Решить целые выражения: Преобразование целых выражений

Преобразование целых выражений

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение и примеры целых выражений

Определение 1

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые  также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: 7, 0, −12, 711, 2,73, -356 и так далее, причем переменные вида a, b, p, q, x, z считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

x+1, 5·y3·2·3·7−2·y−3,3−x·y·z4, -67, 5·(2·x+3·y2)2−-(1−x)·(1+x)·(1+x2)

Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида x:5+8:2:4 или (x+y):6, тогда деление может обозначаться  при помощи дробной черты, как x+35-3,2·x+2.  При рассмотрении выражений вида x:5+5:x или 4+a2+2·a-6a+b+2·c видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как  в первом имеется деление на переменную x, а во втором на выражение с переменной.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Пример 1

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в 2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b).

Решение

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b)==2·a3+2·3·a·b+2·(−2·a)−2·a3−5·a·b+6·a−b==2·a3+6·a·b−4·a−2·a3−5·a·b+6·a−b

После чего можем привести подобные слагаемые:

2·a3+6·a·b−4·a−2·a3−5·a·b+6·a−b==(2·a3−2·a3)+(6·a·b−5·a·b)+(−4·a+6·a)−b==0+a·b+2·a−b=a·b+2·a−b.

После их приведения получаем многочлен вида a·b+2·a−b.

Ответ: 2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b)=a·b+2·a−b.

Пример 2

Произвести преобразования (x-1):23+2·(x2+1):3:7.

Решение

Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид (x-1)·32+2·(x2+1)·13·17. Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

(x-1)·32+2·(x2+1)·13·17=32·(x-1)+221·x2+1==32·x-32+221·x2+221=221·x2+32·x-5942=221·x2+112·x-11742

Ответ: (x-1):23+2·(x2+1):3:7=221·x2+112·x-11742.

Пример 3

Представить выражение 6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x) в виде произведения.

Решение

Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида 6·y, который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что 6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)==6·y·(x2+3·x−1)−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)

Видно, что получили разность двух выражений вида 6·y·(x2+3·x−1) и (x2+3·x−1)·(x3+4·x) с общим множителем x2+3·x−1, который необходимо вынести за скобки. Получим, что

6·y·(x2+3·x−1)−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)==(x2+3·x−1)·(6·y−(x3+4·x))

Раскрыв скобки, имеем выражение вида (x2+3·x−1)·(6·y−x3−4·x), которое необходимо было найти по условию.

Ответ: 6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)==(x2+3·x−1)·(6·y−x3−4·x)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

Пример 4

Преобразовать выражение (3·2−62:9)3·(x2)4+4·x:8

.

Решение

Вы первую очередь выполняются действия  в скобках. Тогда имеем, что 3·2−62:9=3·2−36:9=6−4=2. После преобразований выражение принимает вид 23·(x2)4+4·x:8. Известно, что 23=8 и (x2)4=x2·4=x8, тогда можно прийти к выражению вида 8·x8+4·x:8. Второе слагаемое требует замены деления на умножение из 4·x:8. Сгруппировав множители, получаем, что

8·x8+4·x:8=8·x8+4·x·18=8·x8+4·18·x=8·x8+12·x

Ответ: (3·2−62:9)3·(x2)4+4·x:8=8·x8+12·x.

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Пример 5

Представить в виде многочлена 2·(2·x3−1)+(2·x−1)2·(3−x)+(4·x−x·(15·x+1)).

Решение

В данном выражение начать преобразования с выражения вида 4·x−x·(15·x+1), причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим –x на 15·x+1, тогда получим 4·x−x·(15·x+1)=4·x−15·x2−x=(4·x−x)−15·x2=3·x−15·x2. Заданное выражение примет вид 2·(2·x3−1)+(2·x−1)2·(3−x)+(3·x−15·x2).

Далее необходимо произвести возведение во 2 степень многочлена 2·x−1, получим выражение вида (2·x−1)2=(2·x−1)·(2·x−1)=4·x2+2·x·(−1)−1·2·x−1·(−1)==4·x2−4·x+1

 Теперь можно перейти к виду 2·(2·x3−1)+(4·x2−4·x+1)·(3−x)+(3·x−15·x2).

Разберем умножение. Видно, что 2·(2·x3−1)=4·x3−2 и (4·x2−4·x+1)·(3−x)=12·x2−4·x3−12·x+4·x2+3−x==16·x2−4·x3−13·x+3

тогда можно сделать переход к выражению вида (4·x3−2)+(16·x2−4·x3−13·x+3)+(3·x−15·x2).

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

(4·x3−2)+(16·x2−4·x3−13·x+3)+(3·x−15·x2)==4·x3−2+16·x2−4·x3−13·x+3+3·x−15·x2==(4·x3−4·x3)+(16·x2−15·x2)+(−13·x+3·x)+(−2+3)==0+x2−10·x+1=x2−10·x+1.

Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид x2−10·x+1.

Ответ: 2·(2·x3−1)+(2·x−1)2·(3−x)+(4·x−x·(15·x+1))=x2−10·x+1.

Умножение и возведение  в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Пример 6

Преобразовать 4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n).

Решение

Из формулы квадрата получим, что (2·m+n)2=(2·m)2+2·(2·m)·n+n2=4·m2+4·m·n+n2, тогда произведение (m−2·n)·(m+2·n) равняется разности квадратов m и 2·n, таким образом, равняется m2−4·n2. Получим, что исходное выражение примет вид 4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n)=4·(4·m2+4·m·n+n2)+(m2−4·n2)==16·m2+16·m·n+4·n2+m2−4·n2=17·m2+16·m·n

Ответ:

4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n)=17·m2+16·m·n.

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Пример 7

Упростить выражение вида (2·a·(−3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+a·b·(a2+1+a2)·(6·a+15·b2)+(5·a·b·(−3)·b2)

Решение

Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида −6·a3·b·(2·a+5·b2)+a·b·(2·a2+1)·(6·a+15·b2)−15·a·b3. Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

−6·a3·b·(2·a+5·b2)+a·b·(2·a2+1)·(6·a+15·b2)−15·a·b3==−12·a4·b−30·a3·b3+(2·a3·b+a·b)·(6·a+15·b2)−15·a·b3==−12·a4·b−30·a3·b3+12·a4·b+30·a3·b3+6·a2·b+15·a·b3−15·a·b3==(−12·a4·b+12·a4·b)+(−30·a3·b3+30·a3·b3)+6·a2·b+(15·a·b3−15·a·b3)=6·a2·b

Ответ: (2·a·(−3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+a·b·(a2+1+a2)·(6·a+15·b2)++(5·a·b·(−3)·b2)=6·a2·b

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Урок 23. целые выражения — Алгебра — 7 класс

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 23

Целые выражения

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения; многочлен.
• Произведение, сумма, разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Целые выражения.

