Вычитание и сложение корней: Сложение и вычитание квадратных корней: определение, примеры, правила

Содержание

Сложение ⚠️ корней, вычитание корней с одинаковыми и разными показателями

Определение

Действие сложения и вычитания квадратных корней возможно лишь при условии одинаковости подкоренных выражений слагаемых.

Сложение корней, формулы

Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:

$m\sqrt a+n\sqrt a=\left(m+n\right)\sqrt a$

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:

Раскладывание подкоренного числа на два множителя так, чтобы один из них являлся числом, из которого извлекается целый квадратный корень.

Извлечение корня из квадратного числа, запись ответа перед символом корня. Второй множитель остается под знаком корня.
Упрощенные корни с одинаковым основанием можно складывать как подобные.

Пример

$3\sqrt{50}+2\sqrt8+\sqrt{12}$

$3\sqrt{50}=3\sqrt{25\times2}=3\times5\sqrt2=15\sqrt2$

$2\sqrt8=2\sqrt{4\times2}=2\times2\sqrt2=4\sqrt2$

$\sqrt{12}\;=\sqrt{4\times3}=2\times1\sqrt2=2\sqrt2$

После упрощения исходное выражение приобретает вид:

$15\sqrt2+4\sqrt2+2\sqrt2=21\sqrt2$

Примечание

Подкоренные выражения между собой не суммируются и не вычитаются. При этом выражения под одним корнем складываются и вычитаются как обычные числа.

Вычитание корней, формулы

При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:

$m\sqrt a-n\sqrt a=\left(m-n\right)\sqrt a$

Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу.2}=\left|а-2\right|+\left|а-4\right|\)

Раскроем модули в промежутке $2\leq а\leq4$:

$\vert а-2\vert=а-2,\;т.к.\;а-2\geq0$

$\vert а-4\vert=4-а,\;т.к.\;а-4\leq0$

Следовательно, $\vert а-2\vert+\vert а-4\vert=а-2+4-а=2$

Ответ: 2.

Как складывать квадратные корни

Квадратным корнем из числа X называется число A, которое в процессе умножения самого на себя (A * A) может дать число X.
Т.е. A * A = A² = X, и √X = A.

).
А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9. Первое число 4 является квадратом числа 2. Второе число 9 является квадратом числа 3. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение

√24 + √54.

Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3,
54 = 2 * 3 * 3 * 3.

В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9.

Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6.

Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b).
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».
Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b.

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a — √b) = a – b.

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b, числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b.

Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).

Пример сложного сокращения знаменателя

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5).
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5.

Получаем:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5.

В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Обратите внимание: ни при каких условиях не следует производить сложение квадратных корней, как простых чисел, это совершенно недопустимо. То есть, если сложить квадратный корень из пяти и из трёх, у нас не может получиться квадратный корень из восьми.

Полезный совет: если вы решили разложить число на множители, для того, чтобы вывести квадрат из-под знака корня, вам необходимо сделать обратную проверку, то есть перемножить все множители, которые получились в результате вычислений, и в конечном результате этого математического расчёта должно получиться число, которое нам было задано первоначально.

Сложение и вычитание квадратных корней примеры. Как складывать квадратные корни

Содержимое:

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 — 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.

3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа! ). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
- 30√2 — 4√2 + 10√3 =
- (30 — 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3

Часть 2 Практикуемся на примерах

1 Пример 1: √(45) + 4√5.
- Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
- Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
- Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
2
Пример 2: 6√(40) — 3√(10) + √5.
- Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
- Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
- Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3 Пример 3. 9√5 -2√3 — 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 — 2√3.
4 Пример 4. √9 + √4 — 3√2.
- √9 = √(3 х 3) = 3.
- √4 = √(2 х 2) = 2.
- Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
- Окончательный ответ: 5 — 3√2.
5 Пример 5. Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
- Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
- Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
- Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2 .
- Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.2 = x, √x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания.

Инструкция

Во-первых, при сложении квадратных корней попробуйте извлечь эти корни. Это будет возможно, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Например, пусть задано выражение √4 + √9. Первое число 4 – это квадрат числа 2. Второе число 9 – это квадрат числа 3. Таким образом получается, что: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Если под знаком корня нет полных квадратов, то попробуйте вынести из под знака корня множитель числа. Например, пусть дано выражение √24 + √54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 имеется множитель 4, который можно вынести из под знака квадратного корня. В числе 54 — множитель 9. Таким образом, получается что: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. В данном примере в результате выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.
Пусть сумма двух квадратных корней является знаменателем дроби, например, A / (√a + √b). И пусть перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда можно воспользоваться следующим способом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b. Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (√a + √b) * (√a — √b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: √a — √b, то числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на выражение √a + √b. Для примера, пусть дана дробь 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).
Рассмотрите более сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пусть дана дробь 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение √2 + √3 — √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 — √5)) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 — √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
И наконец, если вам необходимо только приблизительное значение, то можно посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для каждого числа и запишите с необходимой точностью (например, два знака после запятой). А затем совершите требуемые арифметические операции, как с обычными числами. Например, пусть необходимо узнать приблизительное значение выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Свойства квадратных корней

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение , деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)n и т. д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе.

Доказательство. Введем следующие обозначения:https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg» alt=»Равенство»Задание»> Имеются только свойства, касающиеся умножения и деления квадратных корней. Будьте внимательны и осторожны, не принимайте желаемое за действительное.

Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в то же время важное свойство:
если a > 0 и n — натуральное число , то

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

До сих пор мы с вами выполняли преобразования толькорациональных выражений , используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т. д. В этой главе мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили, что

где, напомним, a, b — неотрицательные числа.

Используя эти формулы , можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причем во всех примерах будем предполагать, что переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример 3. Внести множитель под знак квадратного корня:

Пример 6 . Упростить выражение Решение. Выполним последовательные преобразования:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Что сумма корней. Действие с корнями: сложение и вычитание

Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.

Что такое математический корень?

Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.

Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.

Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.

Какие действия с ними можно выполнять?

По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.

И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16 .

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.

Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 — 6√18;

б) √75 — √147 + √48 — 1/5 √300;

в) √275 — 10√11 + 2√99 + √396.

а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.

Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) — 6 √(2 * 9).

Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 — 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

После упрощения получается ответ: 5√5 — 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 — √3).

в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:

5√11 — 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:

3/2 √5 — 2√5 — 5/ 3 √(½) — 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 — 2 — 7/6) √5 — (5/3 — 7) √(½) = — 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.

Квадратным корнем из числа X называется число A , которое в процессе умножения самого на себя (A * A ) может дать число X .
Т.е. A * A = A 2 = X , и √X = A .

Над квадратными корнями (√x ), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x — √y ).
А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9 . Первое число 4 является квадратом числа 2 . Второе число 9 является квадратом числа 3 . Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54 .

Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числе 24 мы имеем множитель 4 , его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9 .

Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней — это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b) .
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».
Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b .

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a — √b) = a — b .

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b , числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b .

Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример сложного сокращения знаменателя

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5 .

Получаем:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5 .

В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень.2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
$\bullet$ Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, $\sqrt{25}+\sqrt{49}$ , то первоначально вы должны найти значения $\sqrt{25}$ и $\sqrt{49}$ , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения $\sqrt a$ или $\sqrt b$ при сложении $\sqrt a+\sqrt b$ найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме $\sqrt 2+ \sqrt {49}$ мы можем найти $\sqrt{49}$ – это $7$ , а вот $\sqrt 2$ никак преобразовать нельзя, поэтому $\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7$ . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя $\bullet$ Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: $\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$ ; $\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16$ ; $\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40$ . $\bullet$ Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем $\sqrt{44100}$ . Так как $44100:100=441$ , то $44100=100\cdot 441$ . По признаку делимости число $441$ делится на $9$ (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, $441:9=49$ , то есть $441=9\cdot 49$ .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
$\bullet$ Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения $5\sqrt2$ (сокращенная запись от выражения $5\cdot \sqrt2$ ). Так как $5=\sqrt{25}$ , то \ Заметим также, что, например,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .2\) , поэтому $\sqrt{16}=4$ . А вот извлечь корень из числа $3$ , то есть найти $\sqrt3$ , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст $3$ .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}$ и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) и т.д.
$\bullet$ Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой $\mathbb{R}$ .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
$\bullet$ Модуль вещественного числа $a$ – это неотрицательное число $|a|$ , равное расстоянию от точки $a$ до $0$ на вещественной прямой.2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и $\sqrt 2-1Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3 \(\bullet$ Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! $\bullet$ Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа.2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, $\sqrt{28224}=168$ . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Содержимое:

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 — 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа! ). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
- 30√2 — 4√2 + 10√3 =
- (30 — 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3

Часть 2 Практикуемся на примерах

1 Пример 1: √(45) + 4√5.
- Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
- Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
- Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
2 Пример 2: 6√(40) — 3√(10) + √5.
- Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
- Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
- Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3 Пример 3. 9√5 -2√3 — 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 — 2√3.
4 Пример 4. √9 + √4 — 3√2.
- √9 = √(3 х 3) = 3.
- √4 = √(2 х 2) = 2.
- Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
- Окончательный ответ: 5 — 3√2.
5 Пример 5. Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
- Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
- Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
- Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2 .
- Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

Можно ли отнимать корни. Как складывать и вычитать квадратные корни

В наше время современных электронных вычислительных машин вычисление корня из числа не представляется сложной задачей. Например, √2704=52, это вам подсчитает любой калькулятор. К счастью, калькулятор есть не только в Windows, но и в обычном, даже самом простеньком, телефоне. Правда если вдруг (с малой долей вероятности, вычисление которой, между прочим, включает в себя сложение корней) вы окажитесь без доступных средств, то, увы, придется рассчитывать только на свои мозги.

Тренировка ума никогда не помещает. Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями. Сложение и вычитание корней — хорошая разминка для скучающего ума. А еще я покажу поэтапно сложение корней. Примеры выражений могут быть следующие.

Уравнение, которое нужно упростить:

√2+3√48-4×√27+√128

Это иррациональное выражение. Для того чтобы его упростить нужно привести все подкоренные выражения к общему виду. Делаем поэтапно:

Первое число упростить уже нельзя. Переходим ко второму слагаемому.

3√48 раскладываем 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. из 24 не является целочисленным, т.е. имеет дробный остаток. Так как нам нужно точное значение, то приблизительные корни нам не подходят. Квадратный корень из 16 равен 4, выноси его из-под Получаем: 3×4×√3=12×√3

Следующее выражение у нас является отрицательным, т.е. написано со знаком минус -4×√(27.) Раскладываем 27 на множители. Получаем 27=3×9. Мы не используем дробные множители, потому что из дробей вычислять квадратный корень сложнее. Выносим 9 из-под знака, т.е. вычисляем квадратный корень. Получаем следующее выражение: -4×3×√3 = -12×√3

Следующее слагаемое √128 вычисляем часть, которую можно вынести из-под корня.2×2)

Переписываем выражение с упрощенными слагаемыми:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Теперь складываем числа одним и тем же подкоренным выражением. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

Ответ получаем следующий:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 — надеюсь, то, что в алгебре принято опускать подобные элементы, не станет для вас новостью.

Выражения могут быть представлены не только квадратным корнем, но так же и с кубическим или корнем n-ной степени.

Сложение и вычитание корней с разными показателями степени, но с равнозначным подкоренным выражением, происходит следующим образом:

Если мы имеем выражение вида √a+∛b+∜b, то мы можем упростить это выражение так:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Мы привели два подобных члена к общему показателю корня. Здесь использовалось свойство корней, которое гласит: если число степени подкоренного выражения и число показателя корня умножить на одно и то же число, то его вычисление останется неизменным.

На заметку: показатели степени складываются только при умножении.

Рассмотрим пример, когда в выражении присутствуют дроби.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Будем решать по этапам:

5√8=5*2√2 — мы выносим из-под корня извлекаемую часть.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= — 4 *1/2= — 2

Если в тело корня представлено дробью, то часто этой дроби не измениться, если извлечь квадратный корень из делимого и делителя. В итоге мы получили описанное выше равенство.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Вот и получился ответ.

Главное помнить, что из отрицательных чисел не извлекается корень с четным показателем степени. Если четной степени подкоренное выражение является отрицательным, то выражение является нерешаемым.

