Сколько будет корень из 16: сколько будет корень из 16?

Квадратный корень

Предварительные навыки

Основные сведения

Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести во вторую степень.

Найдём площадь квадрата, длина стороны которого 3 см

S = 3² = 9 см²

Теперь решим обратную задачу. А именно, зная площадь квадрата определим длину его стороны. Для этого воспользуемся таким инструментом как кóрень. Корень бывает квадратный, кубический, а также n-й степени.

Сейчас наш интерес вызывает квадратный корень. По другому его называют кóрнем второй степени.

Для нахождения длины стороны нашего квадрата, нужно найти число, вторая степень которого равна 9. Таковым является число 3. Это число и является кóрнем.

Введём для работы с корнями новые обозначения.

Символ кóрня выглядит как . Это по причине того, что слово корень в математике употребляется как радикал

. А слово радикал происходит от латинского radix (что в переводе означает корень). Первая буква слова radix это r впоследствии преобразилась в символ корня .

Под корнем располагáют подкореннóе выражение. В нашем случае подкоренным выражением будет число 9 (площадь квадрата)

Нас интересовал квадратный корень (он же корень второй степени), поэтому слева над корнем указываем число 2. Это число называют показателем корня (или степенью корня)

Получили выражение, которое читается так: «квадратный корень из числа 9». С этого момента возникает новая задача по поиску самогó корня.

Если число 3 возвести во вторую степень, то получится число 9. Поэтому число 3 и будет ответом:

Значит квадрат площадью 9 см² имеет сторону, длина которой 3 см. Приведённое действие называют извлечéнием квадрáтного кóрня.

Нетрудно догадаться, что квадратным корнем из числа 9 также является отрицательное число −3. При его возведении во вторую степень тоже получается число 9

Получается, что выражение  имеет два значения: 3 и −3. Но длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому для нашей задачи ответ будет только один, а именно 3.

Вообще, квадратный корень имеет два противоположных значения: положительное и отрицательное.

Например, извлечём квадратный корень из числа 4

Это выражение имеет два значения: 2 и −2, поскольку при возведении этих чисел во вторую степень, получится один и тот же результат 4

Поэтому ответ к выражению вида  записывают с плюсом и минусом. Плюс с минусом означает, что квадратный корень имеет два противоположных значения.

Запишем ответ к выражению  с плюсом и минусом:

---

Определения

Дадим определение квадратному корню.

Квадратным корнем из числа a называют такое число b, вторая степень которого равна

a.

То есть число b должно быть таким, чтобы выполнялось равенство b² = a. Число b (оно же корень) обозначается через радикал  так, что . На практике левая и правая часть поменяны местами и мы видим привычное выражение 

Например, квадратным корнем из числá 16 есть число 4, поскольку число 4 во второй степени равно 16

4² = 16

Корень 4 можно обозначить через радикал  так, что .

Также квадратным корнем из числá 16 есть число −4, поскольку число −4 во второй степени равно 16

(−4)² = 16

Если при решении задачи интересует только положительное значение, то корень называют не просто квадратным, а арифметическим квадратным.

Арифметический квадратный корень из числá a — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b² = a.

В нашем примере квадратными корнями из числá 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

В разговорном языке можно использовать сокращение. К примеру, выражение  полностью читается так: «квадратный корень из числá шестнадцать», а в сокращённом варианте можно прочитать так: «корень из шестнадцати».

Не следует путать понятия корень и квадрат. Квадрат это число, которое получилось в результате возведения какого-нибудь числá во вторую степень. Например, числа 25, 36, 49 являются квадратами, потому что они получились в результате возведения во вторую степень чисел 5, 6 и 7 соответственно.

Корнями же являются числа 5, 6 и 7. Они являются теми числами, которые во второй степени равны 25, 36 и 49 соответственно.

Чаще всего в квадратных корнях показатель кóрня вообще не указывается. Так, вместо записи можно использовать запись. Если в учебнике по математике встретится корень без показателя, то нужно понимать, что это квадратный корень.

Квадратный корень из единицы равен единице. То есть справедливо следующее равенство:

Это по причине того, что единица во второй степени равна единице:

1² = 1

и квадрат, состоящий из одной квадратной единицы, имеет сторону, равную единице:

Квадратный корень из нуля равен нулю. То есть справедливо равенство , поскольку 0² = 0.

Выражение вида  смысла не имеет. Например, не имеет смысла выражение , поскольку вторая степень любого числа есть число положительное. Невозможно найти число, вторая степень которого будет равна −4.

Если выражение вида  возвести во вторую степень, то есть если записать , то это выражение будет равно подкореннóму выражению a

Например, выражение  равно 4

Это потому что выражение  равно значению 2. Но это значение сразу возвóдится во вторую степень и получается результат 4.

Еще примеры:

Корень из квадрата числá равен модулю этого числá:

Например, корень из числá 5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá 5

Если во вторую степень возвóдится отрицательное число, ответ опять же будет положительным. Например, корень из числá −5, возведённого во вторую степень, равен модулю числá −5. А модуль числа −5 равен 5

Действительно, если не пользуясь правилом , вычислять выражение  обычным методом — сначала возвести число −5 во вторую степень, затем извлечь полученный результат, то полýчим ответ 5

Не следует путать правило  с правилом . Правило  верно при любом a, тогда как правило  верно в том случае, если выражение  имеет смысл.

В некоторых учебниках знак корня может выглядеть без верхней линии. Выглядит это так:

Примеры: √4, √9, √16.

Мéньшему числу соответствует мéньший корень, а бóльшему числу соответствует бóльший корень.

Например, рассмотрим числа 49 и 64. Число 49 меньше, чем число 64.

49 < 64

Если извлечь квадратные корни из этих чисел, то числу 49 будет соответствовать меньший корень, а числу 64 — бóльший. Действительно, √49 = 7, а √64 = 8,

√49 < √64

Отсюда:

7 < 8

---

Примеры извлечения квадратных корней

Рассмотрим несколько простых примеров на извлечение квадратных корней.

Пример 1. Извлечь квадратный корень √36

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 36. Таковым является число 6, поскольку 6² = 36

√36 = 6

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень √49

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 49. Таковым является число 7, поскольку 7² = 49

√49 = 7

В таких простых примерах достаточно знать таблицу умножения. Так, мы помним, что число 49 входит в таблицу умножения на семь. То есть:

7 × 7 = 49

Но 7 × 7 это 7

2

7² = 49

Отсюда, √49 = 7.

---

Пример 3. Извлечь квадратный корень √100

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 100. Таковым является число 10, поскольку 10² = 100

√100 = 10

Число 100 это последнее число, корень которого можно извлечь с помощью таблицы умножения. Для чисел, бóльших 100, квадратные корни можно находить с помощью таблицы квадратов.

---

Пример 3. Извлечь квадратный корень √256

Данный квадратный корень равен числу, квадрат которого равен 256. Чтобы найти это число, воспользуемся таблицей квадратов.

Нахóдим в таблице квадратов число 256 и двигаясь от него влево и вверх определяем цифры, которые образуют число, квадрат которого равен 256.

Видим, что это число 16. Значит √256 = 16.

---

Пример 4. Найти значение выражения 2√16

В данном примере число 2 умножается на выражение с корнем. Сначала вычислим корень √16, затем перемнóжим его с числом 2

---

Пример 7. Решить уравнение 

В данном примере нужно найти значение переменной x, при котором левая часть будет равна 4.

Значение переменной x равно 16, поскольку . Значит корень уравнения равен 16.

Примечание. Не следует путать корень уравнения и квадратный корень. Корень уравнения это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. А квадратный корень это число, вторая степень которого равна выражению, находящемуся под радикалом .

Подобные примеры решают, пользуясь определением квадратного корня. Давайте и мы поступим так же.

Из определения мы знаем, что квадратный корень  равен числу b, при котором выполняется равенство b² = a.

Применим равенство b² = a к нашему примеру . Роль переменной

b у нас играет число 4, а роль переменной a — выражение, находящееся под корнем , а именно переменная x

В выражении 4² = x вычислим левую часть, полýчим 16 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 16. В результате приходим к тому, что нашлось значение переменной x.

---

Пример 8. Решить уравнение 

Перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Возведем правую часть во вторую степень и приравняем её к переменной x

Вычислим правую часть, полýчим 64 = x. Поменяем левую и правую часть местами, полýчим x = 64. Значит корень уравнения  равен 64

---

Пример 9. Решить уравнение 

Воспользуемся определением квадратного корня:

Роль переменной b играет число 7, а роль переменной a — подкореннóе выражение 3 + 5x. Возведем число 7 во вторую степень и приравняем его к 3 + 5

x

В выражении 7² = 3 + 5x вычислим левую часть полýчим 49 = 3 + 5x. Получилось обычное линейное уравнение. Решим его:

Корень уравнения  равен . Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

---

Пример 10. Найти значение выражения 

В этом выражении число 2 умножается на квадратный корень из числа 49.

Сначала нужно извлечь квадратный корень и перемножить его с числом 2

---

Приближённое значение квадратного корня

Не каждый квадратный корень можно извлечь. Извлечь квадратный корень можно только в том случае, если удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению.

Например, извлечь квадратный корень  можно, потому что удаётся найти число, вторая степень которого равна подкореннóму выражению. Таковым является число 8, поскольку 8² = 64. То есть

А извлечь квадратный корень  нельзя, потому что невозможно найти число, вторая степень которого равна 3. В таком случае говорят, что квадратный корень из числа 3 не извлекается.

Зато можно извлечь квадратный корень из числа 3 приближённо. Извлечь квадратный корень приближённо означает найти значение, которое при возведении во вторую степень будет максимально близко к подкореннóму выражению.

Приближённое значение ищут с определенной точностью: с точностью до целых, с точностью до десятых, с точностью до сотых и так далее.

Найдём значение корня  приближённо с точностью до десятых. Словосочетание «с точностью до десятых» говорит о том, что приближённое значение корня  будет представлять собой десятичную дробь, у которой после запятой одна цифра.

Для начала найдём ближайшее меньшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 1. Корень из этого числа равен самому этому числу:

√1 = 1

Аналогично находим ближайшее бóльшее число, корень которого можно извлечь. Таковым является число 4. Корень из этого числа равен 2

√4 = 2

√1 меньше, чем √4

√1 < √4

А √3 больше, чем √1 но меньше, чем √4. Запишем это в виде двойного неравенства:

√1 < √3 < √4

Точные значения корней √1 и √4 известны. Это числа 1 и 2

1 < √3 < 2

Тогда очевидно, что значение корня √3 будет представлять собой десятичную дробь, потому что между числами 1 и 2 нет целых чисел.

Для нахождения приближённого значения квадратного корня √3 будем проверять десятичные дроби, располагающиеся в интервале от 1 до 2, возводя их в квадрат. Делать это будем до тех пор пока не полýчим значение, максимально близкое к 3. Проверим к примеру дробь 1,1

1,1² = 1,21

Получился результат 1,21, который не очень близок к подкореннóму выражению 3. Значит 1,1 не годится в качестве приближённого значения квадратного корня √3, потому что оно малó.

Проверим тогда дробь 1,8

1,8² = 3,24

Получился результат 3,24, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,24. Значит 1,8 не годится в качестве приближенного значения корня √3, потому что оно великó.

Проверим тогда дробь 1,7

1,7² = 2,89

Получился результат 2,89, который уже близок к подкореннóму выражению. Значит 1,7 и будет приближённым значением квадратного корня √3. Напомним, что знак приближенного значения выглядит как ≈

√3 ≈ 1,7

Значение 1,6 проверять не нужно, потому что в результате получится число 2,56, которое дальше от трёх, чем значение 2,89. А значение 1,8, как было показано ранее, является уже большим.

В данном случае мы нашли приближенное значение корня √3 с точностью до десятых. Значение можно получить ещё более точно. Для этого его следует находить с точностью до сотых.

Чтобы найти значение с точностью до сотых проверим десятичные дроби в интервале от 1,7 до 1,8

1,7 < √3 < 1,8

Проверим дробь 1,74

1,74² = 3,0276

Получился результат 3,0276, который близок к подкореннóму выражению, но превосходит его на 0,0276. Значит значение 1,74 великó для корня √3.

Проверим тогда дробь 1,73

1,73² = 2,9929

Получился результат 2,9929, который близок к подкореннóму выражению √3. Значит 1,73 будет приближённым значением квадратного корня √3 с точностью до сотых.

Процесс нахождения приближённого значения квадратного корня продолжается бесконечно. Так, корень √3 можно находить с точностью до тысячных, десятитысячных и так далее:

√3 = 1,732 (вычислено с точностью до тысячных)

√3 = 1,7320 (вычислено с точностью до десятитысячных)

√3 = 1,73205 (вычислено с точностью до ста тысячных).

Ещё квадратный корень можно извлечь с точностью до целых. Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых равно единице:

√3 ≈ 1

Значение 2 будет слишком большим, поскольку при возведении этого числа во вторую степень получается число 4, которое больше подкоренного выражения. Нас же интересуют значения, которые при возведении во вторую степень равны подкореннóму выражению или максимально близки к нему, но не превосходят его.

В зависимости от решаемой задачи допускается находить значение, вторая степень которого больше подкоренного выражения. Это значение называют приближённым значением квадратного корня с избытком. Поговорим об этом подробнее.

---

Приближенное значение квадратного корня с недостатком или избытком

Иногда можно встретить задание, в котором требуется найти приближённое значение корня с недостатком или избытком.

В предыдущей теме мы нашли приближённое значение корня √3 с точностью до десятых с недостатком. Недостаток понимается в том смысле, что до значения 3 нам недоставало ещё некоторых частей. Так, найдя приближённое значение √3 с точностью до десятых, мы получили 1,7. Это значение является значением с недостатком, поскольку при возведении этого числа во вторую степень полýчим результат 2,89. Этому результату недостаёт ещё 0,11 чтобы получить число 3. То есть, 2,89 + 0,11 = 3.

С избытком же называют приближённые значения, которые при возведении во вторую степень дают результат, который превосходит подкореннóе выражение. Так, вычисляя корень √3 приближённо, мы проверили значение 1,8. Это значение является приближённым значением корня √3 с точностью до десятых с избытком, поскольку при возведении 1,8 во вторую степень, получаем число 3,24. Этот результат превосходит подкореннóе выражение на 0,24. То есть 3,24 − 3 = 0,24.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых тоже был найден с недостатком:

√3 ≈ 1

Это потому что при возведении единицы в квадрат получаем единицу. То есть до числа 3 недостаёт ещё 2.

Приближённое значение квадратного корня √3 с точностью до целых можно найти и с избытком. Тогда этот корень приближённо будет равен 2

√3 ≈ 2

Это потому что при возведении числа 2 в квадрат получаем 4. Число 4 превосходит подкореннóе выражение 3 на единицу. Извлекая приближённо квадратный корень с избытком желательно уточнять, что корень извлечен именно с избытком:

√3 ≈ 2 (с избытком)

Потому что приближённое значение чаще всего ищется с недостатком, чем с избытком.

Дополнительно следует упомянуть, что в некоторых учебниках словосочетания «с точностью до целых», «с точностью до десятых», с «точностью до сотых», заменяют на словосочетания «с точностью до 1», «с точностью до 0,1», «с точностью до 0,01» соответственно.

Так, если в задании сказано извлечь квадратный корень из числа 5 с точностью до 0,01, то это значит что корень следует извлекать приближённо с точностью до сотых:

√5 ≈ 2,23

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 1

√51 ≈ 7

---

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,1

√51 ≈ 7,1

Пример 4. Извлечь квадратный корень из числа 51 с точностью до 0,01

√51 ≈ 7,14

---

Границы, в пределах которых располагаются корни

Если исходное число принадлежит промежутку [1; 100], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [1; 10].

Например, пусть исходным числом будет 64. Данное число принадлежит промежутку [1; 100]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 64 будет принадлежать промежутку [1; 10]. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Какое перемножение двух одинаковых сомножителей даёт в результате 64? Ясно, что перемножение 8 × 8, а это есть 8² = 64. Значит квадратный корень из числа 64 есть 8

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 49

Число 49 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 7, поскольку 7² = 49

√49 = 7

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 1

Число 1 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 1, поскольку 1² = 1

√1 = 1

---

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 100

Число 100 принадлежит промежутку [1; 100]. Значит квадратный корень будет принадлежать промежутку [1; 10]. Этим корнем будет число 10, поскольку 10² = 100

√100 = 10

Понятно, что промежуток [1; 100] содержит ещё и числа, квадратные корни из которых не извлекаются. Для таких чисел корень нужно извлекать приближённо. Тем не менее, приближённый корень тоже будет располагаться в пределах промежутка [1; 10].

Например, извлечём квадратный корень из числа 37. Нет целого числа, вторая степень которого была бы равна 37. Поэтому извлекать квадратный корень следует приближённо. Извлечём его к примеру с точностью до сотых:

√37 ≈ 6,08

Для облегчения можно находить ближайшее меньшее число, корень из которого извлекается. Таковым в данном примере было число 36. Квадратный корень из него равен 6. И далее отталкиваясь от числа 6, можно находить приближённое значение корня √37, проверяя различные десятичные дроби, целая часть которых равна 6.