Тезаурус:

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.

Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;

2)привести подобные члены.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?

(17 + с)

(16а – 15х)

(3 + 4ас)

(х + у)

Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.

Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.

Начнём с определения.

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.

Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.

Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.

8х + 12 – целое выражение.

Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.

Вспомним их.

Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выполняется умножение многочленов.

(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су

Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, так находится сумма многочленов:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, так находится разность двух многочленов.

(а + с) – (к + х) = а + с – к – х

Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим, как упрощать целое выражение.

Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).

Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =

Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду

= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.

Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.

Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к² + у² – 8х²)

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения упростим выражение.

Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к² + у² – 8х²) = 2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу – (кк + к( -2х) + 2кх + 2х(-2х)) + к² + у² – 8х² = 4х² – у² – (к² – 4х²) + к² + у² – 8х² = 4х² – у² – к² + 4х² + к² + у²– 8х^{2= (4 + 4 – 8)х2 + (1 – 1)у2 + (1 – 1)к2 = 0х2 + 0у2 + 0к2 = 0}

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Задача.

Составьте целое выражение по тексту задачи.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).

Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.

Ответ: (а + с)(к + х).

2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х²

Решение.

Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.

3 · (х + 3)(х –6) – 5х² = 3(хх + х·(-6) + 3х + 3·(-6)) – 5х² = 3·(х² –6х + 3х –18) – 5х² = 3х² + 3·(-6)х + 3 · 3х + 3 · (-18) – 5х² = 3х² – 18х + 9х – 54 – 5х² = -2х² – 9х – 54

Ответ: 2.

Конспект урока Преобразование целого выражения в многочлен.

Учитель: Захарова Наталия Ивановна

Предмет: алгебра

Класс: 7 а

Тема. Преобразование целого выражения в многочлен.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Цели: Продолжить формирование умений и навыков преобразовывать целые выражения используя формулы сокращенного умножения; проверить уровень усвоения материала.

Развивать математическую культуру в чтении и оформлении записи выражений, интерес к решению примеров, где используются формулы сокращенного умножения,

Воспитывать чувство товарищества, деликатности и дисциплинированности.

Организационная структура урока. 1.Организационный этап.( Проверить готовность класса к работе)

2.Постановка цели и задач урока.

— Представим себе, что сегодня наш класс – отправляется в путешествие которое называется «По волнам моей памяти». (Слайд)

В процессе путешествия вы должны: закрепить изученный материал, показать уровень усвоения последних тем, разобраться в непонятных ранее моментах, проконтролировать и оценить свои знания.

3.Проверка домашнего задания.

1уровень.

Составить и записать 2 целых выражения и 2 выражения, которые не являются целыми.

Один ученик записывает 2 целых выражения, другой – 2 не целых.

2 уровень

Решить № 920(а,б )

2 ученика записывают на доске решение.

3 уровень

1. Вычислите наиболее рациональным способом.

.

4.Актуализация опорных знаний.

Устная работа.

-Мы продолжаем путешествие по волнам вашей памяти.

-Какие выражения мы изучили на прошлом уроке? (целые)

— Давайте вспомним, какие выражения называются целыми? ( Выражения, составленные из чисел, степеней, переменных, с помощью действий сложения, умножения, вычитания и деления на число, отличное от нуля.)

(Слайд) Выясните, являются ли данные выражения целыми выражениями.

а) б) ; в) 20ху:5у; г) ;

д) ; е) 15ху :3.

-Какие приемы нужно использовать для преобразования целого выражения в многочлен? (Умножение одночлена на многочлен, многочлена на многочлен, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения)

Слайд. Установите соответствие между выражениями первого и второго столбиков с помощью стрелок

5. Формирование навыков и умений.

(Слайд ) Какие приёмы нужно использовать, чтобы преобразовать данные выражения в многочлен стандартного вида? ( Работа в группах)

1.х²-3x-5x²+9x-l.

2. (x⁵+х)-(x⁴+2x³-х²-5)

3. (а+2х)(3 + b)

4. (5b-x²)(5b+х² )

5. (5 + а)²;

-Ребята, мы повторили и закрепили приемы преобразования целых выражений в многочлены. А теперь подумайте и скажите где можно использовать эти преобразования? (При решении уравнений, доказательстве тождеств ).

(Слайд) Портрет Эйнштейна и его высказывание.

-Вот и займемся решением уравнений.

(Слайд)1. .

_2..

_3..

Игра Домино (У каждого из вас имеется карточка-домино. Карточка содержит вопрос и ответ. Первым начинает ученик, у которого карточка содержит слово «Старт» Он задаёт стартовый вопрос. Каждый ученик должен внимательно следить за ходом игры, чтобы не пропустить свой ответ. Ответив, ученик задаёт свой вопрос и т.д.)

Физминутка

(Слайд) Подготовка к ОГЭ

1. Упро­сти­те вы­ра­же­ние , най­ди­те его зна­че­ние при . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

(Слайд) Кот в мешке (работа в группах)

5.Рефлексия учебной деятельности на уроке.

— Сегодня у нас был заключительный урок. Вспоминайте, по какой теме? Да,

«Преобразование целого выражения в многочлен » и мы повторяли, обобщали, приводим в систему изученный материал. Перед вами стояла задача – показать свои знания, умения по преобразованию целого выражения в многочлен.

Как вы думаете? Справились с задачей?

Оценивается работа ребят.  

Затем каждый ученик выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписям:

Красный – «Ура! Всё понял и усвоил!»,

Желтый- «Трудно, но кажется понял!»

Зеленый- «Непонятно, но хочу знать!»

4. Домашнее задание

(заранее заготовлено и распечатано на листах каждому ученику).

Вариант 1

1.Преобразуйте в многочлен выражение

2.Упростите выражение

3.Решите уравнение

Вариант 2

1.Преобразуйте в многочлен выражение

2.Упростите выражение

3.Решите уравнение

Сложение и вычитание целых чисел

В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.

