Опубликовано Правила умножения числа на ноль
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда. Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.
Содержание:
Правила умножения любого числа на ноль
Что такое ноль
Из истории
Какие действия в математике можно выполнять с нулём
Умножение на ноль, правило математики
Деление на ноль, правило математики
Подведём итоги
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда.
Что такое ноль
Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Число 0 занимает особое место в математике, даже несмотря на то, что оно буквально означает «ничто», «пустота». Ноль — это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех цифр, стоящих левее, на разряд — десяток, сотню и так далее. Например, если рядом с 5 ставим 0, получаем 50, если рядом с 50 ставим 0, получаем 500. А ещё ноль — это число, отделяющее положительные цифры от отрицательных на числовой прямой. Сам ноль при этом знака + / — не имеет.
Какие действия в математике можно выполнять с нулём
С нулём выполняются все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. При выполнении сложения и вычитания с нулём обычно проблем и сложностей не возникает. Здесь всё просто.
Если к любому числу добавить 0, это означает, что к нему не прибавилось ничего.
Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй.
То же самое будет, если отнять ноль.
Если ноль разделить на любое ненулевое число, то в результате тоже получится ноль.
А вот операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на 0 получается 0. Именно умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в нём содержатся некоторые нюансы. А заодно поговорим немного и о делении на ноль.
Умножение на ноль, правило математики
Чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел друг на друга, нужно для начала понять определение умножения в целом. Умножение — одно из основных действий в математике. Умножение — это арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз. В этом действии участвуют два составляющих компонента — множимое и множитель. Результат их умножения называют произведением.
То есть для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.
a ⋅ b = a + a + … + a} b
Так, пример 4 х 3 = 12 можно заменить следующим выражением: 4 + 4 + 4 = 12. То есть число 4 было взято 3 раза.
А можно ли умножать на ноль? Можно, только это бессмысленно и бесполезно. Ведь ноль — это ничто, пустота. А какой смысл умножать на пустоту? Тут, как ни крути, всё равно будет получаться ноль.
Как на примере объяснить это правило детям? Попробуем вот так:
- если съесть пять раз по два яблока, получится 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, то есть в итоге будет съедено 10 яблок;
- если съесть по два яблока трижды, получится 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6, в итоге будет съедено 6 яблок;
- если съесть по два яблока ноль раз, то 2 * 0 = 0 * 2 = 0 + 0 = 0, в итоге не съедено ни одного яблока.
Ведь съесть ноль раз — это означает не съесть ни одного. Ноль — это ничего, а когда у вас нет ничего, то на сколько его ни умножай, всё равно будет ноль.
Правда, иногда выдвигаются следующие возражения: предположим, у человека в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся у него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Да, яблоки действительно из руки никуда не денутся. Но ведь в примере мы считаем именно съеденные яблоки, то есть те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке человека. А в последнем случае они туда не попали. Поэтому человек съел ноль яблок.
Итак, основное правило гласит: при умножении числа на ноль и при умножении нуля на число в ответе всегда будет получаться ноль.
a ⋅ 0 = 0
0 ⋅ a = 0
Это правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел: положительных, отрицательных, целых, дробей, разрядных, рациональных, иррациональных.
В любом случае произведение будет нулевым.
Для лучшего запоминания правила приведём примеры умножения на ноль:
0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0
0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
756 ⋅ 0 = 0
293 ⋅ 0 = 0
Деление на ноль, правило математики
А что же с делением на 0? Мы со школы помним правило: на ноль делить нельзя. Все это заучивают, не требуя лишних доказательств. Нельзя так нельзя. Большинство людей действительно не делит на ноль только исходя из этого правила, не пытаясь найти ответ, по которому станет понятен этот запрет. А почему, собственно, нельзя?
Деление в математике — действие, обратное умножению, также состоящее из двух компонентов — делимого и делителя. Результат деления называют частным. Также иногда результат деления называют отношением. Если умножение для натуральных чисел заменяет многократное сложение, то, соответственно, деление будет заменять многократное вычитание.
Чтобы было понятнее, рассмотрим на примерах.
