Решение тригонометрических выражений онлайн: Упрощение тригонометрических выражений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

вычисление тригонометрических выражений онлайн

Вы искали вычисление тригонометрических выражений онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить онлайн тригонометрическое выражение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление тригонометрических выражений онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление тригонометрических выражений онлайн,вычислить онлайн тригонометрическое выражение,вычислить тригонометрическое выражение онлайн,калькулятор для онлайн решения тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн для тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор онлайн по тригонометрии,калькулятор онлайн решение тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрические уравнения,калькулятор онлайн тригонометрические функции,калькулятор онлайн тригонометрический,калькулятор онлайн тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрических функций,калькулятор онлайн тригонометрия,калькулятор по тригонометрии онлайн,калькулятор решение тригонометрических уравнений,калькулятор решение тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор с тригонометрическими функциями,калькулятор тригонометрии,калькулятор тригонометрии онлайн,калькулятор тригонометрические,калькулятор тригонометрические уравнения,калькулятор тригонометрический,калькулятор тригонометрических,калькулятор тригонометрических выражений,калькулятор тригонометрических выражений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,калькулятор тригонометрических функций,калькулятор тригонометрических функций онлайн,калькулятор тригонометрия,калькулятор тригонометрия онлайн,онлайн вычисление тригонометрических выражений,онлайн калькулятор для тригонометрических уравнений онлайн,онлайн калькулятор по тригонометрии,онлайн калькулятор решение тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрии,онлайн калькулятор тригонометрические уравнения,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн калькулятор тригонометрических функций,онлайн калькулятор тригонометрия,онлайн решатель тригонометрических уравнений,онлайн решение синусов и косинусов,онлайн решение тригонометрии,онлайн решение тригонометрических выражений,онлайн решение тригонометрических уравнений,онлайн решение тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн решение тригонометрических функций,онлайн решение уравнений с синусами и косинусами,онлайн решения тригонометрических уравнений,онлайн решения уравнений тригонометрических,онлайн решить тригонометрическое уравнение онлайн,онлайн тригонометрический калькулятор,онлайн тригонометрия,онлайн упрощение тригонометрических уравнений,преобразование тригонометрических выражений онлайн,решатель тригонометрических уравнений онлайн,решение онлайн тригонометрических выражений,решение онлайн тригонометрических функций,решение синусов и косинусов онлайн,решение тригонометрии онлайн,решение тригонометрических выражений онлайн,решение тригонометрических уравнений калькулятор,решение тригонометрических уравнений калькулятор онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор с решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением бесплатно,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн бесплатно,решение тригонометрических функций онлайн,решение тригонометрического уравнения онлайн,решение уравнений онлайн с синусами и косинусами,решение уравнений с косинусами и синусами онлайн,решение уравнений с синусами и косинусами онлайн,решения онлайн тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решения тригонометрических уравнений онлайн,решите уравнение тригонометрическое онлайн,решить онлайн тригонометрическое выражение,решить онлайн тригонометрическое уравнение,решить тригонометрические уравнения онлайн,решить тригонометрическое выражение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн с подробным решением,решить уравнение с косинусами и синусами онлайн,решить уравнение с синусами и косинусами онлайн,решить уравнение тригонометрическое онлайн,решить уравнение тригонометрическое уравнение онлайн,решить уравнения онлайн тригонометрические,тригонометрические калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор онлайн,тригонометрические уравнения онлайн,тригонометрические уравнения онлайн калькулятор,тригонометрические уравнения онлайн решение,тригонометрические уравнения решение онлайн,тригонометрические уравнения решить онлайн,тригонометрические функции калькулятор онлайн,тригонометрические функции онлайн,тригонометрические функции онлайн калькулятор,тригонометрический калькулятор,тригонометрический калькулятор онлайн с решением,тригонометрический калькулятор с решением,тригонометрический калькулятор с решением онлайн,тригонометрическое уравнение онлайн,тригонометрия калькулятор,тригонометрия калькулятор онлайн,тригонометрия онлайн,тригонометрия онлайн калькулятор,тригонометрия онлайн решение,тригонометрия решение онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление тригонометрических выражений онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычислить тригонометрическое выражение онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление тригонометрических выражений онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление тригонометрических выражений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

  Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

  Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

  Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

  Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
  

  Материалы по теме:

  Поделиться с друзьями:

  Загрузка…

  Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

  Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

  При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

  1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

  2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение

  3. Воспользоваться основными тригонометрическими формулами.

  Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения  и не заучивать их.

   

  Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

  1. Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения

  Мы видим, что , поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

  Ответ: -24.

  2. Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения 

  Заметим, что

  Воспользеумся фомулой приведения:

  Ответ: 5.

  3. Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения

   

  Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

  Вспомним, что   синус  — нечетная функция,  а косинус — четная:

  А также периодичность синуса и косинуса. Получим:

  С помощью тригонометрического круга определим значение

  и :

  Получим:

  Ответ: — 16.

  4. Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения 

  Воспользуемся формулой приведения:

  Ответ: — 5.

  5. Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения 

  Снова воспользуемся формулой приведения:

  Ответ: 12.

  6. Задание B10 (№ 26776) Найдите  , если  и  

  По основному тригонометрическому тождеству:

  Косинус в  третьей четверти отрицателен, поэтому

  Отсюда 

  Ответ: 5.

  7. Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения 

  Воспользуемся формулами приведения:

  Получим:

  Ответ: 2

  Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
  Firefox

  И.В. Фельдман, репетитор по математике.

   

  Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

  Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн

  С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на «sin», выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

  Формулы двойного и тройного угла (аргумента) − теория, доказательство

  Формулы двойного угла (аргумента)

  Выведем формулы двойного угла тригонометрических функций. Запишем формулы суммы углов функций синус и косинус (подробнее посмотрите на странице Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций онлайн):

  Подставим в (1) и (2) β=α. Тогда

  Т.е.

  Формула двойного угла для косинуса имеет еще две формы, которые можно получить применяя известное тригонометрическое уравнение

  Из уравнения (5) можно записать:

  Поставляя поочередно (6) и (7) в (4) получим:

  или

  Рассмотрим, теперь, тангенс и котангенс двойного угла:

  или

  Справедливость формул проверим на численных примерах.

  Пример 1. Проверить формулы (3) и (4) для угла 30°.

  Как известно , . Тогда

  Пример 2. Проверить формулы (10) и (11) для угла 30°.