Квадраты чисел от 1 до 10 обязательно нужно знать наизусть. Ниже представлены эти квадраты:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

И обратно, следует знать значения квадратных корней этих квадратов:

Если к любому числу от 1 до 10 в конце дописать ноль (или несколько нулей), и затем возвести это число во вторую степень, то в полученном числе будет в два раза больше нулей.

Например, 6² = 36. Допишем к числу 6 один ноль, полýчим 60. Возведём число 60 во вторую степень, полýчим 3600

60² = 3600

А если к числу 6 дописать два нуля, и возвести это число во вторую степень, то полýчим число, в котором четыре нуля. То есть в два раза больше нулей:

600² = 360000

Тогда можно сделать следующий вывод:

Если исходное число содержит знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь квадратный корень из этого числа. Для этого следует извлечь корень из знакомого нам квадрата и затем записать половину количества нулей из исходного числа.

Например, извлечём квадратный корень из числа 900. Видим, что в данном числе есть знакомый нам квадрат 9. Извлекаем из него корень, получаем 3

Теперь из исходного числа записываем половину от количества нулей. В исходном числе 900 содержится два нуля. Половина этого количества нулей есть один ноль. Записываем его в ответе после цифры 3

---

Пример 2. Извлечём квадратный корень из числа 90000

Здесь опять же имеется знакомый нам квадрат 9 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 9 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе содержится четыре нуля. Половиной же этого количества нулей будет два нуля:

---

Пример 3. Извлечем квадратный корень из числа 36000000

Здесь имеется знакомый нам квадрат 36 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 36 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе шесть нулей. Половиной же будет три нуля:

---

Пример 4. Извлечем квадратный корень из числа 2500

Здесь имеется знакомый нам квадрат 25 и чётное количество нулей. Извлекаем корень из числа 25 и записываем половину от количества нулей. В исходном числе два нуля. Половиной же будет один ноль:

---

Если подкореннóе число увеличить (или уменьшить) в 100, 10000 то корень увеличится (или уменьшится) в 10, 100 раз соответственно.

Например, . Если увеличим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень увеличится в 10 раз:

И наоборот, если в равенстве  уменьшим подкореннóе число в 100 раз, то квадратный корень уменьшится в 10 раз:

Пример 2. Увеличим в равенстве  подкореннóе число в 10000, тогда квадратный корень 70 увеличиться в 100 раз

Пример 3. Уменьшим в равенстве  подкореннóе число в 100 раз, тогда квадратный корень 70 уменьшится в 10 раз

Эта закономерность позволяет извлечь квадратный корень из десятичной дроби, если в данной дроби после запятой содéржатся две цифры, и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат. В таких случаях данную десятичную дробь следует умножить на 100. Затем извлечь квадратный корень из получившегося числа и уменьшить подкореннóе число в сто раз.

Например, извлечём квадратный корень из числа 0,25. В данной десятичной дроби после запятой содержатся две цифры и эти две цифры образуют знакомый нам квадрат 25.

Умнóжим десятичную дробь 0,25 на 100, полýчим 25. А из числа 25 квадратный корень извлекается легко:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,25, а не из 25. Чтобы исправить ситуацию, вернём нашу десятичную дробь. Если в равенстве  подкореннóе число уменьшить в 100 раз, то полýчим под корнем 0,25 и соответственно ответ уменьшится в 10 раз:

Обычно в таких случаях достаточно уметь передвигáть запятую. Потому что сдвинуть в числе запятую вправо на две цифры это всё равно что умножить это число на 100.

В предыдущем примере в подкоренном числе 0,25 можно было сдвинуть запятую вправо на две цифры, а в полученном ответе сдвинуть её влево на одну цифру.

Например, извлечем корень из числа 0,81. Мысленно передвинем запятую вправо на две цифры, полýчим 81. Теперь извлечём квадратный корень из числа 81, полýчим ответ 9. В ответе 9 передвинем запятую влево на одну цифру, полýчим 0,9. Значит, .

Это правило работает и в ситуации, когда после запятой содержатся четыре цифры и эти цифры образуют знакомый нам квадрат.

Например, десятичная дробь 0,1225 содержит после запятой четыре цифры. Эти четыре цифры образуют число 1225, квадратный корень из которого равен 35.

Тогда можно извлечь квадратный корень и из 0,1225. Умнóжим данную десятичную дробь на 10000, полýчим 1225. Из числа 1225 квадратный корень можно извлечь с помощью таблицы квадратов:

Но нам изначально нужно было извлечь корень из 0,1225, а не из 1225. Чтобы исправить ситуацию, в равенстве  подкореннóе число уменьшим в 10000 раз. В результате под корнем образуется десятичная дробь 0,1225, а правая часть уменьшится в 100 раз

Эта же закономерность будет работать и при извлечении корней из дробей вида 12,25. Если цифры из которых состоит десятичная дробь образуют знакомый нам квадрат, при этом после запятой содержится чётное количество цифр, то можно извлечь корень из этой десятичной дроби.

Умнóжим десятичную дробь 12,25 на 100, полýчим 1225. Извлечём корень из числа 1225

Теперь в равенстве уменьшим подкореннóе число в 100 раз. В результате под корнем образуется число 12,25, и соответственно ответ уменьшится в 10 раз

---

Если исходное число принадлежит промежутку [100; 10000], то квадратный корень из этого исходного числа будет принадлежать промежутку [10; 100].

В этом случае применяется таблица квадратов:

Например, пусть исходным числом будет 576. Данное число принадлежит промежутку [100; 10000]. Сразу делаем вывод, что квадратный корень из числа 576 будет принадлежать промежутку [10; 100]. Теперь открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 576

Видим, что это число 24. Значит .

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 432.

Число 432 принадлежит промежутку [100; 10000]. Значит квадратный корень следует искать в промежутке [10; 100]. Открываем таблицу квадратов и смотрим какое число во второй степени равно 432. Обнаруживаем, что число 432 в таблице квадратов отсутствует. В этом случае квадратный корень следует искать приближённо.

Извлечем квадратный корень из числа 432 с точностью до десятых.

В таблице квадратов ближайшее меньшее число к 432 это число 400. Квадратный корень из него равен 20. Отталкиваясь от числа 20, будем проверять различные десятичные дроби, целая часть которых равна 20.

Проверим, например, число 20,8. Для этого возведём его в квадрат:

20,8² = 432,64

Получилось число 432,64 которое превосходит исходное число 432 на 0,64. Видим, что значение 20,8 великó для корня √432. Проверим тогда значение 20,7

20,7² = 428,49

Значение 20,7 годится в качестве корня, поскольку в результате возведения этого числа в квадрат получается число 428,49, которое меньше исходного числа 432, но близко к нему. Значит √432 ≈ 20,7.

Необязательно запоминать промежутки чтобы узнать в каких границах располагается корень. Можно воспользоваться методом нахождения ближайших квадратов с чётным количеством нулей на конце.

Например, извлечём корень из числа 4225. Нам известен ближайший меньший квадрат 3600, и ближайший больший квадрат 4900

3600 < 4225 < 4900

Извлечём квадратные корни из чисел 3600 и 4900. Это числа 60 и 70 соответственно:

Тогда можно понять, что квадратный корень из числа 4225 располагается между числами 60 и 70. Можно даже найти его методом подбора. Корни 60 и 70 исключаем сразу, поскольку это корни чисел 3600 и 4900. Затем можно проверить, например, корень 64. Возведём его в квадрат (или умнóжим данное число само на себя)

Корень 64 не годится. Проверим корень 65

Получается 4225. Значит 65 является корнем числа 4225

---

Тождественные преобразования с квадратными корнями

Над квадратными корнями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым облегчая их вычисление. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Квадратный корень из произведения

Квадратный корень из произведения это выражение вида , где a и b некоторые числа.

Например, выражение  является квадратным корнем из произведения чисел 4 и 9.

Чтобы извлечь такой квадратный корень, нужно по отдельности извлечь квадратные корни из множителей 4 и 9, представив выражение  в виде произведения корней . Вычислив по отдельности эти корни полýчим произведение 2 × 3, которое равно 6

Конечно, можно не прибегать к таким манипуляциям, а вычислить сначала подкореннóе выражение 4 × 9, которое равно 36. Затем извлечь квадратный корень из числа 36

Но при извлечении квадратных корней из больших чисел это правило может оказаться весьма полезным.

Допустим, потребовалось извлечь квадратный корень из числа 144. Этот корень легко определяется с помощью таблицы квадратов — он равен 12

Но предстáвим, что таблицы квадратов под рукой не оказалось. В этом случае число 144 можно разложить на простые множители. Затем из этих простых множителей составить числа, квадратные корни из которых извлекаются.

Итак, разлóжим число 144 на простые множители:

Получили следующее разложение:

В разложéнии содержатся четыре двойки и две тройки. При этом все числа, входящие в разложение, перемнóжены. Это позволяет предстáвить произведения одинаковых сомножителей в виде степени с показателем 2.

Тогда четыре двойки можно заменить на запись 2² × 2², а две тройки заменить на 3²

В результате будем иметь следующее разложение:

Теперь можно извлекáть квадратный корень из разложения числа 144

Применим правило извлечения квадратного корня из произведения:

Ранее было сказано, что если подкореннóе выражение возведенó во вторую степень, то такой квадратный корень равен модулю из подкореннóго выражения.

Тогда получится произведение 2 × 2 × 3, которое равно 12

Простые множители представляют в виде степени для удобства и короткой записи. Допускается также записывать их под кóрнем как есть, чтобы впоследствии перемнóжив их, получить новые сомножители.

Так, разложив число 144 на простые множители, мы получили разложение 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Это разложение можно записать под кóрнем как есть:

затем перемнóжить некоторые сомножители так, чтобы получились числа, квадратные корни из которых извлекаются. В данном случае можно дважды перемнóжить две двойки и один раз перемнóжить две тройки:

Затем применить правило извлечения квадратного корня из произведения и получить окончательный ответ:

С помощью правила извлечения квадратного корня из произведения можно извлекать корень и из других больших чисел. В том числе, из тех чисел, которых нет в таблице квадратов.

Например, извлечём квадратный корень из числа 13456. Этого числа нет в таблице квадратов, поэтому воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения, предварительно разложив число 13456 на простые множители.

Итак, разложим число 13456 на простые множители:

В разложении имеются четыре двойки и два числа 29. Двойки дважды предстáвим как 2². А два числа 29 предстáвим как 29². В результате полýчим следующее разложение числа 13456

Теперь будем извлекать квадратный корень из разложения числа 13456

Итак, если a ≥ 0 и b ≥ 0, то . То есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Докажем равенство . Для этого воспользуемся определением квадратного корня.

Согласно определению, квадратным корня из числа a есть число b, при котором выполняется равенство b² = a.

В нашем случае нужно удостовериться, что правая часть равенства  при возведении во вторую степень даст в результате подкореннóе выражение левой части, то есть выражение ab.

Итак, выпишем правую часть равенства  и возведём ее во вторую степень:

Теперь воспользуемся правилом возведения в степень произведения. Согласно этому правилу, каждый множитель данного произведения нужно возвести в указанную степень:

Ранее было сказано, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то получится подкореннóе выражение. Применим это правило. Тогда полýчим ab. А это есть подкореннóе выражение квадратного корня

Значит равенство  справедливо, поскольку при возведéнии правой части во вторую степень, получается подкореннóе выражение левой части.

Правило извлечения квадратного корня из произведения работает и в случае, если под кóрнем располагается более двух множителей. То есть справедливым будет следующее равенство:

, при a ≥ 0 и b ≥ 0, c ≥ 0.

---

Пример 1. Найти значение квадратного корня 

Запишем корень в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

---

Пример 2. Найти значение квадратного корня 

Предстáвим число 250 в виде произведения чисел 25 и 10. Делать это будем под знáком корня:

Теперь под кóрнем образовалось два одинаковых множителя 10 и 10. Перемнóжим их, полýчим 100

Далее применяем правило извлечения квадратного кóрня из произведения и получáем окончательный ответ:

---

Пример 3. Найти значение квадратного корня 

Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Степень 11⁴ предстáвим как (11²)².

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

В нашем случае квадратный корень из числа (11²)² будет равен 11². Говоря простым языком, внешний показатель степени 2 исчезнет, а внутренний останется:

Далее возводим число 11 во вторую степень и получаем окончательный ответ:

Этот пример также можно решить, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из произведения. Для этого подкореннóе выражение 11⁴ нужно записать в виде произведения 11² × 11². Затем извлечь квадратный корень из этого произведения:

---

Пример 4. Найти значение квадратного корня

Перепишем степень 3⁴ в виде (3²)², а степень 5⁶ в виде (5³)²

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из произведения:

Далее используем правило извлечения квадратного кóрня из квадрата числа:

Вычислим произведение получившихся степеней и полýчим окончательный ответ:

---

Сомножители, находящиеся под корнем, могут быть десятичными дробями. Например, извлечём квадратный корень из произведения

Запишем корень  в виде произведения корней, извлечём их, затем найдём значение полученного произведения:

---

Пример 6. Найти значение квадратного корня

---

Пример 7. Найти значение квадратного корня

---

Если первый сомножитель умножить на число n, а второй сомножитель разделить на это число n, то произведение не изменится.

Например, произведение 8 × 4 равно 32

8 × 4 = 32

Умнóжим сомножитель 8 скажем на число 2, а сомножитель 4 раздéлим на это же число 2. Тогда получится произведение 16 × 2, которое тоже равно 32.

(8 × 2) × (4 : 2) = 32

Это свойство полезно при решении некоторых задач на извлечение квадратных корней. Сомножители подкореннóго выражения можно умнóжить и разделить так, чтобы корни из них извлекались.

Например, извлечём квадратный корень из произведения . Если сразу воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из произведения, то не полýчится извлечь корни √1,6 и √90, потому что они не извлекаются.

Проанализировав подкореннóе выражение 1,6 × 90, можно заметить, что если первый сомножитель 1,6 умножить на 10, а второй сомножитель 90 разделить на 10, то полýчится произведение 16 × 9. Из такого произведения квадратный корень можно извлечь, пользуясь правилом извлечения квадратного корня из произведения.

Запишем полное решение данного примера:

Процесс умножения и деления можно выполнять в уме. Также можно пропустить подробную запись извлечения квадратного корня из каждого сомножителя. Тогда решение станóвится короче:

---

Пример 9. Найти значение квадратного корня

Умнóжим первый сомножитель на 10, а второй раздéлим на 10. Тогда под кóрнем образуется произведение 36 × 0,04, квадратный корень из которого извлекается:

---

Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то полýчим равенство . Это преобразовáние позволяет упрощáть вычисление некоторых корней.

Например, узнáем чему равно значение выражения .

Квадратные корни из чисел 10 и 40 не извлекаются. Воспользуемся правилом , то есть заменим выражение из двух корней  на выражение с одним корнем, под которым будет произведение из чисел 10 и 40

Теперь найдём значение произведения, находящегося под корнем:

А квадратный корень из числа 400 извлекается. Он равен 20

Сомножители, располагáющиеся под корнем, можно расклáдывать на множители, группировáть, представлять в виде степени, а также перемножáть для получения новых сомножителей, корни из которых извлекаются.

Например, найдём значение выражения .

Воспользуемся правилом

Сомножитель 32 это 2⁵. Предстáвим этот сомножитель как 2 × 2⁴

Перемнóжим сомножители 2 и 2, полýчим 4. А сомножитель 2⁴ предстáвим в виде степени с показателем 2

Теперь воспóльзуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

---

Пример 12. Найти значение выражения

Воспользуемся правилом

Сомножитель 8 это 2 × 2 × 2, а сомножитель 98 это 2 × 7 × 7

Теперь под кóрнем имеются четыре двойки и две семёрки. Четыре двойки можно записать как 2² × 2², а две семёрки как 7²

Теперь воспользуемся правилом и вычислим окончательный ответ:

---

Квадратный корень из дроби

Квадратный корень вида равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа a, а в знаменателе — квадратный корень из числа b

Например, квадратный корень из дроби  равен дроби, в числителе которой квадратный корень из числа 4, а в знаменателе — квадратный корень из числа 9

Вычислим квадратные корни в числителе и знаменателе:

Значит, квадратный корень из дроби равен .

Докáжем, что равенство является верным.

Возведём правую часть во вторую степень. Если в результате полýчим дробь , то это будет означать, что равенство верно:

---

Пример 1. Извлечь квадратный корень 

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

---

Пример 2. Извлечь квадратный корень 

Переведём подкореннóе выражение в неправильную дробь, затем воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

---

Пример 3. Извлечь квадратный корень

Квадратным корнем из числа 0,09 является 0,3. Но можно извлечь этот корень, воспользовавшись правилом извлечения квадратного корня из дроби.

Предстáвим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби. 0,09 это девять сотых:

Теперь можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

---

Пример 4. Найти значение выражения 

Извлечём корни из 0,09 и 0,25, затем сложим полученные результаты:

Также можно воспользоваться правилом извлечения квадратного корня из дроби:

В данном примере первый способ оказался проще и удобнее.

