Решение математических примеров онлайн: Калькуляторы дробей

Написать задачу и получить решение по математике

Математика – царица наук. Её язык одинаков во всех странах и континентах, и образование ребёнка начинается, прежде всего, с изучения языка и математики. Математика в тех или иных формах изучается во всех классах общеобразовательной школы, способствуя повышению умственных способностей и развитию математических навыков ученика. Учебный процесс непосредственно связан с решением различных математических задач, которые задаются ученикам как на уроках, так и в форме домашних заданий. Если вы столкнулись с трудностями в их решении, вам помогут специальные сетевые сервисы и мобильные приложения, позволяющие решить задачу по математическим дисциплинам. Ниже мы разберём их перечень, а также поясним, как ими пользоваться.

Содержание

1. Math20 – универсальный сетевой ресурс для решения задач
2. Mateshka – поможет решить задачу с картинками
3. Math-solution  — помощь в решении математики онлайн
4. Math.semestr.ru – онлайн-калькулятор
5. Кontrolnaya-rabota. ru – решение математических задач онлайн
6. Webmath.com – англоязычный ресурс для решения математических задач
7. Quickmath.com – решить математическую задачу быстро онлайн
8. Мобильные приложения для решения математических задач
9. Заключение

Math20 – универсальный сетевой ресурс для решения задач

Сервис math20.com – универсальный сетевой ресурс для решения математических задач. Сервис позволяет решать задачи и примеры по базовой математики, алгебре, тригонометрии, статистике, линейной алгебре, химии и других точных науках. Ресурс является одним из лучших в данном плане, и может быть рекомендован всем желающим быстро решить ту или иную задачу онлайн.

Для работы с ресурсом выполните следующее:

• Перейдите на https://www.math20.com/ru/reshenie-zadach-onlain/;
• Вставьте в строку проблем имеющееся у вас задание, и нажмите на кнопку «Solve»;
• Ниже просмотрите поданное системой решение.

Mateshka – поможет решить задачу с картинками

Сервис mateshka. ru представляет собой довольно универсальный решебник, позволяющий решать различные виды задач. Его функционал позволяет работать не только с отдельными примерами в полуавтоматическом режиме (как в случае предыдущего сервиса), но и загружать сфотографированные картинки с условием задачи, и получить через какое-то время готовый результат.

Для работы с сервисом выполните следующее:

1. Перейдите на http://mateshka.ru/reshenie_zadach/;
2. В изложенной форме на сайте укажите полный текст задачи. Введите её название, класс, текст задачи, сфотографируйте задачу и прикрепите её фото с помощью кнопки «Обзор»;
3. Нажмите на «Загрузить»;
   Введите условие задачи в соответствующую форму, а затем нажмите на «Загрузить»
4. Задача поступит на проверку администрации ресурса и через некоторое время станет доступна в поиске;
5. Когда она будет решена, вы увидите её на данной странице сайта.

Math-solution  — помощь в решении математики онлайн

Ресурс math-solution. ru пригодится учащимся, которые в том или ином объёме изучают математику и геометрию, и поможет в решении соответствующих задач. В основу сайта положены математические программы (калькуляторы) для решения задач онлайн. Все необходимые вычисления выполняются на сайте, представлен поэтапный вариант получения ответа.

Для работы с сервисом выполните следующее:

1. Перейдите на math-solution.ru;
2. Сверху выберите один из аккаунтов для авторизации на ресурсе;
3. Справа снизу в разделе «Список задач» выберите тип задачи, который вам необходимо решить;
4. В открывшейся форме введите условие задачи, а затем нажмите внизу на кнопку запуска решения;
5. Просмотрите полученный результат.

Math.semestr.ru – онлайн-калькулятор

Сервис https://math.semestr.ru/example.php представляет собой различные калькуляторы по направлениям, включая высшую математику, аналитическую геометрию, вычислительную математику, статистику и другие дисциплины. Для решения имеющейся у вас задачи перейдите на данный ресурс, выберите интересующий вас калькулятор, тип задачи, вбейте данные, и нажмите на «Решить».

