Опубликовано Сложение и вычитание квадратных корней: определение, примеры, правила
Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.
Правила сложения и вычитания квадратных корней
Определение 1Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.
Пример 1Можно сложить или вычесть выражения 23 и 63, но не 56 и 94. Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.
Действия с корнями: основы
Пример 2650-28+512
Алгоритм действия:
- Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
- Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
- После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
- У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.
Пример 3Давайте попробуем решить данный пример:
650=6(25×2)=(6×5)2=302. Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня.
После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 302.
28=2(4×2)=(2×2)2=42. Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 42.
512=5(4×3)=(5×2)3=103. Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 103.
Результат упрощения: 302-42+103
302-42+103=(30-4)2+103=262+103.
В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.
Пример 4(45)+45:
- Упрощаем (45). Раскладываем 45 на множители: (45)=(9×5);
- Выносим 3 из-под корня (9=3):45=35;
- Складываем множители у корней: 35+45=75.
640-310+5:
- Упрощаем 640. Раскладываем 40 на множители: 640=6(4×10);
- Выносим 2 из-под корня (4=2):640=6(4×10)=(6×2)10;
- Записываем выражение в упрощенном виде: 1210-310+5;
- Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: (12-3)10=910+5.
95-23-45
Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:
(9-4)5-23=55-23.
Советы:
- Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
- Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
- Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3+(2x)1/2.
- При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Навигация по статьям
Предыдущая статья
Ранг матрицы
Следующая статья
Деление корней
- Арифметические корни натуральной степени
- Деление корней
- Разложение квадратного корня на множители: методы
- Свойства корней
- Все темы по математике
- Курсовые работы
- Рефераты
- Контрольные работы
- Отчет по практике
- Эссе
Узнать подробнее
Основы информационных технологий в строительстве
Заказать такую же работу
Дистанционный экзамен по ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ
Заказать такую же работу
Теория функций комплексного переменного Операционное исчисление
Вид работы:
Контрольная работа
Выполнена:
20 июня 2022 г.
Стоимость:
1 600 руб
Заказать такую же работу
Вид работы:
Домашняя работа
Выполнена:
30 марта 2022 г.
Стоимость:
1 000 руб
Заказать такую же работу
монтажная привязка оборудования горячего цеха кафе на мест
Вид работы:
Чертёж
Выполнена:
18 февраля 2022 г.
Стоимость:
3 200 руб
Заказать такую же работу
Тема Черные дыры загадки Вселенной
Заказать такую же работу
Смотреть все работы по информационным технологиям
Сложение ⚠️ корней, вычитание корней с одинаковыми и разными показателями
Определение
Действие сложения и вычитания квадратных корней возможно лишь при условии одинаковости подкоренных выражений слагаемых.
Сложение корней, формулы
Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:
\(m\sqrt a+n\sqrt a=\left(m+n\right)\sqrt a\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:
- Раскладывание подкоренного числа на два множителя так, чтобы один из них являлся числом, из которого извлекается целый квадратный корень.
- Извлечение корня из квадратного числа, запись ответа перед символом корня. Второй множитель остается под знаком корня.
- Упрощенные корни с одинаковым основанием можно складывать как подобные.
Пример
\(3\sqrt{50}+2\sqrt8+\sqrt{12}\)
\(3\sqrt{50}=3\sqrt{25\times2}=3\times5\sqrt2=15\sqrt2\)
\(2\sqrt8=2\sqrt{4\times2}=2\times2\sqrt2=4\sqrt2\)
\(\sqrt{12}\;=\sqrt{4\times3}=2\times1\sqrt2=2\sqrt2\)
После упрощения исходное выражение приобретает вид:
\(15\sqrt2+4\sqrt2+2\sqrt2=21\sqrt2\)
Примечание
Подкоренные выражения между собой не суммируются и не вычитаются. При этом выражения под одним корнем складываются и вычитаются как обычные числа.
Вычитание корней, формулы
При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:
\(m\sqrt a-n\sqrt a=\left(m-n\right)\sqrt a\)
Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу. Для этого используют тот же алгоритм, что и перед сложением.