---

Пример 5. Найти значение выражения 

Сначала вычислим квадратный корень, затем перемнóжим его с 10. Получившийся результат вычтем из 4

---

Пример 6. Найти значение выражения 

Сначала найдём значение квадратного корня . Он равен 0,6 поскольку 0,6² = 0,36

Теперь вычислим получившееся выражение. Согласно порядку действий, сначала надо выполнить умножение, затем сложение:

---

Вынесение множителя из-под знака корня

В некоторых задачах может быть полезным вынесение множителя из-под знака корня.

Рассмотрим квадратный корень из произведения . Согласно правилу извлечения квадратного корня из произведения, нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя данного произведения:

В нашем примере квадратный корень извлекается только из множителя 4. Его мы извлечём, а выражение  оставим без изменений:

Это и есть вынесение множителя из-под знака корня.

На практике подкореннóе выражение чаще всего требуется разложить на множители.

---

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 9 и 2. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правило извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 9. Множитель 2 остáвим под кóрнем:

---

Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 121 и 3. Тогда полýчим:

Теперь воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения. Извлечь можно только корень из множителя 121. Выражение √3 остáвим под корнем:

---

Пример 4. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Квадратный корень извлекается только из числа 121. Извлечём его, а выражение √15 оставим без изменений:

Получается, что множитель 11 вынесен из-под знака корня. Вынесенный множитель принято записывать до выражения с корнем. Поменяем выражения √15 и 11 местами:

---

Пример 5. Вынести множитель из-под знака корня в выражении

Разлóжим подкореннóе выражение на множители 4 и 3

Воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из произведения:

Извлечём корень из числа 4, а выражение √3 остáвим без изменений:

---

Пример 6. Упростить выражение 

Предстáвим второе слагаемое в виде . А третье слагаемое предстáвим в виде

Теперь в выражениях и вынесем множитель из-под знака корня:

Во втором слагаемом перемнóжим числа −4 и 4. Остальное перепишем без изменений:

Замечáем, что получившемся выражении квадратный корень √3 является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вычислим содержимое скобок, полýчим −1

Если множителем является −1, то записывают только минус. Единица опускается. Тогда полýчим окончательный ответ −√3

---

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим следующее выражение:

В этом выражении число 5 умнóжено на квадратный корень из числа 9. Найдём значение этого выражения.

Сначала извлечём квадратный корень, затем перемнóжим его с числом 5.

Квадратный корень из 9 равен 3. Перемнóжим его с числом 5. Тогда полýчим 15

Число 5 в данном случае было множителем. Внесём этот множитель под знак корня. Но сделать это нужно таким образом, чтобы в результате наших действий значение исходного выражения не изменилось. Проще говоря, после внесения множителя 5 под знак корня, получившееся выражение по-прежнему должно быть равно 15.

Значение выражения не изменится, если число 5 возвести во вторую степень и только тогда внести его под корень:

Итак, если данó выражение , и нужно внести множитель a под знак корня, то надо возвести во вторую степень множитель a и внести его под корень:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении

Возведём число 7 во вторую степень и внесём его под знак корня:

---

Пример 2. Внести множитель под знак корня в выражении 

Возведём число 10 во вторую степень и внесем его под знак корня:

---

Пример 3. Внести множитель под знак корня в выражении 

Вносить под знак корня можно только положительный множитель. Ранее было сказано, что выражение вида  не имеет смысла.

Однако, если перед знаком кóрня располагается отрицательный множитель, то минус можно оставить за знáком корня, а самó число внести под знак корня.

Пример 4. Внести множитель по знак корня в выражении 

В этом примере под знак корня внóсится только 3. Минус остаётся за знáком корня:

---

Пример 5. Выполнить возведéние в степень в следующем выражении:

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Роль переменной a в данном случае играет выражение √3, роль переменной b — выражение √2. Тогда полýчим:

Теперь необходимо упростить получившееся выражение.

Для выражений и  применим правило . Ранее мы говорили, что если выражение вида  возвести во вторую степень, то это выражение будет равно подкореннóму выражению a.

А в выражении для множителей и применим правило . То есть заменим произведение корней на один общий корень:

Приведём подобные слагаемые. В данном случае можно сложить слагаемые 3 и 2. А в слагаемом вычислить произведение, которое под кóрнем:

---

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 2. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 3. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 6. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 7. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 8. Найдите значения следующих выражений:

Решение:

Задание 9. Извлеките квадратный корень из числа 4624

Решение:

Задание 10. Извлеките квадратный корень из числа 11025

Решение:

Задание 11. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 12. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 13. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 14. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 15. Найдите значение квадратного корня:

Решение:

Задание 16. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 17. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 18. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 19. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 20. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 21. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 22. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 23. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 24. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 25. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 26. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 27. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 28. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 29. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 30. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 31. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 32. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 34. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 35. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 36. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 37. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 38. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 39. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 40. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 41. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 42. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 43. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Задание 44. Вынести множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

Решение:

Задание 45. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 46. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 47. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 48. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 49. Внести множитель под знак корня:

Решение:

Задание 50. Внести множитель под знак корня в следующих выражениях:

Решение:

Задание 51. Упростить выражение:

Решение:

Задание 52. Упростить выражение:

Решение:

Задание 53. Упростить выражение:

Решение:

Задание 54. Упростить выражение:

Решение:

Задание 55. Упростить выражение:

Решение:

Задание 56. Упростить выражение:

Решение:

Задание 57. Упростить выражение:

Решение:

Задание 58. Упростить выражение:

Решение:

Задание 59. Упростить выражение:

Решение:

Задание 60. Упростить выражение:

Решение:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

• преобразование и вычисление арифметических корней,
• свойства арифметического корня натуральной степени,
• корень нечетной степени из отрицательного числа,
• какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)⁵ = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Примеры:

.

.

1. .

Пример:

.

1. .

Пример:

.

1. Для любогоа справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4.

Извлечение квадратного корня из суммы или разности

При работе с иррациональными числами наибольшие затруднения возникают в случае, когда необходимо извлечь корень из суммы или разности двух чисел: чаще одного рационального, а другого — иррационального. Рассмотрим на примере:

Так как отсутствует формула, позволяющая разбить данный корень на разность двух корней, 

мы воспользуемся следующими формулами: 

 и

Таким образом, выделив под корнем три слагаемых и свернув их в формулу квадрата разности (в нашем случае), извлечем корень из квадрата, что упростит дальнейшие вычисления.

Итак, начнем с иррационального числа, в нашем случае это -16√3. То, что число отрицательное, показывает нам, что сворачивать будем в квадрат разности. Число -16√3 содержит в себе удвоенное произведение двух чисел. Т.е. -16√3=-2ab. Это означает, что ab=8√3. Переберем все возможные варианты:

1. 8√3=8*√3;
2. 8√3=2*4√3;
3. 8√3=4*2√3;
4. 8√3=1*8√3.

Для формулы необходимо к удвоенному произведению добавить сумму квадратов выражений a и b. Выполним это для каждого из вариантов и определим, в каком из случаев сумма будет составлять 28, чего требует условие.

1. -2*8*√3+64+3=67-16√3;
2. -2*2*4√3+4+48=52-16√3;
3. -2*4*2√3+16+12=28-16√3;
4. -2*1*8√3+1+192=193-16√3.

Получается, что нам подходит третий случай, в котором выражение 28-16√3 раскладывается в формулу квадрата разности двух выражений: 4 и 2√3. Свернем по формуле и продолжим вычисления: 

Теперь необходим раскрыть модуль, используя определения модуля. Для этого нужно определить знак подмодульного выражения. Т.к. 4>2√3 (чтобы узнать, какое число больше, можно просто возвести оба этих числа в квадрат. И т.к. квадрат 4 равен 16, а квадрат 2√3 равен 12 и 16>12, то и 4>2√3), то модуль раскрывается с тем же знаком, т.е. |4-2√3|=4-2√3.

Для закрепления данной темы предлагаю вам самостоятельно извлечь корень из следующих выражений: 

Стоматология для подростков

Только со временем, во взрослом возрасте, происходит окончательное формирование верхушек корней, укрепление (за счет минерализации) внутренних тканей зубов и эмали, и за счет этого – «уменьшение» коронковой пульпы. А раз уж есть особенности в строении зубов, то при их лечении необходим особый подход…

Возраст пациентов подросткового стоматолога

Важно понимать, что в случае «подростковой стоматологии» мы говорим не о как таковом периоде пубертата, то есть собственно подросткового возраста. Речь идет именно о периоде сменного прикуса, когда молочные зубы постепенно меняются на постоянные.

Таким образом, подростковая стоматология начинается с 6 лет. Именно в этом возрасте появляются первые постоянные зубы. Если до этого момента проблемами молочных зубов занимается детский стоматолог, то с появлением первого коренного зуба (и первых проблем с ним) малыш должен посещать двух врачей – детского, пока во рту еще есть молочные зубки, и подросткового, под «юрисдикцию» которого попадают прорезавшиеся постоянные. Полностью смена прикуса завершается к 13 годам. И в 14 лет подросток переходит в руки уже взрослых докторов.

Основные проблемы и особенности лечения

Даже у шестилетних детей нам приходится сталкиваться с ситуацией, когда только что прорезавшийся постоянный зуб уже поражен кариесом, а также с осложнениями этого заболевания – пульпитами и периодонтитами. В этих случаях приходится частично удалять корневую пульпу и временно (!) пломбировать каналы лечебной пастой. В дальнейшем в динамике наблюдаем такой зуб: возможно, через какое-то время корень зуба доформируется и апикальное отверстие начнет сужаться, и мы обтурировать корневые каналы постоянным пломбировочным материалом.

Но в сложных случаях такие зубы подлежат удалению. И связано это с тем, что качественно обтурировать и создать герметизм в корневом канале с незавершенным формированием корня невозможно, а это может привести к дальнейшим осложнениям. Вот представьте: в канале 6-го жевательного зуба продолжается воспалительный процесс из-за плохой герметизации, в результате этого образуется киста, которая может серьезно повлиять на зачаток соседнего 7-го, зуба, вызвав и там воспаление. В результате малыш может лишиться обоих зубов, участвующих в акте жевания. Чтобы не допустить этого, нам приходится удалять «возмутителя спокойствия». Однако после удаления зуба у ребенка на помощь приходит врач-ортодонт: в его силах «подвинуть» постоянные 7-е и 8-е зубы, которые прорежутся позже, на место утраченной «шестерки» и таким образом полностью восстановить зубной ряд.

Наиболее подвержены кариесу жевательные (постоянные) зубы, такие как 6-е, — они самыми первыми прорезаются и первыми же становятся жертвами кариозного процесса. Связано это, в первую очередь, с затрудненной гигиеной, которая нередко бывает свойственна даже взрослому человеку, а зачастую и с полным ее отсутствием, так как малыши еще не могут или ленятся сами чистить зубы. Как мы говорили в самом начале, у «детских» коренных зубов коронковая пульпа расположена слишком близко к твердым тканям зуба. Из-за этого стремительно развивающийся кариес довольно быстро переходит в пульпит, то есть в воспаление нерва.

В целом возникновение осложнений кариеса – это, конечно, ошибка родителей. Причиной кариеса является несоблюдение гигиены и своевременной профилактики, а пульпит и периодонтит – результат запущенного процесса. Очевидно, что ребенок еще не в состоянии контролировать и оценить возникшие проблемы самостоятельно, не может сам сходить к врачу на профосмотр и т.п. И эту ответственность, безусловно, родители должны взять на себя…

Все как у взрослых

Прорезавшиеся коренные зубы – довольно крупные с большим нервом, пораженные пульпитом, – беспокоят детей ничуть не меньше, чем взрослых, как говорится, по полной программе. Пульпит вызывает жуткую боль, не дает есть, спать по ночам, чистить зубы…

Еще одна напасть, которая чаще всего касается маленьких непосед. В процессе активных игр и занятий спортом дети получают различные травмы, в том числе и травмы зубов – отлом коронковой части зуба, перелом корня, скол со вскрытием пульпы зуба. В этих случаях мы прибегаем к щадящим методам лечения с сохранением пульпы. На вскрытый рог пульпы устанавливается лечебная прокладка, и затем мы в динамике наблюдаем, как пойдет процесс формирования заместительного дентина. В целом у детей пульпа имеет свойство быстро регенерировать. Но очень важно, чтобы в открытую, незащищенную пульпу не попала инфекция. Именно поэтому на успех применения этой методики очень сильно влияют временные рамки. Например, достичь наилучших результатов можно в том случае, если ребенка привели на прием в течение 24 часов после травмы.

А вот если с момента травмы прошло более двух суток, то придется полностью экстерпировать коронковую и корневую пульпу (то есть удалить нерв). А дальнейшее лечение будет зависеть от возраста ребенка. Если каналы зуба еще не полностью сформированы, то пломбируем их временной пастой и наблюдаем, как будет идти процесс в дальнейшем. Вероятно, что в дальнейшем, в случае если каналы правильно сформируются, мы сможем заменить временную пасту на постоянный материал. Если же апикальное отверстие достаточно сформировано (в более позднем возрасте) и у нас есть возможность хорошо обтурировать канал, мы сразу используем постоянные материалы, которые применяются во взрослой стоматологии. В случае травмы действует правило: чем раньше Вы обратитесь к стоматологу, тем легче спасти такой зуб, а в случае позднего обращения, тем более не благоприятный прогноз на будущее Вас ожидает.

Ортопедия у подростков

Во взрослой стоматологии пролеченные и депульпированные зубы в обязательном порядке закрывают коронкой. Аналогично и с подростками. Главная задача — сохранить корень зуба, поэтому если коронковая часть была разрушена более чем на 50%, такой зуб необходимо покрыть коронкой.

Однако в подростковой стоматологии бывают некоторые временные исключения. Например, если пациент готовится к ортодонтическому лечению, то зачастую мы делаем временную реставрацию зуба с помощью пломбировочного материала. Это дает возможность ортодонту поставить брекет-систему и полностью исправить прикус. И уже после этого делается культевая вкладка и на зуб покрывают коронкой.

Да, весь этот процесс растягивается на долгое время, иногда на несколько лет, но ставить брекет-систему на «коронованные» зубы нельзя. Дело в том, что искусственная коронка ставится на полмиллиметра под десну, с тем чтобы полностью закрыть коронковую часть зуба. И когда зубы начнут двигаться под воздействием брекет-системы, то это неизбежно повлияет на состояние десны, край коронки может оголиться. В результате после исправления прикуса придется делать новую коронку и… снова тратить деньги на ортопедическое лечение. А это, согласитесь, нецелесообразно.

Особенности при удалении постоянных зубов

Основная сложность заключается в сохранении зачатков еще не прорезавшихся постоянных зубов, соседствующих с пораженным зубом. Поэтому необходимо максимально нетравматичное, аккуратное обращение с хирургическим инструментарием, так как чрезмерная сила может повредить стоящий рядом зачаток.

Бывает и так, что образовавшаяся киста граничит с зачатком соседнего зуба или возникли глубокие и серьезные в костной ткани. В этом случае нужна особо тщательная, буквально ювелирная, работа. Если киста достигла очень больших размеров, то ребенка приходится направлять в стационар.

И конечно, после удаления при необходимости назначается антибактериальная терапия, если больной зуб был удален, мы в обязательном порядке наблюдаем за зачатком соседнего зуба в динамике до тех пор, пока не убедимся, что с ним все в порядке. Если зачаток зуба развивается нормально, то впоследствии вырастет нормальный здоровый зуб.

Что делать на этапе сменного прикуса, чтобы избежать поражений зубов кариесом и более тяжелых осложнений?

В первую очередь, необходима тщательная гигиена полости рта: она предполагает правильную чистку зубов (Как чистить зубы правильно!) 2 раза в день – утром и вечером. Это очень важно, так как от техники чистки зубов, на самом деле, зависит их здоровье. Даже если чистить зубы по 5-7 минут, но делать это, не соблюдая необходимых правил, все равно будет накапливаться налет в пришеечной области и поражаться эмаль. Произойдет ее деминерализация и образование кариеса. Поэтому очень важно хорошо вычищать зубы, но при этом не переусердствовать. Если прилагать, наоборот, слишком много усилий, то возникают некариозные поражения зубов: клиновидный дефект, стираемость в области шейки зуба и оголение внутренних тканей (дентина) зуба. Что уж говорить, даже не все взрослые в совершенстве владеют этим, казалось бы, незамысловатым «искусством»… Все наши доктора, независимо от возраста пациента, с удовольствием покажут и расскажут, как это нужно делать.

Не менее важно и подобрать подходящую зубную щетку. В целом жесткость щетки зависит от структуры эмали. Что касается детей и подростков, то мы советуем приобретать, как и взрослым, щетку средней жесткости при условии, что зубы нормально минерализованы, а эмаль крепкая, здоровая. Но при наличии флюороза (избыточного количества фтора) эмаль становится очень хрупкой, и в этом случае нужно применять мягкие зубные щетки. В детском и подростковом возрасте не стоит применять электрические зубные щетки – ребенок, по сути, еще и с обычной не очень-то хорошо ладит. А электрическая щетка при неправильном использовании может нанести только вред: повредит эмаль в пришеечной области, что приведет к появлению эрозии. Помочь сделать правильный выбор опять же должен доктор.

Для подростков используются обычные взрослые пасты, которые нужно выбирать с учетом структуры эмали. Например, при флюорозе рекомендуется применять пасту с кальцием.

