Опубликовано Задачи на сложение и вычитание дробей
Задача 1
Вычислите сумму дробей: [tex]\frac{1}{5}+\frac{2}{5}[/tex]
Задача 2
Найдите значение [tex]\frac{3}{7}+\frac{2}{7}[/tex]
Задача 3
Вычислите [tex]\frac{1}{3}+\frac{2}{3}[/tex]
Задача 4
Посчитайте значение: [tex]\frac{2}{15}+\frac{5}{15}[/tex]
Задача 5
Найдите сумму дробей: [tex]\frac{8}{11}+\frac{4}{11}[/tex]
Задача 6
Вычислите [tex]\frac{2}{187}-\frac{2}{187}[/tex]
Задача 7
Вычислите [tex]\frac{13}{39}-\frac{8}{39}[/tex]
Задача 8
Найдите значение [tex]\frac{18}{19}-\frac{11}{19}[/tex]
Задача 9
Найдите значение [tex]\frac{15}{8}-\frac{14}{8}[/tex]
Задача 10
Найдите значение [tex]\frac{19}{27}-\frac{6}{27}[/tex]
Задача 11
Найдите сумму дробей [tex]\frac{2}{5}[/tex] и [tex]\frac{-1}{5}[/tex]
Задача 12
Вычислите [tex]\frac{5}{6}-\frac{10}{6}[/tex]
Задача 13
Задача 14
Вычтите [tex]\frac{5}{13}[/tex] из [tex]\frac{14}{13}[/tex]
Задача 15
Сложите дроби: [tex]\frac{5}{18}[/tex] и [tex]-\frac{16}{18}[/tex]
Задача 16
Вычислите [tex]\frac{3}{18}+(-\frac{21}{18})[/tex]
Задача 17
Найдите значение [tex]\frac{2}{7}+\frac{3}{7}-\frac{5}{7}[/tex]
Задача 18
Выполните сложение дробей: [tex]\frac{8}{91}+\frac{13}{91}[/tex]
Задача 19
Вычтите дроби: [tex]\frac{18}{45}-\frac{5}{45}[/tex]
Задача 20
Сложите дроби: [tex]\frac{5}{47}+\frac{23}{47}[/tex]
Задача 21
Сложите дроби: [tex]\frac{43}{56}+\frac{13}{56}[/tex]
Задача 22
Найдите сумму дробей: [tex]\frac{18}{29}+\frac{10}{29}[/tex]
Задача 23
Вычтите дроби: [tex]\frac{15}{10}-\frac{8}{10}[/tex]
Задача 24
Выполните вычитание дробей: [tex]\frac{5}{31}-\frac{4}{31}[/tex]
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.
К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.
Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.
Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.
Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями
- найти НОК всех знаменателей;
- проставить к каждой дроби дополнительные множители;
- умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
- полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
- произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Например:
Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычитание, дробь, знаменатель, сложение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.
Конспект урока «Решение задач на тему «Сложение и вычитание рациональных дробей»»
3
Пока ученики готовятся к ответу у доски, с классом проводится фронтальный опрос по
следующим вопросам:
1. Сформулируйте основное свойство дроби.
2. Что произойдет с дробью если изменить знак числителя и знак перед дробью?
3. Что произойдет с дробью, если изменить знак знаменателя и знак перед дробью?
4. Что произойдет с дробью, если изменить знак числителя и знаменателя
одновременно?
5. Сформулируйте алгоритм сложения и вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями.
6. Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
7. Выполнение каких шагов алгоритма зависит от особенностей выражений, стоящих
в знаменателе дроби? В числителе дроби?
По окончании фронтального опроса заслушиваются ответы учащихся, работавших у
доски. При обсуждении представленных и решений задач необходимо обратить
внимание на особенности нахождения общего знаменателя в зависимости от
знаменателей дробей.
В качестве дополнительных заданий могут быть предложены следующие:
— возможно ли преобразовать дробь
;
— найти сумму дробей
и вычислить ее значение при а=0.
После ответа первого учащегося классу задаются вопросы:
1. Включает ли домашнее задание решение аналогичной задачи?
2. Чему равен общий знаменатель дробей?
3. Какой получается числитель в результате дробей?
4. Производились ли какие-либо преобразования с дробью, полученной в результате
сложения? Какие?
5. Чему равна окончательная сумма?
После ответа второго ученика с классом выясняются ответы на следущие вопросы по
решению задач на сложение и вычитание дробей, знаменателями которых являются
противоположные выражения:
1.2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
\[{\rm 20х+4=0}\]Решим линейное уравнение:
$20x=-4$
$X=-0,2$
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
\[2x-1\ne 0 x+3\ne 0\]х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ:$-0,2.$
Формулы для решения задач на дроби для 5 класса
В 5 классе на уроках математики ученики знакомятся с дробями и процентами. В 6 классе эта тема повторяется, но изучается более глубоко. А встречаться дроби и проценты продолжат вплоть до задач внешнего тестирования (ЗНО) для 11 класса.Обыкновенная дробь — это пара чисел, записанных через черту.
Число под чертой (знаменатель), показывает, на сколько частей разделили целое.
Число над чертой (числитель) показывает, сколько этих частей выбрано.
То есть дробь $\frac{3}{8}$ (три восьмых) означает, что целое было разделено на 8 частей, а взято из них три.
Существуют три класса задач на дроби: нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и выражение отношения чисел в виде дроби.
Как найти дробь от числа
В задачах на дробь от числа известно само число и дробь, которая от него взята. А найти требуется, какую величину составит эта дробь. Рассмотрим такую задачу Пример 1.1.В самолёте 120 пассажиров. $\frac{2}{5}$ (две пятых) из них летят в самолёте в первый раз. Сколько пассажиров летит в первый раз?
Это задача на нахождение дроби от числа.
Есть число: 120.
Есть дробь: $\frac{2}{5}$
Нужно найти, чему равны две пятых от 120.
Решаются задачи на нахождение дроби от числа так.
Решение
Задаём себе два вопроса:
1. Чему равна $\frac{1}{5}$ (одна пятая) от 120?
Для этого 120 делим на 5, получаем 24.
2. Чему равны $\frac{2}{5}$ (две пятых) от 120?
Результат 24, корый мы получили, нужно умножить на 2.
Получаем 48.
Значит, $\frac{2}{5}$ от 120 составляет 48.
Ответ: 48 пассажиров летят впервые.
Попробуем решить ещё одну задачу на нахождение дроби от числа.
Пример 1.2.
В городе живут 1 500 000 человек. Из них $\frac{3}{25}$ — школьники. Сколько в городе школьников?
Решение
1. Чему равна $\frac{1}{25}$ от 1 500 000?
2. Чему равны $\frac{2}{25}$ от 1 500 000?
60 000*3 = 180 000
Ответ: 180 000 школьников.
Когда вы набрались опыта решать такие задачи по вопросам, эти два вопроса можно свести в одно действие и использовать правило:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на её числитель
Пример 1.3.
В автосалон завезли 14 автомобилей. За месяц продали 2/7 этого количества. Сколько автомобилей продали?
Решение
Умножим 14 на $\frac{2}{7}$:
$14\cdot \frac{2}{7} = \frac{14\cdot 2}{7} = 2\cdot 2 = 4$
Ответ: 4 автомобиля.
Теперь рассмотрим задачи второго типа:
Как найти число по дроби
В задачах этого типа исходное число неизвестно. Зато известна величина некоторой части от этого числа и какую дробь составляет эта часть от исходного числа. Для удобства рассмотрим, как бы выглядели эти же три задачи, если бы в них требовалось найти число по дроби. Пример 2.1.В самолёте сидят пассажиры (сколько их неизвестно!). Известно, что 48 пассажиров или $\frac{2}{5}$ (две пятых) от их количества летят впервые. Нужно найти: сколько всего пассажирова в самолёте?
Решение
Эти 48 пассажиров, которые летят впервые, составляют две пятых ($\frac{2}{5}$) от общего количества пассажиров в салоне. Мы можем найти одну пятую?
Да, нужно 48 разделить на 2.
48:2 = 24.
Мы узнали, что одна пятая часть от всех пассажиров — это 24 человека. Сколько всего пассажиров? В пять раз больше, то есть 24х5 = 120.
Ответ: 120 пассажиров всегов самолёте
Понятно? Давайте разберём ещё одну задачу.
Пример 2.2.
Три двадцать пятых ($\frac{3}{25}$) населения города составляют школьники. Школьников в городе 180 000. Каково общее население города?
Решение
Опять само число (то есть население города) на неизвестно, зато известно, чему равны $\frac{3}{25}$ от него.Значит, можно сначала найти, чему равна $\frac{1}{25}$ от населения города. Разделим 180 000 на 3:
Зная одну двадцать пятую, можно найти и целое, умножив 60 000 на 25.
60 000х25 = 1 500 000
Ответ: в городе 1 500 000 жителей
Когда будете уверенно решать задачи на нахождение числа по его дроби по вопросам, можно будет заменить эти вопросы одним действием и использовать правило:
Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на эту дробь
Или, что то же самое:
Чтобы найти число по его дроби, известную величину нужно разделить на числитель дроби и умножить на её знаменатель
Пример 2.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4, что составляет 2/7 всех автомобилей. Сколько автомобилей завезли в салон?
