Опубликовано Как построить окружность, вписанную в треугольник по точкам касания? | Проза жизни
Вначале рассмотрим классический алгоритм построения, осуществляемый в два этапа. Первый шаг построения — проведение биссектрис углов треугольника (достаточно задействовать всего два угла) для определения центра окружности. На втором этапе определяется радиус вписанной окружности. Из точки пересечения биссектрис проводится перпендикуляр к одной из сторон треугольника. Длина полученного отрезка равна искомому радиусу. Раствором циркуля равным этой величине строится вписанная окружность. Не сложно подсчитать минимальное количество проведенных линий в данном построении. Их всего 12, по 4 на построение двух биссектрис, 3 — на перпендикуляр и одна собственно на проведение самой окружности.
Второй вариант построения базируется на окружности, проведенной из инцентра треугольника через вершину одного из его углов, позволяющей определить местоположение точек касания вписанной окружности.
Проведем дополнительно окружность из точки О радиусом ОВ т. е. проходящую через вершину наибольшего угла треугольника. Она отсекает три равные хорды А1С1, А2 В и ВС2 на сторонах треугольника в виду концентричности вписанной окружности. Дополнительную окружность можно проводить через любую вершину треугольника. В этом случае придется продолжить его стороны (сторону), так как будем иметь дело с окружностью большего диаметра.
Соединим инцентр треугольника с концами хорды А1С1.
Прямоугольные треугольники А1ОТ и С1ОТ равны согласно тому, что гипотенузы А1О и С1О радиусы дополнительной окружности, а катет ОТ — общий. Следовательно точка Т середина, а ТО серединный перпендикуляр хорды А1С1. Аналогичным образом доказывается: ОК и ОL серединные перпендикуляры к двум другим хордам. Таким образом, середины хорд являются точками касания вписанной в треугольник окружности.
В треугольниках АОВ и АОС1 стороны ОВ и ОС1 радиусы дополнительной окружности, АО общая сторона и биссектриса угла ВАС. Тогда согласно равенству этих треугольников, отрезок АС†равен стороне АВ. В свою очередь отрезок А1С равен стороне ВС, ввиду сходного равенства треугольников А1ОС и ВОС.
Следствием вышеизложенного является возможность построения крайних точек хорды на стороне треугольника путем засечек дугами радиусами равными боковым сторонам из вершин прилежащих углов.
Затем из вершины противолежащего стороне угла на одной из боковых стон откладывается длина второй хорды. Точка пересечения серединных перпендикуляров к полученным хордам — центр вписанной окружности.
Построение в произвольно заданный треугольник АВС вписанной окружности изображено на рис. 2. На стороне АС (наибольшей, как на наиболее удобной) из вершины, А дугой радиусом АВ делаем первую засечку в точке С1, а из вершины С дугой радиусом СВ — вторую в точке А1. К полученному отрезку А1С1 восстанавливаем серединный перпендикуляр. Раствором циркуля равным А1С1 из вершины В проводим дугу пересекающую например, сторону ВА в точке А2. Тем же раствором циркуля из точки А2 через вершину В опишем вторую дугу. Соединяем точки пересечения дуг прямой, получаем второй серединный перпендикуляр. Из точки пересечения перпендикуляров радиусом равным ОТ опишем искомую вписанную в треугольник окружность.
Определим количество линий примененных в данном построении. Пять на восстановление первого серединного перпендикуляра, три линии для второго и одну на проведение вписанной окружности. Всего девять. Если сравнивать два метода построения вписанной окружности по этому показателю — преимущество за последним.
Заключительный вывод: предлагаемое построение следует рассматривать в обучении наряду с общеизвестным методом.
Вписанный и описанный треугольник — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности.
Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну
.Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.
Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.
Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
Доказательство:
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.
Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.
Теорема 4.
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле:
Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Напомним определение правильного многоугольника:
Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.
Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Теорема 6.
Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен
А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Докажем эту теорему.
У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.
Пусть в правильном треугольнике стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда
Получаем, что
Из треугольника АВН получаем, что длина стороны
Тогда
Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.
Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.
Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Решение:
Длина стороны равностороннего треугольника равна
Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:
где — сторона треугольника.
Значит,
Ответ:
Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.
Вот две полезные формулы для площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
,
где — полупериметр,
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Теорема синусов:
R — радиус описанной окружности
Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Решение:
Выразим площадь треугольника двумя разными способами:
где – полупериметр треугольника, a – его стороны.
Тогда , а диаметр окружности равен
Ответ: 8.
Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Решение:
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .
Тогда .
В ответ запишем .
Ответ: 4.
Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике сторона равна , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение:
По теореме синусов
Тогда
Ответ: 7.
Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике угол А равен , а угол В – .