Кontrolnaya-rabota.ru – решение математических задач онлайн

Еще одним ресурсом для решения математических задач является kontrolnaya-rabota.ru, позволяющее ввести автоматическое уравнение и получить его автоматическое решение. Интерфейс сервиса очень прост и интуитивно понятен, позволяя быстро получить нужный результат. Выполните следующее:

1. Перейдите на https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/#go;
2. Выберите тип необходимого для решения уравнения, имеющегося у вас в задаче;
3. Кликните на кнопке запуска решения.

Англоязычной альтернативой для решения различных типов математических задач является сервис webmath.com. Данный сайт генерирует ответы на определённые математические вопросы и задачи, вводимые пользователем. Ответы генерируются и отображаются в реальном времени. Помимо ответов, сервис показывает учащимся, как пройти к тому или иному ответу.

Для работы с сервисом выполните следующее:

1. Перейдите на https://www. webmath.com:443/;
2. Нажмите на стрелочку справа от «Math help item» и выберите тип нужной задачи для решения;
3. В открывшейся форме введите нужный тип задачи и просмотрите результат.

Альтернативным англоязычным ресурсом для поиска решения задач по математике является quickmath.com. Его функционал также позволяет в автоматическом режиме решать различные виды математических задач. Работа с ним не отличается от сервисов-аналогов. Перейдите на ресурс, введите в специальное поле задачу для решения, и нажмите внизу на «Solve».

Через несколько секунд вы получите результат с вариантами ответа.

Мобильные приложения для решения математических задач

Также отметим ряд специализированных математических приложений, позволяющих с помощью вашего телефона решить ту или иную задачу. Они следующие:

• «Photomath» (Андроид, iOS) – одно из ведущих мобильных, позволяющих ввести задачу и получить её решение по математике. Программа отлично пригодится для подготовки к предстоящим экзаменам по математике, она бесплатна и способна эффективно работать без Интернета. Просто запустите приложение, отсканируйте с помощью камеры телефона текст задачи, и вы получите необходимый ответ. Предоставляемое решение программа разбивает на простые шаги для лучшего понимания алгоритма ответа;

• «Mathway» (Андроид, iOS) – приложение позиционирует себя как мировой лидер среди решению различных типов математических задач. Программа быстро и эффективно решает сложные математические задачи, достаточно ввести условия задачи (или снять задачу на камеру), и вы получите ответ. Приложение удобное, имеет бесплатный характер, и охватывает множество математических дисциплин;
• «Malmath» (Андроид, iOS) – приложение для эффективного решения математических задач. Он хорошо справляется с интегралами, пределами, производными, логарифмами, уравнениями и другим. Как и в случае предыдущего приложения, программа подробно объясняет необходимые шаги по решению задачи;
• «Решение математики» — мобильный инструмент, созданный специально для решения математических задач. Хорошо понимает различные типы математических задач, справляется с полиноминальными уравнениями различных степеней, решает тригонометрические уравнения, системы уравнений и другое.

Читайте также: некоторый алгоритм из цепочки символов получает новую цепочку следующим образом.

Заключение

В статье рассмотрены сетевые сервисы и мобильные приложения, позволяющие написать условие задачи по математике и довольно быстро получить её решение. Каждый из перечисленных нами инструментов может оказаться полезным в решении вашей задачи, поскольку не только предоставляет конечное решение, но подробно описывает промежуточные шаги. Столкнувшись с трудной задачей, используйте данные сервисы и приложения, которые позволят вам быстро справиться с заданием, получив высокий оценочный бал.

‎App Store: Mathway — решатель задач

Описание

Mathway — мировой лидер среди программ для решения задач, в арсенале которого миллиарды решенных задач и которому доверяют миллионы пользователей. От элементарной алгебры до комплексных расчетов, Mathway мгновенно решает самые сложные математические задачи — просто введите условия задачи (или наведите камеру и сделайте фото!) и вы немедленно получите бесплатный ответ. Необходимы подробные, пошаговые решения? Mathway — как карманный частный репетитор, который без промедления помогает в решении домашних заданий в любом месте и в любое время.