Решение
Разделим 4 на $\frac{2}{7}$:
$4: \frac{2}{7} = \frac{4\cdot 7}{2} = 2\cdot 7 = 14$
Ответ: 14 автомобилей завезли в салон.
И перейдём теперь к третьему типу задач на дроби, которые изучаются в математике 5 класса:
Как найти отношение двух чисел и выразить его в виде дроби
В задачах на нахождение отношения оба числа известны, а нужно найти, какую дробь второе число составляет от первого. Решаются они проще всегоПример 3.1.
В самолёте 120 пассажиров. Из них 48 человек летят в первый раз. Какая часть пассажиров летит в первый раз?
Решение
Чтобы найти, какую дробь 48 составляет от общего количества пассажиров (120), нужно 48 разлелить на 120 и затем скоратить, что возможно.
Доля летящих впервые пассажиров составляет $\frac{48}{120}$.
И числитель, и знаменатель делятся на 2, значит, можно сократить на 2.
$\frac{48}{120}=\frac{24}{60}$
Сократим ещё раз на 2:
$\frac{24}{60} = \frac{12}{30}$
И ещё раз:
$\frac{12}{30} = \frac{6}{15}$
Теперь можно сократить на 3:
$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
Больше сокращать не на что — это и можно записать как окончательный ответ задачи.
Ответ: $\frac{2}{5}$ пассажиров летят впервые.
Так что правило для решения задач на нахождение отношения чисел самое простое:
Чтобы найти, в виде какой дроби выражается отноешние двух чисел, нужно сначала записать дробь, в которой числитель и знаменатель — эти числа, а затем сократить её.
Обратите внимание, что дробь $\frac{A}{B}$ обозначает, какую долю величина А составляет от величины В и правильно записывайте величины в числитель и знаменатель.
Разберём ещё два примера.
Пример 3.2.
В городе с населением 1 500 000 жителей живут 180 000 школьников. Какую часть населения города составляют школьники?
Решение
Нужно найти, какую часть 180 000 составляет от 1 500 000?
Записываем дробь и сокращаем:
$\frac{180000}{1500000}=\frac{18}{150}=\frac{9}{75}=\frac{3}{25}$
Ответ: школьники составляют $\frac{3}{25}$ от общего населения города
Пример 3.3.
Из завезённых в автосалон автомобилей за месяц продали удалось продать всего 4. Какую часть от всех автомобилей это составляет, если всегов автомалон завезли 14 машин?
Решение
Точно так же, берём дробь $\frac{4}{14}$ и сокращаем:
$\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Ответ: продали $\frac{2}{7}$ от общего количества автомобилей.
Вот как решаются задачи на дроби. Вы найдёте справочники по формулам математики 5, 6 и других классов в разделе «Математика в школе».
Решение уравнений — калькулятор от Intemodino
Могу ли я решить неполные квадратные уравнения, например без линейного или свободного члена?
Да, калькулятор позволяет решать полные и неполные квадратные уравнения. В зависимости от того, в каком виде записано уравнение, Вы можете выбрать Advanced формат или использовать встроенные форматы, которые позволяют вводить только коэффициенты уравнения.Как вводить уравнения со скобками?
Для того чтобы ввести уравнение, содержащее скобки, надо выбрать Advanced формат.Как вводить уравнения с дробями?
В зависимости от того какой ввод уравнения Вы выбрали, существует два способа ввода дробных коэффициентов:— если Вы собираетесь вводить уравнение, используя встроенные форматы, то Вам надо переключится в режим ввода дробей, выбрав «Дроби» в верхнем меню калькулятора.
— если Вы выбрали ввод уравнения в формате Advanced, для того чтобы отделить целую часть от дробной при вводе смешанных чисел, используйте знак подчеркивания. Между числителем и знаменателем дроби ставится наклонная черта. Пример: 3_1/2, 5/8 и т.д.
Где я могу посмотреть подробное решение уравнения?
При решении линейних и квадратных уравнений наш математический калькулятор показывает пошаговое решение с пояснениями, что может быть полезно не только школьникам, но и их родителям при проверке домашних заданий.Как распечатать решение уравнения?
Вы можете отправить решение конкретного уравнения или историю всех проведенных вычислений по электронной почте и затем распечатать решение из почты.Где найти ранее решённые уравнения?
Чтобы просмотреть или отредактировать ранее решённые уравнения, используйте стрелки «вперед» и «назад» в верхнем меню калькулятора.Какой алгоритм используется для решения кубических уравнений?
Калькулятор решает кубические уравнения, используя формулу Кардано.Каким способом решаются уравнения четвертой степени?
Для решения уравнений четвертой степени используется метод Феррари.Разработка урока «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»»
Урок №112 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ»
Цели урока:
Образовательная —
Повторение и обобщение изученного материала:
понятие правильной и неправильной дроби;
сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;
сравнение обыкновенных дробей;
проверить и расширить представления об обыкновенных дробях.
Применение знаний о дробях для решения задач.
Развивающая
Развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание и мышление.
Воспитательная
Продолжить развивать познавательный интерес; воспитание ответственности, умение работать в коллективе; самостоятельности.
Задачи урока:
Предметные: обобщить и систематизировать знания учащихся об обыкновенных дробях.
Личностные: продолжить формировать умение планировать свои действия в соответствии с учебным заданием;
умения работать в коллективе и находить согласованные решения; проявление инициативы при выполнении заданий;
ясное, точное, грамотное изложение своих мыслей;
умение исправлять и дополнять ответы других учащихся.
Метапредметные: развитие понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;
самостоятельное определение цели своего обучения;
осуществление контроля своей деятельности; построение логических рассуждений.
Урок направлен на формирование следующих УУД.
Познавательные УУД:
навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей, сравнение дробей;
правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби;
умение решать задачи на сложение и вычитание дробей;
применять полученные знания при решении задач.
Коммуникативные УУД:
воспитывать интерес к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.
Регулятивные УУД:
понимать учебную задачу урока;
осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;
определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки;
отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения.
Личностные УУД:
формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний.
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП 1 МИН
— Ребята, здравствуйте. Садитесь.
Сегодня у нас с вами необычный урок, сегодня у нас гости на уроке. Но давайте не будем волноваться и переживать Закройте глаза, три раза глубоко вздохните и выдохните. Теперь улыбнитесь и открывает глаза. Давайте начнем наш урок. 1 МИН
ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ 15 МИН
— Давайте проверим ваше домашнее задание. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте. У вас было задано упр. 550, 554. Правильные ответы на доске, проверьте своих товарищей. (Разобрать кратко «почему так верно») Карандашом поставьте оценку за работу. Хорошо. Дежурный, собери, пожалуйста, тетради с домашним задание и раздай проверенные. 5 МИН
— Давайте вспомним, чем мы занимались с вами на предыдущих уроках. Как обычно проведем разминку. Задание на доске. (Отвечают устно или письменно у доски)
«Взаимоопрос» — те, кто не отвечал у доски, отвечают на вопросы одноклассников.
Например, вопросы:
— правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним)
— правило разности дробей с одинаковыми знаменателями (чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним)
— основное свойство дроби (Если числитель и знаменатель дроби у множить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится дробь равная данной)
— какая дробь называется правильной
— пример неправильной дроби
— как сравнить дроби с разными знаменателями
— пример правильной дроби
— как сравнить дроби с одинаковыми числителями/ знаменателями
— какая дробь ближе к 1
— как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями
— Хорошо, ребята. Мы вспомнили основные правила, необходимые нам для работы на сегодняшнем уроке.
10 МИН
Задания для разминки
Постановка цели. 3 МИН
Ребята, на слайде вы видите ребус, который подскажет вам тему нашего урока.
Итак, кто сформулирует тему нашего урока? (дети формулируют «Решение задач на тему «Сложение и вычитание дробей») Слайд с темой.
Откройте тетради. Запишите число и тему урока.
Закрепление 15 МИН
— Итак, давайте решим несколько задач на эту тему. Задачи на слайдах.
5. ТВОРЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ 7 МИН
— Молодцы ребята! А теперь попробуйте придумать свою задачу на тему «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»! На это задание мы отведем 5 минут, а затем почитаем ваши задачи. (Зачитать 3 задачи, без решения)
6. ИНФОРМАЦИЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ 1 МИН
— Запишите домашнее задание упр. 555,557 (б) Слайд с ДЗ.
7. РЕФЛЕКСИЯ 3 МИН
— Ребята, я раздам вам листки, на которых написаны незаконченные предложения. Закончите их, пожалуйста. Таким образом, мы подведем итоги нашего сегодняшнего урока. Например, «Сегодня на уроке я узнала, некоторые способы решения задач на дроби» и тд. Понятно? Работаем.
Поблагодарить за урок.
Приложение 1
Тексты задач (раздатка для тех, кто работает быстрее или медленнее)
Археологи в первую неделю раскопок выполнили часть всей работы, а во вторую неделю – еще часть всей работы. Какую часть работы археологи выполнили за 2 недели? Какая часть работ осталась?