Пример
\(4\sqrt{75}-3\sqrt{24}\)
\(4\sqrt{75}=4\sqrt{25\times3}=4\times5\sqrt3=20\sqrt3\)
\(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt3=6\sqrt3\)
Упростив, получаем:
\(20\sqrt3-6\sqrt3=14\sqrt3\)
Сложение корней со степенями
Складывание и вычитание корней с разными степенями, но одинаковым основанием имеет следующую последовательность:
Допустим, надо решить данное выражение:
\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а\)
Для начала проведем процедуру упрощения:
\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а=12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3\)
\(12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3=12\times\sqrt{a^4+a^3}\)
При приведении двух подобных членов к общему показателю корневого числа применяется одно из свойств корней.
2}=\left|а-2\right|+\left|а-4\right|\)
Раскроем модули в промежутке \(2\leq а\leq4\):
\(\vert а-2\vert=а-2,\;т.к.\;а-2\geq0\)
\(\vert а-4\vert=4-а,\;т.к.\;а-4\leq0\)
Следовательно, \(\vert а-2\vert+\vert а-4\vert=а-2+4-а=2\)
Ответ: 2.
Как складывать квадратные корни вместе примеры, формулы и практические задачи
Подкоренное число относится к числу под знаком корня. В приведенном ниже радикале подкоренной является число «5».
Видео в Как складывать квадратные корниКак сложить упрощенные квадратные корни?
Давайте рассмотрим следующий пример.
Вы можете добавлять только квадратные корни (или радикалы), которые имеют одинаковые подкоренные числа .
Итак, в приведенном выше примере вы можете добавить первый и последний термины:
То же правило действует и для вычитания. Рассмотрим следующий пример:
Вы можете вычитать квадратные корни с одним и тем же подкоренным числом, которое является первым и последним членами.
Практика ПроблемыНаправления: Добавьте квадратные корни ниже.
Проблема 1
Только первый и последний квадратный корень имеют одинаковые подкоренные числа, поэтому вы можете сложить эти два члена.
Проблема 2
Помните — то же правило применяется и к вычитанию квадратных корней — подкоренные должны быть одинаковыми.
Как складывать квадратные корни, не упрощенные
Давайте рассмотрим следующий пример.
Здесь вы можете сразу увидеть проблему: подкоренные числа не совпадают. Поэтому мы можем , а не добавить их в данный момент. Однако, если мы сначала упростим квадратные корни, мы сможем их добавить. Давайте используем этот пример задачи, чтобы проиллюстрировать общие шаги для добавления квадратных корней.
Упростите каждый квадратный корень.
Шаг 1Добавьте квадратные корни с теми же подкоренными.
Проблема 3
Шаг 1
Упростите каждый квадратный корень.
Шаг 2
Добавьте квадратные корни с теми же подкоренными.
Проблема 4
Шаг 1
Упростите каждый квадратный корень.
Шаг 2
Сложение квадратных корней с одинаковыми подкоренными.
Проблема 5
Шаг 1
Упростите каждый квадратный корень.
Шаг 2
Сложение квадратных корней с одинаковыми подкоренными.
Проблема 6
Шаг 1
Упростите каждый квадратный корень.
Шаг 2
Помните: то же правило применяется и к вычитанию квадратных корней с одними и теми же подкоренными.
Как складывать квадратные корни с коэффициентами?
Давайте рассмотрим следующий пример.
Вы видите, что отличает это выражение от нескольких последних задач?
Каждый квадратный корень имеет коэффициент . Правила сложения квадратных корней с коэффициентами очень похожи на те, что мы только что практиковали в последних нескольких задачах — с 1 дополнительным шагом — который заключается в умножении коэффициентов на упрощенный квадратный корень.
Не обращайте внимания на коэффициенты (2 и 5) и упрощайте каждый квадратный корень.
Шаг 1Умножьте коэффициенты (2 и 5) на любые числа, которые «вылезли» из квадратного корня (3 и 2 соответственно).
Шаг 1Добавьте любые радикалы с тем же корнем и
Проблема 7
Шаг 1
Не обращайте внимания на коэффициенты (4 и 5) и упрощайте каждый квадратный корень.
Шаг 2
Умножьте коэффициенты (4 и 5) на любые числа, которые «вылезли» из квадратного корня (3 и 2 соответственно).
Шаг 3
Добавьте любые радикалы с тем же подкоренным числом.
