Решение примеров с буквами: Алгебраический калькулятор | Microsoft Math Solver

§ Сложение и вычитание алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

Запомните!

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
   один одночлен — «а».
3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

---

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.

   Важно!

   Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p² − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p² − 36)» на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

Важно!

Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Задача №5. Кодирование в различных системах счисления, расшифровка сообщений, выбор кода.

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Кодирование – это перевод информации, представленной символами первичного алфавита, в последовательность кодов.

Декодирование (операция, обратная кодированию) – перевод кодов в набор символов первичного алфавита.

Кодирование может быть равномерное и неравномерное. При равномерном кодировании каждый символ исходного алфавита заменяется кодом одинаковой длины. При неравномерном кодировании разные символы исходного алфавита могут заменяться кодами разной длины.

Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, составленное из кодовых слов, можно декодировать единственным способом.

Равномерное кодирование всегда однозначно декодируемо.

Для неравномерных кодов существует следующее достаточное (но не необходимое) условие однозначного декодирования:

Сообщение однозначно декодируемо с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Сообщение однозначно декодируемо с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова.

 

Кодирование в различных системах счисления

Пример 1.

Для кодирования букв О, В, Д, П, А решили использовать двоичное представление

чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления). Если закодировать последовательность букв ВОДОПАД таким способом и результат записать восьмеричным кодом, то получится

1) 22162

2) 1020342

3) 2131453

4) 34017

Решение:

Представим коды указанных букв в дво­ич­ном коде, добавив незначащий нуль для одноразрядных чисел:

О	В	Д	П	А
0	1	2	3	4
00	01	10	11	100

Закодируем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВО­ДО­ПАД — 010010001110010.

Разобьём это пред­став­ле­ние на трой­ки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую тройку в восьмеричное число.

010 010 001 110 010 — 22162.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Пример 2.

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из сим­во­лов А, Б, В и Г, ис­поль­зу­ет­ся по­сим­воль­ное ко­ди­ро­ва­ние: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи пе­ре­даётся со­об­ще­ние: ВАГ­БА­А­ГВ. За­ко­ди­руй­те со­об­ще­ние дан­ным кодом. По­лу­чен­ное дво­ич­ное число пе­ре­ве­ди­те в шест­на­дца­те­рич­ный вид.

            1) D3A6

2) 62032206

3) 6A3D

4) CADBAADC

 

Решение:

За­ко­ди­ру­ем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВАГ­БА­А­ГВ — 1101001110100110. Разобьем это пред­став­ле­ние на четвёрки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую четверку в шестнадцатеричное число:

 

1101 0011 1010 0110₂ = D3A6₁₆

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Расшифровка сообщений

Пример 3.

Для 5 букв ла­тин­ско­го ал­фа­ви­та за­да­ны их дво­ич­ные коды (для не­ко­то­рых букв – из двух бит, для не­ко­то­рых – из трех). Эти коды пред­став­ле­ны в таб­ли­це:

 

a	b	c	d	e
100	110	011	01	10

Опре­де­ли­те, какой набор букв за­ко­ди­ро­ван дво­ич­ной стро­кой 1000110110110, если из­вест­но, что все буквы в по­сле­до­ва­тель­но­сти – раз­ные:

1) cbade

2) acdeb

3) acbed

4) bacde

 

Решение:

Мы видим, что усло­вия Фано и об­рат­ное усло­вие Фано не вы­пол­ня­ют­ся, зна­чит код можно рас­ко­ди­ро­вать не­од­но­знач­но.

Значит, будем перебирать варианты, пока не получим подходящее слово :

1) 100 011 01 10 110

Пер­вая буква опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но, её код 100: a.

Пусть вто­рая буква — с, тогда сле­ду­ю­щая буква — d, потом — e и b.

Такой ва­ри­ант удо­вле­тво­ряет усло­вию, зна­чит, окон­ча­тель­но по­лу­чи­ли ответ: acdeb.

 

Ответ: 2

Пример 4.

