Опубликовано Интегрирование рациональных дробей. Примеры
В предыдущей статье мы рассмотрели правила интегрирования рациональных дробей. Ниже будут приведены примеры, которые наглядно покажут как использовать эти правила и научат использовать различные приемы для получения правильного результата.
Пример 1.
Вычислить следующие интегралы
а)
б)
в)
Решение.
а) Поскольку степень числителя меньше степени знаменателя, то подынтегральная функция — правильная дробь. Знаменатель
можно разложить на множители
таким образом дробь разлагается на сумму слагаемых первого типа (І):
Неизвестные коэффициенты находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого правую часть полученной только что неравенства сводим к общему знаменателю:
Приравниваем числители для нахождения неизвестных коэффициентов
Это равенство выполняется когда коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой. Из этого условия получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных
Решая ее находим неизвестные коэффициенты
Тогда подынтегральная функция примет вид
Интегрируя дроби после знака равенства получим
Ничего сложного в решения такого сорта примеров нет, только правильно составить и решить систему линейных уравнений для определения неизвестных.
б) Подынтегральная функция
является правильной дробью, знаменатель которого имеет действительные корни. Такая дробь разлагается на сумму простейших дробей I-го и II-го типов
Определим неизвестные коэффициенты , для этого правую часть сведем к общему знаменателю.
Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителе. Получим следующую систему линейных уравнений
Есть другой способ получения системы уравнений для определения неизвестных. Числители справа и слева должны быть равны для всех . Эта особенность несколько упрощает решение системы уравнений. Как правило, за точки в первую очередь берут корни уравнения и значение ноль . В нашем случае это были бы значение Ноль выбирают за счет простоты вычислений.
Решив полученную выше систему линейных уравнений, получим следующие значения неизвестных:
Интегрируем подынтегральные функции, учитывая найдены константы
При большом количестве неизвестных в системах линейных уравнений их вычисление очень трудоемки, в то время методика приведенная выше упрощает их вычисление.
в) Подынтегральная функция
является правильной дробью. Знаменатель содержит квадратный трехчлен и множитель. Данный дробь по правилам разлагается на сумму дробей I-го и III-го типов:
Сведя к общему знаменателю, получим:
Можем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях, но поступим иначе, чтобы научиться использовать вторую методику. Для этого подставим корень в левую и правую часть равенства, получим
Для того, чтобы избавиться от неизвестной подставим
Для нахождения неизвестной выпишем неизвестные при
Таким способом, не выписывая систем линейных уравнений и не решая их, можно достаточно быстро найти нужные константы.
Подставив найденные значения, получим интеграл
Первое слагаемое интегрируется по табличной формуле
ко второму применяем замену переменных
и сводим к сумме двух
Просуммировав полученные интегралы, окончательно получим решение
Решив несколько примеров на каждый из типов Вам станет понятнее, к какому типу возводить интегралы и который предположительно будет результат.
Поэтому практикуйте самостоятельно, совершенствуйте навыки и получайте только верные решения.
Онлайн разложение дробно рациональной функции
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3(7+3)}=\cfrac{58}{216*10}=\cfrac{29}{1080}\)
2}\)
Матрица смежности онлайнРациональные выражения Пошаговое решение математических задач
Добро пожаловать в Quickmath Solvers!- Решить
- Упростить
- Фактор
- Расширить
- График
- ГКФ
- ЛКМ
Новый Пример
Справка Учебник
Решите уравнение, неравенство или систему.
Пример: 2x-1=y,2y+3=x
Чтобы увидеть учебник, прокрутите вниз
- Математические статьи
- Упрощение выражений
Выражение, представляющее собой частное двух алгебраических выражений (со знаменателем, отличным от 0), называется дробным выражением. Наиболее распространенными дробными выражениями являются те, которые являются частными двух многочленов; они называются рациональными выражениями. Поскольку дробные выражения включают частные, важно отслеживать значения переменной, которые удовлетворяют требованию, чтобы ни один знаменатель не был равен 0. Например, x != -2 в рациональном выражении:
, потому что замена x на -2 делает знаменатель равным 0. Аналогично, в
x!=-2 и x!= -4
Ограничения на переменную находятся путем определения значения, при которых знаменатель равен нулю. Во втором приведенном выше примере для нахождения значений x, при которых (x + 2)(x + 4) = 0, необходимо использовать свойство, согласно которому ab = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 или b = 0, следующим образом.
