Икс плюс 27 минус 12 равно 42: Решите уравнения : а) (x+27)-12=42 б) 115-(35+y)=39 в) z-35-64=16 г) 28-t+35=53

Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) — как найти, отношение, формулы

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже.

Они пригодятся нам при решении задач.

sin	sincos
cos	1+tg	cos = sin
tg	1+ctg	sin = cos
ctg		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
   Мы получили основное тригонометрическое тождество .
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

	0
sin	0
cos					0
tg	0				−
ctg	−				0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin

Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике угол равен , , .

Найдите .

Решение:

Отсюда

Найдем AC по теореме Пифагора.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A

Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos⁡ А

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда

cos⁡ А

tg A

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A

По теореме Пифагора получим

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

тогда

(по двум углам), следовательно откуда

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A =

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = тогда c = АВ = 18.

sin A = = cos⁡ B =

Рассмотрим BHC:

= получим

тогда BH = = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: A = sin В =

а для ВНС: sin В = = , откуда СН =

По теореме Пифагора найдем ВН:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

тогда

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= = =

Рассмотрим BHC :

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС=

тогда а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = = = cos A = = =

тогда tg A = который найдем из BHC:

Ответ: 0,5.

Задача 11.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.

Решение:

По определению tg A=

Для BHC: , значит СН =

Для АHC: tg A= то AH =

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = = sin A =

Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =

В АВС имеем sinA = = тогда AВ =

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

sin В = =

Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора получим

х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит или

k = тогда АС = ; АВ =

3-й способ.

(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

=

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = =

cos C =

Для АВС: sin А = = cos C =

Для АНВ: sin А = = то = АВ =

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A =

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А =

значит = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна S =

поэтому

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, ),

значит sin

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

Тогда sin

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ =

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = то есть АС =

По теореме Пифагора тогда

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;

учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

cos A =

По определению cos A = значит

Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.

Решение:

Пусть ВАО =

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =

Поэтому tg откуда

Ответ:

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =

В BHC: то следовательно, ВН = BC =

По теореме Пифагора найдем НС:

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),

то

Из ВСН: то следовательно,

ВН = ВС =

АН = АВ — НВ = 2 — = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Уравнения по математике 3 класс

Задачи по математике 3 класс

MAT-ZADACHI.RU





Задачи для 3 класса

• Математические диктанты
• Комбинаторные задачи
• Нестандартные задачи
• Множество и его элементы
• Способы задания множеств
• Пустое множество
• Диаграмма Венна
• Диаграмма Венна. Часть 2
• Подмножество
• Множество. Задачи
• Скорость, время, расстояние

Числа от 1 до 100

• Сложение и вычитание
• Буквенные выражения
• Единицы длины

Контрольные работы

1 четверть
• Умножение и деление
• Итоговая контрольная работа

2 четверть
• Контрольная работа 1

Контрольная работа 2

Контрольная работа 3

3 четверть
• Контрольная работа 1

Контрольная работа 2

4 четверть
• Контрольная работа 1

Итоговые контрольные работы 3 класс
• Контрольная работа 1

Контрольная работа 2

Тесты. 3 класс.

• Тесты по математике 3 класс
• Табличное умножение и деление чисел
• Особые случаи умножения и деления

Примеры, уравнения

• Примеры
• Уравнения
• Кроссворды



Реши уравнения.

х + 19 = 42	54 + х = 82	9 + у = 15	7 — у = 3
с + 6 = 9	k + 10 = 30	х + 50 = 96	х — 25 = 27
42 — х = 18	27 + х = 50	х — 28 = 70	63 + х = 90
76 — k = 40	х — 16 = 30	с + 9 = 12	х + 35 = 67

х + 19 = 42 x = 42 — 19 x = 23	54 + х = 82 x = 82 — 54 x = 28	9 + у = 15 y = 15 — 9 y = 6	7 — у = 3 y = 7 — 3 y = 4
с + 6 = 9 c = 9 — 6 c = 3	k + 10 = 30 k = 30 — 10 k = 20	х + 50 = 96 x = 96 — 50 x = 46	х — 25 = 27 x = 27 + 25 x = 52
42 — х = 18 x = 42 — 18 x = 24	27 + х = 50 x = 50 — 27 x = 23	х — 28 = 70 x = 70 + 28 x = 98	63 + х = 90 x = 90 — 63 x = 27
76 — k = 40 k = 76 — 40 k = 30	х — 16 = 30 x = 30 + 16 x = 46	с + 9 = 12 c = 12 — 9 c = 3	х + 35 = 67 x = 67 — 35 x = 32

Найди среди записей уравнения и реши их.

35 + х	68 — 33 = 35	х + 4 > 3
17 + х = 29	х + 7 = 56	х = 18

17 + х = 29 x = 29 — 17 x = 12

х + 7 = 56 x = 56 — 7 x = 49



Реши уравнения.