Журналист прочитал отзыв на свою статью за 12 минут. Какую часть отзыва он прочитал за 1 минуту, а какая часть останется непрочитанной? За 2 минуты?
Кондитер Виктор изготовил кг конфет, а кондитер Андрей на г больше. Сколько конфет изготовили кондитеры вместе? Выразите ответ в граммах.
Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик – за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?
До остановки автобус ехал ч, а на оставшийся путь он затратил на ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял ч? Ответ выразите в часах и минутах.
Упр. 558 стр. 159
Туристы отправились на прогулку на лодке. До привала они плыли часа, обратный путь занял у них на ч больше. Сколько времени длилась прогулка, если привал занял ч? Ответ выразите в часах и минутах.
Выполнение задания по литературе заняло у Иры ч, а по биологии – на ч меньше.
а) Сколько времени ушло у Иры на оба задания?
б) Больше это или меньше 1 ч и на сколько?
в) Выразите полученную разницу в минутах.
Приложение 2
Карточки для рефлексии
Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось… | Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось… |
Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось… | Закончи предложение Сегодня я узнал(а)… Было интересно… Было трудно… Я понял(а), что… У меня получилось… Мне захотелось… |
Как вычислить дроби: пошаговое руководство
3. Как преобразовать дробь в процент
Есть три простых способа преобразовать дробь в проценты. Мы рассмотрим их все, используя одну и ту же долю 7/20.
Метод 1:
Разделите числитель на знаменатель, затем умножьте полученное число на 100, чтобы получить процентное преобразование:
7 ÷ 20 = 0,35
0,35 x 100 = 35%
Метод 2:
Умножьте числитель на 100, затем разделите полученное число на знаменатель:
7 x 100 = 700
700 ÷ 20 = 35%
Метод третий:
Разделите числитель на знаменатель и переместите десятичная запятая в вашем ответе двумя разрядами вправо:
7 ÷ 20 = 0.35
Перемещение десятичной точки дает преобразование в 35%.
При преобразовании дроби в процент всегда не забывайте включать в свой ответ знак%.
4. Как складывать дроби
Процесс сложения дробей прост, если знаменатели совпадают.
В качестве основного примера возьмем 1/6 + 3/6. В этом случае у вас одинаковые знаменатели, поэтому просто сложите числители обеих дробей, придерживаясь нижней цифры 6:
1 + 3 = 4
Итак, 1/6 + 3/6 = 4/6
При сложении дробей, у которых нижние числа не совпадают, вам сначала нужно найти наименьший общий знаменатель .Это наименьшее число, целиком делимое на оба существующих знаменателя.
Пример:
1/4 + 2/3
Наименьшее число, которое делится как на 4, так и на 3, равно 12. Это ваш общий знаменатель.
Теперь вам нужно найти эквивалентные дроби, используя 12 в качестве нижнего числа.
Чтобы превратить 4 в 12, вы умножаете его на 3, поэтому вы должны также умножить числитель на 3, чтобы сохранить эквивалент дроби:
4 x 3 = 12 и 1 x 3 = 3
Дробь, эквивалентная 1 / 4, следовательно, 3/12
Следуйте тому же методу для второй дроби :
3 x 4 = 12 и 2 x 4 = 8
Ваша эквивалентная дробь 2/3 будет 8/12
Теперь просто сложите числители вместе и поместите ответ над 12:
3 + 8 = 11
Итак, 3/12 + 8/12 = 11/12
Правильный ответ на уравнение 1/4 + 2/3: 11/12
5.Как вычитать дроби
Как и в случае с сложением, вычитание дробей выполняется легко, когда знаменатели совпадают. Просто нужно вычесть второй числитель из первого, оставив нижнее число неизменным.
Пример:
Возьмите уравнение 4/7 — 3/7. У вас общий знаменатель, поэтому просто вычтите 3 из 4:
4 — 3 = 1
Итак, 4/7 — 3/7 = 1/7
Теперь давайте посмотрим на вычитание дробей с разными знаменателями .
Пример:
Возьмите уравнение 4/5 — 2/3
Сначала найдите наименьший общий знаменатель; в данном случае 15.
Теперь найдите эквивалентные дроби:
4/5 становится 12/15 (обе части умножаются на 3)
2/3 становится 10/15 (обе части умножаются на 5)
Теперь вы можете вычесть числители:
12-10 = 2
Итак, 12/15 — 10/15 = 2/15
Ответ на уравнение 4/5 — 2/5: 2/15
6.Как разделить дроби
Чтобы разделить одну дробь на другую, вам сначала нужно превратить делительную дробь в обратную, поменяв местами знаменатель и числитель.
Пример:
Если взять пример 1/2 ÷ 1/5, последняя дробь как обратная величина равна 5/1.
Теперь умножьте первую дробь на обратную:
1/2 x 5/1
Для этого умножьте числители и знаменатели:
1 x 5 = 5 (числители)
2 x 1 = 2 (знаменатели)
Итак, 1/2 x 5/1 = 5/2
Ответ на уравнение 1/2 ÷ 1/5: 5/2 или 2½
7.Как умножить дроби
Процесс вычисления дробей как умножения друг друга прост:
Пример:
Использование примера уравнения 1/2 x 1/6:
1 x 1 = 1 (числители)
2 x 6 = 12 (знаменатели)
Ответ на 1/2 x 1/6: 1/12
8. Как упростить дробь
Чтобы упростить дробь, чтобы уменьшить его до самой простой формы. По сути, найти наименьшую возможную эквивалентную дробь.
Сначала найдите наибольший общий делитель . Это наибольшее целое число, на которое делятся числитель и знаменатель.
Для этого запишите все множители для обеих частей дроби, как показано ниже, используя пример 32/48:
Факторы 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Факторы 48: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 48
Наибольший общий делитель здесь: 16
Теперь разделите числитель и знаменатель на это число. чтобы найти упрощенную дробь:
32 ÷ 16 = 2 (числители)
48 ÷ 16 = 3 (знаменатели)
Следовательно, 32/48 упрощенное: 2/3
При заполнении любой формы дробное уравнение, всегда упрощайте свой ответ до наименьшей возможной формы.
9. Как вычислить дробные части величин
Когда вам предложат количество и попросят вычислить дробную часть, просто разделите полученное количество на знаменатель дроби, затем умножьте это число на числитель.
Пример:
У вас 55 конфет, две пятых вы хотите отдать своему соседу, чтобы он забрал домой. Сколько конфет она возьмет?
Разделите полученное количество на знаменатель дроби: 55 ÷ 5 = 11
Умножьте это число на числитель: 11 x 2 = 22
Следовательно, правильный ответ: 22 конфеты
10.Как определить эквивалентные дроби
Чтобы определить, эквивалентна ли одна дробь другой, умножьте или разделите обе части одной дроби на одно и то же целое число.
Если оба ваших ответа являются целыми числами, тогда дробь сохраняет свое значение и эквивалентна.
Пример:
Чтобы определить, эквивалентно ли 12/15 4/5, разделите 12 и 15 на целое число:
12 ÷ 2 = 6
15 ÷ 2 = 7,5
Поскольку вы не используйте здесь целую цифру в качестве ответа, переходите к следующему основному числу:
12 ÷ 3 = 4
15 ÷ 3 = 5
Это показывает, что 15/12 и 4/5 являются эквивалентными дробями .
Вы также можете сделать это в обратном порядке, умножив обе части младшей дроби:
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
По сути, если одна дробь является упрощенной версией другой, то они эквивалентны .
Уравнения с дробями — Полный курс алгебры
24
Очистка фракций
2-й уровень
Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать.Методика называется очисткой от фракций.
Пример 1. Решите относительно x :
| x 3 | + | x -2 5 | = 6. |
Решение . Очистить следующие дроби:
Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей.Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.
НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.
| 15 · | x 3 | + | 15 · | x -2 5 | = 15 · 6 |
Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:
| 5 x + 3 ( x -2) | = | 90. |
| Легко решается следующим образом: | ||
| 5 x + 3 x — 6 | = | 90 |
| 8 x | = | 90 + 6 |
| x | = | 96 8 |
| = | 12. | |
Мы говорим «умножаем» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому мы сначала делим НОК на каждый знаменатель и, таким образом, очищаем от дробей.
Мы выбираем кратных каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет его делителем.
Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :
.| x 2 | – | 5 x 6 | = | 1 9 |
Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.
9 x -15 x = 2.
Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто взглянуть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .
Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .
Наконец, посмотрите и увидите, что 9 переходит в 18 два раза (2). Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.
Вот очищенное уравнение и его решение:
| 9 x -15 x | = | 2 | |
| −6 x | = | 2 | |
| x | = | 2 −6 | |
| x | = | – | 1 3 |
Пример 3.Решить относительно x :
½ (5 x — 2) = 2 x + 4.