Для пе­ре­да­чи дан­ных по ка­на­лу связи ис­поль­зу­ет­ся 5-би­то­вый код. Со­об­ще­ние со­дер­жит толь­ко буквы А, Б и В, ко­то­рые ко­ди­ру­ют­ся сле­ду­ю­щи­ми ко­до­вы­ми сло­ва­ми: А — 11010, Б — 10111, В — 01101.

При пе­ре­да­че воз­мож­ны по­ме­хи. Од­на­ко не­ко­то­рые ошиб­ки можно по­пы­тать­ся ис­пра­вить. Любые два из этих трёх ко­до­вых слов от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее чем в трёх по­зи­ци­ях. По­это­му если при пе­ре­да­че слова про­изо­шла ошиб­ка не более чем в одной по­зи­ции, то можно сде­лать обос­но­ван­ное пред­по­ло­же­ние о том, какая буква пе­ре­да­ва­лась. (Го­во­рят, что «код ис­прав­ля­ет одну ошиб­ку».) На­при­мер, если по­лу­че­но ко­до­вое слово 10110, счи­та­ет­ся, что пе­ре­да­ва­лась буква Б. (От­ли­чие от ко­до­во­го слова для Б толь­ко в одной по­зи­ции, для осталь­ных ко­до­вых слов от­ли­чий боль­ше.) Если при­ня­тое ко­до­вое слово от­ли­ча­ет­ся от ко­до­вых слов для букв А, Б, В более чем в одной по­зи­ции, то счи­та­ет­ся, что про­изо­шла ошиб­ка (она обо­зна­ча­ет­ся ‘х’).

 

По­лу­че­но со­об­ще­ние 11000 11101 10001 11111. Де­ко­ди­руй­те это со­об­ще­ние — вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант.

 

1) АххБ

2) АВхБ

3) хххх

4) АВББ

 

Решение:

Де­ко­ди­ру­ем каж­дое слово со­об­ще­ния. Пер­вое слово: 11000 от­ли­ча­ет­ся от буквы А толь­ко одной по­зи­ци­ей. Вто­рое слово: 11101 от­ли­ча­ет­ся от буквы В толь­ко одной по­зи­ци­ей. Тре­тье слово: 10001 от­ли­ча­ет­ся от любой буквы более чем одной по­зи­ци­ей. Четвёртое слово: 11111 от­ли­ча­ет­ся от буквы Б толь­ко одной по­зи­ци­ей.

Таким об­ра­зом, ответ: АВхБ.

Ответ: 2

Однозначное кодирование

Пример 5.

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из букв А, Б, В, Г, ре­ши­ли ис­поль­зо­вать не­рав­но­мер­ный по длине код: A=1, Б=01, В=001. Как нужно за­ко­ди­ро­вать букву Г, чтобы длина кода была ми­ни­маль­ной и до­пус­ка­лось од­но­знач­ное раз­би­е­ние ко­ди­ро­ван­но­го со­об­ще­ния на буквы?

1) 0001

2) 000

3) 11

4) 101

 

Решение:

Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

 

Видим, что ближайший от корня дерева свободный лист (т.е. код с минимальной длиной) имеет код 000.

Ответ: 2

Пример 6.

Для ко­ди­ро­ва­ния не­ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из букв У, Ч, Е, Н, И и К, ис­поль­зу­ет­ся не­рав­но­мер­ный дво­ич­ный пре­фикс­ный код. Вот этот код: У — 000, Ч — 001, Е — 010, Н — 100, И — 011, К — 11. Можно ли со­кра­тить для одной из букв длину ко­до­во­го слова так, чтобы код по-преж­не­му остал­ся пре­фикс­ным? Коды осталь­ных букв ме­нять­ся не долж­ны.

Вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант от­ве­та.

При­ме­ча­ние. Пре­фикс­ный код — это код, в ко­то­ром ни одно ко­до­вое слово не яв­ля­ет­ся на­ча­лом дру­го­го; такие коды поз­во­ля­ют од­но­знач­но де­ко­ди­ро­вать по­лу­чен­ную дво­ич­ную по­сле­до­ва­тель­ность.

