Тригонометрические функции онлайн: Mathway | Trigonometry Problem Solver

вычисление тригонометрических выражений онлайн

Вы искали вычисление тригонометрических выражений онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить онлайн тригонометрическое выражение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление тригонометрических выражений онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление тригонометрических выражений онлайн,вычислить онлайн тригонометрическое выражение,вычислить тригонометрическое выражение онлайн,калькулятор для онлайн решения тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн для тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор онлайн по тригонометрии,калькулятор онлайн решение тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрические уравнения,калькулятор онлайн тригонометрические функции,калькулятор онлайн тригонометрический,калькулятор онлайн тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрических функций,калькулятор онлайн тригонометрия,калькулятор по тригонометрии онлайн,калькулятор решение тригонометрических уравнений,калькулятор решение тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор с тригонометрическими функциями,калькулятор тригонометрии,калькулятор тригонометрии онлайн,калькулятор тригонометрические,калькулятор тригонометрические уравнения,калькулятор тригонометрический,калькулятор тригонометрических,калькулятор тригонометрических выражений,калькулятор тригонометрических выражений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,калькулятор тригонометрических функций,калькулятор тригонометрических функций онлайн,калькулятор тригонометрия,калькулятор тригонометрия онлайн,онлайн вычисление тригонометрических выражений,онлайн калькулятор для тригонометрических уравнений онлайн,онлайн калькулятор по тригонометрии,онлайн калькулятор решение тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрии,онлайн калькулятор тригонометрические уравнения,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн калькулятор тригонометрических функций,онлайн калькулятор тригонометрия,онлайн решатель тригонометрических уравнений,онлайн решение синусов и косинусов,онлайн решение тригонометрии,онлайн решение тригонометрических выражений,онлайн решение тригонометрических уравнений,онлайн решение тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн решение тригонометрических функций,онлайн решение уравнений с синусами и косинусами,онлайн решения тригонометрических уравнений,онлайн решения уравнений тригонометрических,онлайн решить тригонометрическое уравнение онлайн,онлайн тригонометрический калькулятор,онлайн тригонометрия,онлайн упрощение тригонометрических уравнений,преобразование тригонометрических выражений онлайн,решатель тригонометрических уравнений онлайн,решение онлайн тригонометрических выражений,решение онлайн тригонометрических функций,решение синусов и косинусов онлайн,решение тригонометрии онлайн,решение тригонометрических выражений онлайн,решение тригонометрических уравнений калькулятор,решение тригонометрических уравнений калькулятор онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор с решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением бесплатно,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн бесплатно,решение тригонометрических функций онлайн,решение тригонометрического уравнения онлайн,решение уравнений онлайн с синусами и косинусами,решение уравнений с косинусами и синусами онлайн,решение уравнений с синусами и косинусами онлайн,решения онлайн тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решения тригонометрических уравнений онлайн,решите уравнение тригонометрическое онлайн,решить онлайн тригонометрическое выражение,решить онлайн тригонометрическое уравнение,решить тригонометрические уравнения онлайн,решить тригонометрическое выражение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн с подробным решением,решить уравнение с косинусами и синусами онлайн,решить уравнение с синусами и косинусами онлайн,решить уравнение тригонометрическое онлайн,решить уравнение тригонометрическое уравнение онлайн,решить уравнения онлайн тригонометрические,тригонометрические калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор онлайн,тригонометрические уравнения онлайн,тригонометрические уравнения онлайн калькулятор,тригонометрические уравнения онлайн решение,тригонометрические уравнения решение онлайн,тригонометрические уравнения решить онлайн,тригонометрические функции калькулятор онлайн,тригонометрические функции онлайн,тригонометрические функции онлайн калькулятор,тригонометрический калькулятор,тригонометрический калькулятор онлайн с решением,тригонометрический калькулятор с решением,тригонометрический калькулятор с решением онлайн,тригонометрическое уравнение онлайн,тригонометрия калькулятор,тригонометрия калькулятор онлайн,тригонометрия онлайн,тригонометрия онлайн калькулятор,тригонометрия онлайн решение,тригонометрия решение онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление тригонометрических выражений онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычислить тригонометрическое выражение онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление тригонометрических выражений онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление тригонометрических выражений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Калькулятор графиков.(1/n)

ln(x)	Натуральный логарифм (логарифм c основанием e): log(x)
logax	Логарифм от x по основанию a: log(x)/log(a)
lg(x)	Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): log(x)/log(10)
ex	Экспоненциальная функция: exp(x)
Тригонометрические функции
sin(x)	Синус от x: sin(x)
cos(x)	Косинус от x: cos(x)
tg(x)	Тангенс от x: tan(x)
ctg(x)	Котангенс от x: 1/tan(x)
arcsin(x)	Арксинус от x: arcsin(x)
arccos(x)	Арккосинус от x: arccos(x)
arctan(x)	Арктангенс от x: arctan(x)
arcctg(x)	Арккотангенс от x: \pi/2 — arctan(x)
Некоторые константы
e	Число Эйлера e: \e
π	Число π: \pi

Все формулы по тригонометрии

Все формулы по тригонометрии

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Основные тригонометрические тождества

$$sin^2x+cos^2x=1$$

---

$$tgx= \frac{sinx}{cosx}$$

---

$$ctgx= \frac{cosx}{sinx}$$

---

$$tgxctgx=1$$

---

$$tg^2x+1= \frac{1}{cos^2x}$$

---

$$ctg^2x+1= \frac{1}{sin^2x}$$

Формулы двойного аргумента (угла)

$$sin2x=2cosxsinx$$

---

\begin{align} sin2x &=\frac{2tgx}{1+tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\\ &= \frac{2}{tgx+ctgx} \end{align}