Сложение корней возможно только при совпадении подкоренных выражений, так как они являются подобными слагаемыми. То же самое относиться и к разности.

Сложение корней с разными числовыми показателями степени производиться посредством приведения к общей корневой степени обоих слагаемых. Это закон действует так же как приведение к общему знаменателю при сложении или вычитании дробей.

Если в подкоренном выражении имеется число, возведенное в степень, то это выражение можно упростить при условии, что между показателем корня и степени существует общий знаменатель.

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Шаги

Часть 1 из 2: Определение корней

Обозначение корней. Выражение под знаком корня () означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.

Корень обозначают знаком.
Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.

Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b 4ab, вы не можете складывать разные корни.

Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, (2) + (3) (5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, (2 + 3) = (5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).

Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, (64) + (64) (эта сумма не равна (64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297).

Часть 2 из 2: Упрощение и сложение корней

Определите и сгруппируйте подобные корни. Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.

В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3)+ 6 (3) + 3 (3)

Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Окончательное упрощенное выражение: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из…

Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x. Множителем называется умножаемое число. То есть, в выражении вида x*&ordf-&radic-y нужно внести x под корень. Инструкция 1Определите степень…

Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение…

Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала…

Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …

Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Инструкция 1Корень n-ной степени из числа a — это такое число, что…

При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно…

Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют…

Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением.n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени — только для положительных.…

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9 . Первое число 4 является квадратом числа 2 . Второе число 9 является квадратом числа 3 . Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числе 24 мы имеем множитель 4 , его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9 .

Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a — √b) = a — b .

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b , числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b .

Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример сложного сокращения знаменателя

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5 .

Получаем:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5 .

В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Определение 1

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Пример 1

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

Пример 2

6 50 — 2 8 + 5 12

Алгоритм действия:

Упростить подкоренное выражение . Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Совет 1

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Пример 3

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

Пример 4

Упрощаем (45) . Раскладываем 45 на множители: (45) = (9 × 5) ;
Выносим 3 из-под корня (9 = 3) : 45 = 3 5 ;
Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Пример 5

6 40 — 3 10 + 5:

Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
Выносим 2 из-под корня (4 = 2) : 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 — 3 10 + 5 ;
Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: (12 — 3) 10 = 9 10 + 5 .

Пример 6

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Советы:

Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + (2 x) 1 / 2 .
При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Свойства квадратных корней

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

где, напомним, a, b — неотрицательные числа.

Пример 3. Внести множитель под знак квадратного корня:

Пример 6 . Упростить выражение Решение. Выполним последовательные преобразования:

Сложение корней с числами. Как вынести множитель из-под корня? Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными

Что такое математический корень?

Какие действия с ними можно выполнять?

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16 .

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 — 6√18;

б) √75 — √147 + √48 — 1/5 √300;

в) √275 — 10√11 + 2√99 + √396.

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) — 6 √(2 * 9).

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 — 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

5√11 — 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

3/2 √5 — 2√5 — 5/ 3 √(½) — 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 — 2 — 7/6) √5 — (5/3 — 7) √(½) = — 5/3 √5 + 16/3 √(½).

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Шаги

Часть 1 из 2: Определение корней

Корень обозначают знаком.
Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.

Часть 2 из 2: Упрощение и сложение корней

Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Окончательное упрощенное выражение: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня.2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …

Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате — это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате — это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

Поможет также таблица квадратных корней:

Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.

Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа quot;aquot;, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.

Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:

Вот видео по теме:

Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

Самым популярным способом — является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

Или при помощи специальной формулы.

Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них — самый быстрый, с помощью калькулятора.

Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

Результат получится точным.

Принцип практически такой же как деление столбиком:

Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.

Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

Для этого нужна таблица квадратов

Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
Запишите это как: 400 = (25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.
Рассмотрим другой пример: 88.
= (2 х 4 х 11)
= (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.

Факт 1.
$\bullet$ Возьмем некоторое неотрицательное число $a$ (то есть $a\geqslant 0$ ).2=400\\ \hline \end{array}\]

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

В математике любое действие имеет свою пару-противоположность – в сущности, это представляет собою одно из проявлений гегелевского закона диалектики: «единство и борьба противоположностей». Одно из действий в такой «паре» направлено на увеличение числа, а другое, обратное ему – на уменьшение. Например, действие, противоположное сложению – это вычитание, умножению соответствует деление. Имеется и своя диалектическая пара-противоположность и у возведения в степень. Речь идет об извлечении корня.

Извлечь из числа корень такой-то степени – это значит вычислить, какое число необходимо возвести в соответствующую степень, чтобы в итоге получилось данное число. Две степени имеют свои отдельные названия: вторая степень называется «квадратом», а третья – «кубом». Соответствено, корни данных степеней приятно именовать квадратным корнем и кубическим. Действия с кубическими корнями – тема для отдельного разговора, а сейчас поговорим о сложении квадратных корней.

Начнем с того, что в ряде случаев квадратные корни проще сначала извлечь, а потом уже складывать результаты. Предположим, нам необходимо найти значение такого выражения:

Ведь совсем не сложно вычислить, что корень квадратный из 16 равен 4, а из 121 – 11. Следовательно,

√16+√121=4+11=15

Впрочем, это самый простой случай – здесь речь идет о полных квадратах, т.е. о таких числах, которые получаются при возведении в квадрат целых чисел. Но так бывает не всегда. Например, число 24 – это не полный квадрат (не найти такого целого числа, которое при возведении его во вторую степень дало бы в результате 24). То же самое относится к такому числу, как 54… Что делать, если нам необходимо сложить корни квадратные из этих чисел?

В таком случае мы получим в ответе не число, а другое выражение. Максимум, что мы можем тут сделать – это максимально упростить исходное выражение. Для этого придется вынести множители из-под корня квадратного. Посмотрим, как это делается, на примере упомянутым чисел:

Для начала разложим на множители 24 – таким образом, чтобы из одного из них легко можно было извлечь корень квадратный (т.е., чтобы он был полным квадратом). Такое числи есть – это 4:

Теперь проделаем то же самое с 54. В его составе таким числом будет 9:

Т.о., у нас получается следующее:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Теперь извлечем корни из того, из чего можем их извлечь: 2*√6+3*√6

Здесь есть общий множитель, который мы можем вынести за скобки:

(2+3)* √6=5*√6

Это и будет результатом сложения – больше ничего тут извлечь нельзя.