1) ко­до­вое слово для буквы Е можно со­кра­тить до 01

2) ко­до­вое слово для буквы К можно со­кра­тить до 1

3) ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10

4) это не­воз­мож­но

 

Решение:

Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

 

Легко заметить, что если букву Н перенести в вершину 10, она останется листом. Т.е. ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задача №5. Кодирование в различных системах счисления, расшифровка сообщений, выбор кода.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.04.2023

Решение словесных вопросов

МНОГО примеров!

В алгебре у нас часто возникают словесные вопросы, например:

Пример: Сэм и Алекс играют в теннис.

В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр.

Сколько игр сыграл Алекс?

Как их решить?

Хитрость заключается в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем используйте алгебру для решения.

Превращение английского языка в алгебру

Превратить английский в алгебру поможет:

• Сначала прочитайте все
• Сделайте эскиз если возможно
• Назначить букв для значений
• Найти или вычислить формул

Вы также должны записать то, что на самом деле запрашивается , чтобы вы знали, куда вы идете и когда вы прибыли!

Также ищите ключевые слова:

Когда вы видите		Подумай
добавить, итого, сумма, увеличить, больше, вместе, вместе, плюс, более		+
минус, меньше, разность, меньше, уменьшено, уменьшено		—
умножить, раз, произведение, коэффициент		×
разделить, частное, на, вне, отношение, отношение, процент, скорость		÷
увеличить или уменьшить		геометрия формулы
Скорость, скорость		расстояние формулы
Как долго, дни, часы, минуты, секунды		время

Мыслить ясно

Некоторые формулировки могут быть сложными, из-за чего трудно думать «правильно», например:

$

Пример: У Сэма на 2 доллара меньше, чем у Алекса.

Как мы запишем это в виде уравнения?

• Пусть S = доллары У Сэма есть
• Пусть A = долларов У Алекса есть

Теперь … это: S − 2 = A

или должно быть: S = A − 2

или должно быть: S = 2 − A

 

Правильный ответ: S = A − 2

( S − 2 = A — распространенная ошибка, так как вопрос пишется «Сэм… на 2 меньше… Алекс»)

Пример: на нашей улице собак вдвое больше, чем кошек. Как мы запишем это в виде уравнения?

• Пусть D = количество собак
• Пусть C = количество кошек

Теперь… это: 2D = C

или должно быть: D = 2C

Теперь хорошенько подумайте!

Правильный ответ: D = 2C

( 2D = C распространенная ошибка, так как вопрос пишется «дважды…собаки…кошки»)

Примеры

Давайте начнем с очень простого примера , чтобы мы увидели, как это делается:

Пример: прямоугольный сад размером 12 м на 5 м, какова его площадь?

 

Превратите английский в алгебру:

Эскиз:

Буквы:

• Используйте w для ширины прямоугольника: w = 1 2 м
• Использовать h для высоты прямоугольника: h = 5 м

Формула для площади прямоугольника: A = w × h

Нас спрашивают о площади.

 

Решите:

A = w × h = 12 × 5 = 60 м ²

Площадь 60 квадратных метров .

Теперь давайте попробуем пример из верхней части страницы:

Пример: Сэм и Алекс играют в теннис. В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр. Сколько игр сыграл Алексей?

 

Превратите английский в алгебру:

Буквы:

• Используйте S для того, сколько игр сыграл Сэм
• Используйте A для того, сколько игр сыграл Алекс

Мы знаем, что Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому: S = A + 4

И мы знаем, что вместе они сыграли 12 игр: S + A = 12

Нас спрашивают, сколько игр, в которые играл Алекс: A

 

Решите:

Начните с: S + A = 12

S = A + 4 , поэтому мы можем
заменить «A + 4» на S: (A + 4) + A = 12

Упростить: 2A + 4 = 12

Вычесть 4 из обеих частей: 2A = 12 − 4

Упростить: 2A = 8

Разделить обе части на 2: A = 4

Это означает, что Алекс сыграл 4 игры в теннис.

