Опубликовано Как умножать десятичные дроби | Математика
Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.
Правило умножения десятичных дробей
1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.
2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.
Примеры.
Найти произведение десятичных дробей:
Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.
Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.
Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.
Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.
Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.
И еще пара примеров на умножение десятичных дробей:
Умножение и деление десятичных дробей
Умножение
Умножение десятичных дробей сводится к умножению соответствующих натуральных чисел, и правильному определению места запятой в полученном результате.
Пример. Найти произведение чисел 2,13 и 1,2.
Решение: можно перемножить числа 2,13 и 1,2, заменив их обыкновенными дробями:
| 2,13 · 1,2 | = | 2 | 13 | · | 1 | 2 | = | 213 | · | 12 | = |
| 100 | 10 | 100 | 10 |
| = | 213 · 12 | = | 2556 | = 2,556. |
| 100 · 10 | 1000 |
Можно сказать, что мы перемножили натуральные числа, которые получатся если у данных десятичных дробей отбросить запятые. Так как знаменатели тоже перемножаются, то в знаменателе вышло число с тремя нулями, а в соответствующей десятичной дроби — три цифры после запятой. Значит в результате умножения двух десятичных дробей, ответ будет содержать столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях вместе.
Данное произведение можно посчитать и столбиком, заменив дроби на натуральные числа:
Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что:
Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, и в полученном произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в множимом и множителе вместе.
Данное правило работает и для умножения десятичной дроби на натуральное число. Только в случае, когда один из множителей — натуральное число, количество десятичных знаков в результате будет равно количеству знаков дробного множителя.
Пример. Найти произведение чисел 4,324 и 11:
Решение:
4,324 · 11 = 47,564.
Деление
Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, нужно сначала разделить целую часть (если она есть), затем поставить запятую в неполном частном и приступить к делению дробной части:
В этом примере мы сначала разделили 13 на 4 и записали в частное 3, затем мы поставили в частном запятую, так как у нас в остатке осталась единица, которую на 4 мы уже поделить не могли, затем мы продолжили делить дробную часть. Особенность этого примера заключается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружили остаток, равный 2 сотым, мы раздробили этот остаток на тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.
Чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.
В качестве примера разделим 72,9 на 0,09:
Также можно осуществить деление десятичной дроби (или целого числа) на десятичную дробь, представив оба числа в виде обыкновенных дробей:
Таким образом, частное двух десятичных дробей всегда можно записать в виде обыкновенной дроби.
Как умножать десятичные дроби в строчку. Видеоурок «Умножение десятичных дробей
В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.
Содержание урока Сложение десятичных дробейКак мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.
Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.
Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой» .
Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:
Начинаем складывать дробные части: 2 + 3= 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой» :
Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5
На самом деле не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.
Разряды в десятичных дробяхУ десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.
Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.
Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.
Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345
Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых
Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых
Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных
Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .
Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345
Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.
При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой» . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4
В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9
Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»
В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:
Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.
Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27
Записываем в столбик данное выражение:
Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:
Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8
Записываем в столбик данное выражение
Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:
Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.
Пример 5 . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7
Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:
Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:
Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:
Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Вычитание десятичных дробейПри вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:
Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1
В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.
Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:
Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.
Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39
Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:
Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07
3,46−2,39=1,07
Пример 4 . Найти значение выражения 3−1,2
В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3
Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:
Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8
Умножение десятичных дробейУмножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.
Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5
Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:
Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.
Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7
Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:
Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.
Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Умножение десятичной дроби на обычное числоИногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.
Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Например, умножим 2,54 на 2
Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:
Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.
Например, умножим 2,88 на 10
Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:
Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288
2,88 × 100 = 288
Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Например, умножим 3,25 на 0,1
Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:
Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.
Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:
Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.
При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.
А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.
Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.
Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»
Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.
Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.
При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.
Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:
Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице» , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:
Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:
Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:
Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10
Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5
Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:
Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см
Пример 2. Найти значение выражения 4: 5
Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:
Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.
Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:
Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8
Пример 3. Найти значение выражения 5: 125
Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0
Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:
Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0
Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50
Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:
Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:
Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500
Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04
Деление чисел без остатка
Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:
Допишем ноль к остатку 4
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:
40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:
9: 5 = 1,8
Пример 2 . Разделить 84 на 5 без остатка
Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:
Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:
и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:
Деление десятичной дроби на обычное число
Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:
- разделить целую часть десятичной дроби на это число;
- после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.
Например, разделим 4,8 на 2
Запишем этот пример уголком:
Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:
Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:
4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2
8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:
Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4
Пример 2. Найти значение выражения 8,43: 3
Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:
Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:
Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:
24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:
Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81
Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.
Например, разделим 5,95 на 1,7
Запишем уголком данное выражение
Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:
После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:
Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?
Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.
Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:
(9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18: 6 = 3
Как видно из примера, частное не поменялось.
Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.
На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:
5,91 × 10 = 59,1
Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000
Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21
Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:
2,1: 100 = 0,021
Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:
2,1: 1000 = 0,0021
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.
Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.
После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:
Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63
Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630
Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:
6,3: 0,001 = 6300
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
§ 1 Применение правило умножения десятичных дробей
В этом уроке Вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, такую как 0,1, 0,01 и т.д. Кроме того, мы рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.
Решим задачу:
Скорость движения автомобиля составляет 59,8 км/ч.
Какой путь преодолеет автомобиль за 1,3 часа?
Как известно, чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.
Давайте запишем числа в столбик и начнем их перемножать, не замечая запятых: 8 умножить на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножить на 9 это 27, да еще плюс 2, получаем 29, 9 пишем, 2 в уме. Теперь 3 умножаем на 5, будет 15 и еще прибавляем 2, получаем 17.
Переходим ко второй строке: 1 умножить на 8, будет 8, 1 умножить на 9, получаем 9, 1 умножить на 5, получаем 5, складываем эти две строчки, получаем 4, 9+8 равно 17, 7 пишем 1 в уме, 7+9 это 16 да еще 1, будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 да еще 1 получаем 7.
А теперь посмотрим, сколько знаков после запятых стоит в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой и во второй дроби одна цифра после запятой, всего два знака. Значит, справа в полученном результате нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, при умножении 59,8 на 1,3 получили 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.
Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби надо:
Первое: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые
Второе: в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Если же цифр в полученном произведении меньше, чем надо отделить запятой, то тогда впереди необходимо приписать один или несколько нулей.
Например: 0,145 умножить на 0,03 у нас в произведении получается 435, а запятой необходимо отделить 5 цифр справа, поэтому мы приписываем перед цифрой 4 еще 2 нуля, ставим запятую и приписываем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.
§ 2 Свойства умножения десятичных дробей
При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что действуют для натуральных чисел. Давайте выполним несколько заданий.
Задание №1:
Решим данный пример, применив распределительное свойство умноженияотносительно сложения.
5,7 (общий множитель) вынесем за скобку, в скобках останется 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, и теперь 4 надо умножить на 5,7, получаем 22,8.
Задание № 2:
Применим переместительное свойство умножения.
2,5 сначала умножим на 4, получим 10 целых, а теперь нужно 10 умножить на 32,9 и получаем 329.
Кроме этого, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:
При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т.е. большую или равную 1, оно увеличивается или не изменяется, например:
При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньшую 1, оно уменьшается, например:
Давайте решим пример:
23,45 умножить на 0,1.
Мы должны 2 345 умножить на 1 и отделить три знака запятой справа, получим 2,345.
Теперь давайте решим другой пример: 23,45 разделить на 10, мы должны перенести запятую влево на один знак, потому что 1 ноль в разрядной единице, получим 2,345.
Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. это значит разделить число на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1 во множителе.
Используя полученное правило, найдем значения произведений:
13,45 умножить на 0,01
перед цифрой 1 стоит 2 нуля, поэтому перенесем запятую влево на 2 знака, получим 0,1345.
0,02 умножить на 0,001
перед цифрой 1 стоит 3 нуля, значит переносим запятую на три знака влево, получаем 0,00002.
Таким образом, в этом уроке Вы научились перемножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01 и т.д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. — М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор — Попов М.А. — 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. — 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы — Попов М.А. — 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009
Как обычные числа.
2. Считаем число знаков после запятой у 1-ой десятичной дроби и у 2-ой. Их число складываем.
3. В итоговом результате отсчитываем справа налево такое число цифр, сколько получилось их в пункте выше, и ставим запятую.
Правила умножения десятичных дробей.
1. Умножить, не обращая внимания на запятую.
2. В произведении отделяем после запятой такое количество цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.
Умножая десятичную дробь на натуральное число, необходимо:
1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;
2. В результате ставим запятую так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.
Умножение десятичных дробей столбиком.
Рассмотрим на примере:
Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа , не обращая внимания на запятые. Т.е. 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.
Результатом является 311. Далее считаем число знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В 1-ой десятичной дроби 2 знака и во 2-рой — 2. Общее число цифр после запятых:
2 + 2 = 4
Отсчитываем справа налево четыре знака у результата. В итоговом результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В этом случае необходимо слева дописать не хватающее количество нулей.
В нашем случае не достает 1-ой цифры, поэтому дописываем слева 1 ноль.
Обратите внимание:
Умножая любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы.
Например :
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Обратите внимание:
Для умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей перед единицей.
Считаем и ноль целых!
Например:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 . Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2 .
Аналогично можно убедиться, что:
5,2 * 10 = 52 ;
0,27 * 10 = 2,7 ;
1,253 * 10 = 12,53 ;
64,95 * 10 = 649,5 .
Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на одну цифру.
А как умножить десятичную дробь на 100 ?
Имеем: a * 100 = a * 10 * 10 . Тогда:
2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .
Рассуждая аналогично, получаем, что:
3,2 * 100 = 320 ;
28,431 * 100 = 2843,1 ;
0,57964 * 100 = 57,964 .
Умножим дробь 7,1212 на число 1 000 .
Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2 .
Эти примеры иллюстрируют следующее правило.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .
Итак, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.
Следовательно, если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз .
Покажем, что десятичная форма записи дробей дет возможность умножать их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.
Найдем, например, произведение 3,4 * 1,23 . Увеличим первый множитель в 10 раз, а второй − в 100 раз. Это означает, что мы увеличили произведение в 1 000 раз.
Следовательно, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.
Имеем: 34 * 123 = 4182 . Тогда для получения ответа надо число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0 . Перенося запятую в числе 4 182,0 на три цифры влево, получим число 4,182 , которое в 1 000 раз меньше числа 4 182 . Поэтому 3,4 * 1,23 = 4,182 .
Этот же результат можно получить, руководствуясь следующим правилом.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1 ) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
2 ) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
В тех случаях, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведение дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.
Например, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006 ; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825 .
В тех случаях, когда один из множителей равен 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., удобно пользоваться следующим правилом.
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .
Например, 1,58 * 0,1 = 0,158 ; 324,7 * 0,01 = 3,247 .
Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:
ab = ba − переместительное свойство умножения,
(ab) с = a(b с) − сочетательное свойство умножения,
a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.
В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100 , 10 и др.)
В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.
Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.
Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.
Посмотрим, как решаются такие задачи.
Пример 1
Вычислите произведение 1 , 5 и 0 , 75 .
Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0 , 75 – это 75 / 100 , а 1 , 5 – это 15 10 . Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 125 1000 мы запишем как 1 , 125 .
Ответ: 1 , 125 .
Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.
Пример 2
Умножьте одну периодическую дробь 0 , (3) на другую 2 , (36) .
Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 — 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 — 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Следовательно, 0 , (3) · 2 , (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .
Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Ответ: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.
Пример 3
Вычислите произведение 5 , 382 … и 0 , 2 .
Решение
У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5 , 38 · 0 , 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1 , 076 .
Ответ: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .
Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:
Определение 1
Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:
1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.
2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.
Разберем примеры таких расчетов на практике.
Пример 4
Умножьте десятичные дроби 63 , 37 и 0 , 12 столбиком.
Решение
Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.
Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4 . Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:
Ответ: 3 , 37 · 0 , 12 = 7 , 6044 .
Пример 5
Подсчитайте, сколько будет 3 , 2601 умножить на 0 , 0254 .
Решение
Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:
Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:
Ответ: 3 , 2601 · 0 , 0254 = 0 , 08280654 .
Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д
Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:
Определение 2
Если мы умножим десятичную дробь на 0 , 1 , 0 , 01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.
Так, для умножения 45 , 34 на 0 , 1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4 , 534 .
Пример 6
Умножьте 9 , 4 на 0 , 0001 .
Решение
Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9 , 4 · 0 , 0001 = 0 , 00094 .
Ответ: 0 , 00094 .
Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0 , (18) · 0 , 01 = 0 , 00 (18) или 94 , 938 … · 0 , 1 = 9 , 4938 … . и др.
Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.
Пример 7
Подсчитайте, сколько будет 15 · 2 , 27 .
Решение
Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.
Ответ: 15 · 2 , 27 = 34 , 05 .
Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.
Пример 8
Вычислите произведение 0 , (42) и 22 .
Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 — 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0 , 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9 , (3) .
Ответ: 0 , (42) · 22 = 9 , (3) .
Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.
Пример 9
Вычислите, сколько будет 4 · 2 , 145 … .
Решение
Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:
4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .
Ответ: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .
Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др
Умножение десятичной дроби на 10 , 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:
Определение 3
Чтобы умножить десятичную дробь на 1000 , 100 , 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3 , 2 , 1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.
Покажем на примере, как именно это делать.
Пример 10
Выполните умножение 100 и 0 , 0783 .
Решение
Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007 , 83 Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7 , 38 .
Ответ: 0 , 0783 · 100 = 7 , 83 .
Пример 11
Умножьте 0 , 02 на 10 тысяч.
Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0 . В итоге получилось 0 , 02000 ,перенесем запятую и получим 00200 , 0 . Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200 .
Ответ: 0 , 02 · 10 000 = 200 .
Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.
Пример 12
Вычислите произведение 5 , 32 (672) на 1 000 .
Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5 , 32672672672 … , так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326 , 726726 … Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326 , (726) .
Ответ: 5 , 32 (672) · 1 000 = 5 326 , (726) .
Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.
Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.
Пример 13
Умножьте 0 , 4 на 3 5 6
Решение
Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .
Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1 , 5 (3) .
Ответ: 1 , 5 (3) .
Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.
Пример 14
Вычислите произведение 3 , 5678 . . . · 2 3
Решение
Второй множитель мы можем представить как 2 3 = 0 , 6666 …. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3 , 568 и 0 , 667 . Посчитаем столбиком и получим ответ:
Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2 , 379856 ≈ 2 , 380 .
Ответ: 3 , 5678 . . . · 2 3 ≈ 2 , 380
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Десятичные дроби. Конспект — Kid-mama
Содержание статьи:
- Что такое десятичные дроби
- Сравнение десятичных дробей
- Сложение и вычитание десятичных дробей
- Умножение и деление десятичных дробей
- Округление чисел
1 Что такое десятичные дроби
Десятичные дроби — это особая запись дробных чисел. Выглядят они так:
Обыкновенные дроби, знаменатели которых равны 10, 100, 1000, 10000 и т.д., (то есть единица с одним или несколькими нулями), можно записать в виде десятичных дробей, без знаменателя. Как правильно записать десятичную дробь? Сначала пишется целая часть дроби или ноль, если дробь правильная, затем ставится запятая, а после запятой записывается числитель дроби, и здесь нужно быть очень внимательными. Дело в том, что количество знаков после запятой должно быть равно количеству нулей в знаменателе обыкновенной дроби. А в числителе может быть меньше цифр, чем надо. В этом случае мы приписываем к числителю нули, добавляя их не в конце числа, а сразу после запятой, то есть перед числителем:
Как видите, ничего сложного. Читаются десятичные дроби так же, как они читались бы в виде обыкновенных дробей: три целых, две десятых, шесть целых сорок четыре сотых, ноль целых двадцать три десятитысячных.
Чтобы правильно назвать дробь, считают количество знаков после запятой. Один знак — десятые, два знака — сотые, три знака — тысячные и т.д.
Теперь одно важное уточнение: нули в конце десятичной дроби не имеют никакого значения и отбрасываются. Мы можем приписать сколько угодно нулей, и при этом дробь не изменится:
Запомните это свойство десятичных дробей, так как оно нам пригодится при сложении и вычитании столбиком, а также при сравнении дробей.
2 Сравнение десятичных дробей
При сравнении десятичных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше.
Если же у дробей целые части равны, поступают следующим образом:
- Считают количество знаков после запятой у обоих чисел, и если оно не одинаковое, то уравнивают их, приписывая нули в конце одной из дробей.