Правда, можно прибегнуть к помощи калькулятора – правда, результат будет приблизительным и с огромным количеством знаков после запятой:

√6=2,449489742783178

Постепенно округляя его, мы получим приблизительно 2,5. Если нам все-таки хотелось бы довести до логического завершения решение предыдущего примера, мы можем умножить этот результат на 5 – и получится у нас 12,5. Более точного результата при таких исходных данных получить нельзя.

Вычитание числа из корня

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Действия с корнями: основы

6 50 – 2 8 + 5 12

Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 – 4 2 + 10 3

30 2 – 4 2 + 10 3 = ( 30 – 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 – 3 10 + 5 ;
Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 – 3 ) 10 = 9 10 + 5 .

( 9 – 4 ) 5 – 2 3 = 5 5 – 2 3 .

Советы:

Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
выполнить математическое действие с дробными степенями.

Число знаков после запятой:

√

Что такое квадратный корень

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

8, 25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

между 2 и 4.

Оцениваем значениеВероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Сложение и вычитание радикалов (квадратные корни)

Purplemath

Так же, как и «обычные» числа, квадратные корни можно складывать. Но возможно, вам не удастся упростить сложение до одного числа. Как «нельзя добавлять яблоки и апельсины», так и нельзя комбинировать «непохожие» радикальные термины. Чтобы можно было объединить радикальные термины вместе, эти термины должны иметь одну и ту же радикальную часть.

Упростить:

Поскольку радикал в каждом члене один и тот же (является квадратным корнем из трех), то это «одинаковые» термины. Это означает, что я могу комбинировать термины.

MathHelp.com

У меня есть два радикальных экземпляра, добавлены еще три экземпляра. Всего получается пять копий:

Этот средний шаг в круглых скобках показывает рассуждение, которое оправдывает окончательный ответ.Возможно, вам никогда не понадобится «показывать» этот шаг, но это то, о чем вы должны подумать.

Упростить:

Коренная часть одинакова во всех терминах, поэтому я могу добавить это дополнение. Чтобы помочь мне понять, что первый термин означает «одну копию квадратного корня из трех», я вставлю «понял» «1»:

Не думайте, что выражения с непохожими радикалами нельзя упростить.Возможно, что после упрощения радикалов выражение действительно может быть упрощено.

Упростить:

Чтобы упростить радикальное сложение, я должен сначала посмотреть, могу ли я упростить каждый радикальный термин. В данном конкретном случае квадратные корни упрощаются «полностью» (то есть до целых чисел):

Упростить:

У меня есть три копии радикала плюс еще две копии, что дает мне… Погодите! Я могу упростить эти радикалы до целых чисел:

Не волнуйтесь, если вы не сразу увидите упрощение.Если бы я не заметил до конца, что радикальное упрощение, мои шаги были бы другими, но мой окончательный ответ был бы таким же:

Упростить:

Могу объединить только радикалы «лайки». Первый и последний члены содержат квадратный корень из трех, поэтому их можно комбинировать; средний член содержит квадратный корень из пяти, поэтому его нельзя комбинировать с другими.Итак, в этом случае я получу два термина в своем ответе.

Я начну с перестановки терминов, чтобы соединить «похожие» термины вместе, и вставив «понятый» 1 во второй член квадратного корня из трех:

Насколько мне известно, нет предпочтительного упорядочивания терминов в такого рода выражениях, поэтому выражение

также должно быть приемлемым ответом.

Упростить:

На мой взгляд, это «непохожие» термины, и я не могу их объединить.Но число 8 в радикале первого члена множится как 2 × 2 × 2. Это означает, что я могу вытащить 2 из радикала. В этот момент у меня будут термины «нравится», которые я могу комбинировать.

Упростить:

Я могу упростить большинство радикалов, и это позволит хотя бы немного упростить:

Упростить:

В этих двух терминах есть «непохожие» радикальные части, и я не могу извлечь ничего из любого из радикалов.Тогда я не могу дальше упрощать выражение

, и мой ответ должен быть таким:

(выражение уже полностью упрощено)

Развернуть:

Чтобы расширить это выражение (то есть умножить его, а затем упростить), мне сначала нужно взять квадратный корень из двух через круглые скобки:

Как видите, упрощение включало превращение продукта радикалов в один радикал, содержащий значение продукта (2 × 3 = 6).Вы должны ожидать, что вам придется манипулировать радикальными продуктами в обоих «направлениях».

Развернуть:

Как и в предыдущем примере, мне нужно умножить через круглые скобки.

Развернуть:

Наверное, проще будет это умножение «по вертикали».

Упрощение дает мне:

Выполняя вертикальное умножение, я мог лучше отслеживать свои шаги. Вы должны использовать тот метод умножения, который вам больше подходит. Но знайте, что вертикальное умножение — это не временная уловка для начинающих студентов; Я до сих пор использую эту технику, потому что обнаружил, что при этом я постоянно быстрее и точнее.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении радикалов. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https: // www.purplemath.com/modules/radicals3.htm

Сложение и вычитание квадратного корня

Мы можем складывать или вычитать радикальные выражения, только если они имеют одно и то же подкоренное выражение и когда они имеют один и тот же радикальный тип, например квадратные корни. Например, сумма [latex] \ sqrt {2} [/ latex] и [latex] 3 \ sqrt {2} [/ latex] равна [latex] 4 \ sqrt {2} [/ latex]. Однако часто можно упростить радикальные выражения, и это может изменить подкоренное выражение.Радикальное выражение [latex] \ sqrt {18} [/ latex] может быть записано с помощью [latex] 2 [/ latex] в подкоренной строке, как [latex] 3 \ sqrt {2} [/ latex], поэтому [latex ] \ sqrt {2} + \ sqrt {18} = \ sqrt {2} +3 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} [/ latex].

Практическое руководство. Решите радикальное выражение, требующее сложения или вычитания квадратных корней.