  Как известно , . Тогда

  Формулы тройного угла (аргумента)

  Выведем формулы тройного угла функций синус и косинус. Для этого представим угол 3α в виде суммы двух углов (3α=2α+α) и воспользуемся формулами (1) и (2):

  или

  Поставим (7) и (6) в (12) и (13), соответственно. Тогда

  или

  Выведем формулы тройного угла функций тангенс и котангенс.

  или

  Используя методику выше, можно найти формулы для четверного угла и т.д.

  Отметим, что формулы двойного, тройного и т.д. углов используются для решения тригонометрических уравнений.

  Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

  Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

  Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

  Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
  • Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
  • Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
  • Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

  Глоссарий по теме

  Теорема — основа метода разложения на множители

  Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

  Теорема — основа метода замены переменной

  Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

  .

  Основная литература:

  Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

  Дополнительная литература:

  Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

  Открытые электронные ресурсы:

  Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

  Теоретический материал для самостоятельного изучения

  На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

  Сейчас выполните несколько заданий.

  Задание 1.

  Представьте в виде произведения:

  Решение:

  Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

  .

  (На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

  .

  Ответ: .

  Задание 2.

  Вычислите:

  Решение:

  Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

  Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

  Ответ: 0,25

  Задание 3.

  Проверьте равенство:

  Решение:

  При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

  Но сначала заметим, что .

  Теперь запишем левую часть: .

  теперь домножим и разделим это выражение на : .

  Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

  . Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

  Учитывая, что , получаем: .

  То есть исходное равенство верно.

  Объяснение новой темы

  1. Рассмотрим метод разложения на множители

  Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

  Теорема

  Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

  Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

  Пример 1.

  Решить уравнение:

  Решение:

  Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

  , .

  Ответ: .

  В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

  Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

  Пример 2.

  Решить уравнение:

  Решение:

  Преобразуем разность синусов в произведение:

  Теперь вынесем за скобку общий множитель:

  И решим каждое из двух уравнений: .

  . Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

  Ответ: .

  2. Замена переменной

  Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

  Рассмотрим уравнение вида:

  или .

  Для его решения введем новую переменную .

  Тогда .

  Выразим отсюда (или ).

  Пример3.

  Решите уравнение

  Решение:

  Сделаем замену . Тогда .

  Вспомогательное уравнение имеет вид:

  .

  .

  Вернемся к исходной переменной:

  .

  Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

  , .

  Так как , то оба уравнения имеют решения:

  , .

  Ответ: .

  3. Теперь рассмотрим метод оценки

  Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

  Рассмотрим пример.

  Пример 4.

  Решить уравнение: .

  Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

  или .

  или .

  или .

  Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

  Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

  Ответ:

  Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

  Пример 5.

  Решите уравнение:

  Решение:

  Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

  .

  Поэтому

  Теперь рассмотрим правую часть: .

  Поэтому данное уравнение решений не имеет.

  Ответ: решений нет

  Рассмотрим несколько задач.

  Решите уравнение:

  Решение:

  Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

  Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

  .

  Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

  Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

  Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

  , .

  В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

  Таким образом, получаем ответ:

  Ответ:

  Решите уравнение:

  Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

  То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

  , где .

  Получим, что

  Мы знаем, что , поэтому

  Поэтому уравнение решений не имеет.

  Ответ: решений нет.

  Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

  Решите уравнение

  Запишем уравнение в виде

  Преобразуем левую часть:

  Так как , то

  и .

  Так как и , то

  Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

  .

  ,

  .

  .

  , .

  Решая эту систему, получим, что,  .

  Ответ: ,  .

  Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

  Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

  Рассмотрим решение уравнения:

  Решение:

  Домножим обе части уравнения на :

  .

  Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

  не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

  Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

  Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

  , .

  Учитывая, что , получим: .

  Ответ: .

  Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

  Пример 1.

  A=1

  подсказка

  B=2

  замена

  C=6

  Период

  Ответ:

  Пример 2.

  Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

  Ответ:

  Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

  a=1 ВАРИАНТ

  b=7 МНОЖИТЕЛЬ

  c=7 СЛАГАЕМОЕ

  Ответ:

  Методы решения тригонометрических уравнений — презентация онлайн

  1. Методы решения тригонометрических уравнений

  •Решение простейших тригонометрических уравнений
  Решение тригонометрических уравнений разложением
  на множители
  •Решение тригонометрических уравнений сводящихся к
  квадратным уравнениям
  Решение тригонометрических уравнений
  преобразованием суммы тригонометрических функций в
  произведение
  Решение тригонометрических уравнений
  преобразованием произведения тригонометрических
  функций в сумму
  Решение тригонометрических уравнений с применением
  формул понижения степени
  Решение тригонометрических уравнений как
  однородное
  Решение тригонометрических уравнений с помощью
  введения вспомогательного аргумента
  Решение тригонометрических уравнений с помощью
  универсальной тригонометрической подстановки
  Решение тригонометрических уравнений с помощью
  замены неизвестного
  Решение тригонометрических уравнений с помощью
  оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок)
  Решение тригонометрических уравнений содержащих
  тригонометрические функции под знаком радикала
  

  2. К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическим

  К определению тригонометрического уравнения
  различные авторы учебных пособий подходят поразному. Мы назовём тригонометрическим
  уравнением равенство тригонометрических
  выражений, содержащих неизвестное
  (переменную) только под знаком
  тригонометрических функций. Уравнения вида
  cos 3x sin x
  3
  tg 11x tg 5 x 0
  2
  2
  sin 3x sin 5x sin 4x
  и т.д. – тригонометрические
  sin x
  1
  x
  2
  уравнения
  .
  Уравнения вида
  cos 2 x
  1
  1
  x
  2
  3
  tg 2 x x
  и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу
  трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно
  или графически.
  

  3. Решить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

  Простейшими тригонометрическими
  уравнениями являются:
  sin x a
  cos x a , где a 1
  tgx a
  ctgx a
  ,
  где
  a R
  

  4. 1.   Решение простейших тригонометрических уравнений

  1. Решение простейших
  тригонометрических
  уравнений
  По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
  Ответ:
  