Mathway охватывает все уровни математики, в том числе:

Начальную математику (арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, коэффициенты и многое другое)

Алгебру (линейные уравнения/неравенства, квадратные уравнения/неравенства, абсолютные уравнения/неравенства, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики и многое другое)

Тригонометрию / начало анализа (тригонометрические функции, тождества, конические сечения, векторы, матрицы, комплексные числа, последовательности и ряды и многое другое)

Математический анализ (пределы, производные, интегралы и многое другое)

Статистику (вероятность, перестановки, комбинации и многое другое)

Есть математическая задача? Обратитесь к Mathway.

«Простая в использовании и эффективная программа Mathway понравится любому, кому приходится решать математические задачи, от учеников старших классов до студентов институтов», — Yahoo! News

«Если вам нужно решить математические задачи, обратитесь к Mathway. Это приложение продемонстрирует весь процесс решения, чтобы вы могли параллельно учиться сами», — CNET

«Mathway — незаменимый инструмент в тех случаях, когда нужно решить задачу. Это приложение помогает с домашними заданиями по математике. Оно не просто выполняет за вас задания, но и обучает правильному порядку решения. Все, что нужно сделать, — это ввести уравнение и нажать на кнопку Enter», — Lifehack

Mathway предоставляет ответы на задачи совершенно бесплатно. Для пошаговых решений доступна дополнительная ежемесячная или годовая подписка. Кроме того, Mathway предлагает дополнительную подписку на онлайн-обучение для связи с преподавателем в любое время, когда требуется дополнительная помощь. Если выбран вариант премиум-подписки:

Оплата будет списана с учетной записи iTunes при подтверждении покупки

Подписка автоматически продлевается, если автоматическое продление не будет отключено минимум за 24 часа до окончания текущего периода

С учетной записи будет снята плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода подписки по тому же месячному или годовому тарифу, выбранному при ее оформлении

Подписками может управлять пользователь, а автоматическое продление можно отключить, перейдя в настройки учетной записи пользователя после покупки

Условия использования: https://www. mathway.com/terms

Политика конфиденциальности: https://www.mathway.com/privacy

5 апр. 2023 г.

Версия 5.2.4

Приложение Mathway от компании Chegg — это универсальный помощник в выполнении домашних заданий.

Уравнение слишком сложное для ввода? Сэкономьте время с помощью функции «сфотографируй и реши»! Щелкните объективом и сразу получите решение. В нашем интерактивном калькуляторе можно выбрать изучаемый предмет (теперь в списке есть и физика!), чтобы задействовать все функции, необходимые для решения уравнения.

Просто ответа недостаточно? Обновите подписку и получите неограниченный доступ к функции подробного разбора уравнений с демонстрацией поэтапного алгоритма решения.

Оценки и отзывы

Оценок: 3,3 тыс.

Супер!

Приложение лучшее из за объяснения решения! Максимум звёзд

Этот интерфейс…

Считает вроде бы правильно (лучше чем Photomath), но пользоваться приложением просто невозможно. Нет кнопок sin/cos, их надо набирать вручную «Очень удобно».
И да, если Photomath работает офлайн, то это бабуйня без интернета работать не будет

124

Пока что я смог это приложение запутать только при решении транцендентных уравнений, однако графики строит хорошо, в общем 5 звёзд просто потому что лучше я все оано ничего не нашёл))

Разработчик Mathway, LLC указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

Данные, используе­мые для отслежи­вания информации

Следующие данные могут использоваться для отслеживания информации о пользователе в приложениях и на сайтах, принадлежащих другим компаниям:

• Контактные данные
• Идентифика­торы
• Данные об использова­нии

Связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:

• Контактные данные
• Пользова­тель­ский контент
• Идентифика­торы
• Данные об использова­нии

Не связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:

• Пользова­тель­ский контент
• Данные об использова­нии

Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов.