Упростите каждое радикальное выражение.
Сложить или вычесть выражения с одинаковыми подкоренными выражениями.

Пример 6: Добавление квадратного корня

Добавьте [латекс] 5 \ sqrt {12} +2 \ sqrt {3} \\ [/ latex].

Решение

Мы можем переписать [latex] 5 \ sqrt {12} [/ latex] как [latex] 5 \ sqrt {4 \ cdot 3} [/ latex]. Согласно правилу продукта это становится [латекс] 5 \ sqrt {4} \ sqrt {3} [/ latex]. Квадратный корень из [latex] \ sqrt {4} [/ latex] равен 2, поэтому выражение становится [latex] 5 \ left (2 \ right) \ sqrt {3} [/ latex], то есть [latex] 10 \ sqrt {3} [/ латекс]. Теперь у терминов может быть одно и то же подкоренное выражение, поэтому мы можем добавить.

[латекс] 10 \ sqrt {3} +2 \ sqrt {3} = 12 \ sqrt {3} [/ латекс]

Попробуй 6

Добавьте [латекс] \ sqrt {5} +6 \ sqrt {20} [/ latex].{2} \ sqrt {2ac} \ text {} [/ latex]

Попробуй 7

Вычтите [латекс] 3 \ sqrt {80x} -4 \ sqrt {45x} [/ latex].

Решение

Сложение и вычитание квадратного корня — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Сложить и вычесть как квадратные корни
Сложить и вычесть квадратные корни, требующие упрощения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Добавь: ⓐ ⓑ.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Мы знаем, что для упрощения выражений с квадратными корнями необходимо соблюдать порядок операций. Радикал — это групповой символ, поэтому сначала мы работаем внутри радикала. Упрощаем таким образом:

Итак, если нам нужно складывать, мы не должны объединять их в один радикал.

Попытка сложить квадратные корни с разными подкоренными выражениями похожа на попытку сложить непохожие термины.

Сложение квадратных корней с одним и тем же корневым выражением аналогично сложению одинаковых членов. Мы называем квадратные корни с одним корнем корня квадратными корнями, чтобы напомнить нам, что они работают так же, как и подобные термины.

Как квадратные корни

Квадратные корни с одной и той же подкоренной частью называются квадратными корнями.

Мы складываем и вычитаем как квадратные корни так же, как складываем и вычитаем как члены. Мы это знаем. Аналогично складываем и получаем

Сложение и вычитание, как квадратные корни

Подумайте о добавлении одинаковых терминов с переменными, как в следующих нескольких примерах.Когда у вас есть подкоренные выражения, вы просто добавляете или вычитаете коэффициенты. Когда подкоренные выражения не похожи, вы не можете комбинировать термины.

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Когда радикалы содержат более одной переменной, при условии, что все переменные и их показатели идентичны, радикалы подобны.

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Сложение и вычитание квадратного корня, требующего упрощения

Помните, что мы всегда упрощаем квадратные корни, удаляя наибольший коэффициент полного квадрата.Иногда, когда нам нужно сложить или вычесть квадратные корни, которые не имеют одинаковых радикалов, мы находим похожие радикалы после упрощения квадратных корней.

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Точно так же, как мы используем ассоциативное свойство умножения для упрощения и получения, мы можем упрощать и получать.Для этого мы воспользуемся ассоциативным свойством в следующем примере.

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

В следующем примере мы удалим постоянные и переменные множители из квадратных корней.

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Решение

Упростить:.

Ключевые понятия

Чтобы сложить или вычесть квадратные корни, сложите или вычтите коэффициенты и сохраните такой же квадратный корень.
Иногда, когда нам нужно сложить или вычесть квадратные корни, которые не имеют одинаковых радикалов, мы находим похожие радикалы после упрощения квадратных корней.

Практика ведет к совершенству

Сложить и вычесть как квадратные корни

Упростите следующие упражнения.

Сложить и вычесть квадратные корни, требующие упрощения

Упростите следующие упражнения.

Смешанная практика

Повседневная математика

Декоратор решает использовать квадратную плитку в качестве акцентной полосы в дизайне новой душевой кабины, но она хочет повернуть плитки, чтобы они выглядели как ромбы.Она будет использовать 9 больших плиток со стороной 8 дюймов и 8 маленьких плиток со стороной 2 дюйма. . Определите ширину акцентной полосы, упростив выражение. (Округлите до ближайшей десятой доли дюйма.)

Сюзи хочет использовать квадратные плитки на границе спа, которое она устанавливает на заднем дворе. Она будет использовать большие плитки с площадью 12 квадратных дюймов, средние плитки с площадью 8 квадратных дюймов и маленькие плитки с площадью 4 квадратных дюйма.После того, как участок границы потребует 4 больших плитки, 8 средних плиток и 10 маленьких плиток, чтобы покрыть ширину стены. Упростите выражение, чтобы определить ширину стены.

Письменные упражнения

Объясните разницу между одинаковыми радикалами и непохожими радикалами. Убедитесь, что ваш ответ имеет смысл для радикалов, содержащих как числа, так и переменные.

Объясните процесс определения того, похожи ли два радикала или нет. Убедитесь, что ваш ответ имеет смысл для радикалов, содержащих как числа, так и переменные.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

как квадратные корни: Квадратные корни с той же подкоренной частью называются квадратными корнями.

Операции с квадратным корнем

Операции с квадратными корнями

Вы можете выполнять ряд различных операций с квадратными корнями.Некоторые из этих операций включают один радикальный знак, в то время как другие могут включать множество радикальных знаков. Следует внимательно изучить правила, регулирующие эти операции.

Под одинарным знаком корня

Операции можно выполнять под одинарным знаком корня .

Пример 1

Выполните указанную операцию.

Когда радикальные значения совпадают

Вы можете складывать или вычитать сами квадратные корни, только если значения под знаком корня равны. Затем просто сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число в знаке корня.

Пример 2

Выполните указанную операцию.

Обратите внимание, что коэффициент 1 понимается в.

При других значениях корня

Вы не можете складывать или вычитать разные квадратные корни.

Пример 3

Сложение и вычитание квадратных корней после упрощения

Иногда после упрощения квадратного корня (ов) становится возможным сложение или вычитание.По возможности всегда упрощайте.