---

\begin{align} cos2x & = \cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x \end{align}

---

\begin{align} cos2x & = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\\ &= \frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx} \end{align}

---

\begin{align} tg2x & = \frac{2tgx}{1-tg^2x}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{2}{ctgx-tgx} \end{align}

---

\begin{align} ctg2x & = \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\\ &= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\ &= \frac{ctgx-tgx}{2} \end{align}

Формулы тройного аргумента (угла)

$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$

---

$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$

---

$$tg3x= \frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$

---

$$ctg3x= \frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$

Формулы половинного аргумента (угла)

$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$

---

\begin{align} tg \frac{x}{2} & = \frac{1-cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1+cosx} \end{align}

---

\begin{align} ctg \frac{x}{2} & = \frac{1+cosx}{sinx}\\ &= \frac{sinx}{1-cosx} \end{align}

Формулы квадратов тригонометрических функций

$$sin^2x= \frac{1-cos2x}{2}$$

---

$$cos^2x= \frac{1+cos2x}{2}$$

---

$$tg^2x= \frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$

---

$$ctg^2x= \frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$

---

$$sin^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 \frac{x}{2}= \frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 \frac{x}{2}= \frac{1+cosx}{1-cosx}$$

Формулы кубов тригонометрических функций

$$sin^3x= \frac{3sinx-sin3x}{4}$$

---

$$cos^3x= \frac{3cosx+cos3x}{4}$$

---

$$tg^3x= \frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$

---

$$ctg^3x= \frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

$$sin^4x= \frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$

---

$$cos^4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$$

---

$$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta — sin \alpha sin \beta$$

---

$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 — tg \alpha tg \beta}$$

---

$$ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}$$

---

$$sin(\alpha — \beta) = sin \alpha cos \beta — cos \alpha sin \beta$$

---

$$cos(\alpha — \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$$

---

$$tg(\alpha — \beta)= \frac{tg \alpha — tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$$

---

$$ctg(\alpha — \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha — ctg \beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sin\alpha — sin\beta = 2sin \frac{\alpha — \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$

---

$$cos\alpha — cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha — \beta }{2}$$

---

$$tg\alpha — tg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$

---

$$ctg\alpha — ctg\beta = — \frac{sin(\alpha — \beta) }{sin \alpha sin \beta}$$

---

$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}$$

---

$$sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}$$

---

$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}$$

---

\begin{align} tg\alpha \cdot tg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} \end{align}

---

\begin{align} ctg\alpha \cdot ctg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}\\ &= \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta} \end{align}

---

$$tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}$$

Тригонометрическая таблица

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0⁰=0, cos 0⁰ = 1. tg 0⁰ = 0, котангенс от 0⁰ будет неопределенным
sin 90⁰ = 1, cos 90⁰ =0, ctg90⁰ = 0,тангенс от 90⁰ будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30⁰ = 1/2, cos 30⁰ = √3/2, tg 30⁰ = √3/3, ctg 30⁰ = √3
sin 45⁰ = √2/2, cos 45⁰ = √2/2, tg 45⁰= 1, ctg 45⁰ = 1
sin 60⁰ = √3/2, cos 60⁰ = 1/2, tg 60⁰ =√3 , ctg 60⁰ = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0⁰+360⁰*z …. 330⁰+360⁰*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020⁰ = 300⁰+360⁰*2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0⁰ заканчивая 76⁰, ctg угла начиная с 14⁰ заканчивая 90⁰.

tg до 90⁰ и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20⁰ = 0.9397

Значения tg угла до 90⁰ и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78⁰ 37мин = 4,967

а ctg 20⁰ 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Формулы тригонометрии. Разбор решения 22-х задач (ЕГЭ — 2021)

Но давай вернемся к нашему примеру…

И посмотрим в таблицу:

\( \displaystyle ctg\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\), \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим эти значения в нашу формулу:

\( \displaystyle 36\sqrt{6} ctg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}=36\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}=\frac{36\cdot 6}{2}=36\cdot 3=108\).

Ответ: \( \displaystyle 108\)

Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.

Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

4. По условию \(cosa=-0,4\), нам же надо найти \(-47cos2a\).

Что тогда надо сделать?

Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

\( \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a\)

Тогда \( \displaystyle -47cos2\alpha =-47\left( 2co{{s}^{2}}\alpha -1 \right)=-47\left( 2\cdot {{\left( -0,4 \right)}^{2}}-1 \right)=\)

\( \displaystyle=-47\left( 2\cdot 0,16-1 \right)=-47\left( 0,32-1 \right)=-47\left( -0,68 \right)=31,96\)

Ответ: \( \displaystyle 31,96\)

5. \( \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}\) – это то, что надо вычислить, а \( \displaystyle sin3a=0,6\) – это то, что есть.

Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

Нужно лишь заметить, что \( \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha \). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

О чудо: косинусы сократились, а чему равен \( \displaystyle sin3\alpha \) мы знаем из условия!

\( \displaystyle \frac{10sin6\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{10\cdot 2sin3\alpha cos3\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{20sin3\alpha }{3}=\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4\)

Ответ: \( \displaystyle 4\).

6. \( \displaystyle 26\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+a \right)\) – то, что нужно найти, а \( \displaystyle cosa=\frac{12}{13}\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)\) – то, что мы имеем.{2}}a}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7\)

Ответ: \( \displaystyle 7\)

8. Надо найти \( \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}\), зная, что \( \displaystyle tga=-2,5\).

На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

\( \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\)

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?

Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на \( \displaystyle cos\alpha \). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

\( \displaystyle \frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{2sin\alpha +5cos\alpha +3}=\frac{\frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{cos\alpha }}{\frac{2sin\alpha +5cos\alpha +3}{cos\alpha }}=\frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}\).

