Опубликовано Степень корня указывается над знаком корня слева. \[\sqrt[x]{a}\], в данном примере х — степень. Если запись не имеет такого обозначения, значит перед нами корень квадратный.
Умножение корней
Существует несколько вариантов умножения корней, это умножение с множителем, без множителя и с разными показателями.
Умножение без множителей
Первым делом рассмотри, как умножаются корни без множителя.
Убедившись, что корни, с которыми необходимо произвести действие имеют одинаковые степени. Например квадратный корень из числа а, можно умножать на квадратный корень из d.
Рассмотрим правило на двух примерах произведения двух квадратных и двух кубических корней.
Примеры:
\[\sqrt{2} * \sqrt{6}=\] первый пример умножение квадратных корней.
\[\sqrt[3]{3} * \sqrt[3]{18}=\] второй пример умножение кубических корне.
Решение:
Для того чтобы решить данные примеры необходимо произвести умножение под корнем.
{2} * 3}=2 \sqrt{3}\], в данном примере число 12 можно разложить на произведение чисел 4 и 3, где 4 равно двум в квадрате. Поэтому 2 выносим за приделы корня и упрощаем выражение.
\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27 * 2}=\sqrt[3]{(3 * 3 * 3) * 2}=3 \sqrt[3]{2}\] в данном случае получившееся подкоренное число 54 можно разложить на произведение двух чисел 27 и 2 , где 27 = 33, тройку выносим за корень кубический, тем самым мы упростили выражение.
Точно также производится умножение корней других степеней, при этом не важно количество умножаемых корней, правило не изменится.
Умножение корней с множителями
В данном случае мы так же рассматриваем примеры умножения корней с одинаковыми степенями. Множителем является число, стоящее перед корнем. Если при написании множитель отсутствует, то он равен единице. Умножить корень на число значит умножить число на множитель перед корнем. Для того чтобы произвести умножение с такими корнями, необходимо перемножить множители.
Пример умножения корней:
\[2 \sqrt{6} * \sqrt{6}=2 \sqrt{6 * 6}=2 \sqrt{36}=2 * 6=12\] в данном примере мы сначала произвели умножение множителей 1 и 2 , затем воспользовавшись первым правилом умножения корней, произвели умножение под знаком корня чисел 6 и 6.
Следующим шагом упрощаем выражение, корень из 36, равен целому числу 6. последним действием умножаем его на полученный множитель 2. и получаем ответ 12.
Пример 2.
\[2 \sqrt{6} * 3 \sqrt{3}=2 * 3 \sqrt{6 * 3}=6 \sqrt{18}=6 \sqrt{9 * 2}=6 * 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2}\]
В приведённом примере, мы также в начале производим умножение множителей 2 и 3, затем производим умножение подкоренных чисел 6 и 3, в результате получаем 6 корней из 18.
После производим упрощение выражения под знаком корня, для этого разложили его на множители, таким образом чтобы одно из чисел можно было вынести за пределы знака корень такими числами стали 9 и 2, в результате получилось, что вынесенное число равно трём, так как 9 = \[3^{2}\] .
Теперь умножим получившийся ранее множитель 6 на вынесенное из под корня число 3, и получим ответ 18 корней из двух.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Умножение корней с разными показателями
Теперь разберём, как умножить корни если их показатели степени разные. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное число для этих показателей. Таким числом является наименьшее число, которое можно разделить на оба эти показателя. Для того чтобы разобраться лучше в данном методе, приведём пример.
Пример:
\[\sqrt[2]{2} * \sqrt[3]{5}=\]
Сначала необходимо найти наименьшее общее кратное, наименьшим в данном случае является произведение 2*3 = 6. Значит для того чтобы произвести умножение корней необходимо привести их к показателю шестой степени.
Записываем новое полученное выражение \[\sqrt[6]{2} * \sqrt[6]{5}=\]
Теперь находим числа на которые нужно умножить показатели, чтобы найти наименьшее общее кратное
Для первого корня это деление 6\2 = 3, для второго 6\3 =2
Следующим шагом нужно возвести подкоренное число в степень, которая ровна числам найденным ранее, при нахождении НОК, то есть \[\sqrt[6]{2^{3}} * \sqrt[6]{5^{2}}=\]
Далее имея одинаковые показатели производим действия по умножению корней, так как делали это в предыдущих правилах.
