Опубликовано Урок 23. целые выражения — Алгебра — 7 класс
Конспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 23
Целые выражения
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Алгебраические выражения; многочлен.
- Произведение, сумма, разность многочленов.
- Стандартный вид многочлена.
- Целые выражения.
Тезаурус:
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.
Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.
Правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?
(17 + с)
(16а – 15х)
(3 + 4ас)
(х + у)
Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.
Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)
Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.
Начнём с определения.
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.
Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.
Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.
8х + 12 – целое выражение.
Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.
Вспомним их.
Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выполняется умножение многочленов.
(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су
Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, так находится сумма многочленов:
(а + с) + (к + х) = а + с + к + х
И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, так находится разность двух многочленов.
(а + с) – (к + х) = а + с – к – х
Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Рассмотрим, как упрощать целое выражение.
Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).
Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =
Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду
= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.
Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.
Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к2 + у2 – 8х2)
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения упростим выражение.
Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к2 + у2 – 8х2) = 2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу – (кк + к( -2х) + 2кх + 2х(-2х)) + к2 + у2 – 8х2 = 4х2 – у2 – (к2 – 4х2) + к2 + у2 – 8х2 = 4х2 – у2 – к2 + 4х2 + к2 + у2 – 8х2 = (4 + 4 – 8)х2 + (1 – 1)у2 + (1 – 1)к2 = 0х2 + 0у2 + 0к2 = 0
Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Задача.
Составьте целое выражение по тексту задачи.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).
Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.
Ответ: (а + с)(к + х).
2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х2
Решение.
Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.
3 · (х + 3)(х –6) – 5х2 = 3(хх + х·(-6) + 3х + 3·(-6)) – 5х2 = 3·(х2 –6х + 3х –18) – 5х2 = 3х2 + 3·(-6)х + 3 · 3х + 3 · (-18) – 5х2 = 3х2 – 18х + 9х – 54 – 5х2 = -2х2 – 9х – 54
Ответ: 2.
Целые рациональные выражения с примерами решения
Целые рациональные выражения
Одночлены и операции над ними
Одночленом называют такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Например, 
— одночлены, тогда как выражения 
— не являются одночленами.Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена.
Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду, умножение одночленов — тождественные преобразования.
Пример 1.
Привести к стандартному виду одночлен 
Решение:
Пример 2.
Выполнить умножение одночленов 
Решение:
Пример 3.
Возвести одночлен 
Решение:
Одночлены, приведенные к стандартному виду, называют подобными, если они отличаются только коэффициентом или совсем не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0). Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.
Пример 4.
Выполнить сложение одночленов 
Решение:
Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду
Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.
Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида — в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.
Пример 1.
Привести многочлен 
к стандартному виду.
Решение:
Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена.
Получим 
Пример 2.
Привести многочлен 
к стандартному виду.
Решение:
Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим
Пример 3.
Решение:
Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим
Пример 4.
Решение:
Произведение одночлена и многочлена равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена:
Пример 5.
Решение:
Имеем 
Пример 6.
Решение:
Имеем 
Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим
Формулы сокращенного умножения
В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:
Эти тождества называют формулами сокращенного умножения.
Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в многочлен стандартного вида.
Пример 1.
Решение:
Воспользовавшись формулой (1), получим
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Воспользовавшись формулой (3), получим
Пример 4.
Решение:
Воспользовавшись формулой (4), получим
Разложение многочленов на множители
Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей — многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.
1. Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона
Пример 1.
Разложить на множители многочлен 
Решение:
Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.
2. Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) — (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево», во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.
Пример 2.
Разложить на множители 
Решение:
Имеем 
Применив формулу (1) (разность квадратов), получим 
Применив теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим
Пример 3.
Решение:
Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а или Ь входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим
Так как, далее, по формуле (2), 
то окончательно получаем 
3. Способ группировки. Он основан на том, что пе-реместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.
Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители способом группировки
Пример 4.
Решение:
Произведем группировку следующим образом:
В первой группе вынесем за скобки общий множитель 
, во второй — общий множитель 5. Получим 
Теперь многочлен (х — 3) как общий множитель вынесем за скобки: 
Таким образом, получаем
Пример 5.
Решение:
Пример 6.
Решение:
Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить 
в виде суммы 
Получим
Пример 7.
Решение:
Прибавим и отнимем одночлен 
Получим 
Здесь применен метод выделения полного квадрата.
Многочлены от одной переменной
Многочлен 
, где 
— числа (
), a х — переменная, называют многочленом первой степени; многочлен 
где 
— числа (), а х — переменная, называют многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен 
где 
— числа (), a х — переменная, называют многочленом третьей степени.