х — 34 = 46	х + 25 = 50	49 + х = 69
52 — х = 40	х — 45 = 60	66 — х = 32
х — 15 = 45	55 — х = 32	х + 18 = 46
80 — х = 46	х — 9 = 17	72 — х = 52
х — 36 = 14	36 — х = 14	33 — х = 27

х — 34 = 46 x = 34 + 46 x = 80	х + 25 = 50 x = 50 — 25 x = 25	49 + х = 69 x = 69 — 49 x = 20
52 — х = 40 x = 52 — 40 x = 12	х — 45 = 60 x = 60 + 45 x = 105	66 — х = 32 x = 66 — 32 x = 34
х — 15 = 45 x = 45 + 15 x = 60	55 — х = 32 x = 55 — 32 x = 23	х + 18 = 46 x = 46 — 18 x = 28
80 — х = 46 x = 80 — 46 x = 34	х — 9 = 17 x = 17 + 9 x = 26	72 — х = 52 x = 72 — 52 x = 20
х — 36 = 14 x = 36 + 14 x = 50	36 — х = 14 x = 36 — 14 x = 22	33 — х = 27 x = 33 — 27 x = 6



Простые задачи

Задачи на 1 действие
• Задачи на умножение
• Задачи на деление по содержанию и на равные части

Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз

Задачи на кратное сравнение

Задачи на приведение к единице

Задачи на цену количество стоимость

Составные задачи

Задачи на 2 действия
• Задачи на нахождение суммы
• Задачи на нахождение уменьшаемого, вычитаемого, разности

Задачи на разностное и кратное сравнение

Задачи на деление суммы на число и числа на сумму

Задачи на цену, количество, стоимость

Задачи на 3 действия
• Задачи на разностное и кратное сравнение

Задачи на нахождение суммы двух произведений

Задачи на нахождение неизвестного слагаемого

Задачи на цену, количество, стоимость



Решите неравенства с помощью Пошагового решения математических задач

В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием арифметических чисел. Теперь, когда мы изучили операции над числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, в которых участвуют отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать уравнения, содержащие числа со знаком.

Пример 1 Найдите х и проверьте: х + 5 = 3 для x и проверьте: — 3x = 12

Решение

Разделив каждую сторону на -3, мы получим

Всегда проверяйте исходное уравнение.

Другой способ решения уравнения 3x — 4 = 7x + 8 будет сначала вычесть 3x с обеих сторон, получив -4 = 4x + 8, , затем вычесть 8 с обеих сторон и получить -12 = 4x. Теперь разделите обе части на 4, чтобы получить — 3 = x или x = — 3.

Сначала удалите скобки. Затем следуйте процедуре, описанной в главе 2.

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Найдите буквальное уравнение.
2. Применяйте ранее изученные правила для решения буквенных уравнений.

Уравнение, состоящее из более чем одной буквы, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, рассмотренная и использованная в главе 2, по-прежнему действительна после удаления любых символов группировки.

Пример 1 Решить для c: 3(x + c) — 4y = 2x — 5c

Решение

Сначала удалите скобки.

Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы вычисляем с, мы хотим получить с с одной стороны и все остальные члены с другой стороны уравнения. Таким образом, мы получаем

Помните, abx это то же самое, что и 1abx. Делим на коэффициент при x, который в данном случае равен ab.

Решите уравнение 2x + 2y — 9x + 9a, сначала вычитая 2.v из обеих частей. Сравните решение с полученным в примере.

Иногда форма ответа может быть изменена. В этом примере мы могли бы умножить и числитель, и знаменатель ответа на (-l) (это не меняет значения ответа) и получить

Преимущество этого последнего выражения перед первым состоит в том, что много отрицательных знаков в ответе.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число является использованием фундаментального принципа дробей.

Наиболее часто используемые буквенные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. д.

Пример 4 – это формула площади трапеции. Решите для с.

Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями. Удаление скобок не означает просто их стирание. Мы должны умножить каждый член в скобках на множитель, стоящий перед скобками. Изменение формы ответа не обязательно, но вы должны уметь распознавать правильный ответ, даже если форма отличается.

Пример 5 представляет собой формулу, определяющую проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма долга (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, если известны сумма процентов, основная сумма долга и количество дней.

Решение

Задача требует решения для r.

Обратите внимание, что в этом примере r оставлено справа, и поэтому вычисления упростились. Мы можем переписать ответ по-другому, если захотим.

ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

1. Используйте символ неравенства для представления относительного положения двух чисел на числовой прямой.
2. Графические неравенства на числовой прямой.

Мы уже обсуждали набор из рациональные числа как те, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Существует также набор чисел, называемый иррациональными числами, , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется действительных чисел.

Для любых двух действительных чисел a и b всегда можно сказать, что Много раз нас интересует только, равны ли два числа, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны.

Символы представляют собой символы неравенства или отношений порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a > b читается как «а больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем

Утверждение 2

a

Какое положительное число можно прибавить к 2, чтобы получить 5?

Проще говоря, это определение утверждает, что а меньше b, если мы должны добавить что-то к а, чтобы получить b. Конечно, «что-то» должно быть положительным.

Если вы думаете о числовой строке, вы знаете, что добавление положительного числа эквивалентно перемещению вправо по числовой строке. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

Пример 1 3

Мы могли бы также написать 6 > 3.