- Разделим число 8 на число 2 (8 : 2). Из действия вычитания мы находим, что число 2 содержится в 8 четыре раза. В данном случае 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.
- Теперь разделим 0 на 2 (0 : 2). Чтобы 0 разделить на 2, надо найти число, при умножении которого на 2 получится 0. Это ноль, так как 0 ⋅ 2 = 0. Значит, 0 ⋅ 2 = 0. При делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю.
- А теперь попробуем разделить 4 на 0 (4 : 0). Данное выражение можно представить и в виде уравнения: 0 ⋅ x = 4. Следовательно, чтобы разделить 4 на ноль, необходимо найти такое число, при умножении на которое получится 4, а это невозможно исходя из того, что мы выяснили ранее.
Следовательно, делить на 0 нельзя, так как такого числа, при умножении которого на ноль получится 4, не существует. И всё-таки лучше всего это правило просто запомнить и никогда не нарушать. Для лучшего запоминания предложите своему ребёнку выучить небольшое стихотворение:
Расскажу тебе, позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1, как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
Таким образом, с нулём возможно совершать любые арифметические действия: прибавлять и вычитать любые числа, умножать на значения, не равные нулю, возводить в степень, не равную нулю.
Единственное ограничение — ноль не может быть делителем для любого действительного числа. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.
Подведём итоги
Итак, сегодня мы выяснили, что за цифра такая — ноль. Мы узнали историю её возникновения. А также разобрались, чем отличается умножение числа на 0 от умножения других чисел друг на друга, а также почему на ноль нельзя делить. Чтобы закрепить полученные новые знания, важно отработать их на практике. Поэтому для закрепления и лучшего запоминания предложите своему ребёнку решить примеры:
7 * 0
15 * 0
0 * 9
0 * 346
72 : 9 * 0
Конечно же, во всех этих примерах ответ будет 0:
7 * 0 = 0
15 * 0 = 0
0 * 9 = 0
0 * 346 = 0
72 : 9 * 0 = 0
Закрепляем тему «Умножение на ноль»
Закрепить эту и многие другие изученные темы по математике можно на образовательной платформе iSmart. С помощью онлайн-тренажёров дети в увлекательной форме наработают вычислительную беглость в решении примеров с умножением на ноль.
Вот так, например, выглядят задания для второго класса:
А так выглядит сам каталог заданий по математике образовательной платформы iSmart:
Образовательная платформа iSmart разработана учителями и специалистами в области детской психологии в соответствии с требованиями ФГОС. Она предлагает программы подготовки по всем изучаемым в школе предметам, пакеты заданий для подготовки к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.
Регистрируйте своего ребёнка и начинайте заниматься прямо сейчас!
можно ли умножать на 0 и что при этом получается
Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.
Оглавление
- По две стороны спора
- Суть действия
- Целесообразность попыток
- Полезное видео
- Подведем итоги
По две стороны спора
Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися.
Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.
В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.
Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое
В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.
Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.
В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.
Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.
Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример.
У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.
Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа
В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.
В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.
Суть действия
Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.
Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа.
Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.
При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.
Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула
Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.
Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.
Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.
Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.
Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.
В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.
Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.
Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности
Целесообразность попыток
Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.
По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.
Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.
В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно.
Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.
Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.
Полезное видео
Подведем итоги
Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.
Странные свойства Зеро — Как работает Зеро
То, что ноль может быть как неотрицательным, так и неположительным целым числом, но при этом не быть ни отрицательным, ни положительным, является лишь одним из уникальных свойств числа.
На самом деле существует группа этих странных характеристик, называемых свойствами нуля .
Свойство сложения нуля говорит о том, что если вы прибавите или вычтете ноль из любого другого числа, результатом всегда будет другое число. 5+0=5 и 9 000 017-0=9000 017, например. Он отражает концепцию нуля как ничего не представляющего, поэтому ничего не прибавляя к чему-то, оставляет это что-то неизменным — ноль — это единственное число, которое не изменяет другие числа при сложении или вычитании.