Посещения стоматолога должны быть регулярными

Регулярные профосмотры позволяют выявить кариес на его начальных стадиях или даже предотвратить его развитие. Например, если мы замечаем во рту ребенка зубы с глубокими уже пигментированными фиссурами (а нередко пигментированными могут быть даже только что прорезавшиеся зубки), то в этом случае мы, чтобы предотвратить развитие кариеса, проводим инвазивную или не инвазивную герметизацию фиссур, то есть очищаем фиссуры и заливаем их специльным герметиком. Такие процедуры проводятся раз в 3-6 месяцев (так как герметик имеет свойство раскалываться) в зависимости от состояния зубов и… гигиены в домашних условиях. Если ребенок сам не справляется с чисткой зубов дома, то также нужно посещать врача-гигиениста для профессиональной чистки зубов раз в 1-3 месяца. Если же малыш научился тщательно прочищать зубы и у него нет склонности к кариозным поражениям, то тогда навещать клинику достаточно раз в полгода.

Первые признаки кариеса родители могут выявить и сами. Старайтесь иногда заглядывать в рот малышу – в прямом смысле этого слова. Увидели изменения цвета зубной эмали – бегом к врачу! Ведь под пигментацией уже может скрываться кариес. Чем менее запущен процесс, тем легче будет предотвратить его дальнейшее развитие.

Кроме того, регулярные осмотры ребенка у стоматолога также позволяют отследить какие-либо изменения прикуса. Если патология прикуса достаточно выражена, подростковый стоматолог сам может увидеть и, например, слишком узкую челюсть, и нехватку места для постоянных зубов и т.д. Такого пациента мы незамедлительно направляем к ортодонту. Однако мы рекомендуем посещать этого специалиста всем детям без исключения. То, что не увидит терапевт или хирург, безусловно, не скроется от опытного взгляда специалиста по прикусу. И только в его силах предотвратить его неправильное формирование на начальных «незаметных» стадиях.

Также мы в обязательном порядке осматриваем малыша на наличие коротких уздечек. Например, при несвоевременном иссечении короткой уздечки верхней губы может образоваться диастема (щель между зубами). А это уже эстетический дефект, который мы стараемся предотвратить. Для подрезания уздечек применяется лазерный бескровный метод без наложения швов. Рана затягивается сама в течение двух недель при соответствующей антисептической обработке и применении мазей.

Особенности коммуникации с подростками

Конечно, найти психологический подход к малышу – это отдельное искусство. Доктору, который не работал с детьми, будет очень сложно принимать подростков. Здесь есть особая грань – этот человечек вроде бы еще ребенок, но уже «полувзрослый», понимаете? Бывают детки капризные, испуганные, неусидчивые. Требуются и терпение, и умение подбирать правильные слова. Это взрослому легко сказать: «Откройте рот!» С детьми это далеко не всегда работает.

Есть дети 6-7 лет, с которыми приходится обращаться, как с совсем маленькими детьми: например, вместо «сделаем укол» мы говорим, что «польем зуб сонной водичкой» или положим «снежинку» и т.п. То есть стараемся найти альтернативные способы, чтобы объяснить малышу, что с ним будет происходить, при этом не напугав. В некотором смысле, такая полуправда.

Есть дети, не поверите, напуганные своими же родителями. Одно неправильное слово способно вывести малыша «из душевного равновесия». Поэтому нередко нам приходится, прежде чем приступить к лечению или даже осмотру, проводить «воспитательные» беседы с родителями.

Сложные моменты возникают с детьми, напуганными неудачным посещением доктора в прошлом. И процент таких детей довольно высок – порядка 30%. Подобные страхи, к сожалению, сидят глубоко, как говорится, в подкорке. И в таких ситуациях на первых порах приходится применять седацию (внутривенную или закись азота) или даже наркоз для ребенка. Тогда мы работаем в тесном сотрудничестве с нашими анестезиологами и вместе стараемся найти пути выхода из этой ситуации, с тем чтобы малыш понял, что лечить зубки совсем нестрашно, и впоследствии нам не приходилось применять никаких седативных препаратов. Со временем дети привыкают к посещению стоматологов, и им это нравится. У нас даже есть программа, позволяющая избавить наших пациентов от стоматофобии – то есть страха перед лечением зубов.

словообразование — Слова без корня

В русском языке имеется громадное количество слов, в которых нет корня. Но все эти слова, кроме одного-двух, относятся к служебным частям речи. Напомню, что словом в русском языке принято называть не только «слова-названия», но и все служебные слова. В большинстве из них нет корня. Например: «в», «у», «за», «из», «от», «ишь», «и», «ай». Я перечислила лексические единицы. То есть, слова. А попробуйте отыскать в них корень. Не найдёте. Выше я говорила, что в одном-двух самостоятельных словах (точнее, в словоформах) мы тоже не найдём корня. Я не ошиблась. Мы его не найдём по той причине, кто что он нулевой. То есть, он есть формально (потенциально), но «убежал». Подберите однокоренные слова, и он «прибежит» обратно. Например: «вы — 0 — ну — ть» — «вы — ним — ать». Но есть и мнения, что в последнем примере всё-таки имеется зримый корень, состоящий из «Н», наложенном на суффикс. Лингвисты называют такие явления морфемной интерференцией. Спорный случай.

Источник: А может так быть, чтобы в слове не было корня? В каком слове нет корня? | bolshoyvopros.ru.

---

В русском языке, как ни странно, существуют слова без корня. Это глаголы снять, поднять, принять, занять, вынуть, взять, изъять и т. д. Они образованы таким способом: приставка, суффикс -н (встречается не во всех), глагольный суффикс и окончание. Ко всем этим глаголам можно подобрать пару несовершенного вида, которая будет содержать в себе морфему «-им-«: поднимать, принимать и т. д. Как ни странно, это корень этих слов. Все они образованы от слова «иметь». То есть, хотя эти слова между собой имеют мало общего, они образованы от одного и того же слова. Также от этих слов образуются существительные или прилагательные, имеющие в своём составе морфему «-ём-» или «-йм-«: приём, займ, выемный. Это тот же корень, но здесь происходит чередование.

Источник: Слова без корня в русском языке | pikabu.ru.

---

В русском языке слов, у которых не было бы корня, нет. Существует лишь одно исключение – это глагол «вынуть», где «вы-» — это приставка, «ну» — это суффикс, а «ть» — это суффикс, характерный для формы инфинитива.

Но и здесь не все так однозначно. Некоторые языковеды относят этот глагол к тем немногим словам, у которых исходного корня в этимологическом плане просто не существует. Правда, это совсем не показатель того, что в его составе корня нет. Основа, которую именуют непроизводной, присуща всем словам без исключения, и она является тем самым компонентом, который мотивирует значение слова. Если говорить об описываемом глаголе, то его корень не совпадает с корнем, выделяемым в слове на момент возникновения этой лексической единицы в языке.

Характеризуемое слово образовывается от «яти» путем присоединения приставки «вы-». Это слово является аналогом современного «брать». Таким способом образуется немало и других слов, например: «внять» (с приставкой «вън-»), «взять» (с приставкой «въз-»), «изъять» (с приставкой «изъ-»), «объять» (с приставкой «объ») и т.д.

Исходная форма глагола «выяти» и «выимати», как и родственные слова «сняти» — «снимати», «вняти» — «внимати» со временем приобрела букву «н», которую можно назвать «вставочной». Следствием этого и стало появление таких форм, как «вынять» и «вынимать».

Позже форма «вынять» (совершенный вид) под влиянием звучания глаголов «кинуть», «сдвинуть», «стукнуть», «сгинуть» и др. получила известную всем форму «вынуть». Здесь речь идет не только о таком явлении, как переразложение, но и о процессе аппликации морфем.

В настоящее время в глаголе «вынуть» (совершенный вид) непроизводной формой основы считается «-н-». Подобный однозвуковой вид является еще и суффиксом, форма выражения которого характеризуется однократностью действия (для сравнения: «вынь», «вынет», «вынут», «вынем»).

В современном русском разбор слова «вынуть» на морфемы будет выглядеть следующим образом: «вы-н-у-ть», где «вы-» — это приставка, «-н-» — это непроизводная форма, которая в других родственных словах чередуется с «-ем-» («выемка»), «-ним-» — («вынимать»), «-н-» — это и суффикс, указывающий на однократность действия, «-у-» — это суффикс, являющийся классовым показателем (аналогично суффиксам «-а-» — «звать», «-е-» — «тереть», «-о-» — «колоть»), «-ть» — элемент инфинитива. Многие лингвисты полагают, что такие морфемы, как корень «-н-» и суффикс «-н-», в этой форме глаголы накладываются друг на друга.

Подытожив все вышесказанное, можно сказать, что с одной стороны, у слова «вынуть» есть корень, если принимать эту морфему за непроизводную форму, которая представляет собой стержень лексического значения слова. Но вместе с тем у этого глагола корня, под которым подразумевают «главный» исходный материал лексической единицы, нет.

Источник: РУССКИЙ ЯЗЫК — ЭТО МЫ | ok.ru.

Кинотеатр Россия

Расписание на 29 июля/четверг

Большой зал					Камерный зал
Время	Название фильма		Цена билета		Время	Название фильма		Цена билета
10:00	Круиз по джунглям	12+	200		10:00	Золушка и заколдованный принц	6+	200
12:20	Время	16+	200		11:45	Космический джем: Новое поколение	6+	200
14:20	Круиз по джунглям	12+	200		14:00	Чёрная вдова	16+	200
16:40	Время	16+	200		16:25	Бросок кобры-3	16+	200
18:40	Круиз по джунглям	12+	200		18:35	Время	16+	200
21:05	Круиз по джунглям	12+	200		20:35	Время	16+	200
23:25	Круиз по джунглям	12+	200		22:35	Красотка на взводе	18+	200

В расписании возможны изменения!

 

Расписание на 30 июля/пятница

Большой зал					Камерный зал
Время	Название фильма		Цена билета		Время	Название фильма		Цена билета
10:00	Круиз по джунглям	12+	200		10:00	Золушка и заколдованный принц	6+	200
12:10	Время	16+	200		11:45	Космический джем: Новое поколение	6+	200
14:10	Круиз по джунглям	12+	200		14:00	Чёрная вдова	16+	200
16:20	Время	16+	200		16:25	Красотка на взводе	18+	200
18:20	Круиз по джунглям	12+	200		18:25	Время	16+	200
20:35	Круиз по джунглям	12+	200		20:35	Время	16+	200
22:50	Круиз по джунглям	12+	200		22:25	Время	16+	200

В расписании возможны изменения!

Пародонтит: диагностика, лечение | ЧЛГВВ

Оглавление:

1. ЧТО ТАКОЕ ПАРОДОНТ

2. КАК САМОСТОЯТЕЛЬНО РАСПОЗНАТЬ НЕОБХОДИМОСТЬ В ПОМОЩИ ПАРОДОНТОЛОГА

3. ЧТО ТАКОЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ ПАРОДОНТА

4. КАК ПРОЯВЛЯЕТСЯ ГИНГИВИТ, И ПОЧЕМУ ОН ВОЗНИКАЕТ

5. КАКИЕ ФАКТОРЫ СПОСОБСТВУЮТ РАЗВИТИЮ ПАРОДОНТИТА

6. ОТЛИЧИЯ ПАРОДОНТОЗА ОТ ПАРОДОНТИТА

7. ПОЧЕМУ ЗУБНОЙ НАЛЕТ ЯВЛЯЕТСЯ ОСНОВНОЙ ПРИЧИНОЙ ЗАБОЛЕВАНИЙ ПАРОДОНТА

8. ИЗЛЕЧИМЫ ЛИ БОЛЕЗНИ ПАРОДОНТА

9. В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ПАРОДОНТОЛОГИЧЕСКОЕ ОБСЛЕДОВАНИЕ

10. ЧТО ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ПОД ПАРОДОНТОЛОГИЧЕСКИМ ЛЕЧЕНИЕМ

11. МЕСТНОЕ ЛЕЧЕНИЕ

12. ОБЩЕЕ ЛЕЧЕНИЕ

13. УСТРАНЕНИЕ ТРАВМИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ ПРИ ЛЕЧЕНИИ

14. НАСКОЛЬКО БОЛЕЗНЕННО ПАРОДОНТОЛОГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ

15. СКОЛЬКО БУДЕТ СТОИТЬ ЛЕЧЕНИЕ

16. СУЩЕСТВУЮТ ЛИ МЕТОДЫ ПРОФИЛАКТИКИ ЗАБОЛЕВАНИЙ ПАРОДОНТА

17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛЕЧАЩЕГО СТОМАТОЛОГА И ПАРОДОНТОЛОГА

Заболевания десен (или заболевания пародонта очень широко распространены среди населения всего земного шара. По данным Всемирной организации здравоохранения, около 95% взрослого населения и 80% детей имеют признаки заболевания десен. Без преувеличения можно сказать, что эта проблема поистине глобального масштаба. О распространенности заболеваний пародонта в нашей стране красноречивее всего говорит тот факт, что болезнь охватывает 98 — 100% людей в возрасте 35 — 44 лет. Особая опасность заболеваний пародонта кроется в том, что часто начало и первые стадии болезни могут протекать бессимптомно, т.е. незаметно для человека. Стоматологи часто говорят, что заболевания пародонта — это молчаливые убийцы зубов. Так что вы можете даже не подозревать об имеющемся у вас заболевании или очень высоком риске его развития. Вот почему одну из самых больших статей нашего журнала мы посвятили пародонтологии. И на наиболее актуальные вопросы по этой теме Вам, уважаемые читатели, доходчиво ответит наш ведущий специалист, врач – пародонтолог Пужак А.В.

Пародонт — это комплекс тканей, окружающих зуб. К ним относится не только десна, но и костная лунка, в которой располагается корень зуба, и связки зуба, удерживающие зуб в лунке, вплетаясь в корень зуба и в кость. Все эти ткани представляют собой единую систему, которая выполняет сразу несколько важнейших функций: фиксация зубов, восприятие и регулировка жевательной нагрузки, управление работой жевательных мышц, защита от проникновения внутрь костной ткани болезнетворных бактерий и целого ряда повреждающих факторов.

Вам необходима консультация пародонтолога, если у вас появились следующие симптомы:

• кровоточивость десен при чистке зубов
• неприятный запах изо рта
• зубы покрыты темным налетом
• припухают десны
• оголились шейки зубов
• появилась подвижность зубов

Заболевания пародонта являются важнейшей причиной потери зубов у взрослых (около 70%) и поражают три четверти населения. Гингивит, пародонтит и пародонтоз – наиболее распространенные заболевания пародонта.

При поверхностном воспалении десны (если в процесс вовлечены только мягкие ткани десны) мы имеем дело с гингивитом. Воспаление может возникнуть в области 1 — 2 зубов (локальный гингивит) или всех зубов (генерализованный гингивит).

Воспаление десны обычно начинается с ее повреждения, например, при еде, чистке зубов, при неправильно наложенной пломбе или коронке, химическом ожоге. В этом случае в травмированную десну проникают болезнетворные микроорганизмы и усиливают воспалительную реакцию. Наличие мягкого зубного налета, зубного камня, плохая гигиена полости рта являются обязательными условиями, а очень часто и самостоятельной причиной возникновения и поддержания заболевания.

Часто гингивит наблюдается у людей с неправильными видами прикуса, при скученности зубов и их неправильном положении. Короткая уздечка верхней и нижней губы — это тоже фактор риска заболевания пародонта.

Важную роль играет курение (возникает спазм кровеносных сосудов, ухудшается питание десны), снижение защитных сил организма (иммунодефицит), недостаток витамина С и другие факторы риска.

В острой стадии процесса обычно отмечаются боль, жжение, отек десневого края, кровоточивость при чистке зубов. Если причина болезни не устранена, то острый гингивит переходит в хроническую форму, которая сама по себе, без лечения, не проходит. В этом случае десна синеет, периодически кровоточит при чистке зубов и приеме пищи. Появляется неприятный запах изо рта.

Тяжелые формы гингивита, например язвенный гингивит, наблюдаются при тяжелых общих заболеваниях организма. Например, при сахарном диабете или серьезном иммунодефицитном заболевании. В этом случае повышается температура, на десне грязно-серого цвета появляются болезненные язвочки, покрытые пленкой, ухудшается общее самочувствие.

При гингивите зубы остаются устойчивыми, так как процесс не проникает в глубь пародонта, не образуется так называемый пародонтальный карман и не происходит растворения костной ткани лунки зуба.
Могут ли возникнуть последствия, если гингивит не лечить?

Если вовремя не провести лечение десен, гингивит перейдет в пародонтит. Это гораздо более серьезное и опасное заболевание, нежели гингивит. Часто оно становится необратимым, так как при пародонтите поражаются и разрушаются глубокие ткани пародонта — связки зуба и костная ткань челюсти.

Причины возникновения пародонтита те же, что и у гингивита. Часто пародонтит присоединяется к хроническому гингивиту. Если сохраняется травмирующий фактор, в поврежденной десне активно продолжают размножаться микроорганизмы. Их токсины и ферменты разрушают десну все глубже и глубже.

