Сложение дробей с целым числом: Сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели) — урок. Математика, 5 класс.

Сложение и вычитание дробей с разными, одинаковыми знаменателями. Вычитание смешанных дробей

Как складывать дроби

Говоря о сложении дробей следует выделить сложение дробей с одинаковыми знаменателями и сложение дробей, имеющих разные знаменатели. Поэтому начнем с первого и более простого варианта.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Для того чтобы понять, как добавляются дроби с одинаковыми знаменателями, рассмотрим задачу.

Пример. На столе лежит три седьмых части арбуза, через некоторое время на стол положили еще две седьмые части арбуза. Сколько всего частей арбуза стало на столе?

Действие сложения можем записать так: 3/7 + 2/7

В результате на столе стало 3 + 2 = 5 седьмых частей арбуза, то есть 5/7. Таким образом, 3/7 + 2/7 = 5/7

Следовательно, в результате сложения дробей с одинаковым знаменателем мы получили дробь, числитель которой равен сумме числителей прилагаемых дробей, а знаменатель равен знаменателю исходных дробей.

Запишем действие добавления дробей в общем виде, где b – одинаковый знаменатель, a и c – числители прилагаемых дробей.

Чтобы добавить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно добавить их числители и знаменатель оставить без изменений.

Обратите внимание, при сложении дробных чисел можно пользоваться свойствами и законами сложения натуральных чисел. Переставной, связующий законы действуют также и при сложении дробей.

Приклад. Как сложить дроби 3/43 і 9/43

Поскольку дроби имеют одинаковые знаменатели, следует добавить числители и знаменатель оставить без изменений: 3 + 9 = 12 запишем в числителе суммы, знаменатель суммы – 43.

Ответ: 12/43

Еще одно важное правило: если после сложения дробей получили дробь, которую можно сократить, то нужно выполнить действие сокращения. Если в сумме получили неправильную дробь, то нужно превратить ее в смешанное число.

Пример.

Найти сумму дробей 3/14 і 5/14

В результате сложения получили дробь, которую можно сократить, ведь числитель и знаменатель можно разделить на 2

Пример. Найти сумму дробей 7/24 і 21/24

В результате получили неправильную сократимую дробь, которую нужно сократить.

После сокращения получили неправильную дробь 7/6, которую можно превратить в правильную, выделив целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Поскольку мы умеем сложить дроби с одинаковыми знаменателями, то для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю.

Правило сложения в данном случае звучит так:

Для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю, после этого следует сложить числители и в знаменатель записать общий знаменатель дробей.

Пример.

Сложить дроби 5/6 і 3/12

Поскольку дроби имеют разные знаменатели, сначала сведем их к общему знаменателю.

НОК (6; 12) = 12

Дополнительные множители: 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1

Получим следующие дроби:

Выполним сложение дробей:

После сложения получили неправильную дробь 13/12, которую превратили в смешанное число 1 1/12

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

При сложении натурального числа и правильной дроби получим смешанное число, целая часть которого соответствует натуральному числу, а дробная – прилагаемой дроби.

Например,

При сложении целого числа и неправильной дроби следует выделить из дроби целую часть. После этого натуральное число суммируют с выделенной целой частью и добавляют дробную часть.

Сложение смешанных чисел

При сложении смешанных чисел пользуются переставным и связующими законами сложения. Благодаря этим свойствам удобнее добавить целые и дробные части смешанных чисел.

Следовательно, адлгоритм сложения смешанных чисел будет следующим:

1. Добавляем целые части смешанных чисел
2. Добавляем дробные части чисел. Если дробные части имеют разные знаменатели, то перед добавлением сводим их к общему знаменателю
3. Добавляем полученные результаты и при необходимости сокращаем дробь, выделяем целую часть.

Пример. Найти сумму смешанных чисел:

Аналогично добавляются дроби, смешанные числа, содержащие три и более слагаемых.

Пример:

В данном примере мы использовали переставной и связующий законы сложения, что позволило упростить расчеты и быстро найти сумму.

Как отнимать дроби?

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы понять суть вычитания дробей, имеющих одинаковые знаменатели, рассмотрим задачу.

Задача. На столе лежало 5/7 частей арбуза, Олег съел 2/7 частей. Сколько частей арбуза осталось?

Логично, что осталось 5 – 2 = 3 седьмых части (3/7).

Чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого и оставить знаменатель без изменений.

Пример. Отнять 3/17 от дроба 15/17

При необходимости полученную дробь в разности следует сократить или выделить целую часть.

Пример. Из 24/15 вычесть 4/15    

После выполнения вычитания получили неправильную дробь, которую можно сократить, поделив числитель и знаменатель на 5. Получим дробь 4/3, перевторив в смешанное число, получили результат одна целая одна третья.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Для того чтобы отнять дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю, после этого от числителя уменьшаемого надо отнять числитель вычитаемого, в знаменатель дроби записать общий знаменатель.