- Переписывают полученные числа без запятых и сравнивают их. Эту операцию можно проводить мысленно, в уме:
3 Сложение и вычитание десятичных дробей
Десятичные дроби складывают столбиком так же, как обыкновенные числа, при этом их записывают так, чтобы запятая находилась строго под запятой. Далее следуют алгоритму:
- Количество знаков после запятой уравнивают, приписывая нули на конце дроби.
- Выполняют сложение или вычитание как обычно, не обращая внимания на запятую.
- Ставят запятую под запятой в данных дробях.
Если вы складываете целое число и десятичную дробь, то просто прибавляете это число к целой части, которая находится перед запятой. Например:
5 + 2,43 = 7,43
74 + 0,004 = 74,004
Если нужно из целого числа вычесть десятичную дробь, то уравниваете количество знаков после запятой и вычитаете столбиком, как описано в начале этой статьи. Например, как выполнить вычитание 52 — 3,614 = ?
4 Умножение и деление десятичных дробей
Умножение десятичных дробей на натуральное число
Чтобы умножить десятичную дробь на целое число, надо умножить её на это число, не обращая внимание на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.
Например:
2 · 0,34 = 0,68
5 · 0,002 = 0,010 = 0,01 (нули на конце десятичной дроби отбрасываются)
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Например:
8,963 · 10 = 89,63
0,062 · 1000 = 0062 = 62 (нули перед числом не пишутся)
2,9 · 10000 = 2,9000 · 10000 = 29000
Умножение десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
- Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
- Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Деление десятичной дроби на натуральное число
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
Разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую. При этом, как только кончится деление целой части, и мы должны будем сносить цифру после запятой, в частном ставим запятую.
Если целая часть меньше делителя, ответ начинается с нуля целых.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000
Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, надо перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
При этом иногда приходится сначала написать перед целой частью нуль или несколько нулей.
Например:
374,5 : 100 = 3,745
5,021 : 1000 = 0005,021 : 1000 = 0,005021
0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001
Умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — это то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит перед единицей в множителе (нуль перед запятой тоже считаем).
Например:
54,3 · 0,1 = 54,3 : 10 = 5,43
0,1 · 0,01 = 0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001
Деление на десятичную дробь
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо
- Избавиться от запятой в делителе. Для этого в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.
- После этого выполнить деление на натуральное число.
Пример 1:
Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в обоих числах запятую на две цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224. Выполним деление столбиком.
12,096 : 2,24 = 1209,6 : 224 = 5,4
Пример 2:
Разделим 4,5 на 0,125. Перенесём и в делимом, и в делителе запятую на три цифры вправо. Так как у числа 4,5 только одна цифра после запятой, то припишем ему справа два нуля. Получим числа 4500 и 125. Делим столбиком:
Так как 4500 : 125 = 36, то и 4,5 : 0,125 = 36.
Пример 3:
Разделим 25 на 0,05. Нам нужно перенести запятую в делимом и делителе на два знака вправо. Но число 25 целое, как быть с запятой? Любое целое число можно записать с запятой, приписав после неё сколько угодно нулей. 25 = 25,00. Перенеся запятую на два знака, получим число 2500.
25 : 0,05 = 2500 : 5 = 500
Деление десятичной дроби 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
Разделить число на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — это то же самое, что умножить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в делимом на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (ноль перед запятой тоже считаем).
Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.
Например:
54,87 : 0,1 = 548,7
34,56 : 0,0001 = 34,5600 : 0,0001 = 345600
24 : 0,001 = 24,000 : 0,001 = 24000
5 Округление чисел
Округление числа — это замена его близким по значению числом с нулями на конце. Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа (знак ≈ ) . Округляют как натуральные числа, так и десятичные дроби.
Округление натуральных чисел
Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. При этом пользуются следующим алгоритмом:
- Находят в числе цифру разряда, до которого нужно округлить число (в примерах она выделена красным)
- Смотрят, какая цифра стоит после неё. Если это цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру разряда увеличивают на единицу, а все последующие цифры заменяют нулями. Если же после цифры разряда стоит 4, 3, 2, 1 или 0, то просто заменяют все последующие цифры нулями.
Пример 1:
Округлить число 32748 до сотен. Цифра разряда сотен 7. После неё стоит 4. Значит 32748 ≈ 32700
Пример 2:
Округлить число 1268932 до тысяч. Цифра разряда тысяч 8. После неё стоит 9. Значит, увеличиваем 8 на единицу:
1268932 ≈ 1269000
Пример 3:
Как быть, если рядом стоят несколько девяток?
Округлить число 8269999 до десятков. Цифра разряда десятков 9. После неё стоит 9. Значит, увеличиваем 9 на единицу (и соответственно последующие девятки тоже):
8269999 ≈ 8270000
Округление десятичных дробей
Десятичные дроби округляют до целых, до десятых, до сотых, до тысячных и т. д. При этом пользуются тем же самым алгоритмом, но все последующие цифры не заменяют нулями, а отбрасывают, так как они стоят после запятой на конце числа.
Пример 1:
Округлить число 86,2759 до десятых. Цифра разряда десятых 2. После неё стоит 7. Значит, увеличиваем 2 на единицу:
86,2759 ≈ 86,3
Пример 2:
Округлить число 0,372148 до тысячных. Цифра разряда тысячных 2. После неё стоит 1.
0,372148 ≈ 0,372
Пример 3:
Округлить число 5,3721до целых. Цифра разряда целых 5. После неё стоит 3.
5,3721 ≈ 5
Образец умножения десятичных дробей столбиком — JSFiddle
Editor layout
Classic Columns Bottom results Right results Tabs (columns) Tabs (rows)
Console
Console in the editor (beta)
Clear console on run
General
Line numbers
Wrap lines
Indent with tabs
Code hinting (autocomplete) (beta)
Indent size:2 spaces3 spaces4 spaces
Key map:DefaultSublime TextEMACS
Font size:DefaultBigBiggerJabba
Behavior
Auto-run code
Only auto-run code that validates
Auto-save code (bumps the version)
Auto-close HTML tags
Auto-close brackets
Live code validation
Highlight matching tags
Boilerplates
Show boilerplates bar less often
Операции с десятичными дробями . Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений
Складывать и вычитать десятичные дроби несложно. Записываем их так же, как и целые числа, в столбик (только следите, чтобы запятые находились точно друг под другом). При вычислении 4,07 ? 0,256 может показаться, что 6 вычитать не из чего. Не паникуйте! Просто добавьте в конец 4,07 еще один ноль, чтобы цифре 6 не было так одиноко.
Однако маловероятно, что вам понадобится умножать или делить десятичные дроби вручную, разве что вы сдаете экзамен по арифметике или помогаете ребенку с домашним заданием. Но предположим, что у вас нет калькулятора… Миссис Бомонт обожает йогурты «Молочная легкость», поскольку они содержат всего 0,04 жира. Казалось бы, это немного, но если миссис Бомонт слопает 1,2 литра йогурта, сколько жира попадет к ней в желудок?
Надо вычислить 1,2 ? 0,04. Перемножать такие небольшие скромные десятичные дроби проще всего так: сперва посчитаем, сколько всего цифр стоит после запятых. В нашем случае три (2, 0 и 4). Теперь перемножим числа без запятых: 12 ? 04 = 48 и добавим запятую: только надо убедиться, что после нее идет столько же цифр, сколько мы посчитали вначале. Поскольку у нас было 3 цифры, ответ равен 0,048.
Миссис Бомонт проглотила 0,048 литра (или 48 миллилитров) жира – этого хватит, чтобы сделать свечку размером с морковь. Фуууу!
Как насчет более сложных дробей?
Когда дело доходит до преобразования единиц измерений, с десятичными дробями возникают сложности. Ниже целый раздел «Единицы измерения и их преобразование» посвящен переводу литров в пинты и метров в дюймы, а пока рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это происходит. И первым делом, как обычно, грубо прикинем результат.
Итак, вы летите на фестиваль танцев в стиле кантри; багажа на рейсе разрешается провозить не более 23 кг. Ваши старые надежные весы утверждают, что ваш чемодан весит 48,1 фунта – пропустят ли его в аэропорту? Начнем с того, что 1 фунт = 0,454 кг, значит, вес чемодана в килограммах составит 48,1 ? 0,454.
48,1 – это примерно 50, а 0,454 – приблизительно 0,5. Поэтому в результате должно получиться около 50 ? 0,5 = 25 кг.
Ох… По итогам грубых подсчетов чемодан, возможно, тяжеловат, но прежде чем выкладывать из него любимые, разукрашенные монограммами ковбойские сапоги, давайте найдем точный ответ. Для удобства запишем выражение в простых дробях.
Слава богу, чемодан весит чуть меньше 22 кг, и сапоги летят с вами. Йи-хо!
Десятичные дроби также можно умножать с помощью сетки с диагональными линиями, как показано в разделе «Надежный способ умножения».
Делить десятичные дроби можно тем же способом. Предположим, что, зайдя в комиссионный магазин, вы увидели потрясающие оранжевые брюки в стиле диско, причем их размер в талии составляет 32 дюйма. Консультант измеряет вашу талию и машинально говорит: «1,14 метра». Если 1 дюйм равен 0,0254 метра, не опозоритесь ли вы, пытаясь влезть в эти брюки? Вот выражение для вычисления обхвата вашей талии в дюймах: 1,14 ? 0,0254.
1,14 – это примерно 1, а 0,0254 – около 0,03 или 3/100. Вычисляем приблизительный ответ, разделив 1 ? 3/100. Деление на 3/100 аналогично умножению на 100/3 (см. раздел «Деление на дробь»). Тогда 1 ? 100/3 = 100/3 = около 33.
Похоже, эти брюки стоит примерить, но чтобы перестраховаться, вычислим размер талии точнее:
Выходит, обхват вашей талии 44,88 дюйма, так что оранжевые брюки, скорее всего, лопнут по швам в примерочной кабинке. Однако не переживайте – это будет меньшим позором, чем пойти в них на танцы.
Можно подумать, что 44,8 сильно отличается от 33 нашего грубого подсчета. Но он здесь нужен в основном для того, чтобы убедиться, что запятая в ответе поставлена там, где надо, а то со всеми этими нулями запутаться ничего не стоит. Если бы получился ответ 4,488 дюйма или 0,04488 дюйма, то было бы ясно, что где-то ошибка!
Памятка по действиям с десятичными дробями | Тренажёр по математике (4 класс) на тему:
Действия с десятичными дробями
(умножение и деление)
I. Частные случаи умножения и деления.
1) Умножение на 10, 100, 1000 и т.д. (деление на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) —
запятая перемещается вправо на один, два, три и т.д. знака.
0,49 • 10 = 4,9 | 0,49 : 0,1 = 4,9 |
6,4 • 1000 = 6,400 • 1000 = 6400 | 6,4 : 0,001 = 6400 |
2) Деление на 10, 100, 1000 и т.д. (умножение на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) –
запятая перемещается влево на один, два, три и т.д. знака.
509,7 : 100 = 5,097 | 509,7 • 0,01 = 5,097 |
381 : 10 = 381,0 : 10 = 38,1 | 381 • 0,1 = 38,1 |
2,4 : 1000 = 0002,4 : 1000 = 0,00 24 | 2,4 • 0,001 = 0,0024 |
II. Умножение десятичных дробей
Алгоритм
1) Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
2) Посчитать количество знаков после запятой в обоих множителях.
3) Отделить запятой такое же количество знаков справа налево в ответе.
|
|
|
III. Деление десятичных дробей
1. Алгоритм деления на натуральное число
1) Разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую.
2) Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
3) Если целая часть меньше делителя, то в частном поставить нуль целых.
2. Алгоритм деления на десятичную дробь.
1) В делителе и делимом перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
2) Выполнить деление на натуральное число.
12,096 : 2,24(2 знака) = 1209,6 : 224 = 5,4
0,0456 : 3,8(1 знак) = 0,456 : 38 = 0,012
3 : 0,75(2 знака) = 3,00 : 0,75 = 300 : 75 = 4
Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.
- Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
- Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.
- В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.
Как умножать десятичные дроби
Пример:
- Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.
- Получили 311. Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых: 2 + 2 = 4
- Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.
У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.
Запомните!
При умножении любой десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.
Примеры:
- 70,1 · 10 = 701
- 0,023 · 100 = 2,3
- 5,6 · 1 000 = 5 600
Запомните!
Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.
Считаем и ноль целых!
Примеры:
- 12 · 0,1 = 1,2
- 0,05 · 0,1 = 0,005
- 1,256 · 0,01 = 0,012 56
При делении десятичных дробей вам могут встретиться несколько случаев.
Деление десятичной дроби на натуральное число
Для деления десятичной дроби на натуральное число пользуемся следующими правилами.
- Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимание на запятую.
- Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.
Запомните!
Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.
Пример:
0,806 : 31 =
Обратите внимание, что целая часть десятичной дроби (у нас это 0) меньше, чем делитель (31). Поэтому в частном сразу ставим 0 в целой части.
Не забываем записывать ответ в пример:
0,806 : 31 = 0,026
Запомните!
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
Примеры:
- 310,1 : 10 = 31,01
- 27,56 : 100 = 0,2756
- 0,75 : 10 = 0,075
Деление натурального числа на десятичную дробь
- Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
- Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
- Делим числа как натуральные.
Пример:
5 : 2,5 =
Считаем количество знако после запятой в десятичной дроби. У нас один знак. Значит, чтобы превратить 2,5 в целое число, надо умножить его на 10. Не забываем и делимое умножить на 10.
5 : 2,5 = (5 · 10) : (2,5 · 10) = 50 : 25 = 2
Деление десятичных дробей друг на друга
Делить десятичные дроби друг на друга можно разными способами. Мы опишем один из возможных. По традиции, небольшой план действий:
- Определяем дробь с наибольшим количеством знаков (цифр) справа от запятой.
- Умножаем обе десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д., чтобы превратить десятичные дроби в целые числа.
- Делим обыкновенные числа по правилам деления в столбик и записываем ответ.
Пример:
- Наибольшее количество знаков (цифр) после запятой у первой десятичной дроби, поэтому ориентируемся на неё. Чтобы превратить 7,44 в целое число нужно умножить его на 100.
Запомните!
На 10, 100, 1000 и т.д. умножаются обе десятичные дроби.
И умножаются они на одно и то же число. То есть, если вы умножили первую дробь на 10, то и вторую вы должны умножить на 10.
- Умножаем каждую из десятичных дробей на 100.
- Делим обыкновенные числа в столбик и записываем ответ. Помним, что изначально мы делили десятичные дроби.
Запомните!
Разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — то же самое, что умножить её на 10, 100, 1000 и т.д. соответсвенно.
Примеры:
- 7,1 : 0,1 = 7,1 · 10 = 71
- 25,37 : 0,001 = 25,37 · 1 000 = 25 370
- 0,08 : 0,1 = 0,08 · 10 = 0,8
Умножение десятичных знаков
Умножьте без десятичной точки, а затем снова вставьте в правильное место!
Как умножить десятичные знаки
Просто выполните следующие действия:
- Обычное умножение без учета десятичных знаков.
- Затем поместите десятичную точку в ответ — он будет иметь столько же десятичных знаков, сколько два исходных числа вместе взятых.
Другими словами, просто подсчитайте, сколько чисел стоит после десятичной точки в и числах, которые вы умножаете, тогда в ответе должно быть такое же количество чисел после его десятичной точки .
Пример: умножить 0,03 на 1,1
начать с: | 0,03 × 1,1 | |
умножение без десятичной точки: | 3 × 11 = 33 | |
0,03 имеет 2 десятичных разряда , | 0.033 |
Как это работает?
Потому что, когда вы умножаете без десятичной точки, вы действительно сдвигаете десятичную точку вправо на , уберите ее с пути :
| Оригинал: | 1 Перемещение: | 2 хода: | 3 хода: | |||
| 0.03 × 1,1 | 0,3 × 1,1 | 3. × 1,1 | 3. × 11. |
Затем мы выполняем (теперь простое) умножение:
3. × 11. = 33.
Но помните, мы сделали 3 хода десятичной точки, поэтому нам нужно отменить это:
| 3 хода: | 2 хода: | 1 Перемещение: | Правильно | |||
| 33. | 3,3 | 0,33 | 0,033 |
Вот еще несколько примеров:
Пример: умножить 0,25 на 0,2
начать с: | 0,25 × 0,2 | |
умножение без десятичной точки: | 25 × 2 = 50 | |
0.25 имеет 2 десятичных разрядов, | 0,050 |
Пример: умножить 102 на 0,22
начать с: | 102 × 0,22 | |
умножение без десятичной точки: | 102 × 22 = 2244 | |
102 имеет 0 десятичных знаков, | 22,44 |
Здравый смысл
В качестве последней проверки вы можете надеть шляпу «здравого смысла» и подумать: « » — это правильный размер? » , потому что вы не хотите ни за что переплачивать в десять раз больше, ни получать только десятую часть того, что вам нужно!