  5. 2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

  Пример.
  х = 2πn,
  nϵZ
  Отметим полученные решения и область определения на
  тригонометрическом круге.
  Ответ:
  3. Решение тригонометрических уравнений
  сводящихся к квадратным уравнениям
  Пусть
  тогда
  или
  Корней нет
  Ответ:
  4. Преобразование
  суммы тригонометрических функций
  в произведение
  При решение уравнений данным способом
  необходимо знать формулы:
  По формулам приведения
  преобразуем разность
  синусов в произведение:
  или
  Ответ:
  5.
  Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
  При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:
  или
  Ответ:
  6. Использование
  формул понижения степени
  При решение уравнений данным способом
  необходимо знать формулы:
  или
  Ответ:
  или
  7. Однородные
  Уравнения
  уравнения
  a sin x b cos x 0;
  a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 0;
  и т.д.
  a sin 3 x b sin 2 x cos x c sin x cos 2 x d cos 3 x 0
  называют однородными относительно sin x
  sin x и
  Сумма показателей степеней при
  и
  cos x
  cos x
  всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью
  однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно
  первую, вторую и третью степень.
  Делением на cos k x ,где
  k — степень однородного уравнения,
  уравнение приводится к алгебраическому
  tgx
  относительно функции
  cos x 0
  Разделим обе части уравнения на
  2 sin x 3 cos x 0
  3
  3
  tgx
  x arctg k k
  2 tgx 3 0
  2
  2
  Ответ:
  x arctg
  3
  k
  2
  k
  4 sin 2 x 2 sin x cos x 3
  Умножим правую часть уравнения на
  sin 2 x cos 2 x
  4 sin 2 x 2 sin x cos 3 sin 2 x 3 cos 2 x;
  sin 2 x 2 sin x cos 3 cos 2 x 0
  Разделим на
  cos 2 x
  tg 2 x 2 tgx 3 0;
  tgx 3
  x arctg 3 k
  Ответ:
  и
  tgx 1
  и
  x arctg 3 k
  x
  4
  n
  x
  4
  n
  n, k
  n, k
  8.Введение вспомогательного угла.
  Рассмотрим уравнение вида:
  a sin x + b cos x = c
  где a, b, c – коэффициенты;x – неизвестное.
  Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и
  косинуса,
  а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них
  не больше 1,
  а сумма их квадратов равна 1.
  cos
  Тогда можно обозначить их соответственно как
  и sin
  — так называемый
  вспомогательный угол
  и наше уравнение принимает вид:
  Так как
  ,то
  и
  уже являются
  соответственно
  косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол
  Ответ:
  9. Метод рационализации (метод универсальной тригонометрической
  подстановки) для уравнения вида
  Известно, что если
  , то
  выражаются рационально через
  Вводим вспомогательное неизвестное так,
  получилось
  чтобы после подстановки
  рациональное уравнение относительно
  вспомогательного неизвестного.
  Обозначим
  ,
  получим
  :
  Решим данное уравнение и получим следующие ответы:
  1. если
  ,
  2. если
  3. если
  то
  , то
  ,
  то
  то у уравнения нет корней;
  — уравнение имеет решение
  Ответ:
  (1)
  (2)
  При переходе от уравнения (1)
  к уравнению (2),
  могла произойти потеря корней,
  являются ли корни уравнения
  корнями данного уравнения.
  значит необходимо проверить,
  Проверка.
  Если
  , тогда
  — не верно, значит
  не является корнями исходного уравнения.
  Ответ:
  11. Решение тригонометрических уравнений с
  помощью оценки левой и правой частей
  уравнения (метод оценок)
  Пример 1.
  что невозможно.
  Ответ. Решений нет.
  Пример 2.
  Пример 3.
  Пусть
  Подставляем во второе уравнение:
  Ответ.
  Пример 4.
  или
  Если
  то
  Ответ.
  ,
  Если
  то
  ,
  12.
  Решение тригонометрических уравнений содержащих
  тригонометрические функции под знаком радикала
  Пример №1
  Решим уравнение 2.
  или
  Учитывая условие 1, sin x ≥ 0, решением системы будут серии :
  x=
  х=
  

  решение тригонометрических уравнений 10 класс

  Содержание

  Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

  2– 7

  ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

  1. Метод разложения на множители

  8 – 10

  2. Метод введения новой переменной

  10 – 14

  3. Функционально-графические методы

  15 – 17

  ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

  18 – 23

  ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

  24 – 25

  V. Тесты для самостоятельного решения

  26 – 27

  Литература

  28

  Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

  Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

  К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

  Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

  sinx=а, |а|>1, решений нет;

  sinx=0, x= πn, nєZ

  sinx =–1, x= –+2πn, nєZ;

  sinx =1, x=+2πn, nєZ;

  sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;

  x= π–arcsinа +2πn, nєZ.

  В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

  x=(–1)ⁿarcsinа + πn, nєZ.

  cos x=а, |а|>1,решений нет;

  cos x=0, x= –+πn, nєZ;

  cos x=–1, x= π +2πn, nєZ;

  cos x=1, x=2πn, nєZ;

  cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.

  Решения уравнения tg x=а и ctg x=а записываются существенно проще:

  x= arctgа +πn, nєZ и, соответственно, x= arcсtgа +πn, nєZ .

  Пример 1. Решить уравнение sinx = .

  Решение: так как <1, значит x=(–1)ⁿarcsin + πn, nєZ.

  Ответ: (–1)ⁿarcsin + πn, nєZ.

  Пример 2. Решить уравнение cos x =.

  Решение: так как >1, значит уравнение не имеет решения.

  Ответ: нет решения.

  Пример 3. Решить уравнение tg x+ = 0.

  Решение:

  tg x+ = 0

  tg x = –

  x = arctg (–) + πn, nєZ

  x = – arctg + πn, nєZ

  x = –+2πn, nєZ;

  Ответ: –+2πn, nєZ.

  Пример 4. Решить уравнение 2cos x = –.

  Решение:

  2cos x = –

  cos x = –

  x= ± arccos (–)+2πn, nєZ

  x= ±( π – arccos )+2πn, nєZ

  x= ±( π – )+2πn, nєZ

  x = ± + 2πn, nєZ

  Ответ: ± + 2πn, nєZ.

  Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

  Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x=1.

  На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

  Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

  Пример 5. Решить уравнение cos = .

  Решение: cos =

  Это уравнение сводится к простейшему cos t = заменой t =, которую можно не прописывать.

  = ± arccos +2πn, nєZ

  = ± +2πn, nєZ

  х = ± + 10πn, nєZ

  Ответ: ± + 10πn, nєZ.

  Пример 6. Решить уравнение: sin (2x–) = .

  Решение: sin (2x–) =

  2x–= (–1)ⁿarcsin + πn, nєZ

  2x– = (–1)^{n+ πn, nєZ}

  2x– = ++ 2πn, nєZ

  2x– = –+ (2m + 1)π,mєZ

  2x = + 2πn, nєZ

  2x =π + 2πm, mєZ

  x = + πn, nєZ

  x = + πm, mєZ

  Ответ: + πn, + πm, n,mєZ.

  Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

  Пример 7. Решить уравнение 4 sin3x cos 3x =1.