Рассмотрим следующее простейшее выражение

1 + 3

Значение данного выражения равно 4

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

---

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

---

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

---

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

---

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

---

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

---

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

---

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1  знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

(+3) − (+7)

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

---

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

(−4) − (+5)

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9

---

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

---

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

−50 + 40

Решение

−50 + 40 = −10

Задание 2. Найдите значение выражения:

25 + (−5)

Решение

25 + (−5) = 20

Задание 3. Найдите значение выражения:

−20 + 60

Решение

−20 + 60 = 40

Задание 4. Найдите значение выражения:

20 + (−8)

Решение

20 + (−8) = 12

Задание 5. Найдите значение выражения:

30 + (−50)

Решение

30 + (−50) = −20

Задание 6. Найдите значение выражения:

27 + (−19)

Решение

27 + (−19) = 8

Задание 7. Найдите значение выражения:

−17 + (−12) + (−8)

Решение

Задание 8. Найдите значение выражения:

−6 − 4

Решение

−6 − 4 = −6 + (−4) = −10

Задание 9. Найдите значение выражения:

−6 − (−4)

Решение

−6 − (−4) = −6 + 4 = −2

Задание 10. Найдите значение выражения:

−15 − (−15)

Решение

−15 − (−15) = −15 + 15 = 0

Задание 11. Найдите значение выражения:

−11 − (−14)

Решение

−11 − (−14) = −11 + 14 = 3

Задание 12. Найдите значение выражения:

−3 + 2 − (−1)

Решение

Задание 13. Найдите значение выражения:

−5 − 6 − 3

Решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Рациональные уравнения (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Дробно-рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac{5}{x+1}+\frac{4{x}-6}{(x+1)\cdot (x+3)}=3\).

Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член \( \displaystyle 13\) приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

\( \displaystyle \frac{5(x+1)\cdot (x+3)}{x+1}+\frac{(4{x}-6)\cdot (x+1)\cdot (x+3)}{(x+1)\cdot (x+3)}=3\cdot (x+1)\cdot (x+3)\).

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

\( \displaystyle 5(x+3)+(4{x}-6)=3\cdot (x+1)\cdot (x+3)\).{2}}+3x=0.\end{array}\)

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\). 

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь \( \displaystyle -1\), и тут же видим в знаменателе первого члена \( \displaystyle -1+1\)!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ – Области Допустимых Значений!

(если забыл что это, повтори тему «ОДЗ – область допустимых значений»!)

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: \( \displaystyle x+1\ne 0\) и \( \displaystyle x+3\ne 0\) \( \displaystyle \Rightarrow x\ne -1\) и \( \displaystyle x\ne -3\).

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Целые рациональные выражения. Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби

Целые рациональные выражения

Целыми рациональными выражениями называются все числовые выражения, а также выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень. Если рассматривать выражения от одной переменной, то простейшим примером целого рационального выражения является многочлен степени n ∈ N:

Другие примеры целых рациональных выражений:


Выражения

не являются целыми рациональными, поскольку содержат операции возведения в целую отрицательную степень и деления на переменные.

Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби

Дробными рациональными выражениями (дробно-рациональными выражениями) называются выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень и деления на выражения с переменными. Если рассматривать выражения от одной переменной, то примером дробно-рационального выражения является отношение двух многочленов:

Другие примеры дробных рациональных выражений:

Рациональной дробью называется выражение

где Р и Q — рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Примеры рациональных дробей:


Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен,

если R≠0;

если R — целое рациональное выражение.
Приведем примеры на использование основного свойства дроби.
Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Основное свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби

умножить на (-1), то получим

Отсюда значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у
числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Также можно записать:

Пример 4.

Пример 5.

Сокращение рациональных дробей

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность подобного рода сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно попытаться разложить на множители числитель и знаменатель. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример 1. Сократить дробь

Решение.

Ответ:

Пример 2. Сократить дробь

Решение.

Ответ:

Алгебраические выражения

Алгебраические выражения составляются из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок.

Рассмотрим некоторые примеры алгебраических выражений:

2a²b – 3ab²(a + b)

a + b + c/5

(1/a + 1/b – c/3)³.

Существует несколько видов алгебраических выражений.

Целым называется такое алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в том числе, возведения в степень с дробным показателем).

2a²b – 3ab²(a + b) является целым алгебраическим выражением.

(1/a + 1/b – c/3)³ не является целым алгебраическим выражением, т.к. содержит деление на переменную.

Дробным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления.

(1/a + 1/b – c/3)³ является дробным алгебраическим выражением.

Рациональными алгебраическими выражениями называются целые и дробные выражения.

Значит, и 2a²b – 3ab²(a + b), и (1/a + 1/b – c/3)³ – это рациональные алгебраические выражения.

Иррациональное алгебраическое выражение – это такое алгебраическое выражение, в котором используются извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень).

a ^2/3 – b ^2/3 – иррациональное алгебраическое выражение.

Иными словами, все алгебраические выражения делятся на две большие группы: рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Рациональные выражения, в свою очередь, делятся на целые и дробные.

Допустимым значением переменных называется такое значение переменных, при котором алгебраическое выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменной – это область определения алгебраического выражения.

Целые выражения имеют смысл при любых значениях его переменных. Например, 2a²b – 3ab²(a + b) имеет смысл и при a = 0, b = 1, и при a = 3, b = 6 и др.

Предположим, что a = 0, b = 1, и попробуем найти решение выражения

2a²b – 3ab²(a + b).

Если a = 0, b = 1, то 2 ∙ 0² ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1² ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Значит, при a = 0, b = 1 выражение равно 0.

Дробные выражения имеют смысл только в том случае, если значения не обращают переменные в нуль: вспомним наше «золотое правило» – на нуль делить нельзя.

Выражение (1/a + 1/b – c/3)³ имеет смысл при a и b не равных нулю (а ≠ 0, b ≠ 0). В противном случае мы получим деление на нуль.

Иррациональное выражение не будет иметь смысл при значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.

Выражение a ^2/3 – b ^2/3 имеет смысл при a ≥ 0 и b ≥ 0. В противном случае мы столкнемся с возведением в дробную степень отрицательного числа.

Значением алгебраического выражения называется числовое выражение, получившееся в результате того, что переменным придали допустимые значения.

Найдем значение алгебраического выражения

a + b + c/5 при a = 6, b = 3, c = 5.

1. Выражение a + b + c/5 является целым алгебраическим выражением → все значения являются допустимыми.

2. Подставим числовые значения переменных и получим:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Итак, ответ: 10.

Тождеством называют равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Тождественно равными называются выражения, соответственные значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Так, выражения x⁵ и x² ∙ x³, a + b + c и b + c + a являются тождественно равными между собой.

Понятие тождественно равных выражений приводит нас к еще одному важному понятию – тождественное преобразование выражений.