И все.
Просто помните: в ответе должно быть то же количество десятичных знаков, что и в обоих числах, которые вы умножаете.
Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел
Цели обучения
- Использование сложения, вычитания, умножения и деления при вычислении целочисленных выражений
Работа с целыми числами и выполнение основных вычислений — основа всей математики. Предположим, вы помните, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление одной цифры. Для выполнения этих расчетов у вас часто будет под рукой калькулятор, но быстрое освежение знаний поможет вам лучше понять, как работать с числами, чтобы сложные уравнения были менее сложными.
Дополнение
, пример
Добавьте: [латекс] 28 + 61 [/ латекс]
Решение
Чтобы сложить числа, состоящие из более чем одной цифры, часто проще записать числа вертикально в столбцы.
| Напишите числа так, чтобы цифры единиц и десятков выстроились вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 28 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 61} \ end {array} [/ latex] |
| Затем добавьте цифры в каждое значение разряда. Складываем единицы: [латекс] 8 + 1 = 9 [/ латекс] Складываем десятки: [латекс] 2 + 6 = 8 [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 28 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 61} \\ \ hfill 89 \ end {array} [/ latex] |
В предыдущем примере сумма единиц и сумма десятков были меньше [латекс] 10 [/ латекс].Но что будет, если сумма [латекс] 10 [/ латекс] или больше? Давайте воспользуемся нашей моделью base- [latex] 10 [/ latex], чтобы выяснить это.
На рисунке ниже снова показано добавление [латекса] 17 [/ латекса] и [латекса] 26 [/ латекса].
Когда мы складываем их, [латекс] 7 + 6 [/ латекс], мы получаем [латекс] 13 [/ латекс]. Поскольку у нас больше, чем [latex] 10 [/ latex], мы можем обменять [latex] 10 [/ latex] на десять [latex] 1 [/ latex] десять. Теперь у нас есть [латексные] 4 [/ латексные] десятки и [латексные] 3 [/ латексные] десятки.Не используя модель, мы показываем это как маленький красный [латекс] 1 [/ латекс] над цифрами в разряде десятков.
Когда сумма в столбце разряда больше, чем [latex] 9 [/ latex], мы переносимся в следующий столбец слева. Перенос — это то же самое, что перегруппировка путем обмена. Например, [латекс] 10 [/ латекс] единиц за [латекс] 1 [/ латекс] десятку или [латекс] 10 [/ латекс] десяток за [латекс] 1 [/ латекс] сотню.
Сложить целые числа
- Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
- Сложите цифры в каждом значении разряда. Работайте справа налево, начиная с единиц. Если сумма в разряде больше [latex] 9 [/ latex], переносится к следующему разряду.
- Продолжайте складывать каждое разрядное значение справа налево, добавляя каждое разрядное значение и перенося, если необходимо.
, пример
Добавьте: [латекс] 43 + 69 [/ латекс]
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы они располагались вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 43 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 69} \ end {array} [/ latex] |
| Сложите цифры в каждом месте. Складываем единицы: [латекс] 3 + 9 = 12 [/ латекс] | |
| Запишите [латекс] 2 [/ латекс] в разряде единиц суммы. Добавьте [latex] 1 [/ latex] десятку к разряду десятков. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} {4} 3 \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 69} \\ \ hfill 2 \ end {array} [/ латекс] |
| Теперь сложите десятки: [латекс] 1 + 4 + 6 = 11 [/ латекс] Запишите 11 в сумме. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} {4} 3 \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 69} \\ \ hfill 112 \ end {array} [/ латекс] |
Если слагаемые содержат разное количество цифр, будьте осторожны, чтобы выровнять соответствующие разрядные значения, начиная с единиц и двигаясь влево.
, пример
Добавить: [латекс] 1,683 + 479 [/ латекс].
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы они располагались вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 1,683 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {______}} {+ 479} \ end {array} [/ latex] |
| Сложите цифры в каждом значении разряда. | |
| Складываем единицы: [латекс] 3 + 9 = 12 [/ латекс]. Напишите [latex] 2 [/ latex] в разряде единиц суммы и перенесите [latex] 1 [/ latex] десять в разряды десятков. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 1,6 \ stackrel {1} {8} 3 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {______}} {+ 479} \\ \ hfill 2 \ end {array} [/ latex] |
| Складываем десятки: [латекс] 1 + 7 + 8 = 16 [/ латекс] Напишите [латекс] 6 [/ латекс] в разряде десятков и отнесите [латекс] 1 [/ латекс] сотню к разряду сотен. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 1, \ stackrel {1} {6} \ stackrel {1} {8} 3 \\ \\ \ hfill \ underset {\ text {______}} {+ 479} \\ \ hfill 62 \ end {array} [/ latex] |
| Складываем сотни: [латекс] 1 + 6 + 4 = 11 [/ латекс] Напишите [латекс] 1 [/ латекс] в разряде сотен и перенесите [латекс] 1 [/ латекс] тысячу в разряды тысяч. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} {1}, \ stackrel {1} {6} \ stackrel {1} {8} 3 \\ \\ \ hfill \ underset {\ текст {______}} {+ 479} \\ \ hfill 162 \ end {array} [/ latex] |
| Сложите тысячи [латекс] 1 + 1 = 2 [/ латекс]. Напишите [латекс] 2 [/ латекс] в разряде тысяч суммы. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} {1}, \ stackrel {1} {6} \ stackrel {1} {8} 3 \\ \\ \ hfill \ underset {\ текст {______}} {+ 479} \\ \ hfill 2,162 \ end {array} [/ latex] |
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как сложить три целых числа, выровняв разряды.
Вычитание
Сложение и вычитание — обратные операции. Сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение.
Мы знаем [латекс] 7 — 3 = 4 [/ latex], потому что [latex] 4 + 3 = 7 [/ latex]. Знание всех фактов сложения чисел поможет при вычитании. Затем мы можем проверить вычитание, добавив. В приведенных выше примерах наши вычитания можно проверить сложением.
| [латекс] 7-3 = 4 [/ латекс] | потому что | [латекс] 4 + 3 = 7 [/ латекс] |
| [латекс] 13-8 = 5 [/ латекс] | потому что | [латекс] 5 + 8 = 13 [/ латекс] |
| [латекс] 43-26 = 17 [/ латекс] | потому что | [латекс] 17 + 26 = 43 [/ латекс] |
Для вычитания чисел, состоящих более чем из одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения.Выровняйте цифры по разряду, а затем вычтите каждый столбец, начиная с единиц, а затем двигаясь влево.
Упражнение
Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 89 — 61 [/ латекс].
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы цифры единиц и десятков выстроились вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 89 \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {- 61} \ end {array} [/ latex] |
| Вычтите цифры в каждом значении разряда. Вычтите единицы: [латекс] 9 — 1 = 8 [/ латекс] Вычтите десятки: [латекс] 8–6 = 2 [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 89 \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {- 61} \\ \ hfill 28 \ end {array} [/ latex] |
| Проверить с помощью дополнения. [латекс] \ begin {массив} {c} \ hfill 28 \\ \ hfill \ underset {\ text {____}} {+ 61} \\ \ hfill 89 \ end {array} \ quad \ checkmark [/ latex] |
Наш ответ правильный.
Вычесть целые числа
- Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
- Вычтите цифры в каждом значении разряда. Работайте справа налево, начиная с единиц. Если цифра вверху меньше цифры внизу, при необходимости заимствуйте.
- Продолжайте вычитать каждую позицию справа налево, при необходимости заимствуя.
- Проверить добавлением.
упражнение
Вычтите: [латекс] 43 — 26 [/ латекс].
В приведенном выше примере, если мы моделируем вычитание [latex] 26 [/ latex] из [latex] 43 [/ latex], мы бы заменили [latex] 1 [/ latex] десять на [latex] 10 [/ latex]. .Когда мы делаем это без моделей, мы говорим, что заимствуем [latex] 1 [/ latex] из разряда десятков и добавляем [latex] 10 [/ latex] в разряды единиц.
Упражнение
Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 207 — 64 [/ латекс].
Упражнение
Вычтите и проверьте, добавив: [латекс] 2,162 — 479 [/ латекс].
Покажи ответРешение
Наш ответ правильный.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример вычитания целых чисел путем выравнивания значений разряда.
Умножение
Чтобы умножать без использования моделей, вам необходимо знать все факты однозначного умножения. Убедитесь, что вы хорошо их знаете, прежде чем переходить к этому разделу. В таблице ниже показаны факты умножения.
Каждое поле показывает произведение числа в левом столбце и числа в верхнем ряду. Если вы не уверены в продукте, смоделируйте его. Важно, чтобы вы запомнили любые числовые факты, которых вы еще не знаете, чтобы вы были готовы умножать большие числа.
| [латекс] x [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 1 [/ латекс] | [латекс] 2 [/ латекс] | [латекс] 3 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 5 [/ латекс] | [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 7 [/ латекс] | [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 9 [/ латекс] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] |
| [латекс] 1 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 1 [/ латекс] | [латекс] 2 [/ латекс] | [латекс] 3 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 5 [/ латекс] | [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 7 [/ латекс] | [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 9 [/ латекс] |
| [латекс] 2 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 2 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 10 [/ латекс] | [латекс] 12 [/ латекс] | [латекс] 14 [/ латекс] | [латекс] 16 [/ латекс] | [латекс] 18 [/ латекс] |
| [латекс] 3 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 3 [/ латекс] | [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 9 [/ латекс] | [латекс] 12 [/ латекс] | [латекс] 15 [/ латекс] | [латекс] 18 [/ латекс] | [латекс] 21 [/ латекс] | [латекс] 24 [/ латекс] | [латекс] 27 [/ латекс] |
| [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 12 [/ латекс] | [латекс] 16 [/ латекс] | [латекс] 20 [/ латекс] | [латекс] 24 [/ латекс] | [латекс] 28 [/ латекс] | [латекс] 32 [/ латекс] | [латекс] 36 [/ латекс] |
| [латекс] 5 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 5 [/ латекс] | [латекс] 10 [/ латекс] | [латекс] 15 [/ латекс] | [латекс] 20 [/ латекс] | [латекс] 25 [/ латекс] | [латекс] 30 [/ латекс] | [латекс] 35 [/ латекс] | [латекс] 40 [/ латекс] | [латекс] 45 [/ латекс] |
| [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 6 [/ латекс] | [латекс] 12 [/ латекс] | [латекс] 18 [/ латекс] | [латекс] 24 [/ латекс] | [латекс] 30 [/ латекс] | [латекс] 36 [/ латекс] | [латекс] 42 [/ латекс] | [латекс] 48 [/ латекс] | [латекс] 54 [/ латекс] |
| [латекс] 7 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 7 [/ латекс] | [латекс] 14 [/ латекс] | [латекс] 21 [/ латекс] | [латекс] 28 [/ латекс] | [латекс] 35 [/ латекс] | [латекс] 42 [/ латекс] | [латекс] 49 [/ латекс] | [латекс] 56 [/ латекс] | [латекс] 63 [/ латекс] |
| [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 8 [/ латекс] | [латекс] 16 [/ латекс] | [латекс] 24 [/ латекс] | [латекс] 32 [/ латекс] | [латекс] 40 [/ латекс] | [латекс] 48 [/ латекс] | [латекс] 56 [/ латекс] | [латекс] 64 [/ латекс] | [латекс] 72 [/ латекс] |
| [латекс] 9 [/ латекс] | [латекс] 0 [/ латекс] | [латекс] 9 [/ латекс] | [латекс] 18 [/ латекс] | [латекс] 27 [/ латекс] | [латекс] 36 [/ латекс] | [латекс] 45 [/ латекс] | [латекс] 54 [/ латекс] | [латекс] 63 [/ латекс] | [латекс] 72 [/ латекс] | [латекс] 81 [/ латекс] |
Мы знаем, что изменение порядка сложения не меняет суммы.Мы видели, что [латекс] 8 + 9 = 17 [/ латекс] то же самое, что [латекс] 9 + 8 = 17 [/ латекс].
Верно ли это и для умножения? Давайте посмотрим на несколько пар факторов.
[латекс] 4 \ cdot 7 = 28 \ quad 7 \ cdot 4 = 28 [/ латекс]
[латекс] 9 \ cdot 7 = 63 \ quad 7 \ cdot 9 = 63 [/ латекс]
[латекс] 8 \ cdot 9 = 72 \ quad 9 \ cdot 8 = 72 [/ латекс]
При обратном порядке факторов продукт не изменяется. Это называется коммутативным свойством умножения.
Коммутативное свойство умножения
Изменение порядка факторов не меняет их произведения.
[латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс]
, пример
Умножить:
[латекс] 8 \ cdot 7 [/ латекс]
[латекс] 7 \ cdot 8 [/ латекс]
Решение:
| 1. | [латекс] 8 \ cdot 7 [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] 56 [/ латекс] |
| 2. | [латекс] 7 \ cdot 8 [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] 56 [/ латекс] |
Изменение порядка факторов не приводит к изменению продукта.
Чтобы умножать числа, состоящие более чем из одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения и вычитания.
[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 27 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 3} \ end {array} [/ latex]
Начнем с умножения [латекс] 3 [/ латекс] на [латекс] 7 [/ латекс].
[латекс] 3 \ раз 7 = 21 [/ латекс]
Мы пишем [латекс] 1 [/ латекс] на единицах товара. Переносим [latex] 2 [/ latex] десятки, написав [latex] 2 [/ latex] над разрядами десятков.
Затем мы умножаем [latex] 3 [/ latex] на [latex] 2 [/ latex] и добавляем [latex] 2 [/ latex] над разрядами десятков к изделию. Итак, [латекс] 3 \ times 2 = 6 [/ латекс], и [латекс] 6 + 2 = 8 [/ латекс]. Напишите [латекс] 8 [/ латекс] в разряде десятков продукта.
Изделие [латекс] 81 [/ латекс].
Когда мы умножаем два числа на разное количество цифр, обычно проще написать меньшее число внизу. Можно было бы написать и по-другому, но с этим проще работать.
, пример
Умножение: [латекс] 15 \ cdot 4 [/ латекс]
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы цифры [латекс] 5 [/ латекс] и [латекс] 4 [/ латекс] выстроились вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 15 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 4} \ end {array} [/ latex] |
| Умножьте [латекс] 4 [/ латекс] на цифру в разряде единиц [латекс] 15 [/ латекс]. [латекс] 4 \ cdot 5 = 20 [/ латекс]. | |
| Напишите [латекс] 0 [/ латекс] в единицах изделия и несите [латекс] 2 [/ латекс] десятки. | [латекс] \ begin {массив} {c} \ hfill \ stackrel {2} {1} 5 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 4} \\ \ hfill 0 \ end {массив } [/ латекс] |
| Умножьте [латекс] 4 [/ латекс] на цифру в разряде десятков [латекс] 15 [/ латекс]. [латекс] 4 \ cdot 1 = 4 [/ латекс]. Добавьте [латекс] 2 [/ латекс] десятки, которые мы несли. [латекс] 4 + 2 = 6 [/ латекс]. | |
| Напишите [латекс] 6 [/ латекс] в разряде десятков продукта. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {2} {1} 5 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 4} \\ \ hfill 60 \ end {массив } [/ латекс] |
, пример
Умножение: [латекс] 286 \ cdot 5 [/ латекс]
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы цифры [латекс] 5 [/ латекс] и [латекс] 6 [/ латекс] выстроились вертикально. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 286 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 5} \ end {array} [/ latex] |
| Умножьте [латекс] 5 [/ латекс] на цифру в разряде единиц [латекс] 286 [/ латекс]. [латекс] 5 \ cdot 6 = 30 [/ латекс] | |
| Напишите [латекс] 0 [/ латекс] на месте единицы продукта и перенесите [латекс] 3 [/ латекс] в разряд десятков. Умножьте [латекс] 5 [/ латекс] на цифру в десятки место [латекс] 286 [/ латекс]. [латекс] 5 \ cdot 8 = 40 [/ латекс] | [латекс] \ begin {массив} {} \\ \ hfill 2 \ stackrel {3} {8} 6 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 5} \\ \ hfill 0 \ end {array} [/ latex] |
| Добавьте [латекс] 3 [/ латекс] десятки, которые мы принесли, чтобы получить [латекс] 40 + 3 = 43 [/ латекс]. Напишите [латекс] 3 [/ латекс] в разряде десятков продукта и отнесите [латекс] 4 [/ латекс] к разряду сотен. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {4} {2} \ stackrel {3} {8} 6 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 5} \ \ \ hfill 30 \ end {array} [/ latex] |
| Умножьте [латекс] 5 [/ латекс] на цифру в разряде сотен [латекс] 286 [/ латекс]. [латекс] 5 \ cdot 2 = 10 [/ латекс]. Добавьте [латекс] 4 [/ латекс] сотни, которые мы принесли, чтобы получить [латекс] 10 + 4 = 14 [/ латекс]. Напишите [латекс] 4 [/ латекс] в разряде сотен продукта и [латекс] 1 [/ латекс] в разряде тысяч. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {4} {2} \ stackrel {3} {8} 6 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 5} \ \ \ hfill 1,430 \ end {array} [/ latex] |
Когда мы умножаем на число, состоящее из двух или более цифр, мы умножаем на каждую из цифр отдельно, работая справа налево. Каждое отдельное произведение цифр называется частичным произведением.Когда мы пишем частичные продукты, мы должны убедиться, что выровнены значения позиций.