Подробнее

Информация

Провайдер

Mathway, LLC

Размер

45,9 МБ

Категория

Образование

Возраст

4+

Copyright

© 2022 Mathway

Цена

Бесплатно

• Сайт разработчика
• Поддержка приложения
• Политика конфиденциальности

Вам может понравиться

математическая практика-Проблемы с решениями

Проблемы для 1-го класса

Счет
однозначное добавление
Однозначное вычитание

Проблемы для 2-го класса

Линия номера
Сравнение целых чисел

Дополнение
Дополнение
Дополнение
Дополнение
Дополнение
Дополнение
Дополнение
. с переносом
Словесные задачи на сложение и вычитание

Время 1
Время 2
Время 3
Чтение пиктограмм

Задачи для 3 класса

Две и трехзначная вычитание
вычитание с заимствованием

с участием умножения
умножения 1-значных чисел
Умножение на множественное количество 10 0002

Интуиция дивизии
Дигиальное разделение
Дивизион

9000 лет.

Периметр
Нахождение периметра

Задачи для 4 класса

Разрядное значение

Четырехзначное сложение с переносом
Четырехзначное вычитание с заимствованием

Умножение без переноса
Умножение с переносом
Умножение и деление со словами
Умножение 2 цифр на 2 цифры

Многозначное деление без остатка
Деление на 2 цифры

0 Многозначное деление 02 Деление с остатком

Признаки делимости

Признаки делимости
Простые числа
Составные числа

Порядок действий
Логические аргументы и дедуктивные рассуждения

Типы угла
Измерения углов
Треугольные типы
Объем с кубиками единиц

Фракции

распознавающие фракции
Фракции на идентификационной линии
на номере. числители и знаменатели
Преобразование однозначных повторяющихся десятичных дробей в дроби
Равные дроби
Равные дроби
Упрощение дробей 9
Сложение и вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями

Умножение дробей
Умножение дробей на целые числа
Деление положительных и отрицательных дробей
Разделив фракции Проблемы с словом
Разделив целые числа на фракции
делящие фракции на целые числа
Разделив положительные фракции
Умножение смешанных чисел

Десятиц

Десятиц на ночевой линии
Десятичные децималы на номере
Организации
Compringing Decimals
Comparing Comparraging Line
. десятичные числа
Понимание движения десятичной дроби
Деньги и интуиция десятичных разрядов

Округление чисел

Конвертирование фракций в десятичные децималы
преобразование десятичных пейзажей в фракции

Добавление десятичных декораций
Добавление десятичных декораций
вычитание десятичных децималов
Вычитание десятичных декораций
Умножение 9000 Diviting Devitriding Devitriding Devitriding Devitriding Devitriding Devitriding Devitriding Devitriding Deptriding Disimlying Disimlying Disimlying Disimlying Disimlying Dividing Disimlying
. Divimling Disimlying Disimlying
. Diesmling Deptriding Deptriding Deptriding Deptriding Devitriding Deptriding 9000.

Оценка с десятичными дробями

Задачи для 5 класса

Многозначное умножение
Полное деление

Запись выражений

Округление целых чисел

Неравенства на числовой прямой Словесные задачи по линейным уравнениям
Интерпретация линейных отношений

График точек

Задачи для 6-го класса

Соотношение Проблемы слов
Пропорции
Пропорции 2
Запись. числа в числовой строке
Числовая строка
Упорядочивание отрицательных чисел
Нахождение абсолютных значений

Умножение рациональных чисел
Деление рациональных чисел

Выражения с неизвестными переменными
Выражения с неизвестными переменными 2

Положительные и нулевые показатели

Одношаговое интуитивное уравнение
Одношаговое уравнение
Одношаговое уравнение с умножением переменных
Вычисление выражений с одной переменной

Точки на координатной плоскости
Отображение точек и присвоение имен квадрантам

Создание гистограмм
Чтение гистограмм
чтения стержней.