Тождественным преобразованием выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

Это значит, выражение x⁵ можно тождественно преобразовать в выражение x² ∙ x³.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1: Целые числа — математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Без заголовков

Добро пожаловать в изучение предалгебры. В этой первой главе мы познакомим вас с набором натуральных чисел, а затем рассмотрим набор целых чисел.Затем мы кратко рассмотрим навыки сложения, вычитания, умножения и деления с использованием целых чисел, которые являются предпосылкой успеха в изучении предалгебры. Попутно мы представим ряд свойств целых чисел и покажем, как их можно использовать для оценки выражений, включающих операции с целыми числами. Мы также определим, что подразумевается под простыми числами и составными числами , обсудим ряд тестов на делимость, а затем покажем, как любое составное число может быть однозначно записано как произведение простых чисел.Это заложит основу для необходимых навыков работы с дробными числами в последующих главах. Наконец, мы познакомим вас с концепцией переменной и , а затем познакомим с уравнениями и методами, необходимыми для их решения. Мы будем использовать уравнения для моделирования и решения ряда реальных приложений.

Давайте начнем путешествие.

• 1.1: Введение в целые числа

• 1.2: Сложение и вычитание целых чисел

• 1.3: Умножение и деление целых чисел

  Мы начинаем этот раздел с обсуждения умножения целых чисел. Первым делом нужно ввести различные символы, используемые для обозначения умножения двух целых чисел.

• 1.4: Первичная факторизация

• 1.5: Порядок операций

• 1.6: Решение уравнений сложением и вычитанием

• 1.7: Решение уравнений умножением и делением

• 1.8: Использование языка алгебры (часть 1)

  Выражение — это число, переменная или комбинация чисел, переменных и символов операций. Уравнение состоит из двух выражений, соединенных знаком равенства. Неравенство используется в алгебре для сравнения двух величин, имеющих разные значения. Экспоненциальная запись используется в алгебре для представления величины, умноженной на себя в несколько раз.

• 1.9: Используйте язык алгебры (часть 2)

  При упрощении математических выражений выполняйте операции в следующем порядке: Упростите все выражения внутри круглых скобок или другие символы группировки, работая в первую очередь с самыми внутренними скобками. Упростите все выражения с помощью показателей. Все операции умножения и деления выполняйте слева направо. Все операции сложения и вычитания выполняйте слева направо. Умножение и деление, сложение и вычитание имеют равный приоритет.

• 1.10: Оценить, упростить и преобразовать выражения (часть 1)

  Чтобы оценить алгебраическое выражение, мы подставляем заданное число вместо переменной в выражение, а затем упрощаем выражение, используя порядок операций. Мы также можем упростить выражение, объединив похожие термины. Термин — это константа или произведение константы и одной или нескольких переменных. Термины, которые либо являются константами, либо имеют одинаковые переменные с одинаковыми показателями степени, похожи на термины.

• 1.11: Оценивать, упрощать и переводить выражения (часть 2)

  Для решения реальных проблем нам сначала нужно прочитать проблему, чтобы определить, что мы ищем. Затем мы пишем словосочетание, которое дает информацию, чтобы найти его. Затем мы переводим словосочетание в математическую нотацию, а затем упрощаем. Наконец, мы переводим математические обозначения в предложение, чтобы ответить на вопрос.

• 1.12: Решение уравнений с использованием свойств равенства и сложения (Часть 1)

  Чтобы определить, является ли число решением уравнения, сначала подставьте число вместо переменной в уравнении.Затем упростите выражения с обеих сторон уравнения и определите, истинно ли полученное уравнение. Если это правда, число — это решение. Если это не так, число не решение. Свойства равенства вычитания и сложения помогают найти переменную в уравнении.

• 1.13: Решение уравнений с использованием свойств вычитания и сложения равенства (Часть 2)

  Для решения реальных проблем нам сначала нужно прочитать задачу, чтобы определить, что мы ищем.Затем мы пишем словосочетание, которое дает информацию, чтобы найти его. Затем мы переводим словосочетание в математическую нотацию, а затем упрощаем. Наконец, мы переводим математические обозначения в предложение, чтобы ответить на вопрос.

• 1.E: Введение в язык алгебры (упражнения)

• 1.E: целые числа (упражнения)

• 1.S: введение в язык алгебры (Резюме)

• 1.S: Целые числа (сводка)

Определение того, является ли целое число решением уравнения

Результаты обучения

• Определить, является ли целое число решением уравнения

Определить, является ли число решением уравнения

Решение уравнения похоже на поиск ответа на загадку. Алгебраическое уравнение утверждает, что два алгебраических выражения равны. Решение уравнения — это определение значений переменной, которые делают уравнение истинным.Любое число, которое делает уравнение истинным, называется решением уравнения. Это ответ на загадку!

Решение уравнения

Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.
Процесс поиска решения уравнения называется решением уравнения.

Найти решение уравнения — это значит найти значение переменной, которая делает уравнение истинным.Сможете ли вы распознать решение [латекс] x + 2 = 7? [/ Latex] Если вы сказали [latex] 5 [/ latex], вы правы! Мы говорим, что [latex] 5 [/ latex] является решением уравнения [latex] x + 2 = 7 [/ latex], потому что когда мы заменяем [latex] x [/ latex] [latex] 5 [/ latex], полученное утверждение верно.

[латекс] \ begin {array} {} \\ \ hfill x + 2 = 7 \ hfill \\ \ hfill 5 + 2 \ stackrel {?} {=} 7 \ ​​hfill \\ \\ \ hfill 7 = 7 \ quad \ checkmark \ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку [latex] 5 + 2 = 7 [/ latex] — верное утверждение, мы знаем, что [latex] 5 [/ latex] действительно является решением уравнения.
Символ [латекс] \ stackrel {?} {=} [/ Latex] спрашивает, равна ли левая часть уравнения правой части. Как только мы узнаем, мы можем изменить знак равенства [latex] \ text {(=)} [/ latex] или знак неравенства [latex] \ text {(\ not =).} [/ Latex]

Определите, является ли число решением уравнения.

1. Подставьте число вместо переменной в уравнение.
2. Упростите выражения с обеих сторон уравнения.
3. Определите, истинно ли полученное уравнение.
   • Если это правда, число является решением.
   • Если это не так, число не решение.

пример

Определите, является ли [латекс] x = 5 [/ latex] раствором [латекса] 6x — 17 = 16 [/ latex].

Решение

	[латекс] 6x-17 = 16 [/ латекс]
Замените x [латекс] \ color {red} {5} [/ latex].	[латекс] 6 \ cdot \ color {красный} {5} -17 = 16 [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 30-17 = 16 [/ латекс]
Вычесть.	[латекс] 13 = 16 [/ латекс]

Итак, [латекс] x = 5 [/ latex] не является решением уравнения [латекс] 6x — 17 = 16 [/ latex].