Умножение целых чисел
- Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
- Умножьте цифры в каждом значении разряда.
- Работайте справа налево, начиная с единиц в нижнем ряду.
- Умножьте нижнее число на разряд единиц в верхнем числе, затем на разряд десятков и так далее.
- Если продукт в разряде больше, чем [латекс] 9 [/ латекс], перейти к следующему разряду.
- Напишите частичные продукты, выровняв цифры в позиционных значениях с числами, указанными выше.
- Повторите эти действия для разряда десятков в нижнем числе, разряда сотен и так далее.
- Вставляйте ноль в качестве заполнителя с каждым дополнительным частичным продуктом.
- Работайте справа налево, начиная с единиц в нижнем ряду.
- Добавьте частичные продукты.
, пример
Умножение: [латекс] 62 \ влево (87 \ вправо) [/ латекс]
Покажи ответРешение
| Напишите числа так, чтобы каждое место было расположено вертикально. | |
| Начните с умножения 7 на 62. Умножьте 7 на цифру 62 в разряде единиц. [латекс] 7 \ cdot 2 = 14 [/ латекс]. Напишите 4 в разряде единиц продукта и перенесите 1 в разряды десятков. | |
| Умножьте 7 на цифру в разряде десятков 62. [latex] 7 \ cdot 6 = 42 [/ latex]. Добавьте 1 десятку, которую мы несли. [латекс] 42 + 1 = 43 [/ латекс] латекс]. Запишите 3 в разряде десятков произведения и 4 в разрядах сотен. | |
| Первый частичный продукт [латекс] 434 [/ латекс]. | |
| Теперь напишите [latex] 0 [/ latex] под [latex] 4 [/ latex] на месте единиц следующего частичного продукта в качестве заполнителя, так как теперь мы умножаем цифру на разряды десятков [latex ] 87 [/ латекс] [латекс] 62 [/ латекс]. Умножьте [latex] 8 [/ latex] на цифру в разряде единиц [latex] 62 [/ latex] [латекс] 8 \ cdot 2 = 16 [/ латекс]. Напишите [латекс] 6 [/ латекс] на следующем месте продукта, то есть на разряде десятков.Отнесите [латекс] 1 [/ латекс] к разряду десятков. | |
| Умножьте [латекс] 8 [/ латекс] на [латекс] 6 [/ латекс], цифру в десятках [латекс] 62 [/ латекс], затем добавьте [латекс] 1 [/ латекс] десять. повезли получить [латекс] 49 [/ латекс]. Напишите [латекс] 9 [/ латекс] в разряде сотен продукта и [латекс] 4 [/ латекс] в разряде тысяч. | |
| Второй частичный продукт — [латекс] 4960 [/ латекс]. Добавьте частичные продукты. |
Продукт [латекс] 5,394 [/ латекс].
Если имеется три или более факторов, мы умножаем первые два, а затем умножаем их произведение на следующий коэффициент. Например:
| умножить | [латекс] 8 \ cdot 3 \ cdot 2 [/ латекс] |
| первое умножение [латекс] 8 \ cdot 3 [/ латекс] | [латекс] 24 \ cdot 2 [/ латекс] |
| затем умножить [латекс] 24 \ cdot 2 [/ латекс] | [латекс] 48 [/ латекс] |
В видео ниже мы суммируем концепции, представленные на этой странице, включая свойство умножения нуля, свойство идентичности умножения и свойство коммутативности умножения.м
Дивизия
Мы сказали, что сложение и вычитание — обратные операции, потому что одно отменяет другое. Точно так же деление — это операция, обратная умножению. Мы знаем [латекс] 12 \ div 4 = 3 [/ latex], потому что [латекс] 3 \ cdot 4 = 12 [/ latex]. При делении очень важно знать все факты о числах умножения.
Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно дивиденду.Мы знаем, что [latex] 24 \ div 8 = 3 [/ latex] правильно, потому что [latex] 3 \ cdot 8 = 24 [/ latex].
, пример
Разделить. Затем проверьте умножением.
- [латекс] 42 \ div 6 [/ латекс]
- [латекс] \ frac {72} {9} [/ латекс]
- [латекс] 7 \ overline {) 63} [/ латекс]
Решение:
| 1. | |
| [латекс] 42 \ div 6 [/ латекс] | |
| Разделите [латекс] 42 [/ латекс] на [латекс] 6 [/ латекс]. | [латекс] 7 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 7 \ cdot 6 [/ латекс] | |
| [латекс] 42 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
| 2. | |
| [латекс] \ frac {72} {9} [/ латекс] | |
| Разделите [латекс] 72 [/ латекс] на [латекс] 9 [/ латекс]. | [латекс] 8 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 8 \ cdot 9 [/ латекс] | |
| [латекс] 72 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
| 3. | |
| [латекс] 7 \ overline {) 63} [/ латекс] | |
| Разделите [латекс] 63 [/ латекс] на [латекс] 7 [/ латекс]. | [латекс] 9 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 9 \ cdot 7 [/ латекс] | |
| [латекс] 63 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
Каково частное при делении числа на само себя?
[латекс] \ frac {15} {15} = 1 \ text {потому что} 1 \ cdot 15 = 15 [/ латекс]
Разделение любого числа [латекс] \ text {(кроме 0)} [/ latex] на само по себе дает частное [латекс] 1 [/ latex].Кроме того, любое число, деленное на [latex] 1 [/ latex], дает частное от числа. Эти две идеи изложены в разделе «Свойства единицы».
Подразделение имущества одного объекта
| Любое число (кроме 0), разделенное само по себе, равно единице. | [латекс] a \ div a = 1 [/ латекс] |
| Любое число, разделенное на единицу, является одним и тем же числом. | [латекс] a \ div 1 = a [/ латекс] |
, пример
Разделить. Затем проверьте, умножив:
- [латекс] 11 \ div 11 [/ латекс]
- [латекс] \ frac {19} {1} [/ латекс]
Решение:
| 1. | |
| [латекс] 11 \ div 11 [/ латекс] | |
| Число, разделенное само по себе, — [латекс] 1 [/ латекс]. | [латекс] 1 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 1 \ cdot 11 [/ латекс] | |
| [латекс] 11 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
| 2. | |
| [латекс] \ frac {19} {1} [/ латекс] | |
| Число, разделенное на [латекс] 1 [/ латекс], равно самому себе. | [латекс] 19 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 19 \ cdot 1 [/ латекс] | |
| [латекс] 19 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
Предположим, у нас есть [latex] \ text {\ $ 0} [/ latex], и мы хотим разделить его между [latex] 3 [/ latex] людьми. Сколько получит каждый человек? Каждый получит [латекс] \ текст {\ $ 0} [/ латекс]. Ноль разделенный на любое число — [латекс] 0 [/ латекс].
Теперь предположим, что мы хотим разделить [latex] \ text {\ $ 10} [/ latex] на [latex] 0 [/ latex].Это означает, что нам нужно найти число, которое мы умножим на [latex] 0 [/ latex], чтобы получить [latex] 10 [/ latex]. Этого не может произойти, потому что [латекс] 0 [/ латекс] умноженное на любое число равно [латекс] 0 [/ латекс]. Деление на ноль называется undefined .
Эти две идеи составляют свойство деления нуля.
Отдел недвижимости Ноль
| Нуль, деленный на любое число, будет [латекс] 0 [/ латекс]. | [латекс] 0 \ div a = 0 [/ латекс] |
| Деление числа на ноль не определено. | [латекс] a \ div 0 [/ латекс] undefined |
Другой способ объяснить, почему деление на ноль не определено, — это помнить, что деление на самом деле является повторным вычитанием. Сколько раз мы можем убрать [латекс] 0 [/ latex] из [latex] 10? [/ Latex] Поскольку вычитание [latex] 0 [/ latex] никогда не изменит общую сумму, мы никогда не получим ответа. Таким образом, мы не можем разделить число на [латекс] 0 [/ латекс].
, пример
Разделить. Проверить умножением:
- [латекс] 0 \ div 3 [/ латекс]
- [латекс] \ frac {10} {0} [/ латекс]
Решение
| 1. | |
| [латекс] 0 \ div 3 [/ латекс] | |
| Ноль, деленный на любое число, равно нулю. | [латекс] 0 [/ латекс] |
| Проверить умножением. [латекс] 0 \ cdot 3 [/ латекс] | |
| [латекс] 0 \ квадратик \ галочка [/ латекс] |
| 2. | |
| [латекс] 10/0 [/ латекс] | |
| Деление на ноль не определено. | undefined |
Когда делитель или делимое состоит более чем из одной цифры, обычно проще использовать нотацию [latex] 4 \ overline {) 12} [/ latex]. Этот процесс называется длинным делением. Давайте поработаем над процессом, разделив [латекс] 78 [/ латекс] на [латекс] 3 [/ латекс].
| Разделите первую цифру делимого, [латекс] 7 [/ латекс], на делитель, [латекс] 3 [/ латекс]. | |
| Делитель [латекс] 3 [/ латекс] может входить в [латекс] 7 [/ латекс] два раза, так как [латекс] 2 \ times 3 = 6 [/ латекс].Напишите [латекс] 2 [/ латекс] над [латексом] 7 [/ латекс] в частном. | |
| Умножьте [латекс] 2 [/ латекс] в частном на [латекс] 2 [/ латекс] и запишите произведение [латекс] 6 [/ латекс] под [латекс] 7 [/ латекс]. | |
| Вычтите это произведение из первой цифры дивиденда. Вычтите [латекс] 7 — 6 [/ латекс]. Напишите разницу, 1, под первой цифрой делимого. | |
| Опустите следующую цифру дивиденда.Сбиваем [латекс] 8 [/ латекс]. | |
| Разделите [латекс] 18 [/ латекс] на делитель, [латекс] 3 [/ латекс]. Делитель [латекс] 3 [/ латекс] переходит в [латекс] 18 [/ латекс] шесть раз. | |
| Напишите [латекс] 6 [/ латекс] в частном над [латекс] 8 [/ латекс]. | |
| Умножьте [латекс] 6 [/ латекс] в частном на делитель и запишите произведение [латекс] 18 [/ латекс] под делимым. Вычтите [латекс] 18 [/ латекс] из [латекс] 18 [/ латекс]. |
Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в дивиденде не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше нет цифр, которые нужно сбивать, поэтому деление закончено.
[латекс] \ text {So} 78 \ div 3 = 26 [/ латекс].
Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить дивиденд. Умножьте [латекс] 26 \ на 3 [/ латекс], чтобы убедиться, что продукт равен дивиденду, [латекс] 78 [/ латекс].
[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill \ stackrel {1} {2} 6 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 3} \\ \ hfill 78 \ end {массив } [/ латекс]
Да, поэтому наш ответ правильный.[латекс] \ галочка [/ латекс]
Деление целых чисел
- Разделите первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше, чем первая цифра делимого, разделите первые две цифры делимого на делитель и т. Д.
- Напишите частное над дивидендом.
- Умножьте частное на делитель и запишите произведение под дивидендом.
- Вычтите этот продукт из дивиденда.
- Введите следующую цифру делимого.
- Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в дивиденде не останется цифр, которые нужно уменьшить.
- Проверьте, умножив частное на делитель.
На видео ниже мы показываем еще один пример использования деления в столбик.
, пример
Разделить [латекс] 2,596 \ div 4 [/ латекс]. Проверить умножением:
Покажи ответРешение
Это равняется дивиденду, поэтому наш ответ правильный.
, пример
Разделите [латекс] 4,506 \ div 6 [/ латекс].Проверить умножением:
Покажи ответРешение
Это равняется дивиденду, поэтому наш ответ правильный.
Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления четырехзначного целого числа на двузначное целое число.
Пока все проблемы с разделением решаются равномерно. Например, если бы у нас было [латексное] 24 [/ латексное] печенье и мы хотели бы сделать пакеты из [латексного] 8 [/ латексного] печенья, у нас были бы [латексные] 3 [/ латексные] пакеты.Но что, если бы было печенье [latex] 28 [/ latex], и мы хотели бы сделать пакеты из [latex] 8? [/ Latex] Начнем с файлов cookie [latex] 28 [/ latex].
Попробуйте разместить файлы cookie группами по восемь штук.
Остались группы [latex] 3 [/ latex] из восьми файлов cookie и [latex] 4 [/ latex] файлов cookie. Мы вызываем оставшиеся файлы cookie [latex] 4 [/ latex] и показываем их, записывая R4 рядом с [latex] 3 [/ latex]. (R означает остаток.)
Чтобы проверить это деление, мы умножаем [latex] 3 [/ latex] на [latex] 8 [/ latex], чтобы получить [latex] 24 [/ latex], а затем складываем остаток [latex] 4 [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 3 \\ \ hfill \ underset {\ text {___}} {\ times 8} \\ \ hfill 24 \\ \ hfill \ underset {\ text {___} } {+ 4} \\ \ hfill 28 \ end {array} [/ latex]
, пример
Деление [латекс] 1,439 \ div 4 [/ латекс]. Проверить умножением.
Покажи ответРешение
Итак, [латекс] 1,439 \ div 4 [/ latex] — это [латекс] 359 [/ latex] с остатком [латекс] 3 [/ latex]. Наш ответ правильный.
, пример
Разделите, а затем проверьте умножением: [латекс] 1,461 \ div 13 [/ латекс].
Покажи ответРешение
Наш ответ правильный.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления целых чисел, когда есть остаток.
Внесите свой вклад!
У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Умножение десятичных знаков | Предалгебра
Результаты обучения
- Умножение двух десятичных знаков вместе
- Умножение десятичной дроби на 10, 100 или 1000
Умножение десятичных знаков очень похоже на умножение целых чисел — нам просто нужно определить, где разместить десятичную точку.Процедура умножения десятичных дробей будет иметь смысл, если мы сначала рассмотрим умножение дробей.
Вы помните, как умножать дроби? Чтобы умножить дроби, вы умножаете числители, а затем знаменатели.
Итак, давайте посмотрим, что мы получим как произведение десятичных знаков, если сначала преобразовать их в дроби. Ниже мы сделаем два примера бок о бок. Ищите выкройку.
| А | B | |
|---|---|---|
| [латекс] \ влево (0.3 \ вправо) \ влево (0,7 \ вправо) [/ латекс] | [латекс] \ влево (0,2 \ вправо) \ влево (0,46 \ вправо) [/ латекс] | |
| Преобразовать в дроби. | [латекс] \ left (\ frac {3} {10} \ right) \ left (\ frac {7} {10} \ right) [/ latex] | [латекс] \ left (\ frac {2} {10} \ right) \ left (\ frac {46} {100} \ right) [/ latex] |
| Умножить. | [латекс] \ frac {21} {100} [/ латекс] | [латекс] \ frac {92} {1000} [/ латекс] |
| Преобразовать обратно в десятичные числа. | [латекс] 0.21 [/ латекс] | [латекс] 0,092 [/ латекс] |
Есть шаблон, который мы можем использовать. В A мы перемножили два числа, каждое из которых имеет один десятичный знак, и произведение имеет два десятичных знака. В B мы умножили число с одним десятичным знаком на число с двумя десятичными знаками, и у продукта было три десятичных знака.