Решение . Это уравнение с дробью. Очистить дроби путем умножения обеих сторон на 2:
| 5 x -2 | = | 4 x + 8 |
| 5 x — 4 x | = | 8 + 2 |
| x | = | 10. |
В следующих задачах очистить дроби и решить для x :
Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!
| Задача 1. | x 2 | – | x 5 | = | 3 |
| LCM — это 10.Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 5 х | — | 2 x | = | 30 | |
| 3 х | = | 30 | |||
| х | = | 10. | |||
При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —
5 x -2 x = 30
— должно иметь без дробей.
| Задача 2. | x 6 | = | 1 12 | + | x 8 |
| LCM — это 24.Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 4 х | = | 2 + 3 х | |||
| 4 x — 3 x | = | 2 | |||
| х | = | 2 | |||
| Задача 3. | x -2 5 | + | x 3 | = | x 2 |
| LCM — это 30. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 6 (x -2) + 10 x | = | 15 х | |||
| 6 x — 12 + 10 x | = | 15 х | |||
| 16 x -15 x | = | 12 | |||
| х | = | 12. | |||
Задача 4. Дробь равна дроби.
| x — 1 4 | = | x 7 | |
| LCM — это 28. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||
| 7 ( x — 1) | = | 4 х | |
| 7 x — 7 | = | 4 х | |
| 7 x — 4 x | = | 7 | |
| 3 х | = | 7 | |
| х | = | 7 3 | |
Мы видим, что когда единственная дробь равна единственной дроби, тогда уравнение может быть очищено «перекрестным умножением».«
| Если | ||||
| a b | = | c d | , | |
| , затем | ||||
| объявление | = | до н.э. . | ||
| Задача 5. | x — 3 3 | = | x -5 2 |
| Вот очищенное уравнение и его решение: | |||
| 2 ( x -3) | = | 3 ( x -5) | |
| 2 x — 6 | = | 3 x -15 | |
| 2 x — 3 x | = | — 15 + 6 | |
| — х | = | −9 | |
| х | = | 9 | |
| Задача 6. | x — 3 x — 1 | = | x + 1 x + 2 | ||
| Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| ( x — 3) ( x + 2) | = | ( x — 1) ( x + 1) | |||
| x ² — x — 6 | = | x ² — 1 | |||
| — х | = | −1 + 6 | |||
| — х | = | 5 | |||
| х | = | −5. | |||
| Задача 7. | 2 x — 3 9 | + | x + 1 2 | = | x — 4 |
| LCM — это 18. Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 4 x -6 + 9 x + 9 | = | 18 x — 72 | |||
| 13 х + 3 | = | 18 x — 72 | |||
| 13 x -18 x | = | — 72 — 3 | |||
| −5 х | = | −75 | |||
| х | = | 15. | |||
| Задача 8. | 2 x | – | 3 8 x | = | 1 4 |
| LCM — это 8 х . Вот очищенное уравнение и его решение: | |||||
| 16–3 | = | 2 х | |||
| 2 х | = | 13 | |||
| х | = | 13 2 | |||
2-й уровень
Следующий урок: Задачи со словами
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]
Решение задач со словами путем сложения и вычитания дробей и смешанных чисел
Пример 1: Рэйчел проехала на велосипеде одну пятую мили в понедельник и две пятых мили во вторник. Сколько миль она проехала всего?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы добавим две дроби с одинаковыми знаменателями.
Решение:
Ответ: Рэйчел проехала на своем велосипеде три пятых мили.
Пример 2: Стефани проплыла четыре пятых круга утром и семь пятнадцатых круга вечером. Насколько дальше Стефани проплыла утром, чем вечером?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы вычтем две дроби с разными знаменателями.
Решение:
Ответ: Стефани утром проплыла на треть круга дальше.
Пример 3: Нику потребовалось пять третей часа, чтобы выполнить домашнее задание по математике в понедельник, три четверти часа во вторник и пять шестых часа в среду. Сколько часов ему потребовалось, чтобы полностью выполнить домашнее задание?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы добавим три дроби с разными знаменателями. Обратите внимание, что первая — неправильная дробь.
Решение:
Ответ: Нику потребовалось три часа с четвертью, чтобы полностью выполнить домашнее задание.
Пример 4: Дина добавила в свой сад пять шестых мешка земли. Соседка Наташа добавила в огород одиннадцать восьмых мешков земли. Насколько больше земли Наташа добавила, чем Дина?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы вычтем две дроби с разными знаменателями.
Решение:
Ответ:
Пример 5: На вечеринке с пиццей Диего и его друзья съели три и одну четвертую пиццы с сыром и две и три четверти пиццы пепперони.Сколько всего пиццы они съели?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы сложим два смешанных числа, дробные части которых будут иметь одинаковые знаменатели.
Решение:
Ответ: Всего Диего и его друзья съели шесть пицц.
Пример 6: Семья Кокоцелли ехала на машине пять и пять шестых дней, чтобы добраться до своего загородного дома, а затем ехала шесть и одна шестая дня, чтобы вернуться домой. Сколько времени им потребовалось, чтобы ехать домой?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы вычтем два смешанных числа, дробные части которых имеют одинаковые знаменатели.
Решение:
Ответ: Семье Кокоцелли потребовалось еще полдня, чтобы ехать домой.
Пример 7: Склад имеет 12 и девять десятых метра ленты в одной части здания и восемь и три пятых метра ленты в другой части. Сколько всего ленты на складе?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы сложим два смешанных числа, дробные части которых будут иметь разные знаменатели.
Решение:
Ответ: Всего на складе 21 с половиной метр ленты.
Пример 8: Электрик имеет три и семь шестнадцатых сантиметров провода. Для работы ему нужно всего два и пять восьмых сантиметра проволоки. Сколько проволоки ему нужно отрезать?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы вычтем два смешанных числа, дробные части которых имеют разные знаменатели.
Решение:
Ответ: Электрику нужно отрезать 13 шестнадцати см провода.
Пример 9: У плотника был кусок дерева длиной 15 футов.Если ему нужно всего 10 и пять двенадцатых футов древесины, то сколько древесины он должен распилить?
Анализ: Чтобы решить эту проблему, мы вычтем смешанное число из целого числа.
Решение:
Ответ: Плотнику нужно выпилить четыре и семь двенадцатых фута дерева.
Резюме: В этом уроке мы узнали, как решать задачи со словами, включающие сложение и вычитание дробей и смешанных чисел. Для решения этих задач мы использовали следующие навыки:
- Сложите дроби с одинаковыми знаменателями.
- Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.
- Найдите ЖК-дисплей.
- Сложите дроби с разными знаменателями.
- Вычтите дроби с разными знаменателями.
- Сложите смешанные числа с одинаковыми знаменателями.
- Вычтите смешанные числа с одинаковыми знаменателями.
- Сложите смешанные числа с разными знаменателями.
- Вычтите смешанные числа с разными знаменателями.
Упражнения
Указания: вычтите смешанные числа в каждом упражнении ниже. Обязательно упростите свой результат, если необходимо. Щелкните один раз в ОКНО ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ENTER. После того, как вы нажмете ENTER, в БЛОКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, правильный или неправильный ваш ответ. Чтобы начать заново, нажмите ОЧИСТИТЬ.
Примечание. Чтобы записать дробь в три четверти, введите в форму 3/4. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел и затем 2/3 в форму.
| 1. | Для рецепта требуется 3/4 чайной ложки черного перца и 1/4 красного перца. Насколько больше черного перца нужно для этого рецепта, чем красного перца? |
| 2. | Однажды вечером в ресторане подали в общей сложности 1/2 буханки пшеничного хлеба и 7/8 буханки белого хлеба. Сколько всего было подано хлебов? |
| 3. | Робин и Келли владеют соседними кукурузными полями.Робин собрал 4 и 3/10 акра кукурузы в понедельник, а Келли собрал 2 и 1/10 акра. На сколько акров Робин собрал урожай больше, чем Келли? |
| 4. | Хуаните понадобилось 3 и 2/3 часа, чтобы пройти стандартный тест, а Джордану — 5 и 1/4 часа. Насколько больше времени понадобилось Джордану, чем Хуаните, чтобы пройти тест? |
| 5. | Агент авиакомпании зарегистрировал 10 и 1/3 кг багажа для одного пассажира и 8 и 5/6 кг багажа для своего попутчика.Сколько килограммов багажа всего зарегистрировал агент? |
Как делить дроби: 3 простых шага для решения сложных задач
Обучение студентов тому, как делить дроби может быть таким же простым, как обучение умножению … когда вы знаете все маленькие уловки, чтобы получить правильный ответ . Но — как и в случае с любой математической концепцией — когда вы преподаете деление, вы не хотите, чтобы ваши ученики только решали задач. Вы хотите, чтобы они поняли, что происходит в каждом вопросе.Но в том-то и дело. Трудно заставить их понять деление дробей, если вы сами этого не понимаете. Мы тоже немного запутались в этом. Вот почему мы рассмотрели лучшие инструменты и самые простые способы убедиться, что ваш класс понимает ключевые концепции деления дробей . Обратите пристальное внимание, и к концу этой статьи вы станете полностью экипированным и очень уверенным мастером деления дробей.Содержание
Как работает деление дробей
Обучение студентов тому, как делить дроби, является частью Общих государственных стандартов математической практики.Одна из самых ценных вещей, которую нужно научить ваших студентов при делении дробей, — это то, что означает ответ. Взгляните на приведенный ниже пример:½ ÷ ⅙ = 3
Почему в решении больше числа, чем задействованные дроби? Когда вы делите дробь, вы спрашиваете , сколько групп делителя (второе число) может быть найденным в дивиденде (первое число). Для приведенного выше уравнения мы спрашиваем, сколько ⅙ появляется в ½. Представьте приведенное в качестве примера уравнение в виде торта. У тебя осталась половина торта.Если каждая порция торта составляет от всего, сколько порций у вас осталось? Как видите, у вас осталось три порции торта!Как разделить дроби
Если вы просто разделите дроби, как при делении обычной математической задачи, вы, скорее всего, создадите несколько сложных дробей и получите что-то похожее на это: Источник: математический клуб Майка [/ caption] Это не совсем простой процесс.К счастью, вы можете воспользоваться ярлыком, который значительно упрощает деление дробей. Вы можете решить большинство проблем с делением, выполнив следующие три шага:- Преобразуйте делитель в обратную величину
- Измените знак деления на символ умножения и умножьте
- ваш ответ, если возможно, упростите
Шаг 1: Преобразуйте делитель в обратную
Обратную величину — это то, на что вы умножаете число, чтобы получить значение единицы.Если вы хотите превратить два в один посредством умножения, вам нужно умножить его на 0,5. В дробной форме это выглядит так:²⁄₁ × ½ = 1
Чтобы найти обратную дробь, вы просто переворачиваете числа. Знаменатель становится числителем и наоборот. Еще раз взгляните на пример уравнения:½ ÷ ⅙ =?