Пример. Вычесть дроби: 2/9 і 1/15

В первую очередь сводим дроби к общему знаменателю, определив наименьшее общее кратное число 9 и 15:

НОК (9; 15) = 45

Находим дополнительные множители: 45 : 9 = 5 і 45 : 15 = 3

Перемножим числители дробей на соответствующие дополнительные множители, получим числитель первой дроби: 5 ⋅ 2 =10, а числитель второй дроби: 1 ⋅ 3 = 3.

Вычтем числители: 10 – 3 = 7, знаменатель дроби 45

Пример. Из дроби 11/12 вычесть дробь 5/8

Вычитание смешанных дробей (смешаных чисел) с разными знаменателями

Для того чтобы вычесть смешанные числа, нужно сначала свести их к общему знаменателю. После этого поочередно вычитаем целые и дробные части.

Пример. Найти разность смешанных дробей:

Решение:

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо взять одну единицу из целой части уменьшаемого, дробить ее в те частицы, в которых выражена дробная часть, и добавить к дробной части уменьшаемого.

На примере это будет выглядеть так:

Пример. Найти разность смешанных чисел:

Вычитание дроби из натурального числа

Для того чтобы отнять от натурального числа дробь, можно натуральное число представить в виде дроби.

Пример. Из числа 8 вычесть 2/3

 

Рассмотрим еще несколько примеров на вычитание натуральных и смешанных чисел

Пример.

Найти разность чисел 4 и три целых три пятых

Пример. Найти разность чисел 1065 и 13/62

Представим уменьшаемое 1065 как сумму чисел 1064 и 1 и выполним вычисление:

Вычитание натурального числа из обычной дроби: как отнять целое число из дроби

Для выполнения данного действия следует отразить натуральное число в виде обычной дроби со знаменателем единицей и свести к общему знаменателю.

Таким образом, для сложения и вычитания дробей можно использовать правила, законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел. Удобно группировать числа с числами, дроби с дробями, как в примерах ниже:

§ Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

Запомните!

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную дробь

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь

и дробную часть уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

Сложение дробей с целыми числами (примеры вопросов)

Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части.

Сложение дробей с целыми числами Примеры вопросов

Вот визуальное представление смешанного числа.

В этой модели показаны два полностью заштрихованных прямоугольника, которые представляют целые числа, и один частично заштрихованный прямоугольник, представляющий дроби.

Эта дробная модель представляет собой смешанное число \(2\frac{3}{8}\).

При сложении смешанного числа с целым числом мы сначала складываем целые числа, а затем добавляем дробь.

Пример:

Чему равна сумма \(11\frac{2}{3}\) и \(19\)?

Мы начнем со сложения целых чисел, то есть \(11+19=30\). Затем добавляем дробную часть в конец.

Следовательно, сумма \(11\frac{2}{3}\) и \(19\) равна \(30\frac{2}{3}\).

Вот пример того, где это можно использовать в реальной жизни:

Моника выбирает два пакета персиков, чтобы купить их на фермерском рынке. Она кладет каждую сумку на весы, и первая сумка весит \(5\) фунтов. а второй мешок весит \(6\frac{2}{3}\) фунтов. Сколько фунтов персиков покупает Моника?

При сложении целого числа и дроби мы сначала складываем целые числа, затем добавляем дробь.

\(5+6=11\), теперь мы включаем \(\frac{2}{3}\), следовательно, Моника покупает всего \(11\frac{2}{3}\) фунтов. персиков.

Примеры вопросов о сложении дробей с целыми числами

Вот несколько примеров вопросов о сложении дробей с целыми числами.

Вопрос №1:

 
Вычислите сумму \(14\frac{5}{6}\) и \(38\).

\(54\)

\(52\frac{5}{6}\)

\(56\frac{2}{5}\)

\(55\)

Показать ответ

Ответ:

При сложении дробей и целых чисел сначала вычислите целое число плюс целое число, а затем включите в ответ оставшуюся дробь. Например, \(14+38=52\), поэтому ответом будет \(52\frac{5}{6}\).

Скрыть ответ

Вопрос №2:

 
Вычислите сумму \(45\) и \(2\frac{1}{3}\).

\(47\frac{2}{3}\)

\(45\frac{2}{3}\)

\(46\frac{3}{5}\)

\(47 \frac{1}{3}\)

Показать ответ

Ответ:

Еще раз, при сложении дробей и целых чисел сначала вычисляйте целое число плюс целое число, а затем включайте оставшуюся дробь в отвечать. Например, \(45+2=47\), поэтому ответом будет \(47\frac{1}{3}\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
Добавить \(4\frac{3}{2}+5\).