Пример 2 — 4

Мы могли бы также написать 0 > — 4.

Пример 3 4 > — 2, потому что 4 находится справа от -2 на числовой прямой.

Пример 4 — 6

Математическое утверждение x

Вы понимаете, почему невозможно найти наибольшее число меньше 3?

На самом деле, назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, невозможно. Однако это может быть указано в числовой строке. Для этого нам нужен символ, представляющий значение утверждения, такого как x

Символы ( и ), используемые на числовой прямой, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

Пример 5 График x

Решение

Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая, что линия продолжается без конца влево.

Этот график представляет каждое действительное число меньше 3.

Пример 6 График x > 4 на числовой прямой. Пример 7

Решение

На этом графике представлены все действительные числа больше -5.

Пример 8 Постройте линейный график, показывающий, что x > — 1 и x

Решение

Утверждение x > — 1 и x

На этом графике представлены все действительные числа от — 1 до 5.

Пример 9 График — 3

Решение

Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ, :. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

Пример 10 х >; 4 указывает число 4 и все действительные числа справа от 4 на числовой прямой.

Что означает x

Символы [ и ], используемые в числовой строке, указывают, что конечная точка включена в набор.

Вы обнаружите, что такое использование скобок и квадратных скобок соответствует их использованию в будущих курсах по математике.

Этот график представляет число 1 и все действительные числа больше 1.

Этот график представляет число 1 и все действительные числа, меньшие или равные -3. Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика. На этом графике представлены все действительные числа от -4 до 5 , включая -4 и 5. Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика. Этот график включает 4, но не -2. Пример 16 График на числовой прямой. Решение В этом примере представлена ​​небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой прямой? Если мы оценим точку, то другой человек может неправильно понять утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли точка или, может быть, ? Поскольку целью графика является уточнение, всегда обозначают конечную точку. Граф используется для передачи утверждения. Вы всегда должны называть нулевую точку, чтобы показать направление, а также конечную точку или точки, чтобы быть точным. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ЗАДАЧИ По завершении этого раздела вы должны уметь решать неравенства с одним неизвестным. Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы вскоре обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, которое используется при решении уравнений. Если к каждой стороне неравенства добавить одинаковое количество, результаты будут неравными в том же порядке. Пример 1 Если 5 Пример 2 Если 7 5 + 2 7 — 3 Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств. Пример 3 Решить для x: x + 6 Решение Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим Отобразив это решение на числовой прямой, мы получим Обратите внимание, что процедура такая же, как и при решении уравнений. Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию умножения или деления неравенств. Предположим, х > а. Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения. Помните, добавление одной и той же величины к обеим частям неравенства не меняет его направления. Теперь добавьте -a с обеих сторон. Последнее выражение -a > -x можно переписать как -x < -a. Поэтому мы можем сказать: «Если х > а, то — х Если неравенство умножить или разделить на отрицательное число, результаты будут неравны в порядке , противоположном . Например: Если 5 > 3, то -5 Пример 5 Найдите x и нарисуйте решение: -2x>6 Решение Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства. Обратите внимание, что как только мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства. Обратите внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменить направление символа неравенства. Это единственная разница между решением уравнений и решением неравенств. Когда мы умножаем или делим на положительное число, ничего не меняется. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, направление неравенства меняется. Будьте осторожны — это источник многих ошибок. После того, как мы удалили круглые скобки и в выражении остались только отдельные члены, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2. Теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разница при решении неравенств. Первый Удалите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.) Второй Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений) Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой. (без изменений) Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.) Единственная возможная разница заключается в последнем шаге. Что нужно сделать при делении на отрицательное число? Не забудьте пометить конечную точку. РЕЗЮМЕ Ключевые слова Буквенное уравнение — это уравнение, включающее более одной буквы. Символы символов неравенства или порядок отношений . a a находится слева от b на действительной числовой прямой. Двойные символы: указывают, что конечных точек включены в набор решений . Процедуры Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же шаги, что и в главе 2. Чтобы решить неравенство, выполните следующие шаги: Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства. Шаг 3 Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой. Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестного. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным. Шаг 5 Проверьте свой ответ. Калькулятор дробей Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении. Правила выражения с дробями: Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями. Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 . Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически конвертируются в дроби — т.е. 1.45 . Math Symbols Symbol Symbol name Symbol Meaning Example + plus sign addition 1/2 + 1/3 — знак минус вычитание 1 1/2 — 2/3 * asterisk multiplication 2/3 * 3/4 ​​ × times sign multiplication 2 /3 × 5/6 : division sign division 1/2 : 3 / division slash division 1/3 / 5 91/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​ • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • сокращение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. BEDMAS — Скобки, Экспоненты, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. GEMDAS — Символы группировки — скобки (){}, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS. Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо. В дробях Муравей за первый час поднимается на 2/5 шеста, а за следующий час — на 1/4 шеста. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа? Вычислить выражение Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2 Четверть Четверть числа 72: была использована сумма 325 000,00. Leave a Reply Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт