§ Квадратный корень из дроби
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
Скрыть меню
На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность.
Площадь круга - Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
- Точка, прямая и отрезок
- Что такое аксиома и теорема
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
- Иррациональные числа
Алгебра 11 класс
- Факториал
Если точно знаешь, что хочешь сказать, то скажешь хорошо.
на главную
Введите тему
Поддержать сайт
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
В примерах по извлечению квадратного корня из дроби требуется работать с обыкновенными дробями.
Поэтому рекомендуем перед решением примеров освежить знания по действиям с
обыкновенными дробями:
- правильные и неправильные дроби;
- сложение дробей;
- вычитание дробей;
- умножение дробей;
- деление дробей.
Свойство квадратного корня из дроби
Запомните!
Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
=
, если a ≥ 0 и
b > 0.
Как найти квадратный корень из дроби
По традиции от теории переходим к практике. Разберем пример вычисления квадратного корня из дроби.
Разбор примера
Вычислить:
1)
= …
Используем правило квадратного корня из дроби. Извлечем квадратный корень отдельно из числителя и знаменателя.
=
| √9 |
| √100 |
=
Правило извлечения квадратного корня из дроби действует и в обратную сторону.
Квадратный корень из числителя, деленный на квадратный корень из знаменателя, равен квадратному корню из всей дроби.
=
, если a ≥ 0 и b > 0.
Разбор примера
Вычислить:
1)
=
= √9 = 3
Как извлечь квадратный корень из смешанного числа
Запомните!
Чтобы извлечь квадратный корень из смешанного числа надо:
- избавиться от целой части, т.е. привести дробь к неправильному виду;
- использовать свойство квадратного корня из дроби.
Разбор примера
Вычислить:
4)
| 5 |
= …
Избавимся от целой части дроби и превратим ее в неправильную.
| 5 |
=
|
=
|
=
=
= …
Используем свойство квадратного корня из дроби.
| 5 |
=
|
=
|
=
=
=
=
= …
Для завершения примера не забудем выделить целую часть.
| 5 |
=
|
=
|
=
=
=
=
= 2
Запомните!
Нельзя складывать или вычитать подкоренные дроби между собой, объединяя их общим знаком квадратного корня.
+
≠
| + |
(не верно!)
Разбор примера
Вычислить:
4)+
= …
Перед тем как работать с дробями требуется выполнить действие извлечения квадратного корня из дробей.
+
=
= …
Вспомним, что квадратный корень из единицы равен единице ( √1 = 1 ) и используем правило сложения дробей.
+
=
+
=
+
=
=
= 1
Примеры извлечения квадратного корня из дробиРазбор примера
2) 5
− 3
= …
Вспомним, что в краткой записи между квадратным корнем и числом знак умножения «·» не пишут.
Для наглядности поставим его в пример и вычислим пример по правилу
умножения числа на дробь.
5
− 3
=
=
5
·
− 3 ·
=
=
5
·
− 3 ·
=
=
5
·
− 3 ·
= …
Вспомним правило умножения дроби на число.
5
− 3
=
=
5
·
− 3 ·
=
=
5
·
− 3 ·
=
=
5
·
− 3 ·
=
| 5 · 1 |
| 5 |
−
| 3 · 1 |
| 3 |
=
=
1 − 1 = 0
Разбор примера
Вычислить:
4)
| 20 · √18 |
| 5 · √2 |
= …
Чтобы вычислить квадратный корень, используем правило умножения дробей
и правило квадратного корня из дроби.
| 20 · √18 |
| 5 · √2 |
=
·
= 4 ·
=
=
4 · √9 =
4 · 3 = 12
Разбор примера
Вычислить:
2)
| 5 · 11 |
= …
Избавимся от целой части в смешанных числах, чтобы можно было использовать свойство квадратного корня из дроби.
| 5 · 11 |
=
=
|
=
=
| · |
=
·
=
=
·
| √289 |
| √25 |
= …
Вспомним таблицу квадратов, чтобы вычислить
√289.
| 5 · 11 |
=
=
|
=
=
| · |
=
·
=
=
·
| √289 |
| √25 |
=
·
=
| 7 · 17 |
| 3 · 5 |
=
=
= …
Выделим целую часть смешанного числа для того, чтобы дать окончательный ответ.
| 5 · 11 |
=
=
|
=
=
| · |
=
·
=
=
·
| √289 |
| √25 |
=
·
=
| 7 · 17 |
| 3 · 5 |
=
=
= 7
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
правила, методы, примеры как делить квадратные корни
Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.
Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.
Метод 1. Деление подкоренных выражений
Алгоритм действий:
Записать дробь
Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.
Пример 1144÷36, это выражение следует переписать так: 14436
Использовать один знак корня
В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.
Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.
Пример 214436. Это выражение следует записать так: 14436
Разделить подкоренные выражения
Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.
14436=4, запишем это выражение так: 14436=4
Упростить подкоренное выражение (если необходимо)
Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.
Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.
Пример 44 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:
4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.
Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители
Алгоритм действий:
Записать дробь
Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.
Пример 58÷36, переписываем так 836
Разложить на множители каждое из подкоренных выражений
Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.
836=2×2×26×6
Упростить числитель и знаменатель дроби
Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.
Пример 72266×62×2×2, из этого следует: 836=226
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)
В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.
Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.
Пример 8В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:
623×33=62×33×3=669=663
Упростить полученное выражение (если необходимо)
Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить.
Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.
26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23
Метод 3. Деление квадратных корней с множителями
Алгоритм действий:
Упростить множители
Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!
Пример 10432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.
Упростить квадратные корни
Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.
Пример 1132 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2
Умножить упрощенные множители на упрощенные корни
Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.
Пример 1223×2=223
Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)
Пример 134327.
Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.
437×77=43×77×7=42149=4217
Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем
Алгоритм действий:
Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе
Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.
Пример 1415+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.
Найти выражение, сопряженное биному
Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.
Пример 155+2и 5-2 — сопряженные биномы.
Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе
Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2
Пример 1615+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.
Из этого следует: 15+2=5-223.
Советы:
- Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
- Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
- Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
- Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
- В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.
Решение задач с корнями — SAT Mathematics
Все ресурсы SAT Mathematics
137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
SAT Mathematics Help » Экспоненты и корни » Решение задач с корнями
Упростить
При каком значении это уравнение верно?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала.
Мы получаем
. Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.
Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить
Вариант ответа и неверен.
Вариант ответа неверен, так как он не был извлечен из квадратного корня.
Сообщить об ошибке
Упростить
При каком значении это уравнение верно?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем . Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.
Мы делим на , чтобы остаться в одиночестве.
Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить Поскольку не указан в качестве варианта ответа, мы упрощаем. Наибольший квадратный корень, на который можно умножить , равен . Мы убираем радикал, чтобы получить .
Сообщить об ошибке
Упрощение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить радикал, разбив его на две части, становится , затем упрощаем, чтобы получить
. Умножаем, чтобы получить , затем делим на, чтобы получить
Сообщить об ошибке
Найти значение
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить до и далее до
Затем мы можем умножить, чтобы получить
Чтобы найти, мы сначала сократим с обеих сторон, а затем разделим на и получим
Сообщить об ошибке
Найти значение
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Для решения этой проблемы мы должны сначала вычесть с обеих сторон
, затем мы квадрат обе стороны
Добавить к обеим сторонам
Дивирование обеих сторон на
Разделение обеих сторон на
9.
Сообщить об ошибке
Найдите значение
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби
Затем прибавляем к обеим частям
Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение . Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.
Теперь мы можем разложить
Следовательно, значение равно
Не существует
Отчет о ошибке
Найдите значение
Возможные ответы:
Правильный ответ:
.
Объяснение:
Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби
Затем прибавляем к обеим сторонам
. Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение. Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.
, и теперь мы можем учитывать
Следовательно, значение IS
, не существует
,
Отчет о ошибке
Найти значение
Возможные ответы:
55 . Только и и Только Правильный ответ: и Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала вычесть квадрат с обеих сторон Сообщить об ошибке Что из следующего эквивалентно ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Если вы попытаетесь упростить выражение, данное в вопросе, вам придется нелегко… оно и так упрощено! Однако, если вы посмотрите на четыре варианта ответа, вы поймете, что большинство из них содержат корни в знаменателе. Всякий раз, когда вы видите корень в знаменателе, вы должны попытаться рационализировать этот знаменатель. Это означает, что вы будете умножать выражение на единицу, чтобы избавиться от корня. Обдумывайте каждый вариант ответа, пытаясь упростить каждый из них. Для выбора выражение уже упрощено и не совпадает. Для выбора используйте стратегию «умножить на один» умножения на тот же числитель, что и в знаменателе, чтобы рационализировать корень. Если вы это сделаете, вы умножите на , что не совпадает с . Для выбора ответа умножьте на . А так как дробь можно упростить: , что идеально совпадает. Следовательно, выбор ответа правильный. ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы хотите сократить алгебру, эта задача предлагает вам такую возможность, используя варианты ответов вместе с оценкой. Вы можете оценить, что данное выражение, , находится между и , потому что находится между (что есть ) и (что есть ). Следовательно, вы знаете, что ищете правильную дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Что ж, посмотрите на свои варианты ответов, и вы увидите, что под это описание подходит только один вариант ответа. Таким образом, даже не занимаясь математикой, вы можете полагаться на быструю оценку и знать, что вы правы. Сообщить об ошибке Если и , что такое ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Ключ к решению этой задачи — избегать ошибок при нахождении с корневым уравнением. Есть несколько разных способов найти решение : 1. Используйте этот факт и примените его к . Что означает, что . Разделите обе части на и посмотрите, что , так что . 2. Осознайте, что (обратное проектирование корня) и увидите, что , поэтому должны равняться . Как бы то ни было, вы должны затем применить это значение к выражению экспоненты во втором уравнении. Теперь у вас есть. А так как вы имеете дело с показателями степени, вам нужно будет выразить как , что означает, что теперь у вас есть: Здесь вы должны иметь дело с отрицательными показателями, правило для которых таково. Теперь у вас есть: Применяя другое правило степеней деления степеней одного и того же основания, вы можете преобразовать левую часть в: Поскольку теперь у вас есть все с основанием , вы можете выразить как раз . Это означает, что это правильный вариант ответа. Сообщить об ошибке ← Предыдущая 1 2 Следующая → Уведомление об авторских правах 137 Практические тесты
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept Содержание этой страницы: Введение Корни как степени, свойства степеней, важное свойство, произведение и частное корней Решаемые упражнения: упрощение выражений с корнями Мощность является выражением этого типа Это выражение представляет собой результат умножения по основанию , на ,
столько раз, сколько показывает показатель , b . На этой странице мы рассмотрим случаи, когда показатель степени b является дробью.
Другими словами, мы будем работать с 9n = a$$ Другими словами, n -й корень числа a есть
число b , что в степени n равно a (так, b n = a ). Число n называется степенью корня и называется корнем и корня. Рассмотрим некоторые частные случаи: Корень степени n = 2 известен как квадратный корень . Пример: Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9. $$ \sqrt{9} = 3 $$ Корень степени n = 3 известен как
кубический корень . Пример: Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени три равно -8. $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$ Важно: Нет корней с четной степенью
(2, 4, 6, 8..) отрицательных чисел
(это комплексные числа), но есть
являются корнями отрицательных чисел, если степень
нечетное число. Произведение двух корней с одинаковыми
степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных,
это, То же самое происходит с частным: Exercise 1 Show solution Exercise 2 Show solution Exercise 3 Show solution Упражнение 4 Показать решение Упражнение 5 Показать решение Exercise 6 Show solution Exercise 7 Show solution Exercise 8 Show solution Exercise 9 Упражнение 100020 Show solution Exercise 12 Show solution Exercise 13 Show solution Exercise 14 Show solution Упражнение 15 Показать решение Квадратный корень
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из дроби
Как избавиться от иррациональности
Как вынести из-под корня
Как внести под знак корня В примерах по извлечению квадратного корня из дроби требуется работать с обыкновенными дробями.