2
Как умножать радикалы вместе — Криста Кинг Математика
Умножение радикалов с одинаковым корнем
При умножении двух радикалов с одинаковым типом корня (оба квадратных корня, оба кубических корня и т. д.) мы просто умножаем подкоренные (выражения под знаками радикалов) и ставим произведение под знаком корня.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Как умножать радикалы
Пройти курс
Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Нахождение произведения корней
Пример
Нахождение произведения.
???\sqrt3\sqrt2???
Когда мы видим два радикала рядом друг с другом вот так, это означает, что мы должны их перемножить.
Чтобы умножить два квадратных корня, мы просто умножаем подкоренные и ставим произведение под знаком радикала. То есть произведение двух квадратных корней равно квадратному корню из произведения подкоренных.
???\sqrt{3\cdot2}???
???\sqrt{6}???
Полезно помнить, что мы можем использовать это правило для умножения радикалов и в обратном направлении. Другими словами, если нам дано ???\sqrt{6}???, мы можем разложить ???6??? как ???3\cdot2???, затем переписать ???\sqrt6??? как ???\sqrt{3\cdot2}???, и, наконец, перепишите квадратный корень из произведения (из ???3??? и ???2???) как произведение их квадратных корней.
???\sqrt{6}???
???\sqrt{3\cdot2}???
???\sqrt3\sqrt2???
Иногда переписывание радикала как произведения радикалов может помочь нам решить проблему, над которой мы работаем, поэтому полезно помнить, что с этим правилом умножения радикалов можно действовать в обоих направлениях.
Теорема о квадратных корнях говорит нам, что если ???m??? и/или ???н??? неотрицательные действительные числа, то
???\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}??? и ???\sqrt{mn}=\sqrt{m}\sqrt{n}???
Давайте сделаем еще один пример, где мы умножаем два квадратных корня.
Чтобы умножить два квадратных корня, мы просто умножаем подкоренные и ставим произведение под знаком радикала.
Пример
Найдите продукт.
???\sqrt5\sqrt5???
Давайте повторим те же шаги, что и раньше, где мы перепишем произведение квадратных корней как квадратный корень из произведения подкоренных.
???\sqrt{5\cdot5}???
???\sqrt{25}???
Но теперь нам нужно понять, что ???\sqrt{25}??? просто ???5???, так как ???5??? умноженное само на себя равно ???25???. Итак, мы можем написать ???\sqrt{25}??? как раз ???5???.
Это подводит нас к тому, что при умножении двух одинаковых квадратных корней результат будет таким же, как подкоренное в каждом из квадратных корней.
Итак,
Точно так же, когда у нас есть произведение трех одинаковых кубических корней, мы получаем число, равное подкоренному в каждом из них. Например,
???\sqrt[3]{-21}\sqrt[3]{-21}\sqrt[3]{-21}=-21???
Также, когда у нас есть четыре одинаковых корня четвертой степени, мы получаем число, равное подкоренному в каждом из них. Например,
???\sqrt[4]{13}\sqrt[4]{13}\sqrt[4]{13}\sqrt[4]{13}=13???
И так далее для корней с более высокими номерами.
Давайте сделаем еще один пример умножения квадратных корней — на этот раз, когда один из них имеет коэффициент, отличный от ???1???.
Пример
Найдите продукт.
???(4\sqrt2)\cdot\sqrt3???
То, что у нас есть коэффициент, отличный от ???1??? ничего не меняет. Мы можем оставить коэффициент впереди и умножить только квадратные корни.
???(4\sqrt2)\cdot\sqrt3???
???4(\sqrt2\cdot\sqrt3)???
???4\sqrt{2\cdot3}???
???4\sqrt{6}???
Получить доступ к полному курсу Pre-Algebra
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, преалгебра, предварительная алгебра, радикалы, корни, сурды, умножение радикалов, умножение корней, умножение сурдов
Объяснение урока: Умножение и деление квадратных корней
В этом объяснении мы научимся умножать и делить квадратные корни и использовать это для упрощения выражений. √𝑎=𝑎. В частности, это говорит нам о том, что если 𝑎≥0, то √𝑎=√𝑎×√𝑎=𝑎.
Это дает нам следующий результат.
Свойство: Произведение квадратного корня из неотрицательного действительного числа
Если 𝑎 — неотрицательное действительное число, то √𝑎×√𝑎=𝑎.