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо \( \displaystyle tga\) его числовое значение \( \displaystyle -2,5\). Тогда получим:

\( \displaystyle \frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{10+4\left( -2,5 \right)+\frac{15}{cos\alpha }}{2\left( -2,5 \right)+5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{\frac{15}{cos\alpha }}{\frac{3}{cos\alpha }}\)

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ: \( \displaystyle \frac{15}{3}=5\).

Ответ: \( \displaystyle 5\).

9. Нужно найти \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)\), если дано \( \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}\).

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=cos\pi \cdot cos\beta -sin\pi \cdot sin\beta \)

Опять-таки, тебе должно быть известно, что \( \displaystyle cos\pi =-1,~~sin\pi =0\).

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=-cos\beta =-\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}\)

Теперь с синусом:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=sin\frac{\pi }{2}\cdot cos\beta +cos\frac{\pi }{2}\cdot sin\beta \).

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу): \( \displaystyle sin\frac{\pi }{2}=1,~cos\frac{\pi }{2}=0\), тогда

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=cos\beta =-\frac{1}{3}\)

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

\( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=7\cdot \frac{1}{3}-2\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

Ответ: \( \displaystyle 3\).

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Как набирать функции и константы

В отличие от форума и учебных материалов, где для ввода формул используется язык LaTex, в онлайн сервисе существуют свои правила ввода функций — более простые и наглядные.

Как вводить функции и некоторые константы:

Простейшие математические операции
Сумма: +; Вычитание: -; Умножение: * или пробел; Деление и дроби: /
Некоторые константы
e — основание натурального логарифма с приближенным числовым значением 2.71828… EulerGamma — постоянная Эйлера с числовым значением 0.577216…	pi — константа 3.14159… равная отношению длины окружности к ее диаметру GoldenRatio — число 1.6180… определяющее деление отрезка по правилу золотого сечения
Элементарные функции
sqrt(x) — квадратный корень значения x, x^y — x в степени y, exp(x)=e^x — экспонента значения x,	log(a,x) — логарифм с основанием a, log(x)=ln(x) — натуральный логарифм, dilog(x) — дилогарифм значения x,
Тригонометрические функции
sin(x) — синус значения x cos(x) — косинус значения x tan(x) — тангенс значения x	cot(x)=ctg(x) — котангенс значения x sec(x) — секанс значения x, sec(x)=1/cos(x) csc(x) — косеканс значения x, csc(x)=1/sin(x)
Обратные тригонометрические функции
arcsin(x) — арксинус значения x, arccos(x) — арккосинус значения x, arctan(x) — арктангенс значения x,	arccot(x) — арккотангенс значения x, arcsec(x) — арксеканс значения x, arccsc(x) — арккосеканс значения x,
Примеры:
sqrt(1-pi x^2) — cos(x) x-e^x+log(4,x) —	sec(EulerGamma x)/5 —

Что делать, если вместо решения пустой экран

Если вы ввели функцию, нажали на кнопку «решить», открылось поле с решением, но оно пустое, как, например, изображено ниже:

или

значит, имеется конфликт браузера с заголовками сервера. Исправить ситуацию можно отключив в браузере CSP (Content Security Policy). Для браузера Chrome это реализуется установкой расширения, которое скачать можно здесь: Disable Content-Security-Policy. Для остальных браузеров можно найти аналогичные решения.

Однако крайне рекомендуем после окончания работы с сайтом matematikam.ru включить CSP снова. Это повысит безопасность при работе в интернете.

5.3 Другие тригонометрические функции — Precalculus

Перейти к содержаниюPrecalculusPrecalculus5.3 Другие тригонометрические функции Содержание Мои основные моменты Распечатать Содержание