Сложение и вычитание квадратных корней
Что такое квадратные корни?Квадратный корень числа — это часть числа, которую можно умножить само на себя, чтобы получить исходное значение. Например, если мы решим 2 x 2, мы получим 4. Таким образом, мы можем сказать, что 4 — это квадрат 2, а 2 — это квадратный корень из 4.
Некоторые квадратные корни легко идентифицировать, например 2 и 4, в то время как другие могут быть более сложными. Например, если мы попытаемся найти квадратный корень из 2, мы получим «иррациональное» число.
Это означает, что нет простого способа записать его, кроме его радикальной формы, которой является $\sqrt2$.
Точно так же, как при упрощении других математических выражений, мы можем упростить квадратные корни в радикальных формах, комбинируя «подобные члены» или «подобные радикалы» посредством сложения или вычитания.
Одним из важных ключей при объединении радикалов путем сложения или вычитания является просмотр подкоренного числа. Если данные квадратные корни имеют одинаковые подкоренные, они подобны радикалам, и их объединение возможно. Если нет, то вы не можете объединить два квадратных корня. Это похоже на объединение одинаковых терминов в алгебраическом выражении. Вы можете обращаться с квадратными корнями в радикальной форме как с переменными и комбинировать одинаковые члены, добавляя или вычитая их числовые коэффициенты и присоединяя их общую переменную. Например, чтобы объединить $\sqrt{x}$ и 2$\sqrt{x}$, у нас может быть $\sqrt{x}$+ 2$\sqrt{xy}$ .
Радикал $\sqrt{x}$ имеет числовой коэффициент 1 , поэтому мы можем визуализировать его как 1$\sqrt{xy}$, тогда как радикал 2$\sqrt{x}$ имеет числовой коэффициент 2. Чтобы объединить, просто сложите их числовые коэффициенты. Итак, $\sqrt{x}+ 2\sqrt{x}=(1+2)\sqrt{x}=3\sqrt{x}$.
Упрощение квадратных корней — это процесс их записи в наиболее эффективной и компактной возможной структуре с сохранением значения исходного выражения. Это полезный математический навык, потому что он преобразует сложные или трудночитаемые радикальные выражения в более простые. Ниже приведены некоторые правила и шаги по упрощению выражения квадратного корня.
Упрощение квадратных корней без переменных
- По возможности факторизовать подкоренное число . Найдите любые делители подкоренного числа, являющегося полным квадратом. Например, в выражении $\sqrt{50}$ мы можем разложить 50 так, чтобы один множитель был полным квадратом, то есть $\sqrt{50} = \sqrt{25 x 2}$. Полный квадрат здесь равен 25, потому что 25 = 5 5.
- Выведите квадратный корень из множителя полного квадрата . Извлеките квадратный корень из полного квадрата и поставьте его перед знаком радикала. Оставьте оставшийся множитель внутри радикала. Итак, в приведенном выше примере $\sqrt{50} = \sqrt{25 x 2}=5\sqrt{2}$ .
Полный квадрат здесь равен 25, потому что 25 = 5 5. Упрощение квадратных корней с переменными
Предположим, что все переменные представляют неотрицательные действительные числа, чтобы упростить правила упрощения.
Упрощение квадратных корней с переменными похоже на упрощение квадратных корней без переменных. Мы можем рассматривать переменную как фактор. Если переменная появляется дважды, например x 2 , мы можем вывести переменную x перед подкоренным знаком. Если переменная появляется три раза, например x 3 , мы можем разложить ее как x 2 × x , а затем вывести переменную x из x 2 в начало подкоренного знака, оставив один x внутри знак радикала.
8}$ показатель степени переменной четен, что равно 8. Следовательно, чтобы найти квадратный корень из b 9{3}\sqrt{(5)(x)}$
При сложении квадратных корней мы объединяем одинаковые радикалы, а разноименные радикалы записываются как есть. Итак, если мы добавим 4$\sqrt{2}$ и 2$\sqrt{2}$, это возможно, потому что они похожи на радикалы. Мы можем думать об этом следующим образом: «Если у нас есть четыре квадратных корня из 2, и мы добавим их к двум квадратным корням из 2, то сколько всего у нас будет квадратных корней из 2?» Ну, четыре из них плюс два из них — в общей сложности шесть из них. Итак, мы получаем 6$\sqrt{2}$. Другими словами, мы просто добавили их коэффициент и присоединили к их общему радикалу.