\(10\frac{1}{5}\)

\(11\frac{3}{5}\)

\(9\frac{1}{5}\)

\(10 \frac{1}{2}\)

Показать ответ

Ответ:

Первым шагом является рассмотрение неправильной дроби в смешанном числе \(4\frac{3}{2}\). Дробь \(\frac{3}{2}\) — это то же самое, что и \(1\frac{1}{2}\), поэтому перепишите \(4\frac{3}{2}\) как \ (5\разрыв{1}{2}\). Теперь просто объедините \(5\frac{1}{2}\) и \(5\), чтобы получить \(10\frac{1}{2}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Добавить \(3+3\frac{5}{4}\).

\(6\frac{1}{4}\)

\(7\frac{1}{4}\)

\(6\frac{3}{4}\)

\(7 \frac{3}{4}\)

Показать ответ

Ответ:

Первым шагом является рассмотрение неправильной дроби в смешанном числе \(3\frac{5}{4}\). Дробь \(\frac{5}{4}\) — это то же самое, что и \(1\frac{1}{4}\), поэтому перепишите \(3\frac{5}{4}\) как \ (4\разрыв{1}{4}\). Теперь просто объедините \(3\) и \(4\frac{1}{4}\), чтобы получить \(7\frac{1}{4}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Вставьте пропущенное значение, чтобы уравнение было верным.
\(3\frac{4}{5}+\) ______\(=18\frac{4}{5}\)

\(13\)

\(14\frac{1}{5} \)

\(15\)

\(16\frac{1}{5}\)

Показать ответ

Ответ:

Чтобы составить сбалансированное уравнение, смешанное число \(18 \frac{4}{5}\) должны быть с каждой стороны. Если добавить \(3\frac{4}{5}+15=18\frac{4}{5}\), то \(15\) будет пропущенным значением.

Скрыть ответ

Вернуться к примерам вопросов по математике

Сложение дробей с целыми числами

Чтобы сложить дробь и целое число, следуйте приведенным ниже инструкциям.

Шаг 1:

Умножьте знаменатель на целое число.

Шаг 2 :

После умножения знаменателя на целое число возьмите знаменатель в качестве общего знаменателя.

Шаг 3 : 

Теперь упростим числа в числителе.

Это показано на рисунке ниже.

Пример 1:

Найдите значение:

1/2 + 1

Решение:

Умножение знаменателя 2 и все число 1.

, то есть

2 ⋅ 1 = 2

, возьмем знаменатель 2 в качестве общего знаменателя суммы (1 + 2).

(1 + 2)/2 = 3/2

Следовательно,

1/2 + 1 = 3/2

Пример 2: 

Найдите значение:

3/2 + 10

Решение:

Умножьте знаменатель 2 на целое число 10. 

То есть 

2 ⋅ 10 = 20

3 + 20).

(3 + 20)/2 = 23/2

Следовательно,

3/2 + 10 = 23/10

Решение:

Умножьте знаменатель 3 на целое число 5. 

То есть 

3 ⋅ 5 = 15

Теперь возьмем знаменатель 2 в качестве общего знаменателя суммы (15 + 2).

(15 + 2)/3 = 17/3

Таким образом,

5 + 2/3 = 17/3

Решение:

Умножьте знаменатель 8 на целое число 9.

То есть

8 ⋅ 9 = 72

Теперь возьмем знаменатель 8 как общий знаменатель суммы (7 + 72).

(7 + 72)/8 = 79/3

Таким образом,

7/8 + 9 = 79/3

Решение:

Умножьте знаменатель 8 на целое число 7.

То есть

8 ⋅ 7 = 56

Теперь возьмем знаменатель 8 как общий знаменатель суммы (56 + 5).

(56 + 5)/8 = 61/8

Следовательно,

7 + 5/8 = 61/8

Пример 6 :

Найдите значение:

1/5 + 2/5 + 7

Решение:

1/5 + 2/5 + 7

Две приведенные выше дроби имеют одинаковый знаменатель. То есть 5.

Итак, возьмем знаменатель один раз и сложим числители.

= (1 + 2)/5 + 7

= 3/5 + 7

Умножьте знаменатель 5 на целое число 7.

знаменатель 5 как общий знаменатель суммы (3 + 35).

(3 + 35)/5 = 38/5

Таким образом,

1/5 + 2/5 + 7 = 38/5

Пример 7:

Найдите значение:

3/

4 + 5/6 + 2

Решение:

3/4 + 5/6 + 2

Две приведенные выше дроби имеют разные знаменатели.

Наименьшее общее кратное знаменателей (4, 6) = 12.

В двух дробях 3/4 и 5/6 сделайте каждый знаменатель равным 12.

= 9/12 + 10/12 + 2

Итак, возьмем знаменатель один раз и сложим числители.