Сколько десятичных знаков вы ожидаете в произведении [латекс] \ влево (0,01 \ вправо) \ влево (0,004 \ вправо)? [/ Latex] Если вы сказали «пять», вы узнали образец.Когда мы умножаем два числа на десятичные дроби, мы подсчитываем все десятичные разряды в множителях — в данном случае два плюс три — чтобы получить количество десятичных знаков в произведении — в данном случае пять.
Как только мы узнаем, как определять количество цифр после десятичной точки, мы сможем умножать десятичные числа без предварительного преобразования их в дроби. Количество десятичных знаков в произведении складывается из количества десятичных знаков в множителях.
Правила умножения положительных и отрицательных чисел, конечно же, применимы и к десятичным дробям.
Умножение двух чисел
При умножении двух чисел
- Если их признаки совпадают, товар положительный.
- , если их знаки разные, товар отрицательный.
Когда вы умножаете десятичные дроби со знаком, сначала определите знак произведения, а затем умножьте, как если бы оба числа были положительными. Наконец, напишите продукт соответствующим знаком.
Умножение десятичных чисел.
- Определите знак товара.
- Напишите числа в вертикальном формате, выровняв числа справа.
- Умножайте числа, как если бы они были целыми числами, временно игнорируя десятичные точки.
- Поставьте десятичную точку. Количество десятичных знаков в произведении складывается из количества десятичных знаков в множителях. При необходимости используйте нули в качестве заполнителей.
- Напишите продукт соответствующим знаком.
, пример
Умножить: [латекс] \ left (3.9 \ вправо) \ влево (4,075 \ вправо) [/ латекс].
Решение
| [латекс] \ влево (3,9 \ вправо) \ влево (4,075 \ вправо) [/ латекс] | |
| Определите знак товара. Знаки такие же. | Товар будет положительным. |
| Напишите числа в вертикальном формате, выровняв числа справа. | |
| Умножайте числа, как если бы они были целыми числами, временно игнорируя десятичные точки. | |
| Разместите десятичную точку. Добавьте количество десятичных знаков в множители [латекс] \ слева (1 + 3 \ справа) [/ латекс]. Разместите десятичную точку на 4 разряда справа. | |
| Товар положительный. | [латекс] \ влево (3,9 \ вправо) \ влево (4,075 \ вправо) = 15,8925 [/ латекс] |
, пример
Умножение: [латекс] \ left (-8.2 \ right) \ text {(} 5.19 \ text {).} [/ латекс]
Показать решениеРешение
| [латекс] \ влево (-8,2 \ вправо) \ влево (5,19 \ вправо) [/ латекс] | |
| Знаки разные. | Товар будет отрицательным. |
| Пишите в вертикальном формате, выравнивая числа справа. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 5.19 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 8.2} \ end {array} [/ latex] |
| Умножить. | [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 5.19 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 8.2} \\ \ hfill 1038 \\ \ underset {\ text {_____}} {4152} \\ \ hfill 42558 \ end {array} [/ латекс] |
| [латекс] \ begin {array} {c} \ hfill 5.19 \\ \ hfill \ underset {\ text {_____}} {\ times 8.2} \\ \ hfill 1038 \\ \ underset {\ text {_____}} { 4152} \\ \ hfill 42.558 \ end {array} [/ latex] | |
| Товар отрицательный. | [латекс] \ влево (-8,2 \ вправо) \ влево (5,19 \ вправо) = — 42,558 [/ латекс] |
В следующем видео мы показываем еще один пример умножения двух десятичных знаков.
В следующем примере нам нужно будет добавить несколько нулей-заполнителей, чтобы правильно разместить десятичную точку.
, пример
Умножение: [латекс] \ left (0,03 \ right) \ text {(} 0,045 \ text {).} [/ Latex]
Показать решениеРешение
| [латекс] \ влево (0,03 \ вправо) \ влево (0,045 \ вправо) [/ латекс] | |
| Товар положительный. | |
| Пишите в вертикальном формате, выравнивая числа справа. | |
| Умножить. | |
Добавьте нули по мере необходимости, чтобы получить 5 мест [latex] [/ latex]. | |
| Товар положительный. | [латекс] \ влево (0,03 \ вправо) \ влево (0,045 \ вправо) = 0,00135 [/ латекс] |
Умножить на степень [латекс] 10 [/ латекс]
Во многих областях, особенно в науке, принято умножать десятичные дроби на степень [латекс] 10 [/ латекс].Давайте посмотрим, что произойдет, если мы умножим [латекс] 1,9436 [/ латекс] на некоторую степень [латекс] 10 [/ латекс].
Посмотрите результаты без конечных нулей. Вы замечаете закономерность?
[латекс] \ begin {array} {ccc} 1.9436 \ left (10 \ right) \ hfill & = & 19.436 \ hfill \\ 1.9436 \ left (100 \ right) \ hfill & = & 194.36 \ hfill \\ 1.9436 \ left (1000 \ right) \ hfill & = & 1943.6 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Количество позиций, на которые переместилась десятичная точка, равно количеству нулей в степени десяти.В таблице ниже приведены результаты.
| Умножить на | Кол-во нулей | Число перемещений десятичной точки |
|---|---|---|
| [латекс] 10 [/ латекс] | [латекс] 1 [/ латекс] | [латекс] 1 [/ латекс] место правее |
| [латекс] 100 [/ латекс] | [латекс] 2 [/ латекс] | [латекс] 2 [/ латекс] места вправо |
| [латекс] 1000 [/ латекс] | [латекс] 3 [/ латекс] | [латекс] 3 [/ латекс] вправо |
| [латекс] 10,000 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] | [латекс] 4 [/ латекс] места вправо |
Мы можем использовать этот шаблон как ярлык для умножения на степень десяти вместо умножения с использованием вертикального формата.Мы можем посчитать нули в степени [латекс] 10 [/ латекс], а затем переместить десятичную запятую на то же место вправо.
Так, например, чтобы умножить [latex] 45,86 [/ latex] на [latex] 100 [/ latex], переместите десятичную точку [latex] на 2 [/ latex] разряда вправо.
Иногда, когда нам нужно переместить десятичную точку, не хватает десятичных знаков. В этом случае мы используем нули в качестве заполнителей. Например, умножим [латекс] 2,4 [/ латекс] на [латекс] 100 [/ латекс]. Нам нужно переместить десятичную точку [latex] на 2 [/ latex] разряда вправо.Поскольку справа от десятичной точки стоит только одна цифра, мы должны записать [латекс] 0 [/ латекс] в сотых разрядах.
Умножить десятичную дробь на степень [латекс] 10 [/ латекс]
- Переместите десятичную запятую вправо на то же количество разрядов, что и количество нулей в степени [латекс] 10 [/ латекс].
- При необходимости запишите нули в конце числа в качестве заполнителей.
, пример
Умножение [латекс] 5.63 [/ латекс] в разы ⓐ [латекс] 10 [/ латекс] ⓑ [латекс] 100 [/ латекс] ⓒ [латекс] 1000 [/ латекс].
Показать решение Решение
Глядя на количество нулей, кратных десяти, мы видим количество мест, на которое нам нужно переместить десятичную дробь вправо.
| ⓐ | |
| [латекс] 56,3 \ влево (10 \ вправо) [/ латекс] | |
| [latex] 1 [/ latex] ноль в [latex] 10 [/ latex], поэтому переместите десятичную точку [latex] 1 [/ latex] вправо. | |
| [латекс] 56,3 [/ латекс] |
| ⓑ | |
| [латекс] 5,63 \ влево (100 \ вправо) [/ латекс] | |
| В [latex] 100 [/ latex] есть нули [latex] 2 [/ latex], поэтому переместите десятичную точку [latex] на 2 [/ latex] разряда вправо. | |
| [латекс] 563 [/ латекс] |
| ⓒ | |
| [латекс] 5,63 \ влево (1000 \ вправо) [/ латекс] | |
| В [latex] 1000 [/ latex] нулей [latex] 3 [/ latex], поэтому переместите десятичную запятую [latex] на 3 [/ latex] вправо. | |
| В конце нужно добавить ноль. | [латекс] 5,630 [/ латекс] |
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как умножить десятичную дробь на 10, 100 и 1000.
РАЗ МОДУЛЬ M9 — Умножение целых чисел
Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)
вернуться к индексу
Предполагаемые знания
- Понимание разряда применительно к целым числам (см. Модуль «Подсчет и разметка»).
- Понимание того, что сложение может быть смоделировано путем комбинирования наборов объектов, а также может быть смоделировано на числовой прямой.
- Понимание и свободное владение счетом пропусков.
- Понимание и свободное владение сложением двух однозначных чисел.
- Знакомство с использованием массивов для моделирования умножения.
- Использование символа умножения для обозначения «групп».
- Знание простых фактов умножения и деления.
Мотивация
Примеры использования умножения включают расчет стоимости шести предметов
стоимостью 25 центов каждая. Намного быстрее вычислить 6 × 25 умножением
, чем повторным сложением.
Умножение отвечает на такие вопросы, как:
1 Джуди купила 15 коробок конфет. В каждой коробке было 24 шоколадных конфеты. Сколько конфет было у Джуди?
2 У Генри 16 мотков проволоки. Каждый рулон имеет длину 18 м.Какова общая длина провода у Генри?
Естественная геометрическая модель умножения в виде прямоугольной области находит применение в измерениях. Таким образом, умножение обеспечивает раннюю связь между арифметикой и геометрией.
Свободное владение языком с умножением снижает когнитивное напряжение при изучении более поздних тем, таких как
, например, деление. Развитие твердого понимания арифметики необходимо для всей дальнейшей математики.
Содержание
Введение в умножение
Для целых чисел умножение эквивалентно повторному сложению.
Моделирование умножения массивами
Использование массивов для моделирования умножения имеет важное значение. Например, 3 × 5 обозначается
.Мы называем 15 произведением 3 и 5, а 3 и 5 множителями 15.
Посмотрев на строки массива, мы видим, что
3 × 5 = 5 + 5 + 5
Глядя на столбцы массива, мы также видим, что
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Это иллюстрирует 3 × 5 = 5 × 3.Мы говорим, что умножение коммутативно.
Моделирование умножения путем подсчета пропусков
Счетчик пропусков, такой как чтение 3, 6, 9, 12, 15, …, является одним из первых введений в повторное сложение и, следовательно, умножение. Это можно проиллюстрировать числовой прямой, как показано ниже для 3 × 5 = 15.
3 × 5 = 15
На числовой прямой тот факт, что 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5, не так очевиден; на приведенной выше диаграмме показано 5 + 5 + 5, тогда как 3 + 3 + 3 + 3 + 3 в числовой строке выглядит совершенно иначе.
Подсчет пропусков важен, потому что он помогает детям выучить свои таблицы умножения.
Моделирование умножения по площади
Замена объектов в массиве единичными квадратами или квадратами 1 × 1 вводит площадную модель умножения. Это показано ниже для 3 × 5.
На этом этапе мы используем единичные квадраты вместо счетчиков или звездочек. Мы также можем использовать модель умножения площади для умножения дробей.
Изучение таблицы умножения
Свободное владение таблицами умножения необходимо для дальнейшего изучения математики и повседневной жизни.
Если учащиеся могут добавить однозначное число к двузначному числу, они смогут по крайней мере восстановить таблицу умножения, даже если они еще не развили беглость речи. Поэтому важно убедиться, что учащиеся могут плавно добавлять.
Мы настоятельно рекомендуем учащимся выучить факты умножения до 12 × 12.Это связано прежде всего с тем, что таблица умножения на 12 важна для расчета времени — в году 12 месяцев, 24 часа в день и 60 минут в часе. Знакомство с десятками полезно в повседневной жизни, потому что упаковка в массивы 3 × 4 намного удобнее, чем в массивы 2 × 5. Кроме того, в таблице 12 × 12 есть множество шаблонов, которые можно конструктивно использовать в упражнениях по предалгебре.
Простой подход к изучению таблиц — это читать каждую строку наизусть или путем подсчета пропусков.Однако учащиеся также должны уметь вспоминать отдельные факты, не обращаясь ко всей таблице.
При взгляде на таблицу умножения 12 × 12 создается впечатление, что необходимо усвоить 144 факта.
Однако есть несколько приемов, которые можно использовать для уменьшения количества фактов, которые необходимо усвоить.
- Коммутативность умножения сразу сводится с 144 к 78.
- Таблицы умножения на 1 и 10 просты, и их мастерство сокращает количество
фактов, которые необходимо выучить, до 55.
- Таблицы умножения на 2 и 5 также легко выучить, и их усвоение еще больше сокращает количество фактов, которые необходимо выучить, до 36.
- Таблицы умножения на 9 и 11 являются следующими, которые легче всего пропустить, потому что 9 и 11 отличаются от 10 на 1. Это сокращает количество фактов до 21.
- Квадраты полезны, и их можно выучить так же, как выучить таблицу умножения.
Это сокращает количество выученных терминов до 15.
Какие бы техники не использовались, целью должно быть свободное владение языком.
Свойства умножения
Коммутативность
Одним из преимуществ подхода массива и площади является то, что свойства умножения более очевидны.
Как обсуждалось выше, поворот массива 3 × 5 на бок показывает, что 3 × 5 = 5 × 3, потому что площадь не изменяется.
| 3 × 5 = 5 × 3 | ||
Мы видели это раньше, рассматривая строки и столбцы по отдельности, но мы также можем сделать это, повернув прямоугольник на бок, то есть вращением.
| 3 × 5 = 5 × 3 |
Любой заказ
Еще одним важным свойством умножения является ассоциативность, согласно которой
a × (b × c) = (a × b) × c для всех чисел.
Ассоциативность умножения гарантирует, что выражение a × b × c однозначно. Обычно мы не учим ассоциативности умножения в 4-7 лет. Вместо этого мы обучаем свойству умножения произвольного порядка, которое является следствием коммутативных и ассоциативных свойств.
Произвольное умножение
Список чисел можно перемножить в любом порядке, чтобы получить произведение чисел.
Свойство умножения произвольного порядка аналогично свойству сложения произвольного порядка.И ассоциативность, и коммутативность — нетривиальные наблюдения; обратите внимание, что вычитание и деление не коммутативны и не ассоциативны. Когда мы знакомы с арифметическими операциями, мы склонны принимать как ассоциативность, так и коммутативность умножения как должное, как и в случае сложения. Время от времени стоит задумываться о том, что коммутативность и ассоциативность объединяются, чтобы дать важные и мощные свойства произвольного порядка.
Умножение трех целых чисел геометрически соответствует вычислению количества единичных кубов в прямоугольной призме (или ее объема).Свойство умножения произвольного порядка означает, что мы можем вычислить этот объем, умножив длины сторон в любом порядке. Порядок расчета соответствует разному увеличению громкости.
Дистрибутивность умножения по сложению и вычитанию.
Уравнение 3 × (2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4) является примером дистрибутивности
умножения над сложением. Для массивов это соответствует следующей диаграмме
.
=
По площадям это соответствует диаграмме ниже.
| Площадь = 3 × 6 |
Умножение также является распределительным по сравнению с вычитанием.
Например, 7 × (10 — 2) = 7 × 10 — 7 × 2. Это можно проиллюстрировать с помощью модели площади.
Ментальные стратегии
Свойство умножения произвольного порядка и закон распределения для умножения позволяют решать некоторые задачи умножения без сложных вычислений.
Использование свойства произвольного порядка
Мы используем свойство произвольного порядка умножения для упрощения вычислений, изменяя
порядок, в котором мы выполняем умножение. Например,
| 1 |
| ||
| 2 | 2 × 17 × 5 = 10 × 17 | ||
| 3 | 25 × 7 × 4 = 25 × 4 × 7 = 100 × 7. |
Иногда это переупорядочивание происходит после того, как мы разложим один из факторов,
, например, когда мы дважды удваиваем, чтобы умножить на четыре, как в
17 × 4 = (17 × 2) × 2 = 34 × 2 = 68.
Этот метод перемещения множителя от одного числа к другому в порядке
для упрощения вычислений имеет применения, выходящие за рамки повторного удвоения, как в
36 × 5 = 18 × (2 × 5) = 180.
Иногда это называют «вдвое и вдвое».
УПРАЖНЕНИЕ 1
Используйте свойство произвольного порядка для выполнения следующих умножений.