Первый шаг к решению проблемы — превратить наш делитель,, в обратную величину.⅙ → ⁶⁄₁
Шаг 2: Измените знак деления на символ умножения и умножьте
Деление и умножение — это противоположностей друг другу.Когда вы создаете обратное число, вы также создаете его противоположность. В задаче деления, когда вы превращаете делитель в обратную величину, вам также необходимо изменить уравнение с деления на умножение. Теперь, когда вы нашли обратную величину вашего делителя, вы можете изменить уравнение с деления на умножение.½ ÷ ⅙ =? → ½ × ⁶⁄₁ =?
У нас есть подробное руководство по умножению дробей, но вот краткое руководство:- Умножьте числители, чтобы получить новый числитель
- Умножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель
- Упростите окончательную дробь, если возможно
1 × 6 = 6 2 × 1 = 2 ½ × ⁶⁄₁ = ⁶⁄₂
Теперь вы готовы к упрощению, чтобы получить окончательный ответ!Шаг 3. По возможности упростите свой ответ
Дроби символизируют часть целого. Это означает, что многие дроби представляют одно и то же значение, так почему бы не сделать дробь как можно более простой? Например, вы почти никогда не говорите пять десятых или ⁄₁₀. Вместо этого вы упрощаете это до половины или ½. Чтобы уменьшить дробь до ее простейшего вида, вы делите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель .Наибольший общий делитель в ⁄ — пять. Разделив оба числа на пять, вы получите ½. В примере вопроса наибольший общий делитель ⁄₂ равен двум. Это превратит ваше решение из ⁶⁄₂ в ³⁄₁, что равносильно слову три. Следовательно:То же / другое? Умножение / деление дроби на 2/2.Полное видео на https://t.co/aYmHjxOMdB #mtbos #iteachmath #samediffmath pic.twitter.com/RunWrKLQ3J
— Беркли Эверетт (@BerkeleyEverett) 16 декабря 2018 г.
½ ÷ ⅙ =? → ½ × ⁶⁄₁ = ⁶⁄₂ → ³⁄₁ → 3
Создание обратной величины и умножение уравнения вместо деления позволяет пропустить несколько шагов в уравнении. Это ярлык, который значительно упростит жизнь вашим ученикам!Примеры деления дробей
Трехэтапная стратегия отлично подходит для простых задач с дробями, но что происходит, когда вы сталкиваетесь с целыми числами, смешанными дробями, неправильными дробями и задачами, основанными на словах? Процесс остается по большей части тем же, но в зависимости от типа проблемы может быть еще пара шагов.Давайте рассмотрим несколько примеров различных типов задач:Как разделить неправильные дроби
Источник: edgalaxy [/ caption] Неправильная дробь — это когда у вас есть числитель со значением, которое на больше, чем знаменатель . Вид этих дробей может вызвать недоумение, но порядок действий не меняется. Пример 1 :⅓ ÷ ⁶⁄₅ =? → ⅓ × ⅚ = ⁵⁄₁₈
Пример 2 :⁷⁄₆ ÷ ¾ =? → ⁷⁄₆ × ⁴⁄₃ = ²⁸⁄₁₈ → ¹⁴⁄₉ → 1 ⁵⁄₉
Независимо от того, где находится неправильная дробь, вы все равно переворачиваете делитель на обратную, а затем умножаете две дроби.Как делить смешанные дроби
Источник: невероятные факты о зяблике [/ caption] Смешанная дробь — это когда у вас есть целое число вместе с дробью. Например, 2 ½ будет считаться смешанной дробью. Как разделить смешанную дробь? Превратите смешанную дробь в неправильную дробь, а затем примените трехэтапную стратегию. Для этого умножьте целое число на знаменатель. Затем возьмите это значение и добавьте его в числитель. 2 ½ изменится на ⁄₂. Пример 1:3 ⅓ ÷ ⅖ =? → ¹⁰⁄₃ ÷ ⅖ =? → ¹⁰⁄₃ × ⁵⁄₂ = ⁵⁰⁄₆ → ²⁵⁄₃ → 8 ⅓
Пример 2:¼ ÷ 2 ⅙ =? → ¼ ÷ ¹³⁄₆ =? → ¼ × ⁶⁄₁₃ = ⁶⁄₅₂ → ³⁄₂₆
Пример 3:2 ½ ÷ 1 ⅓ =? → ⁵⁄₂ ÷ ⁴⁄₃ =? → ⁵⁄₂ × ¾ = ¹⁵⁄₈ → 1 ⅞
Как делить дроби на целые числа
Источник: PBS LearningMedia [/ caption] Вопросы с целыми числами аналогичны задачам со смешанными дробями. Прежде чем вы сможете приступить к делению, вам нужно превратить целое число в дробь.Чтобы превратить целое число в дробь, сделайте в числителе целое число, а в знаменателе — единицу.3 → ³⁄₁
После того, как целое число превратится в дробь, вы можете продолжить решение задачи с помощью трехэтапной стратегии. Пример:⅓ ÷ 3 =? → ⅓ ÷ ³⁄₁ =? → ⅓ × ⅓ = ⅑
Как разделить дроби с одинаковым знаменателем
Когда у вас одинаковый знаменатель, нет необходимости находить обратную или умножать. Вы можете просто разделить дроби, чтобы получить ответ.Знаменатели уравняют друг друга и дадут единицу. Любую дробь со знаменателем, равным единице, можно упростить до числителя. Пример 1:⅘ ÷ ⅖ = ²⁄₁ → 2
Пример 2:⅓ ÷ ⅔ = ½ / 1 → ½
Проблемы со словами деления дробей
Проблемы со словами могут быть сложными, потому что вы ‘ Мы должны научить ваших учеников понимать, какое значение становится дивидендом, а какое — делителем. Как и во всех задачах деления, в задаче со словами вы пытаетесь выяснить, сколько групп одного числа можно найти в другом.Лучший способ понять, какое это число, на примере. Есть 25 ½ километровый отрезок шоссе, который необходимо отремонтировать. Строительная бригада может ремонтировать 4 ¼ километра дорог в неделю. Сколько недель потребуется на ремонт трассы? В этом уравнении вы ищите количество недель, необходимое для ремонта шоссе. Чтобы получить этот ответ, вам нужно увидеть, сколько групп по 4 (количество шоссе, которое можно отремонтировать в неделю) могут уместиться в 25 ½ (общая длина шоссе, которое необходимо отремонтировать).Таким образом, 25 ½ будет вашим дивидендом, а 4 ¼ — вашим делителем! После вставки чисел в правильные места вы обнаружите, что на ремонт шоссе уйдет шесть недель. Чтобы убедиться, что ваши ученики следуют за вами, вы можете работать вместе решить проблемы со словами, а затем попросите их поднять руку, если они думают, что одно число — это делимое. Затем снова спросите, считают ли они, что другое число является делимым. Затем выберите ученика, который объяснит, почему одно число является делимым, а другое — делителем.Это не только вовлечет студентов, но и даст вам возможность увидеть, как студенты обрабатывают материал, который вы преподаете!Как Prodigy может помочь вам научить делить дроби
Prodigy Game поможет вам научить делить дроби, отслеживать успеваемость ваших учеников и задавать конкретные вопросы для подготовки класса к стандартизированному тестированию — все бесплатно . студенты рады учиться — и большую часть времени они даже не осознают, что проходят испытания.У вас есть несколько вариантов, в том числе возможность сосредоточить внутриигровые вопросы по темам, которые вы преподаете, актуальную статистику и отчеты о прогрессе. Вот как вы можете использовать Prodigy в своем классе, чтобы: Prodigy работает быстрее, чем рабочие листы, как и все «Маркировка» выполняется за вас — и в режиме реального времени. Вы можете просматривать отчеты по всему классу и видеть, с какими темами сталкиваются разные ученики! Вы также можете создавать задания для каждого ученика в зависимости от его конкретных потребностей и стилей обучения.Всем вашим ученикам будет предоставлена возможность попрактиковаться в вопросах, с которыми у них возникнут проблемы, и улучшить свои общие математические навыки. Когда время тестирования не за горами, вы можете создать практический тест в игре, чтобы узнать, нужно ли охватывать какие-либо темы. Класс с большей глубиной. Игра Prodigy всегда бесплатна для учителей.Рабочие листы деления на дроби
Чтобы убедиться, что ключевые концепции понимаются при обучении делению дробей, вы также можете использовать рабочие листы для своего класса. Вы можете поместить в рабочий лист набор различных вопросов, чтобы увидеть, что учащиеся понимают и с чем они борются.Единственный недостаток рабочих листов заключается в том, что их разметка может занять много времени. Чем больше времени уйдет на отметку, тем больше времени потребуется, чтобы увидеть, с чем вашим ученикам нужна помощь. Вот несколько веб-сайтов, на которых можно получить рабочие листы, которые вы можете попробовать в своем классе:1. DadsWorksheets.com