Вообще если 
— числа (), а х — переменная, то многочлен
называют многочленом п-й степени (относительно х); 
— члены многочлена, — коэффициенты, 
— старший член многочлена, 
— коэффициент при старшем члене, 
— свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной х постепенно уменьшаются, в частности на первом месте стоит старший член, на последнем — свободный член. Степень многочлена — это степень старшего члена.
Например, 
— многочлен пятой степени, в котором 
— старший член, 1 — свободный член многочлена.
Если коэффициент при старшем члене равен 1, то многочлен называют приведенным, если указанный коэффициент отличен от 1, то неприведенным.
Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена 
так как 
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Если 
— корни квадратного трехчлена 
(т. е. корни уравнения 
= 0), то
Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на множители.
Пример:
Разложить на множители 
Решение:
Применив формулу корней квадратного уравнения (см. п. 137) к уравнению 
, находим 
Значит,
Разложение на множители двучлена 
Известно, что
Если перемножить многочлены 
то получим
Обобщением формул (1), (2), (3) является формула разложения на множители двучлена 
Если, в частности, 
= 1, то получаем
Например, 
Возведение двучлена в натуральную степень (бином Ньютона)
В этом пункте речь идет о том, как двучлен (или бином) 
возвести в любую натуральную степень.
Воспользовавшись тем, что 
можно вывести формулу
Вообще справедлива следующая формула (бином Ньютона):
Пример:
Для 
по формуле бинома Ньютона получаем
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Математика с нуля. Пошаговый курс изучения математики
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Выражения
Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.
Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.
Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:
Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.
Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи какие-то решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.
Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:
a + 5
Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5
a = 5
Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.
Значение переменной a подставляется в исходное выражение.В результате имеем: 5 + 5 = 10
Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.
В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.
Значение переменной x подставляется в выражение x + 10Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.
Вспомните второй урок «Основные операции». Чтобы понять, что такое сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7, и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но мы могли бы понять эту тему и без примера, если бы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с. Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и мы бы сказали, что a и b — это слагаемые, c — сумма.
И вот, имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того, какие числа мы подставим вместо a и b
В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.
Решение:
a + b = c
10 + 6 = 16
Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.
Значение выражения
Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия. В учебниках младших классов часто можно встретить задания следующего содержания: выполнить действия, и далее перечисляются примеры, которые нужно решить. Когда перед вами подобное задание, вы сразу должны понимать, что от вас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но если быть более грамотным, то надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.
Например, дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения. Это означает, что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:
10 + 6 = 16
Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.
Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.
Рассмотрим еще примеры:
- 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
- 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
- 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4
Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7
Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10
Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20
Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
С помощью данного калькулятора онлайн вы можете умножить, вычесть, поделить, сложить и сократить числовые дроби с разными знаменателями.
Программа работает с правильными, неправильными и смешанными числовыми дробями.
Данная программа (калькулятор онлайн) умеет:
— выполнять сложение смешанных дробей с разными знаменателями
— выполнять вычетание смешанных дробей с разными знаменателями
— выполнять деление смешанных дробей с разными знаменателями
— выполнять умножение смешанных дробей с разными знаменателями
— приводить дроби к общему знаменателю
— преобразовывать смешанные дроби в неправильные
— сокращать дроби
Также можно ввести не выражение с дробями, а одну единственную дробь.
В этом случае дробь будет сокращена и из результата выделена целая часть.
Калькулятор онлайн для вычисления выражений с числовыми дробями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода выражений с числовыми дробями, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода выражений с числовыми дробями
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3 + 7/5
Результат: \( -\frac{2}{3} + \frac{7}{5} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \( -1\frac{2}{3} \cdot 5\frac{8}{3} \)
Деление дробей вводится знаком двоеточие: :
Ввод: -9&37/12 : -3&5/14
Результат: \( -9\frac{37}{12} : \left( -3\frac{5}{14} \right) \)
Помните, что на ноль делить нельзя!
При вводе выражений с числовыми дробями можно использовать скобки.
Ввод: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \cdot \left( 6 \frac{1}{2} — \frac{5}{9} \right) : 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Сообщение отправлено. Спасибо.
Обыкновенные дроби. Деление с остатком
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления.
В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком, и решение записывают в таком виде:
497 : 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое, 4 — делитель. Результат деления при делении с остатком называют неполным частным. В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток. В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело. Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64 : 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.
Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление. Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а
знаменатель п — делитель:
\( m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби.
Два последних преобразования называют сокращением дроби.
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю.
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \( \frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \( \frac{5}{5} \) или \( \frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями. Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями.
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными.
Например:
\( 5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \( \frac{2}{3} \) — дробная часть.
Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель
разделить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её
знаменатель умножить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{3}{7} \). Легко понять, что \( \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\( \large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\( \large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \( 2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями. При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \( \frac{2}{3} \) — ее дробной частью. Запись \( 2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \( \frac{8}{3} \) и \( 2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \( \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \( \frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \( 2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть.
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит
найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\( \frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \( \frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель
оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\( \large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \( \frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \( \frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \( \frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \( \frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \( \frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{2} \) называют взаимно обратными.
Взаимно обратными являются, например, дроби \( \frac{6}{5} \) и \( \frac{5}{6} \), \( \frac{7}{18} \) и \( \frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1. Например: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Урок 7. рациональные выражения — Алгебра — 8 класс
КонспектЦелые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.
Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными.
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.
Дробь – это выражение вида 
.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.
Примеры
- •
не имеет смысла при x = 0.•
не имеет смысла при x = y.Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.
Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
Примеры
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:
- • Приравнять знаменатель, содержащий переменные, к нулю.
• Решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться теми значениями переменных, которые обращают знаменатель в нуль.
• Исключить эти значения из всех действительных чисел.
Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби 
.
1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.
Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь 
равна нулю.
, когда x2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Решение неравенств онлайн
Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.
Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).
Поясним что означает решить неравенство?
После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!
Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?
Как решать неравенства?
Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.
Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.
Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.
Как правильно записывать решение неравенства?
Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?
Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.
Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.
Важный момент
Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.
Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.
А у неравенства |x|
Для чего нужен калькулятор неравенств?
Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.
Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?
Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.
Как отрицать все регулярные выражения?
Переполнение стека- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
- реклама Связаться с разработчиками по всему миру
Часто требуется сопоставить полные строки в текстовом файле, а не только часть строки, которая удовлетворяет определенному требованию. Это полезно, если вы хотите удалить целые строки в поиске и замене в текстовом редакторе или собрать целые строки в инструменте поиска информации.
Для простоты этого примера, скажем, мы хотим сопоставить строки, содержащие слово «Джон». Регулярное выражение Джон позволяет легко найти эти строки.Но программное обеспечение будет указывать в качестве совпадения только Джона, а не всю строку, содержащую слово.
Решение довольно простое. Чтобы указать, что нам нужна целая строка, мы будем использовать знак каретки и знак доллара и включить опцию, чтобы они соответствовали во встроенных символах новой строки. В программном обеспечении, предназначенном для работы с текстовыми файлами, такими как EditPad Pro и PowerGREP, якоря всегда совпадают во встроенных символах новой строки. Чтобы сопоставить части строки до и после совпадения нашего исходного регулярного выражения Джон, мы просто используем точку и звезду.(? =. *? \ bone \ b) (? =. *? \ btwo \ b) (? =. *? \ bthree \ b). * $ соответствует полной строке текста, которая содержит всех слов «Один», «два» и «три». Опять же, якоря должны совпадать в начале и конце строки, а точка не должна совпадать с разрывами строки. Из-за каретки и того факта, что предпросмотр нулевой длины, все три предпросмотра предпринимаются в начале каждой строки. Каждый заголовок будет соответствовать любому фрагменту текста в одной строке (. *?), За которой следует одно из слов. Все три должны успешно совпадать, чтобы совпадало все регулярное выражение.((?! regexp).) * $ соответствует полной строке, которая соответствует , а не соответствует регулярному выражению. Обратите внимание, что в отличие от ранее, когда я использовал положительный взгляд, я повторял и отрицательный взгляд, и точку вместе. Для позитивного взгляда нам нужно найти только одно место, где оно может соответствовать. Но отрицательный взгляд должен быть проверен на каждой позиции символа в строке. Мы должны проверить, что регулярное выражение терпит неудачу везде, а не где-то.
Наконец, вы можете объединить несколько положительных и отрицательных требований следующим образом: ^ (? =.* \ Bmust иметь \ Ь) (= * \ bmandatory \ б) ((?! избежать |?.? Незаконны?).) * $. При проверке нескольких положительных требований,. * В конце регулярного выражения, полного утверждений нулевой длины, убедился, что мы действительно что-то сопоставили. Поскольку отрицательное требование должно соответствовать всей строке, легко заменить. * Отрицательным тестом.
Сделать пожертвование
Этот сайт только что спас вас от поездки в книжный магазин? Пожалуйста, сделайте пожертвование для поддержки этого сайта, и вы получите пожизненных без рекламы доступа к этому сайту!
- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
- реклама Связаться с разработчиками по всему миру
- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
- реклама Связаться с разработчиками по всему миру
Загрузка…