Если подкоренные квадратные корни не совпадают, то они не похожи на подкоренные, и мы не можем их объединить. Итак, если у нас есть $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, мы не можем прибавить или вычесть одно из них из другого.
Подкоренные разные (один 2, другой 3), поэтому они не похожи на подкоренные и не могут быть объединены.
Не всегда можно складывать и вычитать квадратные корни с разными подкоренными. Иногда нам нужно упростить радикалы, чтобы получить похожие радикалы. Например, кажется, что $\sqrt{3}+\sqrt{27}$ нельзя упростить, поскольку подкоренные члены терминов различны. Но $\sqrt{27}$ можно упростить до 3$\sqrt{3}$. Теперь $\sqrt{3}$ и 3$\sqrt{3}$ похожи на радикалы и поэтому могут быть объединены в 4$\sqrt{3}$.
Даже подкоренные числа разные; иногда один или несколько радикалов в выражении можно переписать так, чтобы радикалы были одинаковыми. Таким образом, важно искать возможности переписать радикалы, прежде чем сделать вывод, что они не похожи на радикалы и не могут быть объединены.
Пример #1
Какова сумма 2$\sqrt{5}$ и 5$\sqrt{5}$?
Решение
| Процесс сложения квадратных корней | Пошаговое объяснение |
| 2$\sqrt{5}+ 5\sqrt{5}$ | Настройте дополнение. |
| 7$\sqrt{5}$ | Объедините одинаковые радикалы в один член, сложив их коэффициенты. |
| Следовательно, сумма 2$\sqrt{5}$ и 5$\sqrt{5}$ равна 7$\sqrt{5}$. |
Пример #2
Найдите сумму 2$\sqrt{x}$ и 2$\sqrt{y}$?
Solution
| Square Roots Addition Process | Step-by-step Explanation |
| 2$\sqrt{x}+ 2\sqrt{y}$ | Set up the addition. |
| 2$\sqrt{x}+ 2\sqrt{y}$ | Обратите внимание, что эти два термина не являются радикалами, поэтому мы не можем объединить их в один термин. |
| Следовательно, сумма $2\sqrt{x}\:and\:2\sqrt{y}$ равна 2$\sqrt{x}+ 2\sqrt{y}$ . |
Пример #3
Добавить $x\sqrt{3}\:and\:2\sqrt{12}$?
Решение
| Процесс добавления квадратных корней | Пошаговый объяснение |
$ x \ SQRT {3} + 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 a; добавление. | |
| $x\sqrt{3} + 2\sqrt{4×3}$ | По возможности разложите подкоренные числа так, чтобы хотя бы один множитель был полным квадратом. В этом случае подкоренное число 12 можно разложить как 4 х 3, где 4 — полный квадрат. |
| $x\sqrt{3} + (2×2)\sqrt{3}$ | Извлеките квадратный корень из 4 и поставьте его перед знаком радикала. |
| $x\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ | Упростите любую задачу на умножение в выражении. |
| $(x+4)\sqrt{3}$ | Объедините одинаковые радикалы в один член, сложив их коэффициенты. |
| Следовательно, сумма $x\sqrt{3}\:and\:2\sqrt{12}\:is\:(x + 4)\sqrt{3}$. |
Процесс вычитания квадратных корней такой же, как и процесс их сложения. Единственное отличие состоит в том, что при вычитании одного члена квадратного корня из другого вы должны менять знаки каждого члена в вычитаемом выражении, а затем объединять подобные радикалы.
Но почему мы должны менять знаки математического выражения при вычитании? Возьмем в качестве примера два числа, 2 и −1. Предположим, что если нам нужно вычесть -1 из 2, мы запишем это как 2-(-1). Мы знаем, что произведение двух положительных знаков или двух отрицательных знаков положительно, а произведение двух разных знаков отрицательно. В примере: 2−(−1) = 2 + 1 = 3. Если мы не поменяем знак, то получим 2 – 1 = 1, что является совершенно другим результатом. Итак, изменение знаков вычитаемого при вычитании выражений необходимо. Другими словами, символ вычитания (-) должен быть распределен по каждому члену вычитаемого перед объединением математических терминов.