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона равна 10.
Решение:
Зная, что сумма углов треугольника равна , найдем угол С.
По теореме синусов
Значит,
Ответ: 10.
Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Ответ: 150.
Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .
Тогда .
Ответ: 25.
Задача 8, ОГЭ.
В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.
Решение:
Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .
находится по теореме Пифагора из треугольника :
Периметр треугольника – это сумма длин сторон, т.е.
Площадь треугольника
Радиус вписанной окружности r найдем по формуле
Ответ:
Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника равны 6 и соответственно, угол . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника .
Решение:
Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :
Теперь воспользуемся теоремой синусов:
Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника , равен 6.
Ответ: 6.
Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.
Решение:
Пусть длина радиуса описанной окружности , а длина радиуса вписанной окружности
Мы знаем, что , где – полупериметр, – стороны треугольника.
Значит,
Отсюда
Тогда
Ответ: 11.
Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.
Решение:
Пусть радиус вписанной окружности , а гипотенуза
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике
Значит, отсюда
Площадь находится по формуле где – полупериметр, – стороны треугольника.
Ответ: 24.
Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.
Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника , если радиус окружности, описанной около треугольника равен 10,
Решение:
а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов и соответственно, и
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
Тогда
– внешний угол треугольника , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.
е.
Значит, Что и требовалось доказать.
б) , следовательно, треугольник – равнобедренный, – основание,
Угол равен , значит,
По теореме синусов для треугольника :
Тогда отрезок равен отрезку , т.е. .
Найдем угол С из треугольника :
как вписанные углы, опирающиеся на дугу .
Площадь треугольника находится по формуле:
Ответ:
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 09.03.2023
Описанные и вписанные окружности треугольников — Криста Кинг Математика
Описанные и вписанные окружности нарисованы вокруг центра описанной окружности и центра вписанной окружности
В этом уроке мы рассмотрим описанные и вписанные окружности и особые отношения, которые формируются из этих геометрических идей.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Описанные окружности
Когда окружность описывает треугольник, треугольник находится внутри круга, и треугольник касается окружности каждой вершиной.
Вы используете серединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, чтобы найти центр окружности, которая будет описана вокруг треугольника.
Так, например, учитывая ???\треугольник GHI???,
найти середину каждой стороны.
Найдите биссектрису, проходящую через каждую середину.
Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром окружности.
Центр описанной окружности называется « центром окружности ».
Для остроугольного треугольника центр описанной окружности находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на стороне, противоположной прямому углу.
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится вне треугольника.
Вписанные окружности
Когда окружность вписана в треугольник, треугольник находится вне круга, а окружность касается сторон треугольника в одной точке с каждой стороны.
Стороны треугольника касаются окружности.
Чтобы нарисовать вписанную окружность внутри равнобедренного треугольника, используйте биссектрисы каждой стороны, чтобы найти центр окружности, вписанной в треугольник. Например, учитывая ???\треугольник PQR???,
Нарисуйте биссектрисы угла.
Пересечение биссектрисы угла является центром вписанной окружности.
Помните, что каждая сторона треугольника касается окружности, поэтому, если вы проведете радиус от центра окружности до точки, где окружность касается края треугольника, радиус образует прямой угол с краем треугольника. треугольник.
Центральная точка вписанного круга называется « incenter ». Центр всегда будет внутри треугольника.
Давайте используем то, что мы знаем об этих конструкциях, для решения нескольких задач.
Нахождение и зарисовка описанных и вписанных окружностей
Пройти курс
Хотите узнать больше о геометрии? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Нахождение радиуса окружности, описывающей треугольник
Пример
???\overline{GP}???, ???\overline{EP}???, и ???\overline{ ФП}??? являются серединными перпендикулярами треугольника ???\vartriangle ABC???, и ???AC=24??? единицы измерения. Чему равен радиус окружности, описанной вокруг ???\треугольника ABC????
Точка ???P??? является центром описанной окружности, описанной вокруг ???\треугольника ABC??? потому что именно здесь пересекаются серединные перпендикуляры треугольника. Мы можем нарисовать ???\bigcirc P???.
Мы также знаем, что ???AC=24??? единиц, а так как ???\overline{EP}??? является серединным перпендикуляром к ???\overline{AC}???, точка ???E??? является средней точкой.
Следовательно,
???EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(24)=12??? 9{2}}???
???ПК=13???
Давайте попробуем другую задачу.
Вы используете серединные перпендикуляры каждой стороны треугольника, чтобы найти центр окружности, которая будет описана вокруг треугольника.
Пример
Если ???CQ=2x-7??? и ???CR=x+5???, какова мера ???CS???, учитывая, что ???\overline{XC}???, ???\overline{YC}?? ? и ???\overline{ZC}??? являются биссектрисами треугольника ???\треугольника XYZ???.