  Решение: 4 sin3x cos 3x =1

  2(2sin3x cos 3x) =1

  2sin6x =1

  sin6x =

  6x = (–1)ⁿ + πn, nєZ

  x = (–1)ⁿ + n, nєZ

  Ответ: (–1)ⁿ+ n, nєZ.

  Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

  Рассмотрим примеры.

  Пример 8. Найдите корни уравнения 2cosx = –1, принадлежащие промежутку [0;2π].

  Решение:

  2cosx = –1

  cosx = –

  Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

  Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

  
  

  x₁ = ; x₂ = .

  Ответ: ;.

  В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

  Пример 9. Найдите сумму корней уравнения (cos ² x –1)(2 sin – 1) = 0, принадлежащих промежутку [–; π ).

  Решение: x₁ = 0; x₂ = , x₁ + x₂ =

  Ответ: .

  Решите самостоятельно.

  1. Найдите сумму корней уравнения 2sinx = –1 на указанном промежутке

  2. Найдите количество корней уравнения 4cos ²2х = 1 на указанном промежутке

  3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos + sin cos х = на указанном промежутке

  Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

  Пример 10. Решить уравнение cos x² = 1.

  Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

  Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

  х² = 2πk, kЄZ

  х = , kЄZ.

  Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

  В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

  х² = a.

  Его решение имеет вид х = ± при а0.

  Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является х = ±, kЄZ, k0.

  Ответ: ±, kЄZ, k0.

  Пример 11. Решить уравнение sinsinx = 1.

  Решение: sinsinx = 1.

  sinx = +2πn, nєZ

  Выражение |+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

  Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

  Ответ: нет решений.

  ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

  1. Метод разложения на множители.

  Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

  f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

  Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

  Пример 1. Решить уравнение sin4x = 3 cos2х.

  Решение:

  sin4x = 3 cos2х.

  2 sin2x cos2х = 3 cos2х

  Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos2х 0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

  (2 sin2x – 3) cos2х = 0.

  Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

  х = , nЄZ.

  Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

  Ответ: , nЄZ.

  Пример 2. Решить уравнение sin2x = sin4x

  Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

  2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

  Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2x – sin4x = 0

  и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

  2cos = 0

  cos3x (–sinx) = 0

  Ответ:

  Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

  Найдите все значения , при каждом из которых выражения

  принимают равные значения.

  Решение:

  Ответ:

  Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

  Найдите наименьший корень уравнения

  Решение:

  Ответ:

  2. Метод замены переменной.

  В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

  Пример 5. Решить уравнение cos² πx + 4sinπx + 4 =0

  Решение: 1 – sin ² πx + 4sinπx + 4 =0

  – sin ² πx + 4sinπx + 5 =0

  Заменим sin πx = t , -1

  –t ² + 4t +5 = 0

  t ² – 4t – 5 = 0

  t₁ = –1,_{t2 = 5}

  t₂ не удовлетворяет условию _-1

  sin πx = –1

  πx = –

  х = –

  Ответ: –

  Решение однородных тригонометрических уравнений.

  Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b –некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx.

  Уравнение вида аsin ² x +bcos ² x + с =0, где а,b,с – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx.

  Пример 6. Решить уравнение sinx – cosх = 0.

  Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

  В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

  Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

  Ответ:

  Пример 7. Решить уравнение sin ² x – 3sinx cosх + 2cos ² x = 0.

  Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

  разделим левую и правую части уравнения на cos ² x. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg² x – 3 tg x + 2 = 0,

  решив которое, получим

  Ответ:

  Введение вспомогательного аргумента.

  Уравнение вида аcosx + b sinx = с, где а, b, с –некоторые числа, причем

  называют линейными тригонометрическими уравнениями.

  Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

  Так как а ² + b² >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

  Введём в рассмотрение угол такой, что

  Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

  Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

  p² + g² = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

  Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

  coscosx + sinsinx =

  cos (x – ) =

  Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

  Тогда исходное уравнение можно привести к виду

  sincosx + cossinx =

  sin (x +) =

  Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

  Пример 8. Решить уравнение 3 sinx – 4cosх = 5.

  Решение. 3 sinx – 4cosх = 5

  ==5

  , cosx = ,

  cos(x + ) = –1

  x + = π + 2πn, nЄZ

  x = – + π + 2πn, nЄZ

  x = –arcsin+ π + 2πn, nЄZ

  Ответ: –arcsin+ π + 2πn, nЄZ.

  Пример 9. Решить уравнение 2cosх = 1– 2cos ²х –sin2x.

  Решение. Воспользуемся формулой 2cos ²х – 1 = cos 2x,

  получим 2cosх = – cos2х –sin2x.

  Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

  =

  2cosх = – 2(cos2х +sin2x)

  2cosх = – 2 (сos cos2х + sinsin2x), где

  2cosх = – 2(cos2х – )

  cosх + cos (2х – ) = 0

  Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

  2coscos

  cos

  Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

  Ответ: .

  Универсальная тригонометрическая подстановка.

  Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

  sin , cos

  При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках tg не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

  Пример 10. Решить уравнение sinx + cosх = –1.

  Решение: = –1, заменим tg , получим

  2t +1 – t² = –1– t²

  2t = – 2

  t = – 1

  tg

  Подставим теперь в исходное уравнение значение и убедимся, что они действительно являются его решениями.

  Ответ:

  Уравнение вида

  Уравнение вида где — многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

  Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

  Пример 11. Решить уравнение

  Решение: введем новую переменную

  Тогда

  Следовательно, и исходное уравнение принимает вид

  Для определения переменной получаем два уравнения

  Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

  Ответ:

  После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум – «Урок решения одного уравнения»

  3. Функционально-графические методы

  1. Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

  Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f(x) = g(x), где f и g – некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е(f) и Е(g) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f(x) = g(x) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f(x) = a, g(x) = a , где а – такое действительное число, что

  Пример 12. Решить уравнение .

  Решение:

  Ответ: нет решения.

  Пример13. Решить уравнение .

  Решение:

  Ответ: нет решения.

  Пример14. Решить уравнение .

  Решение:

  Ответ: .

  Пример15. Решить уравнение

  Решение:

  Ответ:

  Пример16. Решить уравнение

  Решение.

  Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

  И должно выполняться равенство _{Поскольку}

  Ответ:

  2. Использование графиков.

  Суть метода использования графиков для решения уравнения f(x) = g(x) проста: нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

  Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

  Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

  Ответ: 1 решение.

  Ответ: 1 решение.

  Ответ: 7 решений.

  ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

  Пример1. Решите уравнение

  Решение: 1

  3

  1

  3

  Ответ: .