Пример #1
Вычтите -$\sqrt{3}$ из $3\sqrt{3}$.
Решение
| Процесс вычитания квадратных корней | Пошаговый объяснение |
| $ 3 \ SQRT {3 atri-, вычитание вверх. | |
| $3\sqrt{3} + \sqrt{3}$ | Распределите знак минус перед членом в вычитаемом. Таким образом, -$\sqrt{3}$ станет $\sqrt{3}$. Затем действуйте, как в процессе сложения. |
| $4\sqrt{3}$ | Объедините одинаковые радикалы в один член, сложив их коэффициенты. Обратите внимание, что если у радикала нет записанного коэффициента, подразумевается, что он имеет 1 в качестве своего коэффициента. |
| Таким образом, вычитание -$\sqrt{3}$ из $3\sqrt{3}$ даст $4\sqrt{3}$. |
Пример #2
Каков результат вычитания $\sqrt{2y}$ из $\sqrt{2x}$?
Решение
| Процесс вычитания квадратных корней | Пошаговые объяснения | |
| $ \ SQRT {2x}-(\ SQRT {2y). | ||
| $\sqrt{2x}-\sqrt{2y}$ | Распределите знак минус перед членом в вычитаемом. Таким образом, $\sqrt{2y}$ станет -$\sqrt{2y}$. Затем действуйте, как в процессе сложения. | |
| $\sqrt{2x}-\sqrt{2y}$ | Обратите внимание, что эти два термина не являются радикалами, поэтому мы не можем объединить их в один термин. 92} – ( 3x \sqrt{16(2)})$ | По возможности разложите подкоренные числа так, чтобы в качестве множителей были полные квадраты. |
| $2(2)(x)\sqrt{2} -( 3x (4)\sqrt{2})$ | Извлеките квадратные корни из правильных квадратов и поместите их перед подкоренным знаком | |
| $4x\sqrt{2} – (12x\sqrt{2})$ | Упростите любую задачу на умножение в выражении. | |
| $4x\sqrt{2} – 12x\sqrt{2}$ | Распределите знак минус перед членом в вычитаемом. Таким образом, $12x\sqrt{2}$ станет -$12x\sqrt{2}$. Затем действуйте, как в процессе сложения. 9{4}$ |
Задача №1
У Марка и Джона квадратный сад. Площадь сада Маркса составляет 18x + 9 квадратных футов, а площадь сада Джона — 8x + 4 квадратных фута. Чем отличается длина сторон их сада?
Решение
| Процесс | Пошаговое объяснение | ||||||||||
| $T= \sqrt{M} – \sqrt{J}$ | Установите рабочую формулу. Чтобы получить длину стороны квадрата, мы должны получить квадратный корень из его площади. Пусть T — разность длин сторон террариумов, M — площадь сада Марка, J — площадь сада Джона. | ||||||||||
| $T= \sqrt{18x + 9} – \sqrt{8x + 4}$ | Подставьте значения в рабочую формулу. | ||||||||||
| $T= \sqrt{9(2x + 1)} – \sqrt{4(2x + 1)}$ | Если возможно, разложите подкоренные числа. В этом случае мы можем разложить 18x + 9 как 9 (2x + 1) и 8x + 4 как 4 (2x + 1) | ||||||||||
| $T= 3\sqrt{(2x + 1)} – \sqrt{2 (2x + 1)}$ | Извлеките квадратный корень из 9 и 4, чтобы он мог выйти за пределы знака радикала. Итак, $\sqrt{9 (2x + 1)} – \sqrt{4 (2x + 1)} = 3\sqrt{(2x + 1)} – 2\sqrt{(2x + 1)}$ | ||||||||||
| $T= \sqrt{(2x + 1)}$ | Объедините одинаковые радикалы в один член, добавив их числовые коэффициенты. 9{3}b}$ дюймов. Решение
Понимание иррациональных чисел Рабочие листы по математике для 8-го класса |
Периметр равнобедренного треугольника можно определить, добавив длину двух его равных сторон и длину его основания. Пусть P — периметр, L — мера катетов, а B — мера основания.