 

Проверка: Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому Сэм сыграл 8 игр. Вместе они сыграли 8 + 4 = 12 партий. Да!

Более сложный пример:

Пример: Алекс и Сэм тоже строят столы.

Вместе они делают 10 столов за 12 дней.

Алекс, работая в одиночку, может сделать 10 штук за 30 дней.

Сколько времени потребуется Сэму, работающему одному, чтобы сделать 10 столов?

 

Превратите английский в алгебру:

Буквы:

• Используйте a для скорости работы Алекса
• Использовать s для скорости работы Сэма

12 дней Алекса и Сэма — это 10 столов, поэтому: 12a + 12s = 10

30 дней одного Алекса — это тоже 10 столов: 30a = 10

Нас спрашивают, сколько времени займет Сэм сделать 10 столов.

Решите:

30a = 10 , поэтому скорость Алекса (столов в день): a = 10/30 = 1/3

Начните с: 12a + 12s = 10

Поставить «1» /3″ для a: 12(1/3) + 12s = 10

Упрощение: 4 + 12 с = 10

Вычесть 4 с обеих сторон: 12 с = 6

Разделить обе части на 12: с = 6/12

Упростить: 90 030 с = 1/2

Что означает что скорость Сэма составляет полстола в день (быстрее, чем у Алекса!)

Таким образом, 10 столов займут у Сэма всего 20 дней.

Интересно, Сэму нужно платить больше?

И еще пример «замены»:

Пример: Дженна усердно тренируется, чтобы пройти отбор на Национальные игры.

У нее регулярный еженедельный распорядок: в некоторые дни она тренируется по пять часов в день, а в остальные дни по 3 часа.

Всего она тренируется 27 часов в неделю. Сколько дней она тренируется по пять часов?

Буквы:

• Количество «5-часовых» дней: d
• Количество «3-х часовых» дней: e

Мы знаем, что в неделе семь дней, поэтому: d + e = 7

И она тренируется 27 часов в неделю, из них d 5 часов в день и e 3 часа в день: 5d + 3e = 27

Нас спрашивают, сколько дней она тренируется по 5 часов: d

 

Решите: 900 05

  д + д = 7

Итак: e = 7 − d

Подставим это в 5d + 3e = 27 5d + 3(7−d) = 27

Упростить : 5д + 21 — 3д = 27

Вычесть 21 с обеих сторон: 5d − 3d = 6

Упростить: 2d = 6

Разделение обеих сторон на 2: D = 3

Количество «5 часов» дни 3

Проверка : она тренируется в течение 5 часов 3 дня в неделю, поэтому она должна тренироваться по 3 часа в день в остальные 4 дня недели.

3 × 5 часов = 15 часов плюс 4 × 3 часа = 12 часов дает в сумме 27 часов

Несколько примеров из геометрии:

Пример: Круг имеет площадь 12 мм

² , каков его радиус?

Буквы:

• Используйте A для площади: A = 12 мм ²
• Используйте r для радиуса

И формула площади: A = π r ²

Нас спрашивают о радиусе.

Решите:

Нам нужно изменить формулу, чтобы найти площадь

Начните с: A = π r ²

Поменяйте местами стороны: π r ^{2 90 219 = А}

Разделить обе стороны на π : r ² = A / π

Извлечь квадратный корень из обеих сторон: r = √(A / π)

Теперь мы можем использовать формула: r = √(12/ π)

И получаем: r = 1,954 (на 3 знака)

Пример: куб имеет объем 125 мм

³ , какова площадь его поверхности?

Сделать быстрый набросок:

Буквы:

• Использовать V для тома
• Использовать A для Зоны
• Используйте s для длины стороны куба

Формулы:

• Объем куба: V = s ³
• Площадь поверхности куба: A = 6s ²

Нас спрашивают о площади поверхности.

Решите:

Сначала вычислите с по формуле объема:

Начните с: V = s ³

Поменять стороны местами: s ³ = V

Извлечь кубический корень из обеих сторон: s = ∛(V ) 9003 1

И получаем: с = ∛ (125 ) = 5

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности:

Начнем с: A = 6s ²

И мы получим: A = 6(5) ²

  А = 6 × 25 = 150 мм ²

Пример про Деньги:

Пример: Джоэл работает в местной пиццерии. Когда он работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычной ставки.

Одну неделю Джоэл отработал 40 часов по обычной ставке оплаты, а также отработал 12 часов сверхурочно. Если Джоэл в общей сложности заработал 660 долларов за эту неделю, какова его нормальная ставка?

 

Письма:

• Обычная ставка Джоэла: $N в час

Формулы:

• Джоэл работает 40 часов за N долларов в час = 40N долларов
• Когда Джоэл работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычной ставки = 1,25 N долларов в час
• Джоэл работает 12 часов за 1,25 н. долл. США в час = (12 × 1¼ Н) = 15 н. долл. США
• И вместе он заработал 660 долларов, так что:

$40N + $(12 × 1¼N) = $660

Нас спрашивают об обычной ставке Джоэла в $N.

 

Решите:

Начните с 40N $ + (12 × 1¼N) = 660 $

Упростите: 40N $ + 15N = 660 $

Упростите еще: $55N = $660

Разделите обе части на 55: $N = $12

Таким образом, нормальная ставка Джоэла составляет $12 в час

Чек

Обычная ставка Джоэла составляет 12 долларов в час, поэтому его ставка сверхурочных составляет 1¼ × 12 долларов в час = 15 долларов в час. Таким образом, его обычная заработная плата 40 × 12 = 480 долларов плюс оплата за сверхурочную работу 12 × 15 = 180 долларов дает нам в сумме 660

долларов.

Подробнее о деньгах, с этими двумя примерами, связанными со сложными процентами

Пример: Алекс кладет в банк 2000 долларов под сложные проценты в размере 11% годовых.

Сколько он будет стоить через 3 года?

Это формула сложных процентов:

Поэтому мы будем использовать эти буквы:

• Приведенная стоимость PV = 2000 долларов США
• Процентная ставка (в виде десятичной дроби): r = 0,11
• Количество периодов: n = 3
• Будущая стоимость (значение, которое мы хотим): FV

Нас спрашивают о будущем значении: FV

 

Решите:

Начните с: FV = PV × (1+r) ⁿ

Поместите то, что мы знаем: FV = $2000 × (1+0,11) ³

Рассчитать: FV = $2000 × 1,367631

Рассчитать: FV = $2735,26 (до ближайшего цент)

Пример: Роджер положил 1000 долларов на сберегательный счет. Начисленные проценты начислялись ежегодно по той же ставке. Через девять лет депозит Роджера вырос до 1551,33 доллара 9.0009

Какова была годовая процентная ставка по сберегательному счету?

Формула сложных процентов:

С:

• Текущая стоимость PV = $1,000
• Процентная ставка (значение, которое мы хотим): r
• Количество периодов: n = 9
• Будущая стоимость: FV = $1551,33

Нас спрашивают о процентной ставке: r

 

Решите:

Начните с: FV = PV × (1+r) ⁿ

Вставьте то, что мы знаем: 1551,33 долл. США = 1000 долл. США × (1+r) ⁹

Поменять местами: 1000 долл. США × (1+r) ^{9 9021 9 = 1551,33 доллара}

Разделите обе части на 1000. : (1+r) ⁹ = 1551,33 долл. США / 1000 долл. США

Упрощение: (1+r) ⁹ = 1,55133

Корень 9-й : 1+r = 1,55133 ^(1/9)

Рассчитать: 1+r = 1,05

Рассчитать: r = 0,05 = 5%

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 5%

Чек : 1000 долл. США × (1,05) ⁹ = 1000 долл. США × 1,55133 = 1551,33 долл. США

И пример вопроса о соотношении:

Пример: В начале года соотношение мальчиков и девочек в классе 2 : 1

Но сейчас, спустя полгода, из класса ушли четыре мальчика и две новые девочки. Соотношение мальчиков и девочек теперь 4 : 3

Сколько сейчас всего учеников?