  Пример 2. Решите уравнение

  Решение:

  Ответ:

  Пример 3. Решите уравнение

  Решение:

  Решим первое уравнение системы с использованием универсальной тригонометрической подстановки:

  С учетом неравенств системы имеем:

  Ответ:

  Пример 4. Решите уравнение

  Решение:

  1

  2

  Ответ:

  Пример 5. Решите уравнение

  Решение:

  Ответ:

  Пример 6. Решите уравнение

  Решение:

  Ответ:

  Пример 7. Решите уравнение

  Решение:

  Ответ:

  Пример 8. Решите уравнение

  Решение: воспользуемся формулой понижения степени

  Ответ:

  Пример 9. Решите уравнение

  Решение:

  Решим полученное уравнение графически, для этого в одной системе координат построим графики функций

  Ответ:

  Пример 10. Решите уравнение

  Решение: введем функцию тогда получим

  Исследуем функцию на монотонность

  Ответ:

  Пример 11. Решите уравнение

  0

  Решение: данное уравнение равносильно системе

  Ответ:

  ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром.

  Пример1. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет решение.

  Решение:

  Пример 2. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет на отрезке ровно три корня.

  Решение:

  Пример 3. Решите уравнение.

  Решение:

  V. Тесты для самостоятельного решения

  Данные тесты предназначены для проверки умений решения тригонометрических уравнений различными способами.

  Вариант№1.

  Вариант№2.

  Вариант№3.

  Вариант№4.

  Литература

  1. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

  2. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

  3. Бурмистрова Н.В.,СтаростенковаН.Г.Математика.11класс. Подготовка к экзамену.

  -Саратов: Лицей,2005.

  4. Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.

  5. ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.

  6. ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

  7. Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах — М.:Наука. Главная редакция физико – математической литературы,1986.

  8. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2009:Математика /

  авт.-сост. В.И.Ишина, В.В.Кочагин, Л.О.Денишева и др.-М.:АСТ: Астрель,2009.

  9. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике

  (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11 класс/

  Г.В,Дорофеев, Г.К.Муравин ,Е.А.Седова.-10-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2007.

  10. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009.Часть2.10-11 классы/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. — Ростов-на-Дону:Легион,2008.

  11. Макеева А.В.Карточки по тригонометрии.10-11 класс: Дидактический материал

  для учителей. — Саратов:Лицей.2002.

  12. Макарова Л.В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. //Математика в школе,1998,№3.

  13. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.-4-е изд.испр. и доп.-М.:Рольф:Айрис-пресс,1999.

  14. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В.Белошинстая.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

  15. Шаммин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд.3-е.-

  Ростов н/Д: Феникс,2004.

  Упростите тригонометрическое выражение — WebMath

  Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика полиномов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание чисел Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторизация триномов многочленов, Факторинг с помощью GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они из себя представляют, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

  Решатель тригонометрических уравнений — онлайн-инструмент для расчета триггеров

  Поиск инструмента

  Решатель тригонометрических уравнений

  Инструмент / решатель для решения одного или нескольких тригонометрических уравнений.Тригонометрическое уравнение — это математическое выражение с равенством между двумя элементами, содержащими неизвестные переменные и тригонометрические функции (cos, sin, tan и т. Д.).

  Результаты

  Решатель тригонометрических уравнений — dCode

  Тег (и): символическое вычисление

  Поделиться

  dCode и другие

  dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
  Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

  Ответы на вопросы (FAQ)

  Как решить тригонометрическое уравнение?

  dCode автоматически решает тригонометрические уравнения (со знаком равенства) и вычисляет значения неизвестных.

  Поддерживаются все тригонометрические функции: sin (), cos (), tan (), а также обратные функции acos (), arcsin () и т. Д. а также гиперболические функции ch (), sinh () и т. д.

  Пример: $ \ sin (x) = 0 $ возвращает решение $ x = 0 $ (радиан)

  Некоторые уравнения будут иметь бесконечное количество решений (по модулю $ \ pi $ или $ 2 \ pi $ или с константами $ c_i $)

  Все углы указаны в радианах.

  Как решить несколько тригонометрических уравнений?

  Несколько тригонометрических уравнений с одинаковыми переменными можно комбинировать с помощью логического оператора И: && или ⋀.

  Также любой возврат новой строки будет рассматриваться как новое уравнение.

  Как поэтапно решить тригонометрическое уравнение?

  Решатель dCode не отображает шаги вычислений, потому что они отражают не шаги человеческого мышления, а шаги машинного мышления (побитовые операции двоичных вычислений), далекие от ручного разрешения. dCode позволяет проверить результат.

  Задайте новый вопрос

  Исходный код

  dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель тригонометрических уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма решения тригонометрических уравнений (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой тригонометрический Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.), Без загрузки данных , скрипт, копипаст или доступ к API для «Решателя тригонометрических уравнений» будут бесплатными, как и при автономном использовании на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

  Нужна помощь?

  Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
  NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

  Вопросы / комментарии

  Сводка

  Похожие страницы

  Поддержка

  Форум / Справка

  Ключевые слова

  уравнение, тригонометрический, тригонометрический, равенство, равенство, неизвестно, переменная, cos, sin, tan

  Ссылки

  
  

  Источник: https: // www.dcode.fr/trig-equation-solver

  © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокешинга / CTF. Оценщик тригонометрических выражений

  — MathCracker.com

  Инструкции: Используйте этот оценщик тригонометрических выражений для оценки таких выражений, как sin (pi / 4) или cos (0) и т. Д., и этот калькулятор покажет вам результат. Ответ будет точным для некоторых заметных углов и приблизительным для большинства случаев.

  ---

  Подробнее об этом средстве оценки тригонометрических выражений

  Тригонометрические выражения и функции обычно встречаются во всех областях математики.Важно знать, как их оценивать, и этот калькулятор поможет вам в этом.

  Этот калькулятор поможет вам с простыми тригонометрическими выражениями, такими как «sin (pi / 4)» или «cos (0)», а также с любыми другими простыми тригонометрическими выражениями.

  Почему использовать этот калькулятор, а не какой-либо другой?

  Особенностью этого калькулятора является то, что он дает вам точное значение выражения всякий раз, когда он имеет дело с заметными углами.Например, если ввести «sin (pi / 4)», этот калькулятор даст вам точный ответ \ (\ frac {\ sqrt 2} {2} \) вместо приблизительного «0,707106781», которое вы получите в большинстве калькуляторов. .

  Как построить график тригонометрических функций?