(х+2)(х+4)=0
x+2=0 или x+4=0
x=-2 или x=-4
Точно так же, как дробь 6/8 записывается как 3/4, рациональные выражения также могут быть написано в самых низких терминах. Это делается по основному принципу.
Пример 1
Запишите каждое выражение в наименьших терминах.
Разложите числитель и знаменатель на множители, чтобы получить
По фундаментальному принципу
В исходном выражении p не может быть 0 или -4, потому что
Таким образом, этот результат действителен только для значений p, отличных от 0 и -4. Отныне мы всегда будем допускать такие ограничения при редукции рациональных выражений.
Теперь давайте посмотрим, как наш пошаговый решатель дробей решает эту задачу:
Решите аналогичную задачуВведите свою задачу
Пример 2
Коэффициент для получения
Коэффициенты
0106 2 — k и k — 2 имеют противоположные знаки.
По этой причине умножьте числитель и знаменатель на -1 следующим образом.
Так как (k-2)*(-1)=-k+2 или 2- k,
Давая
Работа альтернативным способом привела бы к эквивалентному результату
3 Наш Калькулятор дробей может решить эту и многие подобные проблемы. Если вы хотите, чтобы возникла похожая задача, нажмите кнопку «Решить похожую»:
Решить похожую задачуВведите свою собственную задачу
Внимание
Вероятно, самая распространенная ошибка в алгебре — неправильное использование фундаментального принципа для записи дроби. Проще говоря, помните, фундаментальный принцип требует наличия пары общих множителей, одного в числителе и одного в знаменателе. Например,
С другой стороны,
нельзя еще больше упростить по фундаментальному принципу, потому что числитель нельзя разложить на множители.
← Предыдущая страница
Следующая страница →
Алгебра Примеры | Рациональные выражения и уравнения
Шаг 1
Переместите все члены, не содержащие, в правую часть уравнения.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 1.1
Добавьте к обеим частям уравнения.
Шаг 1.2
Чтобы записать дробь с общим знаменателем, умножьте на .
Шаг 1.3
Объединить и .
Шаг 1.4
Приведите числители к общему знаменателю.
Шаг 1.5
Упростите числитель.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 1.5.1
Умножить на .
Шаг 1.5.2
Добавить и .
Шаг 2
Сократите выражение, отменив общие множители.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 2.1
Отменить общий множитель.
Шаг 2.2
Перепишите выражение.
Шаг 3
Найдите LCD членов уравнения.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 3.1
Поиск списка значений на ЖК-дисплее аналогичен поиску НОК знаменателей этих значений.
Шаг 3.2
Так как содержит как числа, так и переменные, есть два шага, чтобы найти LCM. Найдите LCM для числовой части, затем найдите LCM для переменной части.
Шаг 3.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислите простые множители каждого числа.
2. Умножьте каждый множитель на большее количество раз, которое он встречается в любом числе.
Шаг 3.4
Число не является простым, потому что оно имеет только один положительный делитель — само себя.
Не простое число
Шаг 3.5
Так как не имеет множителей кроме и .
— простое число 9.0003
Шаг 3.6
НОК является результатом умножения всех простых множителей наибольшего числа раз, когда они встречаются в любом числе.
Шаг 3.7
Фактор для сам по себе.
происходит раз.
Шаг 3.8
НОК является результатом умножения всех простых множителей наибольшего числа раз, когда они встречаются в любом члене.
Шаг 3.9
LCM для представляет собой числовую часть, умноженную на переменную часть.
Шаг 4
Умножьте каждый член на на, чтобы исключить дроби.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 4.1
Умножьте каждое слагаемое на .
Шаг 4.2
Упростите левую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 4.2.1
Отменить общий множитель .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 4.2.1.1
Переместите ведущее отрицательное значение в числитель.
Шаг 4.2.1.2
Фактор из .
Шаг 4.2.1.3
Отменить общий множитель.
Шаг 4.2.1.4
Перепишите выражение.
Шаг 4.2.2
Умножить на .
Шаг 4.3
Упростите правую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 4.
3.1
Отменить общий множитель .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 4.3.1.1
Умножить из .
Шаг 4.3.1.2
Отменить общий множитель.
Шаг 4.3.1.3
Перепишите выражение.
Шаг 5
Решите уравнение.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 5.1
Перепишите уравнение как .
Шаг 5.2
Разделите каждый член на и упростите.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 5.2.1
Разделите каждое слагаемое на .
Шаг 5.2.2
Упростите левую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 5.2.2.1
Отменить общий множитель .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 5.2.2.1.1
Отменить общий множитель.
Шаг 5.2.2.1.2
Разделить на .