Задачи для 7 класса

Сложение отрицательных чисел
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Умножение и деление отрицательных чисел

Двухшаговые уравнения
Integer Sums

Умножение и разделение рациональных выражений

Положительные экспоненты с положительными и отрицательными основаниями

Геометрия

Агности

У углы.

Радиус, диаметр и длина окружности
Площадь круга
Заштрихованные области

Задачи для 8 класса

квадратных корней идеальных квадратов
Оценка квадратных корней
Средние задачи слов

Фракционные экспоненты — 1
Фракционные экспоненты — 2

Геометрия

Углы
Углы. правила
Параллельные прямые
Параллельные прямые
Теорема Пифагора

Задачи для 9-12 классов:

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения
Параболы
Графические параболы
Вершина параболы

Уравнения

Решение рациональных уравнений

Функции

Представления функции
Область определения функции

Область определения и область значений
Область значений функции
Обратные функции
Сдвигающие и отражающие функции
Положительные и отрицательные части функций

Наклон

Интуиция линейного графика
Наклон линии
Форма пересечения наклона
Распознавание наклона

последовательностей

арифметические последовательности — 1
Арифметические последовательности — 2
Геометрические последовательности — 1
Геометрические последовательности — 2

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ТРИОНЕСА
TRIGENENMENTERMENTERIRIC
MENTRIRIC
MENMENTIRIC
MENTIRCENMENTERMENTIRIC
MENTIRMEN
. тождества
Тригонометрия
Тригонометрия

Вероятности

Вероятности
Перестановки и комбинации
Независимая вероятность
Зависимая вероятность

Статистика

Среднее, медиана и мода
Исследование среднего и медианы
Z-показатели
Стандартное отклонение

Матрицы

Сложение и вычитание матриц
Умножение матрицы a00 на вектор Середина отрезка
Определитель матрицы 3×3
Обратная матрица 3×3
Размеры матрицы

Комплексные числа

Комплексная плоскость
Комплексные операции на плоскости
Умножение комплексных чисел
мощности комплексных чисел

Алгебра

Системы уравнений
Графические неравенства

Логарифмы
Логаритмы

Системы уравнений
Системы уравнений.

Новые определения операторов
Новые определения операторов
Положительные и нулевые показатели
Научное обозначение
Научное представление интуитивно
Разложение на множители линейных биномов
Разложение на множители разности квадратов
Разложение разности квадратов на множители
Точечная форма наклона
Многоступенчатые линейные неравенства
Одношаговые неравенства
Вычисление выражений с помощью записи функций
Основная теорема арифметики
Решение квадратичных уравнений факторизацией
Решение относительно переменной
Решения квадратных уравнений
Упрощение рациональных выражений
Упрощение радикалов
Упрощение выражений с показателями
радикальных уравнений
Квадратные углы

Геометрия

Радины по диапазонам
с аналогичными и схожими кольцами.
Углы треугольника
Формула Герона
Закон косинусов
Геометрические доказательства
Масштабирование векторов
Переводы точек и многоугольников
Графические круги
Стереометрия:
Точки, линии и плоскости

Разложение многочлена или выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения много алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. На самом деле процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, кроме этого пункта, можно выполнить без его понимания.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным произведением.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны учитывать выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования суммы или разности выражений в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
2. Фактор общих факторов.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5(2x + 1), чтобы получить 10x + 5. Обычно факторизация «отменяет» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители, удалив общие множители, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий множитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и отыщите наибольший из них. Это самый большой общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Продолжайте, поставив 3x перед скобками.

Члены в скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это обратный процесс, который мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразуется в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, то должно быть верно, что . Умножьте, чтобы увидеть, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами: «Удалили ли мы все общие факторы? Можем ли мы еще добавить факторы?»

Если бы мы удалили только множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

3(x ² + 2xy + 3xy ² ).