Поэтому рекомендуем перед решением примеров освежить знания по действиям с Запомните! Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. = , если a ≥ 0 и
b > 0. По традиции от теории переходим к практике. Разберем пример вычисления квадратного корня из дроби. Вычислить: 1) =
… Используем правило квадратного корня из дроби. Извлечем квадратный корень отдельно из числителя и знаменателя. = = Запомните! Правило извлечения квадратного корня из дроби действует и в обратную сторону. Квадратный корень из числителя, деленный на квадратный корень из знаменателя, равен квадратному корню из всей дроби. = , если a ≥ 0 и
b > 0. Вычислить: 1) = =
√9
=
3 Запомните! Чтобы извлечь квадратный корень из смешанного числа надо: Вычислить: 4) = … Избавимся от целой части дроби и превратим ее в неправильную. = = = Используем свойство квадратного корня из дроби. = = = = = = … Для завершения примера не забудем выделить целую часть. = = = = = =
2 Запомните! Нельзя складывать или вычитать подкоренные дроби между собой, объединяя их общим знаком квадратного корня. + ≠ (не верно!) Вычислить: 4) + = … Перед тем как работать с дробями требуется выполнить действие извлечения квадратного корня из дробей.
+ =
+ = … Вспомним, что квадратный корень из единицы равен единице (
√1 = 1
) и используем правило сложения дробей.
+ =
+ = + = =
1 2) 5 −
3 Вспомним, что в краткой записи между квадратным корнем и числом знак умножения «·» не пишут. 5 −
3 = −
3
· = −
3
·
= −
3
· = … Вспомним правило умножения дроби на число. 5 −
3 = −
3
· = −
3
·
= −
3
· = − = Вычислить: 4) = … Чтобы вычислить квадратный корень, используем правило умножения дробей
и правило квадратного корня из дроби. = · =
4
· = Вычислить: 2) = … Избавимся от целой части
в смешанных числах, чтобы можно было использовать свойство квадратного корня из дроби. = = = · = = · = … Вспомним таблицу квадратов, чтобы вычислить
√289. = = = · = = · = · = = =
… Выделим целую часть смешанного числа для того, чтобы дать окончательный ответ. = = = · = = · = · = = =
7 Квадратный корень
Квадратный корень из произведения
Квадратный корень из дроби
Как избавиться от иррациональности
Как вынести из-под корня
Как внести под знак корня Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще. Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе. Алгоритм действий: Записать дробь Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней. 144÷36, это выражение следует переписать так: 14436 Использовать один знак корня В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще. Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня. 14436. Это выражение следует записать так: 14436 Разделить подкоренные выражения Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня. 14436=4, запишем это выражение так: 14436=4 Упростить подкоренное выражение (если необходимо) Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение. Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа. 4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует: 4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2. Алгоритм действий: Записать дробь Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 8÷36, переписываем так 836 Разложить на множители каждое из подкоренных выражений Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня. 836=2×2×26×6 Упростить числитель и знаменатель дроби Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня. 2266×62×2×2, из этого следует: 836=226 Рационализировать знаменатель (избавиться от корня) В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться. В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе: 623×33=62×33×3=669=663 Упростить полученное выражение (если необходимо) Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. 26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23 Алгоритм действий: Упростить множители Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте! 432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23. Упростить квадратные корни Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие. 32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2 Умножить упрощенные множители на упрощенные корни Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень. 23×2=223 Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе) 4327. 437×77=43×77×7=42149=4217 Алгоритм действий: Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем. 15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена. Найти выражение, сопряженное биному Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы. 5+2и 5-2 — сопряженные биномы. Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2 15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223. Из этого следует: 15+2=5-223. Советы: Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р. 137 Практические тесты
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept ← Предыдущая 1 2 Следующая → SAT Mathematics Help »
Экспоненты и корни »
Решение задач с корнями Упростить При каком значении это уравнение верно? Возможные ответы: Правильный ответ: Пояснение: Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала. Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить Вариант ответа и неверен. Вариант ответа неверен, так как он не был извлечен из квадратного корня. Сообщить об ошибке Упростить При каком значении это уравнение верно? Возможные ответы: Правильный ответ: Пояснение: Чтобы найти , мы должны сначала возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем . Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну. Мы делим на , чтобы остаться в одиночестве. Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить Поскольку не указан в качестве варианта ответа, мы упрощаем. Наибольший квадратный корень, на который можно умножить , равен . Мы убираем радикал, чтобы получить . Сообщить об ошибке Упрощение: Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить радикал, разбив его на две части, становится , затем упрощаем, чтобы получить . Умножаем, чтобы получить , затем делим на, чтобы получить Сообщить об ошибке Найти значение Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить до и далее до Затем мы можем умножить, чтобы получить Чтобы найти, мы сначала сократим с обеих сторон, а затем разделим на и получим Сообщить об ошибке Найти значение Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Для решения этой проблемы мы должны сначала вычесть с обеих сторон , затем мы квадрат обе стороны Добавить к обеим сторонам Дивиден Сообщить об ошибке Найдите значение Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби Затем прибавляем к обеим частям Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение . Теперь мы можем разложить Следовательно, значение равно Не существует Отчет о ошибке Найдите значение Возможные ответы: Правильный ответ: .
Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби Затем прибавляем к обеим сторонам . Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение. Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным. И теперь мы можем учитывать , не существует , Отчет о ошибке Найти значение Возможные ответы: Возможные ответы: и и Только Правильный ответ: и Объяснение: Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала вычесть квадрат с обеих сторон Сообщить об ошибке Что из следующего эквивалентно ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Если вы попытаетесь упростить выражение, данное в вопросе, вам придется нелегко… оно и так упрощено! Однако, если вы посмотрите на четыре варианта ответа, вы поймете, что большинство из них содержат корни в знаменателе. Всякий раз, когда вы видите корень в знаменателе, вы должны попытаться рационализировать этот знаменатель. Это означает, что вы будете умножать выражение на единицу, чтобы избавиться от корня. Обдумывайте каждый вариант ответа, пытаясь упростить каждый из них. Для выбора выражение уже упрощено и не совпадает. Для выбора используйте стратегию «умножить на один» умножения на тот же числитель, что и в знаменателе, чтобы рационализировать корень. Если вы это сделаете, вы умножите на , что не совпадает с . Для выбора ответа умножьте на . А так как дробь можно упростить: , что идеально совпадает. Следовательно, выбор ответа правильный. ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы хотите сократить алгебру, эта задача предлагает вам такую возможность, используя варианты ответов вместе с оценкой. Вы можете оценить, что данное выражение, , находится между и , потому что находится между (что есть ) и (что есть ). Следовательно, вы знаете, что ищете правильную дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Что ж, посмотрите на свои варианты ответов, и вы увидите, что под это описание подходит только один вариант ответа. Таким образом, даже не занимаясь математикой, вы можете полагаться на быструю оценку и знать, что вы правы. Сообщить об ошибке Если и , что такое ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Ключ к решению этой задачи — избегать ошибок при нахождении с корневым уравнением. Есть несколько разных способов найти решение : 1. Используйте этот факт и примените его к . Что означает, что . Разделите обе части на и посмотрите, что , так что . 2. Осознайте, что (обратное проектирование корня) и увидите, что , поэтому должны равняться . Как бы то ни было, вы должны затем применить это значение к выражению экспоненты во втором уравнении. Теперь у вас есть. А так как вы имеете дело с показателями степени, вам нужно будет выразить как , что означает, что теперь у вас есть: Здесь вы должны иметь дело с отрицательными показателями, правило для которых таково. Теперь у вас есть: Применяя другое правило степеней деления степеней одного и того же основания, вы можете преобразовать левую часть в: Поскольку теперь у вас есть все с основанием , вы можете выразить как раз . Это означает, что это правильный вариант ответа. Сообщить об ошибке ← Предыдущая 1 2 Следующая → Уведомление об авторских правах 137 Практические тесты
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept Содержание этой страницы: Введение Корни как степени, свойства степеней, важное свойство, произведение и частное корней Решаемые упражнения: упрощение выражений с корнями Мощность является выражением этого типа Это выражение представляет собой результат умножения по основанию , на ,
столько раз, сколько показывает показатель , b . На этой странице мы рассмотрим случаи, когда показатель степени b является дробью.