Пример 4

Упростить и добавить.

Не могут быть добавлены, пока не будет упрощено.
Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,
Попытайтесь упростить каждое из них.
Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,

Продукты неотрицательных корней

Помните, что при умножении корней знак умножения можно опустить.По возможности всегда упрощайте ответ.

Пример 5

Умножить.

Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,

Коэффициенты неотрицательных корней

Для всех положительных чисел

В следующих примерах предполагается, что все переменные положительны.

Пример 6

Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

Обратите внимание, что знаменатель этой дроби в части (d) является иррациональным. Чтобы рационализировать знаменатель этой дроби, умножьте его на 1 в виде

Пример 7

Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

Первое упрощение:
или

Примечание: Чтобы оставить рациональный член в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель на , сопряженное с знаменателя. Сопряжение двучлена содержит те же члены, но с противоположным знаком. Таким образом, ( x + y ) и ( x — y ) являются конъюгатами.

Пример 8

Разделить. Оставьте дробь с рациональным знаменателем.

Вычитание квадратного корня — стенограмма видео и урока

Вычитание с подобными подкоренными элементами

Квадратный корень состоит из трех частей:

Дробный индекс
Радикальный или квадратный корень
Родиканд, или число под радикальным символом

Для квадратных корней стандартная практика подразумевает, но не показывает индекс.

Чтобы вычесть квадратные корни, мы должны обращать внимание на их подкоренные выражения. Если подкоренные выражения совпадают, мы можем вычесть квадратные корни, комбинируя термины.

Здесь наш ответ представлен в виде числа, умноженного на квадратный корень. Это простейшая форма, которую может принять задача вычитания выборки, если мы ищем точный ответ.

Вычитание с использованием подкоренных выражений, отличных от подкоренных

Когда квадратные корни имеют отличные от подкоренных выражений, первым шагом является проверка возможности разложения на множители подкоренных выражений.

При этом следите за идеальными квадратами. Полный квадрат — это любое число, полученное в результате умножения другого числа на себя. Это означает, что мы можем упростить подкоренные выражения, извлекая квадратные корни из любого их точного квадратного множителя.

Как только квадратные корни уравнения имеют одинаковые подкоренные выражения, мы можем вычесть их таким же образом, как и в предыдущем разделе. Точный ответ для нашего уравнения уже есть в его простейшей форме.

Приближение и десятичные дроби

До сих пор мы работали только с целыми числами, набором чисел, состоящим из нуля и всех положительных целых чисел. При работе с десятичными знаками мы можем использовать калькулятор, чтобы получить приближение квадратного корня из неполных квадратных чисел.

Решение для квадратных корней позволяет использовать обычный порядок операций, как и в случае любой стандартной математической задачи.Даже решение проблемы в его простейшей форме может быть аппроксимировано десятичными знаками. Однако помните, что использование этого метода для вычитания квадратных корней всегда приводит к приближению, а не к точному ответу. Вот почему понимание правил вычитания квадратных корней, которые мы обсуждали ранее, по-прежнему важно.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Корень — это показатель степени в дробной форме. Квадратный корень состоит из трех частей:

Дробный индекс, который обычно подразумевается
Радикальный или квадратный корень
Родиканд, или число под радикальным символом

При вычитании квадратных корней с одинаковыми подкоренными элементами объедините члены.При вычитании квадратных корней с разными подкоренными выражениями посмотрите, можно ли еще больше упростить подкоренное выражение, найдя его полный квадрат или любое число, полученное в результате умножения другого числа на себя. Если результатом является уравнение с такими же подкоренными выражениями, вычтите, снова комбинируя члены. При отсутствии подобных подкоренных выражений вычитание не приведет к точному ответу. Если ответ на задачу вычитания, включающую квадратные корни, дает приблизительный, а не точный ответ, используйте калькулятор, чтобы найти приблизительное значение квадратных корней.Затем используйте обычный порядок действий для решения проблемы.

Квадраты и квадратные корни Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть радикальные выражения, упростите каждый радикальный член, а затем объедините похожие термины. Упрощенный радикальный член состоит из коэффициента и радикала, под которым стоит подкоренное выражение. Можете ли вы поверить, что теперь вы понимаете, что означают все эти сумасшедшие слова? Как будто ты умеешь говорить на секретном языке.

Пример задачи

В члене коэффициент равен 5, а подкоренное выражение — 7.

Пример задачи

В этом термине нам нужно рационализировать знаменатель, чтобы найти.

Чтобы представить это в нужной нам форме, его можно переписать как:

Таким образом, коэффициент равен 35. Мы до сих пор не избавились от дробной черты, но, по крайней мере, это не так. в сочетании с символом квадратного корня. Сочетание множества странных символов заставляет нас нервничать. Такое чувство, что они что-то замышляют.

Два радикальных члена считаются подобными терминам , если они имеют одно и то же подкоренное выражение.Это делает их «близнецами на срок». Вы сможете сказать, потому что они всегда заканчивают предложения друг друга.

Будьте осторожны: Важно упростить радикальные термины до , объединив похожие термины. Иногда два термина можно переписать как одинаковые, но мы не увидим этого, пока не упростим. Точно так же нельзя сменить одного ребенка на другого, чтобы родители не заметили этого, пока вы не убедитесь, что они близнецы. В противном случае это называется похищением.

Радикальные выражения могут содержать переменные вне или внутри подкоренных выражений.После упрощения мы можем комбинировать одинаковые термины так же, как мы это делали, когда использовались только числа. Только теперь это веселее, потому что мы можем использовать переменные!

… мы будем продолжать говорить себе это, пока это не станет правдой.

Теперь, когда мы знаем, как определить, какие термины можно комбинировать, мы объединим некоторые. Как насчет этого.

Это похоже на сложение или вычитание переменных. Таким же образом, как 3 x + 4 x = 7 x , то же самое.

Чтобы добавить или вычесть такие же радикальные члены, мы складываем или вычитаем коэффициенты.Мы ничего не делаем с подкоренными элементами, поэтому в первую очередь позаботились о том, чтобы они были такими же.

Пример задачи

Доп.