DadsWorksheets.com предоставляет вам широкий выбор рабочих листов на выбор в зависимости от темы, над которой вы работаете. Все рабочие листы снабжены ключом ответа, чтобы упростить задачу. Все, что они предлагают, можно загрузить и распечатать прямо с веб-сайта.2. Common Core Sheets
Common Core Sheets выводит ваши рабочие листы на новый уровень, позволяя настраивать ваши уроки. Вы можете выбрать типы вопросов, которые хотите отображать на своих листах. Вы также можете выбрать, хотите ли вы, чтобы дроби были упрощены или преобразованы в смешанные числа для ответов. Конечный продукт дает вам два рабочих листа. В первом есть только вопросы, а во втором — все ответы, включая процесс получения решения.3. K5 Learning
K5 Learning предоставляет рабочие листы для классов от детского сада до пятого класса.Они охватывают множество тем, представленных в учебной программе, и для каждого предмета есть несколько рабочих листов. PDF-файл, который вы можете скачать с их веб-сайта, включает в себя рабочие листы и ключ ответа.Калькулятор дробей
Когда ваши ученики учатся делить дроби, вы можете показать им калькулятор дробей. Это онлайн-инструменты для быстрого решения задач дроби. Они отлично подходят для проверки ваших ответов, но будьте осторожны, показывая эти инструменты вашему классу. Калькуляторы дробей можно использовать, когда учащиеся выполняют домашнее задание, но вы не хотите, чтобы они полагались на них при решении вопросов, иначе они выиграли бы ». я ничему не учусь.Если вы используете Calculator.net, они покажут вам все различных шагов, которые необходимо предпринять для решения проблемы!Заключительные мысли о том, как делить дроби
При обучении делить дроби скажите своим ученикам, что они пытаются найти, сколько делителей можно найти в дивиденде. Самый простой способ разделить дроби — выполнить три простых шага:- Преобразовать делитель в обратную величину
- Заменить знак деления на знак умножения и умножить
- По возможности упростить
Добавление дробей | Как сложить дроби + примеры
Сегодня мы рассмотрим несколько примеров сложения дробей .
Перед тем, как прочитать этот пост, вы можете проверить предыдущий пост, в котором мы объясняем, как добавлять дроби шаг за шагом.
Начнем с простейшего примера:
Сложение дробей с одинаковым знаменателемНапример:
Единственное, что нам нужно сделать, это сложить числители и оставить знаменатель в покое . Ответ: :
. Сложение чисел и дробиНапример:
Первое, что нам нужно сделать в этом случае, — это преобразовать 2 в дробь.Как вы уже знаете, мы можем просто поставить 1 в знаменателе любого числа, не меняя его значения:
Когда у нас есть две дроби, мы можем начать искать общий знаменатель . В этом примере это довольно просто, потому что этим числом является наименьшее общее кратное 1 и любому числу. Итак:
Теперь нам нужно только умножить 2 x 4, и мы получим:
… и теперь мы добавляем его в нашу задачу сложения:
Сложение дробей с совпадающими простыми знаменателямиПомните, что два числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1 .Например, в задаче:
Знаменатели взаимно простые, потому что:
Проблемы такого рода легко решить, потому что единственное, что нам нужно сделать, чтобы найти новые числители, — это умножить каждый числитель на знаменатель другой дроби, как показано ниже:
А мы просто умножаем знаменатели вместе. Итак, получаем:
и
И осталось сложить две дроби вместе:
Общее сложение дробейНапример:
Нам нужно вычислить наименьшее общее кратное знаменателей :
Что нам делать дальше? Давайте разберемся.Во-первых, давайте посмотрим на дробь:
Чтобы найти числитель , нам нужно разделить НОК на знаменатель дроби:
Нам нужно умножить числитель дроби на 2. Итак:
И мы видим, что новый числитель — 6.
В качестве знаменателя нам просто нужно использовать GCM (18):
Теперь мы проделаем то же самое с другой дробью. Чтобы найти числитель, нам нужно разделить:
И умножаем на числитель:
Затем мы подставляем GCM в качестве знаменателя, что дает нам:
Теперь осталось сложить дроби вместе …
Вот и все!
Фактически мы складываем все дроби таким образом, первые примеры были проще благодаря GCM, с которым было легче работать.Однако способ решения проблем всегда оставался прежним.
Итак, шаги для сложения дробей :
- Найдите GCM двух знаменателей.
- Разделите GCM на знаменатель и умножьте это на числитель, чтобы преобразовать каждую дробь в дробь, в которой GCM является новым знаменателем.
- Когда мы закончили два предыдущих шага со всеми дробями, расположите их по порядку и сложите их числители.
Если вы хотите продолжить изучение математики, зарегистрируйтесь на Smartick сегодня!
Удачи в добавлении дробей — немного попрактиковавшись, вы увидите, что это совсем несложно, и получите это в кратчайшие сроки!
Подробнее:
Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.
Дроби Вопросы и проблемы с решениями
Представлены вопросы и проблемы с решениями по дробям. Также включены подробные решения примеров.
Для того, чтобы овладеть концепциями и навыками дробей, вам необходимо доскональное понимание (НЕ запоминание) правил и свойств, а также много практики и терпения.Надеюсь, вам помогут приведенные ниже примеры, вопросы, проблемы.
Дроби
Дроби в математике, определение дробей и вводный словарный запас.Правила дробей, включая вопросы с решениями
Свойства дробей
Сложные дроби с переменными
Примеры эквивалентных дробей и вопросы с решениями.
Уменьшить дроби примеры и вопросы с решениями.
Калькулятор сокращения дробей
Упрощение дробей, примеры и вопросы, включая решения.
Факторные дроби, примеры с вопросами, включая решения.
Сложение дробей. Сложите дроби с одинаковым или другим знаменателем. Несколько примеров с подробными решениями и упражнениями.
Умножение дробей. Умножьте дробь на другую дробь или число на дробь. Примеры с решениями и упражнениями.
Разделить дроби. Разделите дробь на дробь, дробь на число, на дробь. Несколько примеров с решениями и упражнения с ответами.
Дроби в классе
Дроби и смешанные числа, вопросы и задачи с решениями для 7 классаДроби и смешанные числа, вопросы и задачи с решениями для 6 класса
Дроби, вопросы для 5 класса и их решения
Дроби, вопросы для 4 класса их ответы.
Калькуляторы дробей
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор дробей, включая уменьшение, сложение и умножение дробей.
4.9: Решение уравнений с дробями
Отмена вычитания
Мы все еще можем добавить одинаковую сумму к обеим частям уравнения, не меняя решения.
Пример 1
Решите относительно x : \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} \).
Решение
Чтобы «отменить» вычитание 5/6, прибавьте 5/6 к обеим сторонам уравнения и упростите.
\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — \ frac { 5} {6} + \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add} \ frac {5} {6} \ text {в обе стороны.}} \\ x = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 2} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text { Эквивалентные дроби, LCD = 6.}} \\ x = \ frac {2} {6} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]
Вполне допустимо оставлять свой ответ в виде неправильной дроби. Если вы хотите или если вас попросят сделать это, вы можете изменить свой ответ на смешанную дробь (7, разделенное на 6, будет равно 1, а остаток — 1). То есть \ (x = 1 \ frac {1} {6} \).
Проверка решения
Замените 7/6 на x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 7/6 на} x.} \\ \ frac {2} {6 } = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \\ \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Уменьшить.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]
Поскольку последнее утверждение верно, мы заключаем, что 7/6 является решением уравнения x — 5/6 = 1/3.
Отмена добавления
Вы по-прежнему можете вычесть одинаковую сумму из обеих частей уравнения, не меняя решение.
Пример 2
Решите относительно x : \ (x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} \).
Решение
Чтобы «отменить» сложение 2/3, вычтите 2/3 из обеих частей уравнения и упростите.