Реклама
Свойство , обратное
аддитивному свойству нуля, отражает его позицию точки опоры между отрицательными и положительными целыми числами. Любые два числа, сумма которых равна нулю, являются аддитивными инверсиями друг друга. Например, если вы прибавите -5 к 5, вы получите ноль. Таким образом, -5 и 5 являются аддитивными инверсиями друг друга. Свойство умножения гласит то, что знает каждый третьеклассник: умножение любого числа на ноль дает в сумме ноль.
Это очевидно, когда-то укоренившееся, но, возможно, причина упускается из виду. Умножение, в одном эффекте, является ярлыком для сложения. 3×2 — это то же самое, что 2+2+2, поэтому идея о том, что число может быть добавлено ноль раз или что ноль может быть добавлен к самому себе любое количество раз, математически бессмысленна [источник: Carasco].
Понятие деления на ноль еще более бессмысленно, настолько, что для него нет свойства; концепции просто не существует, поскольку она не может быть осуществлена. Даже математики часто пытаются объяснить, почему деление на ноль не работает. Причина в основном связана со свойством умножения. При делении числа на другое число, например 6/2, результат (в данном случае 3) можно осмысленно подставить в формулу, где ответ, умноженный на делитель, равен делимому. Другими словами, 6/2=3 и 3×2=6. Это не работает с нулем, когда мы заменяем им 2 в качестве делителя; 3×0=0, а не 6 [источник: Utah Math]. Концепция деления на ноль чревата настолько нелогичными последствиями, что ее мифическая разрушительная сила стала шуткой в Интернете.
Существует также свойство нулевого показателя; из-за существования отрицательных показателей, числа в отрицательной степени, числа в нулевой степени всегда равны единице. Хотя это работает математически, это также создает логические проблемы. В основном, ноль в нулевой степени по-прежнему равен единице, хотя ноль, добавленный или вычитаемый или умноженный сам на себя, должен равняться нулю [источник: Stapel].
Вот сила нуля.
Связанные статьи
Источники
- Аршам, Хоссейн. «Ноль в четырех измерениях». Университет Балтимора. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/zero/zero.htm
- Ask Dr. Math. «Деление на ноль.» Математический форум в Университете Дрекселя. По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divideby0.html
- Караско, Шут. «Свойства нуля». Basic-Mathematics.com. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://www.basic-mathematics.com/properties-of-zero.html
- Forex Realm. «Биография и факты Фибоначчи». По состоянию на 15 апреля 2010 г. http://www.forexrealm.com/technical-analysis/fibonacci/fibonacci-biography-history-facts.html
- Knott, Dr. Ron. «Кем был Фибоначчи?» Университет Суррея. 11 марта 1998 г. http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html
- Мэтсон, Джон. «Происхождение нуля». Научный американец. 21 августа 2009 г. http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=history-of-zero
- О’Коннор, Дж.Дж. и Робертсон, Э. Ф. «История нуля». Университет Сент-Эндрюс. Ноябрь 2000 г. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Zero.html
- Пепперберг, Ирэн и Гордон, Джесси Д. «Понимание чисел серым попугаем (Psittacus erithacus), включая нулевое понятие». Журнал сравнительной психологии. 2005. http://www.alexfoundation.org/papers/JCPAlexComp.pdf
- Saudi Aramco World. «Ноль, ключ к числам». Ноябрь 1961 г. http://www.saudiaramcoworld.com/issue/196109/zero.key.to.numbers.htm
- Сейф, Чарльз. «Ноль: биография опасной идеи». Пингвин. 2000. http://books.google.com/books?id=obJ70nxVYFUC 9.0028
- Сингх, Саймон. «5 цифр — ноль». Би-би-си. 11 марта 2002 г. http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml
- Стапель, Элизабет. «Отрицательные показатели». Пурпурная математика. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://www.purplemath.com/modules/exponent2.htm
- Stockton, J.K. «Дата альманаха I». 10 марта 2010 г. http://www.merlyn.demon.co.uk/miscdate.htm#AstDat
- Терези, Дик. «Нуль.» Атлантический океан. Июль 1997 г. http://www.theatlantic.com/past/docs/issues/97jul/zero.htm
- The Straight Dope. — Ноль — это число? По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://www.straightdope.com/columns/read/1633/is-zero-a-number
- Математический факультет Университета Юты. «Почему нельзя делить на ноль?» 17 февраля 1997 г. http://www.
- Wolfram Math World. «Натуральное число.» По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
«Биография и факты Фибоначчи». По состоянию на 15 апреля 2010 г. http://www.forexrealm.com/technical-analysis/fibonacci/fibonacci-biography-history-facts.html
«Ноль, ключ к числам». Ноябрь 1961 г. http://www.saudiaramcoworld.com/issue/196109/zero.key.to.numbers.htm
Процитируйте это!
Пожалуйста, скопируйте/вставьте следующий текст, чтобы правильно цитировать эту статью HowStuffWorks.com:
Джош Кларк
«Как работает ноль»
4 мая 2011 г.
HowStuffWorks.com.
мягкий вопрос — Почему $\infty \cdot 0$ явно не равно $0$?
спросил
Изменено 1 год, 4 месяца назад
Просмотрено 188 тысяч раз
$\begingroup$
Я немного занимался математикой в школе, и кажется, что это легко — что я упускаю?
$$n\times m = \underbrace{n+n+\cdots +n}_{m\text{times}}$$
$$\quad n\times 0 = \underbrace{0 + 0 + \ cdots+ 0}_{n\text{ times}} = 0$$
(т.
е. добавьте $0$ к $0$ сколько угодно раз, результат будет $0$)
Итак, я подумал, что бесконечное число $0$’ s не может быть ничем иным, как $0$? Но кто-то утверждает другое, но не может дать разумного объяснения, почему. Результаты Google кажутся немного сомнительными по этому вопросу — надеюсь, этот вопрос изменит это.
- мягкий вопрос
- бесконечность
- неопределенные формы
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Проблема в том, что используемые вами законы сложения и умножения справедливы для 
Можно использовать и более сложные аргументы, например $\infty \times 0 = \lim_{x \to \infty} (x \times 1/x) = 1$. Ясно, что все эти разные значения для $\infty \times 0$ означают, что с $\infty$ нельзя обращаться как с другими числами.
Чтобы работать с бесконечностью, вы должны сначала определить ее. Вы можете думать, что знаете, что такое бесконечность, но на самом деле у вас нет конкретного определения. На самом деле существует много различных определений бесконечности, которые вы могли бы использовать, каждое из которых приводит к разным действиям. Например, реальная проективная прямая имеет такое понятие бесконечности, что $1/\infty = 0$, в то время как, говоря о бесконечных множествах, для представления размеров этих множеств используются кардинальных чисел (другой тип бесконечности). Вы должны ясно дать понять, о какой бесконечности вы говорите, чтобы работать с ней.
Таким образом, выражение $\infty \times 0$ с использованием умножения, определенного для натуральных чисел, не имеет никакого смысла, поэтому нельзя сказать, что оно равно $0$.
$\endgroup$
12
$\begingroup$
Вы должны помнить, что бесконечность — это не число. Это скорее концепт. Когда вы пишете
$$n \times 0 = 0 + 0 + 0 +\cdots+ 0 = 0$$
вы выполняете конечную операцию. Невозможно продолжать добавлять ноль, пока вы не достигнете бесконечности, потому что вы не можете достичь бесконечности. Именно эта неспособность «достичь» бесконечности заставляет операции нарушать вашу интуицию. Традиционная алгебра/арифметика не работает с бесконечностью. Вот почему мы используем концепцию пределов, которая хорошо определена математически и позволяет нам выполнять алгебраические операции с бесконечностями.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Как указывали некоторые другие, $\infty$ не является числом.
Поэтому вам нужно относиться к этому с некоторой осторожностью.
Чтобы прояснить ваши сомнения, способ, которым вы написали, состоит в том, чтобы посмотреть на $n \times 0$, а затем позволить $n \rightarrow \infty$. Таким образом, верно, что $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left( n \times 0 \right)= 0$$
Однако, когда люди пишут $\infty \times 0$, обычно это сокращенно для обозначения неопределенной формы, когда одна величина стремится к бесконечности, а другая к нулю в предельном смысле, т.е. выражения вида $$\lim_{x \rightarrow 0} \left( f(x) \times g(x ) \right)$$, где $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \infty$ и $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = 0$.
