури является специалистом по SQL Server и имеет более 6 лет опыта работы с международными международными консалтинговыми и технологическими организациями.Она очень увлечена работой над такими темами SQL Server, как База данных SQL Azure, Службы отчетов SQL Server, R, Python, Power BI, ядро базы данных и т. Д. Она имеет многолетний опыт работы с технической документацией и увлекается разработкой технологий.Она имеет большой опыт в разработке решений для данных и аналитики, а также в обеспечении их стабильности, надежности и производительности. Она также сертифицирована по SQL Server и прошла такие сертификаты, как 70-463: Внедрение хранилищ данных с Microsoft SQL Server.
Посмотреть все сообщения от Gauri Mahajan
Последние сообщения от Gauri Mahajan (посмотреть все)Сложение и вычитание десятичных чисел
Решите задачи сложения двенадцати десятичных знаков. Все задачи содержат целые числа или десятичные дроби с точностью до десятых. Студенты пишут каждую задачу вертикально и находят суммы.
С 4 по 6 классы
Этот рабочий лист содержит десяток задач на вычитание. Студенты переписывают каждую задачу по вертикали и решают. Все задачи содержат целые числа или десятичные дроби с десятичным разрядом.
4–6 классы
В этой печатной форме учащиеся решают задачи на сложение и вычитание. Каждую задачу нужно переписать по вертикали, и учащиеся должны правильно выстроить столбцы.
5-й класс
Уравновесите каждую шкалу, добавляя и вычитая основные десятичные числа.
4-6 классы
Сопоставьте фигуры с десятичными числами, затем сложите их.
С 4 по 6 классы
Эти задачи сложения десятичных дробей не были решены правильно.Объясните ошибки, которые вы видите. Затем решите, чтобы найти правильную сумму.
4-6 классы
Внимательно посмотрите на эти задачи вычитания (десятые доли) и найдите ошибки в решениях.
3–5 классы
Попрактикуйтесь в десятичных операциях, включая сложение и вычитание до десятых долей, с использованием гистограмм в этом математическом упражнении для печати.
С 4-го по 6-й классы
Используя столбчатые модели, учащиеся найдут недостающее значение, а затем напишут числовое предложение сложения и вычитания для каждого из них.
С 4-го по 6-й классы
Закрасьте правильные части каждой иллюстрации блока, чтобы показать данную десятичную дробь. Затем сложите их вместе. Включает десятые и сотые доли.
4-6 классы
На этом листе учащимся даются два десятичных дополнения для каждой задачи. Переписывают их по вертикали и решают. Все числа являются целыми числами или десятичными знаками, содержащими десятые или сотые доли.
4–6 классы
Решите десяток задач на вычитание с десятичными величинами.Задачи должны быть переписаны вертикально, чтобы учащиеся понимали систему ценностей.
С 4 по 6 классы
Этот рабочий лист содержит смесь задач на сложение и вычитание с десятичными числами. Требует от учащихся переписать каждую горизонтальную задачу в вертикальной нотации.
5 класс
Найдите пары совпадающих многоугольников. Затем добавьте десятичные числа, напечатанные внутри них.
С 4-го по 6-й классы
Заполните каждую таблицу ящиков ввода-вывода.