Мы можем использовать это свойство, наряду с коммутативными и ассоциативными свойствами умножения, чтобы упростить выражения, включающие вычисление произведения квадратного корня из действительного числа на самого себя. Например, 2√3×6√3=(2×6)×√3×√3=12×3=36.
Давайте теперь посмотрим на другой пример, где нам нужно использовать это свойство для упрощения выражения.
Пример 1. Умножение двух радикальных чисел с одинаковым основанием
Вычислите 12√3×7√3.
Ответ
Мы можем переписать это выражение, используя коммутативные и ассоциативные свойства умножения вещественных числа следующим образом: 12√3×7√3=(12×7)×√3×√3.Тогда мы можем вспомнить, что для любого неотрицательного действительного числа 𝑎 √𝑎×√𝑎=𝑎. Следовательно, (12×7)×√3×√3=84×3=252.
Давайте посмотрим на другой пример использования этого свойства для упрощения выражения.
Пример 2. Умножение подкоренного числа и подкоренного выражения с одинаковым основанием
Упростить 5√71+√7.
Ответ
Начнем с распределения произведения по скобкам, чтобы получить 5√71+√7=5√7×1+5√7×√7.
Мы можем упростить это выражение, вспомнив, что 1 является мультипликативным тождеством, поэтому умножение на 1
оставляет значение неизменным, и мы можем использовать ассоциативность умножения, чтобы переписать второй член как
5√7×1+5√7×√7=5√7+5×√7×√7.
Затем мы можем упростить это выражение, вспомнив, что для любого неотрицательного действительного числа 𝑎 √𝑎×√𝑎=𝑎. Следовательно, 5√7+5×√7×√7=5√7+(5×7)=5√7+35.
В следующем примере мы упростим произведение двух подкоренных выражений.
Пример 3: Умножение двух подкоренных выражений и упрощение
Экспресс 5√10+3√35√10−3√3 в простейшем виде.
Ответ
Начнем с распределения по скобкам, чтобы получить 5√10+3√35√10−3√3=5√10×5√10+5√10×−3√3+3√3×5√10 +3√3×−3√3.
Вычитание множителей −1 и сокращение одинаковых членов дает 5√10×5√10+5√10×−3√3+3√3×5√10+3√3×−3√3=5√10 ×5√10−5√10×3√3+3√3×5√10−3√3×3√3.
Мы можем переупорядочить второй член и упростить, чтобы получить 5√10×5√10−3√3×5√10+3√3×5√10−3√3×3√3=5√10×5√10− 3√3×3√3.
Затем мы переставляем выражения и вычисляем, чтобы получить
5√10×5√10−3√3×3√3=(5×5)×√10×√10−(3×3)×√3×√3=25 √10×√10−9√3×√3.
Затем мы можем упростить это выражение, вспомнив, что для любого неотрицательного действительного числа 𝑎 √𝑎×√𝑎=𝑎. Следовательно, 25√10×√10−9√3×√3=(25×10)−(9×3)=250−27=223.
Мы продемонстрировали, как обрабатывать и вычислять выражения, включающие произведения квадратных корней. Тогда мы можем спросить, «Что произойдет, если мы перемножим квадратные корни любых двух действительных чисел?» Конечно, мы не можем взять квадратный корень из отрицательных чисел, поэтому мы начнем с предположения, что наши числа являются неотрицательными действительными числами, 𝑎 и 𝑏. Затем мы можем отметить, что знаем, как упростить √𝑎×√𝑎 и √𝑏×√𝑏, что мы можем использовать, чтобы увидеть следующее: √𝑎×√𝑏=√𝑎×√𝑏×√𝑎×√𝑏=√𝑎×√𝑎×√𝑏×√𝑏=𝑎×𝑏.
Затем мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Затем, используя тот факт, что 𝑎 и 𝑏 неотрицательны, мы имеем, что √𝑎×√𝑏=√𝑎×𝑏.
Итак, мы показали следующее свойство.
Свойство: Произведение квадратных корней неотрицательных действительных чисел
Если 𝑎 и 𝑏 — неотрицательные действительные числа, то √𝑎×√𝑏=√𝑎×𝑏.
Мы можем использовать этот результат для упрощения выражений, включающих произведение квадратных корней неотрицательных действительных чисел. Например, √6×√24=√6×24=√144=12.