(Обратите внимание, что $\infty$ не является числом в общепринятом смысле. Это просто сокращение для обозначения того, что что-то неограниченно растет, т. е. при любом числе ваша функция может принимать значение, превышающее это число.)
Например, пусть $f(x) = \frac{1}{x}$, поскольку $g(x) = x$, тогда $f(x) \times g(x) = 1$, $\forall x \neq 0$ и, следовательно, $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( f(x) \times g(x)\right) = \lim_{x \rightarrow 0} 1 = 1$$ Однако $\displaystyle \ lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \infty$ и $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = 0$ и, следовательно, в этом случае неопределенная форма оценивается как $1$.
+} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty$$
Следовательно, вы не можете связать уникальное значение с $\infty \times 0$. Это зависит от решаемой проблемы. Подробнее о неопределенной форме можно прочитать здесь. (Как всегда с Википедией, прочитайте ее, чтобы получить общее представление.)
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Как указано в других ответах, проблема заключается в интерпретации того, что вы подразумеваете под $\infty \cdot 0$. Строго говоря, $0+0+\cdots+0$, когда количество членов стремится к бесконечности, ЯВЛЯЕТСЯ 0 (это просто сумма ряда).
Но посмотрите на этот пример
\begin{eqnarray} \начать{разделить} 1&=&1 \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&1 \\ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} &={}&1 \\ \vdots\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n} &={}&1 \\ \конец{разделить} \end{eqnarray}
Повторяя процесс, с каждым шагом я получаю больше чисел, каждое из которых ближе к нулю.
.. Это также то, что мы можем понимать под $\infty \cdot 0$, но это $1$ , не так ли?
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Это просто общий комментарий относительно таких вопросов:
Когда вы сталкиваетесь с определениями и результатами, с которыми, как вам кажется, вы можете не согласиться, постарайтесь обдумать определения. В таком случае, как бы вы определили умножение на $\infty$? Более фундаментально, как бы вы определили $\infty$? Один из подходов состоит в том, чтобы формально определить $\infty$ как такой символ, что $a \infty = \infty$ для всех чисел $a$, но тогда нам придется исключить $0$ и установить $0 \infty = 0$. Однако это вызывает проблемы (если мы хотим, чтобы закон распределения выполнялся): $0=(a-a)\infty =\infty-\infty$. И как бы вы это определили?
Короче говоря, попытка выполнить арифметические действия с этим новым символом вызывает много проблем.
Всякий раз, когда вы имеете дело с «необычными» объектами, вы должны определить, что они из себя представляют и как они взаимодействуют с другими математическими объектами.
Таким же образом мы могли бы спросить, как определить бесконечно малые числа, которые меньше любого другого числа. Скажем, число $\epsilon$ такое, что $|\epsilon| < a$ для всех действительных ненулевых чисел $a$. Такого числа не существует в реальной системе счисления, но определить такую систему можно. (нестандартный анализ Google) Теперь задача определить, как делать арифметику с бесконечно малыми числами... (но это действительно не по теме)
Подводя итог этому несколько неорганизованному ответу: попробуйте продумать последствия определения $0 \infty = 0$. (то есть попытаться довести до абсурда ). Подумайте, какие определения вы используете, и попытайтесь найти примеры.
$\endgroup$
$\begingroup$
Символ $\infty$ впервые был введен Уоллисом в 17 веке.
Он использовал его для обозначения определенного бесконечного числа и продолжил рассмотрение разбиения интервалов на $\infty$ частей ширины $\frac{1}{\infty}$ в таких приложениях, как вычисление площадей плоских фигур.
Такие гиганты, как Лейбниц, Эйлер и Коши использовали бесконечные количества для получения результатов в анализе. Более подробную информацию можно найти, например, в недавней статье здесь.
В расширенной системе счисления, содержащей такие бесконечные числа, верно, что бесконечное число, умноженное на $0$, действительно является «простым нулевым ответом». Можно было бы принять такую систему счисления за гиперреальные числа, но таких систем счисления много. Пока система счисления является полем, любое произведение, умноженное на $0$, обязательно даст $0$, даже если «что угодно» — бесконечное число.