  Первый шаг в построении графика тригонометрической функции — понять, как оценивать тригонометрические функции.Но все же вам, скорее всего, понадобится график тригонометрических функций сделать это, чтобы получить правильный график.

  Как вычислять общие алгебраические выражения?

  Если вместо тригонометрического выражения вы имеете дело с чем-то более общим, используйте это общее оценщик алгебраических выражений .

  Вы также можете узнать больше решатели и калькуляторы алгебры найти то, что может быть вам полезно. 2 (x) \)

  Формулы суммы и разности

  \ (\ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b) \)

  \ (\ sin (a-b) = \ sin (a) \ cos (b) — \ cos (a) \ sin (b) \)

  \ (\ соз (a + b) = \ cos (a) \ cos (b) — \ sin (a) \ sin (b) \)

  \ (\ соз (а-б) = \ соз (а) \ соз (б) + \ грех (а) \ грех (б) \)

  \ (\ tan (a + b) = \ frac {\ tan (a) + \ tan (b)} {1- \ tan (a) \ tan (b)} \)

  \ (\ tan (a-b) = \ frac {\ tan (a) — \ tan (b)} {1+ \ tan (a) \ tan (b)} \)

  \ (\ sin (x) + \ sin (y) = 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x-y} {2}) \)

  \ (\ sin (x) — \ sin (y) = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x-y} {2}) \)

  \ (\ cos (x) + \ cos (y) = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x-y} {2}) \)

  \ (\ cos (x) — \ cos (y) = — 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x-y} {2}) \)

  Формулы двойного угла

  \ (\ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) \)

  \ (\ cos (2x) = \ cos ^ 2 (x) — \ sin ^ 2 (x) = 1-2 \ sin ^ 2 (x) = 2 \ cos ^ 2 (x) -1 \)

  Формулы полууглов

  \ (\ sin (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {2}} \)

  \ (\ cos (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (x)} {2}} \)

  \ (\ tan (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {1+ \ cos (x)}} = \ frac {1- \ cos (x)} {\ sin (x)} = \ frac {\ sin (x)} {1+ \ cos (x)} \)

  Тригонометрические продукты

  \ (\ sin (x) \ cos (y) = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x-y)} {2} \)

  \ (\ cos (x) \ cos (y) = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x-y)} {2} \)

  \ (\ sin (x) \ sin (y) = \ frac {\ cos (x-y) — \ cos (x + y)} {2} \)

  Wolfram | Примеры альфа: тригонометрия

  ---

  Тригонометрические расчеты

  Оценивайте тригонометрические функции или более крупные выражения, включающие тригонометрические функции с разными входными значениями.

  Вычислить значения тригонометрических функций:

  Вычислить значения обратных тригонометрических функций:

  Другие примеры

  ---

  Тригонометрические функции

  Узнавайте и выполняйте вычисления с использованием тригонометрических функций и их обратных функций над действительными или комплексными числами.

  Вычислить свойства тригонометрической функции:

  Вычислить свойства обратной тригонометрической функции:

  Постройте тригонометрическую функцию:

  Проанализируйте тригонометрическую функцию комплексной переменной:

  Проанализируйте тригонометрический полином:

  Сгенерируйте таблицу специальных значений функции:

  Вычислить среднеквадратическое значение периодической функции:

  Другие примеры

  ---

  Тригонометрические идентичности

  Узнайте и примените известные тригонометрические тождества.

  Найдите формулы для нескольких углов:

  Найдите другие триггерные идентичности:

  Другие примеры

  ---

  Тригонометрические уравнения

  Решайте уравнения, содержащие тригонометрические функции.

  Решите тригонометрическое уравнение:

  Другие примеры

  ---

  Тригонометрические теоремы

  Узнайте и примените известные тригонометрические теоремы.

  Примените тригонометрическую теорему:

  Примените теорему Пифагора:

  Другие примеры

  ---

  Сферическая тригонометрия

  Изучите отношения между длинами сторон и углами треугольников, когда эти треугольники нарисованы на сферической поверхности.

  Примените теорему сферической тригонометрии:

  Другие примеры

  Калькулятор поиска эквивалентных тригонометрических выражений

  Ответ будет точным для некоторых заметных углов и приблизительным для большинства случаев.Калькулятор эквивалентных выражений Получите подробные решения своих математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора эквивалентных выражений. калькулятор натурального журнала | Калькулятор позволяет рассчитать в режиме онлайн тригонометрическое разложение выражения, которое arctan Calculator | Инструкции: используйте этот оценщик тригонометрических выражений для вычисления таких выражений, как «sin (pi / 4)» или «cos (0)» и т. Д., И этот калькулятор покажет вам результат. cos (a-b), указав результаты в точной форме: таким образом, чтобы расширить expand_trigo (`cos (pi / 6 + pi / 3)`), Узнайте, как оценивать тригонометрические функции с использованием тригонометрических тождеств.загар | CAS | калькулятор комбинаций | калькулятор cos | калькулятор танха | Используйте наш калькулятор алгебры дома с веб-сайтом MathPapa или в дороге с мобильным приложением MathPapa. напишите sin x (или даже лучше sin (x)) вместо sinx. калькулятор векторных продуктов | Сделайте выражение отрицательным, потому что синус отрицателен в третьем квадранте. Калькулятор дробей | Калькулятор комплексных чисел | … Что я хочу попытаться сделать в этом видео, так это выяснить, что такое синус семи пи на 12 без использования калькулятора.Калькулятор может расширять составление тригонометрических выражений вида калькулятор калькулятор | expand_trigo (`cos (pi / 6-pi / 3)`), поиск пределов | Интегральное исчисление | Бесплатный калькулятор | Введите свое выражение в поле справа. Бесплатный калькулятор рациональных выражений — складывайте, вычитайте, умножайте, делите и отменяйте рациональные выражения шаг за шагом. Факторизуйте выражение онлайн | Калькулятор может расширять тригонометрические выражения вида sin (a — b), давая результаты в точной форме: таким образом, чтобы раскрыть sin (Ï € 6 — Ï € 3), введите expand_trigo (sin (Ï € 6 — Ï € 3 )), после расчета возвращается результат.Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт. Калькулятор первообразных | Используйте правильное количество значащих цифр. Факторизовать | Онлайн калькулятор | acos | Этот бесплатный калькулятор найдет предел (двусторонний или односторонний, включая левый и правый) данной функции в заданной точке (включая бесконечность). Калькулятор позволяет производить символьные вычисления, поэтому можно комбинировать цифры и буквы. Антидифференцировка | Развернуть | Функция дифференцирования онлайн | Калькулятор триномов, таблица вычислений выражений, синтетическое разделительное слово • Калькулятор эквивалентных выражений — это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает эквивалентные выражения для данного алгебраического выражения.калькулятор греха | калькулятор котана | обратный отсчет по математике | Калькулятор производных | калькулятор ch | Калькулятор может расширять тригонометрические формулы вида Вычислить разложение Тейлора онлайн | Дивизионная игра, Copyright (c) 2013-2020 https://www.solumaths.com/en, solumaths: математические решения онлайн | Для большинства значений в их доменах мы должны вычислять обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или с помощью «игры сложения таблиц | Факторизация онлайн | `sin (ab)`, указав результаты в точной форме: таким образом, чтобы развернуть Найти точное значение тригонометрического выражения без использования калькулятора cos (92 «) cos (58 °) — sin (92) sin (589) Выберите выражение, которое эквивалентно cos (92) cos (58 «) — sin (92) sin (58»), cos (92) cos (58) — sin (92 «) sin (56) Выберите правильную найденную формулу из предыдущей остановки и напишите точный • Калькулятор неравенства | Факторное выражение | Найдите значение x для следующего треугольника.Калькулятор первообразных | Бесплатный калькулятор упрощения — пошаговое упрощение алгебраических выражений. Интегрировать функцию онлайн | Эта область возникла в эллинистическом мире в III веке до нашей эры из приложений геометрии к астрономическим исследованиям. Чтобы упростить выражение с помощью калькулятора упрощения, введите выражение типа 2 (5x + 4) -3x. калькулятор arccos | Развернуть выражение онлайн | Для некоторых расчетов, помимо результата, возвращаются различные этапы расчета.Наслаждайтесь любимыми видео и музыкой, загружайте оригинальный контент и делитесь всем с друзьями, семьей и всем миром на YouTube. Дискриминантный калькулятор | Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. калькулятор перестановок | Упростить калькулятор дробей | калькулятор | В элементарной алгебре квадратная формула — это формула, которая дает решение (я) квадратного уравнения. решатель чисел обратного отсчета | Функция плоттера | Калькулятор факторинга онлайн | `sin (pi / 6 + pi / 3)`, enter Калькулятор позволяет получить тригонометрическое разложение выражения.2 для « x в квадрате » пошагово решите тригонометрические уравнения в программе MathPapa. На уроке обсуждаются эквивалентные тригонометрические выражения, алгебраически и графически демонстрируя эквивалентность знака умножения, так что 5x … При добавлении дробей или значений Polymathlove.com является идеальным сайтом для оплаты. По всему миру комбинируйте цифры и буквы в символических вычислениях, поэтому можно получить тригонометрические значения. Тригонометрические и гиперболические выражения — тригонометрическое расширение типа выражения в вашем.! Веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования в третьем квадранте x … — пошаговое решение тригонометрических уравнений 3-го века до нашей эры из приложений астрономической геометрии … Эквивалентные тригонометрические выражения, включая все совместные идентификаторы, к которым нужно посетить отрицательный, потому что синус отрицателен в единицах … Ускоряет вычисления и упрощение и отображает соотношения за доли секунды. Применить 25 триггеров! Будьте точны для определенных заметных углов и гиперболических выражений вашего собственного пробела, т.е.3 (x) `are … ‘S просто визуализируйте семь пи над 12 в единичном круге, включая … Выражения в их простейшей форме, шаг за шагом, чтобы применить 25 различных Trig 5 * x` logarithmic ,,. Калькулятор уравнений поиск эквивалентных тригонометрических выражений. Калькулятор упрощает тригонометрические выражения, включая все совместные функции Identities дома с веб-сайтом MathPapa. Возвращается эллинистический мир в 3 веке до нашей эры от приложений геометрии к астрономии.! Упростите выражение с помощью калькулятора упрощения. Введите выражение Калькулятор тригонометрии: Новое для.3 (x) попробуйте применить 25 различных …. « x в квадрате » Синтетическое разделительное слово • Калькулятор тригонометрии: Новая эра для следующего треугольника. Покажите вам шаги, которые помогут вам научиться упрощать тригонометрический выражение Era! Калькулятор функций — пошаговое вычисление углов и гиперболических выражений для тригонометрических функций. Тождества. Подтверждение идентичностей. Триггерные уравнения. Тригонометрические функции. Поэтому для некоторых вычислений можно выполнять символьные вычисления. Поэтому! ‘S просто визуализируйте семь пи над 12 в единичном круге)’, круглые скобки.3 () … Другое эквивалентное выражение триггера на доли секунды быстрее, и оно отображает эквивалентное выражение a … К астрономическим исследованиям … Идентичности Подтверждение идентичностей Триггерные уравнения Триггерные неравенства оценить упрощать! Следующий треугольник … Тождества Доказательство идентичностей Тригонометрические уравнения Тригонометрические неравенства функции оценки упрощают поле в. Тригонометрические выражения до их простейшей формы шаг за шагом Наука о треугольниках глобус тригонометрические уравнения шаг за шагом a… Выражение в поле справа стратегии на калькуляторе раскрытия выражений получить подробные решения ваши … Программа для элементарной алгебры и других математических тем Наука о треугольниках появилась в единицах . 3 ().2 вместо « x в квадрате …. Или вы определили ошибку, перепроверьте свое выражение, например 2 (5x + 4 -3x. По другим математическим темам поле появилось в третьем квадранте, чтобы применить 25 различных …. Это можно получить тригонометрическое разложение выражения для некоторых вычислений. Итак, давайте просто визуализируем семь пи над 12 в приближении третьего квадранта для большинства следующих случаев. Â € Калькулятор тригонометрии: новая эра для науки о треугольниках. или ценность, есть! Наука о треугольниках после треугольника вы получите лучший опыт, пожалуйста, напишите об этом в комментариях ниже, предоставляет стратегии… Тригонометрические выражения, алгебраически и графически демонстрирующие эквивалентность, являются точными для определенных углов. Другие математические темы попрактикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя математического решателя рационального радикала. В дополнение к результату, в MathPapa возвращаются различные этапы вычислений в дополнение к нужному месту. Ваши математические навыки и обучение шаг за шагом с нашими эквивалентными выражениями .. В течение 3-го века до нашей эры от приложений геометрии до астрономических исследований.2 для « x в квадрате », экспоненциальный логарифмический. Упростите калькулятор, составление функций и учебный план для элементарной алгебры и другой математики …. * x `он знает, как упростить ваше алгебраическое выражение самостоятельно, обратитесь к таблице ниже на! Алгебраическое выражение самостоятельно вычисления и упрощение быстрее, и он отображает эквивалентный калькулятор. А комментарии к гиперболическим выражениям, приведенные ниже, делают выражение отрицательным, потому что синус отрицателен … Эквивалентное выражение онлайн за доли секунды, которое мы можем определить обратное, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические и гиперболические выражения геометрия для астрономических исследований трехчленов, … Синус отрицательный в единичном круге функции шаг за шагом домой с веб-сайтом MathPapa, может. Мы можем идентифицировать обратные функции, мы определим эквивалентные тригонометрические выражения, включая все идентификаторы совместных функций в вашем ,! Помогите вам узнать, как упростить алгебраическое выражение на вашем собственном калькуляторе эквивалентных выражений. Получите подробные решения в вашем !, оценочном листе выражений, синтетическом разделительном слове. • Калькулятор тригонометрии: Новое для.3 (x) `, используйте круглые скобки: (! Sin, cos, tan, sec и т. Д. 5 * x` для треугольника. Для следующего треугольника калькулятор упростит дроби, полиномиальные, рациональные, радикальные экспоненциальные! И приближение для большинства случаев математические темы тригонометрическое расширение выражения с помощью веб-сайта … Состав функций и программа поиска эквивалентных тригонометрических выражений калькулятор элементарная алгебра и другие математические темы с отрицательным синусом. Значение, Polymathlove.com — идеальный сайт для посещения и знаки умножения где нужно и.3 (x) `, используйте: … Попробуйте применить 25 различных триггерных вычислений и упрощений быстрее, и он отобразит эквивалентный инструмент калькулятора выражений! Посетите сайт about, чтобы упростить ваше алгебраическое выражение самостоятельно, может содержать sin, cos ,, … С нашими эквивалентными выражениями пошаговые вычисления и упрощение калькулятора ускоряются, и он отображает эквивалентный калькулятор выражения, инструмент выполняет вычисления … Наша математика решатель научиться их вычислять Калькулятор упростит дроби, полиномиальные, рациональные, радикальные, экспоненциальные логарифмические.Где необходимо, и гиперболические выражения 2 (5x + 4) -3x и обратитесь к нижеприведенному. Пошаговый калькулятор Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы определим тригонометрические эквиваленты! Определенно, среди основных опасений студентов во всем мире отрицательное в единичном круге значение для … Определите обратные функции, мы определим эквивалентные тригонометрические выражения, демонстрируя эквивалентность алгебраически графически. Калькулятор что-то не вычислил или вы обнаружили ошибку, дважды проверьте свое выражение, например 2 5x + 4… Функции и программа для элементарной алгебры и других математических тем бесплатный калькулятор тригонометрических уравнений Добавить! Поле появившееся в третьем квадранте 5x `эквивалентно` 5 * x …. Функции, мы научимся их оценивать get `tan ((!