Использование распределительного свойства
Мы используем оба дистрибутивных свойства, чтобы упростить некоторые задачи умножения. Например,
7 × 101 = 7 × (100 + 1) = 700 + 7 = 707,
7 × 99 = 7 × (100-1) = 700-7 = 693,
7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714,
и
7 × 98 = 7 × (100 — 2) = 700 — 14 = 686.
Некоторые примеры такого рода могут быть использованы для разработки концепций, необходимых для формального алгоритма. Такие наблюдения, как 14 × 60 = 14 × 6 × 10 и 14 × 600 = 14 × 6 × 100, являются фундаментальными для понимания алгоритма умножения.
Вычисления, такие как
21 × 7 = 20 × 7 + 1 × 7 = 140 + 7 = 147
можно сначала сделать как мысленную стратегию, а затем использовать в качестве первых примеров в формальном алгоритме.Другие умственные стратегии, связанные с алгоритмом, включают наблюдения, такие как
200 × 81 = 2 × 81 × 100 = 162 × 100 = 16 200
, где умножение на однозначные кратные степени десяти на самом деле не сложнее, чем умножение на однозначное число и отслеживание разряда.
УПРАЖНЕНИЕ 2
Используйте закон распределения для выполнения следующих умножений.
УПРАЖНЕНИЕ 3
Тождество (a — b) (a + b) = a2 — b2 также полезно для мысленных вычислений.
Например: 49 × 51 = (50 — 1) × (50 + 1) = 2500 — 1 = 2499
Выполните каждое из следующих умножений, используя этот идентификатор.
Письменные стратегии
Алгоритм работает наиболее эффективно, если он использует небольшое количество шагов, которые применяются в
во всех ситуациях. Таким образом, алгоритмы не прибегают к таким методам, как использование почти двойников, которые эффективны в некоторых случаях, но бесполезны в большинстве случаев.
Стандартный алгоритм не поможет вам умножить два однозначных числа.Важно, чтобы студенты свободно владели умножением двух однозначных чисел, прежде чем приступить к любому формальному алгоритму.
Стандартные алгоритмы
Свойство распределения лежит в основе нашего алгоритма умножения, потому что оно позволяет нам вычислять продукты по одному столбцу за раз, а затем складывать результаты вместе. Его следует усилить арифметически, геометрически и алгоритмически. Например, арифметически мы имеем 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4, геометрически мы видим то же явление,
и алгоритмически реализуем это в следующем расчете.
Как только этот процесс и схема будут поняты, мы можем перейти к согласованному алгоритму.
Умножение на одну цифру
Сначала мы сокращаем вычисление, отслеживая цифры переноса и добавляя их по мере продвижения. Предыдущий расчет сокращается до
.в зависимости от того, где записаны цифры переноса.
Следует проявлять осторожность даже на этой ранней стадии из-за смеси умножения и сложения.Также обратите внимание, что точное расположение и размер цифры переноса не важны для процесса и варьируются в зависимости от культуры. Когда мы выполняем длинное умножение, в каждом столбце может появиться несколько цифр переноса, и их запись в макете может быть скорее помехой, чем помощью. Поэтому желательно развить достаточную беглость умножения на одну цифру, чтобы учащийся мог выполнять вычисления, такие как
без необходимости явно записывать цифры переноса.Если студенту действительно необходимо записать цифры переноса, то мы рекомендуем разместить их над соответствующим столбцом и вычеркнуть их по мере включения в решение.
Умножение на однозначное число, кратное степени десяти
Следующее наблюдение заключается в том, что умножение на однозначное число, кратное десяти, не сложнее, чем умножение на однозначное число, при условии, что мы отслеживаем разряды. Итак, чтобы найти количество секунд в 14 минутах, мы вычисляем
14 × 60 = 14 × 6 × 10 = 840
и реализовать его в макете, таком как
Точно так же мы можем отслеживать более высокие степени десяти, используя разряды в своих интересах.Итак
14 × 600 = 14 × 6 × 100 = 8400
становится
Для студентов, которые выполнили основное наблюдение в рамках своих мысленных арифметических упражнений, единственное новшество на данном этапе состоит в том, как проводить эти вычисления.
Умножение на двузначное число
Следующий когнитивный скачок происходит, когда мы используем распределительность для умножения двух двузначных чисел.Это реализовано в виде двух продуктов упомянутых выше типов. Например,
74 × 63 = 74 × (60 + 3) = 74 × 60 + 74 × 3
используется в двухэтапном вычислении ниже.
Это соответствует разбиению по площади, показанному ниже.
На ранних этапах стоит одновременно развивать арифметические, геометрические и алгоритмические аспекты, проиллюстрированные выше.
Распаковка каждой строки в вычислении длинного умножения с явным использованием распределенности,
как в
Это 74 × 63 = (70 + 4) (60 + 3)
Это также соответствует разложению области
Это расширенное длинное умножение неэффективно, но его можно использовать, чтобы подчеркнуть многократное использование распределенности в процессе. Иллюстрация модели площади, используемая в этом случае, позже появится снова как геометрическая интерпретация вычислений в алгебре.
Умножение многозначных чисел
Чем больше цифр в числах, которые мы умножаем, тем больше раз нам нужно применить свойство распределения и тем больше строк будет в нашем вычислении, как показано ниже.
Этот пример соответствует: 5974 × 3 + 5974 × 60 + 5974 × 200 + 5974 × 1000
Кроме того, умножение целых чисел никогда не станет более сложным.
Ссылки вперед
Первое применение умножения, с которым, скорее всего, столкнутся учащиеся, — это деление.При вычислении деления мы постоянно вычисляем кратные делителю, и отсутствие беглости при умножении является существенным препятствием в этом процессе. Материал этого модуля закладывает основу для умножения, а затем деления дробей и десятичных знаков.
Другие приложения умножения, которые встречаются раньше, включают проценты и потребительскую арифметику. Например, мы рассчитываем цену товара с учетом налога на товары и услуги, рассчитывая в 1,1 раза больше его стоимости до налога на товары и услуги.
Знакомство с умножением и выражением чисел как произведений множителей открывает путь к одной из основных теорем математики.
Основная теорема арифметики: Каждое целое число больше 1 может быть записано как произведение простых чисел, и такое выражение уникально до порядка, в котором написаны множители. Например, 24 = 23 × 3 и 20 = 22 × 5.
Фундаментальная теорема арифметики имеет далеко идущие последствия и может применяться в информатике, кодировании и криптографии с открытым ключом.
И последнее, но не менее важное: сильное знание арифметики готовит ученика к успеху в алгебре.
Использование таблицы умножения как источника шаблонов
Способность определять закономерности и решать открытые задачи являются важными математическими навыками. Таблицу умножения можно использовать как источник занятий для обоих.
Аудиторная деятельность
Нарисуйте сетку 10 × 10 и выделите на ней числа, кратные 9.Какой геометрический узор образуют в таблице числа, кратные 9, и почему он возникает? Какова арифметическая последовательность цифр чисел в таблице умножения на 9 и почему она возникает?
Аудиторная деятельность
Нарисуйте сетку 12 × 12 с написанными на ней числами от 1 до 144. Выберите запись, которая находится не на краю таблицы. Как числа непосредственно над ним и непосредственно под ним связаны с числом в выбранном вами поле? Что вы можете сказать о числах слева и справа от выбранного вами числа?
История
Произведение двух чисел одинаково, независимо от того, как вы его вычисляете или как пишете свой ответ.Подобно тому, как история числа на самом деле связана с развитием числительных, история умножения — это в основном история процессов, которые люди использовали для выполнения вычислений. Развитие индо-арабской системы обозначений разностей позволило реализовать эффективные алгоритмы арифметики и, вероятно, было главной причиной популярности и быстрого принятия этой записи.
Египетское дублирование
Одним из методов, который сильно отличается от стандартного алгоритма, является египетское дублирование и датируется до 1850 года до нашей эры.Это сводит вычисления к серии удвоений с последним сложением.
Предположим, вы хотите умножить 63 на 22. Сначала напишите
, затем удвойте оба числа и запишите их ниже, чтобы получить
Продолжайте удваивать, пока число в левом столбце не станет настолько большим, насколько может быть, но не больше 22. Итак, мы пишем
| 1 | 63 | |||
| 2 | 126 | |||
| 4 | 252 | |||
| 8 | 504 | |||
| 16 | 1008 |
и остановитесь, потому что 32 больше 22.
Теперь мы идем в обратном направлении и начинаем с отметки 16; Традиционно это делалось, помещая линию слева от числа, как показано ниже.
Добавление 8 к 16 дает число больше 22, поэтому мы не отмечаем строку выше.
Поскольку 16 + 4 ≤ 22, мы отмечаем строку цифрой 4 в левом столбце.
Поскольку 16 + 4 + 2 = 22, мы отмечаем строку цифрой 2 в левом столбце,
, а так как 16 + 4 + 2 + 1> 22 мы не отмечаем верхнюю строку.Остается
| 1 | 63 | |||
| / | 2 | 126 | ||
| / | 4 | 252 | ||
| 8 | 504 | |||
| / | 16 | 1008 |
Сумма чисел в правом столбце отмеченных строк дает
1008 + 252 + 126 = 1386,
, который является произведением 22 × 63.Это работает, потому что
22 × 63 = (16 + 4 + 2) × 63 = 1008 + 252 + 126 = 1386.
Египетское дублирование основано на распределенности и на том факте, что каждое число может быть записано как сумма степеней 2.
УПРАЖНЕНИЕ 4
Выполните следующее, используя египетское дублирование.
| а | 34 × 56 | б 57 × 34 |
Русский крестьянский метод
Как и египетское дублирование, метод русского крестьянина работает, потому что каждое число имеет уникальное выражение в базе 2.Метод русского крестьянина сводит вычисления к последовательности удвоений и делений пополам с последним сложением.
В качестве алгоритма Русский крестьянский метод работает следующим образом.
- Поместите два числа, которые вы хотите умножить, вверху двух столбцов.
- Создайте еще одну строку из двух чисел, удвоив число в первом столбце
и уменьшив вдвое число во втором столбце, игнорируя любые остатки в процессе деления
вдвое. - Повторяйте предыдущий шаг, пока число в столбце деления пополам не станет равным 1.
- Вычеркните все строки, в которых число в столбце, уменьшенном вдвое, четное.
- Сложите все числа в столбце удвоения, которые не были зачеркнуты.
- Эта сумма равна произведению двух исходных чисел. Например, используя его для вычисления 63 × 22, мы пишем
| | | |
| 126 | 11 | |
| 252 | 5 | |
| | | |
| 1008 | 1 |
, затем вычислите 126 + 252 + 1008 = 1386 и сделайте вывод, что 63 × 22 = 1386.
Эта процедура работает всегда, но почему?
Предположим, мы хотим умножить 63 на 16. Мы начинаем с написания 63 и 16 в верхней части
двух столбцов, а под каждым мы записываем числа, которые мы получаем удвоением одного и
, делением другого вдвое.
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| 1008 | 1 |
В этом случае произведение двух чисел в каждой строке идентично произведению чисел непосредственно выше.Например, 126 × 8 = 63 × 16. Следуя цепочке произведений, мы заключаем, что 63 × 16 = 1008 × 1 = 1008. Это работает особенно легко, потому что 16 — это степень 2.
Предположим, вместо этого мы хотим умножить 63 на 14.
| | | |
| 126 | 7 | |
| 252 | 3 | |
| 504 | 1 |
Поскольку в первом делении нет остатков, 126 × 7 = 63 × 14, и первым шагом было просто переформулировать произведение по-другому.Мы можем смело вычеркнуть 63 × 14 и притвориться, что его никогда не было. Однако на втором этапе мы проигнорировали остаток, поэтому между двумя строками есть разница; в частности, 126 × 7 = 252 × 3 + 126 × 1. Обратите внимание, что разница между продуктом в двух строках составляет 126, число в верхней строке в столбце удвоения. Поскольку остаток от деления на 2 может быть только 0 или 1, на каждом шаге мы либо точно переформулируем задачу, либо на одну копию числа в столбце удвоения.В этом вычислении мы проигнорировали одну копию 126 и одну копию 252, прежде чем прийти к нашему выражению 504 × 1. Таким образом, наш исходный продукт, 63 × 14, должен быть равен 504 + 252 + 126.
В общем, может быть несколько строк, в которых у нас нет остатка, и несколько строк, в которых мы игнорируем остатки. Мы вычеркиваем те строки, для которых деление на 2 привело к точному пересчету продукта в предыдущей строке; это точно соответствует строкам с четными номерами в столбце, уменьшенном вдвое.Цифры, которые не были зачеркнуты в столбце удвоения, соответствуют остаткам, и их сумма равна исходному произведению.
Итальянский или решетчатый
Другой метод, известный как итальянский метод или метод решеток, по сути, является реализацией расширенной версии стандартного алгоритма, но в другой схеме. Этот метод очень старый и, возможно, был бы широко принят, если бы его не было трудно печатать. Впервые он появился в Индии, но вскоре появился в работах китайцев и арабов.От арабов он попал в Италию, и его можно найти во многих итальянских рукописях 14-15 веков.
Здесь проиллюстрировано умножение 34 × 27.
34 × 27 = 918
В верхнем правом прямоугольнике вычисляется 4 × 2. Цифра 8 помещается в нижний треугольник, а 0 — в верхний.
Затем вычисляется 3 × 2 и вводится результат, как показано.
В правом нижнем прямоугольнике вычислено 4 × 7.Цифра 8 находится в нижнем треугольнике, а цифра 2 — в верхнем треугольнике. Таким же образом записывается и результат 3 × 7.
Зеленая диагональ содержит единицы.
Синяя диагональ содержит десятки.
Коричневая диагональ содержит сотни.
Цифры теперь суммируются по каждой диагонали, начиная справа, и каждый результат
записывается, как показано. Обратите внимание, что существует «перенос» от «десятков по диагонали» к «сотням по диагонали»
УПРАЖНЕНИЕ 5
Используйте метод решетки для выполнения каждого из следующих умножений
| а | 35 × 73 | б | 67 × 87 | с | 453 × 235 |
Список литературы
История математики: Введение, 3-е издание, Виктор Дж.Кац, Эддисон-Уэсли, (2008)
История математики, Д. Э. Смит, Дуврские публикации, Нью-Йорк, (1958)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication
Ответы к упражнениям
Упражнение 1
УПРАЖНЕНИЕ 2
УПРАЖНЕНИЕ 3
УПРАЖНЕНИЕ 4
УПРАЖНЕНИЕ 5
Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.
Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.
© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Непортированная лицензия.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/
1.3: Умножение и деление целых чисел
Мы начинаем этот раздел с обсуждения умножения целых чисел. Первым делом нужно ввести различные символы, используемые для обозначения умножения двух целых чисел.
Математические символы, обозначающие умножение
| Обозначение | Пример | |
|---|---|---|
| × | раз символ | 3 × 4 |
| · | точек | 3 · 4 |
| () | скобок | (3) (4) или 3 (4) из (3) 4 |
Продукты и факторы
В выражении \ (3 · 4 \) целые числа 3 и 4 называются множителями , а \ (3 · 4 \) называются произведением .
Ключ к пониманию умножения содержится в следующем утверждении.
Умножение эквивалентно повторному сложению.
Предположим, например, что мы хотим оценить продукт \ (3 · 4 \). Поскольку умножение эквивалентно повторному сложению, \ (3 · 4 \) эквивалентно сложению трех четверок. То есть
\ [3 \ cdot 4 = \ underbrace {4 + 4 + 4} _ {\ text {три четверки}} \ nonumber \]
Таким образом, \ (3 · 4 = 12 \). Вы можете визуализировать произведение \ (3 · 4 \) как сумму трех четверок на числовой прямой, как показано на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6: Обратите внимание, что 3 · 4 = 4 + 4 + 4. То есть 3 · 4 = 12.Как и при сложении, порядок факторов не имеет значения.
\ [4 \ cdot 3 = \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} _ {\ text {четыре тройки}} \ nonumber \]
Таким образом, \ (4 · 3 = 12 \). Рассмотрим визуализацию \ (4 · 3 \) на рис. 1.7.