1. Предисловие
2. 1 Функции
   1. Введение в функции
   2. 1.1 Функции и функции
   4. Область
   5. и
   7. Область и функция
   8. 1.3 Скорость изменения и поведение графиков
   9. 1.4 Состав функций
   10. 1.5 Преобразование функций
   11. 1.6 Абсолютные функции
   12. 1.7 Обратные функции
   13. Обзор главы
       1. Ключевые термины
       2. Ключевые уравнения
       3. Ключевые концепции
   14. Упражнения
       1. Упражнения на обзор
       2. Практические тесты
   16. к линейным функциям
       1. 2.1 Линейные функции
       2. 2.2 Графики линейных функций
       3. 2.3 Моделирование с помощью линейных функций
       4. 2.4 Подгонка линейных моделей к данным
       5. Обзор главы
          1. Ключевые термины
          2. Ключевые уравнения
          3. Ключевые концепции
       6. Упражнения
          1. Обзор упражнений
          2. Практический тест
       1. 3 Полиномиальные функции Полиномиальные и рациональные функции
       2. 3.1 Комплексные числа
       3. 3.2 Квадратичные функции
       4. 3.3 Степенные и полиномиальные функции
       5. 3.4 Графики полиномиальных функций
       6. 3.5 Деление многочленов
       7. 3.6 Нули полиномиальных функций
       8. 3.7 Рациональные функции
       9. 3.8 Инверсии и радикальные функции
       10. 3.9 Моделирование с использованием вариаций
       11. Глава
       12. Основные термины
       13. Обзор
       14. Ключевые слова
       15. 9000 Концепции
   17. Упражнения
       1. Обзор упражнений
       2. Практический тест
3. 4 Экспоненциальные и логарифмические функции
   1. Введение в экспоненциальные и логарифмические функции
   2. 4.1 Экспоненциальные функции
   3. 4.2 Графики экспоненциальных функций
   4. 4.3 Логарифмические функции
   5. 4.4 Графики логарифмических функций
   6. 4.5 Логарифмические свойства
   7. 4.6 Экспоненциальные и логарифмические уравнения
   8. 4,74 Экспоненциальные и логарифмические уравнения
   10. 4,74 Экспоненциальная модель данных и логическая
   11. Обзор глав
       1. Ключевые термины
       2. Ключевые уравнения
       3. Ключевые понятия
   12. Упражнения
       1. Упражнения для обзора
       2. Практический тест
4. 5 Тригонометрических функций
   1. Функции
   2. Введение в Trigonometric 5.1 Углы
   3. 5.2 Единичная окружность: функции синуса и косинуса
   4. 5.3 Другие тригонометрические функции
   5. 5.4 Тригонометрия прямоугольного треугольника
   6. Обзор главы
      1. Ключевые термины
      2. Ключевые уравнения
      3. Ключевые понятия
   7. Обзор
      Упражнения
      1. Практический тест
   8. 6 Периодические функции
      1. Введение в периодические функции
      2. 6.1 Графики функций синуса и косинуса
      3. 6.2 Графики других тригонометрических функций
      4. 6.3 Обратные тригонометрические функции
      5. Обзор главы
         1. Ключевые термины
         2. Ключевые уравнения
         3. Ключевые концепции
      6. Упражнения
         1. Обзор упражнений
         5. Практический тест
         Тождества и уравнения
         1. Введение в тригонометрические тождества и уравнения
         2. 7.1 Решение тригонометрических уравнений с тождествами
         3. 7.2 Тождества суммы и разности
         4. 7.3 Формулы двойного угла, полуугла и приведения
         5. 7.4 Формулы суммы и произведения и суммы
         6. 7.5 Решение тригонометрических уравнений
         7. 7.6 Моделирование с помощью тригонометрических уравнений
         8. Глава Обзор
            1. Ключевые термины
            2. Ключевые уравнения
            3. Ключевые концепции
         9. Упражнения
            1. Обзор упражнений
            2. Практический тест
         6. 8 Дальнейшие применения тригонометрии
            1. 8 Введение в дальнейшие применения тригонометрии
               1. .1 Непрямые треугольники: закон синусов
               2. 8.2 Непрямые треугольники: закон косинусов
               3. 8.3 Полярные координаты
               4. 8.4 Полярные координаты: графики
               5. 8.5 Полярная форма комплексных чисел
               6. 8.6 Параметрические уравнения
               7. 8.7 Параметрические уравнения : Графики
               8. 8.8 Векторы
               9. Обзор главы
                  1. Ключевые термины
                  2. Ключевые уравнения
                  3. Ключевые концепции
               10. Упражнения
                   1. Упражнения на обзор
                   2. Практические тесты
            3. к системам уравнений и неравенств
            4. 9.1 Системы линейных уравнений: две переменные
            5. 9.2 Системы линейных уравнений: три переменные
            6. 9.3 Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные
            7. 9,4 Частные дроби
            8. 9,5 Матрицы и матричные операции
            9. 9,6 Системы исключения с помощью системы исключения по Гауссу
            10. 9.7 Решение систем с инверсиями
            11. 9.8 Решение систем по правилу Крамера
            12. Обзор главы
                1. Ключевые термины
                2. Ключевые уравнения
                3. Ключевые концепции
            13. Упражнения
                1. Обзор упражнений
                000300030003 10 Аналитическая геометрия
                1. Введение в аналитическую геометрию
                2. 10.1 Эллипс
                3. 10.2 Гипербола
                4. 10.3 Парабола
                5. 10.4 Вращение осей
                6. 10.5 Конические сечения в полярных координатах
                Обзор главы
                7. 1. Ключевые термины
                   2. Ключевые уравнения
                   5. Ключевые понятия
                   7. Ключевые понятия Обзор упражнений
                   8. Практический тест
                2. 11 Последовательности, теория вероятностей и счета
                   1. Введение в теорию последовательностей, вероятностей и счета
                   2. 11.1 Последовательности и их обозначения
                   3. 11.2 Арифметические последовательности
                   4. 11.3 Геометрические последовательности
                   5. 11.4 Последовательности и их обозначения
                   6. 11.5 Принципы подсчета
                   7. 11.6 Биномиальная теорема
                   8. 11.7 Вероятность
                   9. Ключевые термины
                   10. Обзор
                       Ключевые концепции
                       1. Упражнения
                          1. Упражнения на обзор
                          2. Практический тест
                   11. 12 Введение в исчисление
                       1. Введение в исчисление
                       2. 12.1 Поиск пределов: численный и графический подходы
                       3. 12.2 Поиск пределов: свойства пределов
                       4. 12.3 Непрерывность
                       5. 12.4 Деривативы
                       6. Обзор главы
                          1. Ключевые термины
                          2. Ключевые уравнения

                   Базовые триггерные функции

                   Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon и metron в переводе «треугольник» и «измерение». Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между длинами сторон и углами в треугольнике.На протяжении истории тригонометрия в основном использовалась в астрономии для отслеживания движения звезд и измерения расстояния до них, а египтяне использовали ее, чтобы определить, когда Нил будет затоплен.

                   Треугольники, которые в основном находятся в фокусе тригонометрии, являются прямоугольными, у них есть два катета и гипотенуза, сторона, противоположная прямому углу.

                   Пусть треугольник $ \ bigtriangleup ABC $ с гипотенузой $ AB $:

                   $ sin (\ alpha) = \ frac {a} {c} $

                   $ Sin (\ alpha) $ — отношение катета $ a $, катета, противоположного углу $ \ alpha $, и гипотенузы со стороной, обозначенной $ c $.

                   $ cos (\ alpha) = \ frac {b} {c} $

                   $ Cos (\ alpha) $ — отношение катета $ b $, катета, примыкающего к углу $ \ alpha $, и гипотенузы.

                   $ загар (\ alpha) = \ frac {a} {b} $

                   $ Tan (\ alpha) $ — отношение ножки $ a $, противоположной углу $ \ alpha $, и ножки $ b $, примыкающей к углу $ \ alpha $.

                   $ детская кроватка (\ alpha) = \ frac {b} {a} $

                   $ Кроватка (\ alpha) $ — отношение ножки $ b $, примыкающей к углу $ \ alpha $, и ножки $ a $, ножки, противоположной углу $ \ alpha $.{\ circ})} = 3,92 $

                   Тригонометрические функции и подобие треугольников

                   Два треугольника подобны, если все соответствующие им углы равны и все соответствующие стороны пропорциональны.

                   Что это означает при наблюдении в прямоугольном треугольнике?

                   Допустим, у нас есть два похожих прямоугольных треугольника $ \ bigtriangleup ABC $ и $ \ bigtriangleup A’B’C ’$.

                   Из предпосылки, что треугольники $ \\ bigtriangleup ABC $ и $ \\ bigtriangleup A’B’C ’$ подобны, следует:

                   $ \ frac {a} {c} = \ frac {a ’} {c’}

                   долларов США

                   Сторона $ a $ — смежная сторона угла $ \ beta $, $ b ‘$ — смежная сторона $ \ beta’ $, а также $ c $ гипотенуза треугольника $ ABC $ и $ c ‘ $ — гипотенуза треугольника $ A’B’C ‘$, отсюда следует:

                   $ sin (\ beta) = sin (\ beta ’) $

                   В заключение, все тригонометрические значения любых двух похожих треугольников одинаковы.{\ circ})}

                   долл. США

                   высота лестницы = 4 $ метра

                   Взаимные тригонометрические функции

                   Помимо наших основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса, есть еще много чего. Некоторые из них называются взаимными тригонометрическими функциями косеканс и секанс.

                   Косеканс является обратной функцией синусоиды. Это означает, что если

                   Секант является обратной функцией косинусной функции.Это означает, что если

                   Пример 1. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для заданного треугольника под углом $ \ alpha $.

                   $ sin (\ alpha) = \ frac {напротив} {hypotenuse} = \ frac {7} {8.6} = 0.813 $

                   $ cos (\ alpha) = \ frac {смежный} {hypotenuse} = \ frac {5} {cos (8.6)} = 0,58 $

                   $ tan (\ alpha) = \ frac {sin (\ alpha)} {cos (\ alpha)} = \ frac {0.813} {0.58} = 1.4 $

                   $ cot (\ alpha) = \ frac {cos (\ alpha)} {sin (\ alpha)} = \ frac {1} {tan (\ alpha)} = \ frac {1} {1.{-1} (x) $ = arccotx $ \ rightarrow $ Дуга, котангенс которой совпадает с x.

                   Обратные тригонометрические функции имеют различные применения в реальных жизненных ситуациях, ниже приведены несколько примеров.

                   Пример 1. Боб пошел на рыбалку. Он проехал на своей лодке 5 метров к западу, но не нашел там рыбы, поэтому решил отправиться на север. Когда он был в 7 метрах от последней точки, он заметил, что надвигается шторм, поэтому ему пришлось вернуться на берег. Самый быстрый путь назад — прямо к побережью.{\ circ}
                   долл. США Пример 2 . Анжела выгуливает собаку Поло. Длина поводка составляет 5 метров, а Polo находится в 3 метрах от Angela. Под каким углом Анжела держит поводок?

                   Сначала нарисуем эскиз:

                   Анжела, поводок и земля составляют прямоугольный треугольник с гипотенузой, длина которой равна 5, и одной ногой 3. Поскольку известная нога противоположна искомому углу, мы можем использовать функцию синуса.

                   $ sin \ alpha = \ frac {3} {5} \ rightarrow \ alpha = 36,87 ^ {\ circ} $

                   Таблицы основных тригонометрических функций

                   Тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках (171.3 KiB, 1218 совпадений)

                   Тригонометрические отношения заданных углов (156,2 KiB, 971 совпадений)

                   Тригонометрические отношения обратной функции в прямоугольном треугольнике (193,9 KiB, 822 совпадений)

                   Использование тригонометрических функций для поиска недостающая сторона прямоугольного треугольника (256,1 КБ, 719 совпадений)

                   Комплексные тригонометрические функции

                   1) Определения
                   1.1 справа определения треугольника и единичного круга
                   1.2 Определения через серию
                   1.3 Определения через комплексные экспоненты
                   1.4 Определения с помощью дифференциальных уравнений

                   2) А разница между реальным и сложным тригонометрические функции
                   2.1 Отношения в экспоненциальную функцию
                   2.2 комплексные функции синуса и косинуса не ограниченный

                   3) Личности
                   3.1 периодический идентичности
                   3,2 Четное и нечетные личности
                   3.3 Пифагорейский идентичность
                   3,4 формулы суммы и разности
                   3.5 формулы двойного угла
                   3.6 Подробнее идентичности

                   4) Исчисление

                   1) Определения

                   1.1 Определения прямоугольного треугольника и единичного круга

                   Тригонометрические функции проще всего определить с помощью правильного треугольник. Но определения прямоугольного треугольника определять только тригонометрические функции для углов от 0 до радиан.

                   Шесть тригонометрических функции также могут быть определены в терминах единичного круга (круг радиуса один с центром в начале координат). Единица определение круга допускает определение тригонометрических функций для всех положительные и отрицательные аргументы.