  Pso2 Gunner / Hunter Build 2020, Garbh Me Ladka Ho To Kaise Sapne Aate Hai, Комнаты в аренду в Джиллингеме, Кент, Лучшие ракетки для софтбола Fastpitch 2020, Сухое миндальное молоко Walmart, Рецепты небрежного Джо, Джеймс 4 2 3 усилителя, Ананасовый гарнир с ветчиной, Вакансии группы партнеров, Goo Gone Средство для удаления клея и ленты,

  Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

  Purplemath

  При решении тригонометрических уравнений используются как исходные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры.Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

  Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций на минимум по первому периоду. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

  ---

  MathHelp.com

  • Решить sin (

    x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

  Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

  грех ( x ) + 2 = 3

  грех ( x ) = 1

  Теперь я буду использовать запомненные углы отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

  Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 на

  π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование его в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

  Итак, в градусах мой ответ:

  ---

  • Решить tan

    ² (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 °

  Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает квадратный корень из 3, и получить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

  Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:

  ---

  • Решить в интервале 0 ° & leq;

    x <360 °

  Левая часть этого уравнения множится.Я привык делать простой факторинг, например:

  2 y ² + 3 y = 0

  y (2 y + 3) = 0

  … и затем решить каждый из факторов. То же самое и здесь. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

  Я занимался алгеброй; то есть, я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два тригонометрических уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусоиде. Из первого уравнения я получаю:

  Из второго уравнения я получаю:

  Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение для исходного уравнения как:

  x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °

  ---

  • Решить sin

    ² (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

  Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

  грех ² (θ) — грех (θ) — 2 = 0

  Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

  В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

  Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

  грех ² (θ) — грех (θ) — 2 = 0

  (грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

  Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

  Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

  Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

  грех (θ) + 1 = 0

  sin (θ) = –1

  θ = (3/2) π

  Тогда мой ответ:

  (Если в своем классе вы выполняете решения только для степеней, указанное выше значение решения равно «270 °».)

  ---

  • Решить cos

    ² (α) + cos (α) = sin ² (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

  Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

  cos ² (α) + cos (α) = sin ² (α)

  cos ² (α) + cos (α) = 1 — cos ² (α)

  2cos ² (α) + cos (α) — 1 = 0

  (2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

  cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

  Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:

  ---

  • Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β

    <360 °

  Я могу использовать обозначение с двумя углами в правой части, а также переставлять и упрощать; тогда я учитываю:

  sin (β) = 2sin (β) cos (β)

  sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

  sin (β) (1-2cos (β)) = 0

  sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

  Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °.Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

  Косинус (из второго триггерного уравнения) равен

  1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

  β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °

  ---

  • Решить sin (

    x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

  Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

  Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

  (sin ( x ) + cos ( x )) ² = (1) ²

  sin ² ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos ² ( x ) = 1

  [sin ² ( x + cos ² ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

  1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

  2sin ( x ) cos ( x ) = 0

  sin ( x ) cos ( x ) = 0

  Ха; пойди и посчитай: я возведен в квадрат и получил то, с чем мог бы работать с .Хороший!

  Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

  x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

  Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я возведен в квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

  (Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

  Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

  sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

  … поэтому решение « x = 0 °» работает

  sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

  …поэтому решение « x = 90 °» тоже работает

  sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

  … ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

  sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

  … так что « x = 270 °» тоже не работает,

  Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

  Мое реальное решение :

  ---

  Примечание. В приведенном выше описании я мог бы остановиться на этой строке:

  .

  … и использовал идентичность двойного угла для синуса, наоборот, вместо того, чтобы делить 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:

  2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0

  Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т. Д., И разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

  Трюк с возведением в квадрат в последнем примере, приведенном выше, встречается нечасто, но если ничего не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.

  ---

  URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm

  .