Аналогичным образом можно вычислить частное двух квадратных корней. На этот раз мы предполагаем, что 𝑎 и 𝑏 неотрицательны и что 𝑏 не равно нулю. Затем мы можем применить те же рассуждения, что и прежде чем увидеть следующее: √𝑎√𝑏=√𝑎√𝑏×√𝑎√𝑏=√𝑎×√𝑎√𝑏×√𝑏=𝑎𝑏.
Извлечение квадратных корней из обеих частей уравнения дает нам следующий результат.
Свойство: квадратный корень из частного неотрицательных действительных чисел
Если 𝑎 и 𝑏 неотрицательные действительные числа и 𝑏≠0, тогда √𝑎√𝑏=𝑎𝑏.
Мы можем использовать этот процесс для упрощения выражений, включающих частное квадратного корня из неотрицательного вещественного
числа.
Например,
√18√2=182=√9=3.
Стоит отметить, что оба этих результата работают и в другую сторону. Например, 254=√25√4=52.
Теперь давайте рассмотрим пример использования этих свойств для записи выражения, включающего в себя радикалы. простейшая форма.
Пример 4. Возведение подкоренного выражения в квадрат и упрощение
Выразите √7+√3−√84 в простейшей форме.
Ответ
Сначала мы распределяем показатель степени по скобкам, чтобы получить √7+√3−√84=√7+√3√7+√3−√84=√7×√7+√7×√3+√3×√ 7+√3×√3−√84.
Мы можем переупорядочить третий член и упростить его следующим образом: √7×√7+√7×√3+√7×√3+√3×√3−√84=√7×√7+2√7×√3 +√3×√3−√84.
Затем мы вспоминаем, что если 𝑎 — неотрицательное действительное число, то
√𝑎×√𝑎=𝑎. Это означает, что мы можем упростить это выражение следующим образом:
√7×√7+2√7×√3+√3×√3−√84=7+2√7×√3+3−√84=10+2√7 ×√3−√84.
Мы можем еще больше упростить, вспомнив, что если 𝑎 и 𝑏 неотрицательны действительные числа, тогда √𝑎×√𝑏=√𝑎×𝑏. Мы можем применить это в два разных пути к этому выражению.
Первый, √7×√3=√7×3=√21.
Во-вторых, мы можем разложить подкоренное число 84 на простые числа, чтобы получить 84=2×2×3×7=4×21. Мы можем использовать это, чтобы упростить радикал: √84=√4×21=√4×√21=2√21.
Следовательно, 10+2√7×√3−√84=10+2√21−2√21=10.
В следующем примере мы упростим выражение, включающее частное двух радикалов с разными основаниями.
Пример 5: Деление двух радикальных чисел с разными основаниями
Выразите √10√2 в простейшей форме.
Ответ
Сначала напомним, что если 𝑎 и 𝑏 — неотрицательные действительные числа и 𝑏≠0, тогда √𝑎√𝑏=𝑎𝑏. Применение этого к данному выражению дает √10√2=102.
Заметим, что 10 и 2 имеют общий множитель 2.
Отмена этого общего множителя дает
102=5×21×2=√5.
В следующем примере мы упростим выражение, используя все свойства, найденные в этом объяснении.
Пример 6. Упрощение выражения, включающего умножение и деление радикалов
Express √2√8×√20+√36 в простейшем виде.
Ответ
Начнем с распределения по скобкам, чтобы получить √2√8×√20+√36=√2√8×√20+√2√8×√36=√2×√20√8+√2×√36√8.
Затем мы вспоминаем, что если 𝑎 — неотрицательное действительное число, то √𝑎=𝑎, а если 𝑎 и 𝑏 — неотрицательные действительные числа, то √𝑎×√𝑏=√𝑎×𝑏. Применение этого к выражению дает √2×√20√8+√2×√36√8=√2×20√8+√2×√6√8=√2×10√8+6√2√8=2√10√8+ 6√2√8.
Затем мы вспоминаем, что если 𝑎 и 𝑏 — неотрицательные действительные числа и 𝑏≠0, тогда √𝑎√𝑏=𝑎𝑏. Применяя это, мы получаем 2√10√8+6√2√8=2108+628=254+614.
Затем заметим, что 54=√5√4=√52 и
14=√1√4=12, поэтому
254+614=2√52+62=√5+3=3+√5.