Письма:

• Количество мальчиков сейчас: b
• Количество девушек сейчас: г

Коэффициент текущей ликвидности 4 : 3

b g = 4 3

Которые можно преобразовать в 3b = 4g

В начале года было (б + 4) мальчиков и (г — 2) девочек, а соотношение было 2 : 1

б + 4 г — 2 = 2 1

Которое можно преобразовать в b + 4 = 2(g − 2)

Нас спрашивают, сколько всего учеников сейчас: b + g 9003 1

Решить :

Начать с: b + 4 = 2(g − 2)

Упростить: b + 4 = 2g − 4

Вычесть 4 из обе стороны: б = 2г — 8

Умножаем обе части на 3 (получаем 3b): 3b = 6g — 24

Запомним 3b = 4g : 4g = 6g — 24

Вычесть 9003 0 6g с обеих сторон : −2g = − 24

Разделите обе части на −2: г = 12

Есть 12 девочек !

И 3b = 4g , поэтому b = 4g/3 = 4 × 12/3 = 16 , значит, 16 мальчиков

Итак, теперь в классе 12 девочек и 16 мальчиков, что составляет Всего 28 студентов .

Чек

Сейчас 16 мальчиков и 12 девочек, поэтому соотношение мальчиков и девочек составляет 16 : 12 = 4 : 3
В начале года было 20 мальчиков и 10 девочек, поэтому соотношение было 20 : 10 = 2 : 1

А теперь немного квадратных уравнений:

Пример: Произведение двух последовательных четных целых чисел равно 168. Что это за целые числа?

Последовательный означает один за другим. А их даже , поэтому они могут быть 2 и 4, 4 и 6 и т. д.

Мы назовем меньшее целое число n , поэтому большее целое число должно быть n+2

И нам говорят, что произведение ( то, что мы получаем после умножения) равно 168, поэтому мы знаем:

n(n + 2) = 168

Нас просят ввести целые числа

Решите:

Начните с: n(n + 2) = 168

Развернуть: n ² + 2n = 168

Вычесть 168 с обеих сторон: n ² + 2n − 168 = 0

Это квадратное уравнение, и есть много способов его решения. Используя Решатель квадратных уравнений, мы получаем -14 и 12.

Проверка -14: -14(-14 + 2) = (-14)×(-12) = 168 ДА

Проверка 12: 12( 12 + 2) = 12×14 = 168 ДА

Итак, есть два решения: −14 и −12 — одно, 12 и 14 — другое.

 

Примечание: мы могли бы также попробовать «угадать и проверить»:

• Мы могли бы попробовать, скажем, n=10: 10(12) = 120 НЕТ (слишком маленький)
• Далее мы можем попробовать n=12: 12(14) = 168 ДА

Но если мы не вспомним, что умножение двух отрицательных чисел дает положительное, мы можем упустить из виду другое решение (−14)×(−12).

А:

Пример: Вы архитектор. Ваш клиент хочет, чтобы комната была в два раза длиннее, чем ее ширина. Они также хотят веранду шириной 3 метра вдоль длинной стороны.

У вашего клиента есть 56 квадратных метров красивой мраморной плитки, чтобы покрыть всю площадь.

Какой длины должна быть комната?

Давайте сначала сделаем эскиз, чтобы все получилось правильно!:

Буквы:

• длина комнаты: L
• ширина комнаты: Ш
• Общая площадь включая веранду: А

Мы знаем:

• ширина комнаты равна половине ее длины: Ш = ½Д
• общая площадь равна (ширине комнаты + 3), умноженной на длину: А = (Ш+3) × Д = 56

Нас спрашивают о длине комнаты: L

Решите:

Начните с: (W + 3) × L = 56

Подставьте W = ½L : (½ Л+3) × L = 56

Упростить: ½L ² + 3L = 56

Умножить все члены на 2: L ² + 6L = 11 2

Вычесть 112 с обеих сторон : л ² + 6L − 112 = 0

Это квадратное уравнение , есть много способов его решить, на этот раз давайте воспользуемся факторингом:

Начнем с: L ² + 6L − 112 = 0

Два числа, которые умножаются, чтобы дать ac=-112,
и сложите, чтобы получить b = 6, 14 и -8: L ² + 14L — 8L — 112 = 0

Группа: L(L +14) — 8(L + 14) = 0

Группа : (L − 8)(L + 14) = 0

Итак, L = 8 или −14

У квадратного уравнения есть два решения, но возможно только одно из них, так как длина комнаты не может быть отрицательной!