Умножая для проверки, мы находим, что ответ действительно равен исходному выражению. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не является полностью факторизованным.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
2. FВыражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Коэффициент 12x ³ + 6x ² + 18x.

Решение

На данный момент нет необходимости перечислять факторы каждого термина. Вы должны быть в состоянии мысленно определить наибольший общий множитель. Хорошей процедурой для подражания является продумывание элементов по отдельности. Другими словами, не пытайтесь сразу получить все общие множители, а сначала получите число, а затем каждую соответствующую букву. Например, 6 — это множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Отсюда 12x ³ + 6х ² + 18х = 6х(2х ² + х + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Спросите себя: «Каков наибольший общий делитель чисел 12, 6 и 18?»

Затем «Каков наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»

Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно рассчитали.

Снова умножьте в качестве чека.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы в отдельности.

Если выражение нельзя разложить на множители, говорят, что оно простое .

Помните, что 1 всегда является делителем любого выражения.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППИРОВКЕ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Факторные выражения, когда общий фактор включает более одного термина.
2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, относится к методу факторинга, называемому группировкой .

Во-первых, мы должны отметить, что общий фактор не обязательно должен быть одним термином. Например, в выражении 2y(x + 3) + 5(x + 3) есть два члена. Это 2y(x + 3) и 5(x + 3). В каждом из этих терминов у нас есть множитель (x + 3), состоящий из термов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более членов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы произвести факторизацию.

Решение

Во-первых, обратите внимание, что не все четыре члена в выражении имеют общий делитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем разложить первые два члена на 3, что даст 3(ax + 2y). Если мы разложим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Теперь выражение равно 3(ax + 2y) + a(ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить как (ax + 2y)(3 + a). Умножая (ax + 2y)(3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и убедитесь, что факторинг правильный.

Это пример разложения на множители путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y)(a + 2) и посмотрите, получится ли исходное выражение. Опять умножить как чек.

Иногда члены должны быть сначала переставлены, прежде чем можно будет выполнить разложение по группам.

Пример 7 Коэффициент 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего делителя, но первый и третий члены имеют, поэтому мы переставим члены так, чтобы третий член располагался после первого. Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором термины могут быть расположены.

Во всех случаях важно убедиться, что коэффициенты в скобках абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти термины. Умножить как чек.

Пример 8 Коэффициент ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что если мы разложим a из первых двух членов, мы получим a(x — y). Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2(-x + y), но разложение на множители «-2» дает -2(x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому мы действуем таким образом.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ТРЕХНОМОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Умножьте в уме два двучлена.
2. Разложите на множители трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
3. Найдите делители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет связано с разложением трехчленов на множители как произведений двух двучленов. В предыдущей главе вы научились умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух двучленов и разработать шаблон для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3)(3x — 4) = 6x ² + x — 12 обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) получен из произведения двух первых членов множители, то есть (2x)(3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) получен из произведения вторых членов факторов, то есть (+ 3)(-4).

Теперь у нас есть следующая часть шаблона:

Теперь снова взглянув на пример, мы видим, что средний член (+x) получен из суммы двух произведений (2x)(-4) и (3)(3x).

Теперь для любых двух биномов у нас есть следующие четыре произведения:

1. Первый срок за первым сроком
2. Внешние условия
3. Внутренние условия
4. Последний срок за последним сроком

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних членов и внутренних членов дают одинаковые члены, их можно объединить, и решение будет трехчленным.

Этот метод умножения двух двучленов иногда называют методом FOIL. FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last. Это упрощенный метод умножения двух двучленов, и его полезность будет видна, когда мы разложим трехчлены.

Вы должны запомнить эту схему.

Опять же, возможно, запоминание слова ФОЛЬГА поможет.

Этот образец следует не только запомнить, но и научиться переходить от задачи к ответу без каких-либо письменных шагов. Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Работая над следующими упражнениями, попытайтесь найти правильный ответ, ничего не записывая, кроме самого ответа. Чем больше вы практикуете этот процесс, тем лучше у вас будет факторинг.