Мы сохраняем подкоренное число тем же самым и добавляем коэффициенты 3 и 8:

Пример задачи

Что?

Сначала упростите каждый радикал. Тогда мы можем переписать задачу так:

Пример задачи

Что?

Мы можем упростить первый радикальный член и переписать задачу как:

Мы не можем объединить эти термины, поскольку подкоренные выражения не совпадают, так что это наш окончательный ответ.

Мы также можем делать то же самое с выражениями, имеющими переменные. Переменные и числа имеют своего рода отношение «все, что ты можешь сделать, я могу сделать лучше» или, по крайней мере, «все, что ты можешь сделать, я могу сделать одинаково».

Сложение и вычитание квадратного корня: как вычислять дроби и квадратные корни

Область изучения математики — квадратные корни. Квадратный корень позволяет нам представлять числа до того, как они возведены в квадрат.

Вычисление квадратного корня включает сложение и вычитание.Для умножения и деления мы можем просто умножать числа в корневом символе, как они есть. С другой стороны, для сложения и вычитания действует правило: числа в радикальном символе должны быть одинаковыми, иначе вычисление не допускается.

Сложение и вычитание также требуют разложения на простые множители и рационализации знаменателя. При вычислении квадратного корня сложение и вычитание сложнее, чем умножение.

Итак, мы объясним, как складывать и вычитать квадратные корни.

Как сложить и вычесть квадратный корень

При умножении и делении квадратного корня мы можем умножать квадратные корни друг на друга. Просто умножьте числа в корневом символе, хотя есть предостережения.

С другой стороны, как мы должны думать о сложении и вычитании? Когда дело доходит до сложения и вычитания, вы не должны складывать или вычитать между знаком корня с разными числами. Например, неверно следующее.

Метод вычисления отличается от умножения и деления.2} = 5 $. Однако фактический ответ должен быть 7. Это означает, что $ \ sqrt {9} + \ sqrt {16} = \ sqrt {25} = 5 $ неверно.

Поскольку квадрат числа является корнем, мы получаем следующее.

$ \ sqrt {36} = 6 $
$ \ sqrt {100} = 10 $
$ \ sqrt {2500} = 50 $
$ \ sqrt {10000} = 100 $

Таким образом, по сравнению с целыми числами числа в корневом символе могут быть довольно большими. Подумайте о целых числах (натуральных числах), а числа в радикальном символе совершенно разные. Вот почему добавление или вычитание непосредственно к числам в корневом знаке является ошибкой.

Сложение и вычитание можно выполнять, когда числа в радикальном символе совпадают

Как мы можем складывать и вычитать квадратные корни? Это работает так, что мы можем складывать и вычитать только в том случае, если числа в корневом символе совпадают. Например, это следующее.

$ 4 \ sqrt {2} — \ sqrt {2} = 3 \ sqrt {2} $

В этом случае числа в радикальном знаке являются общими для 2. Следовательно, можно складывать и вычитать целые числа перед знаком корня.

$ 4 \ sqrt {2} $ означает, что существует четыре $ \ sqrt {2} $. Итак, если мы вычтем один $ \ sqrt {2} $, у нас останется три $ \ sqrt {2} $.

Вот почему, если числа в корневом знаке совпадают, мы можем складывать и вычитать.

С другой стороны, что произойдет, если числа в корневом символе будут другими? Как мы уже объясняли, если числа в радикальном символе совпадают, мы можем складывать и вычитать. Однако, если числа в радикальном символе разные, мы не можем их складывать или вычитать.Например, делается следующий расчет.

$ 2 \ sqrt {\ textcolor {red} {2}} — \ sqrt {3} +3 \ sqrt {\ textcolor {red} {2}} = 5 \ sqrt {2} — \ sqrt {3} $

Мы не можем складывать или вычитать числа с разными свойствами. Следовательно, ответ на этот расчет: $ 5 \ sqrt {2} — \ sqrt {3} $. Чтобы различать, возможно ли сложение и вычитание, посмотрите, совпадают ли числа в корневом символе или нет.

-Метод расчета такой же, как и в алгебраическом выражении

Расчет квадратного маршрута такой же, как и в алгебраическом выражении.В алгебраических выражениях можно умножать и делить даже разные алфавиты. Однако нельзя складывать или вычитать разные буквы, как показано ниже.

Квадратные корни также можно умножать и делить, даже если числа в символе корня разные. Однако, если числа в радикальном знаке разные, мы не можем складывать или вычитать, как показано ниже.

$ 2 \ sqrt {\ textcolor {red} {2}} + \ sqrt {\ textcolor {red} {2}} — 2 \ sqrt {\ textcolor {blue} {3}} + 4 \ sqrt {\ textcolor {blue} {3}} = 3 \ sqrt {2} +2 \ sqrt {3} $

Даже если свойства разные, мы все равно можем выполнять умножение и деление.Но если они разные по свойствам, мы не можем складывать или вычитать. В математике убедитесь, что вы понимаете это правило.

Сопоставьте числа в символе корня с помощью простого факторизации

Как только вы поймете правила, которые мы обсудили, вы сможете складывать и вычитать квадратные корни. Однако перед сложением и вычитанием во многих случаях мы должны заранее выполнить разложение на простые множители. Факторизация на простые множители сделает числа в радикальном знаке более понятными.

При вычислении квадратного корня мы должны выполнить разложение на простые множители, чтобы получить $ a \ sqrt {b} $.2 × 2} $

$ = 3 \ sqrt {2} +5 \ sqrt {2} -4 \ sqrt {2} $

$ = 4 \ sqrt {2} $

Факторизация на простые множители важна в вычислениях квадратных корней, потому что это позволяет нам минимизировать число в знаке корня. В результате доступны операции сложения и вычитания.

После рационализации знаменателя, построения общего знаменателя и его вычисления

Есть еще одна важная процедура при вычислении квадратного маршрута. Это рационализация знаменателя.Если знаменатель имеет квадратные корни (иррациональные числа), его нельзя вычислить. Итак, рационализируя знаменатель, если мы изменим количество знаменателей на целые числа, мы сможем складывать и вычитать квадратные корни друг из друга, создавая общий знаменатель.

Например, как мы можем сделать следующий расчет?

$ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {3}} + \ sqrt {3} $

В математике ответ неверен, если знаменатель имеет корень. Причина этого в том, что рационализация знаменателя позволяет упростить числа.

В случае рационализации знаменателя, мы можем вычислить следующее.

$ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {3}} + \ sqrt {3} $

$ = \ displaystyle \ frac {1 \ textcolor {red} {× \ sqrt {3}}} {\ sqrt {3} \ textcolor {красный} {× \ sqrt {3}}} + \ sqrt {3} $

$ = \ displaystyle \ frac {\ sqrt {3}} {3} + \ sqrt {3} $

$ = \ displaystyle \ frac {\ sqrt {3}} {3} + \ textcolor {red} {\ displaystyle \ frac {3 \ sqrt {3}} {3}} $ (создание общего знаменателя)

$ = \ displaystyle \ frac {4 \ sqrt {3}} {3} $

Рационализация знаменателя таким образом позволяет производить сложение и вычитание по общему знаменателю.

Умножение и деление квадратного корня с использованием свойства распределения

Когда мы фактически вычисляем квадратный маршрут, мы не просто складываем и вычитаем. Во многих случаях уравнение включает умножение и деление. Следовательно, мы должны иметь возможность вычислять выражения, которые включают в себя сочетание сложения, вычитания, умножения и деления.

Как упоминалось ранее, алгебраические выражения и квадратные корни вычисляются одинаково. Важным правилом алгебраических выражений является свойство дистрибутивности.Вот и распределительное свойство.

Свойство распределения — это метод удаления скобок при умножении. Мы также должны использовать свойство распределения для вычисления квадратного корня.

Например, как мы можем вычислить следующее.

Чтобы решить эту проблему, воспользуемся распределительным свойством. Выглядит это примерно так.

После расширения уравнения продолжите вычисление, добавляя и вычитая.

Расширение уравнения с помощью формул факторинга

Однако при вычислении квадратного корня мы должны вычислить более сложное уравнение. Мы используем формулы факторинга, чтобы расширить формулу.

При раскрытии уравнения умножения двумя круглыми скобками мы используем следующую формулу.

Другие формулы факторинга также используются для более эффективных вычислений. Следующие четыре формулы необходимо помнить при математических расчетах.2 $

$ = 9 + 6 \ sqrt {5} + 5 $

$ = 14 + 6 \ sqrt {5} $

Целые числа и маршруты различаются по свойствам. Следовательно, 14 и $ 6 \ sqrt {5} $ не могут быть вычислены дальше. Итак, расчет завершен. Давайте попробуем понять природу квадратного корня, чтобы мы могли его вычислить.

Упражнения: сложение и вычитание вычисления квадратного маршрута

Q1: Выполните следующие вычисления.

$ \ sqrt {75} + \ sqrt {98} — \ sqrt {108} $
$ \ sqrt {8} — \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$ \ sqrt {6} (\ sqrt {2} — \ sqrt {3}) + 3 \ sqrt {3} $

A1: Ответы.

(a)

После разложения на простые множители давайте вычислим квадратный корень.

$ \ sqrt {75} + \ sqrt {98} — \ sqrt {108} $

$ = 5 \ sqrt {3} +7 \ sqrt {2} -6 \ sqrt {3} $

$ = 7 \ sqrt {2} — \ sqrt {3} $

(b)

После рационализации знаменателя, давайте выполним расчет квадратного маршрута.

$ \ sqrt {8} — \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$ = 2 \ sqrt {2} — \ displaystyle \ frac {1 \ textcolor {красный} {× \ sqrt {2}}} {\ sqrt {2} \ textcolor {красный} {× \ sqrt {2}}} $

$ = 2 \ sqrt {2} — \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2 } $

$ = \ displaystyle \ frac {4 \ sqrt {2}} {2} — \ displaystyle \ frac {\ sqrt {2}} {2} $

$ = \ displaystyle \ frac {3 \ sqrt { 2}} {2} $

(c)

Давайте посчитаем, используя свойство распределения.2 $ дает нам следующее.

Затем подставьте в это уравнение. Это так.

$ x (y-2x) $

$ = (2+ \ sqrt {2}) \ {4 + 2 \ sqrt {2} -2 (2+ \ sqrt {2}) \}

$ = (2+ \ sqrt {2}) (4 + 2 \ sqrt {2} -4-2 \ sqrt {2}) $

$ = (2+ \ sqrt {2}) × 0 $

$ = 0 $

Сложение и вычитание квадратного корня в математике

Когда мы изучаем основы квадратного корня, после изучения умножения и деления мы изучаем сложение и вычитание.

Сложение ⚠️ корней, вычитание корней с одинаковыми и разными показателями

Сложение корней, формулы

Вычитание корней, формулы

Как складывать квадратные корни

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Пример сложного сокращения знаменателя

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Пример вычисления приблизительного значения

Сложение и вычитание квадратных корней примеры. Как складывать квадратные корни

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

Часть 2 Практикуемся на примерах

Предупреждения

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Инструкция

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Что сумма корней. Действие с корнями: сложение и вычитание

Что такое математический корень?

Какие действия с ними можно выполнять?

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Теперь к правилам

Первое задание

Пример с дробными выражениями

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Пример сложного сокращения знаменателя

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Пример вычисления приблизительного значения

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

Часть 2 Практикуемся на примерах

Предупреждения

Можно ли отнимать корни. Как складывать и вычитать квадратные корни

Шаги

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Пример сложного сокращения знаменателя

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Пример вычисления приблизительного значения

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Действия с корнями: основы

Сложение корней с числами. Как вынести множитель из-под корня? Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными

Что такое математический корень?

Какие действия с ними можно выполнять?

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Теперь к правилам

Первое задание

Пример с дробными выражениями

Шаги

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Вычитание числа из корня

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Действия с корнями: основы

Что такое квадратный корень

Проводим расчеты вручную

Сложение и вычитание радикалов (квадратные корни)

Purplemath

Упростить:

MathHelp.com

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Развернуть:

Развернуть:

Развернуть:

Сложение и вычитание квадратного корня

Практическое руководство. Решите радикальное выражение, требующее сложения или вычитания квадратных корней.