                   Верх

                   1.2 Определения в серии

                   Сложный тригонометрический функции могут быть представлены силовой ряд:
                   Sin ( z ) =
                   Cos ( z ) =

                   Другие сложные тригонометрические функции:
                   tan ( z ) =
                   детская кроватка ( z ) =
                   с ( z ) =
                   csc ( z ) =

                   Верх

                   1.3 Определения через комплекс экспоненты

                   Сложный тригонометрический функции могут быть определены алгебраически в терминах комплексных экспонент как:

                   Sin ( z ) =

                   Cos ( z ) =

                   Верх

                   1.4 Определения через дифференциал уравнения

                   И синус, и косинус функции удовлетворяют дифференциальному уравнению

                   y « = — y (1)

                   В функция синуса — единственное решение удовлетворяющие начальным условиям у (0) знак равно 0 и y ‘(0) знак равно 1 Пусть y = Sin ( z ) Тогда y ‘ = Cos ( z ); y « = — Грех ( z ) Sin ( z ) = Грех ( z ) (1) Начальные условия: Грех (0) = 0, Sin ‘(0) = Cos (0) = 1

                   
                   

                   В функция косинуса — это единственная решение, удовлетворяющее начальному условия y (0) знак равно 1 и y ‘(0) знак равно 0 Пусть у = Cos ( z ) Тогда y ‘ = — Sin ( z ); y « = — Cos ( z ) Cos ( z ) = Cos ( z ) (1) Начальные условия: Cos (0) = 1, Cos ‘(0) = -Sin (0) = 0

                   
                   

                   В касательная функция является единственной решение нелинейного дифференциала уравнение лет ‘ = 1 + у 2 удовлетворительно начальные условия y (0) знак равно 0 Пусть у = загар ( z ) Тогда y ‘ = сек ( z ) 2 ; г 2 = загар ( z ) 2 сек ( z ) 2 = 1 + загар ( z ) 2 (1) Это это пифагорейская идентичность. Начальные условия: коричневый (0) = 0

                   Верх

                   2) Разница между реальным и сложные тригонометрические функции

                   Есть большая разница между действительным и сложным тригонометрическим функции:

                   1) Настоящая тригонометрическая функции не связаны с экспоненциальной функция.Но сложные тригонометрические функции имеют Взаимосвязь в экспоненциальную функцию

                   2) Реальный синус и косинус функции ограничены:
                   | Грех ( x ) | 1, | Cos ( x ) | 1

                   The комплексные функции синуса и косинуса не ограничен , если они определены над множеством всех сложных числа.

                   Верх

                   2.1 Связь с экспоненциальной функция

                   Основное различие между действительные и комплексные тригонометрические функции отношение к экспоненциальной функции.

                   Сложный тригонометрический функции могут быть определены алгебраически в терминах комплексных экспонент как:

                   Sin ( z ) =

                   Cos ( z ) =

                   Это видно из определения серии, что синус и функции косинуса — мнимые и реальные части, соответственно, сложного экспоненциальная функция, когда ее аргумент чисто мнимое:

                   
                   Эта связь была впервые отмечена Эйлера и тождество называется эйлеровым формула.

                   Взаимосвязь между комплексная экспонента и тригонометрическая функции могут быть выражены как:

                   Sin ( z ) = = — i Sinh ( i z )

                   Cos ( z ) = = Cosh ( i z )

                   Верх

                   2.2 Комплексный синус и косинус функции не ограничены

                   Есть еще одно различие между действительным и сложным тригонометрическим функции. В случае комплексных переменных

                   | Грех ( z ) | 1 и | Cos ( z ) | 1 неправда .

                   Пример: Sin ( z ) = 2 Парадокс?

                   Верх

                   3) Личности

                   3.1 Периодические тождества

                   Все сложные тригонометрические функции — периодические функции с те же периоды, что и тригонометрическая функция для реальных переменных.
                   Синус, косинус, секанс и косеканс функции имеют период:

                   Sin ( z +) = Грех ( z )

                   Cos ( z +) = Cos ( z )

                   сек ( z +) = сек ( z )

                   csc ( z +) = csc ( z )

                   Тангенс и котангенс функции имеют период:

                   желто-коричневый ( z +) = загар ( z )

                   детская кроватка ( z +) = детская кроватка ( z )

                   Верх

                   3.2 Четные и нечетные функции

                   Cos ( z ) является четной функцией Sin ( z ) является нечетной функцией как тригонометрическая функции для вещественных переменных.

                   Sin ( — z ) = — Грех ( z )

                   Cos (- z ) = Cos ( z )

                   сек (- z ) = сек ( z )

                   csc (- z ) = — csc ( z )

                   желто-коричневый (- z ) = — загар ( z )

                   детская кроватка ( -z ) = — детская кроватка ( z )

                   Верх

                   3.3 пифагорейских тождества

                   Эти идентификаторы основаны по теореме Пифагора.

                   + = 1

                   Второе уравнение получается из первый, разделив обе стороны на .

                   желто-коричневый ( z ) ² +1 = сек ( z ) ²

                   Третье уравнение получается из первый, разделив обе стороны на .

                   1 + детская кроватка ( z ) ² = csc ( z ) ²

                   Верх

                   3.4 Формулы суммы и разности

                   Прочие ключевые отношения — формулы суммы и разности, которые дают синус и косинус сумма и разность двух углов в члены синусов и косинусов углов самих себя.

                   Sin ( z 1 + z2) = Sin ( z 1) Cos ( z 2) + Cos ( z 1) Sin ( z 2)

                   Sin ( z 1-z2) = Sin ( z 1) Cos ( z 2) — Cos ( z 1) Sin ( z 2)

                   Cos ( z 1 + z2) = Cos ( z 1) Cos ( z 2) — Sin ( z 1) Sin ( z 2)

                   Cos ( z 1-z2) = Cos ( z 1) Cos ( z 2) + Sin ( z 1) Sin ( z 2)

                   Когда два угла равны, формулы сумм сводятся к более простым уравнения, известные как двойной угол формулы.

                   Верх

                   3,5 Формулы двойного угла

                   Sin (2 z ) = 2Sin ( z ) Cos ( z )

                   Cos (2 z ) знак равно

                   3.6 Больше удостоверений

                   Sin ( z +) = — Sin ( z )

                   Cos ( z +) = — Cos ( z )

                   Cos ( z ) = Грех ( z +)

                   Грех ( + z ) = Грех ( — из )

                   Комплексный модуль упругости удовлетворяет идентичность модуля:

                   | Грех ( x + iy ) | = | Грех ( x ) + Sin ( iy ) |

                   Верх

                   4) Исчисление

                   Если синус и косинус функции определяются их тейлоровскими ряда, то производные могут быть найдено путем дифференцирования степенного ряда посменно.

                   Sin ( z ) = Cos ( z )

                   Cos ( z ) = — Sin ( z )

                   Остальные тригонометрические функции можно дифференцировать с помощью вышеупомянутые личности и правила дифференциация.

                   желто-коричневый ( z ) = сек ( z ) ²

                   детская кроватка ( z ) = — csc ( z ) ²

                   сек ( z ) = сек ( z ) загар ( z )

                   csc ( z ) = — csc ( z ) детская кроватка ( z )

                   пользователя Татьяна Батлер

                   Тригонометрических уравнений — бесплатный онлайн-материал для изучения

                   Как выглядят тригонометрические уравнения?

                   Тригонометрические уравнения — это уравнения, включающие одно или несколько тригонометрических соотношений неизвестного угла.Это тригонометрическое соотношение может быть любым из шести тригонометрических соотношений, таких как синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

                   Пример

                   sin x = 0, cos ² 2x + 2 sinx + 1 = 0

                   Из приведенных выше примеров очень ясно, что переменная в приведенном выше уравнении — это угол x. Итак, для тригонометрического уравнения sin x = 0 нам нужно будет найти все возможные значения x, для которых sin x = 0.

                   
                   В чем разница между основным решением и общим решением?

                   Понятие главного и общего решения получено из периодического свойства тригонометрических соотношений.Поскольку синус и косинус периодичны с периодом 2π, а касательная периодична с периодом π. Таким образом, мы имеем не только одно конкретное значение x, для которого sin / cos или tan имеет уникальное значение, но и несколько значений.

                   Обратитесь к рисунку справа, чтобы лучше понять концепцию. На рисунке изображен график sin x. а горизонтальная линия указывает на уравнение sin x = 0,5, поэтому мы можем видеть, что как раз в период от 0 до 180 градусов у нас есть значения x (то есть 30 и 150 градусов), для которых sin x = 0.5. Итак, в период от 0 до 360 градусов у нас есть два значения или решения.

                   Для стандартизации основных решений — это решения, для которых значение неизвестного угла x лежит в интервале [0, 2π) или 0 ≤ x <2π. И решения, содержащие целое число «n», которое дает все возможные решения любого конкретного уравнения, называются общими решениями .

                   Пример

                   Найдите главное и общее решение для: sin x = 0

                   Соль .sin x = 0 при x = ……, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, 4π …… .. nπ

                   Таким образом, главным решением будет: 0 и, π, а общим решением будет nπ, где n ∈ Z.
                   

                   Каковы общие решения основных тригонометрических уравнений?

                   Давайте возьмем несколько основных уравнений одно за другим и проанализируем их.

                   Итак, из вышеизложенного можно сделать вывод, что для

                   снова,

                   Итак, из вышеизложенного мы снова можем сделать вывод, что для

                   Итак, приведенные выше примеры помогут вам понять основы решения тригонометрических уравнений.Ниже мы приводим общие решения всех основных тригонометрических уравнений.

                   Тригонометрическое уравнение	Общее решение
                   грех A = 0	А = nπ
                   cos A = 0	А = (2n + 1) π / 2
                   тангенс A = 0	А = nπ
                   грех A = 1	А = 2nπ + π / 2
                   грех A = грех B	A = nπ + (-1) n B
                   cos A = cos B	А = nπ ± B
                   загар A = загар B	А = nπ + В
                   sin 2 A = sin 2 B cos 2 A = cos 2 B	А = nπ ± B А = nπ ± B
                   желто-коричневый 2 A = коричневый 2 B	А = nπ ± B
                   грех A = грех B cos A = cos B	А = 2nπ + В
                   грех A = грех B загар A = загар B	А = 2nπ + В
                   загар A = загар B cosA = cos B	А = 2nπ + В

                   
                   Как решить тригонометрические уравнения?

                   Решение тригонометрических уравнений требует очень внимательного наблюдения за данным уравнением.Поскольку разные типы уравнений имеют разный подход к простому получению их решений. Итак, здесь мы обсудим семь важных типов тригонометрических уравнений и способы их решения.

                   Тип — I

                   В первом типе мы обсудим уравнения, которые могут быть факторизованы или даны в терминах умножения множителей или могут быть выражены в квадратичной форме.

                   Пример

                   (1 + cos⁡x) (1 — cot⁡ x) = 0, 3 cos ² ⁡x — 10 cos⁡x + 3 = 0

                   Уравнения этих типов можно решить, сначала преобразовав их в факторы (если они не указаны напрямую), а затем найдя решение для каждого фактора отдельно.Окончательные решения будут объединением решений всех факторов.

                   Тип — II

                   Это особый и очень важный тип уравнения, в котором уравнение может быть выражено в виде a cos⁡A + b sin⁡ B = c .

                   Пример

                   Чтобы решить эти типы уравнений, мы сначала преобразуем данное уравнение в стандартную форму, то есть

                   a cos⁡A + b sin⁡B = c (если не указан).

                   Предположим, a = r cos ⁡∅ и b = r sin⁡∅, , так что мы можем сказать

                   Подставляя указанные выше предположения в стандартное уравнение, получаем

                   r cos⁡∅ cos⁡A + r sin⁡∅ sin⁡B = c

                   Отсюда мы можем просто использовать формулу для cos (A — B), чтобы упростить приведенное выше и получить ее решения.

                   Тип — III

                   В третьем типе мы будем рассматривать уравнения, в которых нам нужно преобразовать тригонометрические функции из суммы в форму произведения.

                   Пример

                   грех x + грех 5x = грех 2x + грех 4x

                   В приведенной выше задаче углы разные, и если мы просто воспользуемся формулами sin C + sin D, то здесь мы можем получить любой угол, общий с обеих сторон.

                   Тип — IV

                   Этот тип — процесс, обратный последнему типу — III. Здесь нам нужно преобразовать тригонометрические функции из формы произведения в форму суммы.

                   Пример

                   sin⁡3A = 4 sin⁡A sin⁡2A sin⁡4A

                   Чтобы упростить и решить этот тип вопросов, нам нужно преобразовать данное произведение тригонометрических соотношений в сумму, чтобы упростить ее.

                   Тип — V

                   В некоторых задачах нам может потребоваться либо изменить переменную, либо использовать подстановку для их решения. Здесь у нас есть одна из специальных подстановок, где, если любое уравнение, включающее f (sin x ± cos⁡ x, sinx cosx) = 0 , где f (x, y) — полином, может быть решено путем замены

                   sin x ± cos ⁡ x = t

                   Далее можно написать то же, что и,

                   1 ± 2 sinx cos⁡x = t ²

                   или

                   Пример

                   sin ⁴ 2x + cos ⁴ 2x = sin⁡ ² x cos⁡2x

                   Это уравнение можно решить, используя замену из примера выше.

                   Тип — VI

                   В этом шестом типе мы дадим вам концепцию ограниченности для решения проблемы. Эта концепция не может использоваться случайно, а только в особых случаях.

                   Для этого типа мы должны помнить, что

                   • — 1 ≤ sin⁡x ≤1, — 1 ≤ cos⁡x ≤1

                   • tan⁡ x ∈R, cot⁡x ∈ R

                   • | cosec x | ≥ 1, | secx | ≥ 1

                   Пример

                   cos x + cos2x + cos 3x = 3

                   В этой задаче мы ясно видим, что cos x + cos 2x + cos 3x = 3, только если все члены i.е. cos x, cos 2x и cos 3x одновременно равны 3.

                   Тип — VII

                   Здесь снова в этом виде у нас есть особая форма

                   Итак, для этого типа нам просто нужно использовать два основных условия:

                   Пример

                   
                   

                   Есть ли что-то вроде тригонометрического неравенства?

                   Да, тригонометрические неравенства похожи на линейные неравенства с той разницей, что вместо нормальных переменных используются тригонометрические отношения.Эти неравенства имеют вид P (f (x), g (x),…)> (или <) 0, где f (x) и g (x) могут быть любыми тригонометрическими функциями.

                   Нам нужно идти шаг за шагом к решению этих неравенств. Шаги следующие:

                   • Для данной функции сначала найдите ее основной период, а затем нарисуйте график для этого интервала.

                   • Для, f (x) ≤ a или f (x) ≥ a, нарисуйте линию y = a, которая поможет нам установить диапазон или интервал.

                   • Используя линию, проведенную на предыдущем шаге, просто возьмите ту часть графика, которая удовлетворяет заданному неравенству.Это даст нам принципиальное решение.

                   • Для общего решения нам просто нужно добавить n , умноженное на основной период ( p ), то есть np , с основным периодом.

                   Пример

                   Что такое тригонометрическая идентичность?

                   Идентичность в математике — это отношение или уравнение, которое верно для любого значения переменной.Таким образом, тригонометрическое тождество — это тригонометрическое тождество, включающее тригонометрические отношения, которые удовлетворяются для любого значения его переменной.

                   Ниже приведены несколько важных тождеств, которые используются для упрощения сложных тригонометрических уравнений.

                   • sin⁡A sin (60 ° — A) sin⁡ (60 ° + A) = 1/4 sin⁡3A

                   • cos⁡A cos⁡ (60 ° — A) cos⁡ (60 ° + A) = 1/4 cos⁡3A

                   • tan⁡A tan⁡ (60 ° — A) tan (60 ° + A) = tan⁡3A

                   Примечание: — Все вышеперечисленные тождества могут быть легко получены с помощью формул составных углов.
                   

                   Что такое тригонометрические функции?

                   Тригонометрические функции в математике — это функции, которые помогают нам более точно понять треугольник и его свойства. Это функции угла треугольника, которые связывают угол с длиной стороны треугольников. Тригонометрические функции также называются круговыми функциями . Основные тригонометрические функции в математике — это синус , косинус и тангенс функций.Все функции в основном определены с учетом прямоугольного треугольника, но в целом их можно легко использовать.
                   

                   Посмотрите это видео, чтобы получить дополнительную информацию

                   
                   Связанные ресурсы:

                   Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Тригонометрия , включая примечания к исследованию, примечания к пересмотру, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

                   
                   Дополнительная литература

                   Тригонометрическое уравнение

                   
                   

                   Особенности курса

                   • 731 Видеолекция
                   • Примечания к редакции
                   • Документы за предыдущий год
                   • Ментальная карта
                   • Планировщик обучения
                   • Решения NCERT
                   • Обсуждение Форум
                   • Тестовая бумага с видео-решением

                   
                   .