В результате нарушается соединение десны с зубом (дно зубодесневой бороздки) — очень важное защитное образование, предохраняющее связки зуба и кость от инфекции. Возникает пародонтальный карман, и теперь бактерии, зубной налет и т.д. устремляются в глубь пародонта — вот здесь и начинается пародонтит. Далее происходит постепенное разрушение связок зуба, раплавляется костная ткань.

Пародонтит может протекать остро и хронически. Обычно острый пародонтит возникает при глубокой сильной травме десны (например, длинной искусственной коронкой, зубочисткой). В этом случае может сразу нарушаться зубодесневое соединение — гингивит и пародонтит возникают одновременно.

Генерализованный пародонтит характерен для серьезных общих заболеваний организма — сахарный диабет, другие эндокринные заболевания, лучевая болезнь, тяжелые заболевания желудочно-кишечного тракта и сердечно-сосудистой системы. Вылечить такой пародонтит без общего лечения основного заболевания практически невозможно.

При хроническом процессе болезненные ощущения и отек выражены не так сильно, как при остром пародонтите, происходит увеличение количества зубного камня и мягкого налета, усиливается неприятный запах изо рта, десна начинает оседать, оголяя шейку зуба, появляется чувствительность зубов на холодное, горячее, кислое и соленое. Появляется подвижность зуба, сначала незаметная, но неуклонно усиливающаяся.

Часто наблюдается нагноение пародонтальных карманов. Гной выделяется из-под десны при надавливании на десневой край пальцем. Иногда, при отсутствии оттока гноя, возникают пародонтальные микроабсцессы — в этом случае пациенту уже требуется хирургическая операция.

Пародонтит может стать одной из причин некоторых общих заболеваний. В зубном налете часто обнаруживают микроорганизм, вызывающий язву желудка. Другие бактерии, живущие в зубном налете, могут приводить к образованию микротромбов (сгустков крови). Проникая в кровь (при кровоточивости десен), они повышают риск возникновения сердечно-сосудистых заболеваний, в том числе инфаркта миокарда.
Попадание в кровь микроорганизмов может приводить к возникновению септического эндокардита. Есть сведения о взаимосвязи хронических заболеваний зубов и пародонта с поражением почек. Помните, что очаг хронической инфекции в полости рта — это входные ворота для болезнетворных бактерий в организм.

Пародонтоз — это дистрофическое поражение всех тканей пародонта, этот процесс никогда не протекает в острой форме и не связан с воздействием бактерий. Происходит медленное, равномерное рассасывание костной ткани ячеек зубов и оседание десны с оголением корней зубов. Пародонтоз — это всегда генерализованный процесс, то есть поражаются все зубы на обеих челюстях. Атрофия костной ткани протекает, как правило, безболезненно, непрерывно и при отсутствии лечения приводит к полному исчезновению связочного аппарата, стенок лунок зубов и их выпадению. Воспалительные явления присоединяются к пародонтозу достаточно редко.

Точная причина заболевания не известна до сих пор. Считается, что начало заболевания связано с нарушением кровообращения в тканях пародонта, эндокринными нарушениями. Развитию пародонтоза способствуют диабет, цирроз печени, язвенная болезнь желудка, неврогенные болезни, сердечно-сосудистая патология (атеросклероз), гиповитаминоз и уменьшение общей сопротивляемости организма.

Местные факторы, например, воздействие на пародонт микроорганизмов, могут лишь отягощать течение болезни, поэтому при пародонтозе первичным процессом является рассасывание костной ткани и связочного аппарата зуба, а поверхностные изменения десны уже вторичны.

Пародонтоз протекает медленно. Клинически он проявляется при значительных изменениях в пародонте. Это оседание десен, обнажение и повышенная чувствительность шеек зубов, зуд в деснах. Зубы остаются устойчивыми достаточно долгое время.

Характерным признаком пародонтоза является наличие так называемых клиновидных дефектов зубов — повреждений эмали зубов около десен в виде достаточно глубоких овальных полостей. В настоящее время это явление объясняется нарушением питания зуба, неполноценностью эмали и дентина в сочетании с очень сильным нажимом на зубную щетку при частой чистке зубов. Для пародонтоза характерно отсутствие пародонтальных карманов.

Бактериальный налет представляет собой липкую, бесцветную пленку и постоянно образующуюся на зубах. Если налет не удалять, он отвердеет и образует грубый пористый нарост, который называется камнем. Бактерии, находящиеся в зубном камне, продуцируют токсины (яды), которые раздражают десну, вызывая ее покраснение, чувствительность, отек и кровоточивость. При прогрессировании заболевания токсины могут привести к разрушению пародонта, образованию карманов, которые заполняются налетом. Поддерживающая зубы кость подвергается постоянному разрушению. Постоянное удаление налета с помощью чистки зубов, использования зубной нити и профессионального ухода может минимизировать риск появления заболевания десен. Однако, если не проводить никакого лечения, пораженные зубы могут приобрести подвижность и, в конечном итоге, выпасть.

Лечение гингивита, пародонтита и пародонтоза представляет собой достаточно сложную, но вполне выполнимую задачу. Самолечение — далеко не лучший способ для борьбы с пародонтитом и пародонтозом, полностью и быстро излечить заболевание на дому, как правило, не удается.

Тщательно выясняется история заболевания (анамнез). Когда началось впервые, что предпринималось для лечения, есть ли данное заболевание у родителей и ближайших родственников и т.д. Тщательный сбор данных позволяет определить факторы риска, иногда даже прогнозировать течение болезни. Далее следует внимательный осмотр полости рта: оценивают уздечки губ и языка, зубные дуги в целом и при необходимости каждый зуб в отдельности, а также пломбы, коронки и ортодонтические аппараты.

Одним из главных методов обследования является зондирование пародонтального кармана у каждого зуба в шести точках. Оценивается наличие зубного камня и мягкого налета, кровотечение, нагноение, подвижность зубов и т.д. Этот трудоемкий анализ безболезненно выполняется за 15 — 20 минут с помощью специального электронного зонда автоматизированной компьютерной системы клинической диагностики Florida Probe (США). Персональные данные пациента сохраняются в памяти компьютера, что позволяeт прогнозировать течение процесса и подбирать лечение, а также оценивать динамику заболевания и эффективность проводимого лечения.

Необходимым элементом при диагностике заболеваний пародонта является ортопантомограмма. На таком снимке видны и зубы, и челюстные кости, и перегородки между зубами. Цифровые ортопантомографы (такие как в нашей клинике) позволяют получить прекрасные снимки с минимальной лучевой нагрузкой на пациента, оценить их на экране компьютера с помощью вспомогательных компьютерных программ.

После сбора всей необходимой информации, пародонтолог обсудит с Вами состояние Ваших десен и предложит наиболее оптимальное лечение. Самое главное, оно должно быть комплексным — то есть лечение должно охватывать все выявленные причины и сопутствующие факторы, поддерживающие болезнь. Только в этом случае удается полностью излечить или надолго стабилизировать заболевание пародонта.

Лечение будет намного эффективнее, если пациент четко выполняет все предписания и неукоснительно следует выбранному плану лечения.

Обычно план комплексного лечения состоит из общего и местного лечения и включает в себя все или часть методов, перечисленных ниже.

• Устранение факторов, травмирующих пародонт (десну)
• Медикаментозная противовоспалительная терапия
• Физиотерапевтическое лечение
• Хирургические операции на пародонте
• Ортодонтическое лечение (при необходимости)
• Рациональное протезирование и шинирование

• Терапия сопутствующих заболеваний, ухудшающих состояние десен
• Общеукрепляющие мероприятия, улучшающие иммунитет, регенерацию, обмен веществ
• Рациональное питание

Лечение начинается с устранения травмирующих факторов — снимаются некачественные пломбы и коронки с нависающим или очень глубоко входящим в десну краем, мостовидные протезы, травмирующие зубы и т.д.

Проводится так называемое избирательное пришлифовывание зубов с целью устранения чрезмерной травмирующей нагрузки при жевании с перегруженных зубов. При этом немного подтачиваются небольшие участки зубов, которые не позволяют правильно смыкаться верхним и нижним зубным рядам, тем самым вызывая их перегрузку.

Это абсолютно безвредная процедура, поскольку сошлифованные участки зубов полируются и покрываются фтор-препаратами. Кариеса при этом не возникает.

Профессиональная гигиена полости рта
Следующий этап лечения (выполняется в 100% случаев) — профессиональная чистка зубов: позволяет удалить даже расположенный глубоко под десной зубной камень (это сильнейший травмирующий фактор). Кроме зубного камня и мягкого зубного налета, одновременно удаляется плотный темный налет (от курения, употребления чая, кофе, других красителей) — это позволяет вернуть красивый внешний вид вашим зубам. После удаления зубного камня и налета врач обязательно проведет полировку очищенной поверхности корня и коронки зуба.

Сейчас распространено несколько методов удаления зубных отложений. Очистка зубов потоком воздуха, смешанным с очищающим порошком и водой (наиболее известный представитель — система Air Flow), отлично очищает зубы от мягкого налета, темного налета от табака или кофе даже в труднодоступных местах. Ультразвуковые скайлеры способны удалять зубной камень практически любых размеров.

Удаление зубных камней — один из самых важных и эффективных этапов в лечении заболеваний пародонта.

Противовоспалительная терапия
Медикаментозная терапия десен позволяет снять воспаление — справиться с болью, отеком, уменьшить кровоточивость десен. Обычно проводится промывание пародонтальных карманов антисептическими растворами (хлоргексидин, йодинол и др.), используются различные лекарственные вещества (ферменты, антимикробные, гормональные, противовоспалительные препараты). Часто десна после введения лекарств закрывается специальной повязкой.

Очень удобны саморассасывающиеся пленки «Диплен-Дента», пропитанные различными лекарственными препаратами (антибактериальными, улучшающими кровообращение и др.). Такие пленки наклеиваются пациентом самостоятельно на пораженные участки десны (например, перед сном) и, постепенно растворяясь, выделяют лекарство прямо в десны. Утром вам остается лишь удалить остатки пленки из полости рта.

Физиотерапевтическое лечение
Существует очень много методов физиотерапевтического лечения заболеваний пародонта. В нашей клинике наибольшее распространение получила лазеротерапия. Терапевтическое лазерное излучение оказывает лечебное действие очень широкого диапазона — снимает боль, улучшает кровообращение, обмен веществ, стимулирует иммунную защиту.

Массаж десны может проводиться врачом или самостоятельно. В домашних условиях указательным пальцем массируется область межзубного сосочка десны движениями вверх-вниз (по 6 — 10 движений на сосочек). Заканчивается массаж гигиеническими полосканиями. Нельзя применять массаж при обострении заболевания, наличии на десне эрозий или язв.

Хирургическое лечение
Хирургические вмешательства на пародонте являются радикальным и одним из самых эффективных методов лечения пародонтитов средней и тяжелой степени тяжести. С помощью небольших операций можно устранить пародонтальные карманы, удалить разросшиеся инфицированные мягкие ткани, устранить нагноение десны (микроабсцессы), сделать подсадку костной ткани или ее заменителей, приподнять опустившуюся десну и закрыть небольшое обнажение корня.

Ежегодно появляются новые разработки в области хирургического лечения, современные материалы и методики лечения. Одним из перспективных новшеств является хирургическое лечение с использованием клеточных технологий, что позволяет стимулировать восстановление костной ткани. В нашей клинике эта технология широко применяется. Хирургическое лечение всегда проводится после удаления зубных отложений и терапевтического лечения, когда все острые явления воспаления десны стихают. Все вмешательства проводятся под местным обезболиванием и редко занимают много времени. Обычно все послеоперационные явления стихают через 2 — 3 дня, а швы снимают, или они рассасываются через неделю.

Эффект от таких операций часто сохраняется надолго. Очень многое будет зависеть от поддержания гигиены полости рта, выполнения правил профилактики и общего состояния здоровья.

Рациональное протезирование и шинирование
Протезирование отсутствующих зубов и их постоянное шинирование (т.е. объединение зубов между собой с помощью протеза или специальными светоотверждаемыми нитями) являются завершающим этапом лечения болезней пародонта. Оно позволяет полноценно восстановить функцию жевания, устранить эстетические недостатки (при отсутствии зубов, видимых при улыбке), объединить все зубы воедино, как и предусмотрено природой.

В этом случае нагрузка распределяется равномерно по всему зубному ряду, что позволяет опорным зубам функционировать намного дольше. Даже отсутствие одного зуба вызывает целый ряд изменений в костной ткани челюсти. Если после успешного терапевтического и хирургического лечения десен не провести рациональное протезирование и шинирование, то болезнь может вновь обостриться уже в самом ближайшем будущем.

Протезирование проводят как съемными, так и несъемными протезами, в зависимости от состояния и количества зубов.

После окончания лечения советуем строго выполнять все рекомендации врача. Обязательно посещайте своего доктора не реже чем 1 — 2 раза в год для контрольного осмотра и профессиональной гигиены полости рта.

Усовершенствованное оборудование, использование местных анестетиков и современные методики позволяют в настоящее время комфортно проводить пародонтологическое лечение. Эффективные лекарственные средства облегчают течение послеоперационного периода.

Стоимость пародонтологического лечения будет зависеть от вида и объема намеченной работы. При обдумывании инвестиции в собственное здоровье, принимайте во внимание, что лечение болезней десен дешевле и лучше для Вашего здоровья, чем восстановление зуба, потерянного в результате не леченого заболевания пародонта.

Новое направление – эстетическая оперативная пародонтология

В последнее время в хирургической пародонтологии появилось и активно используется такое направление, как эстетическая оперативная пародонтология. Она занимается коррекцией изменения положения десневого края относительно шейки зуба, разрастаний десны. Эстетическая оперативная пародонтология включает в себя большое количество новых хирургических методик в зависимости от клинической ситуации и желаемого эстетического эффекта.

1. Профилактика заболеваний пародонта складывается из нескольких несложных пунктов:
2. Чистите зубы 2 раза (утром и вечером) после еды. Используйте зубную пасту, рекомендованную вашим врачом для защиты десен. Используйте электрическую зубную щетку — она прекрасно очищает зубы и массирует десны.
3. Не реже 2 раз в год делайте профессиональную гигиену полости рта, одновременно можете пройти осмотр у пародонтолога. Не используйте какие-либо лекарственные средства для лечения и профилактики болезней пародонта (гели, мази, таблетки и т.д.) без консультации с вашим врачом-стоматологом.
4. Не питайтесь только мягкой и нежной пищей — зубы должны получать нормальную, естественную нагрузку.
5. Ваш рацион должен быть хорошо сбалансирован, содержать необходимое число белков, жиров, углеводов, витаминов. При недостатке витаминов принимайте мультивитаминные комплексы.
6. Ведите здоровый образ жизни.

Ваш стоматолог и пародонтолог работают вместе как члены одной команды для обеспечения самого лучшего лечения. Они объединяют свой опыт для выработки оптимального плана лечения и информируют друг друга о состоянии Вашего здоровья.

После окончания активного пародонтологического лечения, пародонтолог направит Вас к Вашему стоматологу, но может периодически наблюдать Вас для обеспечения необходимого пародонтологического ухода.
Однако наиболее важным членом команды являетесь именно Вы. Ваша заинтересованность, участие и ответственность — это основа успеха Вашего лечения.

Запистаться на прием

Информация обновлена 20.01.21

квадратный корень из 16 — Как найти квадратный корень из 16?

Квадратный корень из 16 выражается как √16 в радикальной форме и как (16) ^½ или (16) ^0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 16 равен 4. Это положительное решение уравнения x ² = 16. Число 16 представляет собой полный квадрат.

• Квадратный корень из 16: 4
• Квадратный корень из 16 в экспоненциальной форме: (16) ^½ или (16) ^0.5
• Квадратный корень из 16 в радикальной форме: √16

Что такое квадратный корень из 16?

Квадратный корень числа — это число, которое умножается на само себя, чтобы получить произведение. Для любых двух действительных чисел a и b

a ² = b

a = √b

Вышеприведенное выражение означает, что a — это второй корень или квадратный корень из b . Квадратный корень из 16 означает то число, которое при умножении на себя даст результат 16.Приведенное выше определение может быть представлено как

Корень квадратный из 16 = √ 16

4 ² = 4 × 4 равно 16
Здесь 4 называется квадратным корнем из 16
. 16 — идеальный квадрат.
Таким образом, квадратный корень из 16 равен 4. Квадратный корень из 16 является обратной операцией возведения в квадрат 4 и -4
. 4 × 4 = 16
(-4) × (-4) = 16

Является ли квадратный корень из 16 рациональным или иррациональным?

Рациональное число определяется как число, которое может быть выражено в форме частного или деления двух целых чисел i.е., p / q, где q = 0. В предыдущем разделе мы схематически наблюдали, что квадратный корень из 16 равен либо 4, либо (-4). Оба числа могут быть представлены в виде рационального числа, т. е. 4 / 1 и — (4/1) соответственно.
√ 16 = 4 = 4/1
Таким образом, квадратный корень из 16 является рациональным.
Итак, √ 16 — иррациональное число.

Как найти квадратный корень из 16?