Привычная интерпретация выражения «бесконечность, умноженная на ноль» относится к так называемым «неопределенным формам» (см. также Что бесконечность делится на бесконечность?), и тогда ответ далеко не прост и на самом деле не равен нулю в общем.
Однако, если интерпретировать буквально, догадка ОП о том, что $\infty \times 0=0$ «просто», может быть полностью оправдана, как указано выше.
Связанный с этим вопрос о «бесконечности, умноженной на бесконечно малую», см. «бесконечность, умноженная на бесконечно малую». Что происходит?
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Это также может быть связано с противоречивыми определениями: вообще говоря, для некоторого числа n n * 0 = 0, а n * бесконечность = бесконечность. Так что же такое бесконечность * 0? Это не определено.
Кроме того, как указал Алекс, бесконечность не является натуральным числом, поэтому те же правила не применяются. И он прав, существуют разные определения бесконечности, так что не думайте о ней как о числе с реальным значением. Например, множество всех действительных чисел и множество всех рациональных чисел бесконечны, но множество всех действительных чисел представляет собой «большую» бесконечность.
5}{5!}
\end{выравнивание}
То, что «$0\cdot\infty$» является «неопределенной формой», означает именно то, что если вы умножаете что-то, что приближается к $0$, на что-то, что приближается к $\infty$, то произведение может приближаться к $0$ или $\infty$ или какое-то число между этими крайними значениями, в зависимости от того, каковы два перемножаемых фактора.
$\endgroup$
$\begingroup$
Проблема в том, что нет способа расширить обычные операции сложения и умножения на $\mathbb R$ так, чтобы $\mathbb R \cup \{\infty,-\infty\}$ образовывало поле. Техническая сложность на самом деле с добавить бесконечностей, не вычитая их. Что такое $\infty + \infty$? Ну, это не может быть $\infty$, потому что тогда мы вычтем $\infty$ с обеих сторон и получим $\infty = 0$. У нас не может быть $\infty + \infty = -\infty$, потому что тогда мы получим $3\infty = 0$, поэтому $\infty = 0$.
И у нас не может быть $\infty+\infty = r$ для реального $r$, потому что тогда у нас было бы $\infty = r/2$. Таким образом, вообще невозможно сделать арифметику только с положительной и отрицательной бесконечностью. Так что, если для удобства вы хотите использовать ограниченный вид арифметики с бесконечностями, вы должны заблаговременно изложить правила, которые вы выбрали для использования — настоящего стандарта не существует. Однако, как подсказывают некоторые другие ответы, можно восстановить смысл, добавив лотов бесконечных чисел, таких как $2\infty$, $\frac 2 3 \infty$ и т. д., и соответствующие им «бесконечно малые», но это выходит за рамки моих собственных знаний.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Проблема с большинством неопределенных чисел заключается в том, что им нельзя присвоить уникальное значение.
Существует бесконечно много чисел, удовлетворяющих этим свойствам.
Начните с $\frac{0}{0}$. Допустим, оно равно $x$, что означает $0\cdot x=0$. Таким образом, для каждого значения $x$ это уравнение выполняется, поэтому мы не можем получить уникальный $x$.
Другой $\frac{\infty}{\infty}$ равен $\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}$=$\frac{ 0}{0}$, поэтому по тем же причинам это тоже нельзя определить однозначно. 90$. Так как каждый $x$ удовлетворяет и этому, мы не можем получить уникальный $x$ и в этом случае.
Еще один $0\cdot \infty$. Допустим, $0\cdot \infty=x$ или $\frac{x}{\infty}=0$, или $x\cdot 0=0$, потому что $\frac{1}{\infty}\rightarrow 0$. Так что и в этом случае мы не можем получить уникальный $x$.
Фактически, $$\infty\cdot 0=\infty\cdot \frac{1}{\infty} (\text{потому что } \frac{1}{\infty}\rightarrow 0) =\frac{\ infty}{\infty} =\frac{0}{0}=\text{undefined}$$ (потому что всем им нельзя присвоить уникальное значение).
Таким образом, кажется, что все эти неопределенные формы в основном одно и то же.