пример

Определите, является ли [латекс] y = 2 [/ latex] раствором [латекса] 6y — 4 = 5y — 2 [/ latex].

Показать решение

Решение
Здесь переменная появляется с обеих сторон уравнения. Мы должны заменить [latex] 2 [/ latex] на каждый [latex] y [/ latex].

	[латекс] 6y-4 = 5y-2 [/ латекс]
Замените y [латекс] \ color {red} {2} [/ latex].	[латекс] 6 (\ color {red} {2}) — 4 = 5 (\ color {red} {2}) — 2 [/ latex]
Умножить.	[латекс] 12-4 = 10-2 [/ латекс]
Вычесть.	[латекс] 8 = 8 [/ латекс]

Поскольку [latex] y = 2 [/ latex] приводит к истинному уравнению, мы знаем, что [latex] 2 [/ latex] является решением уравнения [latex] 6y — 4 = 5y — 2 [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как проверить, является ли целое число решением линейного уравнения.

Умножение выражений — методы и примеры

Работа с рациональными выражениями может показаться трудной для некоторых студентов, но правила умножения выражений такие же, как и для целых чисел. В математике рациональное число определяется как число в форме p / q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю.

Примеры рациональных чисел: 2/3, 5/8, -3/14, -11 / -5, 7 / -9, 7 / -15 и -6 / -11 и т. Д.

Алгебраический выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью рабочих символов (+, -, × & ÷).

Например, , 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений. Точно так же рациональное выражение имеет вид p / q, и один или оба p и q являются алгебраическими выражениями.

Примеры рационального выражения включают: 3 / (x — 3), 2 / (x + 5), (4x — 1) / 3, (x ² + 7x) / 6, (2x + 5) / (x ² + 3x — 10), (x + 3) / (x + 6) и т. д.

Как умножать рациональные выражения?

В этой статье мы узнаем, как умножать рациональные выражения, но перед этим напомним себе, что умножаются две дроби.

Умножение двух дробей влечет за собой нахождение числителя первой и второй дробей и произведения знаменателя. Другими словами, умножение двух рациональных чисел равно произведению числителей на произведение их знаменателей.

Точно так же умножение рациональных чисел равно произведению их числителей / произведению их знаменателей.Например, если a / b и c / d — два рациональных выражения, то умножение a / b на c / d дается как; a / b × c / d = (a × c) / (b × d).

В качестве альтернативы вы можете выполнить умножение рациональных выражений на; сначала факторизуем и вычитаем числитель и знаменатель, а затем умножаем оставшиеся множители.

Ниже приведены шаги, необходимые для умножения рациональных выражений:

• Вынесите за множитель знаменатель и числитель каждого выражения.
• Сократите выражения до наименьшего возможного числа, только если числители и множители знаменателя являются общими или похожими.
• Перемножьте оставшиеся выражения.

Пример 1

Умножение 3 / 5y * 4 / 3y

Решение

Раздельное умножение числителей и знаменателей;

3 / 5y * 4 / 3y = (3 * 4) / (5y * 3y)

= 12 / 15y ²

Уменьшить дробь путем сокращения на 3;

12 / 15y ² = 4 / 5y ²

Пример 2

Умножение {(12x — 4x ² ) / (x ² + x — 12)} * {(x ² + 2x -8) / (x ³ -4x)}

Решение

Вынесите за скобки числители и знаменатели каждого выражения;

= {- 4x (x — 3) / (x-3) (x + 4)} * {(x — 2) (x + 4) / x (x + 2) (x — 2)}

Сократите или отмените выражения и перепишите оставшуюся дробь;

= -4 / x + 2

Пример 3

Умножить (x ² — 3x — 4 / x ² -x -2) * (x ² — 4 / x ² + x — 20).

Решение

Разложите числители и знаменатели всех выражений на множители;

= (x — 4) (x + 1) / (x + 1) (x — 2) * (x + 2) (x — 2) / (x — 4) (x + 5)

Отменить а остальные множители перепишем;

= x + 2 / x + 5

Пример 4

Умножить

(9 — x ² / x ² + 6x + 9) * (3x + 9 / 3x — 9)

Решение

Разложите числители и знаменатели на множители и исключите общие множители;

= — 1 (x + 3) (x — 3) / (x + 3) ² * 3 (x + 3) / 3 (x — 30

= -1

Пример 5

Упростить: (x ² + 5x + 4) * (x + 5) / (x ² -1)

Решение

Факторизуя числитель и знаменатель, мы get;

=> (x + 1) (x + 4) (x + 5) / (x + 1) (x-1)

Отбрасывая общие термины, получаем;

=> (x + 4) (x + 5) / x-1

Пример 6

Умножить (( x + 5) / ( x — 4)) * ( x / x + 1)

Решение

= (( x + 5) * x ) / (( x — 4) * ( x + 1))

= ( x ² + 5x) / ( x ² — 4x + x -4)

= ( x ² + 5x) / ( x ² — 3x– 4)

Умножая целое число на алгебраическое выражение, вы умножаете его на числитель выражения.

Это возможно, потому что любое целое число всегда имеет знаменатель 1. И поэтому правила умножения между выражением и целым не меняются.

Рассмотрим пример 7 ниже:

Пример 7

Умножение (( x + 5) / ( x ² — 4)) * x

Решение

= (( x + 5) / ( x ² — 4)) * x /1

= ( x + 5) * x / ( x ² — 4) × 1

= ( x ² + 5x) / ( x ² — 4)

Практические вопросы

Упростите следующие рациональные выражения:

1. 4xy ² / 3y * 2x / 4y
2. (8x ² — 6x / 4 — x) * (x ² -16 / 4x ² -x — 3) * (-5x -5 / 2х + 8).
3. (x ² — 7x + 10 / x ² — 9x + 14) * (x ² — 6x -7 / x ² + 6x + 5)
4. (2x + 1 / x ² — 1) * (x + 1 / 2x ² + x)
5. (-3x ² + 27 / x ³ — 1) * (7x ³ + 7x ² + 7x / x — 3x) * (x — 1/21)
6. (x ² — 5x — 14 / x ² — 3x + 2) * (x ² — 4 / x ² — 14x + 49 )
7. Произведение суммы и разности двух чисел равно 17.Если произведение двух чисел равно 72, что это за два числа?

Ответы

1. 2x ² /3
2. 5x
3. x + 2 / x-2
4. 1 / x (x — 1)
5. — x — 3
6. (x + 2) ² / (x — 1) (x — 7)
7. 8 & 9

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Распределительное свойство

: 5 наглядных примеров для использования в классе

Что такое распределительное свойство ? Это одно из наиболее часто используемых свойств в математике, также известное как распределительный закон умножения.

Когда вы что-то распространяете, вы делите это на части. В математике свойство распределенности помогает упростить сложные задачи, поскольку оно разбивает выражения на сумму или разность двух чисел.

Согласно этому принципу, умножение суммы двух слагаемых на число даст нам тот же результат, что и умножение каждого слагаемого по отдельности на число, а затем их сложение.

Общие сведения о распределительном свойстве

Для выражений в форме a (b + c) , распределительное свойство показывает нам, как их решить:

• Умножение числа непосредственно за скобками на числа внутри
• Сложение продуктов

А как насчет PEMDAS? Что случилось с первой оценкой того, что заключено в круглые скобки?

Если ваши ученики задаются вопросом, почему вы не следуете порядку действий, которому их учили раньше, они не ошибаются.

Однако, когда в алгебраических выражениях есть круглые скобки, содержащие переменные — величину, которая может изменяться в контексте математической задачи, обычно представленной одной буквой, — выполнение этой операции невозможно.

Распределительное свойство умножения над сложением

Независимо от того, используете ли вы свойство распределения или следуете порядку операций, вы получите один и тот же ответ. В первом примере ниже мы просто оцениваем выражение в соответствии с порядком операций, упрощая сначала то, что было в скобках.

Используя закон распределения, мы:

1. Умножаем или распределяем внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Решите уравнение.

Давайте использовать реальный сценарий в качестве примера свойства распределения.

Представьте, что у одной студентки и двух ее подруг по семь клубники и четыре клементина. Сколько всего фруктов съедают все трое учеников?

В пакетиках для обеда — или, в скобках — по 7 клубники и 4 клементина.Чтобы узнать общее количество кусочков фруктов, им нужно все это умножить на 3.

Когда вы разбиваете его, вы умножаете 7 клубники и 4 клементина на 3 ученика. Итак, у вас есть 21 клубника и 12 клементинов, в общей сложности 33 кусочка фруктов.

Распределительное свойство умножения над вычитанием

Как и в описанной выше операции, выполнение распределительного свойства с вычитанием следует тем же правилам, за исключением того, что вы находите разницу вместо суммы.

Примечание : не имеет значения, является ли операция плюсом или минусом. Оставьте то, что указано в скобках.

Распределительное свойство с переменными

Помните, что мы говорили об алгебраических выражениях и переменных? Распределительное свойство позволяет нам упростить уравнения при работе с неизвестными значениями .

Используя закон распределения с задействованными переменными, мы можем выделить x :

1. Умножить или распределить внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Расположите члены так, чтобы константы и переменные находились по разные стороны от знака равенства.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : при изоляции переменных (см. Шаг 3) то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать с другой. Чтобы исключить 12 с левой стороны, вы должны добавить по 12 к левой и правой сторонам. То же самое касается умножения и деления: чтобы выделить x , разделите каждую сторону на 4.

Распределительное свойство с показателями степени

Показатель степени — это сокращенное обозначение, показывающее, сколько раз число умножается само на себя. Когда используются круглые скобки и показателей степени, использование свойства распределения может значительно упростить выражение.

1. Разверните уравнение.
2. Умножьте (распределите) первые числа каждого набора, внешние числа каждого набора, внутренние числа каждого набора и последние числа каждого набора.
3. Объедините похожие термины.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : Для второго шага используйте метод FOIL (first, external, inner, last) для распределения каждого выражения.

Распределимость с дробями

Решение алгебраических выражений с дробями выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Следуйте инструкциям, описанным ниже, чтобы увидеть, как это делается.

Надеюсь, этот пошаговый процесс поможет вашим ученикам понять, как и почему свойство распределения может пригодиться при упрощении дробей и комплексных чисел.

1. Определите дроби. Используя свойство distributive, вы в конечном итоге превратите их в целые числа.
2. Для всех дробей найдите наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее число, в которое могут точно поместиться оба знаменателя. Это позволит вам добавлять дроби.
3. Умножьте каждый член уравнения на НОК.
4. Изолируйте переменные, добавляя или вычитая одинаковые члены по обе стороны от знака равенства.
5. Объедините похожие термины.
6. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : На втором и третьем шагах мы находим НОК и используем его для умножения дробей, чтобы упростить и избавиться от них. Нужно быстро освежиться? См. Сообщение в нашем блоге о том, как умножать дроби.

Разнообразие свойств

Помимо свойства распределения, существуют другие часто используемые свойства, такие как свойство ассоциативности и свойство коммутативности.

Давайте посмотрим на ассоциативное свойство:

Ассоциативное свойство относится к группировке элементов вместе.Это правило гласит, что то, как числа (или целые числа) сгруппированы в математической задаче, не повлияет на результат.

Пример дополнения:

a + (b + c) = (a + b) + c или 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Пример умножения:

5 × 4 × 2 = (5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40

Это свойство работает с умножением, сложением, вычитанием и делением.

Различные способы изучения распределительных свойств

1.Prodigy

Prodigy — это адаптивная игровая платформа для обучения математике, которую любят более миллиона учителей и 150 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает согласованное с учебной программой содержание по каждой основной математической теме с 1-го по 8-й класс, в том числе инструкции:

• Используйте свойство распределения для раскрытия и решения выражений
• Заполните недостающие числа в эквивалентных выражениях, используя свойство распределения

Использование Prodigy Math Game помогает студентам изучать и практиковать математику, выходящую за рамки беглости фактов, и на втором и третьем уровнях DoK.Ответив на вопросы, подобные приведенному выше, учащиеся быстро овладеют распределительной функцией, наслаждаясь разнообразием наших руководств и рабочих листов.

Заинтересованы в дополнении уроков математики увлекательной игровой платформой для обучения?

Зарегистрируйтесь сейчас и получите бесплатную учетную запись

2. Проблемы со словами

Распространение может быть неприменимо к повседневной жизни, но давайте посмотрим на это в действии через некоторые проблемы со словами!

Лиам обладает разнообразными музыкальными вкусами.Просматривая музыку на его телефоне, друзья Лиама находят песни трех разных жанров: поп, металл и кантри. Металл-песен в шесть раз больше, чем поп-песен, и в 11 раз больше кантри, чем поп-песен. Если x представляет количество поп-песен, какое общее количество песен у Лиама на телефоне? Напишите выражение. Упрощать.

Чтобы получить количество металлических песен, умножьте количество поп-песен на пять — 5x . Чтобы получить количество песен в стиле кантри, умножьте количество популярных песен на 11 — 11x .Поскольку вы знаете, что x — это количество поп-песен, вы можете записать это выражение как:

Футбольный тренер школы предоставляет своей команде новую форму: майку, пару шорт и щитки на голенях. Одна футболка стоит 15 долларов, одна пара шорт — 11 долларов, а комплект щитков для голени — 8 долларов.

Сколько стоит каждая униформа на одного товарища по команде? Напишите выражение и упростите.

Сколько в сумме будет стоить, если в команде 11 игроков? Напишите выражение и упростите.

3. Массивы

Визуальные или практические манипуляторы помогают учащимся разобраться в математике и конкретизировать абстрактные концепции. Они особенно полезны для более глубокого понимания учащимися распределительных свойств.

Используйте предметы, картинки, числа — все, что угодно! — в строках и столбцах как удобный способ представления математических выражений, таких как 4×5 и 5×9. Ознакомьтесь с приведенным ниже примером на Indulgy:

Разбивая выражения на небольшие части, учащиеся могут решать более крупные и сложные математические задачи.Вот здесь и помогает распределительная собственность.

Если ребенок не может ответить 45, используйте меньшие массивы и перепишите выражение как 4 (3 + 2) или 4 (3) +4 (2). Это четыре строки по три плюс четыре строки по два , что аналогично массиву из четырех строк по пять .

Заключительные мысли о распределительном свойстве

Как одно из наиболее часто используемых свойств, важно научиться выполнять и применять распределительное свойство.Без него очистить круглые скобки было бы невозможно.

Включая ресурсы EdTech, массивы или математические текстовые задачи, учащиеся должны увидеть практическое применение распределительного свойства.

Был ли один пример более эффективным для вовлечения студентов и углубления их понимания? Есть только один способ узнать это — попробовать!

Prodigy Math Game — это игровая платформа для обучения математике, которую легко использовать как для преподавателей, так и для студентов.Он согласован с учебными планами англоязычных стран, им пользуются более миллиона учителей и 150 миллионов студентов!

Зарегистрируйте бесплатную учетную запись

Темы по алгебре: Упрощение выражений

Урок 7: Упрощение выражений

/ ru / algebra-themes / письменные-алгебраические-выражения / содержание /

Упрощение выражений

Упрощение выражения — это просто еще один способ сказать решение математической задачи . Когда вы упрощаете выражение, вы в основном пытаетесь записать его простейшим из возможных способов .В конце концов, больше не должно быть ничего сложения, вычитания, умножения или деления. Например, возьмите это выражение:

4 + 6 + 5

Если вы упростили , объединив термины до тех пор, пока ничего не останется, выражение будет выглядеть так:

15

Другими словами, 15 — это простейший способ записать 4 + 6 + 5. Обе версии выражения равны точно такой же сумме; один намного короче.

Упрощение алгебраических выражений — та же идея, за исключением того, что в вашем выражении есть переменные (или буквы).По сути, вы превращаете длинное выражение в нечто, что легко понять. Итак, такое выражение …

(13x + -3x) / 2

… можно упростить так:

5x

Если это кажется большим скачком, не волнуйтесь! Все, что вам нужно для упрощения большинства выражений, — это базовая арифметика — сложение, вычитание, умножение и деление — и порядок операций.

Порядок работы

Как и в случае с любой другой задачей, при упрощении алгебраического выражения вам необходимо соблюдать порядок операций .Порядок операций — это правило, которое сообщает вам правильный порядок для выполнения вычислений. Согласно порядку действий, решать проблему следует в таком порядке:

1. Круглые скобки
2. Показатели
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Давайте рассмотрим задачу, чтобы увидеть, как это работает.

В этом уравнении вы должны начать с упрощения части выражения в скобках : 24 — 20.

2 ⋅ (24-20) ² + 18 / 6-30

24 минус 20 равно 4. В соответствии с порядком операций, далее упростим любые экспоненты . В этом уравнении один показатель степени: 4 ² , или , четыре во второй степени .

2 ⋅ 4 ² + 18/6 — 30

4 ² равно 16. Далее нам нужно позаботиться об умножении на и делении на . Мы будем делать это слева направо: 2 ⋅ 16 и 18/6.

2 ⋅ 16 + 18/6 — 30

2 ⋅ 16 равно 32, а 18/6 равно 3. Остается только последний шаг в порядке операций: сложение и вычитание .

32 + 3 — 30

32 + 3 равно 35, а 35 — 30 равно 5. Наше выражение было упрощено — больше нечего делать.

5

Это все, что нужно! Помните, что вы, , должны соблюдать порядок операций при выполнении вычислений — в противном случае вы можете не получить правильный ответ.

Все еще немного запутались или нужно попрактиковаться? Мы написали целый урок по порядку действий. Вы можете проверить это здесь.

Добавление подобных переменных

Чтобы добавить одинаковые переменные, вы можете просто добавить коэффициенты . Таким образом, 3 x + 6 x равно 9 x . Вычитание работает так же, поэтому 5 y — 4 y = 1 y или просто y .

5–4 года = 1 год

Вы также можете умножить и разделить переменных на коэффициенты.Чтобы умножить переменные на коэффициенты, сначала умножьте коэффициенты, а затем запишите переменные рядом друг с другом. Таким образом, 3 x ⋅ 4 y равно 12 xy .

3x ⋅ 4y = 12xy

Распределительная собственность

Иногда при упрощении выражений можно увидеть что-то вроде этого:

3 (х + 7) -5

Обычно с Порядком операций мы сначала упростили бы, что такое внутри , с помощью круглых скобок. В этом случае, однако, нельзя упростить x + 7, поскольку мы не можем добавить переменную и число.Итак, каков наш первый шаг?

Как вы, наверное, помните, 3 за пределами круглых скобок означает, что нам нужно умножить все внутри скобок на 3. В скобках две вещи : x и 7 . Нам нужно будет умножить их , оба на 3.

3 (х) + 3 (7) — 5

3 · x — это 3x , а 3 · 7 — это 21 . Мы можем переписать выражение как:

3x + 21–5

Далее мы можем упростить вычитание 21-5.21-5 это 16 .

3x + 16

Поскольку невозможно складывать переменные и числа, мы не можем дальше упрощать это выражение. Наш ответ: 3x + 16 . Другими словами, 3 (x + 7) — 5 = 3x + 16.

/ ru / algebra-themes / решения-уравнений / содержание /

Умножение радикальных выражений — ChiliMath

В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными корнями, которые представляют собой определенный тип радикального выражения с индексом \ color {red} 2.Если вы видите радикальный символ без явно написанного индекса, предполагается, что он имеет индекс \ color {red} 2.