Квадратный корень из 16 можно вычислить с помощью различных методов: простого факторизации и метода длинного деления.Давайте посмотрим, как он рассчитывается с использованием простого факторизации:

Квадратный корень из 16 методом простого факторизации

Используя разложение на простые множители, можно выполнить следующие шаги:

• Шаг 1. Определите разложение на простые множители 16
  16 = 2 × 2 × 2 × 2
  16 = 2 × 2
• Шаг 2. Сгруппируйте простые множители, полученные для 16, попарно.
• Шаг 3. Выберите по одному множителю из каждой пары, и они могут быть записаны в виде:
• Шаг 4. Таким образом, следуя закону экспонент, получаем,

√16 = √ (2 × 2) ²

√16 = (4 ² ) ^½ = 4

Давайте теперь попробуем найти квадратный корень из 16 методом деления в столбик!

Квадратный корень из 16 по длинному делению

Вот шаги, которые необходимо выполнить, чтобы вычислить квадратный корень из 16:

• Шаг 1. Запишите 16, как показано на рисунке. Начните группировать числа попарно с правого конца.Для 16 оба числа будут сгруппированы под одной полосой.
• Шаг 2. Найдите наибольшее число, которое при умножении на само себя даст 16 или меньшее число, наиболее близкое к 16. 4 — это требуемое число.
• Шаг 3. Выполните деление делимого 16, используя 4 в качестве делителя.
• Шаг 4. Частное, полученное в результате деления в длину, представляет собой квадратный корень из 16

Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

Аналитический центр:

• У Дженни квадратный стол площадью 16 квадратных дюймов.Она накрыла его скатертью площадью 25 квадратных дюймов. На сколько дюймов ткань свисает над столом с каждой стороны, если положить ее по центру?

Важные примечания:

• Квадратный корень из 16 выражается как √ 16 в радикальной форме и как 16 ^1/2 в экспоненциальной форме.
• Квадратный корень из числа является как отрицательным, так и положительным для одного и того же числового значения, т. Е. Квадратный корень из 16 будет равен 4.

Квадратный корень из 16 решенных примеров

1. Пример 1 : У Ноя есть мешок, наполненный кубиками.9 из них зеленые и 7 оранжевые. Если она сложит квадрат, сложив их вместе, сколько кирпичей будет с каждой стороны?

   Решение

   Всего кубиков, использованных Ноем для создания квадратной поверхности = 9 + 7 = 16 кубиков
   Количество кубиков на каждой стороне квадрата = √ Общее количество кубиков, необходимых для создания квадрата
   Кубики с каждой стороны куба = √16 = √ (4 × 4) = 4
   Поскольку количество используемых кубиков не может быть отрицательным, на практике мы возьмем только положительное значение.
   Следовательно, кирпичей с каждой стороны квадрата = 4

2. Пример 2 : Джейк расположил 16 цветочных растений на квадратной грядке. Он получил несколько дополнительных цветочных растений и попытался сохранить квадратную форму клумбы после их добавления. Если общее количество цветочных растений на новой грядке составляет 36, сколько дополнительных растений добавляется в каждый ряд?

   Решение

   Мы знаем, что каждая сторона квадрата = √Площадь
   Мы будем использовать ту же концепцию, чтобы найти цветы в каждом ряду.
   Первоначально с 16 цветочными растениями, цветочные растения в каждом ряду = √16 = 4 цветка
   Мы пренебрегаем отрицательным значением квадратного корня, когда оно практически не применимо. Поэтому в этом примере мы не использовали значение -4.
   Для композиции из 36 цветов цветочные растения в каждом ряду = √36 = 6 цветов
   Таким образом, добавление дополнительных цветов в каждом ряду = 6-4 = 2 цветка

3. Пример 3: Если площадь равностороннего треугольника равна 16√3, ² .Найдите длину одной из сторон треугольника.

   Решение:

   Пусть ‘a’ будет длиной одной из сторон равностороннего треугольника.
   ⇒ Площадь равностороннего треугольника = (√3 / 4) a ² = 16√3 дюйм ²
   ⇒ a = ± √64 в
   Поскольку длина не может быть отрицательной,
   ⇒ a = √64 = 2 √16
   Мы знаем, что квадратный корень из 16 равен 4.
   ⇒ a = 8 из

перейти к слайду перейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 16

Что такое квадратный корень из 16?

Квадратный корень из 16 равен 4.

Почему квадратный корень из 16 является рациональным числом?

После разложения на простые множители 16, т. Е. 2 ​​ ⁴ , мы обнаруживаем, что все простые множители имеют четную степень. Это означает, что квадратный корень из 16 является положительным целым числом.Следовательно, квадратный корень из 16 является рациональным.

Вычислить 19 плюс 17 квадратный корень 16

Данное выражение равно 19 + 17 √16. Мы знаем, что квадратный корень из 16 равен 4. Следовательно, 19 + 17 √16 = 19 + 17 × 4 = 19 + 68 = 87

.

Является ли число 16 идеальным квадратом?

Разложение на простые множители числа 16 = 2 ⁴ . Здесь все числа в степени 2. Это означает, что квадратный корень из 16 является положительным целым числом. Следовательно, 16 — это идеальный квадрат.

Что такое 17 квадратный корень 16?

Квадратный корень из 16 равен 4.Следовательно, 17 √16 = 17 × 4 = 68.

Если квадратный корень 16 равен 4. Найдите значение квадратного корня 0,16.

Представим √0,16 в форме p / q, т.е. √ (16/100) = 4/10 = 0,4. Следовательно, значение √0,16 = 0,4

Квадратный корень из 16 (√16)

---

Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 16. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы о квадратном корне из 16. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 16 с учетом и без компьютер или калькулятор.У нас есть чем поделиться, так что приступим!

---

Корень квадратный из 16 определения
Квадратный корень из 16 в математической форме записывается со знаком корня, как это √16. Мы называем это квадратным корнем из 16 в радикальной форме. Квадратный корень из 16 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 16.

√16 = q × q = q ²

---

Является ли 16 идеальным квадратом?
16 — это полный квадрат, если квадратный корень из 16 равен целому числу.Как мы подсчитали дальше На этой странице квадратный корень из 16 — это целое число.

16 — идеальный квадрат.

---

Квадратный корень из 16 является рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 16 — рациональное число, если 16 — полный квадрат. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 16 — полный квадрат, это рациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 16?» не будет десятичных знаков.

√16 — рациональное число

---

Можно ли упростить квадратный корень из 16?
Квадратный корень из полного квадрата можно упростить, потому что квадратный корень из полного квадрата будет равен целому числу:

√16 = 4

---

Как вычислить квадратный корень из 16 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 16 — это использовать калькулятор! Просто введите 16, а затем √x, чтобы получить ответ.Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ:

√16 = 4

---

Как вычислить квадратный корень из 16 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (16) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 16. Вот результат, который мы получили:

КОРЕНЬ (16) = 4

---

Что такое квадратный корень из 16, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 16 — не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 16, преобразованный в основание с показателем степени?»:

√b = b ^½

√16 = 16 ^½

---

Как найти квадратный корень из 16 методом деления в длину
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 16 с помощью метода деления в длину. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 16 вручную до того, как были изобретены современные технологии.

Шаг 1)
Установите 16 пар из двух цифр справа налево:

Шаг 2)
Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 16, равен 16, а квадратный корень из 16 равен 4. Таким образом, поместите 4 сверху и 16 снизу, как это:
Разница между двумя нижними числами равна нулю, поэтому готово! Ответ — зеленая цифра сверху. И снова квадратный корень из 16 равно 4.

---

Квадратный корень числа
Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 16 на этой странице.

---

Примечания
Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равно положительному. Таким образом, квадратный корень из 16 не дает только положительного ответа. что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог.

На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.

Квадратный корень из 17
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне.

---

Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт

Что такое квадратный корень из 16? — Стиги для блога

Самый читаемый пост, который я когда-либо писал в этом блоге, объясняет, что такое квадратный корень из 16.Большая часть трафика к этому посту поступает из поисковых систем, что, кажется, указывает на то, что многих людей интересуют квадратные корни. Все, что я писал по этому поводу раньше, написано на норвежском языке, что, конечно, означает, что большая часть мира не может этого понять, но квадратные корни действительно важны и должны быть известны каждому. Вот почему я пишу этот пост на языке, который понимают в гораздо большей части мира.

Квадратный корень часто обозначается радикальным знаком или √.Использование слова квадрат далеко не произвольно. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере нескольких копеек, которые у меня завалялись. Если быть точнее, их трое. Посмотрите, как мне удалось не уместить их в квадрат. Если бы я хотел сделать квадрат из двух пенни с каждой стороны, мне понадобился бы еще один пенни, всего четыре. Это означает, что квадратный корень из трех должен быть меньше двух. Его реальная стоимость на самом деле представляет собой странное число, которое нельзя выразить в виде (счетных) пенни, хотя они могут быть практически бесполезными.Фактически, наиболее точный способ выразить значение — как √3.

Эти монеты настолько бесполезны, что вы просто оставляете их на земле в Норвегии, чтобы я мог их найти.

Давайте попробуем еще раз с другой валютой. Я нашел девять норвежских монет по 50 эре, которые раньше стоили примерно столько же, сколько десять центов или десять центов США. Но банк избавился от них, потому что люди считали их практически бесполезными и никому не было до них дела (урок для граждан США: избавьтесь от пенни, он стоит в десять раз меньше и фактически бесполезен).В любом случае, как видите, девять 50-эре аккуратно вписываются в квадрат с тремя монетами с каждой стороны. Это показывает, что квадратный корень из девяти на самом деле равен трем.

Теперь, когда эти монеты больше не используются, единственной оставшейся монетой нюнорска является фемкрона.

Нахождение точного квадратного корня из 16 оставлено читателю в качестве упражнения.

Вычислить и упростить квадратные корни

Результаты обучения

• Вычислить главные квадратные корни.{2} = 16 [/ latex], квадратный корень из [latex] 16 [/ latex] равен [latex] 4 [/ latex]. Функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат, так же как вычитание является обратным сложению. Чтобы отменить возведение в квадрат, мы извлекаем квадратный корень.

  В общих чертах, если [latex] a [/ latex] является положительным вещественным числом, то квадратный корень из [latex] a [/ latex] — это число, которое при умножении на себя дает [latex] a [/ латекс]. Квадратный корень может быть положительным или отрицательным, потому что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число.Главный квадратный корень — неотрицательное число, которое при умножении само на себя равно [латекс] а [/ латекс]. Квадратный корень, полученный с помощью калькулятора, является главным квадратным корнем.

  Главный квадратный корень из [latex] a [/ latex] записывается как [latex] \ sqrt {a} [/ latex]. Символ называется корнем , термин под символом называется корнем и , а все выражение называется радикальным выражением .

  Общее примечание: основной квадратный корень

  Главный квадратный корень из [латекса] a [/ latex] является неотрицательным числом, которое при умножении само на себя равно [latex] a [/ latex].{2} [/ latex] are [latex] 25 [/ latex], радикальный символ подразумевает только неотрицательный корень, главный квадратный корень. {2} = 81 [/ латекс]

Вопросы и ответы

Для [latex] \ sqrt {25 + 144} [/ latex], можем ли мы найти квадратные корни перед сложением?

№ [латекс] \ sqrt {25} + \ sqrt {144} = 5 + 12 = 17 [/ латекс]. Это не эквивалентно [латекс] \ sqrt {25 + 144} = 13 [/ латекс]. Порядок операций требует, чтобы мы добавили члены в подкоренном выражении перед нахождением квадратного корня.

Попробуйте

Оцените каждое выражение.

1. [латекс] \ sqrt {225} [/ латекс]
2. [латекс] \ sqrt {\ sqrt {81}} [/ латекс]
3. [латекс] \ sqrt {25 — 9} [/ латекс]
4. [латекс] \ sqrt {36} + \ sqrt {121} [/ латекс]
Показать решение
1. [латекс] 15 [/ латекс]
2. [латекс] 3 [/ латекс]
3. [латекс] 4 [/ латекс]
4. [латекс] 17 [/ латекс]

Использование правила произведения для упрощения квадратного корня

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, мы перепишем его так, чтобы в подкоренном выражении не было полных квадратов.Есть несколько свойств квадратных корней, которые позволяют упростить сложные радикальные выражения. Первое правило, которое мы рассмотрим, — это правило произведения для упрощения квадратных корней, , которое позволяет разделить квадратный корень из произведения двух чисел на произведение двух отдельных рациональных выражений. Например, мы можем переписать [latex] \ sqrt {15} [/ latex] как [latex] \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {5} [/ latex]. Мы также можем использовать правило произведения, чтобы выразить произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.

Общее примечание: правило произведения для упрощения квадратного корня

Если [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] неотрицательны, квадратный корень продукта [latex] ab [/ latex] равен произведению квадратных корней из [latex] a. [/ латекс] и [латекс] б [/ латекс].

[латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ латекс]

Как: дано выражение с корнем квадратного корня, используйте правило произведения, чтобы упростить его.



1. Выделяем любые полные квадраты за пределы подкоренного выражения.{3} z} [/ латекс].
   Показать решение

   [латекс] 5 | x || y | \ sqrt {2yz} [/ латекс]. Обратите внимание на знаки абсолютного значения около x и y ? Потому что их ценность должна быть положительной!

   Практическое руководство. Учитывая произведение нескольких радикальных выражений, используйте правило произведения, чтобы объединить их в одно радикальное выражение.

   
   
   1. Выразите произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.
   2. Упростить.

   Пример: использование правила произведения для упрощения произведения нескольких квадратных корней

   Упростите радикальное выражение.

   [латекс] \ sqrt {12} \ cdot \ sqrt {3} [/ латекс]

   Показать решение

   [латекс] \ begin {align} & \ sqrt {12 \ cdot 3} && \ text {Представьте продукт как одно радикальное выражение}. \\ & \ sqrt {36} && \ text {Упростить}. \\ & 6 \ end {align} [/ latex]

   Попробуйте

   Упростите [латекс] \ sqrt {50x} \ cdot \ sqrt {2x} [/ latex], предполагая, что [латекс] x> 0 [/ latex].

   Показать решение

   [latex] 10x [/ latex]
   Поскольку [latex] x> 0 [/ latex], нам не нужны абсолютные значения.

   Использование правила частного для упрощения квадратного корня

   Точно так же, как мы можем переписать квадратный корень из произведения как произведение квадратных корней, мы можем переписать квадратный корень из частного как частное из квадратных корней, используя правило частного для упрощения квадратных корней. Может быть полезно разделить числитель и знаменатель дроби под корнем, чтобы мы могли отдельно брать их квадратные корни. Мы можем переписать [latex] \ sqrt {\ dfrac {5} {2}} [/ latex] как [latex] \ dfrac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {2}} [/ latex].

   Общее примечание: правило частного для упрощения квадратного корня

   Квадратный корень из частного [латекс] \ dfrac {a} {b} [/ latex] равен частному из квадратных корней из [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], где [латекс] б \ нэ 0 [/ латекс]. {4}}} [/ latex].{4} \ sqrt {3ab} [/ латекс]

   В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.
   

   Внесите свой вклад!

   У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Калькулятор квадратного корня

   Калькулятор квадратного корня

   О калькуляторе квадратного корня

   Калькулятор квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из введенного числа.

   Квадратный корень

   В математике квадратный корень из числа x — это такое число r, что r ² = x.

   Например:

   1. Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5 ² = 25.

   3. Квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237.

   3. Квадратный корень числа пи (π) приблизительно равен 1,77245385102.