Рисунок 1.7: Обратите внимание, что 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. То есть 4 · 3 = 12.Доказательства на рисунках 1.6 и 1.7 показывают нам, что умножение коммутативно. То есть
\ [3 · 4 = 4 · 3 \ nonumber \]
Коммутативное свойство умножения
Если a и b — любые целые числа, то
\ [a · b = b · a.\ nonumber \]
Мультипликативная идентичность
Обратите внимание, что на рис. 1.8 (а) пять единиц равны 5; то есть \ (5 · 1 = 5 \). С другой стороны, на рис. 1.8 (b) мы видим, что одна пятерка равна пяти; то есть 1 · 5 = 5.
Рисунок 1.8: Обратите внимание, что 5 · 1 = 5 и 1 · 5 = 5.Поскольку умножение целого числа на 1 дает это идентичное число, целое число 1 называется мультипликативным тождеством.
Свойство мультипликативной идентичности
Если \ (a \) — любое целое число, то
a · 1 = a и 1 · a = a.
Умножение на ноль
Поскольку \ (3 · 4 = 4 + 4 + 4 \), мы можем сказать, что произведение \ (3 · 4 \) представляет «3 набора по 4», как показано на рисунке 1.9, где три группы по четыре блока каждая заключена в овал.
Рисунок 1.9: Три набора из четырех: 3 · 4 = 12.Следовательно, \ (0 · 4 \) будет означать ноль наборов из четырех. Конечно, ноль наборов из четырех — это ноль.
Умножение на ноль.
Если представляет любое целое число, то
\ (a · 0 = 0 \) и \ (0 · a = 0 \).
Ассоциативное свойство умножения
Как и сложение, умножение целых чисел ассоциативно. Действительно,
\ [\ begin {align *} 2 · (3 · 4) & = 2 · 12 \\ [4pt] & = 24 \ end {align *} \]
и
\ [\ begin {align *} (2 · 3) · 4 & = 6 · 4 \\ [4pt] & = 24. \ end {align *} \]
Ассоциативное свойство умножения.
Если a , b и c — любые целые числа, то
\ [a · (b · c) = (a · b) · c.\ nonumber \]
Умножение больших целых чисел
Подобно сложению и вычитанию больших целых чисел, нам также потребуется умножать большие целые числа. Опять же, мы надеемся, что алгоритм знаком из предыдущих курсовых работ.
Пример 1
Упростить: \ (35 · 127 \).
Решение
Выровняйте числа по вертикали. Порядок умножения не имеет значения, но мы поставим большее из двух чисел поверх меньшего.Первым делом умножаем 5 на 127. Снова идем справа налево. Итак, 5 умножить на 7 равно 35. Мы записываем 5, затем переносим 3 в столбец десятков. Затем 5 умножить на 2 равно 10. Добавьте цифру переноса 3, чтобы получить 13. Запишите 3 и перенесите 1 в столбец сотен. Наконец, 5 умножить на 1 равно 5. Добавьте цифру переноса, чтобы получить 6.
Следующий шаг — умножить 3 на 127. Однако, поскольку 3 стоит в разряде десятков, его значение равно 30, поэтому мы фактически умножаем 30 на 126. Это то же самое, что умножить 127 на 3 и поставить 0 в конце. результата.
После сложения 0, 3 умножить на 7 будет 21. Мы записываем 1 и переносим 2 над 2 в столбце десятков. Затем 3 умножить на 2 равно 6. Добавьте цифру переноса 2, чтобы получить 8. Наконец, 3 умножения на 1 будет 1.
Все, что осталось сделать, это добавить результаты.
Таким образом, 35 · 127 = 4, 445.
Альтернативный формат
Не помешает опустить завершающий ноль на втором этапе умножения, где мы умножаем 3 на 127.Результат будет выглядеть так:
В этом формате понимается ноль, поэтому нет необходимости иметь его физически. Идея состоит в том, что при каждом умножении на новую цифру мы отступаем от произведения на один пробел справа.
Упражнение
Упростить: 56 · 335
- Ответ
18 760
Деление целых чисел
Теперь перейдем к теме деления целых чисел.Сначала мы вводим различные символы, используемые для обозначения деления целых чисел.
Математические символы, обозначающие деление
| Обозначение | Пример | |
|---|---|---|
| ÷ | условное обозначение | 12 ÷ 4 |
| – | фракция бар | \ (\ frac {12} {4} \) |
| \ (\ longdiv {-} \) | деление стержня | \ (4 \ longdiv {12} \) |
Обратите внимание, что все следующие утверждения говорят об одном и том же; то есть «12, разделенное на 4, равно 3.”
\ (12 \ div 4 = 3 \ quad \ text {или} \ quad \ frac {12} {4} = 3 \ quad \ text {или} \ quad 4 \ sqrt {12} \)
Коэффициенты, дивиденды и делители
В ведомости
\ (\ frac {3} {4) 12} \)
целое число 12 называется деленным , целое число 4 называется делителем , а целое число 3 называется частным . Обратите внимание, что это обозначение деления эквивалентно
.\ (12 \ div 4 = 3 \ quad \ text {и} \ quad \ frac {12} {4} = 3.\)
Выражение a / b означает « a , деленное на b », но эта конструкция также называется дробью .
Определение: дробь
Выражение
\ (\ frac {a} {b} \)
называется дробью . Число \ (a \) сверху называется числителем дроби; число \ (b \) внизу называется знаменателем дроби.
Ключ к пониманию деления целых чисел содержится в следующем утверждении.
Деление эквивалентно повторному вычитанию.
Предположим, например, что мы хотим разделить целое число 12 на целое число 4. Это эквивалентно задаче вопроса «сколько четверок мы можем вычесть из 12?» Это можно визуализировать на числовой линейной диаграмме, например, на рисунке 1.10.
Рисунок 1.10: Деление — это повторное вычитание.Обратите внимание на рис. 1.10, что если мы вычтем три четверки из двенадцати, результат будет равен нулю. В символах,
\ (12- \ underbrace {4-4-4} _ {\ text {три четверки}} = 0.\)
Аналогично, мы также можем спросить: «Сколько групп из четырех человек в 12?» И расположить нашу работу, как показано на рис. 1.11, где мы можем видеть, что в массиве из двенадцати объектов мы можем обвести три группы по четыре; т.е. 12 ÷ 4 = 3.
Рисунок 1.11: Есть три группы по четыре из двенадцати.Обратите внимание, что на рисунках 1.10 и 1.11 деление (повторное вычитание) не оставляет остатка. Это не всегда так.
Пример 2.
Разделить 7 на 3.
Решение
На рисунке 1.12, мы видим, что можем вычесть две тройки из семи, оставив остаток на единицу.
Рисунок 1.12: Деление с остатком.В качестве альтернативы, в массиве из семи объектов мы можем обвести две группы по три, оставив остаток по одному.
Рисунок 1.13: При делении семи на три остается один.Как на рис. 1.12, так и на рис. 1.13 показано, что есть две группы по три из семи, одна осталась. Мы говорим: «Семь разделить на три — это два, а остаток — один.
Упражнение
Используйте метод числовой прямой и метод массива прямоугольников, чтобы разделить 12 на 5.
Раздел не коммутативен
Порядок деления целых чисел имеет значение. Например
12 ÷ 4 = 3,
, но 4 ÷ 12 — это даже не целое число. Таким образом, если a и b — целые числа, то a ÷ b не должно ли совпадать с b ÷ a .
Отделение не ассоциативное
Когда вы делите три числа, порядок, в котором они сгруппированы, обычно влияет на ответ.Например,
(48 ÷ 8) ÷ 2 = 6 ÷ 2
= 3,
но
48 ÷ (8 ÷ 2) = 48 ÷ 4
= 12.
Таким образом, если a , b и c — целые числа, ( a ÷ b ) ÷ c не обязательно должно совпадать с a ÷ ( b ÷ c ).
Деление на ноль не определено
Предположим, что нас просят разделить шесть на ноль; то есть нас просят вычислить 6 ÷ 0.На рисунке 1.14 у нас есть массив из шести объектов.
Рисунок 1.14: Сколько групп нулей вы видите?Теперь, чтобы разделить шесть на ноль, мы должны ответить на вопрос: «Сколько групп нулей мы можем обвести на рисунке 1.14?» Некоторые мысли дадут ответ: это бессмысленная просьба! Совершенно бессмысленно спрашивать, сколько групп нулей можно обвести в массиве из шести объектов на рис. 1.14.
Дивизион по нулю
Деление на ноль — undefined .Каждое из выражений
\ (6 \ div 0 \ quad \ text {and} \ quad \ frac {6} {0} \ quad \ text {and} \ quad 0) \ overline {6} \)
— это undefined.
С другой стороны, имеет смысл спросить: «Что такое ноль делится на шесть?» Если мы создадим массив из нулевых объектов, а затем спросим, сколько групп из шести человек мы можем обвести, ответ будет «ноль групп из шести». То есть ноль, деленный на шесть, равен нулю.
\ (0 \ div 6 = 0 \ quad \ text {and} \ quad \ frac {0} {6} = 0 \ quad \ text {and} \ quad 6 \ frac {0} {0} \)
Разделение больших целых чисел
Теперь мы быстро рассмотрим деление больших целых чисел, используя алгоритм, который обычно называют делением в столбик .Это не всестороннее обсуждение, а беглое обсуждение. Мы рассчитываем на то, что наши читатели сталкивались с этим алгоритмом на предыдущих курсах и знакомы с процессом.
Пример 3
Упростить: 575/23.
Решение
Мы начинаем с оценки, сколько 23 делится на 57, угадывая 1. Мы помещаем 1 в частное над 7, умножаем 1 на 23, помещаем ответ под 57, затем вычитаем.
\ (\ begin {array} {c} {23) \ frac {1} {575}} \\ {\ frac {23} {34}} \ end {array} \)
Поскольку остаток больше делителя, наша оценка слишком мала.Пробуем еще раз с оценкой 2.
\ (\ begin {array} {r} {2} \\ {2 3 \ longdiv {5 7 5}} \\ {\ frac {46} {11}} \ end {array} \)
Это алгоритм. Разделите, умножьте, затем вычтите. Вы можете продолжить, только если остаток меньше делителя.
Чтобы продолжить, опустите 5, прикиньте, что 115 разделенное на 23 равно 5, затем умножьте 5 на делитель и вычтите.
\ (\ begin {array} {c} {25} \\ {2 3 \ longdiv {5 7 5}} \\ {\ frac {46} {115}} \\ {\ frac {115} {0} } \ end {array} \)
Поскольку остаток равен нулю, 575/23 = 25.
Упражнение
Разделить 980/35
- Ответ
28
Приложение — счет прямоугольных массивов
Рассмотрим прямоугольный массив звезд на рис. 1.15. Чтобы подсчитать количество звезд в массиве, мы могли бы использовать грубую силу, считая каждую звезду в массиве по одной за раз, в общей сложности 20 звезд. Однако, поскольку у нас есть четыре ряда по пять звезд в каждом, умножение происходит намного быстрее: 4 · 5 = 20 звезд.
Рисунок 1.15: Четыре строки и пять столбцов. Рисунок 1.16: Площадь в квадратных единицах.Приложение — Площадь
На рис. 1.16 (а) изображен квадрат размером в один квадратный дюйм (1 из 2 ), по одному дюйму с каждой стороны. На рис. 1.16 (b) изображен квадрат размером в один квадратный фут (1 фут 2 ), по одному футу на каждой стороне. Оба эти квадрата являются мерой площади. Теперь рассмотрим прямоугольник, показанный на рисунке 1.17. Длина этого прямоугольника составляет четыре дюйма (4 дюйма), а ширина — три дюйма (3 дюйма).
Рисунок 1.17: Прямоугольник длиной 4 дюйма и шириной 3 дюйма.Чтобы найти площадь фигуры, мы можем сосчитать отдельные единицы площади, составляющие площадь прямоугольника, всего двенадцать квадратных дюймов (12 на 2 ). Однако, как мы это делали при подсчете звезд в массиве на рис. 1.15, гораздо быстрее заметить, что у нас есть три ряда по четыре квадратных дюйма. Следовательно, намного быстрее умножить количество квадратов в каждой строке на количество квадратов в каждом столбце: 4 · 3 = 12 квадратных дюймов.
Приведенный выше аргумент приводит к следующему правилу определения площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника
Пусть L и W представляют длину и ширину прямоугольника соответственно.
Чтобы найти площадь прямоугольника, вычислите произведение длины и ширины. То есть, если A представляет площадь прямоугольника, то площадь прямоугольника определяется формулой
A = LW .
Пример 4
Прямоугольник имеет ширину 5 футов и длину 12 футов. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Подставьте L = 12 футов и W = 5 футов в формулу площади.
A = LW
= (12 футов) (5 футов)
= 60 футов 2
Следовательно, площадь прямоугольника составляет 60 квадратных футов.
Упражнение
Прямоугольник имеет ширину 17 дюймов и длину 33 дюйма.Найдите площадь прямоугольника.
- Ответ
561 квадратный дюйм
Упражнения
В упражнениях 1–4 используйте числовые линейные диаграммы, как показано на рисунке 1.6, чтобы изобразить умножение.
1. 2 · 4.
2. 3 · 4.
3. 4 · 2.
4. 4 · 3.
В упражнениях 5-16 укажите свойство умножения, отображаемое данной идентичностью.
5.9,8 = 8,9
6. 5 · 8 = 8 · 5
7. 8 · (5 · 6) = (8 · 5) · 6
8. 4 · (6 · 5) = (4 · 6) · 5
9. 6 · 2 = 2 · 6
10. 8 · 7 = 7 · 8
11. 3 · (5 · 9) = (3 · 5) · 9
12. 8 · (6 · 4) = (8 · 6) · 4
13. 21 · 1 = 21
14. 39 · 1 = 39
15,13 · 1 = 13
16. 44 · 1 = 44
В упражнениях 17–28 умножьте заданные числа.
17,78 · 3
18.58,7
19. 907 · 6
20. 434 · 80
21128 · 30
22 454 · 90
23 799 · 60
24. 907 · 20
25. 14 · 70
26. 94 · 90
27. 34 · 90
28. 87 · 20
В упражнениях 29-40 умножьте заданные числа.
29,237,54
30. 893 · 94
31. 691 · 12
32. 823 · 77
33. 955 · 89
34.714,41
35. 266 · 61
36. 366 · 31
37. 365 · 73
38. 291 · 47
39. 955 · 57
40. 199 · 33
41. Подсчитайте количество объектов в массиве.
42. Подсчитайте количество объектов в массиве.
43. Подсчитайте количество объектов в массиве.
44. Подсчитайте количество объектов в массиве.
В упражнениях 45–48 найдите площадь прямоугольника заданной длины и ширины.
45. L = 50 дюймов, W = 25 дюймов
46. L = 48 дюймов, W = 24 дюйма
47. L = 47 дюймов, W = 13 дюймов
48. L = 19 дюймов, W = 10 дюймов
В упражнениях 49-52 найдите периметр прямоугольника заданной длины и ширины.
49. L = 25 дюймов, W = 16 дюймов
50. L = 34 дюйма, W = 18 дюймов
51. L = 30 дюймов, W = 28 дюймов
52. L = 41 дюйм, W = 25 дюймов
53. Набор бус стоит 50 центов за дюжину. Сколько стоят (в долларах) 19 десятков наборов бусин?
54.Набор бусин стоит 60 центов за дюжину. Сколько стоит (в долларах) 7 десятков наборов бусин?
55. Если бы репетитор по математике работал 47 часов и получал 15 долларов за каждый час, сколько денег она заработала бы?
56. Если бы репетитор по математике работал 46 часов и получал 11 долларов за каждый час, сколько денег он заработал бы?
57. В одной дюжине 12 яиц, в одном брутто — 12 дюжин. Сколько яиц в партии брутто 24 шт.?
58. В одной дюжине 12 яиц, в одном брутто — 12 дюжин.Сколько яиц в партии брутто 11?
59. Если каждый кирпич весит 4 килограмма, каков вес (в килограммах) 5000 кирпичей?
60. Если каждый кирпич весит 4 фунта, каков вес (в фунтах) 2000 кирпичей?
Какое из следующих четырех выражений отличается от остальных трех в упражнениях 61–68?
61. \ (\ frac {30} {5} \), 30 ÷ 5, \ (5 \ longdiv {3 0} \), 5 ÷ 30
62. \ (\ frac {12} {2} \), 12 ÷ 2, \ (2 \ longiv {12} \), 2 ÷ 12
63.\ (\ frac {8} {2} \), 8 ÷ 2, \ (2 \ longdiv {8} \), \ (8 \ longdiv {2} \)
64. \ (\ frac {8} {4} \), 8 ÷ 4, \ (4 \ longdiv {8} \), \ (8 \ longdiv {4} \)
65. \ (2 \ longdiv {14} \), \ (14 \ longdiv {2} \), \ (\ frac {14} {2} \), 14 ÷ 2
66. \ (9 \ longdiv {54} \), \ (54 \ longdiv {9} \), \ (\ frac {54} {9} \), 54 ÷ 9
67. \ (3 \ longdiv {24} \), 3 ÷ 24, \ (\ frac {24} {3} \), 24 ÷ 3
68. \ (3 \ longdiv {15} \), 3 ÷ 15, \ (\ frac {15} {3} \), 15 ÷ 3
В упражнениях 69–82 упростите данное выражение.Если ответа не существует или он не определен, напишите «undefined».
69.0 ÷ 11
70. 0 ÷ 5
71,17 ÷ 0
72. 24 ÷ 0
73. 10 · 0
74. 20 · 0
75. \ (\ frac {7} {0} \)
76. \ (\ frac {23} {0} \)
77. \ (16 \ longdiv {0} \)
78. \ (25 \ longdiv {0} \)
79. \ (\ frac {0} {24} \)
80. \ (\ frac {0} {22} \)
81. \ (0 \ longdiv {0} \)
82.0 ÷ 0
В упражнениях 83–94 разделите заданные числа.
83. \ (\ frac {2816} {44} \)
84. \ (\ frac {1998} {37} \)
85. \ (\ frac {2241} {83} \)
86. \ (\ frac {2716} {97} \)
87. \ (\ frac {3212} {73} \)
88. \ (\ frac {1326} {17} \)
89. \ (\ frac {8722} {98} \)
90. \ (\ frac {1547} {91} \)
91. \ (\ frac {1440} {96} \)
92. \ (\ frac {2079} {27} \)
93. \ (\ frac {8075} {85} \)
94.\ (\ frac {1587} {23} \)
В упражнениях 95-106 разделите заданные числа.
95. \ (\ frac {17756} {92} \)
96. \ (\ frac {46904} {82} \)
97. \ (\ frac {11951} {19} \)
98. \ (\ frac {22304} {41} \)
99. \ (\ frac {18048} {32} \)
100. \ (\ frac {59986} {89} \)
101. \ (\ frac {29047} {31} \)
102. \ (\ frac {33264} {86} \)
103. \ (\ frac {22578} {53} \)
104. \ (\ frac {18952} {46} \)
105.\ (\ frac {12894} {14} \)
106. \ (\ frac {18830} {35} \)
107. Бетонный тротуар выложен квадратными блоками размером 6 футов с каждой стороны. Сколько блоков будет на прогулке длиной 132 фута?
108. Бетонный тротуар выложен квадратными блоками размером 5 футов с каждой стороны. Сколько блоков будет на прогулке длиной 180 футов?
109. Одна лодка на остров может принять 5 человек. Сколько рейсов придется совершить лодке, чтобы переправить на остров 38 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
110. На одной лодке на остров могут разместиться 4 человека. Сколько рейсов придется совершить лодке, чтобы переправить на остров 46 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
111. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 145 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 4 мили, если предположить, что огни есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов)
112. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 70 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы протяженностью 3 мили, если предположить, что фонари есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)
113. Бетонный тротуар выложен квадратными блоками размером 4 фута с каждой стороны. Сколько блоков будет на прогулке длиной 292 фута?
114. Бетонный тротуар выложен квадратными блоками размером 5 футов с каждой стороны. Сколько блоков будет на прогулке длиной 445 футов?
115. На одной лодке на остров могут разместиться 3 человека. Сколько рейсов придется совершить лодке, чтобы переправить на остров 32 человека? (Подсказка: округлите ответ.)
116. Одна лодка на остров может принять 4 человека. Сколько рейсов придется совершить лодке, чтобы переправить на остров 37 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
117. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличные фонари потребуется для улицы протяженностью 2 мили, если предположить, что огни есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов)
118. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы протяженностью 3 мили, если предположить, что огни есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)
119. Написание статей . Эли пишет в среднем 4 статьи в день пять дней в неделю, чтобы поддержать продажи продукции. Сколько статей Илай пишет за неделю?
120. Пулемет . Зенитный пулемет калибра 0,50 может стрелять 800 выстрелов в минуту. Сколько выстрелов можно было выстрелить за три минуты? Associated Press Times-Standard 15.04.09
121. Круги . Плавательный бассейн в CalCourts составляет 25 ярдов в длину.Если пройти один круг вверх и обратно, сколько ярдов проплыл Венделл, сделав 27 кругов?
122. Мощность холодильника . Обычный холодильник будет работать около 12 часов каждый день и потреблять 150 Вт энергии каждый час. Сколько ватт мощности будет потреблять холодильник в течение дня?
123. Сено конское . Взрослые лошади должны съедать минимум 12 фунтов сена каждый день и могут есть гораздо больше в зависимости от своего веса. Сколько минимум фунтов съела бы лошадь за год?
124. Колледж стоит . После повышения платы за обучение на 662 доллара жители Калиформии, которые хотят учиться в Калифорнийском университете в качестве бакалавра, должны рассчитывать на предстоящий 2009-2010 учебный год заплатить 8700 долларов. Если стоимость не изменится в течение следующих нескольких лет, как сколько студент должен ожидать платить за четырехлетнюю программу обучения в школе UC?
125. Расходы нерезидентов . Студенты-нерезиденты, желающие поступить в колледж Калифорнийского университета, должны заплатить около 22000 долларов в следующем учебном году.Если предположить, что затраты останутся прежними, сколько может стоить четырехлетняя степень?
126. Студенческий налог . Мэр Провиденса, Род-Айленд, хочет обложить налогом своих 25000 студентов Университета Брауна по 150 долларов каждый, чтобы внести вклад в налоговые поступления, заявив, что студенты должны платить за ресурсы, которые они используют, так же, как жители города. Сколько долларов заработает майер?
127. Новый айсберг . Новый айсберг, срезанный с ледника после столкновения с другим айсбергом, имеет размеры около 48 миль в длину и 28 миль в ширину.Какова примерная площадь нового айсберга? Associated PressTimes-Standard 27.02.10 2 Огромные айсберги вышли из берегов Антарктиды.
128. Солнечные батареи . Одна из солнечных панелей на Международной космической станции имеет длину 34 метра и ширину 11 метров. Если их восемь, какова общая площадь для сбора солнечной энергии?
129. Тротуар . Бетонный тротуар должен быть 80 футов в длину и 4 фута в ширину. Сколько будет стоить укладка тротуара из расчета 8 долларов за квадратный фут?
130. Тюки сена . Средний тюк сена весит около 60 фунтов. Если лошадь съедает 12 фунтов сена в день, сколько дней один тюк может кормить лошадь?
131. Солнечные пятна . Солнечные пятна, в которых магнитное поле Солнца намного выше, обычно встречаются парами. Если общее количество солнечных пятен составляет 72, сколько пар пятен существует?
ответов
1. \ (2 \ cdot 4 = \ underbrace {4 + 4} _ {2 \ text {times}} = 8 \)
3. \ (4 \ cdot 2 = \ underbrace {2 + 2 + 2 + 2} _ {4 \ text {times}} = 8 \)
5.Коммутативное свойство умножения
7. Ассоциативное свойство умножения
9. Коммутативность умножения
11. Ассоциативное свойство умножения
13. Свойство мультипликативной идентичности
15. Свойство мультипликативной идентичности
17,234
19. 5442
21. 3840
23 47940
25.980
27. 3060
29. 12798
31.8292
33. 84995
35. 16226
37. 26645
39. 54435
41. 64
43. 56
45. 1250 дюймов 2
47. 611 дюйм 2
49. 82 в
51,116 в
53. 9,50
55. 705
57. 3456
59. 20000
61,5 ÷ 30
63. \ (8 \ sqrt {2} \)
65. \ (14 \ sqrt {2} \)
67,3 ÷ 24
69.0
71. Не определено
73. 0
75. Не определено
77. 0
79. 0
81. Не определено
83. 64
85. 27
87. 44
89. 89
91,15
93. 95
95,193
97,629
99 564
101. 937
103. 426
105. 921
107. 22
109. 8
111. 147
113.73
115,11
117. 102
119. 20 статей
121. 1350 ярдов
123. 4380 фунтов сена
125. 88 000 долларов США
127. 1344 миль 2
129. $ 2,560
131. 36
Умножение целых чисел — Математика для сделок: Том 1
[латекс] \ LARGE437 \ times392 =? [/ Латекс]
Шаг 1: Как всегда, первым делом нужно сформулировать вопрос в удобном для работы формате.
Процедура, как правило, просто умножает кучу меньших чисел вместе, чтобы наконец получить большее число. Вот где действительно пригодится знание вашей таблицы умножения. Число в нижней части уравнения (в данном случае 392) будет обрабатываться и измениться гораздо больше, чем верхнее число (437).
Шаг 2: Мы начинаем процесс с того, что просто умножаем 437 на 2, число в столбце единиц. Думайте об этом как о приведенном ниже уравнении.
Как это работает: сначала вы возьмете 2 и умножите его на 7, затем 2 будет умножено на 3, и, наконец, 2 будет умножено на 4. Теперь это не все происходит за один шаг. . Посмотрите ниже, чтобы увидеть, как это делается.
Для начала умножьте 2 на 7, чтобы получить 14 (2 × 7 = 14) .
Введите 4 в столбец «единицы» и несите 1. Помните, как носили единицу? Поскольку число 14 слишком велико, чтобы поместить его в столбец единиц, мы должны взять лишнее и перенести его в следующий расчет с столбцом десятков.
Шаг 3: Теперь умножьте 2 на 3, чтобы получить 6. 1, которую мы только что принесли, добавляется к 6, чтобы получить 7. Поместите этот ответ в столбец десятков (2 × 3 + 1 = 7) .
Шаг 4: Возьмите 2 и умножьте на 4, чтобы получить 8. Поместите это число в столбец сотен (2 × 4 = 8) .
Примечание: 874 — это не окончательный ответ. Нам еще предстоит сделать несколько шагов. Вы снова можете спросить себя, будет ли проще делать это с помощью калькулятора, и вы будете правы.Было бы намного проще, но проработка вопроса с использованием этого метода поможет вам визуализировать процесс умножения.
Кроме того, прежде чем двигаться дальше, уделите секунду и вернитесь к начальным шагам. Убедитесь, что вы понимаете процесс, который мы только что прошли.
Шаг 5: Следующим шагом будет то же самое с числом в столбце десятков. В данном случае 9. Думайте об этом как о уравнении, подобном приведенному ниже.
Обратите внимание на пустое место рядом с цифрой 9.Когда мы начинаем брать 9 и умножать его на число 437, необходимо учитывать это пустое место в столбце единиц рядом с 9. Для этого нужно поставить ноль для запуска процесса и поместить его в столбец единиц. Это будет выглядеть примерно так, как показано ниже.
Шаг 6: Теперь умножьте 9 на все три числа в верхней части уравнения, начиная с 7. Когда мы возьмем 9 и умножим на 7, мы получим 63. 3 помещается в столбце десятков под цифрой 7, а затем перенесите 6 (9 × 7 = 63) .
Шаг 7: Затем умножьте 9 на 3, чтобы получить 27. Затем мы добавляем 6, которые были перенесены, чтобы получить 33. 3 идет в столбце сотен под 8, а остальные 3 переносятся в столбец сотен. для использования в следующем вычислении (9 × 3 + 6 = 33) .
Шаг 8: Затем 9 умножается на 4, чтобы получить 36. Затем сложите 3, которые были перенесены, чтобы получить 39. Поскольку это последний расчет для этой части, введите 3 и 9 в ответ. (9 × 4 + 3 = 39)
Теперь проделайте ту же процедуру, используя 3 из числа 392. Поскольку 3 из столбца сотен, это можно представить как рассмотрение приведенного ниже уравнения. Еще раз, в ответе мы должны учитывать тот факт, что мы используем число в столбце сотен и добавляем два нуля в ответ, чтобы начать процесс.
Шаг 9: Возьмите 3 и умножьте на 7, чтобы получить 21. Повторите ту же процедуру, что и перед (3 × 7 = 21) .
Шаг 10: Теперь возьмите 3 и умножьте на 3, чтобы получить 9 и сложить 2, перенесенные из первого умножения. Это даст вам 11 (3 × 3 + 2 = 11) .
Шаг 11: Возьмите 3 и умножьте на 4, чтобы получить 12. Добавьте 1, чтобы получить 13 (3 × 4 + 1 = 12) .
Шаг 12: Наконец, сложите 874, 39 330 и 131 100 вместе, чтобы получить окончательный ответ.
На этом этапе вы можете сделать несколько вещей. Один — сделать перерыв и расслабиться. Это была большая работа. Найдите минутку, чтобы визуально проработать процесс в уме. Если вы чувствуете, что вам нужно, вернитесь к работе еще раз и убедитесь, что вы понимаете, что происходит.
Второе, что вы можете сделать на этом этапе, — это проверить ответ с помощью калькулятора. Вставьте числа и посмотрите, что у вас получится.
[латекс] \ LARGE437 \ times392 = 171 304 [/ латекс]
Умножение: целые числа
Умножение можно рассматривать как повторное сложение.Итак, если умножить число а по другому номеру б , это то же самое, что добавить число а снова и снова б раз. (Или добавив б снова и снова а раз). Например:
3 × 5 знак равно 5 + 5 + 5 знак равно 15 3 × 5 знак равно 3 + 3 + 3 + 3 + 3 знак равно 15
Другой способ думать об умножении целых чисел а × б визуализировать объекты, расположенные в прямоугольнике, с а ряды и б столбцы.
3 × 5
Обратите внимание, что есть 15 точки на рисунке.
Стандартный алгоритм
Чтобы умножить многозначное число на однозначное число с помощью стандартного алгоритма, напишите два числа друг над другом, выровняв единичные цифры по вертикали и многозначное число сверху.
127 × 3 _
Умножьте единичную цифру верхнего числа на нижнее число.Запишите единичную цифру результата. Если результат больше чем 10 перенесите цифру десятков, как и при сложении.
Здесь, 7 × 3 знак равно 21 год , так
1 2 2 7 × 3 _ 1
Теперь умножьте цифру десятков верхнего числа на нижнее число и добавьте полученную цифру к результату.Здесь, 2 × 3 знак равно 6 , а затем добавляем 2 получить 8 . С 8 меньше чем 10 , на этот раз нам не нужно нести.
1 2 2 7 × 3 _ 8 1
Наконец, умножьте цифру сотен верхнего числа на нижнее число.Здесь, 3 × 1 знак равно 3 .
1 2 2 7 × 3 _ 3 8 1
Так, 127 × 3 знак равно 381 .
Чтобы умножить два многозначных числа , напишите число, состоящее из большего количества цифр вверху. Например, чтобы умножить 29 от 543 , мы пишем
543 × 29 _
Сначала умножьте верхнее число на единицу нижнего числа, как описано выше.3 × 9 знак равно 27 , так что запишите 7 и нести 2 :
5 4 2 3 × 2 9 _ 7
4 × 9 36 лет, плюс 2 является 38 , так что запишите 8 и несите 3 :
5 3 4 2 3 × 2 9 _ 8 7
5 × 9 является 45 , плюс 3 является 48 .Нет больше цифр для переноса, поэтому запишите 48 .
5 2 4 2 3 × 2 9 _ 4 8 8 7
Затем нам нужно умножить верхнее число на цифра десятков нижнего числа.Поскольку мы фактически умножаем на 20 , а не 2 , запишем 0 как заполнитель.
5 4 3 × 29 _ 4887 0
3 × 2 является 6 , так что запишите 6 .
5 4 3 × 2 9 _ 4887 6 0
4 × 2 является 8 , так что запишите 8 .
5 4 3 × 2 9 _ 4887 8 6 0
5 × 2 является 10 , и больше нет цифр для переноса, поэтому запишите 10 .
5 4 3 × 2 9 _ 4887 10 860
Последний шаг — сложить два результата.
5 4 3 × 29 _ 4887 + 10 860 _ 13947
Так, 543 × 29 знак равно 13947 .
Как и сложение, умножение коммутативный для действительных чисел (то есть а × б знак равно б × а ; порядок не имеет значения) и ассоциативный (это, ( а × б ) × c знак равно а × ( б × c ) ; группировка не имеет значения.) См. Свойства умножения для большего.
.