Ниже приведены основные правила умножения радикальных выражений.

Основное правило умножения радикальных выражений

Подкоренное выражение — это термин внутри квадратного корня. Мы умножаем радикалы, умножая их подкоренные выражения вместе, сохраняя при этом их произведение под одним и тем же символом радикала. Что будет тогда, если в радикальных выражениях есть числа, расположенные снаружи?

Нам просто нужно настроить формулу выше.Но ключевая идея состоит в том, что произведение чисел, находящихся вне радикальных символов, также остается снаружи.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как применяются эти два основных правила.

---

Примеры умножения радикальных выражений

Пример 1 : Упростить умножением.

Умножьте подкоренные выражения, сохраняя произведение внутри квадратного корня.

Произведение представляет собой полный квадрат, поскольку 16 = 4 · 4 = 4 ² , что означает, что квадратный корень из \ color {blue} 16 — это просто целое число.

---

Пример 2 : Упростить умножением.

Умножать числа можно, если они оба находятся под радикальным символом. После умножения подкоренных выражений посмотрите, возможно ли дальнейшее упрощение.

---

Пример 3 : Упростить умножением.

Возьмите число вне скобок и распределите его по числам внутри. Мы просто применяем дистрибутивное свойство умножения.

Далее приступаем к обычному умножению радикалов. Но будьте осторожны. Вы можете умножать только числа, находящиеся внутри радикальных символов. Таким же образом можно использовать только числа, не входящие в радикальные символы.

При умножении числа внутри и числа вне радикального символа просто поместите их рядом.

---

Пример 4 : Упростить умножением.

Как и в примере 3, мы собираемся распределить числа вне скобок на числа внутри.Но обязательно умножайте числа только в том случае, если их «расположение» одинаково. То есть умножайте числа вне радикальных символов независимо от чисел внутри радикальных символов.

Отсюда мне просто нужно упростить продукты.

---

Пример 5 : Упростить умножением.

Решение :

---

Пример 6 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Эта задача требует, чтобы мы умножили два бинома, которые содержат радикальные члены.Примените метод FOIL для упрощения.

• F : Умножьте первые члены.

• O : Умножьте внешних членов.

• I : умножить внутренних членов на .

• L : умножить на последние членов.

После применения свойства распределения с помощью метода FOIL, я упросту их как обычно.

---

Пример 7 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Как и в нашем предыдущем примере, давайте применим метод FOIL, чтобы упростить произведение двух биномов.

• F : умножить на первые членов.

• O : Умножьте внешних членов.

• I : умножить внутренних членов на .

• L : умножить на последние членов.

С этого момента упрощайте как обычно.Обратите внимание, что два средних члена отменяют друг друга.

---

Пример 8 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим эту проблему поэтапно:

• Умножьте вместе, используя метод FOIL.

• Упростим квадратный корень из 25.

• Сложите числа без радикальных символов

---

Пример 9 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

Давайте решим эту проблему поэтапно:

• Разверните произведение биномов с помощью FOIL.

• Получите квадратные корни из совершенных квадратных чисел, которые равны \ color {red} 36 и \ color {red} 9.

• Найдите идеальный квадратный множитель для 24.
• Разложите его как произведение квадратных корней.
• Упростим квадратный корень из 4.

• Вычтите аналогичные радикалы и вычтите также числа без радикальных символов.

---

Пример 10 : Упростить умножением.

Мы собираемся перемножить эти биномы «матричным методом». Напишите члены первого бинома (синим цветом) в крайнем левом столбце и напишите члены второго бинома (красным цветом) в верхней строке.

Умножьте номера соответствующих сеток. См. Анимацию ниже.

Затем упростите продукт внутри каждой сетки.

Наконец, добавьте все продукты во все четыре сетки и упростите, чтобы получить окончательный ответ.

---

Пример 11 : Упростить умножением.

Поместите члены первого бинома в крайний левый столбец, а члены второго бинома в верхнюю строку. Затем перемножьте соответствующие квадратные сетки.

Наконец, сложите значения в четырех сетках и максимально упростите, чтобы получить окончательный ответ.

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Решение радикальных уравнений
Упрощение радикальных выражений
Сложение и вычитание радикальных выражений
Рационализация знаменателя

Решение простых уравнений

Решая простое уравнение, думайте об уравнении как о балансе, где знак равенства (=) является точкой опоры или центром.Таким образом, если вы делаете что-то с одной стороной уравнения, вы должны сделать то же самое с другой стороной. Выполнение одного и того же действия с обеими сторонами уравнения (скажем, добавление 3 к каждой стороне) сохраняет уравнение сбалансированным.

Решение уравнения — это процесс получения искомого результата или решения относительно с одной стороны от знака равенства и всего остального с другой. Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете для x , вы должны получить x с одной стороны.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и / или вычитание.

Пример 1

Решите для x .

х + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x отдельно с одной стороны. Поэтому вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте свой ответ в уравнение:

Пример 2

Решите относительно и .

y — 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3

Решите для x .

x + 15 = 6

Чтобы решить, вычтите 15 с обеих сторон.

Чтобы проверить, просто замените x на –9:

.

Обратите внимание, что в каждом из приведенных выше случаев используются противоположных операций ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете с каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится на одной стороне уравнения, но существует либо несколько переменных, например 2 x , либо часть переменной, например

.

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Решите для x .

3 x = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 5

Решите относительно и .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

Пример 6

Решите для x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на.

Или без отмены

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения требуется более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните этап сложения или вычитания. Затем, после того, как вы отсортировали переменные в одну сторону, а числа в другую, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите для x .

2 x + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x на одной стороне.

Затем разделите обе стороны на 2, чтобы получить x .

Чтобы проверить, подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8

Решите для x .

5x — 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

Пример 9

Решите для x .

Вычтите 6 с каждой стороны.

Умножить каждую сторону на.

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Решите относительно и .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножить каждую сторону на.

Для проверки замените y на –25:

Пример 11

Решите для x .

3 x + 2 = x + 4

Вычтите 2 из обеих частей (это то же самое, что прибавить –2).

Вычтите x с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3 x — x совпадает с 3 x — 1 x .

Разделите обе стороны на 2.

Для проверки замените x на 1:

Пример 12

Решите относительно и .

5 y + 3 = 2 y + 9

Вычтем 3 с обеих сторон.

Вычтем 2 y с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед фактическим запуском процесса сортировки.

Пример 13

Решите для x .

3 х + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычтем 6 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Решите для x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычтем 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

.