Теперь, когда мы установили схему умножения двух двучленов, мы готовы разложить трехчлены на множители. Сначала мы рассмотрим разложение на множители только тех трехчленов, у которых коэффициент первого члена равен 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего делителя, мы будем использовать схему умножения для факторизации.

На самом деле мы будем работать в обратном порядке по сравнению с предыдущим упражнением.

Сначала распишите задачу в скобках.

Теперь мы хотим заполнить термины так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x)(x) = x ² .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и в то же время складывают, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих у нас будет правильный первый и последний термин.

Только последний продукт имеет средний член 11х, и правильное решение

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по очевидным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики. Произведение двух нечетных чисел нечетно. Произведение двух четных чисел четно. Произведение нечетного и четного числа равно четному. Сумма двух нечетных чисел четна. Сумма двух четных чисел четна. Сумма нечетного и четного числа нечетна. Следовательно, когда мы факторизуем такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов бинома должно быть 24, что является четным, а их сумма должна быть равна 11, что является нечетным. Таким образом, будет работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема немного другая. Мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и при этом при сложении дают — 11. Всегда нужно помнить о закономерности. Последний член получается строго путем умножения, а средний член получается, наконец, из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы сталкиваемся с отрицательным числом для третьего слагаемого, и это несколько усложняет задачу. трудный. Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, а средний член должен исходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить в терминах различия. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов не важен. по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут вам разложить трехчлены на множители:

1. Когда знак третьего члена положителен, оба знака в множителях должны быть одинаковыми, и они должны быть одинаковыми со знаком среднего члена.
2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых слагаемых был равен 1. Когда коэффициент первого слагаемого не равен 1, проблема разложения на множители значительно усложняется, поскольку число возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, вы теперь готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что есть двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один из них имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, можете попробовать каждое из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три термина:

В этом примере одна из двенадцати возможностей верна. Таким образом, метод проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «образованное угадывание», в котором мы применяем все наши знания о числах и много тренируемся в уме. В предыдущем примере мы бы сразу отбросили многие комбинации. Поскольку мы ищем 17x в качестве среднего члена, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12 и т. д., поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетно, мы знаем, что это сумма четного числа и нечетного числа. Все эти вещи помогают сократить количество возможных попыток.

Сначала найдите числа, дающие правильный первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего члена.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
3. Множители 6×2 равны x, 2x, 3x, 6x. Делители 15 равны 1, 3, 5, 15.
4. Удалите как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

Это автоматически дало бы слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Раствор

Анализ:

1. Последний член отрицательный, поэтому отличается от знаков.
2. Мы должны найти произведения, отличающиеся на 5 с большим отрицательным числом.
3. Мы исключаем произведение 4x и 6 как возможно слишком большое.
4. Попробуйте несколько комбинаций.

Помните, мысленно попробуйте различные возможные комбинации, которые являются разумными. Это процесс факторинга методом проб и ошибок. Вы станете более опытным в этом процессе благодаря практике.

(4x — 3)(x + 2): Здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принять это как решение, а поменяйте знаки так, чтобы большее произведение совпадало по знаку со средним членом.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы должны чувствовать себя намного более комфортно при разложении трехчлена на множители.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Определите и разложите на множители разности двух идеальных квадратов.
2. Определить и разложить на множители совершенный квадратный трехчлен.

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если эти особые случаи признаются, факторинг значительно упрощается.

Первый частный случай, который мы обсудим, это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух двучленов на шаблон средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется аддитивным обратным другой. Например: ( + 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивной инверсией — 3, а также -3 является аддитивной инверсией +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два двучлена умножаются, чтобы получить двучлен (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b)(a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной в факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема для факторизации и если она имеет форму , факторы будут (a — b)(a + b).

Решение

Здесь оба члена являются полными квадратами и разделены знаком минус.

Где a = 5x и b = 4.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забудьте признать, что особый случай — это именно то, что он особенный. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разность двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разлагается.