Итак, длина комнаты 8 м

Чек

L = 8, поэтому W = ½L = 4

Итак, площадь прямоугольника = (W+3) × L = 7 × 8 = 56

Вот и мы. ..

… Я надеюсь, что эти примеры помогут вам понять, как обращаться со словесными вопросами. Теперь как насчет практики?

 

Решение буквенных уравнений: обзор и примеры

Смотри, ты идешь! Теперь вы научились решать одношаговые уравнения, двухшаговые уравнения и многошаговые уравнения.

Теперь пришло время обсудить решение буквальных уравнений .

На этом уроке мы дадим определение буквенным уравнениям, рассмотрим примеры буквенных уравнений, а также научимся решать буквальные уравнения. Давайте буквально взволнованы, чтобы начать!

Что мы рассматриваем

Что такое буквальное уравнение?

Напомним из нашего предыдущего исследования, что уравнение представляет собой математическое предложение, в котором используется знак равенства = , чтобы показать, что два выражения равны. В отличие от других уравнений, с которыми вы уже работали, буквенные уравнения состоят в основном из букв и переменных.

Многие буквальные уравнения, с которыми вы работали в своей жизни, были формулами . Хотя эти уравнения будут выглядеть иначе, чем наши обычные уравнения, они по-прежнему подчиняются тем же правилам решения.

Вернуться к оглавлению

Примеры буквенных уравнений

Хотя идея уравнений, состоящих в основном из букв, может показаться чуждой, вы много раз использовали буквальные уравнения в своей жизни. Вот несколько примеров буквенных уравнений, с которыми вы уже работали в своей жизни:

Площадь прямоугольника

A = b \cdot h 

Длина окружности

9 0431 С = \pi \cdot D

Формула простых процентов

I = p \cdot r \cdot t

Каждая буква (или переменная) в буквальном уравнении имеет особое значение и изменяется от задачи к задаче.

Вернуться к оглавлению

Как решать буквенные уравнения

Решение буквенных уравнений следует тем же правилам, что и решение одношагового или двухэтапного уравнения. Идея «решения» буквального уравнения, по сути, означает, что мы переставляем буквы (или переменные), чтобы изолировать новую переменную. Буквальное уравнение «решено», когда интересующая переменная находится одна на одной стороне уравнения.

Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !

Подобно решению уравнений, мы будем использовать обратные операции, чтобы изолировать переменную саму по себе. Вот примеры обратных операций:

\text{Сложение} \leftrightarrow \text{Вычитание}

\text{Умножение} \leftrightarrow \text{Деление}

Вот несколько примеров решения буквенных уравнений:

Пример 1

Найдите h в следующем буквальном уравнении:

  А = b \cdot h

Помните эту формулу? Как сказано выше, это площадь прямоугольника. Как отмечалось ранее, в буквенных уравнениях в основном используются буквы и переменные. Если бы это было простое уравнение, такое как 10 = 2x, мы бы просто разделили обе части на 2, чтобы получить мой окончательный ответ.

При «решении» буквенных уравнений мы следуем тем же правилам, что и простые уравнения. Следовательно, чтобы найти h в этом уравнении, нам нужно выделить его отдельно. Поэтому мы разделим обе части на b .