   Таблица квадратного корня

   Ниже приводится таблица квадратного корня от 1 до 1000 с округлением до 5 цифр:

   9066 9066 9066 9066 9066 9064 7,48331 9066 9066 9.327638 9066 9066 9.327638 98666 97 9066 9 1286672
   6 25.01999

   x	√x
   1	1
   2	1.41421
   3	1.73205
   4	2
   5	2.23607
   6	2.44949
   9	3
   10	3,16228
   11	3,31662
   12	3,4641
   60555
   14	3,74166
   15	3,87298
   16	4
   17	4,12311
   20	4.47214
   21	4.58258
   22	4.69042
   23	4.79583
   24	4,89898
   25	5
   26	5,09902
   27	5,19615
   30	5.47723
   31	5.56776
   32	5.65685
   33	5.74456
   34	5.83095
   35	5.
   36	6
   	6.08276
   40	6.32456
   41	6.40312
   42	6.48074
   43	6.55744
   44	6.63325
   45	6.7082
   46	6.78233
   47	9066 9066 9066 9066
   50	7.07107
   51	7.14143
   52	7.2111
   53	7.28011
   54	7,34847
   55	7,4162
   56	7,48331
   57	7,54983		7,54983
   60	7.74597
   61	7.81025
   62	7.87401
   63	7.
   64	8
   65	8.06226
   66	8.12404
   6766	8.18535
   70	8.3666
   71	8.42615
   72	8.48528
   73	8.544
   74	8.60233
   75	8.66025
   76	8.7178
   77	8.776496 9066 9066
   80	8.
   81	9
   82	9.05539
   83	9.11043
   84	9.16515
   85	9.21954
   86	9.27362
   87
   90	9,48683
   91	9,53939
   92	9,59166
   93	9.64365
   94	9.69536
   95	9.74679
   96	9.79796
   100	10
   101	10,04988
   102	10,0995
   103	10.14889
   104	10.19804
   105	10.24695
   106	10.29563
   107	109407 9066 9066 9066 9066 9066 9066 9066 9 9066 9066
   110	10.48809
   111	10.53565
   112	10.58301
   113	10.63015
   114	10.67708
   115	10.72381
   116	10.77033
   117
   120	10.
   121	11
   122	11.04536
   123	11.09054
   124	11.13553
   125	11.18034
   126	11.22497
   127
   130	11.40175
   131	11.44552
   132	11.48913
   133	11.53256
   134	11.57584
   135	11.61895
   136	11.6619
   140	11.83216
   141	11.87434
   142	11.
   143	11.
   144	12
   145	12.04159
   146	12.08305
   147	12.1246 9065		147	12.1246 9065
   150	12.24745
   151	12.28821
   152	12.32883
   153	12.36932
   154	12,40967
   155	12,4499
   156	12,49
   157	12,52996
   158	12,56981
   159	12,60952
   160	12.64911
   161	12.68858
   162	12.72792
   163	12.76715
   164	12.80625
   165	12.84523
   166	12.8841
   170	13.0384
   171	13.0767
   172	13.11488
   173	13.15295
   174	13,19091
   175	13,22876
   176	13,2665
   177	13,30413
   178	13,34166
   179	13,37909
   180	13.41641
   181	13.45362
   182	13.49074
   183	13.52775
   184	13,56466
   185	13,60147
   186	13,63818
   187	13,67479
   188	13,71131
   189	13,74773
   190	13.78405
   191	13.82027
   192	13.85641
   193	13.89244
   194	13.
   195	13.
   196	14
   197
   200	14.14214
   201	14.17745
   202	14.21267
   203	14.24781
   204	14,28286
   205	14,31782
   206	14,3527
   207	14,38749
   208	14,42221
   209	14,45683
   210	14.49138
   211	14.52584
   212	14.56022
   213	14.59452
   214	14,62874
   215	14,66288
   216	14,69694
   217	14,73092
   218	14,76482
   219	14,79865
   220	14.8324
   221	14.86607
   222	14.89966
   223	14.
   224	14.
   225	15
   226	15.0333
   227	156652
   230	15.16575
   231	15.19868
   232	15.23155
   233	15.26434
   234	15,29706
   235	15,32971
   236	15,36229
   237	15,3948
   238	15,42725
   239	15,45962
   240	15,49193
   241	15,52417
   242	15,55635
   243	15.58846
   244	15,6205
   245	15,65248
   246	15,68439
   247	15,71623
   248	15,74802
   249	15,77973
   250	15.81139
   251	15.84298
   252	15.87451
   253	15.
   254	15.
   255	15.
   256	16
   257	4
   257	166126
   257	166126 9066
   260	16.12452
   261	16.15549
   262	16.18641
   263	16.21 727
   264	16,24808
   265	16,27882
   266	16,30951
   267	16,34013
   268	16,37071
   269	16,40122
   270	16.43168
   271	16.46208
   272	16.49242
   273	16.52271
   274	16,55295
   275	16,58312
   276	16,61325
   277	16,64332
   278	16,67333
   279	16,70329
   280	16.7332
   281	16.76305
   282	16.79286
   283	16.8226
   284	16,8523
   285	16,88194
   286	16,
   287	16,
   288	16,
   289	17
   290	17,02939
   291	17,05872
   292	17.08801
   293	17.11724
   294	17,14643
   295	17,17556
   296	17,20465
   297	17,23369
   298	17,26268
   299	17,29162
   300	17.32051
   301	17.34935
   302	17.37815
   303	17.4069
   304	17,4356
   305	17,46425
   306	17,49286
   307	17,52142
   308	17,54993
   309	17,5784
   310	17.60682
   311	17.63519
   312	17.66352
   313	17.69181
   314	17,72005
   315	17,74824
   316	17,77639
   317	17,80449
   318	17,83255
   319	17,86057
   320	17.88854
   321	17.
   322	17.
   323	17.9722
   324	18
   325	18.02776
   326	18.05547
   327	18.083614
   327	18.083614
   330	18.1659
   331	18.19341
   332	18.22087
   333	18.24829
   334	18,27567
   335	18,30301
   336	18,3303
   337	18,35756
   338	18,38478
   339	18,41195
   340	18.43909
   341	18.46619
   342	18.49324
   343	18.52026
   344	18,54724
   345	18,57418
   346	18,60108
   347	18,62794
   348	18,65476
   349	18,68154
   350	18.70829
   351	18.73499
   352	18.76166
   353	18.78829
   354	18,81489
   355	18,84144
   356	18,86796
   357	18,89444
   358	18,
   359	18,9473
   360	18.
   361	19
   362	19.0263
   363	19.05 256
   по ремонту 364	19,07878
   365	19,10497
   366	19,13113
   367	19,15724
   368	19,18333
   369	19,20937
   370	19.23538
   371	19.26136
   372	19.2873
   373	19.31321
   374	19,33908
   375	19,36492
   376	19,39072
   377	19,41649
   378	19,44222
   379	19,46792
   380	19.49359
   381	19.51922
   382	19.54482
   383	19.57039
   384	19,59592
   385	19,62142
   386	19,64688
   387	19,67232
   388	19,69772
   389	19,72308
   390	19.74842
   391	19.77372
   392	19.79899
   393	19.82423
   394	19,84943
   395	19,87461
   396	19,89975
   397	19,
   398	19,
   399	19,
   400	20
   401	20.02498
   402	20.04994
   403	20.07486
   404	20,09975
   405	20,12461
   406	20,14944
   407	20,17424
   408	20,19901
   409	20,22375
   410	20.24846
   411	20.27313
   412	20.29778
   413	20.3224
   414	20,34699
   415	20,37155
   416	20,39608
   417	20,42058
   418	20,44505
   419	20,46949
   420	20,4939
   421	20,51828
   422	20,54264
   423	20.56696
   424	20,59126
   425	20,61553
   426	20,63977
   427	20,66398
   428	20,68816
   429	20,71232
   430	20.73644
   431	20.76054
   432	20.78461
   433	20.+80865
   434	20,83267
   435	20,85665
   436	20,88061
   437	20,
   438	20,
   439	20,
   440	20.
   441	21
   442	21.0238
   443	21.04 757
   444	21,07131
   445	21,09502
   446	21,11871
   447	21,14237
   448	21,16601
   449	21,18962
   450	21.2132
   451	21.23676
   452	21.26029
   453	21.2838
   454	21,30728
   455	21,33073
   456	21,35416
   457	21,37756
   458	21,40093
   459	21,42429
   460	21.44761
   461	21.47091
   462	21.49419
   463	21.51743
   464	21,54066
   465	21,56386
   466	21,58703
   467	21,61018
   468	21,63331
   469	21,65641
   470	21.67948
   471	21.70253
   472	21.72556
   473	21.74856
   474	21,77154
   475	21,79449
   476	21,81742
   477	21,84033
   478	21,86321
   479	21,88607
   480	21.9089
   481	21.
   482	21.9545
   483	21.97726
   484	22
   485	22.02272
   486	22.04541
   487		9066
   490	22.13594
   491	22.15852
   492	22.18107
   493	22.2036
   494	22,22611
   495	22,2486
   496	22,27106
   497	22,2935
   498	22,31591
   499	22,33831
   500	22.36068
   501	22.38303
   502	22.40536
   503	22.42766
   504	22,44994
   505	22,47221
   506	22,49444
   507	22,51666
   508	22,53886
   509	22,56103
   510	22,58318
   511	22.60531
   512	22,62742
   513	22.6495
   514	22,67157
   515	22,69361
   516	22,71563
   517	22,73763
   518	22,75961
   519	22,78157
   520	22.80351
   521	22.82542
   522	22.84732
   523	22.86919
   524	22.89105
   525	22.
   526	22.	526	22.
   527
   530	23.02173
   531	23.04344
   532	23.06513
   533	23.08 679
   534	23,10844
   535	23,13007
   536	23,15167
   537	23,17326
   538	23,19483
   539	23,21637
   540	23.2379
   541	23.25941
   542	23.28089
   543	23.30236
   544	23,32381
   545	23,34524
   546	23,36664
   547	23,38803
   548	23,4094
   549	23,43075
   550	23.45208
   551	23.47339
   552	23.49468
   553	23.51595
   554	23,5372
   555	23,55844
   556	23,57965
   557	23,60085
   558	23,62202
   559	23,64318
   560	23.66432
   561	23.68544
   562	23.70654
   563	23.72762
   564	23,74868
   565	23,76973
   566	23,79075
   567	23,81176
   568	23,83275
   569	23,85372
   570	23.87467
   571	23.89561
   572	23.
   573	23.
   574	23.9583
   575	23.97916
   576	24
   576	24
   577
   580	24.08319
   581	24.10394
   582	24.12468
   583	24.14539
   584	24,16609
   585	24,18677
   586	24,20744
   587	24,22808
   588	24,24871
   589	24,26932
   590	24.28992
   591	24.31049
   592	24.33105
   593	24.35159
   594	24,37212
   595	24,39262
   596	24,41311
   597	24,43358
   598	24,45404
   599	24,47448
   600	24,4949
   601	24,5153
   602	24,53569
   603	24.55606
   604	24,57641
   605	24,59675
   606	24,61707
   607	24,63737
   608	24,65766
   609	24,67793
   610	24.69818
   611	24.71841
   612	24.73863
   613	24.75884
   614	24,77902
   615	24,79919
   616	24,81935
   617	24,83948
   618	24,85961
   619	24,87971
   620	24,8998
   621	24,
   622	24,
   623	24.
   624	24.97999
   625	25
   626	25.01999
   	627
   630	25,0998
   631	25,11971
   632	25,13961
   633	25.15949
   634	25,17936
   635	25,19921
   636	25,21904
   637	25,23886
   638	25,25866
   639	25,27845
   640	25.29822
   641	25.31798
   642	25.33772
   643	25.35744
   644	25,37716
   645	25,39685
   646	25,41653
   647	25,43619
   648	25,45584
   649	25,47548
   650	25,4951
   651	25,5147
   652	25,53429
   653	25.55386
   654	25,57342
   655	25,59297
   656	25,6125
   657	25,63201
   658	25,65151
   659	25,671
   660	25.69047
   661	25.70992
   662	25.72936
   663	25.74879
   664	25,7682
   665	25,78759
   666	25,80698
   667	25,82634
   668	25,8457
   669	25,86503
   670	25.88436
   671	25.
   672	25.
   673	25.
   674	25.
   675	25.98076
   676	26
   676	26
   680	26.07681
   681	26.09598
   682	26.11513
   683	26.13427
   684	26,15339
   685	26,1725
   686	26,1916
   687	9066	26,261068
   690	26.26785
   691	26.28688
   692	26.30589
   693	26.32489
   694	26,34388
   695	26,36285
   696	26,38181
   697	26,40076
   698	26,41969
   699	26,43861
   700	26.45751
   701	26.4764
   702	26.49528
   703	26.51415
   704	26,533
   705	26,55184
   706	26,57066
   707	26,58947
   708	26,60827
   709	26,62705
   710	26.64583
   711	26.66458
   712	26.68333
   713	26.70206
   714	26,72078
   715	26,73948
   716	26,75818
   717	26,77686
   718	26,79552
   719	26,81418
   720	26.83282
   721	26.85144
   722	26.87006
   723	26.88 866
   724	26,
   725	26,
   726	26,
   727	26,
   728	26,98148
   729	27
   730	27.01851
   731	27.03701
   732	27.0555
   733	27.+07397
   734	27,09243
   735	27,11088
   736	27,12932
   737	27,14774
   738	27,16616
   739	27,18455
   740	27.20294
   741	27.22132
   742	27.23968
   743	27.25803
   744	27,27636
   745	27,29469
   746	27,313
   747	27,3313
   748	27,34959
   749	27,36786
   750	27.38613
   751	27.40438
   752	27.42262
   753	27.44085
   754 с	27,45906
   755	27,47726
   756	27,49545
   757	27,51363
   758	27,5318
   759	27,54995
   760	27,5681
   761	27,58623
   762	27.60435
   763	27.62245
   764	27,64055
   765	27,65863
   766	27,67671
   767	27,69476
   768	27,71281
   769	27,73085
   770	27.74887
   771	27.76689
   772	27.78489
   773	27.80288
   774	27,82086
   775	27,83882
   776	27,85678
   777	27,87472
   778	27,89265
   779	27,
   780	27.
   781	27.
   782	27.
   783	27.98214
   784	28
   785	28,01785
   786	28,03569
   787
   790	28.10694
   791	28.12472
   792	28.14249
   793	28.16026
   794	28,17801
   795	28,19574
   796	28,21347
   797	28,23119
   798	28,24889
   799	28,26659
   800	28.28427
   801	28.30194
   802	28.3196
   803	28.+33725
   804	28,35489
   805	28,37252
   806	28,39014
   807	28,40775
   808	28,42534
   809	28,44293
   810	28.4605
   811	28.47806
   812	28.49561
   813	28.51315
   814	28,53069
   815	28,5482
   816	28,56571
   817	28,58321
   818	28,6007
   819	28,61818
   820	28.63564
   821	28.6531
   822	28.67054
   823	28.68798
   824	28,7054
   825	28,72281
   826	28,74022
   827	28,75761
   828	28,77499
   829	28,79236
   830	28.80972
   831	28.82707
   832	28.84441
   833	28.86174
   834	28,87906
   835	28,89637
   836	28,
   837	28,
   838	28,
   839	28,9655
   840	28.98275
   841	29
   842	29.01724
   843	29.+03446
   844	29,05168
   845	29,06888
   846	29,08608
   847	29,10326
   848	29,12044
   849	29,1376
   850	29,15476
   851	29,1719
   852	29,18904
   853	29.20616
   854	29,22328
   855	29,24038
   856	29,25748
   857	29,27456
   858	29,29164
   859	29,3087
   860	29.32576
   861	29.3428
   862	29.35984
   863	29.+37686
   864	29,39388
   865	29,41088
   866	29,42788
   867	29,44486
   868	29,46184
   869	29,47881
   870	29.49576
   81	29.51271
   872	29.52965
   873	29.54657
   874	29,56349
   875	29,5804
   876	29,5973
   877	29,61419
   878	29,63106
   879	29,64793
   880	29.66479
   881	29.68164
   882	29.69848
   83	29.71532
   884	29,73214
   885	29,74895
   886	29,76575
   887	29,78255
   888	29,79933
   889	29,8161
   890	29.83287
   891	29.84962
   892	29.86637
   893	29.+88311
   894	29,89983
   895	29,
   896	29,
   897	29,
   898	29,

   899 29,98333 900 30 901 30.01666 902 30.03331 903 30.04 996 904 30,06659 905 30,08322 906 30,09983 907 30,11644 908 30,13304 909 30,14963910 30.16621 911 30.18278912 30.19934913 30.21589 914 30,23243 915 30,24897 916 30,26549 917 30,28201 918 30,29851 919 30,31501920 30.3315921 30.34798922 30.36445923 30.38092 924 30,39737 925 30,41381 926 30,43025 927 30,44667 928 30,46309 929 30,4795930 30,4959931 30,51229932 30,52868933 30.54505 934 30,56141 935 30,57777 936 30,59412 937 30,61046 938 30,62679 939 30,64311940 30.65942 941 30.67572 942 30.69202943 30.70831 944 30,72458 945 30,74085 946 30,75711 947 30,77337 948 30,78961 949 30,80584950 30.82207951 30.83829952 30.8545953 30.8707 954 30,88689 955 30,

   956 30, 957 30, 958 30, 959 30,960 30.98387961 31962 31.01612 963 31.03 224 964 31,04835 965 31,06445 966 31,08054 967 31,09662 968 31,1127 969 31,12876970 31.14482 971 31.16087 972 31.17691 973 31.19295 974 31.20897 975 31.22499 976 31.241980 31.30495 981 31.32092 982 31.33688 983 31.35283 984 31,36877 985 31,38471 986 31,40064 987 31,41656 988 31,43247 989 31,44837 990 31.46427 991 31.48015 992 31.49603 993 31.5119 994 31,52777 995 31,54362 996 31,55947 997 31,57531 998 31,59114 999 31,60696 1000 31.62278

   Связанные

   Часто используемые инструменты Miniwebtools:

   Все минивеб-инструменты (отсортировано по названию):

   PWA (прогрессивное веб-приложение) Инструменты (17) Финансовые калькуляторы (121) Здоровье и фитнес (31) Математика (161) Случайность (17) Спорт (8) Текстовые инструменты (30) Время и Дата (27) Инструменты для веб-мастеров (10) Хеш и контрольная сумма (8) Разное (108)