Другими словами, мы будем работать с 9n = a$$ Другими словами, n -й корень числа a есть
число b , что в степени n равно a (так, b n = a ). Число n называется степенью корня и называется корнем и корня. Рассмотрим некоторые частные случаи: Корень степени n = 2 известен как квадратный корень . Пример: Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9. $$ \sqrt{9} = 3 $$ Корень степени n = 3 известен как
кубический корень . Пример: Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени три равно -8. $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$ Важно: Нет корней с четной степенью
(2, 4, 6, 8..) отрицательных чисел
(это комплексные числа), но есть
являются корнями отрицательных чисел, если степень
нечетное число. Произведение двух корней с одинаковыми
степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных,
это, То же самое происходит с частным: Exercise 1 Show solution Exercise 2 Show solution Exercise 3 Show solution Упражнение 4 Показать решение Упражнение 5 Показать решение Exercise 6 Show solution Exercise 7 Show solution Exercise 8 Show solution Exercise 9 Упражнение 100020 Show solution Exercise 12 Show solution Exercise 13 Show solution Exercise 14 Show solution Упражнение 15 Показать решение
Двигаемся вправо, чтобы приравнять уравнение к .
Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.
Теперь мы можем разложить
На этом этапе ваше время лучше потратить на упрощение тех, кому это нужно, чтобы увидеть, соответствуют ли эти упрощенные формы.
Таким образом, дробь, которую вы получили, затем можно преобразовать в . Все ресурсы по математике SAT
КОРНИ И ПОКАЗАТЕЛИ: РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: УПРОЩАЮЩИЕ КОРНИ: ЭЛЕМЕНТНАЯ И ВЫСШАЯ ШКОЛА
Введение
Мы читаем это как « a в степени b ».
СВОЙСТВА ПОЛНОМОЧИЙ Товар Мощность Частное Отрицательный показатель степени Обратный Инверсия инверсии Произведение и частное корней
$$ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} $$
$$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $$
Simplify the expressions with fractional exponents
Matesfacil.
Решение примеров с корнями и дробями: § Квадратный корень из дроби
Опубликовано § Квадратный корень из дроби
обыкновенными дробями:Свойство квадратного корня из дроби
Как найти квадратный корень из дроби
Разбор примера
√9 √100 
Разбор примера
Как извлечь квадратный корень из смешанного числа
Разбор примера
5 5 5 · 9 + 4 9 45 + 4 9
=
= … 5 5 · 9 + 4 9 45 + 4 9
=
5 5 · 9 + 4 9 45 + 4 9
= + Разбор примера
=Разбор примера
Для наглядности поставим его в пример и вычислим пример по правилу
умножения числа на дробь.
=
5
·
=
5
·
=
5
·
=
5
·
=
5
·
=
5
·5
· 1 5 3
· 1 3
=
1 − 1 = 0Разбор примера
20 · √18 5 · √2 
20 · √18 5 · √2
=
4 · √9 =
4 · 3 = 12Разбор примера
5
·
11 5
·
11
=
·5 · 9 + 4 9 11 · 25 + 14 25
= · √289 √25 5
·
11
=
·5 · 9 + 4 9 11 · 25 + 14 25
= · √289 √25 7 · 17 3 · 5
=
5
·
11
=
·5 · 9 + 4 9 11 · 25 + 14 25
= · √289 √25 7 · 17 3 · 5
=правила, методы, примеры как делить квадратные корни
Метод 1. Деление подкоренных выражений
Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители
Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.Метод 3. Деление квадратных корней с множителями
Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем
Реферат
от 1 дня / от 700 р. Решение задач с корнями — SAT Mathematics
Все ресурсы SAT Mathematics
Мы получаем
. Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.
Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.
Следовательно, значение IS
Двигаемся вправо, чтобы приравнять уравнение к .
Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.
Теперь мы можем разложить
На этом этапе ваше время лучше потратить на упрощение тех, кому это нужно, чтобы увидеть, соответствуют ли эти упрощенные формы.
Таким образом, дробь, которую вы получили, затем можно преобразовать в . Все ресурсы по математике SAT
КОРНИ И ПОКАЗАТЕЛИ: РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: УПРОЩАЮЩИЕ КОРНИ: ЭЛЕМЕНТНАЯ И ВЫСШАЯ ШКОЛА
Введение
Мы читаем это как « a в степени b ».
СВОЙСТВА ПОЛНОМОЧИЙ Товар Мощность Частное Отрицательный показатель степени Обратный Инверсия инверсии Произведение и частное корней
$$ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} $$
$$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $$
Simplify the expressions with fractional exponents
Matesfacil.
Leave a Reply