\dfrac{A}{b} = \dfrac{b \cdot h}{b}

Это изолирует h , что даст нам ответ: 

h = \dfrac{A}{b}

Пример 2: 

Хотя формулы являются распространенным примером буквенных уравнений, не все буквальные уравнения являются формулами. Мы также можем изменить и «решить» буквальное уравнение для любой переменной. Например: 

Найдите m в следующем уравнении: 

x = m + n	Исходное уравнение
x \textcolor{red}{- n} = m + n \textcolor{red}{- n}	Вычесть n с обеих сторон
x — n = m	m теперь изолировано
m = x — n

Несмотря на то, что в уравнении не было чисел, мы «решили» буквальное уравнение для m .

Вернуться к оглавлению

Многошаговые буквенные уравнения

Пример 1

Не все буквальные уравнения решаются только за один шаг. Вот пример использования нескольких шагов для решения буквенных уравнений. 92}

Теперь у нас есть r, изолированный сам по себе, что дает нам новое буквальное уравнение:

r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}

Пример 2

Вот пример буквального уравнения, которое не является формулой, но которое мы можем решить для переменной.

Найдите x в следующем уравнении:

4(x + y) = P

Есть два способа решить эту проблему. Первый метод состоит в том, чтобы рассматривать его как уравнение и распределять 4 , а затем решать:

4x + 4y = Р

Затем мы можем вычесть 4y с каждой стороны:

4x + 4y \textcolor{red}{- 4y} = P \textcolor{red}{ — 4y}

Затем нам нужно разделить каждую сторону на 4 :

\dfrac{4x}{4} = \dfrac{P — 4y}{4}

Наконец, нам нужно упростить наше уравнение:

x = \dfrac{P}{4} — \dfrac{4y}{4}

х = \dfrac{P}{4} — у

Теперь мы, наконец, нашли x в буквальном уравнении. Давайте посмотрим, как можно решить уравнение, не упрощая в конце.

В другом методе мы можем просто разделить на 4 в начале, чтобы избежать использования свойства распределения. Например: 

\dfrac{4(x + y)}{4} = \dfrac{P}{4}

Тогда нам просто нужно вычесть y с каждой стороны:

x + y \textcolor{red}{- y} = \dfrac{P}{4} \textcolor{red}{ — y}

Таким образом, мы получаем:

x = \dfrac{P}{4}- y

Обратите внимание, что уравнение уже упрощено, и никаких других шагов не требуется.

Вернуться к оглавлению

Вот короткое видео, демонстрирующее решение буквенных уравнений:

Буквенные уравнения с дробями

Давайте поработаем над некоторыми примерами буквальных уравнений с дробями!

Ознакомьтесь с лицензиями школы Альберта !

Пример 1

Многие буквенные уравнения и формулы в той или иной степени содержат дроби. Например, вот формула объема сферы:

93} Кубический корень с обеих сторон r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}

Теперь, когда r изолировано, мы успешно нашли r .

Пример 2

Что произойдет, если мы просто захотим изменить уравнение для другой переменной?

Например, решите следующее уравнение для x :

y = \dfrac{x}{4} — \dfrac{1}{8}

Обратите внимание, что в уравнении две переменные, и наша конечная цель по-прежнему состоит в том, чтобы изолировать x . Помните, мы можем убрать все дроби за один ход, умножив все члены на 9.0431 Наименьший общий знаменатель .

В этом буквальном уравнении наименьший общий знаменатель равен 8 . Следовательно, мы умножим каждое слагаемое на 8.

8 \cdot y = 8 \cdot \dfrac{x}{4} — 8 \cdot \dfrac{1}{8}

Это даст нам уравнение, в котором больше нет дробей:

8y = 2x — 1

Затем продолжайте решать, как обычное уравнение:

9 0049

8y = 2x — 1	Исходное уравнение
8y \textcolor{red}{+ 1} = 2x — 1 \textcolor{red}{+ 1}	Добавить по 1 с каждой стороны
8y + 1 = 2x	Упростить
\dfrac {8y + 1}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{2x}{\textcolor{red}{2}}	Разделите каждую сторону на 2
\dfrac{8y}{2} + \dfrac{1}{2} = x	Упростить
4y + \dfrac{1}{2} = x	Упростить

Теперь, когда мы изолировали x отдельно, мы правильно «решил» буквальное уравнение.