   мнимых и комплексных чисел

   мнимых и комплексных чисел

   ---

   Мнимые числа В конце концов, вы столкнетесь с ситуацией, когда вам придется иметь дело с квадратным корни отрицательных чисел.Как это может быть сделано ? В конце концов, положительное число в квадрате или отрицательное число в квадрате всегда будет равно положительному числу. Математики выделили особый число i, равное квадратному корню из минус 1. Тогда i 2 = -1. Чтобы определить квадратный корень из отрицательного числа (например, -16), возьмите квадратный корень из абсолютного значения числа (квадратный корень из 16 = 4), а затем умножьте его на ‘я’.Итак, квадратный корень из -16 равен 4i. В качестве двойной проверки мы можем возвести в квадрат 4i (4 * 4 = 16 и i * i = -1), что дает -16. Все отрицательные квадратные корни называются «мнимые числа» (теперь вы знаете, откуда взялась буква «i»). Комплексные числа Когда число имеет форму a + bi (действительное число плюс мнимое число), оно называется числом. «комплексное число». Как комплексные числа «возникают» в математике? Хорошим примером может служить корни квадратного уравнения x 2 -6x + 25 = 0, где 2 корня равны 3 + 4i и 3 — 4i.Можем ли мы быть уверены, что это корни уравнения? В качестве двойной проверки, используя эти корни, мы можем «восстановить» исходное уравнение, (X — 3 -4i) * (X — 3 + 4i) = X 2 -3x + 4Xi -3X +9 -12i -4Xi + 12i — (4i) 2 Это сокращается до: X 2 -3x -3X +9 — (16) * i 2 Поскольку i 2 = -1, то — (16) * i 2 становится — (- 16) = 16 и поэтому: Х 2 -6Х +25 = 0 Умножение комплексных чисел Сложение и вычитание комплексных чисел в значительной степени следуют правилам базовой арифметики и поэтому мы не будем это обсуждать.Умножение становится немного сложнее. Рассмотрим: (5 + 6i) * (7 + 8i) Это равно 35 + 40i + 42i + 48i 2 Как мы видели выше, i 2 = -1, поэтому 48i 2 = -48 Итак, ответ = -13 + 82i Дивизион комплексных чисел Вам было интересно — деление сложнее умножения? Уверенный. Сначала мы должны определить новый член — , конъюгат , при этом конъюгат с a + bi = a-bi. Пример — сопряжение (3 + 4i) есть (3 — 4i). Главный принцип, который следует помнить при делении комплексных чисел, заключается в следующем: умножаем «верх» и «низ» дроби на сопряжение знаменателя . Время для примера: разделим (9 + 3i) на (7 + 5i) (9 + 3i) ————— (7 + 5i) Знаменатель (7 + 5i), а его сопряжение (7-5i) . Умножая верх и низ на конъюгат: ((9 + 3i) * (7 — 5i)) —————————— ((7 + 5i) * (7 — 5i)), что равно (78 — 24 i) ——— —— 74 Что равняется 78 24i —— минус —— 74 74 Что равняется Ответ = 1,054054054054054 & -0.32432432432432434 я Квадратный корень комплексного числа Теперь переходим к еще большей сложности. Пора определить еще один термин — модуль , в соответствии с которым модуль комплексного числа a + bi равен квадратному корню из (а 2 + б 2 ). Модуль комплексного числа обычно обозначается буквой ‘r’, поэтому: r = квадратный корень (a 2 + b 2 ) Затем мы определим эти две величины: y = квадратный корень ((ra) / 2) x = b / 2y Наконец, два квадратных корня комплексного числа равны: корень 1 = x + yi root 2 = -x — yi Пример должен сделать эту процедуру более понятной. Найдите квадратный корень из 12 + 16i r = Квадратный корень (12 2 + 16 2 ) r = квадратный корень (144 + 256) = 20 y = квадратный корень ((20-12) / 2) = 2 x = 16 / (2 * 2) = 4 корень 1 = 4 + 2i корень 2 = -4 — 2i Даже если у вас есть калькулятор, который может производить эти расчеты для вы, теперь вы знаете процедуры арифметики комплексных чисел. Вернуться к калькулятору

   ---

   Вернуться на главную страницу

   Авторские права © 1999 — 1728 Программные системы

   Квадратные и кубические корни действительных чисел

   Определение квадратного и кубического корня

   Квадратный корень — это число, при умножении на которое получается исходное число.числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, 4 — это квадратный корень из 16, потому что 42 = 16. Поскольку (−4) 2 = 16, мы можем сказать, что −4 также является квадратным корнем из 16. Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. По этой причине мы используем знак корня Символ, используемый для обозначения квадратного корня. для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня неотрицательного квадратного корня. и отрицательный знак перед корнем — для обозначения отрицательного квадратного корня.

   16 = 4 Положительный квадратный корень из 16−16 = −4 Отрицательный квадратный корень из 16

   Ноль — единственное действительное число, имеющее ровно один квадратный корень.

   0 = 0

   Если подкоренное число в радикале., Число внутри знака радикала, не равно нулю и может быть разложено на квадрат другого ненулевого числа, то квадратный корень из числа очевиден. В этом случае мы имеем следующее свойство:

   a2 = a, если a≥0

   Важно отметить, что значения a должны быть неотрицательными.Обратите внимание, что (−3) 2 ≠ −3, поскольку радикал обозначает главный квадратный корень. Вместо

   (−3) 2 = 9 = 3

   Это различие будет внимательно рассмотрено позже в курсе.

   Пример 1

   Найдите квадратный корень:

   1. 121
   2. 0,25
   3. 49

   Решение:

   1. 121 = 112 = 11
   2. 0.25 = 0,52 = 0,5
   3. 49 = (23) 2 = 23

   Пример 2

   Найдите отрицательный квадратный корень:

   1. −64
   2. -1

   Решение:

   1. −64 = −82 = −8
   2. -1 = -12 = -1

   подкоренное выражение не всегда может быть идеальным квадратом. Если положительное целое число не является полным квадратом, его квадратный корень будет иррациональным.2≈5

   Затем рассмотрим квадратный корень отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из −9, вы должны найти число, возведение которого в квадрат дает −9,

   .

   −9 =? или (?) 2 = −9

   Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда приводит к положительному числу

   .

   (3) 2 = 9 и (−3) 2 = 9

   Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен. Попробуйте вычислить −9 на своем калькуляторе; что там написано? А пока мы заявим, что −9 не является действительным числом.Квадратный корень из отрицательного числа будет определен позже в этом курсе.

   Кубический корень Число, которое при трехкратном умножении на само себя дает исходное число, обозначенное цифрой 3. Число — это число, которое при трехкратном умножении на само себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем кубический корень с помощью символа 3, где 3 называется индексом Положительное целое число n в обозначении n, которое используется для обозначения корня n -й степени .. Например,

   83 = 2, потому что 23 = 8

   Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный.По этой причине у любого действительного числа будет только один действительный кубический корень. Следовательно, технические детали, связанные с основным корнем, не применяются. Например,

   −83 = −2, потому что (−2) 3 = −8

   В общем случае для любого действительного числа a мы имеем следующее свойство:

   а33 = а

   При упрощении кубических корней ищите множители, которые являются идеальными кубами.

   Пример 3

   Найдите кубический корень:

   1. 1253
   2. 03
   3. 8273

   Решение:

   1. 1253 = 533 = 5
   2. 03 = 033 = 0
   3. 8273 = (23) 33 = 23

   Пример 4

   Найдите кубический корень:

   1. −273
   2. −13

   Решение:

   1. −273 = (- 3) 33 = −3
   2. −13 = (- 1) 33 = −1

   Возможно, подкоренное выражение не является идеальным кубом.3≈2

   Мы расширим эти идеи, используя любое целое число в качестве индекса позже в этом курсе. Важно отметить, что квадратный корень имеет индекс 2; следовательно, следующие эквиваленты:

   а2 = а

   Другими словами, если индекс не указан, предполагается, что он является квадратным корнем.

   Упрощение квадратного и кубического корня

   Не всегда подкоренное выражение представляет собой полный квадрат. В противном случае мы используем следующие два свойства, чтобы упростить выражение.Для вещественных чисел An и Bn, где B ≠ 0,

   Правило продукта для радикалов :	A⋅Bn = An⋅Bn
   Правило частного для радикалов :	ABn = AnBn

   Даны действительные числа An и Bn, A⋅Bn = An⋅Bn.

   Даны действительные числа An и Bn, ABn = AnBn.

   Упрощенный радикал — радикал, в котором подкоренное выражение не состоит из каких-либо множителей, которые могут быть записаны как полные степени индекса. — это тот, где подкоренное выражение не состоит из каких-либо факторов, которые могут быть записаны как абсолютные степени индекса. Для получения квадратного корня идея состоит в том, чтобы определить наибольший квадратный множитель подкоренного выражения, а затем применить свойство, показанное выше. В качестве примера, чтобы упростить 12, обратите внимание, что 12 не является идеальным квадратом.Однако у 12 есть точный квадратный коэффициент, 12 = 4⋅3. Применяйте свойство следующим образом: 12 = 4⋅3 Примените правило произведения для радикалов. = 4⋅3 Упростить. = 2⋅3 Число 23 — упрощенное иррациональное число. Вас часто просят найти примерный ответ, округленный до определенного десятичного знака. В этом случае используйте калькулятор, чтобы найти десятичное приближение, используя исходную задачу или упрощенный эквивалент. 12 = 23≈3,46 Для проверки вычислите на калькуляторе 12 и 23 и убедитесь, что оба результата равны примерно 3.46. ​​

   Пример 5

   Упростить: 135.

   Решение:

   Начните с определения наибольшего квадратного множителя 135.

   135 = 33⋅5 = 32⋅3⋅5 = 9⋅15

   Следовательно,

   135 = 9⋅15 Применить правило произведения для радикалов. = 9⋅15 Упростить. = 3⋅15

   Ответ: 315

   Пример 6

   Упростить: 108169.

   Решение:

   Мы начинаем с нахождения разложения на простые множители как 108, так и 169. Это позволит нам легко определить наибольшие абсолютные квадратные множители.

   108 = 22⋅33 = 22⋅32⋅3169 = 132

   Следовательно,

   108169 = 22⋅32⋅3132 Примените правило произведения и частного для радикалов. = 22⋅32⋅3132 Упростить. = 2⋅3⋅313 = 6313

   Ответ: 6313

   Пример 7

   Упростить: −5162.

   Решение:

   −5162 = −5⋅81⋅2 = −5⋅81⋅2 = −5⋅9⋅2 = −45⋅2 = −452

   Ответ: −452

   Попробуй ! Упростить: 4150.

   Ответ: 206

   Кубический корень упрощается, если он не содержит множителей, которые можно записать в виде идеальных кубов. Идея состоит в том, чтобы определить наибольший кубический коэффициент подкоренного выражения, а затем применить правило произведения или частного для радикалов.В качестве примера, чтобы упростить 803, обратите внимание, что 80 — не идеальный куб. Однако 80 = 8⋅10, и мы можем написать

   803 = 8⋅103 Примените правило произведения для радикалов. = 83⋅103 Упростить. = 2⋅103

   Пример 8

   Упростить: 1623.

   Решение:

   Начните с определения наибольшего коэффициента идеального куба, равного 162.

   162 = 34⋅2 = 33⋅3⋅2 = 27⋅6

   Следовательно,

   1623 = 27⋅63 Примените правило произведения для радикалов.= 273⋅63 Упростить. = 3⋅63

   Ответ: 363

   Пример 9

   Упростить: −163433.

   Решение:

   −163433 = −1⋅8⋅23733 = −13⋅83⋅23733 = −1⋅2⋅237 = −2 237

   Ответ: −2 237

   Попробуй ! Упростим: −2 −2563.

   Ответ: 8 43

   Рассмотрим следующие два расчета:

   81 = 92 = 981 = 92 = (9) 2 = (3) 2 = 9

   Обратите внимание, что не имеет значения, применяем ли мы сначала экспоненту или сначала квадратный корень.Это верно для любого положительного действительного числа. У нас есть следующие,

   a2 = (a) 2 = a, если a≥0

   Пример 10

   Упростить: (10) 2.

   Решение:

   Примените тот факт, что (a) 2 = a, если a неотрицательно.

   (10) 2 = 10

   Теорема Пифагора

   Прямоугольный треугольник Треугольник с углом 90 °. представляет собой треугольник, угол одного из углов которого равен 90 °.Сторона, противоположная прямому углу, является самой длинной стороной, называемой гипотенузой. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника; это всегда будет сторона, противоположная прямому углу., а две другие стороны называются катетами. Стороны прямоугольного треугольника, которые не являются гипотенузой .. Эта геометрическая фигура используется во многих реальных приложениях. Теорема Пифагора Гипотенуза любого прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов длин катетов треугольника. утверждает, что для любого прямоугольного треугольника с катетами размером a и b единиц квадрат меры гипотенузы c равен сумме квадратов размеров катетов, a2 + b2 = c2.Другими словами, гипотенуза любого прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов его катетов.

   Пример 11

   Вычислите диагональ квадрата со сторонами 5 единиц.

   Решение:

   Диагональ квадрата образует равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором две равные ножки имеют размер по 5 единиц каждая.

   Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы определить длину гипотенузы.

   c = a2 + b2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50 = 25⋅2 = 25⋅2 = 5⋅2

   Ответ: 52 шт.

   Теорема Пифагора фактически утверждает, что наличие длин сторон, удовлетворяющих свойству a2 + b2 = c2, является необходимым и достаточным условием для прямоугольных треугольников. Другими словами, если мы можем показать, что сумма квадратов длин катетов треугольника равна квадрату гипотенузы, то это должен быть прямоугольный треугольник.

   Пример 12

   Определите, является ли треугольник с катетами a = 1 см и b = 2 см и гипотенузой b = 5 см прямоугольным треугольником.

   Решение:

   Если катеты удовлетворяют условию a2 + b2 = c2, то теорема Пифагора гарантирует, что треугольник является прямоугольным.

   a2 + b2 = c2 (1) 2+ (2) 2 =? (5) 21 + 4 = 55 = 5 ✓

   Ответ: Да, описанный треугольник является прямоугольным.

   Основные выводы

   • Квадратный корень числа — это число, возведение которого в квадрат дает исходное число.Главный квадратный корень положительного действительного числа — это положительный квадратный корень. Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен.
   • При упрощении квадратного корня из числа ищите точные квадратные множители подкоренного выражения. Примените правило произведения или частного для радикалов, а затем упростите.
   • Кубический корень числа — это число, которое при построении куба дает исходное число. Каждое действительное число имеет только один действительный кубический корень.
   • При упрощении кубических корней ищите точные кубические множители подкоренного выражения. Примените правило произведения или частного для радикалов, а затем упростите.
   • Теорема Пифагора дает нам необходимое и достаточное условие для прямоугольных треугольников: a2 + b2 = c2 тогда и только тогда, когда a , b и c представляют длины сторон прямоугольного треугольника.

   Тематические упражнения

   Часть A: квадратные и кубические корни

   Упростить.

   5. 2516

   6. 964

   7. 14

   8. 1100

   28. (−8) 33

   29. (-15) 33

   30. 12163

   31. 27643

   32. −183

   33. −1273

   Используйте калькулятор для округления до сотых долей.

   51. Определите набор, состоящий из квадратов первых двенадцати натуральных чисел.

   52. Определите набор, состоящий из кубиков первых двенадцати натуральных чисел.

   Часть B: Упрощение квадратного корня и кубического корня

   Упростить.

   57. 5081

   58. 5425

   69. 481253

   70. 135643

   Часть C: Теорема Пифагора

   79. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 3 единицы и 4 единицы, найдите длину гипотенузы.

   80. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размер 6 единиц и 8 единиц, найдите длину гипотенузы.

   81. Если два равных катета равнобедренного прямоугольного треугольника имеют размер 7 единиц, найдите длину гипотенузы.

   82. Если два равных катета равнобедренного прямоугольного треугольника имеют размер 10 единиц, найдите длину гипотенузы.

   83. Вычислите диагональ квадрата со сторонами 3 сантиметра.

   84. Вычислите диагональ квадрата со сторонами 10 сантиметров.

   85. Вычислите диагональ квадрата со сторонами 6 сантиметров.

   86. Вычислите диагональ квадрата со сторонами 10 сантиметров.

   87. Рассчитайте длину диагонали прямоугольника размером 4 на 8 сантиметров.

   88. Рассчитайте длину диагонали прямоугольника размером 8 на 10 метров.

   89. Рассчитайте длину диагонали прямоугольника размером 3 на 2 метра.

   90. Рассчитайте длину диагонали прямоугольника размером 6 на 10 метров.

   91. Чтобы гарантировать, что вновь построенные ворота имеют квадратную форму, измеренная диагональ должна соответствовать расстоянию, вычисленному с помощью теоремы Пифагора. Если размер ворот 4 фута на 4 фута, какой размер диагонали должен быть в дюймах? (Округлите до ближайшей десятой доли дюйма.)

   92. Если размер дверной коробки равен 3.5 футов на 6,6 футов, какова должна быть диагональ, чтобы рама представляла собой идеальный прямоугольник?

   Определите, является ли данный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c прямоугольным или нет.

   Часть D: Обсуждение

   101. Что скажет ваш калькулятор после извлечения квадратного корня из отрицательного числа? Поделитесь своими результатами на доске обсуждений и объясните, почему это так.

   102. Изучите и обсудите историю теоремы Пифагора.

   103. Изучите и обсудите историю квадратного корня.

   104. Обсудите важность главного квадратного корня.Почему та же проблема не возникает с кубическими корнями? Приведите несколько примеров с вашим объяснением.

   ответы

   51. {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144}
   57. 529

   69. 2 635
   91. Диагональ должна составлять примерно 67.9 дюймов.
   .