Вы также должны быть осторожны, чтобы распознать правильные квадраты. Помните, что совершенные квадратные числа — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Кроме того, совершенные квадратные показатели четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) является полным квадратом. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено по этому методу.

Другим частным случаем факторинга является трехчлен с совершенным квадратом. Заметьте, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаем этот случай, отмечая особенности. Три вещи очевидны.

1. Первый член — полный квадрат.
2. Третий член — полный квадрат.
3. Средний член равен удвоенному произведению квадратного корня из первого и третьего членов.

Для целей факторинга удобнее записать выражение как

Решение

1. 25x ² — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 5x.
2. 4 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 2.
3. 20x — удвоенное произведение квадратных корней из 25x ² и
4. 20х = 2(5х)(2).

Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен , сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.

Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

Всегда возводите бином в квадрат, чтобы убедиться, что средний член правильный.

Не частный случай совершенного квадратного трехчлена.

15 ≠ 2(2x)(3)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОРРЕКТЫ ДЛЯ ФАКТОРИНГА ПРОБ И ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите ключевое число трехчлена.
2. Используйте номер ключа, чтобы разложить трехчлен на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые упрощения метода проб и ошибок. Они необязательны по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти сокращения не всегда практичны для больших чисел. Однако они увеличат скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в этих ярлыках является поиск номер ключа . После того, как вы нашли номер ключа, его можно использовать более чем одним способом.

В факторизуемом трехчлене ключевое число есть произведение коэффициентов первого и третьего членов.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа. В этом примере (4)(-10)=-40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена ( + 3). В этом случае (+8)(-5)=-40 и (+8)+(-5)=+3.
Шаг 3 Множители ( + 8) и ( — 5) будут перекрестными произведениями в схеме умножения.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые при умножении дают произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые при умножении дают +8x. Это 4x от 4×2 и (+2) от (-10).
Разместите эти факторы на первой и последней позициях в паттерне

Это можно сделать правильно только одним способом.

Шаг 5 Забудьте номер ключа на этом этапе и вернитесь к исходной проблеме. Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых слагаемых должно давать 4×9.0531 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме х.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же коэффициенты. Наиболее важным является систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10) и (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме как (- 5).

Помните, что если трехчлен можно разложить на множители, то существует только один возможный набор множителей.

Если не удается найти делителей ключевого числа, сумма которых является коэффициентом при средних членах, то трехчлен является простым и не делит.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг путем группирования. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите число ключа (4)(-10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные в шаге 2. 8x — 5x = 3x, так что мы можем написать

Шаг 4 Факторизируйте эту задачу из шага 3 по метод группировки, изученный в разделе 8-2

Теперь это становится обычной задачей факторизации по группировке.

Следовательно,

Опять же, существует только одна возможная пара множителей, которые можно получить из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить трехчлен на множители, выполнив следующие два шага:

1. Сначала найдите общие факторы.
2. Разложите на множители оставшийся трехчлен, применяя методы, описанные в этой главе.

Итак, мы изучили все обычные методы факторизации, встречающиеся в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов. Помните, что существует две проверки правильности факторинга.

1. Будут ли множители умножаться, чтобы дать исходную задачу?
2. Все ли множители простые?

После того, как общий множитель найден, вы должны проверить, является ли полученный трехчлен факторизуемым.

Если у трехчлена есть какие-либо общие делители, обычно проще сначала разложить их на множители.

При разложении на множители рекомендуется всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, факторизовать то, что осталось.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Выражение находится в факторизованной форме, только если все выражение является указанным произведением.
• Факторинг — это процесс, который превращает сумму или разность условий в произведение факторов.
• Простое выражение нельзя разложить на множители.
• Наибольший общий делитель — это наибольший общий делитель всех терминов.
• Выражение является полностью разложенным на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
• Возможность факторизации путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более членов.
• Метод FOIL можно использовать для умножения двух двучленов.
• Особые случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов с совершенным квадратом .