Потому что ???\overline{XC}???, ???\overline{YC}??? и ???\overline{ZC}??? являются биссектрисами треугольника ???\треугольника XYZ???, ???C??? является центром треугольника. Окружность с центром ???C??? будет касаться каждой стороны треугольника в точке пересечения.
???\overline{CQ}???, ???\overline{CR}??? и ???\overline{CS}??? все радиусы окружности ???C???, поэтому все они равны по длине.
???CQ=CR=CS???
Нам нужно найти длину радиуса. Мы знаем???CQ=2x-7??? и ???CR=x+5???, поэтому
???CQ=CR???
???2x-7=x+5???
???х=12???
Следовательно,
???CQ=CR=CS=x+5=12+5=17???
Получить доступ к полному курсу геометрии
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, описанные окружности, вписанные окружности, треугольники, геометрия, описанная окружность треугольника, вписанная окружность треугольника, центр описанной окружности, центр вписанной окружности, перпендикулярные биссектрисы стороны треугольника, биссектрисы угла треугольника, описанная окружность вне треугольника, вписанная окружность внутри треугольника
0 лайковОписанные и вписанные круги-Geogebra
- Автор:
- Учитель Мишель Джонс, Лэнглид, S Sharma
- ТОМ:
- СРЕГА
. Сделайте снимок экрана с вашим окончательным изображением и сохраните его в своем задании на сегодня, а затем отправьте его в Dropbox на сегодня. Обязательно покажите все шаги. (Вы можете увеличить треугольник, чтобы лучше видеть, совет, если вы запутались и хотите что-то удалить, выберите инструмент указателя, а затем нажмите «Удалить» на клавиатуре)
1) Построить биссектрису одной из сторон треугольника.
a) Поместите точку D на отрезке AB, где D ближе к A, чем к B
b) Создайте круг компаса с центром A и радиусом D, щелкнув инструмент круга—> выпадающее меню компаса. Затем сначала щелкните точку D, затем A, и появится круг компаса.
c) Теперь отметьте, где этот круг компаса пересекает AC с точкой E.
d) Создайте круг по компасу с центром D и радиусом AD
e) Создайте круг по компасу с центром E и радиусом AE.
f) Создайте точку F, где эти две окружности компаса пересекаются.
e) Создайте линию AF с помощью инструмента «Линия». Это биссектриса угла BAC.
2) Постройте биссектрису другой стороны треугольника.
a) Повторите шаги выше для угла ABC
3) Создайте точку J их пересечения, которая называется ICENTER
4) Отметьте пересечение линии BI со стороной AC точкой K
5) Выберите инструмент «Окружность», затем в раскрывающемся списке «Окружность через центр и точку». Выберите J для центра и точку K для точки. Ваш вписанный круг будет создан с центром J через точки D и G.
6) Используйте инструмент ABC, чтобы ввести свое имя рядом с вашей конструкцией, прежде чем делать ее снимок экрана.Построение 2: Описанная окружность
Построить описанную окружность к заданному треугольнику. Сделайте снимок экрана с вашим окончательным изображением и сохраните его в своем задании на сегодня, а затем отправьте его в Dropbox на сегодня. Обязательно покажите все шаги. (Вы можете увеличить треугольник, чтобы лучше видеть, совет, если вы запутались и хотите что-то удалить, выберите инструмент указателя, затем нажмите «Удалить» на клавиатуре))
1) Построить биссектрису одной стороны треугольника
a) Выберите биссектрису перпендикуляра из 4-го раскрывающегося меню, затем выберите AB
2) Построить биссектрису другой стороны треугольника.
Прямоугольные треугольники А1ОТ и С1ОТ равны согласно тому, что гипотенузы А1О и С1О радиусы дополнительной окружности, а катет ОТ — общий. Следовательно точка Т середина, а ТО серединный перпендикуляр хорды А1С1. Аналогичным образом доказывается: ОК и ОL серединные перпендикуляры к двум другим хордам. Таким образом, середины хорд являются точками касания вписанной в треугольник окружности.
Затем из вершины противолежащего стороне угла на одной из боковых стон откладывается длина второй хорды. Точка пересечения серединных перпендикуляров к полученным хордам — центр вписанной окружности.
Докажем, что если в \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB+CD=BC+AD\).
Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).
В этой конструкции мы используем только два, так как этого достаточно, чтобы определить точку, в которой они
пересекаются.
Разделим два угла пополам, используя метод, описанный в
Разделение угла пополам. Точка, где пересекаются биссектрисы, является вписанным центром.
Затем мы рисуем круг, который только касается сторон треугольников.
Следовательно,