\ [\ begin {align} x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + \ frac {2} {3} — \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} — \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} { \ text {Subtract} \ frac {2} {3} \ text {с обеих сторон.}} \\ x = — \ frac {3 \ cdot 3} {5 \ cdot 3} — \ frac {2 \ cdot 5} {3 \ cdot 5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 15.}} \\ x = — \ frac {9} {15} — \ frac {10} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify.}} \\ x = — \ frac {19} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \ end {align} \ nonumber \]
Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.
Упражнение
Решите относительно x : \ (x + \ frac {3} {4} = — \ frac {1} {2} \)
- Ответ
−5/4
Отмена умножения
Мы «отменяем» умножение делением. Например, чтобы решить уравнение 2 x = 6, мы разделим обе части уравнения на 2. Аналогичным образом мы могли бы разделить обе части уравнения
\ [\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \ nonumber \]
на 3/5.Однако более эффективно использовать обратные. Для удобства мы напоминаем читателям о мультипликативном обратном свойстве .
Мультипликативное обратное свойство
Пусть a / b — произвольная дробь. Число b / a называется мультипликативным обратным или обратным числом a / b . Произведение обратных величин 1.
\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1. \ nonumber \]
Давайте применим наши знания о взаимных вычислениях.
Пример 3
Решите относительно x : \ (\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \).
Решение
Чтобы «отменить» умножение на 3/5, умножьте обе части на обратное 5/3 и упростите.
\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {5} { 3} \ left (\ frac {3} {5} x \ right) = \ frac {5} {3} \ left (\ frac {4} {10} \ right) & ~ \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 5/3.}} \\ \ left (\ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} \ right) x = \ frac {20} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array } {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа умножьте.} \ end {array}} \\ 1x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} \ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} = 1. \\ \ text {Вкл. вправо уменьшите:} \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3}. \ end {array}} \\ x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x.} \ end {align} \ nonumber \]
Проверка решения
Замените 2/3 на x в исходном уравнении и упростите.
\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {3} { 5} \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Замените 2/3 на} x.} \\ \ frac { 6} {15} = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение числителей; умножьте знаменатели.}} \\ \ frac {2} {5} = \ frac {2} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Уменьшите обе стороны до наименьших членов.}} \ end {выровнено} \ nonumber \]
Поскольку это последнее утверждение верно, мы заключаем, что 2/3 является решением уравнения (3/5) x = 4/10.
Упражнение
Решите относительно y : \ (\ frac {2} {3} y = \ frac {4} {5} \)
- Ответ
6/5
Пример 4
Решите относительно x : \ (- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \).
Решение
Чтобы «отменить» умножение на −8/9, умножьте обе части на обратное −9/8 и упростите.
\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ — \ frac {9} {8} \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = — \ frac {9} {8} \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -9/8.} \\ \ left [- \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) \ right] x = — \ frac {3 \ cdot 3} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot 3 \ cdot 3} ~ & \ textcolor { red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа, простой множитель.} \ end {array}} 1x = \ frac { \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} — \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = 1.\\ \ text {Справа отмените общие множители.} \ end {array}} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева,} 1x = х. \ text {Умножение справа.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]
Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.
Упражнение
Решите относительно z: \ (- \ frac {2} {7} z = \ frac {4} {21} \)
- Ответ
-2/3
Удаление дробей из уравнения
Хотя техника, продемонстрированная в предыдущих примерах, является надежной математической техникой, работа с дробями в уравнении не всегда является наиболее эффективным использованием вашего времени.
Удаление дробей из уравнения
Чтобы удалить все дроби из уравнения, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, встречающихся в уравнении.
Давайте реализуем эту идею.
Пример 5
В примере 1 нас попросили решить следующее уравнение для x :
\ [x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3}. \ Nonumber \]
Найдите минутку, чтобы ознакомиться с техникой решения в Примере 1.Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.
Решение
Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.
\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6 \ left (x — \ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 6.}} \\ 6x — 6 \ left (\ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Распределите 6.}} \\ 6x-5 = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с каждой стороны.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {6 \ left (\ frac {5} {6 } \ right) = 5 \ text {и} 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) = 2.} \ end {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что уравнение теперь полностью очищено от дробей, что значительно упрощает его решение.
\ [\ begin {align} 6x — 5 + 5 = 2 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 к обеим сторонам.}} \\ 6x = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {6x} {6} = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 6.}} \\ x = \ frac {7} { 6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Упростить.}} \ End {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в Примере 1.
Упражнение
Решить относительно t : \ (t — \ frac {2} {7} = — \ frac {1} {4} \)
- Ответ
1/28
Пример 6
В примере 4 нас попросили решить следующее уравнение для x .
\ [- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \ nonumber \]
Найдите минутку, чтобы просмотреть решение в примере 4. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.
Решение
Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.
\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 18 \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 18.}} \\ -16x = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {С каждой стороны, отменить и умножить.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {18 \ left (- \ frac {8} { 9} \ right) = -16 \ text {и} 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) = 5.} \ end {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Продолжая,
\ [\ begin {align} \ frac {-16x} {- 16} = \ frac {5} {- 16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -16.} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что это то же самое, что и решение, найденное в Примере 4.
Упражнение
Решить относительно и :
\ [- \ frac {7} {9} u = \ frac {14} {27} \ nonumber \]
- Ответ
-2/3
Пример 7
Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \).
Решение
Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.
\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.} } \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor { red} {\ text {Умножьте обе стороны на 12.}} \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) + 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева распределите 12.}} \\ 8x + 9 = 6 ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Умножение:} 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) = 8x, ~ 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 9,} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x , на одной стороне уравнения.
\ [\ begin {align} 8x + 9 — 9 = 6 — 9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 9 с обеих сторон.}} \\ 8x = — 3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {8x} {8} = \ frac {-3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = — \ frac {3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.
Упражнение
Решите относительно r : \ (\ frac {3} {4} r + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {2} \)
- Ответ
-2/9
Пример 8
Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8}. \)
Решение
Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей в уравнении.
\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 24.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) — 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) — 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {С обеих сторон распределите 24.}} \\ 16 — 18x = 12x — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Left:} 24 \ left (\ frac {2} {3} \ справа) = 16, ~ 24 \ слева (\ frac {3x} {4} \ right) = 18x.} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {Right:} 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 12x, ~ 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right ) = 3.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x, на одной стороне уравнения.
\ [\ begin {align} 16 — 18x — 12x = 12x — 3 — 12x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ 16 — 30x = -3 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {align} \ text {Left:} -18x — 12x = -30x.\\ \ text {Right:} 12x — 12x = 0. \ end {align}} \\ 16 — 30x — 16 = -3 — 16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 16 с обеих сторон.} } \\ -30x = -19 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} 16-16 = 0. \\ \ text {Right:} -3 — 16 = -19. \ end {align}} \\ \ frac {-30x} {- 30} = \ frac {-19} {- 30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -30.} \ \ x = \ frac {19} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.
Упражнение
Решить относительно с : \ (\ frac {3} {2} — \ frac {2s} {5} = \ frac {s} {3} — \ frac {1} {5} \).
- Ответ
Добавьте сюда тексты. Не удаляйте сначала этот текст.
Приложения
Давайте посмотрим на некоторые приложения, в которых используются уравнения, содержащие дроби. Для удобства мы повторяем требования для решения проблем Word .
Требования к решению проблем Word
- Настройка словаря переменных .Вы должны сообщить своим читателям, что представляет собой каждая переменная в вашей проблеме. Этого можно добиться несколькими способами:
- Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
- Обозначение неизвестных значений переменными в таблице.
- Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
- Установите уравнение . Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
- Решите уравнение . Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
- Ответьте на вопрос . Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче. Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами. 5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить свое решение в своем уравнении.В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке проблемы».
Пример 9
В третьей четверти баскетбольного матча дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 12 250 человек. Если это две трети вместимости, найдите полную вместимость баскетбольной арены.
Решение
Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .
1. Настройка словаря переменных . Пусть F представляет полную вместимость. Примечание: гораздо лучше использовать переменную, которая «звучит как» величина, которую она представляет. В этом случае использование F для представления полной вместимости пассажиров более наглядно, чем использование x для представления полной вместимости.
2. Установите уравнение . Две трети от полной вместимости составляет 12 250 человек.
\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Две трети} & \ text {of} & \ colorbox {cyan} {Полная вместимость} & \ text {is} & 12,250 \\ \ frac {2} {3} & \ cdot & F & = & 12,250 \ end {align} \ nonumber \]
Следовательно, уравнение
\ [\ frac {2} {3} F = 12250. \ nonumber \]
3. Решите уравнение . Умножьте обе части на 3, чтобы очистить дроби, затем решите.
\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} F = 12250 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 \ left (\ frac {2} {3} F \ right) = 3 (12250) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 3.}} \\ 2F = 36750 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ \ \ frac {2F} {2} = \ frac {36750} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ F = 18375 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
4. Ответьте на вопрос .Полная вместимость — 18 375 человек.
5. Оглянись назад . В словах проблемы указано, что 2/3 пассажировместимости составляет 12 250 человек. Давайте возьмем две трети нашего ответа и посмотрим, что мы получим.
\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} \ cdot 18375 & = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {18375} {1} \\ & = \ frac {2} {3 } \ cdot \ frac {3 \ cdot 6125} {1} \\ & = \ frac {2} {\ cancel {3}} \ cdot \ frac {\ cancel {3} \ cdot 6125} {1} \\ & = 12250 \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Это правильная посещаемость, поэтому наше решение правильное.
Упражнение
Посещаемость игры «Селтикс» составила 9 510 человек. Если это 3/4 вместимости, какова вместимость арены «Селтикс»?
- Ответ
12 680
Пример 10
Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.
Решение
Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .
1. Настройка словаря переменных . Наш словарь переменных будет иметь форму хорошо размеченной диаграммы.
2. Установите уравнение . Площадь A треугольника с основанием b и высотой h равна
.\ [A = \ frac {1} {2} bh. \ Nonumber \]
Заменить A = 20 и b = \ (2 \ frac {1} {2} \).
\ [20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h. \ Nonumber \]
3. Решите уравнение . Измените смешанную дробь на неправильную дробь, а затем упростите.
\ [\ begin {align} 20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 20 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Смешано с неправильным:} 2 \ frac {1} { 2} = \ frac {5} {2}.} \\ 20 = \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} { \ text {Ассоциативное свойство.}} \\ 20 = \ frac {5} {4} h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} = \ frac {5} {4}.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Теперь умножьте обе части на 4/5 и решите.
\ [\ begin {align} \ frac {4} {5} (20) = \ frac {4} {5} \ left (\ frac {5} {4} h \ right) ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Умножьте обе стороны на 4/5.}} \\ 16 = h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} \ frac {4} {5} (20) = 16} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {5} {4} = 1.} \ end {align} \ nonumber \]
4. Ответьте на вопрос . Высота треугольника 16 дюймов.
5. Оглянись назад . Если высота составляет 16 дюймов, а основание — \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, то площадь равна
.\ [\ begin {align} A & = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) (16) \\ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {16} {1} \\ & = \ frac {5 \ cdot 16} {2 \ cdot 2} \\ & = \ frac {(5) \ cdot ( 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2)} {(2) \ cdot (2)} \\ & = \ frac {5 \ cdot \ cancel {2} \ cdot \ cancel {2} \ cdot 2 \ cot 2 } {\ cancel {2} \ cdot \ cancel {2}} & = 20 \ end {align} \ nonumber \]
Это правильная площадь (20 квадратных дюймов), поэтому наше решение правильное.
Упражнение
Площадь треугольника составляет 161 квадратный фут. Если основание треугольника имеет размер \ (40 \ frac {1} {4} \) футов, найдите высоту треугольника.
- Ответ
8 футов
Упражнения
1. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {5} {8} = \ frac {5} {8} \)?
2. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {1} {3} = \ frac {5} {12} \)?
3. Является ли −8/15 решением уравнения \ (\ frac {1} {4} x = — \ frac {1} {15} \)?
4.Является ли −18/7 решением уравнения \ (- \ frac {3} {8} x = \ frac {25} {28} \)?
5. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x + \ frac {4} {9} = \ frac {17} {18} \)?
6. Является ли 1/3 решением уравнения \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {13} {12} \)?
7. Является ли 3/8 решением уравнения \ (x — \ frac {5} {9} = — \ frac {13} {72} \)?
8. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x — \ frac {3} {5} = — \ frac {1} {10} \)?
9. Является ли 2/7 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {9} = — \ frac {8} {63} \)?
10.Является ли 1/9 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {7} = — \ frac {31} {63} \)?
11. Является ли 8/5 решением уравнения \ (\ frac {11} {14} x = \ frac {44} {35} \)?
12. Является ли 16/9 решением уравнения \ (\ frac {13} {18} x = \ frac {104} {81} \)?
В упражнениях 13-24 решите уравнение и упростите свой ответ.
13. \ (2x — 3 = 6x + 7 \)
14. \ (9x — 8 = −9x — 3 \)
15. \ (- 7x + 4 = 3x \)
16. \ (6x + 9 = −6x \)
17.\ (- 2x = 9x — 4 \)
18. \ (- 6x = −9x + 8 \)
19. \ (- 8x = 7x — 7 \)
20. \ (- 6x = 5x + 4 \)
21. \ (- 7x + 8 = 2x \)
22. \ (- х — 7 = 3х \)
23. \ (- 9x + 4 = 4x — 6 \)
24. \ (- 2x + 4 = x — 7 \)
В упражнениях 25–48 решите уравнение и упростите свой ответ.
25. \ (x + \ frac {3} {2 = \ frac {1} {2} \)
26. \ (x — \ frac {3} {4} = \ frac {1} {4} \)
27. \ (- \ frac {9} {5} x = \ frac {1} {2} \)
28.\ (\ frac {7} {3} x = — \ frac {7} {2} \)
29. \ (\ frac {3} {8} x = \ frac {8} {7} \)
30. \ (- \ frac {1} {9} x = — \ frac {3} {5} \)
31. \ (\ frac {2} {5} x = — \ frac {1} {6} \)
32. \ (\ frac {1} {6} x = \ frac {2} {9} \)
33. \ (- \ frac {3} {2} x = \ frac {8} {7} \)
34. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {7} {5} \)
35. \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {9} \)
36. \ (x — \ frac {1} {9} = — \ frac {3} {2} \)
37. \ (x — \ frac {4} {7} = \ frac {7} {8} \)
38.\ (x + \ frac {4} {9} = — \ frac {3} {4} \)
39. \ (x + \ frac {8} {9} = \ frac {2} {3} \)
40. \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {4} \)
41. \ (x + \ frac {5} {2} = — \ frac {9} {8} \)
42. \ (x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {3} \)
43. \ (- \ frac {8} {5} x = \ frac {7} {9} \)
44. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {5} {9} \)
45. \ (x — \ frac {1} {4} = — \ frac {1} {8} \)
46. \ (x — \ frac {9} {2} = — \ frac {7} {2} \)
47. \ (- \ frac {1} {4} x = \ frac {1} {2} \)
48.\ (- \ frac {8} {9} x = — \ frac {8} {3} \)
В упражнениях 49–72 решите уравнение и упростите свой ответ.
49. \ (- \ frac {7} {3} x — \ frac {2} {3} = \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {3} \)
50. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} x + \ frac {3} {4} \)
51. \ (- \ frac {7} {2} x — \ frac {5} {4} = \ frac {4} {5} \)
52. \ (- \ frac {7} {6} x + \ frac {5} {6} = — \ frac {8} {9} \)
53. \ (- \ frac {9} {7} x + \ frac {9} {2} = — \ frac {5} {2} \)
54.\ (\ frac {5} {9} x — \ frac {7} {2} = \ frac {1} {4} \)
55. \ (\ frac {1} {4} x — \ frac {4} {3} = — \ frac {2} {3} \)
56. \ (\ frac {8} {7} x + \ frac {3} {7} = \ frac {5} {3} \)
57. \ (\ frac {5} {3} x + \ frac {3} {2} = — \ frac {1} {4} \)
58. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {8} {3} = — \ frac {2} {5} \)
59. \ (- \ frac {1} {3} x + \ frac {4} {5} = — \ frac {9} {5} x — \ frac {5} {6} \)
60. \ (- \ frac {2} {9} x — \ frac {3} {5} = \ frac {4} {5} x — \ frac {3} {2} \)
61. \ (- \ frac {4} {9} x — \ frac {8} {9} = \ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} \)
62.\ (- \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {3} = \ frac {8} {7} x + \ frac {7} {3} \)
63. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {8} = — \ frac {1} {8} x + \ frac {5} {7} \)
64. \ (- \ frac {3} {2} x + \ frac {8} {3} = \ frac {7} {9} x — \ frac {1} {2} \)
65. \ (- \ frac {3} {7} x — \ frac {1} {3} = — \ frac {1} {9} \)
66. \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {2} {9} = — \ frac {9} {5} \)
67. \ (- \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {7} = \ frac {8} {7} x — \ frac {1} {3} \)
68. \ (\ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} = — \ frac {5} {2} x — \ frac {1} {4} \)
69.\ (- \ frac {3} {4} x — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} x — \ frac {1} {2} \)
70. \ (\ frac {1} {3} x — \ frac {5} {7} = \ frac {3} {2} x + \ frac {4} {3} \)
71. \ (- \ frac {5} {2} x + \ frac {9} {5} = \ frac {5} {8} \)
72. \ (\ frac {9} {4} x + \ frac {4} {3} = — \ frac {1} {6} \)
73. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 302 человека. Если это 2/9 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.
74.На местном баскетбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 5 394 человека. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость баскетбольного стадиона.
75. Площадь треугольника составляет 51 квадратный дюйм. Если длина основания составляет \ (8 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.
76. Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.
77. Площадь треугольника составляет 18 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (4 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.
78. Площадь треугольника составляет 44 квадратных дюйма. Если длина основания составляет \ (5 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.
79. На местном хоккейном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 536 человек. Если это 2/11 вместимости, найдите полную вместимость хоккейного стадиона.